Équations différentielles Exercices d`approche EXERCICE no

Tale ST I
Équations différentielles
Fiche n˚12
Exercices d’approche
EXERCICE no 1
On considère la fonction définie sur R par f (x) = cos(2x) + sin(2x).
1. Combien de fois peut-on dériver cette fonction ?
2. Déterminer f ′ (x) puis f ′′ (x).
3. Calculer f ′′ (x) + 4f (x). On dit que f vérifie l’équation différentielle y ′′ + 4y = 0.
EXERCICE no 2
On cherche des fonctions solutions de l’équation (E) : y ′ = 2y, c’est à dire telles que, pour tout réel x,
f ′ (x) = 2f (x).
1. L’équation (E) a-telle pour solution une fonction constante ?
2. L’équation (E) a-telle pour solution une fonction polynôme de degré n non nul ?
3. Démontrer que (E) a une solution de la forme f (x) = eax où a est une constante réelle à déterminer.
4. L’équation (E) a-t-elle de nouvelles solutions de la forme f (x) = eax +C où C est une constante réelle ?
5. L’équation (E) a-t-elle de nouvelles solutions de la forme f (x) = k eax où k est une constante réelle ?
EXERCICE no 3
Résoudre les équations différentielles suivantes, où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et
dérivable deux fois de dérivées succesives y ′ et y ′′ sur R :
a) y ′ = x − 2
b) y ′ = sin(3x)
c) y ′′ = x2 + x + 1
d) y ′′ = 2e3x .
Équations différentielles du premier ordre
EXERCICE no 4
Résoudre les équations différentielles suivantes, où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et
dérivable de dérivée y ′ sur R :
y
a) y ′ − 2y = 0
b) y ′ + y = 0
c) y ′ = −
d) y + 3y ′ = 0.
4
EXERCICE no 5
Résoudre l’équation différentielle (E) puis déterminer la solution particulière vérifiant la condition initiale.
1
1
a) 2y ′ + y = 0 et f (ln 4) = 1
b) y ′ − y = 0 et f ′ (0) =
c) y ′ = −5y et f (1) = e10 .
3
3
EXERCICE no 6 (Bac)
On considère l’équation différentielle E : y ′ + y = −x − 1 où y désigne une fonction de la variable x définie
et dérivable sur l’ensemble des réels R.
1. (a) Résoudre l’équation différentielle y ′ + y = 0.
1
en x = 1.
e
2. Déterminer le nombre réel a tel que la fonction u définie sur R par u(x) = e−x + ax soit solution de
l’équation différentielle (E).
(b) Déterminer la solution h de cette équation différentielle y ′ + y = 0 prenant la valeur
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Équations différentielles
Fiche n˚12
EXERCICE no 7 (Bac)
1. Résoudre l’équation différentielle (E0 ) : y ′ = 2y où l’inconnue y est une fonction de la variable réeelle
x, définie et dérivable sur R et y ′ sa fonction dérivée.
2. Soit l’équation différentielle (E) : y ′ − 2y = ex où l’inconnue y est une fonction de la variable réelle x,
définie et dérivable sur R et y ′ sa fonction dérivée.
(a) Soit a un nombre réel et u la fonction définie pour tout réel x par u(x) = aex .
Déterminer a pour que la fonction u soit une solution de l’équation différentielle (E).
(b) Soit b un nombre réel. On admet que la fonction w définie pour tout réel x par w(x) = be2x −ex est
une solution de l’équation différentielle (E). Déterminer b pour que la fonction w vérifie w(0) = 0.
EXERCICE no 8 (Bac)
On note (E) l’équation différentielle : y ′ + y = 3e−x + x + 1 où y est une fonction inconnue de la variable
réelle x, dérivable sur l’ensemble R des nombres réels.
1. Résoudre l’équation différentielle : y ′ + y = 0.
2. Vérifier que la fonction u définie sur R par : u(x) = 3xe−x + x, est une solution de (E).
3. On admet que toute solution f de l’équation (E) est de la forme f (x) = u(x) + Ce−x où C est une
constante réelle et u la fonction définie à la question 2. Déterminer la solution f de l’équation (E) telle
que : f (0) = 2.
EXERCICE no 9 (Bac)
On considère la fonction m définie sur [ 0 ; +∞ [, qui à t associe m(t), où m(t) est la masse de sel, en
grammes, que contient une solution salée à l’instant t, t en minutes.
On admet que la fonction m est une solution de l’équation différentielle (E) : 5y ′ + y = 0 et que l’on a en
plus la condition initiale m(0) = 300.
1. (a) Résoudre l’équation différentielle (E).
t
(b) Montrer que, pour tout t ≥ 0 on a m(t) = 300 e− 5
2. Déterminer le réel t0 tel que m(t0 ) = 150.
3. On admet qu’il est impossible de détecter la présence du sel à l’instant t si et seulement si m(t) ≤ 10−2 .
A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?
EXERCICE no 10 (Bac)
On considère les équations différentielles (E1 ) : y ′ − 2y = 0 et (E2 ) : y ′ = y.
1. (a) Résoudre les équations différentielles (E1 ) et (E2 ).
(b) Déterminer la solution particulière f1 de (E1 ) telle que f1′ (0) = 4.
(c) Déterminer la solution particulière f2 de (E2 ) telle que f2 (0) = 1.
2. Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = 2e2x − ex .
(a) Étudier les limites de la fonction g en −∞ et en +∞. Pour étudier la limite de g en +∞, on
pourra écrire, pour tout nombre réel x, g(x) = ex (2ex − 1).
(b) Déduire de la question précédente l’existence d’une asymptote dont on précisera une équation.
(c) Déterminer la dérivée g′ de g.
(d) Étudier le signe de g′ . En déduire le tableau de variation de g.
3. Préciser les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes du repère.
4. Construire la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal.
5. Déterminer, en unités d’aire, l’aire comprise entre la courbe de g, l’axe Ox et les droites d’équations
respectives x = 0 et x = 1.
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Équations différentielles
Fiche n˚12
Équations différentielles du second ordre
EXERCICE no 11
Résoudre les équations différentielles suivantes dans laquelle l’inconnue y est une fonction de la variable
réelle x définie et deux fois dérivable sur R et y ′′ la dérivée seconde de y.
a) y ′′ + 16y = 0
b) 9y ′′ + y = 0
c) 4y ′′ = −25y
d) 169y + 4y ′′ = 0.
EXERCICE no 12 (Bac)
On considère l’équation différentielle (E) suivante : π 2 y + 9y ′′ = 0 où y est une fonction de la variable réelle
x et y ′′ sa dérivée seconde.
π
π
x + 4 sin
x .
1. Soit g la fonction nuérique définie pour tout nombre réel x par g(x) = 2 cos
3
3
Vérifier que la fonction g est une solution de l’équation différentielle (E).
2. (a) Donner la forme générale des solutions de l’équation différentielle (E).
π
(b) Déterminer la solution particulière f qui vérifie : f (0) = 1 et f ′ (0) = .
3
√
π
π
x−
.
(c) Montrer que, pour tout nombre réel x, f (x) peut s’écrire sous la forme f (x) = 2 cos
3
4
(d) Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 3 ] l’équation f (x) = 1.
EXERCICE no 13 (Bac)
1. Résoudre l’équation différentielle : y ′′ + 16y = 0, y désignant une fonction numérique d’une variable
réelle définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels.
√
1
2 3
′
2. Déterminer la solution f de cette équation différentielle vérifiant : f (0) =
et f (0) = −
.
10
5
1
π
3. Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a : f (x) = cos 4x +
.
5
3
1
4. (a) Résoudre, dans l’ensemble R des nombres réels, l’équation f (x) = .
5
1
(b) Déterminer les solutions de l’équation f (x) = qui appartiennent à l’intervalle [ 0 ; 2π [.
5
Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.
EXERCICE no 14 (Bac)
1. On considère l’équation différentielle (E0 ) : y ′′ + 4y = 0 où y désigne une fonction de la variable réelle
t, définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels, et y ′′ sa dérivée seconde.
(a) Résoudre l’équation (E0 ).
(b) Déterminer la solution particulière f de (E0 ) vérifiant : f (0) =
fonction dérivée de la fonction f .
√
3 et f ′ (0) = 2 où f ′ désigne la
π
(c) Montrer que pour tout réel t, f (t) peut s’écrire sous la forme : f (t) = 2 cos 2t −
.
6
π
(d) Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle 0 ;
.
2
2. On considère maintenant l’équation différentielle (E1 ) : y ′′ + 4y = 3 sin t où y désigne une fonction de
la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R, et y ′′ sa dérivée seconde.
(a) Montrer que si une fonction g est solution de l’équation (E0 ), alors la fonction h définie sur R
par : h(t) = g(t) + sin t est solution de l’équation (E1 ).
(b) Donner une solution particulière, ne s’annulant pas pour t = 0, de l’équation (E1 ).
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Équations différentielles
Fiche n˚12
EXERCICE no 15 (Bac)
On considère l’équation différentielle (E) : y ′′ + 25y = 0 où y désigne une fonction de la variable réelle x
définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels, et y ′′ sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre l’équation (E).
2. Soit f la fonction définie et dérivable sur R, dont on note f ′ la fonction dérivée, vérifiant les trois
conditions suivantes :
– f est solution de l’équation différentielle (E) ;
π
– la courbe représentative de f dans un repère du plan passe par le point de coordonnées
; −2 ;
6
– La tangente à la courbe au point d’abscisse
0 a pour coefficient directeur −5.
√
Montrer que, pour tout réel x, f (x) = 3 cos 5x − sin 5x.
π
3. Vérifier que, pour tout réel x, f (x) = 2 cos 5x +
.
6
π
4. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle sur 0 ;
.
6
EXERCICE no 16 (Bac)
Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance R (exprimée
en ohms), un condensateur de capacité C (exprimée en farads) et un interrupteur. On ferme l’interrupteur
à l’instant t = 0 et le générateur délivre alors une tension constante E (exprimée en volts). On procède ainsi
à la charge du condensateur.
La charge q en coulombs du condensateur est une fonction dérivable du temps t (exprimé en secondes) ;
l’intensité i du courant (exprimée en ampères) est alors telle que i(t) = q ′ (t).
E
1
y=
dans laquelle y est une fonction de la variable réelle
On considère l’équation différentielle : y ′ +
RC
R
t, définie et dérivable sur R.
Dans tout ce qui suit, on prend R = 1000, C = 10−4 et E = 10.
1. Écrire l’équation différentielle ci-dessus en remplaçant R, C et E par leurs valeurs respectives.
2. On admet que la fonction q est définie sur [ 0 ; +∞ [ par q(t) = −10−3 e−10t + 10−3 .
(a) Déterminer la fonction dérivée q ′ de la fonction q, puis vérifier que q est solution sur [ 0 ; +∞ [
de l’équation différentielle établie à la question 1.
(b) Déterminer q(0), la limite de q en +∞ et le sens de variations de q sur [ 0 ; +∞ [.
3. On admet que l’intensité du courant i qui parcourt le circuit à l’instant t est donnée par
i(t) = 10−2 e−10t .
Déterminer la valeur exacte de l’instant t0 à partir duquel l’intensité i(t) est inférieure ou égale à 10−3
ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde.
4. On sait enfin que l’énergie W dissipée dans le conducteur
ohmique, exprimée en joules, entre les
Z
0,23
instants t = 0 et t = 0, 23, est donnée par : W = 100
i2 (t) dt.
0
(a) Préciser une primitive de la fonction h définie sur [ 0 ; +∞ [ par h(t) = e−20t .
(b) Calculer alors W et en donner la valeur arrondie à 10−3 près.
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