Bases de l`électrocinétique (Ex)

PCSI 2 Bases de l’électrocinétique
2016 – 2017 1/4
BASES DE L’ELECTROCINETIQUE
I Alimentation stabilisée
La caractéristique d’une alimentation stabilisée de laboratoire (générateur continu), orienté en
convention générateur, est donnée sur la figure ci-contre.
1) Ce dipôle est-il actif ou passif ? Est-il linéaire ou non ?
2) Quelle(s) restriction(s) du domaine d’utilisation permet d’en faire un dipôle actif linéaire ?
3) Définir la tension à vide et l’intensité de court-circuit, et donner leurs valeurs.
4) Préciser les domaines de tension ou d’intensité dans lesquels le modèle de source de tension
idéale ou de source de courant idéale est utilisable.
5) Cette alimentation est connectée à un résistor de résistance R que l’expérimentateur peut faire
varier.
a) Quelles sont les situations que l’on peut rencontrer selon la valeur de R ?
b) Indiquer les coordonnées du point de fonctionnement pour R1 = 10 Ω et R2 = 20 Ω.
Réponse : I1 = 0,4 A et U1 = 4,0 V ; I2 = 0,3 A et U2 = 6,0 V.
II Caractéristique d’une pile
Lors de l’étude d’une pile, on a mesuré la tension u à ses bornes et l’intensité i du courant qu’elle débite :
u (V)
1,50
1,45
1,40
1,35
1,20
0,90
0,50
0,00
i (mA)
0,00
50,0
100
150
200
250
300
350
1) Décrire un mode opératoire pour les mesures.
2) Tracer la caractéristique u(i).
3) À faible intensité, la pile est modélisable par un générateur de Thévenin. Déterminer ses grandeurs caractéristiques.
4) Quelle est, expérimentalement, l’intensité maximale que peut débiter la pile pour conserver une caractéristique linéaire.
5) Déterminer le point de fonctionnement du circuit lorsqu’elle est branchée sur un résistor de résistance R1 = 20,0 Ω, puis R2 =
5,00 Ω.
Réponse : E = 1,50 V et r = 1,00 Ω ; i1 = 71,4 mA et u1 = 1,43 V ; i2 ≈ 220 mA et u2 ≈ 1,10 V.
III Résistance équivalente
On considère le dipôle AB ci-contre, dont on désire déterminer la
résistance équivalente, définie par
€
R=uAB
iAB
=u
i
.
1) En utilisant les lois des mailles et des nœuds, déterminer deux
relations indépendantes entre les grandeurs i1, i2 et i.
2) En déduire l’expression de Req en fonction de R uniquement.
Réponse :
€
Req =7
5R
.
IV Ponts diviseurs
Pour les circuits suivants, on donne E = 10 V, I0 = 10 mA, R1 = R2 = 1,0 kΩ, R3 = 3,0 kΩ et R4 = 4,0 kΩ.
Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques des grandeurs représentées.
I0 = 0,4 A
U0 = 6,0 V
u
i
0
u
i
R
R
2R
2R
i
i1
i2
u
R
U
0
=
6
V
A
B

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2016 – 2017 2/4
Réponse :
€
U2=R2
R
1+R2
E=5, 0V
et
€
U1=−R
1
R
1+R2
E=−5, 0V
;
€
U1=Req
Req +R2
E=4, 3V
et
€
U2=R2
Req +R2
E=5,7V
avec
€
Req =R1R3
R1+R3
;
€
I1=−R3
R
1+R3
I0=−7,5mA
et
€
U2=R2I0=10V
;
€
U2=Req
Req +R1
E=4, 7V
avec
€
Req =R2R3+R4
( )
R2+R3+R4
( )
et
€
U4=R4
R3+R4
U2=2, 7V
.
V Modélisation d’un gyrateur
Un gyrateur est un quadripôle dont une des propriétés est de présenter une résistance
d’entrée, définie par
€
Re=u1
i1
, inversement proportionnelle à la résistance RL
connectée entre ses bornes de sortie :
€
Re=Rg
2
RL
.
La constante Rg, dite résistance de gyration, est la caractéristique du gyrateur.
En régime linéaire basse fréquence, les équations d’un gyrateur sont : u1 = - Rg i2 et
u2 = Rg i1.
1) Proposer une modélisation du gyrateur avec deux sources de tension.
2) Un condensateur idéal de capacité C est connecté aux bornes de sortie du gyrateur. Quel élément le gyrateur simule-t-il entre ses
bornes d’entrée ? Calculer la caractéristique de cet élément en fonction de Rg = 10 kΩ et de C = 0,1 µF.
3) Une source de tension e(t) est maintenant connectée entre les bornes de sortie du gyrateur. A quel élément le gyrateur est-il
équivalent entre ses bornes d’entrée ? Calculer la caractéristique de cet élément en fonction de Rg = 10 kΩ et de e(t) = 10 cos ωt.
Réponse : bobine idéale d’inductance
€
L=Rg
2C
; générateur idéal de courant de c.e.m.
€
η (t)=e(t)
Rg
.
VI Calcul d’une intensité
On a pour le circuit représenté e = 10 V, R = 5,0 Ω, R1 = 15 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 15 Ω et
R4 = 9,0 Ω.
1) Calculer la résistance Req qui est équivalente à l’association de R
1 à R 4 et est
alimentée par le générateur de Thévenin (e, R).
En déduire la valeur numérique de l’intensité i débité par la source de tension.
2) Calculer l’intensité i1 traversant le conducteur ohmique de résistance R1.
Réponse : Req = 7,5 Ω ; i = 0,8 A ; i1 = 1,6.10-1 A.
R
R 2R
2R
i
i1
u
R
U
0
=
6
V
A
R2
R1
E
U1
U2
R2
E
U1
U2
R1
R3
R2
I0
I1
U2
R1
R3
R3
U4
R4
R1
U2
R2
U0
= 6
V
E
i1
R1
R
U0
= 6
V
e
R2
R4
R3
i
u2
u1
i1
i2
Rg

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2016 – 2017 3/4
VII
1) Déterminer la résistance équivalente au réseau ci-
contre vu des points A et B en fonction de R.
2) En déduire la valeur des intensités des courants qui
circulent dans toutes les branches en fonction de E et
R.
Réponse : R/2;
i1 = i2 = E/R; i3 = 9E/10R; i4 = - E/10R; i5 = E/20R;
i6 = E/20R.
VIII Générateurs
1. Générateur équivalent
Une source indépendante de tension, de f.é.m. e1, alimente un dipôle AB constitué de
deux résistors AC et CB, de résistances respectives R1 et R constantes, placés en série
(figure 1).
Les fils de jonction sont de résistance négligeable.
1.1 Exprimer, en fonction de e1, R1 et R, l'intensité i du courant qui circule dans le
circuit.
1.2 Le dipôle CB de ce circuit est équivalent à un générateur (électromoteur de
Thévenin) de f.é.m. eth et de résistance interne rth.
Exprimer, en fonction de e1, R1 et R la f.é.m. eth ;
Déterminer en fonction de R1 et R, la résistance interne rth.
1.3 Application numérique : e1 = 10 V ; R1 = 1,0.103 Ω ; R = 9,0.103 Ω.
Calculer l'intensité i, la f.é.m. eth et la résistance interne rth.
1.4 Une variation relative élémentaire (de1 / e1) de la f.é.m. e1 entraîne une variation relative (di / i) de l'intensité du courant.
Etablir la relation entre les variations relatives (di / i) et (de1 / e1).
2. Générateurs en opposition
On branche sur les bornes C et B du circuit, un dipôle constitué, en série, d'une
source indépendante de tension de f.é.m. e2 et d'un résistor de résistance R
2.
(figure 2).
2.1 Exprimer, en fonction de e1, e2, R1 R
2 et R l'intensité i' du courant qui
circule dans le résistor de résistance R.
2.2 La f.é.m. e2 et les résistances R1, R2 et R sont constantes. Une variation
relative élémentaire (de1 / e
1) de la f.é.m. e1 entraîne une variation relative
(di'/i') de l'intensité i' du courant qui circule dans le résistor de résistance R.
Etablir la relation entre les variations relatives (di'/i') et (de1/e1).
2.3 AN : e1 = e2 = 10 V ; R1 = R2 = 1,0.103 Ω ; R = 9,0.103 Ω.
2.3.1 Calculer l'intensité i'.
2.3.2 Pour une même variation relative (de1 / e1) de la f.é.m. dans les deux montages (figures 1 et 2) comparer numériquement
les variations (di / i) et (di' / i'). Conclusion ?
3. Application pratique
Le moteur d'un véhicule ne peut démarrer : la batterie d'accumulateurs est en mauvais état. A l'aide de câbles de jonction, on relie les
bornes de cette batterie à celle d'une batterie de même type, mais en bon état. Comment associer les différentes bornes "+" et "-" ?
Réponse :
€
i=e
1
R+R
1
;
€
rth =RR1
R+R1
;
€
eth =Re1
R+R1
;
€
di
i=de
1
e
1
;
€
i'=R2e
1+R 1e2
R R
1+R2
( )
+R
1R2
;
€
di'
i'=R2e
1
R2e
1+R1e2
de1
e1
=0, 5 de
1
e
1
.
16R
8R
4R
E
R
R
i1
i
B
A
i4
R
i3
i2
i6
i5
R/10
4R

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2016 – 2017 4/4
IX Loi des nœuds en terme de potentiel (théorème de Millman)
En partant de la loi des nœuds et de la loi d’Ohm, exprimer le potentiel au nœud D en fonction des
potentiels des nœuds A, B et C.
Réponse :
€
VD=
VA
R
1
+VB
R2
+VC
R3
1
R
1
+1
R2
+1
R3
.
X Energie des éclairs (résolution de problème)
Cette résolution de problème devra présenter de manière claire une démarche scientifique détaillée et basée, d’une part sur les
documents fournis, et d’autre part sur les connaissances du candidat. Toute tentative de réponse pertinente, même incomplète, sera
prise en compte.
Document n°1 : Panorama de la physique, Edition Belin, 2007
On est souvent étonné d’apprendre l’existence d’un champ électrique permanent dans l’atmosphère. Entre la haute atmosphère, vers 50
km, et la surface terrestre, il est de 300 kV.m-1. […] Quel est le générateur capable de maintenir 300 kV.m-1 entre la surface et
l’électrosphère malgré l’existence d’un courant de fuite ? Il a fallu attendre 1920 pour que C.T.T Wilson, prix Nobel de physique,
l’identifie. IL s’agit des nuages, très développés pendant un orage, les cumulonimbus, qui sont chargés positivement dans leur partie
haute et froide, et négativement dans leur partie basse et chaude. Ces charges électriques apparaissent en même temps que les chutes de
grêle, signe que leur formation est liée à ces précipitations. […] Lors du développement du nuage, la charge électrique de sa base induit
une forte différence de potentiel avec le sol. Dès que le champ électrique atteint quelques 300 kV.m-1, valeur inférieure au champ de
claquage de l’air (2 MV.m-1), une décharge apparaît.
Document n°2 : Atmosphère, océan et climat, Edition Belin, 2007
Description d’un cumulonimbus
- Hauteur basse : 400 m à 1 km
- Epaisseur : plusieurs km
- Etendue horizontale (ordre de grandeur moyen) : 25 km2
- Composition : liquide et glace
- Précipitations : forte pluie, parfois grêle
- Aspect : nuage dense à extension verticale considérable se développant à partir de cumulus congestus. Sa partie supérieure
s’étale souvent en forme d’enclume. C’est le nuage d’orage.
Document n°3 : Donnée issue de Météo-France
Nombre moyen d’impacts de foudre au sol par km2 et par an : en France intérieure, varie suivant les régions entre 1 et 2.
Document n°4 : La vie du rail – Hors série – Le TGV Nord Europe, 1993
Fiche technique du réseau TGV
- Vitesse maximale en service commercial : 300 km.h-1
- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous 25 kV : 8 800 kW
- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous 1,5 kV : 3 680 kW
- Puissance unitaire des moteurs de traction : 1 100 kW
- Nombre de moteurs de traction : 8
Document n°5 : Capacité d’un condensateur plan (annexe théorique)
La capacité C d’un condensateur plan est donnée par la relation , où S est la surfaces des armatures, e la distance séparant les
armatures et ε0 = 8,85.10-12 F.m-1.
Question :
Combien de temps pourrait-on faire avancer un TGV en récupérant durant un an toute l’énergie issue des éclairs frappant la ville de
Dijon d’une superficie d’environ 40 km2 ?
Réponse : quelques dizaines d’heures.