états KMS - Université d`Orléans

D´efinition des ´etats KMS Exemple des alg`ebres de Cuntz Mesures quasi-invariantes et cocycles Mesures quasi-invariantes et ´etats KMS Examples
Plan
Etats KMS et mesures quasi-invariantes
Jean Renault
Universit´e d’Orl´eans
3 Octobre 2008
1D´efinition des ´etats KMS
2Exemple des alg`ebres de Cuntz
3Mesures quasi-invariantes et cocycles
4Mesures quasi-invariantes et ´etats KMS
5Exemples
Etats KMS — Orl´eans 2008 J. Renault

D´efinition des ´etats KMS Exemple des alg`ebres de Cuntz Mesures quasi-invariantes et cocycles Mesures quasi-invariantes et ´etats KMS Examples
M´ecanique statistique quantique ´el´ementaire
L’alg`ebre des observables est Mn(C). La dynamique est donn´ee par
le groupe `a un param`etre
σt(A) = eitH Ae−itH
o`u H∈Ms.a.
n(C) est l’hamiltonien. On d´efinit l’entropie de l’´etat
ϕ=Tr(.Φ) (o`u Φ est la matrice de densit´e) par
S(ϕ) = −Tr(Φ log Φ) et son ´energie libre par
F(ϕ) = S(ϕ)−βϕ(H).
L’´etat d’´equilibre du syt`eme est l’´etat qui, `a βet Hdonn´es,
maximise l’´energie libre. Il est donn´e par la condition de Gibbs.
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Etats de Gibbs
Proposition
Soient H ∈Ms.a.
n(C)et β∈R.
F(ϕ)≤Tr(e−βH)
on a l’´egalit´e ssi ϕ=Tr(.e−βH)
Tr(e−βH).
Ce r´esultat justifie la d´efinition suivante.
Definition
L’´etat ϕ=Tr(.e−βH)
Tr(e−βH)est appel´e l’´etat de Gibbs (pour
l’hamiltonien Het `a temp´erature inverse β).
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Comment ´etendre cette d´efinition au cas d’une C∗-alg`ebre
quelconque? La formule ci-dessus n’a pas n´ecessairement un sens.
Par exemple, si on remplace l’alg`ebre Mn(C) par l’alg`ebre K(H)
des op´erateurs compacts sur un espace de Hilbert Hde dimension
infinie, la formule n’aura un sens que si e−βHest un op´erateur `a
trace, une condition restrictive qui n’est pas toujours v´erifi´ee. La
m´ethode la plus utilis´ee est un passage `a la limite
thermodynamique: on d´efinit d’abord les ´etats de Gibbs locaux,
c’est-`a-dire pour un syst`eme fini et on ´etudie leur limite quand le
syst`eme devient infini. On va d´ecrire une autre voie.
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Etats KMS
Kubo, Martin et Schwinger ont d´ecouvert une relation directe
entre l’´etat de Gibbs et le groupe `a un param`etre σt.
Definition
Soit Aune C∗-alg`ebre, σtun groupe `a un param`etre fortement
continu d’automorphismes de Aet β∈R. On dit qu’un ´etat ϕde
Aest KMSβpour σsi pour tous a,b∈A, il existe une fonction F
continue born´ee sur la bande 0 ≤Imz ≤βet analytique sur
0<Imz < β telle que:
F(t) = ϕ(aσt(b)) pour tout t∈R;
F(t+iβ) = ϕ(σt(b)a) pour tout t∈R.
On dit qu’un ´etat ϕest tracial si ϕ(ab) = ϕ(ba) pour tous
a,b∈A. Les ´etats KMS g´en´eralisent donc les ´etats traciaux
(qu’on obtient pour β= 0 ou pour σtrivial).
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