cours : les angles

C HAPITRE 5
C OURS : LES ANGLES
1 Qu’est-ce qu’un angle ?
Définition :
Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant la même origine.
Les deux demi-droites sont appelées côtés de l’angle, alors que leur origine commune est appelée
sommet de l’angle.
Illustration :
x
Ab
Côtés de l’angle
y
α
b
B
Ob
Sommet de l’angle
Cet angle peut être désigné par différentes écritures :
Ï On peut l’appeler α (lettre de l’alphabet grec, qui se prononce "alpha", équivalent de notre "a").
 ou encore BO
A (il faut seulement que la lettre désignant le sommet de
Ï On peut l’appeler AOB
l’angle soit placée au milieu).


Ï On peut également l’appeler xO
y ou yOx.
2 Mesure d’un angle
Définition :
On peut mesurer l’"ouverture" d’un angle ; l’unité de mesure que l’on utilise au collège est le degré.
L’instrument qui nous servira à mesurer des angles s’appelle un rapporteur.
90
100 1
10
12
0
90
8
0
0
0
1
13
70
110
0
50
6
0
0
12
5
0
0
3
1
70
80
0
14
15
0
30
20
20
160
0
170 180
10
180 170 1
60
0
10
15
30
0
0
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40
6ème
14
Voici un rapporteur, gradué en degrés ; ce rapporteur a une double graduation, qui va de 0 à 180
degrés. BAttention ! ! Cette double graduation est
source de nombreuses erreurs...
40
60
Cours Angles
Comment mesurer un angle à l’aide du rapporteur ?
C
40
10
0
0
17
180
0
50
13
140
40 30 20 10
A
0
B
AC = 60◦
160 17
140 150
0 1
80
50
A
B
130
40
0
0
180
10
30
0
80
70
0 1
20
180 170 160 150
10
60
16
30
20
130 120 110 100 9
0
90
12
B
0
10
80
0
5
70
70
1
1
60
40
01
60
11
20
15
0
30
C
90 100 110 120
80
130
70
14
90 80 70 60
0
0
0
0
1
50
6
10
4
1
0
0
12
50
B
AC = 109◦
Pour déterminer la mesure en degrés de l’angle B
AC :
• On commence par placer le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle (ici le point A).
• On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que l’un des côtés de l’angle
passe par une des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure), et que l’autre côté de
l’angle passe sous une autre graduation du rapporteur.
• En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir du zéro pour arriver jusqu’au deuxième côté de l’angle.
Comment tracer un angle de mesure donnée à l’aide d’un rapporteur ?
70
60
40
01
0 15
180 170 16
0
70 180
60 1
0 1
10 0
20
30
13
50
30
20
0
15
10
12
40
0
100 90 80 70
60
0
1
30
12
0
0 11
90 100 1
10
14
40
50
80
A
75◦
B
A
B
Pour tracer un angle B
AC mesurant 75◦ (en supposant que le segment [AB] est déjà tracé) :
• On commence par placer le centre du rapporteur sur le point qui sera le sommet de l’angle
(ici le point A).
• Si besoin est, on prolonge le segment [AB] en la demi-droite [AB].
• On fait pivoter le rapporteur autour de son centre de façon à ce que la demi-droite [AB]
passe par une des deux graduations "0" (intérieure ou extérieure).
• En faisant bien attention à ne pas se tromper de graduation, compter le nombre de graduations à partir du zéro pour arriver jusqu’à la mesure demandée (ici 75◦ ), et faire une marque
au crayon.
• Oter le rapporteur et tracer le deuxième côté de l’angle.
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Cours Angles
3 Différents types d’angles
On peut classer les angles selon leur mesure α = B
AC :
α = 0◦
Angle nul
0◦ < α < 90◦
Angle aigu
C
A
C bB
b
A
b
b
α = 90◦
Angle droit
90◦ < α < 180◦
Angle obtus
C
b
b
B
A
b
b
α = 180◦
Angle plat
C
b
B
b
A
C
b
B
b
b
A
B
b
b
Propriétés :
Soient A, B et C trois points distincts deux à deux ;
Ï Dire que "les droites (AB) et (AC ) sont perpendiculaires" revient à dire que "l’angle B
AC est un
angle droit".
Ï Dire que "les points A, B et C sont alignés" revient à dire que "l’angle B
AC est soit nul, soit plat".
Définitions :
Ï On dira de deux angles qu’ils sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun, et
qu’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
Ï On dira de deux angles qu’ils sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90◦ .
Ï On dira de deux angles qu’ils sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180◦ .
C
b
b
D
D
b
A
b
C
B
b
b

B
AD et D
AC sont adjacents et complémentaires.
b
B
b
A

B
AD et D
AC sont adjacents et supplémentaires.
4 Bissectrice d’un angle
Définition :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l’angle, et qui partage
l’angle en deux angles de même mesure.
C
se
bis
c
AC
Bd
de
e
tric
A
B
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Cours Angles
Comment tracer la bissectrice d’un angle donné
Avec un rapporteur :
On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle
moitié.
C
90 100 110 120
130
70
14
80 70 60
0
9
0
0
0
50
60
01
1
4
1
0
0
12
C
0
13
140
40
30
180 170 160 150
0
180
10
70
0 1
20
20
16
30
10
0
0
15
50
80
B
B
A
A
Avec un compas :
On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle
aux points I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de
même rayon que les arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle B
AC est
la demi-droite [AD).
C
C
D
J
B
J
B
I
I
A
A
C
D
J
B
I
A
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Cours Angles