Probabilité : lois à densité

1
Séquence 8 – MA02
Probabilité:
lois à densité
Séquence 8
Dans cette séquence, on introduit une situa-
tion nouvelle en probabilité : l’univers Ω
associé à une expérience aléatoire est formé
d’une infinité d’éléments.
Sommaire
1. Prérequis
2. Lois de probabilité à densité sur un intervalle
3. Lois uniformes
4. Lois exponentielles
5. Synthèse de la séquence
© Cned - Académie en ligne

2
Séquence 8 – MA02
Plus précisément, on va étudier des variables aléatoires X , fonctions de Ω
dans , les valeurs prises par la variable aléatoire X formant un intervalle I
de .
L’expérience aléatoire consiste à prendre un point M sur un demi-cercle.
L’univers Ω est alors formé par l’infinité des points du demi-cercle.
On considère la variable aléatoire
X qui, à un point M du demi-cercle, associe la
mesure en degrés de l’angle AOM .
Les valeurs prises par la variable aléatoire
X forment l’intervalle 0 180;
[]
et la
notation ()045≤≤ X désigne l’ensemble des points de l’arc AC
.
M
C
AO
45°
B
Il est donc nécessaire d’introduire de nouveaux outils dans le cours de probabilité.
On étudie deux exemples importants de lois suivies par des variables aléatoires:
les lois uniformes et les lois exponentielles. Le troisième exemple au programme,
les lois normales, sera traité dans une autre séquence avec ses conséquences en
statistiques.
Tous les événements étudiés dans cette séquence seront décrits par l’intermé-
diaire de variables aléatoires et d’intervalles.
Dans d’autres documents vous pouvez trouver d’autres écritures sans variable
aléatoire, par exemple
Pcd ;
[]
()
( c et d étant deux nombres réels). Dans ce cas,
l’univers est lui-même un intervalle I contenant les nombres c et d et l’intervalleI
est muni directement d’une loi de probabilité. Même dans ce cas, nous utilise-
rons ici une variable aléatoire X pour désigner le résultat obtenu par l’expérience
aléatoire. On a ainsi:
PcdPXcdPcXd ;;
[]
()
=∈
[]
()
=≤≤
()
et nous n’utiliserons pas la première écriture.
왘 Exemple
© Cned - Académie en ligne

3
Séquence 8 – MA02
1Prérequis
Statistiques
Une série statistique porte sur un caractère (taille, poids, sport pratiqué…).
Le caractère est qualitatif (sport pratiqué) ou quantitatif s’il peut être associé à
un nombre (taille, poids…).
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif discret (du latin
dis-
cretus : séparé) quand les valeurs prises par le caractère sont des nombres isolés
(par exemple le nombre de frères et sœurs). Dans ce cas, la série statistique est
représentée par un diagramme en bâtons.
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on
connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes de la série appar-
tenant à des intervalles (par exemple la taille des personnes inscrites à un club
sportif). Ces intervalles sont aussi appelé «classes». Une série statistique à
caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme des effectifs
ou des fréquences.
Dans un histogramme des fréquences, les fréquences des classes sont représen-
tées par les aires des rectangles de l’histogramme, l’aire totale mesurant 1 (soit
100 %). Pour lire l’histogramme, on indique la fréquence d’une aire de référence.
Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par l’histo-
gramme ci-dessous.
Donner les classes et la fréquence de chaque classe.
123 456
fréquence : 5 %
Classes 12;
[]
225;,
[]
25 4,;
[]
455;,
[]
55 6,;
[]
Fréquences 0,1 0,1 0,45 0,3 0,05
A
왘 Exemple
왘 Solution
© Cned - Académie en ligne

4
Séquence 8 – MA02
Pour déterminer la moyenne et l’écart-type, on utilise les centres des classes,
c’est-à-dire qu’on remplace la série à caractère continu par une série à caractère
discret, chaque classe formée d’une infinité de valeurs étant remplacée par une
seule valeur. On dit que l’on a «discrétisé» la série statistique.
Calculer la moyenne de l’exemple précédent.
Milieux des classes:
xi
1,5 2,25 3,25 4,75 5,75
Fréquences:
fi
0,1 0,1 0,45 0,3 0,05
On a:
xxf
ii
= =×+ ×+ × + × [phone] 4 75 0 3 5 75,,,,,,,,,××=
=
=
∑005 355
1
5
,,.
i
i
Probabilité
Vous devez avoir présent à l’esprit l’ensemble des cours de probabilité précé-
dents : univers muni d’une loi de probabilité, variables aléatoires, probabilité
conditionnelles. Même si le passage du discret au continu, des ensembles finis
aux intervalles de , modifie certaines propriétés, les idées principales pour
modéliser les situations sont très voisines.
Rappelons seulement quelques éléments concernant les variables aléatoires,
pour l’instant dans un univers ayant un nombre
fini d’éléments.
On dit qu’on définit une variable aléatoire X sur l’ensemble Ω lorsque, à
chaque éventualité
ω
de l’expérience aléatoire, on associe un nombre réel
X () ω : ωω X ().
Définition
Par exemple, on tire des lettres placées dans un sac. On a alors Ω=
{}
a, b, c,... ,z
et on peut choisir la variable aléatoire qui associe 1 à chaque voyelle, 2 à k, q, w,
z (lettres rares en français) et 0 aux autres lettres.
Les événements sont des sous-ensembles de Ω. Précisons à l’aide de l’exemple
la notation utilisée pour les événements définis à l’aide d’un variable aléatoire
X .
Dans l’exemple cité ci-dessus, l’événement a, e, i, o, u, y
{}
sera aussi noté
(). X =1 On notera de même ()
X =2 l’événement k, q, w, z
{}
et ()
X =0 l’évé-
nement b, c, d, f, g, h, j, l, m, n, p, r, s, t, v, x
{}}
.
Dans le cas général la notation ()
Xa = où a est un nombre réel désigne l’événe-
ment
ωω ∈=
{}
Ω/() , Xa
c’est-à-dire l’ensemble des éventualités
ω
pour les-
quelles la variable aléatoire X prend la valeur a . On notera de façon analogue les
événements où X intervient.
왘 Exemple
왘 Solution
B
 Notation
© Cned - Académie en ligne

5
Séquence 8 – MA02
Le travail sur les variables aléatoires ne fait intervenir que des aspects numé-
riques, l’univers Ω apparaît peu directement.
La loi de probabilité d’une variable aléatoire
X est donnée par :
s l’ensemble des valeurs
xx x
n 12
, ,... ,
{}
prises par la variable aléatoire;
s les probabilités
PX x
i
()= pour toutes les valeurs xi prises par X (on
rappelle que
PX x
i
i
in
=
()
=
=
=
∑1
1
).
Définition
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E( X ), défini par :
X xPX x xPX x xPX x
xp xp xp xp
E( ) ( ) ( ) ... ( )
... = .
rr
rr ii
i
in
112 2
11 2 2
=1
∑
==+=++=
=+ ++ =
Définition
Intégration
 Aire sous une courbe
Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction continue positive
définie sur un intervalle
ab ;
[]
a pour mesure
ft t
a
b
()d
∫ en unités d’aire.
ab
x
1
1
0
y
1 ua
Ꮿ
¡
C
© Cned - Académie en ligne