Équations différentielles Exercices d`approche EXERCICE no

Tale ST I Équations différentielles Fiche n˚12
Exercices d’approche
EXERCICE no1
On considère la fonction définie sur Rpar f(x) = cos(2x) + sin(2x).
1. Combien de fois peut-on dériver cette fonction ?
2. Déterminer f′(x) puis f′′(x).
3. Calculer f′′(x) + 4f(x). On dit que fvérifie l’équation différentielle y′′ + 4y= 0.
EXERCICE no2
On cherche des fonctions solutions de l’équation (E) : y′= 2y, c’est à dire telles que, pour tout réel x,
f′(x) = 2f(x).
1. L’équation (E) a-telle pour solution une fonction constante ?
2. L’équation (E) a-telle pour solution une fonction polynôme de degré nnon nul ?
3. Démontrer que (E) a une solution de la forme f(x) = eax où aest une constante réelle à déterminer.
4. L’équation (E) a-t-elle de nouvelles solutions de la forme f(x) = eax +Coù Cest une constante réelle ?
5. L’équation (E) a-t-elle de nouvelles solutions de la forme f(x) = k eax où kest une constante réelle ?
EXERCICE no3
Résoudre les équations différentielles suivantes, où ydésigne une fonction de la variable réelle x, définie et
dérivable deux fois de dérivées succesives y′et y′′ sur R:
a) y′=x−2 b) y′= sin(3x) c) y′′ =x2+x+ 1 d) y′′ = 2e3x.
Équations différentielles du premier ordre
EXERCICE no4
Résoudre les équations différentielles suivantes, où ydésigne une fonction de la variable réelle x, définie et
dérivable de dérivée y′sur R:
a) y′−2y= 0 b) y′+y= 0 c) y′=−y
4d) y+ 3y′= 0.
EXERCICE no5
Résoudre l’équation différentielle (E) puis déterminer la solution particulière vérifiant la condition initiale.
a) 2y′+y= 0 et f(ln 4) = 1 b) y′−1
3y= 0 et f′(0) = 1 3c) y′=−5yet f(1) = e10.
EXERCICE no6 (Bac)
On considère l’équation différentielle E : y′+y=−x−1 où ydésigne une fonction de la variable xdéfinie
et dérivable sur l’ensemble des réels R.
1. (a) Résoudre l’équation différentielle y′+y= 0.
(b) Déterminer la solution hde cette équation différentielle y′+y= 0 prenant la valeur 1
een x= 1.
2. Déterminer le nombre réel atel que la fonction udéfinie sur Rpar u(x) = e−x+ax soit solution de
l’équation différentielle (E).
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Tale ST I Équations différentielles Fiche n˚12
EXERCICE no7 (Bac)
1. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y′= 2yoù l’inconnue yest une fonction de la variable réeelle
x, définie et dérivable sur Ret y′sa fonction dérivée.
2. Soit l’équation différentielle (E) : y′−2y= exoù l’inconnue yest une fonction de la variable réelle x,
définie et dérivable sur Ret y′sa fonction dérivée.
(a) Soit aun nombre réel et ula fonction définie pour tout réel xpar u(x) = aex.
Déterminer apour que la fonction usoit une solution de l’équation différentielle (E).
(b) Soit bun nombre réel. On admet que la fonction wdéfinie pour tout réel xpar w(x) = be2x−exest
une solution de l’équation différentielle (E). Déterminer bpour que la fonction wvérifie w(0) = 0.
EXERCICE no8 (Bac)
On note (E) l’équation différentielle : y′+y= 3e−x+x+ 1 où yest une fonction inconnue de la variable
réelle x, dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels.
1. Résoudre l’équation différentielle : y′+y= 0.
2. Vérifier que la fonction udéfinie sur Rpar : u(x) = 3xe−x+x, est une solution de (E).
3. On admet que toute solution fde l’équation (E) est de la forme f(x) = u(x) + Ce−xoù Cest une
constante réelle et ula fonction définie à la question 2. Déterminer la solution fde l’équation (E) telle
que : f(0) = 2.
EXERCICE no9 (Bac)
On considère la fonction mdéfinie sur [ 0 ; +∞[, qui à tassocie m(t), où m(t) est la masse de sel, en
grammes, que contient une solution salée à l’instant t,ten minutes.
On admet que la fonction mest une solution de l’équation différentielle (E) : 5y′+y= 0 et que l’on a en
plus la condition initiale m(0) = 300.
1. (a) Résoudre l’équation différentielle (E).
(b) Montrer que, pour tout t≥0 on a m(t) = 300 e−t
5
2. Déterminer le réel t0tel que m(t0) = 150.
3. On admet qu’il est impossible de détecter la présence du sel à l’instant tsi et seulement si m(t)≤10−2.
A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?
EXERCICE no10 (Bac)
On considère les équations différentielles (E1) : y′−2y= 0 et (E2) : y′=y.
1. (a) Résoudre les équations différentielles (E1) et (E2).
(b) Déterminer la solution particulière f1de (E1) telle que f′
1(0) = 4.
(c) Déterminer la solution particulière f2de (E2) telle que f2(0) = 1.
2. Soit gla fonction définie sur Rpar : g(x) = 2e2x−ex.
(a) Étudier les limites de la fonction gen −∞ et en +∞. Pour étudier la limite de gen +∞, on
pourra écrire, pour tout nombre réel x,g(x) = ex(2ex−1).
(b) Déduire de la question précédente l’existence d’une asymptote dont on précisera une équation.
(c) Déterminer la dérivée g′de g.
(d) Étudier le signe de g′. En déduire le tableau de variation de g.
3. Préciser les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les axes du repère.
4. Construire la courbe représentative de la fonction gdans un repère orthogonal.
5. Déterminer, en unités d’aire, l’aire comprise entre la courbe de g, l’axe Ox et les droites d’équations
respectives x= 0 et x= 1.
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Équations différentielles du second ordre
EXERCICE no11
Résoudre les équations différentielles suivantes dans laquelle l’inconnue yest une fonction de la variable
réelle xdéfinie et deux fois dérivable sur Ret y′′ la dérivée seconde de y.
a) y′′ + 16y= 0 b) 9y′′ +y= 0 c) 4y′′ =−25yd) 169y+ 4y′′ = 0.
EXERCICE no12 (Bac)
On considère l’équation différentielle (E) suivante : π2y+ 9y′′ = 0 où yest une fonction de la variable réelle
xet y′′ sa dérivée seconde.
1. Soit gla fonction nuérique définie pour tout nombre réel xpar g(x) = 2 cos π
3x+ 4 sin π 3x.
Vérifier que la fonction gest une solution de l’équation différentielle (E).
2. (a) Donner la forme générale des solutions de l’équation différentielle (E).
(b) Déterminer la solution particulière fqui vérifie : f(0) = 1 et f′(0) = π
3.
(c) Montrer que, pour tout nombre réel x,f(x) peut s’écrire sous la forme f(x) = √2 cos π
3x−π 4.
(d) Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 3 ] l’équation f(x) = 1.
EXERCICE no13 (Bac)
1. Résoudre l’équation différentielle : y′′ + 16y= 0, ydésignant une fonction numérique d’une variable
réelle définie et deux fois dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels.
2. Déterminer la solution fde cette équation différentielle vérifiant : f(0) = 1
10 et f′(0) = −2√3 5.
3. Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a : f(x) = 1
5cos 4x+π 3.
4. (a) Résoudre, dans l’ensemble Rdes nombres réels, l’équation f(x) = 1
5.
(b) Déterminer les solutions de l’équation f(x) = 1
5qui appartiennent à l’intervalle [ 0 ; 2π[.
Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.
EXERCICE no14 (Bac)
1. On considère l’équation différentielle (E0) : y′′ + 4y= 0 où ydésigne une fonction de la variable réelle
t, définie et deux fois dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels, et y′′ sa dérivée seconde.
(a) Résoudre l’équation (E0).
(b) Déterminer la solution particulière fde (E0) vérifiant : f(0) = √3 et f′(0) = 2 où f′désigne la
fonction dérivée de la fonction f.
(c) Montrer que pour tout réel t,f(t) peut s’écrire sous la forme : f(t) = 2 cos 2t−π
6.
(d) Calculer la valeur moyenne de fsur l’intervalle 0 ; π
2.
2. On considère maintenant l’équation différentielle (E1) : y′′ + 4y= 3 sin toù ydésigne une fonction de
la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R, et y′′ sa dérivée seconde.
(a) Montrer que si une fonction gest solution de l’équation (E0), alors la fonction hdéfinie sur R
par : h(t) = g(t) + sin test solution de l’équation (E1).
(b) Donner une solution particulière, ne s’annulant pas pour t= 0, de l’équation (E1).
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Tale ST I Équations différentielles Fiche n˚12
EXERCICE no15 (Bac)
On considère l’équation différentielle (E) : y′′ + 25y= 0 où ydésigne une fonction de la variable réelle x
définie et deux fois dérivable sur l’ensemble Rdes nombres réels, et y′′ sa fonction dérivée seconde.
1. Résoudre l’équation (E).
2. Soit fla fonction définie et dérivable sur R, dont on note f′la fonction dérivée, vérifiant les trois
conditions suivantes :
–fest solution de l’équation différentielle (E) ;
– la courbe représentative de fdans un repère du plan passe par le point de coordonnées π
6;−2;
– La tangente à la courbe au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur −5.
Montrer que, pour tout réel x,f(x) = √3 cos 5x−sin 5x.
3. Vérifier que, pour tout réel x,f(x) = 2 cos 5x+π
6.
4. Calculer la valeur moyenne de fsur l’intervalle sur 0 ; π
6.
EXERCICE no16 (Bac)
Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance R(exprimée
en ohms), un condensateur de capacité C(exprimée en farads) et un interrupteur. On ferme l’interrupteur
à l’instant t= 0 et le générateur délivre alors une tension constante E(exprimée en volts). On procède ainsi
à la charge du condensateur.
La charge qen coulombs du condensateur est une fonction dérivable du temps t(exprimé en secondes) ;
l’intensité idu courant (exprimée en ampères) est alors telle que i(t) = q′(t).
On considère l’équation différentielle : y′+1
RC y=E Rdans laquelle yest une fonction de la variable réelle
t, définie et dérivable sur R.
Dans tout ce qui suit, on prend R= 1000, C= 10−4et E= 10.
1. Écrire l’équation différentielle ci-dessus en remplaçant R, C et Epar leurs valeurs respectives.
2. On admet que la fonction qest définie sur [ 0 ; +∞[ par q(t) = −10−3e−10t+ 10−3.
(a) Déterminer la fonction dérivée q′de la fonction q, puis vérifier que qest solution sur [ 0 ; +∞[
de l’équation différentielle établie à la question 1.
(b) Déterminer q(0), la limite de qen +∞et le sens de variations de qsur [ 0 ; +∞[.
3. On admet que l’intensité du courant iqui parcourt le circuit à l’instant test donnée par
i(t) = 10−2e−10t.
Déterminer la valeur exacte de l’instant t0à partir duquel l’intensité i(t) est inférieure ou égale à 10−3
ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde.
4. On sait enfin que l’énergie Wdissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les
instants t= 0 et t= 0,23, est donnée par : W= 100 Z0,23
0
i2(t) dt.
(a) Préciser une primitive de la fonction hdéfinie sur [ 0 ; +∞[ par h(t) = e−20t.
(b) Calculer alors Wet en donner la valeur arrondie à 10−3près.
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