C HAPITRE 5 C OURS : LES ANGLES 1 Qu’est-ce qu’un angle ? Définition : Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine. Les deux demi-droites sont appelées côtés de l’angle, alors que leur origine commune est appelée sommet de l’angle. Illustration : x Ab Côtés de l’angle y α b B Ob Sommet de l’angle Cet angle peut être désigné par différentes écritures : Ï On peut l’appeler α (lettre de l’alphabet grec, qui se prononce "alpha", équivalent de notre "a"). ou encore BO A (il faut seulement que la lettre désignant le sommet de Ï On peut l’appeler AOB l’angle soit placée au milieu). Ï On peut également l’appeler xO y ou yOx. 2 Mesure d’un angle Définition : On peut mesurer l’"ouverture" d’un angle ; l’unité de mesure que l’on utilise au collège est le degré. L’instrument qui nous servira à mesurer des angles s’appelle un rapporteur. 90 100 1 10 12 0 90 8 0 0 0 1 13 70 110 0 50 6 0 0 12 5 0 0 3 1 70 80 0 14 15 0 30 20 20 160 0 170 180 10 180 170 1 60 0 10 15 30 0 0 Page 1/4 40 6ème 14 Voici un rapporteur, gradué en degrés ; ce rapporteur a une double graduation, qui va de 0 à 180 degrés. BAttention ! ! Cette double graduation est source de nombreuses erreurs... 40 60 Cours Angles Comment mesurer un angle à l’aide du rapporteur ? C 40 10 0 0 17 180 0 50 13 140 40 30 20 10 A 0 B AC = 60◦ 160 17 140 150 0 1 80 50 A B 130 40 0 0 180 10 30 0 80 70 0 1 20 180 170 160 150 10 60 16 30 20 130 120 110 100 9 0 90 12 B 0 10 80 0 5 70 70 1 1 60 40 01 60 11 20 15 0 30 C 90 100 110 120 80 130 70 14 90 80 70 60 0 0 0 0 1 50 6 10 4 1 0 0 12 50 B AC = 109◦ Pour déterminer la mesure en degrés de l’angle B AC : • On commence par placer le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle (ici le point A). • On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que l’un des côtés de l’angle passe par une des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure), et que l’autre côté de l’angle passe sous une autre graduation du rapporteur. • En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir du zéro pour arriver jusqu’au deuxième côté de l’angle. Comment tracer un angle de mesure donnée à l’aide d’un rapporteur ? 70 60 40 01 0 15 180 170 16 0 70 180 60 1 0 1 10 0 20 30 13 50 30 20 0 15 10 12 40 0 100 90 80 70 60 0 1 30 12 0 0 11 90 100 1 10 14 40 50 80 A 75◦ B A B Pour tracer un angle B AC mesurant 75◦ (en supposant que le segment [AB] est déjà tracé) : • On commence par placer le centre du rapporteur sur le point qui sera le sommet de l’angle (ici le point A). • Si besoin est, on prolonge le segment [AB] en la demi-droite [AB]. • On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que la demi-droite [AB] passe par une des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure). • En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir du zéro pour arriver jusqu’à la mesure demandée (ici 75◦ ), et faire une marque au crayon. • Oter le rapporteur et tracer le deuxième côté de l’angle. 6ème Page 2/4 Cours Angles 3 Différents types d’angles On peut classer les angles selon leur mesure α = B AC : α = 0◦ Angle nul 0◦ < α < 90◦ Angle aigu C A C bB b A b b α = 90◦ Angle droit 90◦ < α < 180◦ Angle obtus C b b B A b b α = 180◦ Angle plat C b B b A C b B b b A B b b Propriétés : Soient A, B et C trois points distincts deux à deux ; Ï Dire que "les droites (AB) et (AC ) sont perpendiculaires" revient à dire que "l’angle B AC est un angle droit". Ï Dire que "les points A, B et C sont alignés" revient à dire que "l’angle B AC est soit nul, soit plat". Définitions : Ï On dira de deux angles qu’ils sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun, et qu’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Ï On dira de deux angles qu’ils sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90◦ . Ï On dira de deux angles qu’ils sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180◦ . C b b D D b A b C B b b B AD et D AC sont adjacents et complémentaires. b B b A B AD et D AC sont adjacents et supplémentaires. 4 Bissectrice d’un angle Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l’angle, et qui partage l’angle en deux angles de même mesure. C se bis c AC Bd de e tric A B 6ème Page 3/4 Cours Angles Comment tracer la bissectrice d’un angle donné Avec un rapporteur : On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié. C 90 100 110 120 130 70 14 80 70 60 0 9 0 0 0 50 60 01 1 4 1 0 0 12 C 0 13 140 40 30 180 170 160 150 0 180 10 70 0 1 20 20 16 30 10 0 0 15 50 80 B B A A Avec un compas : On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux points I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon que les arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle B AC est la demi-droite [AD). C C D J B J B I I A A C D J B I A 6ème Page 4/4 Cours Angles