Fiche de cours

Chapitre 12 Terminale S
Probabilités continues
et lois à densité
Ce que dit le programme :
CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
1ère partie
Notion de loi à densité
à partir d’exemples
Loi à densité sur
un intervalle.
Les exemples étudiés s’appuient sur une expérience aléatoire
et un univers associé Ω, muni d’une probabilité.
On définit alors une variable aléatoire X, fonction de Ωdans
R, qui associe à chaque issue un nombre réel d’un intervalle I
de R. On admet que X satisfait aux conditions qui permettent
de définir la probabilité de l’événement {X ∈J} comme aire du
domaine : {M(x, y) ; x ∈J et 0 ≤y ≤f (x)}
où f désigne la fonction de densité de la loi et J un intervalle
inclus dans I.
Toute théorie générale des lois à densité et des intégrales sur
un intervalle non borné est exclue.
1ère partie
Loi uniforme sur [ a , b ] .
Espérance d’une variable
aléatoire suivant une loi
uniforme.
 Connaître la fonction de densité de la
loi uniforme sur [a, b].
L’instruction « nombre aléatoire » d’un logiciel ou d’une
calculatrice permet d’introduire la loi uniforme sur [0,1].
La notion d’espérance d’une variable aléatoire à densité sur
[a;b] est introduite à cette occasion par :
∫a
bt f (t)dt .
On note que cette définition constitue un prolongement dans le
cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
(AP) Méthode de Monte-Carlo.
1ère partie
Lois exponentielles.
Espérance d’une variable
aléatoire suivant une loi
exponentielle.
• Calculer une probabilité dans le cadre
d’une loi exponentielle.
� Démontrer que l’espérance d’une
variable aléatoire suivant une loi
exponentielle de paramètre λ est
1
λ
.
On démontre qu’une variable aléatoire T suivant une loi
exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans
vieillissement : pour tous réels t et h positifs,
P(T⩾t)(T⩾t+h)=P(T⩾h)
L’espérance est définie comme la limite quand x tend vers +∞
de
∫0
xt f (t)dt
où f est la fonction de densité de la loi
exponentielle considérée.
Cette partie du programme se prête particulièrement à l’étude
de situations concrètes, par exemple sur la radioactivité ou la
durée de fonctionnement d’un système non soumis à un
phénomène d’usure.
Loi normale centrée réduite
N (0,1).
Théorème de Moivre Laplace
(admis).
• Connaître la fonction de densité de la loi
normale N (0,1) et sa représentation
graphique.
� Démontrer que pour α ]∈0,1[, il existe un
unique réel positif uα tel que :
P(− uα⩽X⩽uα)=1− α
lorsque X suit la loi normale N (0,1).
• Connaître les valeurs approchées :
u0,05≈1,96
et
u0,01≈2,58
.
Pour introduire la loi normale N (0,1), on s’appuie sur
l’observation des représentations graphiques de la loi de la
variable aléatoire
Zn=Xn−np
√
np(1−p)
; où Xn suit la loi
binomiale B (n, p) et cela pour de grandes valeurs de n et une
valeur de p fixée entre 0 et 1. Le théorème de Moivre Laplace
assure que pour tous réels a et b, P( Zn [∈a,b]) tend vers
∫a
b1
√
2πe
−x2
2dx
lorsque n tend vers + ∞.
L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi N (0,1) est
définie par
lim
x→ −∞ ∫x
0tf (t)dt+lim
y→+∞ ∫0
ytf (t)dt
où f désigne
la densité de cette loi. On peut établir qu’elle vaut 0. On admet
que la variance, définie par E((X − E(X ))2 ), vaut 1.
Loi normale N ( μ , σ 2 )
d’espérance μet d’écart-type σ.
 Utiliser une calculatrice ou un tableur
pour obtenir une probabilité dans le
cadre d’une loi normale N (μ,σ2 ).
 Connaître une valeur approchée de la
probabilité des événements suivants :
{ X [ ∈ μ −σ , + ]}μ σ ,
{ X [ ∈ μ − 2 σ, + μ2 ]} σet
{ X [ ∈ μ − 3 σ, + μ3 ]}σ,
lorsque X suit la loi normale N (μ,σ2 ).
Une variable aléatoire X suit la loi N (μ,σ2 ) si
X−μ
σ
suit
la loi normale N (0,1). On fait percevoir l’information
apportée par la valeur de l’écart-type.
[SI et SPC] Mesures physiques sur un système réel en essai.
La connaissance d’une expression algébrique de la fonction de
densité de la loi N (μ,σ 2 ) n’est pas un attendu du programme.
On illustre ces nouvelles notions par des exemples issus des
autres disciplines.
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I. Variable aléatoire continue
1.1) Définition et exemples
Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et Ω l'univers associé (non
nécessairement fini), muni d'une probabilité.
Définition 1.
On appelle variable aléatoire continue, toute fonction X de Ω dans
ℝ,
qui peut
prendre comme valeurs tous les nombres réels d’un intervalle I de
ℝ.
Exemples :
1°) La variable aléatoire X égale à la durée de vie (âge au décès) d'une personne
dans une ville donnée ou dans un pays donné, est une v.a. continue.
2°) Le poids à la naissance d'un bébé, exprimé en kg, , est une v.a. continue.
3°) La variable aléatoire X égale à la durée de fonctionnement d'une ampoule
électrique exprimée en heures, est une v.a. continue.
4°) La variable aléatoire X égale à la durée de communication téléphonique,
exprimée en heures, d'un jeune de 16 à 25 ans, est une v.a. continue.
5°) L'instruction ALEA() sur un tableur ou RAND# ou nbrAleat() sur une
calculatrice, donnent un nombre au hasard compris entre 0 et 1. Ces
instructions définissent une v.a. continue X prenant ses valeurs dans [0;1].
Toutes ces valeurs "peuvent" être prises.
1.2) Fonction de densité de probabilité sur un intervalle
Définition 2.
On appelle fonction de densité de probabilité ou densité de probabilité sur un
intervalle I, toute fonction f continue, positive sur I et dont l'aire totale du domaine
délimité par la courbe Cf et l'axe des abscisses est égale à 1.
Autrement dit : f est une densité de probabilité sur l'intervalle [a; b] lorsque :
1°) f est continue sur I (sauf éventuellement en un nombre fini de points de I);
2°) f est positive sur I ; c'est-à-dire pour tout
x∈I:f(x)⩾0
;
3°) et
∫If(x)dx=1
.
Calcul de l'intégrale sur I : La condition 3 se traduit dans différentes situations par :
–si I = [a; b] :
∫If(x)dx=∫a
bf(x)dx=1
–si
I= [ a ;+∞ [
: l'intégrale se calcule en deux temps : pour tout
x⩾a
;
on calcule d'abord
∫a
xf(t)dt
; puis on fait tendre x vers
+∞
:
∫If(x)dx=lim
x→+∞ ∫a
xf(t)dt=1
–si
I=ℝ= ] −∞;+∞ [
, on découpe I en deux intervalles
] −∞ ;0 ]
et
[ 0;+∞ [
et on fait la somme des aires sur ces deux intervalles en procédant
comme ci-dessus :
∫If(x)dx=lim
x→−∞ ∫x
0f(t)dt+lim
y→+∞ ∫0
yf(t)dt=1
.
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Exemples :
1°) Soit f la fonction définie sur [0;1] par
f(x)=2x.
Montrer que f définit bien une fonction de
densité de probabilité sur [0;1].
2°) Soit g la fonction définie sur [0;2] par
g(x)=k x 2
. Déterminer k pour que f définisse une
fonction de densité de probabilité sur [0;2].
3°) Soit h la fonction définie sur
[ 0;+∞ [
par
h(x)=k e−2x
. Déterminer k pour que f définisse
une fonction de densité de probabilité sur
[ 0;+∞ [
.
--------
1°) La fonction f est bien continue sur [0;1] comme fonction polynôme. f est positive sur [0;1] car
pour tout
x∈[0;1]
:
x⩾0
. De plus, une primitive de f sur [0;1] est la fonction F définie par :
F(x)=x2
. Donc :
∫0
1f(x)dx=[F(x)]0
1=F(1)−F(0)=12−02=1.
CQFD.
-------
2°) La fonction g est bien continue sur [0;2] comme fonction polynôme. g est positive sur [0;2] si et
seulement si k > 0. De plus, une primitive de g sur [0;2] est la fonction G définie par :
F(x)=kx3
3
. Donc :
∫0
2g(x)dx =[G(x)]0
2=G(2)−G(0)=k23
3−k×0=8 3k.
Par conséquent :
∫0
2g(x)dx =1
(ssi)
8
3k=1
(ssi)
k=3
8.
Donc
g(x)= 3
8x2
CQFD.
--------
3°) La fonction h est bien continue sur
[ 0;+∞ [
comme produit de fonctions continues. La
fonction h est positive sur
[ 0;+∞ [
si et seulement si k > 0, car pour tout
x∈ℝ e−2x>0.
De plus, une primitive de h sur
[ 0;+∞ [
est la fonction H définie par :
H(x)=−k
2e−2x
.
Donc, pour tout
x∈ℝ
:
∫0
xH(t)dt=[H(t)]0
x=H(x)− H(0)=−k
2e−2x−(−k 2e0)=k 2
( 1−e−2x ) .
Maintenant, on fait tendre x vers l'infini. On a :
lim
x→+∞ e−2x=0.
Donc
lim
x→+∞ (1−e−2x)=1
.
Donc
lim
x→+∞ ∫0
kh(t)dt=k
2.
Par conséquent :
k
2=1
(ssi)
k=2.
Donc
h(x)=2e−2x
CQFD.
1.3) Loi de probabilité à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et Ω l'univers associé, muni d'une probabilité.
Définition 3.
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I muni d'une
fonction de densité f.
On définit la loi de probabilité de densité f de X, en associant à tout intervalle J
inclus dans I, la probabilité de l'événement " X ∈J ", égale à l'aire du domaine
D = {M(x;y) tels que : x ∈J et 0 ≤y ≤f (x)}, c'es-à-dire l'aire du domaine délimité
par la courbe de f et l'axe des abscisses, lorsque x parcourt J. Donc, si J = [c;d] :
P(X∈[c ; d ])=∫c
df(x)dx.
ou encore :
P(c⩽X⩽d)=∫c
df(x)dx.
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P(a⩽X⩽b)=1
et
P(c⩽X⩽d)=∫c
df(x)dx
Propriétés immédiates.
Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I muni d'une
fonction de densité f. Alors
(P1) Probabilité d'un point : Pour tout réel
c∈[a ;b]:
P(X=c)=0.
(P2) Les bornes n'ont pas d'importance. Pour tous nombres réels
c , d ∈I
:
P(c⩽X⩽d)=P(c⩽X<d)=P(c<X⩽d)=P(c<X<d)
(P3) : Événement contraire. Pour tout nombre réel
c∈I:
P(X>c)=1−P(X⩽c)
Démonstration.
(P1) Pour tout réel
c∈[a ;b]:
P(X=c)=P(X∈ { c } )=P(c⩽X⩽c)=∫c
cf(x)dx=0.
(P2)
[c ;d ]= [ c ; d [ ∪ { d }
. Ces deux événements étant incompatibles, on a :
P(X∈[c;d ]) = P(X∈[c;d [) + P(X∈{d }) = P(X∈[c;d [) + 0 = P(X∈[c;d [).
(P3) L'événement
(X>c)
est l'événement contraire de
(X⩽c)
.
Donc, par définition des probabilités de deux événements contraires, nous avons :
P(X>c)=1−P(X⩽c)
CQFD.
Remarques :
Les propriétés des probabilités dans le cas discret, s'étendent naturellement au cas
continu. Soient A et B deux événements. Alors :
1°)
P(∅)=0
; et en plus, dans le cas continu, P({c}) = P(X = c) = 0.
2°)
P(Ω)=1
; ici
P(X∈I)=1.
3°)
P(A∪B)= P(A)+P(B)– P (A∩B)
4°)
P(A∪B)=P(A)+P(B)
; si A et B sont incompatibles.
5°) P(
A
) = 1 – P(A) ; où
A
désigne l'événement contraire de A.
6°) Si
P(B)≠0
, alors la probabilité conditionnelle de "A sachant que B est
réalisé" est donnée par la formule :
PB(A)= P(A∩B)
P(B)
.
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Exemples :
Soit X la variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle [0; 1], muni de la
fonction densité f définie par :
f(x)=3x2
.
a) Déterminer P(X = 0,5)
b) Calculer
P(X⩽0,5)
.
c) En déduire
P(X>0,5).
d) Calculer
P(0,3<X⩽0,5)
.
e) Calculer
P(0,2⩽X<0,5)(0,3⩽X<0,9).
Corrigé
Tout d'abord, pour les différents calculs, je détermine une primitive F de la fonction f.
f(x)=3x2
, donc la fonction F définie par
F(x)=x3
est une primitive de f sur [0,1].
[Je n'ai pas besoin de la constante pour le calcul de ces intégrales, puisqu'elle disparaît en faisant la
soustraction F(b) – F(a)].
a) P ( X = 0,5) =
P(0,5⩽X⩽0,5)=∫0,5
0,5 f(x)dx=0.
b)
P(X⩽0,5)=P(0⩽X⩽0,5)=∫0
0,5 f(x)dx =∫0 0,5 3x2dx=F(0,5)−F(0)=(0,5)3−03=0,125
c) L'événement "X > 0,5" est l'événement contraire de "
X⩽0,5
" .
Donc P (X > 0,5) =
1−P(X⩽0,5)
= 1 – 0,125 = 0,875.
d)
P(0,3⩽X⩽0,5)=∫0,3
0,5 f(x)dx=∫0,3 0,5 3x2dx
P(0,3⩽X⩽0,5)=F(0,5)−F(0,3)=(0,5)3−(0,3)3=0,125−0,027=0,098
e) Par définition d'une probabilité conditionnelle :
P(0,2⩽X<0,5)(0,3⩽X<0,9)=PX∈[0,2;0,5](X∈[0,3 ;0,9 ])= P(X∈[0,2 ;0,5]∩[0,3 ;0,9])
P(X∈[0,2 ;0,5])
Donc
P(0,2⩽X<0,5)(0,3⩽X<0,9)= P(X∈[0,3 ;0,5])
P(X∈[0,2 ;0,5])=∫0,3
0,5 f(x)dx
∫0,2
0,5 f(x)dx
=
F(0,5)−F(0,3)
F(0,5)−F(0,2)=(0,5)3−(0,3)3
(0,5)3−(0,2)3=0,098
0,117 ≃0,838
CQFD.
1.
1.4) Espérance d'une v.a. à densité
On considère une expérience aléatoire et Ω l'univers associé, muni d'une probabilité.
Définition 3.
Soit X une variable aléatoire continue de densité de probabilité f sur l'intervalle I.
Alors, l'espérance de X sur I est définie par :
E(X)=∫It f (t)dt
Remarques : i) Le calcul de l'intégrale se fait comme dans le cas d'une fonction de
densité comme suit :
•Si I = [a ; b] :
E(X)=∫a
bt f (t)dt
;
•Si
I= [ a ;+∞ [
:
E(X)= lim
x→+∞ ∫a
xt f (t)dt
.
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