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Nombres complexes
Introduction : équations à résoudre
I. Notion de nombres complexes
1) Définitions
On appelle i un nombre dont le carré vaut –1.
Remarque :
Il n’existe pas de nombre réel solution de l’équation x²= -1.
Le nombre i n’est donc pas un nombre réel.
On appelle nombre complexe un nombre qui peut s’écrire sous la forme z = a + ib avec a et b
nombres réels.
L’ensemble de tous ces nombres complexes est notés ℂ.
2) Propriétés
Les opérations dans ℂ obéissent aux mêmes règles de calcul que dans ℝ.
Exemples :
Développer A = ( 3 – 2i )( 1 – i ) B = ( 3 + i )(3 – i) C = (4 – 3i )²
On donne z = 3 – 2i, donner l’opposé de z et son inverse.
Ex 9-10(q1)-12 p.303
Théorème :
Soit z un nombre complexe.
z s’écrit de manière unique sous la forme z = a + ib où (a, b) ℝ².
Cette écriture est appelée forme algébrique de z.
Le réel a est appelé la partie réelle de z, et on note Re(z) = a.
Le réel b est appelé la partie imaginaire de z, et on note Im(z) = b.
Si b = 0, on obtient un nombre réel, ce qui prouve que ℝ ℂ.
Si a = 0, on obtient un nombre dit imaginaire pur.
Théorème :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la
même partie imaginaire.
a +ib = a’ + ib’ équivaut à a = a’ et b = b’
a +ib = 0 équivaut à a = b = 0
Exercice :
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul (a ; b) ℝ².
Déterminer la forme algébrique, la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse de z.
(
²b²a
iba
z
1
)
Ex 13-14-15-16-17-27 p.303

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II. Conjugué et module
1) Définitions
Soit z = a +ib un nombre complexe où a et b sont deux réels.
Le conjugué de z, noté
z
, est le nombre complexe égal à a – ib.
Le module de z, noté
z
, est le réel positif
²b²a 
.
Exemples :
Conjugué et module de i, a, 2 +3i …
2) Propriétés du conjugué
Soit z un nombre complexe. Alors :
1)
zz 
2) Re(z) =
2
zz 
3) Im(z) =
i2
zz 
4) z est réel si et seulement si z =
z
5) z est imaginaire pur si et seulement si z = -
z
Pour tous nombres complexes z et z’ :
1)
'zz'zz 
2)
'zz'zz 
3) si z ≠ 0,
z
1
z
1
4) si z’≠ 0,
'z
z
'z
z
5) Pour tout n  ℤ ,
n
nzz 
dem : ex 25 p.303
soit z = a +ib avec a et b réels. A faire en exercices.
Ex 21-22-23-26 p.303
3) Propriétés du module
Soient z et z’ deux nombres complexes. Alors
1)
zz 
2)
zz 
3)
'zz'zz 
4)
zzz 2
4)si z≠0,
z
1
z
1
5)si z’≠0,
'z
z
'z
z
6) Pour tout n  ℤ et z ≠0,
n
nzz 
dem : en exercices
4) Inégalité triangulaire
Pour tous nombres complexes z et z’, on a :
'zz'zz 
Dem : inégalité triangulaire avec parallélogramme
Ex 37-38-39-40-41 p.305

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III. Equations dans ℂ
1) Equations dans ℂ
Résoudre une équation dans ℂ consiste à déterminer tous les nombres complexes rendant
l’égalité donnée vraie.
Certaines équations se résolvent en utilisant les mêmes techniques que celles utilisées dans
ℝ ; c’est le cas des équations faisant intervenir uniquement z, ou uniquement
z
…
D’autres équations nécessitent le recours à la forme algébrique.
Exemples :
1)
)iz(iz 
( z =
i
2
1
2
1
)
2)
03z5²z 
S =
2
135
;
2
135
3)
07z5²z 
S = ∅
2) Equations du second degré à coefficients réels
Théorème :
Soit f une fonction définie sur ℂ par f(z) = az²+ bz + c, où a, b et c désignent 3 réels avec a
≠0 et l’équation az²+ bz + c = 0 de discriminant  = b² - 4ac.
Il existe un nombre complexe tel que
2
et l’équation f(z) = 0 a deux solutions
complexes :
a2
b
z1
et
a2
b
z2
.
On a, de plus, f(z) =
)zz)(zz(a 21 
.
Dem : forme canonique ….
Exemples :
1)
0z7z3z 23 
1 S =
2
19i3
;
2
19i3
;0
2)
03z4²z2 
S =
 2
2
i1;
2
2
i1
3)
z22
z
1
S =
 i
2
1
2
1
;i
2
1
2
1
Ex 30 à 36 p.304
IV. Représentation géométrique
1) Affixe d’un point
Si on se donne un repère orthonormé direct
)v,u,O(
du plan, on peut identifier l’ensemble ℂ
au plan comme suit :
A chaque point M de coordonnées (a ; b), on associe le nombre complexe zM = a +ib.
On dit alors que zM est l’affixe du point M
Réciproquement, à chaque nombre complexe z = a + ib, on associe un point M de coordonnées
(a ; b). On dit que M est l’image de zM.
On parle alors du plan complexe.

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Rque :
A chaque nombre réel a, on associe un point M de l’axe des abscisses, d’abscisse a.
A chaque nombre « imaginaire pur » ib, on associe un point M de l’axe des ordonnées,
d’ordonnée b.
Ex 11 p.303
2) Affixe d’un vecteur
A chaque nombre complexe z = a + ib, on associe un vecteur
w
de coordonnées (a ; b).
Pour tout vecteur
w
de coordonnées (a ; b), on associe le nombre complexe z = a + ib appelé
affixe du vecteur
w
.
Rque :
Pour tout vecteur
w
, il existe un unique point M dans le plan tel que
OM
=
w
et donc
MMM yixz 
étant l’affixe du point M,
MMM yixz 
est aussi l’affixe du vecteur
Notation :
MMM yixz 
l’affixe d’un point M.
www yixz 
l’affixe d’un vecteur
w
.
Propriétés :
twtw zzz 
wwk kzz
A
B
AB zzz 
Dem : …
A
Bzz 
est l’affixe du vecteur
AB
:.
En effet
....zz A
B
donc
A
Bzz 
est l’affixe du vecteur de coordonnées
A
B
A
B
yy
xx
, c'est à
dire du vecteur
AB
.
Egalité :
tw zztw 
Conséquence :
w
et
t
sont colinéaires équivaut à (
0zt
) ou (
0zt
et il existe un réel k
tel que
tw kzz
Exercice :
Soient A, B et C trois points distincts deux à deux, d’affixes respectives
C
B
Azetz,z
.
Montrer que A, B et C sont alignés équivaut à
A
B
A
C
zz
zz
ℝ.
Ex 19 p.303