Seconde math foru’
Inégalités et Encadrements
1. Inégalités et addition
(a) En ajoutant (ou en retranchant) un même nombre réel aux deux membres d’une inégalité,
on obtient une inégalité de même sens.
aba+xb+x
abaxbx
Exemple 1 :15
donc 1+25+2(soit 37)
et 1252(soit 13)
Exemple 2 :4≤ −2
donc 4+2≤ −2+2(soit 20)
et 42≤ −22(soit 6≤ −4)
(b) En ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens, on obtient une inégalité de
même sens.
Si
ab
alors a+cb+d
cd
Exemple :
2a3
+5b≤−2
25a+b32
3a+b≤ −1
2. Inégalités et multiplication
(a) i. Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un nombre réel
strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.
Si
ab
alors ax bx
x>0
Si
ab
alors a
xb
x
x>0
Exemple 1 :15
donc 1×25×2(soit 210)
1
Seconde math foru’
Exemple 2 :4≤ −2
donc (4)×2(2)×2(soit 8≤ −4)
et 4
22
2(soit 2≤ −1)
ii. Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un nombre réel
strictement négatif, on obtient une inégalité sens contraire.
Si
ab
alors ax bx
x<0
Si
ab
alors a
xb
x
x<0
Exemple 1 :15
donc 1×(2)5×(2)(soit 2≥ −10)
Exemple 2 :4≤ −2
donc (4)×(3)(2)×(3)(soit 12 6)
et 4
32
3(soit 4
32
3)
iii. Deux réels et leurs oppposés sont rangés dans un ordre contraire.
Si abalors a≥ −b
Exemple :15
1×(1)5×(1)(soit 1≥ −5)
(b) En multipliant membre à membre deux inégalités de même sens et ne portant que sur des
réels positifs ou nuls, on obtient une inégalité de même sens.
Si
0ab
alors 0ac bd
0cd
Exemple :
2a3
×1b5
2×1ab3×5
2ab 15
3. Rangement des inverses
(a) Deux réels strictements positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.
Si 0<abalors 1
a1
b
2
Seconde math foru’
(b) Deux réels strictements négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.
Si ab<0alors 1
a1
b
Exemple 1 :24
donc 1
21
4
Exemple 2 :5≤ −1
donc 1
51
1(soit 1
5≥ −1)
4. Rangement des carrés
(a) Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
Si 0abalors a2b2
(b) Deux réels négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés.
Si ab0alors a2b2
Exemple :4≤ −20
donc (4)2(2)2(soit 16 4)
5. Rangement des racines carrées, des puissances
(a) Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrés.
Si 0abalors ab
(b) Pour nN*, deux réels positifs aet bsont rangés dans le même ordre que anet bn.
Si n entier, n1;0abalors anbn
(c) Pour nN*,et pour apositif ou nul
Si 0a1; alors aa2a3a4...
Si 1a; alors aa2a3a4...
6. Application : techniques d’encadrement
Soient aet bdeux réels tels que :
1<a<2et 5<b<3
3
Seconde math foru’
Donner un encadrement des nombres suivants :
a+b;ab;3b2a;ab ;a
b;b
a;a1
b2
Note : Pour ce type d’exercice, il est avantageux d’utiliser le symbol <toujours dans le même
sens. Ainsi nous préférerons écrire 2<a<1plutôt que 1>a>2
*a+b
addition membre à membre
1<a<2
+5<b<3
15<a+b<23
4<a+b<1
*ab
ab=a+ (b)
1<a<2
+3<b<5
1+3<a+(b)<2+5
4<ab<7
*3b2a
(5)×3<3b<(3)×3
2×(2)<2a<1×(2)
15 <3b<9
+4<2a<2
154<3b2a<92
19 <3b2a<11
*ab
La multiplication membre à membre n’étant autorisée que pour les nombres strictements
positifs, il faut au préalable encadrer -b.
3<b<5
×1<a<2
3×1<ba <5×2
3<ba <10
10 <ab <3
*a
b
a
b=a×1
b
Comme précedemment, il faut s’assurer que les deux facteurs soient strictement positifs.
1
3<1
b<1
5
4
Seconde math foru’
1
5<1
b<1
3
×1<a<2
1
5×1<a×1
b<1
3×2
1
5<a
b<2
3
2
3<a
b<1
5
*b
a
3<b<5
×1
2<1
a<1
3×1
2<(b)×1
a<5×1
3
2<b
a<5
5<b
a<3
2
*a1
b2
11<a1<21
0<a1<1
0<a1<1
5<b<3
9<b2<25
1
25 <1
b2<1
9
×0<a1<1
1
25 ×0<1
b2×a1<1
9×1
0<a1
b2<1
9
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