Master 1ère année Physique quantique appliquée Interaction

Master 1ère année
Université Pierre et Marie Curie et Observatoire de Paris
Résumé des cours de
Physique quantique appliquée
Interaction milieux dilués et rayonnement
par Philippe Tourrenc et Marie-Christine Angonin
Année académique 2009/2010

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Table des matières
I Bases de la mécanique quantique 1
1 Le formalisme de Dirac 3
1.1 L’espace des états, E.............................. 3
1.2 Espace dual Ede E, produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Représentations ~p et ~r ............................. 4
1.4 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Opérateur linéaire de Edans E.................... 5
1.4.2 Opérateur linéaire de Edans E................... 6
1.4.3 Double interprétation d’un opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Bases continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 La relation de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Le contenu physique de la mécanique quantique 11
2.1 Théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Mesures compatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Valeur moyenne, écart quadratique moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Ensemble Complet d’Observables qui Commutent : ECOC . . . . . . . . . 13
2.5 Evolution d’un système physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Le moment cinétique 19
3.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Bases standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Le spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Le moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 L’expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II Les systèmes composites 27
4 Systèmes composites 29
4.1 Système composé de deux sous-systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1 Produit tensoriel de deux espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.2 Produits scalaires d’états composites . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Produit tensoriel de N espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4TABLE DES MATIÈRES
4.2.2 Opérateur linéaire agissant sur un état composite . . . . . . . . . . 30
4.3 Un exemple : la particule de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Sous-systèmes indiscernables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.2 Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Particules composites “ponctuelles”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 Composition de deux moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Le magnétisme atomique 41
5.1 Magnétisme classique : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 ”Electron sans spin” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.2 Approximation dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.3 E¤et Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.4 Moment magnétique orbital moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Introduction du spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Moments magnétiques d’origine nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 Rapport gyromagnétique et ordres de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.6 Diamagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.7 Paramagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.8 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Moments cinétiques et moments magnétiques 51
6.1 Rappel du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.1 Opérateur scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.2 Opérateur vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 Facteur de Landé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3.1 Expression du facteur de Landé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3.2 Composition de moments cinétiques et magnétiques dans l’atome . 53
III Systèmes atomiques 55
7 L’hydrogène et les alcalins, les molécules diatomiques 57
7.1 L’atome d’hydrogène : le modèle le plus simple . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.1 Séparation du mouvement du centre de masse . . . . . . . . . . . . 57
7.1.2 Spectre et états propres de l’hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2 Les alcalins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Les modèles en couches des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3.1 Electrons assimilés à des particules sans spin . . . . . . . . . . . . 64
7.3.2 Introduction du spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3.3 Classi…cation périodique des éléments . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4 Modèle en couche du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
IV Les perturbations 69
8 Les perturbations stationnaires 71
8.1 Perturbation d’un niveau non dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2 Perturbation d’un niveau dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3 Formules d’itération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

TABLE DES MATIÈRES 5
8.4 Quasi-dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.5 Perturbations multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Applications de la théorie des perturbations sur les systèmes atomiques 79
9.1 Corrections relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1.2 Couplage spin-orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.2 Interaction avec un champ électromagnétique : e¤et Zeeman et e¤et Paschen-
Back....................................... 82
9.3 Couplage hyper…n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10 Les perturbations dépendant du temps 85
10.1 Méthode générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 Détermination de 'n0t............................ 86
10.2.1 L’opérateur eH0............................ 86
10.2.2 Changement de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.2.3 Développement en puissances de g.................. 86
10.2.4 Ordre zéro : détermination de j 0i.................. 87
10.2.5 Ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.3 Exemple d’une perturbation périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.4 Branchement d’une perturbation stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.4.1 Branchement adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.4.2 Branchement soudain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.5 Evolution vers un continuum d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11 La résonance magnétique : aspects macroscopiques, classiques 99
11.0.1 Théorème de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.0.2 Évolution d’un moment magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.0.3 La route vers l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.1 Résonance magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.2 Évolution de l’aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.3 Régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.4 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.5 Principe des mesures de ; T1et T2...................... 106
11.5.1 Mesure de ............................... 106
11.5.2 Mesure des temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.6 Principe de l’imagerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12 La résonance magnétique : aspects quantiques 111
12.1 Particule de spin 1/2 : indépendance du spin et de la position . . . . . . . 111
12.1.1 Spin et moment cinétique associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.1.2 Spin et position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.1.3 Indépendance de la position et du spin . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.1.4 Introduction d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.2 Résonance magnétique : évolution dans l’espace du spin . . . . . . . . . . 114
12.3 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.4 Facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.5 Bilan des variations de population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.6 Mesure de par la méthode de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118