Chapitre 8 – Dérivée et variations d`une fonction Table des matières

Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
II Cours
II-1
1
Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres . . . . . . . . . . . . II-1
2
Sens de variation et signe de la dérivée, extrémum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
I
Exercices
Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres
1
Compléter les tableaux de variations ci-dessous. Sur les lignes en pointillés, indiquer les extrémums 1
s’il y en a.
x
x
f (x) = −3x + 7
f (x) =
√
x
...................................................................................................
x
x
f (x) =
1
x
f (x) = |x|
...................................................................................................
x
x
√
f (x) = 3 x
f (x) = |x| − 5
...................................................................................................
x
f (x) =
4
+∞
1
3x − 7
x
f (x) = x2 − 6x + 19
...................................................................................................
.................................................
x
.................................................
f (x) = −5(x − 8)2 + 6
2
Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, dresser le tableau de variation de f sur IR, en précisant
les extrémums éventuels.
√
2
(1) f (x) = −
(2) f (x) = x+3
(3) f (x) = −2x2 −20x−50
(4) f (x) = 9x2 −15x+18
x
1. Un extrémum est un maximum ou un minimum.
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
3
La fonction f est définie par f (x) =
√
3x + 9.
1. Déterminer son ensemble de définition en résolvant une inéquation.
2. (a) Justifier le sens de variation de la fonction u définie par u(x) = 3x + 9.
(b) Justifier le sens de variation de la fonction f .
3. Dresser le tableau de variations de f .
4
La fonction f est définie par f (x) =
1
.
−2x + 4
1. Déterminer son ensemble de définition en résolvant une équation.
2. (a) Justifier le sens de variation de la fonction u définie par u(x) = 3x + 9.
(b) Justifier le sens de variation de la fonction f .
3. Dresser le tableau de variations de f .
Sens de variation et signe de la dérivée
5
La fonction f et définie sur [−1, 5 ; 5, 1] par f (x) = x3 − 5x2 + 9
1. (a) À l’aide de la calculatrice, dresser le tableau de variation de f sur [−1, 5 ; 5, 1].
(b) Préciser les extrémums, arrondir au centième si nécessaire.
2. L’étude des variations de la fonction f est plus complexe que dans les exercices précédents et la
calculatrice ne donne que des valeurs approchées des extrémums et des valeurs de x où ils sont
atteints. Voici donc une nouvelle méthode permettant d’étudier plus précisément les variations
d’une fonction.
(a) Calculer f ′ la dérivée de f .
(b) Factoriser f ′ (x).
(c) Dresser le tableau de signes de f ′ (x) selon les valeurs de x.
(d) Sur un intervalle où f ′ est positive, qu’est ce cela indique pour les tangentes à la courbe
sur cet intervalle ? que peut-on en déduire pour le sens de variation de f sur cet intervalle ?
(e) Même question lorsque f ′ est négative sur un intervalle.
(f) Quelles sont les valeurs de x telle que f ′ (x) = 0 ?
(g) Calculer les images de ces deux nombres par f (valeurs exactes).
(h) Compléter le tableau ci-dessous.
(i) Que nous indiquent les solutions de l’équation f ′ (x) = 0 pour les variations de f ?
x
Signe de f ′ (x)
Variations de f
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
10
8
6
4
2
−2
−1
−2
1
2
3
4
5
−4
−6
−8
−10
6
La fonction f et définie sur [−6 ; 5] par f (x) = −x3 − 2x2 + 15x + 5.
1. Calculer la dérivée f ′ .
2. Étudier le signe de f ′ (x). Détailler les calculs et dresser le tableau de signes.
3. Compléter le tableau précédent par le tableau des variations de f . Indiquer les images de −6
et de 5 et les valeurs des extremums arrondies au centième.
4. Faire tracer la représentation graphique de la fonction f sur l’écran de la calculatrice en réglant
les valeurs de la fenêtre d’après le tableau de variations.
5. Le tableau de variations précédent indique un maximum local.
(a) Calculer sa valeur exacte.
(b) En quelle valeur de x est-il atteint ?
6. Mêmes consignes (a) et (b) pour le minimum local, sans détailler les calculs.
7
La fonction f et définie sur [−3, 8 ; 2, 7] par f (x) = 7x3 + 12x2 − 45x − 20.
1. Calculer la dérivée f ′ .
2. Étudier le signe de f ′ (x). Détailler les calculs et dresser le tableau de signes.
3. Compléter le tableau précédent par le tableau des variations de f . Indiquer les images de −3, 8
et de 2,7 et les valeurs des extremums arrondies au centième.
4. Faire tracer la représentation graphique de la fonction f sur l’écran de la calculatrice, en réglant
les valeurs de la fenêtre d’après le tableau de variations.
5. Le tableau de variations précédent indique un maximum local.
(a) Calculer sa valeur exacte.
(b) En quelle valeur de x est-il atteint ?
6. Mêmes consignes (a) et (b) pour le minimum local, sans détailler les calculs.
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I EXERCICES – page I-4
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
8
La fonction f est définie sur [0 ; 5] par f (x) =
3x + 4
.
x+1
La fonction f est dérivable de dérivée f ′ .
1. Calculer la dérivée.
2. Dresser un tableau contenant
– le signe de f ′ (x) en fonction de x ;
– les variations de la fonction f en indiquant les valeurs remarquables.
3. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre
d’après le tableau de variations, et de telle façon que l’on voie les deux axes du repère.
9
La fonction f est définie sur [−0, 8 ; 5] par f (x) =
x2 + x + 1
.
x+1
La fonction f est dérivable de dérivée f ′ .
1. Calculer la dérivée.
2. Dresser un tableau contenant
– le signe de f ′ (x) en fonction de x ;
– les variations de la fonction f en indiquant les valeurs remarquables.
3. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre
d’après le tableau de variations et de telle façon que l’on voie les deux axes du repère.
4. Sans justifier, quel est le minimum de f sur [−0, 8 ; 5] et en quelle valeur de x est-il atteint ?
5. (a) Calculer la valeur exacte du maximum de f sur [−0, 8 ; 5].
(b) En quelle valeur de x est-il atteint ?
10
La fonction f est définie sur [−1 ; 2, 9] par f (x) =
La fonction f est dérivable de dérivée f ′ .
2x2 − 6x + 1
.
x−3
1. Calculer la dérivée.
2. Étudier le signe de la dérivée. Détailler les calculs et donner les valeurs exactes.
3. Dresser un tableau de variation complet (signe de la dérivée, variations de la fonction, valeurs
remarquables au centième près).
4. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre
d’après le tableau de variations.
5. (a) Donner la valeur du maximum de f sur [−1 ; 2, 9] arrondie au centième.
(b) En quelle valeur de x est-il atteint ? Donner la valeur exacte.
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I EXERCICES – page I-5
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
11
√
La fonction f est définie sur [0 ; 1, 5] par f (x) = (x − 1) x.
La fonction f est dérivable de dérivée f ′ .
√ 2
ax + b
√
(rappel : pour tout réel x positif, x = x).
2 x
2. Dresser un tableau de variation complet (signe de la dérivée, variations de la fonction, valeurs
remarquables au centième près).
1. Calculer f ′ (x) sous la forme
3. Tracer la représentation graphique de f à la calculatrice, en réglant les valeurs de la fenêtre
d’après le tableau de variations et de telle façon que l’on voie les deux axes du repère.
4. (a) Donner la valeur exacte du minimum de f sur [0 ; 1, 5].
(b) En quelle valeur de x est-il atteint ? Donner la valeur exacte.
Problèmes d’optimisation
12
Partie A
392
sur l’intervalle ]0 ; +∞[. Cette fonction est dérivable
La fonction f est définie par : f (x) = 2x +
x
′
de dérivée f .
1. Calculer la dérivée.
2. Montrer que la dérivée peut s’écrire sous la forme f ′ (x) =
2x2 − 392
:
x2
3. En déduire le tableau de variation de la fonction f .
Partie B
Un agriculteur décide de réaliser un grand potager de forme rectangulaire dans son jardin le long de
son mur. Ce potager devra avoir une aire de 392 m2 . Où doit-on placer les piquets A et B pour que
la longueur de la clôture soit minimale ?
La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus.
mur
potager
A
b
y
b
x
B
On appelle x la distance séparant chaque piquet du mur et y la distance entre les 2 piquets A et B
(x et y sont donc positifs).
1. Sachant que l’aire du poulailler est 392 m2 , exprimer y en fonction de x.
392
2. Démontrer que la longueur du grillage en fonction de x est : 2x +
x
3. En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser
cette longueur.
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I EXERCICES – page I-6
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
Exercices du manuel Déclic no 79 p 123, 81 p 123, 103 p 128
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II COURS – page II-1
Chapitre 8 – Dérivée et variations d’une fonction
II
1
Cours
Variations des fonctions usuelles, affines, du 2nd degré et autres
L’objectif de ce chapitre est d’utliser la dérivée d’une fonction dérivable pour étudier ses variations.
On peut cependant étudier le sens de variation de certaines fonctions sans utiliser la dérivée.
Fonctions dont on sait étudier les variations sans utiliser la dérivée
– fonctions carré, inverse, valeur absolue, racine,
– fonctions affines et polynômes du second degré,
√ 1
– fonctions de la forme u + k, λu, u, , où u est une fonction carré, inverse, valeur absolue, racine,
u
ou affine.
Exemples : exercices sur fiche no 1 à 4.
2
Sens de variation et signe de la dérivée, extrémum
Propriété – Sens de variation et signe de la dérivée
• Une fonction f dérivable sur un intervalle est croissante sur cet intervalle
si et seulement si
sa dérivée f ′ est positive cet intervalle.
• Une fonction f dérivable sur un intervalle est décroissante sur cet intervalle
si et seulement si
sa dérivée f ′ est négative cet intervalle.
• Une fonction f dérivable sur un intervalle est constante sur cet intervalle
si et seulement si
sa dérivée f ′ est nulle sur cet intervalle.
Définitions – Extrémum local
• f (a) est un maximum local de f signifie qu’il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f (a)
soit le maximum de f sur I.
• f (a) est un minimum local de f signifie qu’il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f (a)
soit le minimum de f sur I.
• f (a) est un extremum local de f signifie que f (a) est un maximum ou un minimum local de f
Propriété – Dérivée et extrémum local
f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a est un nombre de cet intervalle.
Si f (a) est un extrémum local de f , alors f ′ (a) = 0.
f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a est un nombre de cet intervalle.
Si f ′ s’annule en a en changeant de signe, alors f (a) est un extrémum local de f .
3
Problèmes d’optimisation
Un problème d’optimisation a pour but de trouver une solution pour qu’une quantité soit maximale
(un bénéfice, une durée, un volume, etc.) ou minimale (un coût par exemple).
On peut donc résoudre certains problème d’optimisation en faisant intervenir une fonction et en
utilisant la propriété Dérivée et extrémum local ci-dessus.
Exemples : exercice sur fiche no 12, les exercices photocopiés sur fiche du manuel Déclic no 79 p
123, 81 p 123, 103 p 128, ou encore les exercices du manuel Hyperbole de 1re S no 34 p 99, 46 p 101.
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