Notes de cours et exercices MAT-265, volume 1

École de technologie supérieure
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MAT265
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
NOTES DE COURS ET EXERCICES
VOLUME 1
PAR GILLES PICARD
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RÉDIGÉ EN AOÛT 2016
RÉVISÉ LE 2DÉCEMBRE 2016.

Table des matières
Avant-propos v
1 Introduction aux équations différentielles 1
1.1 Origines et définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Solutions et courbes solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Méthodes numériques, champ de pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Existence et unicité d’une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Les équations différentielles d’ordre 1 43
2.1 Forme générale, forme séparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 La loi de refroidissement de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Équations linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 La désintégration (décroissance) radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Équations différentielles exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Substitutions diverses - changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.1 L’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2 L’équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Applications des équations d’ordre 1 85
3.1 Mécanique : mouvement rectiligne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.1 Le circuit RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.2 Le circuit RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 Autres applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
3.3.1 Problèmes de mélanges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.2 Modèles de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4 Équations linéaires d’ordre 2 et plus 119
4.1 Forme générale de l’équation différentielle linéaire d’ordre n................. 119
4.2 Méthode générale de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4 Solution homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.1 Racines réelles distinctes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.2 Racines réelles doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4.3 Racines complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4.4 Résumé : solution homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.5 Solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.5.1 Méthode des coefficients indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5.2 Méthode de variation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Annexes 167
A.1 Formulaire mathématique : algèbre et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2 Règles et formules de dérivation et d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.3 Combinaison linéaire de sinus et cosinus de même fréquence . . . . . . . . . . . . . . . 173
Réponses 177
Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Bibliographie 193
Index 195

Avant-propos
Ce recueil de notes de cours adopte une approche moderne dans l’enseignement des équations
différentielles pour des étudiants en génie. Depuis 1999, à l’École de technologie supérieure, tous
les étudiants doivent se procurer une calculatrice symbolique de la compagnie Texas Instruments.
Depuis l’automne 2011, on travaille avec le modèle TI-Nspire CX CAS. De longues discussions et
des débats ont suivi cette décision, plusieurs ne sachant pas trop quelle part on devait réserver à
l’utilisation de ces outils dans l’enseignement des mathématiques. La décision fut prise d’en faire une
utilisation soutenue et de voir, dans nos cours de mathématiques, à montrer aux étudiants comment
« bien s’en servir ». Les objectifs de formation touchant la calculatrice TI-Nspire qui apparaissent dans
nos plans de cours en font foi.
Le cours d’équation différentielles se prête bien à une utilisation d’outils technologiques. On peut
alors explorer davantage de problèmes, voir des situations plus complexes, bref aborder des exemples
et des exercices qui seraient bien ardus pour un étudiant traditionnel de ce type de cours, qui n’aurait
accès qu’à une calculatrice graphique classique. De plus, comme on peut s’en douter, l’étudiant
suivant ce cours voudra plus tard utiliser la technologie disponible pour traiter plus rapidement
certains problèmes mathématiques. On comprend que nos étudiants utiliseront leur calculatrice
symbolique pour leurs calculs de dérivées et d’intégrales, pour la résolution d’équations ou de
systèmes d’équations, pour des manipulations ou simplifications algébriques et pour bien d’autres
choses... Cela ne nous empêchera pas de montrer plusieurs techniques de résolution d’équations
différentielles, de détailler les procédures à suivre par exemple. Mais si on doit évaluer une intégrale,
lorsqu’elle est clairement exprimée, on donnera seulement le résultat obtenu avec la calculatrice
et non la résolution manuelle comme on le voit dans un cours de calcul intégral ou dans un texte
classique sur les équations différentielles. Il faut comprendre qu’en prenant cette décision, on peut
considérer un éventail plus large de problèmes (et non seulement ceux pour lesquels la solution est
calculable, avec des nombres qui se traitent facilement). C’est le point de vue adopté avec ce texte. Le
document est conçu pour être étudié avec l’aide d’un calculateur symbolique à portée de main. De
plus, plusieurs exemples et figures viendront appuyer cette approche. Certains exercices pourraient
s’avérer très difficiles, voir impossibles à résoudre sans ces outils.
Le texte que vous avez entre les mains est le fruit d’une longue expérience dans l’enseignement
des équations différentielles à l’ÉTS. Malgré que nous utilisions depuis de nombreuses années des
notes de cours que les étudiants appréciaient, le besoin de rafraîchir le matériel existant se faisait
sentir depuis quelques années. Nous avions développé des documents supplémentaires touchant
l’utilisation de la calculatrice symbolique dans l’enseignement des équations différentielles, il était
plus que temps d’unifier le tout dans un nouveau document. Nous voulions un texte renouvelé où
l’on ajusterait l’enseignement des équations différentielles aux nouvelles réalités du XXIesiècle. La
v