Probabilité : lois à densité

Séquence 8
Probabilité :
lois à densité
Sommaire
1. Prérequis
2. Lois de probabilité à densité sur un intervalle
3. Lois uniformes
4. Lois exponentielles
5. Synthèse de la séquence
Dans cette séquence, on introduit une situation nouvelle en probabilité : l’univers Ω
associé à une expérience aléatoire est formé
d’une infinité d’éléments.
Séquence 8 – MA02
1
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Plus précisément, on va étudier des variables aléatoires X, fonctions de Ω
dans , les valeurs prises par la variable aléatoire X formant un intervalle I
de .
왘
Exemple
L’expérience aléatoire consiste à prendre un point M sur un demi-cercle.
L’univers Ω est alors formé par l’infinité des points du demi-cercle.
On considère la variable aléatoire X qui, à un point M du demi-cercle, associe la
.
mesure en degrés de l’angle AOM
Les valeurs prises par la variable aléatoire X forment l’intervalle [0 ; 180] et la
.
notation (0 ≤ X ≤ 45) désigne l’ensemble des points de l’arc AC
M
C
45°
B
O
A
Il est donc nécessaire d’introduire de nouveaux outils dans le cours de probabilité.
On étudie deux exemples importants de lois suivies par des variables aléatoires :
les lois uniformes et les lois exponentielles. Le troisième exemple au programme,
les lois normales, sera traité dans une autre séquence avec ses conséquences en
statistiques.
Tous les événements étudiés dans cette séquence seront décrits par l’intermédiaire de variables aléatoires et d’intervalles.
Dans d’autres documents vous pouvez trouver d’autres écritures sans variable
aléatoire, par exemple P ([c ; d ]) (c et d étant deux nombres réels). Dans ce cas,
l’univers est lui-même un intervalle I contenant les nombres c et d et l’intervalle I
est muni directement d’une loi de probabilité. Même dans ce cas, nous utiliserons ici une variable aléatoire X pour désigner le résultat obtenu par l’expérience
aléatoire. On a ainsi :
P ([c ; d ]) = P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d )
et nous n’utiliserons pas la première écriture.
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1 Prérequis
A
Statistiques
Une série statistique porte sur un caractère (taille, poids, sport pratiqué…).
Le caractère est qualitatif (sport pratiqué) ou quantitatif s’il peut être associé à
un nombre (taille, poids…).
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif discret (du latin discretus : séparé) quand les valeurs prises par le caractère sont des nombres isolés
(par exemple le nombre de frères et sœurs). Dans ce cas, la série statistique est
représentée par un diagramme en bâtons.
On dit qu’une série statistique est à caractère quantitatif continu quand on
connaît seulement les effectifs ou les fréquences des termes de la série appartenant à des intervalles (par exemple la taille des personnes inscrites à un club
sportif). Ces intervalles sont aussi appelé « classes ». Une série statistique à
caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme des effectifs
ou des fréquences.
Dans un histogramme des fréquences, les fréquences des classes sont représentées par les aires des rectangles de l’histogramme, l’aire totale mesurant 1 (soit
100 %). Pour lire l’histogramme, on indique la fréquence d’une aire de référence.
왘
Exemple
Une série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par l’histogramme ci-dessous.
Donner les classes et la fréquence de chaque classe.
fréquence : 5 %
1
왘
Solution
2
3
4
5
6
Classes
[1; 2]
[2 ; 2,5]
[2,5 ; 4]
[ 4 ; 5,5]
[5,5 ; 6]
Fréquences
0,1
0,1
0,45
0,3
0,05
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3
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Pour déterminer la moyenne et l’écart-type, on utilise les centres des classes,
c’est-à-dire qu’on remplace la série à caractère continu par une série à caractère
discret, chaque classe formée d’une infinité de valeurs étant remplacée par une
seule valeur. On dit que l’on a « discrétisé » la série statistique.
왘
Exemple
Calculer la moyenne de l’exemple précédent.
Milieux des classes : x i
1,5
2,25
3,25
4,75
5,75
Fréquences : fi
0,1
0,1
0,45
0,3
0,05
왘
Solution
On a :
i =5
x = ∑ x i fi = 1, 5 × 0,1+ 2, 25 × 0,1+ 3, 25 × 0, 45 + 4 , 75 × 0, 3 + 5, 75 × 0, 05 = 3, 55.
i =1
B
Probabilité
Vous devez avoir présent à l’esprit l’ensemble des cours de probabilité précédents : univers muni d’une loi de probabilité, variables aléatoires, probabilité
conditionnelles. Même si le passage du discret au continu, des ensembles finis
aux intervalles de , modifie certaines propriétés, les idées principales pour
modéliser les situations sont très voisines.
Rappelons seulement quelques éléments concernant les variables aléatoires,
pour l’instant dans un univers ayant un nombre fini d’éléments.
Définition
On dit qu’on définit une variable aléatoire X sur l’ensemble Ω lorsque, à
chaque éventualité ω de l’expérience aléatoire, on associe un nombre réel
X (ω ) : ω X (ω ).
Par exemple, on tire des lettres placées dans un sac. On a alors Ω = {a, b, c,... ,z}
et on peut choisir la variable aléatoire qui associe 1 à chaque voyelle, 2 à k, q, w,
z (lettres rares en français) et 0 aux autres lettres.
Notation
Les événements sont des sous-ensembles de Ω. Précisons à l’aide de l’exemple
la notation utilisée pour les événements définis à l’aide d’un variable aléatoire X.
Dans l’exemple cité ci-dessus, l’événement {a, e, i, o, u, y} sera aussi noté
( X = 1). On notera de même ( X = 2) l’événement {k, q, w, z} et ( X = 0 ) l’événement {b, c, d, f, g, h, j, l, m, n, p, r, s, t, v, x}.
Dans le cas général la notation ( X = a ) où a est un nombre réel désigne l’événement {ω ∈ Ω / X (ω ) = a } , c’est-à-dire l’ensemble des éventualités ω pour lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur a. On notera de façon analogue les
événements où X intervient.
4
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Le travail sur les variables aléatoires ne fait intervenir que des aspects numériques, l’univers Ω apparaît peu directement.
Définition
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par :
s l’ensemble des valeurs { x 1, x 2 ,... , x n } prises par la variable aléatoire ;
s les probabilités P ( X = x i ) pour toutes les valeurs xi prises par X (on
rappelle que
i =n
∑ P ( X = x i ) = 1).
i =1
Définition
L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X), défini par :
E( X ) = x 1P ( X = x 1) + x 2P ( X = x 2 ) + ... + x r P ( X = x r )
i =n
= x 1p1 + x 2p2 + ... + x r pr = ∑ x i pi .
i =1
C
Intégration
Aire sous une courbe
Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction continue positive
définie sur un intervalle [a ; b ] a pour mesure
b
∫ a f (t ) dt
en unités d’aire.
y
¡
Ꮿ
1
1 ua
a
0
x
1
b
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Cas particulier
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Quel que soit α élément de I, on
α
a ∫ f (t ) dt = 0.
α
Intégrale et primitive
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une de ses primitives sur I, les
nombres a et b sont dans I. On a
b
∫ a f (t ) dt = [F (t )]ab = F (b ) − F (a ).
En particulier, u étant une fonction dérivable sur I telle que u ′ est continue sur
I, alors :
b
b
u (t )
eu (t )  = eu ( b ) − eu (a ) .
u
(
t
)
e
d
t
=
′
∫a

a
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2
A
Loi de probabilité à
densité sur un intervalle
Objectifs du chapitre
On se place dans un univers ayant un nombre infini d’éléments. Cet infini ne permet pas d’utiliser la définition d’une loi de probabilité rencontrée dans les cours
précédents où l’univers était fini (il suffisait de donner les probabilités des événements élémentaires et de vérifier que la somme de ce nombre fini de termes
positifs était égale à 1).
On définit ici des lois de probabilité de variables aléatoires X pouvant prendre
toutes les valeurs d’un intervalle I de .
On donne quelques propriétés élémentaires de certaines de ces variables aléatoires : les variables aléatoires à densité sur un intervalle. B
Activité 1
Pour débuter
Des équations interviennent dans la situation de cet exercice, mais il ne s’agit
pas de les résoudre.
L’équation x 3 − 0, 79 x 2 − 10, 722x + 12, 276 = 0 possède une seule solution
entière (c’est 3). Quelle est la probabilité d’obtenir cette solution en lançant
un dé cubique non truqué ? un dé dodécaédrique non truqué ? (Rappel : un dé
dodécaédrique a douze faces numérotées de 1 à 12.)
L’équation x 3 + 0, 876543211x 2 + 1, 876543211x − 0, 246913578 = 0, notée (E),
possède une unique solution d dans
, d = 0,123456789.
a) Justifier qu’il y a 1010 nombres décimaux qui s’écrivent avec au plus
neuf chiffres après la virgule dans l’intervalle [0 ; 1[.
b) On choisit au hasard dans [0 ; 1[ un nombre décimal s’écrivant avec au
plus neuf chiffres après la virgule, quelle est la probabilité qu’il soit égal au
nombre d solution de l’équation (E) ?
a) Montrer que l’équation x 3 + x − 1= 0 possède une solution unique dans
et que cette solution, qui est notée α , appartient à l’intervalle [0 ; 1].
b) Soit n un entier naturel non nul. On partage l’intervalle [0 ; 1] en n inter1
valles de même amplitude .
n
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On choisit au hasard un de ces intervalles, quelle est la probabilité qu’il
contienne la solution α ?
c) On choisit au hasard un nombre X de l’intervalle [0 ; 1] , quelle valeur proposez-vous pour la probabilité de l’événement { X = α } ?
Activité 2
On a interrogé des clients d’un magasin en leur demandant dans laquelle des
classes proposées se trouvait le montant de leurs achats (en €).
On a obtenu le tableau suivant :
Montant des achats
(en €)
[0 ; 20[
[20 ; 40[
[40 ; 60[
[60 ; 100[
[100 ; 140[
[140 ; 200]
Fréquence
0,09
0,20
0,22
0,24
0,16
0,09
On représente cette série statistique par un histogramme dans un repère orthogonal.
Pour construire les rectangles de l’histogramme, on a besoin de leurs dimensions : remplir le tableau suivant.
Montant des achats
(en €)
[0 ; 20[
Amplitude de la classe
=
largeur du rectangle
20
Aire du rectangle
0,09
[20 ; 40[
[40 ; 60[
[60 ; 100[
[100 ; 140[
[140 ; 200]
Hauteur du
rectangle
Quelle est la graduation maximale indiquée sur l’axe des ordonnées ? Les fréquences sont-elles indiquées sur l’axe des ordonnées ? Construire l’histogramme.
C
Cours
1. Définitions
L’activité 2 a permis d’approfondir la représentation d’une série statistique par
un histogramme.
Les fréquences sont représentées par les aires des rectangles.
Les hauteurs des rectangles sont les densités de fréquence, ces densités sont
indiquées sur l’axe des ordonnées.
Les densités de fréquences sont positives, elles sont constantes sur chacun des
intervalles formant les classes de la série statistique. Elles définissent une fonction constante par morceaux.
8
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Par analogie, en probabilité, on utilisera des fonctions, continues à valeurs positives, et les probabilités des intervalles seront données par des aires, c’est-à-dire
par des intégrales.
Définition 1
On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de
probabilité sur I lorsque :
, est une densité de
s la fonction f est continue sur I ;
s la fonction f est à valeurs positives sur I ;
s l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a..
La troisième condition correspond à plusieurs cas différents suivant la nature de
l’intervalle I.
Dans le tableau ci-dessous, a et b désignent des nombres réels.
I = [a ; b ]
∫
I = [a ; +∞[
 x

lim  ∫ f (t ) dt  = 1

x →+∞  a
b
f (t ) dt = 1
a
1
1
a
O
O
b
1
a
1
I = ]−∞ ; b ]
I = ]−∞ ; +∞[
 b

lim  ∫ f (t ) dt  = 1

y →−∞  y
 0

 x

lim  ∫ f (t ) dt + lim  ∫ f (t ) dt  = 1
y
0
 x →+∞ 

y →−∞ 
1
0,5
O
1
b
O
1
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왘
Exemple 1
Montrer que la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (t ) = −2t + 2 est une densité
de probabilité sur [0 ; 1].
1
Même question pour la fonction g définie sur [1; +∞[ par g (t ) = 2 .
t
왘
Solution
La fonction f est une fonction affine continue sur [0 ; 1] . Pour tout t de [0 ; 1] ,
on a t ≤ 1, d’où −2t + 2 ≥ −2 × 1+ 2, donc la fonction f est une fonction positive.
1
1
Comme ∫ (−2t + 2) dt = −t 2 + 2t  = (−1+ 2) − 0 = 1, la troisième condition est
0
0
vérifiée, la fonction f est bien une densité de probabilité sur [0 ; 2].
y = f(t)
j
O
i
La fonction g est une fonction rationnelle continue sur son ensemble de défi-
nition et elle est à valeurs positives.
 x 1 
 1
Comme on a lim  ∫
dt  = lim 1−  = 1, la troisième condition est
x →+∞  1 t 2  x →+∞  x 
vérifiée, la fonction g est bien une densité de probabilité sur [1; +∞[.
densité de
probabilité
1
y = g(t)
O
Remarque
1
2
3
Dans le cas de cet exemple 1, on observe que la fonction f prend des valeurs
supérieures à 1 sur l’intervalle [0 ; 0, 5] : c’est possible car f ( x ) n’est pas une
probabilité, c’est une densité de probabilité.
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une loi
de probabilité P.
Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans , qui, à chaque issue ω ,
associe un nombre réel X (ω ) d’un intervalle I de .
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Définition 2
Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I
(ou est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout intervalle J inclus dans I, la
probabilité de l’événement ( X ∈ J) est la mesure, en unités d’aire, de l’aire
du domaine : {M ( x ; y ) ; x ∈ J et 0 ≤ y ≤ f ( x )}.
왘
Conséquence
On a : P ( X ∈ I) = 1.
En effet, la mesure de l’aire sous la courbe de la fonction de densité f est égale
à 1.
Remarque
왘
왘
Exemple 2
Solution
En général, un calcul de probabilités se ramènera donc à un calcul d’intégrale. Soit f la fonction densité de probabilité de l’exemple 1 et soit X une variable
aléatoire ayant pour densité la fonction f sur [0 ; 1]. On appelle J l’intervalle
[0, 3 ; 0,8]. Déterminer P ( X ∈ J) c’est-à-dire P (0, 3 ≤ X ≤ 0,8).
On mesure l’aire sous la courbe sur l’intervalle J.
y = f(t)
j
O
0,3
0,8
i
On a :
P ( 0, 3 ≤ X ≤ 0, 8 ) = ∫
(
0 ,8
0 ,8
−2t + 2 dt =  −t 2 + 2t 

0 , 3
0,3
)(
= −0, 82 + 2 × 0, 8 − −0, 32 + 2 × 0, 3
= 0, 96 − 0, 51 = 0,445.
Remarque
)
On admet que l’on peut prolonger la loi de probabilité à toute union finie d’intervalles de telle sorte que l’on ait la propriété :
Propriété 1
si J et J′ sont deux unions finies d’intervalles inclus dans I, on a :
P ( X ∈ J ∪ J′) = P ( X ∈ J) + P ( X ∈ J′) .
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2. Propriétés
j
O
c
d
i
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on a
les propriétés suivantes.
a) Pour tout intervalle J = [c ; d ] de I, on a : P (c ≤ X ≤ d ) =
b) Pour tout réel α de I, on a : P ( X = α ) = 0.
d
∫ c f (t ) dt .
c) Pour tous réels c et d de I,
P (c ≤ X ≤ d ) = P (c < X ≤ d ) = P (c ≤ X < d ) = P (c < X < d ).
(
)
d) Soit J un intervalle inclus dans I, on a : P X ∈ J = 1− P ( X ∈ J) .
Démonstration
a) Pour tout intervalle J = [c ; d ] inclus dans I, la probabilité de l’événement
( X ∈ J) = (c ≤ X ≤ d ) est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine
{M( x ; y ) ; x ∈ [c ; d ] et 0 ≤ y ≤ f ( x )} , on a donc bien :
P (c ≤ X ≤ d ) =
d
∫ c f (t ) dt .
b) Pour tout réel α de I, on a : P ( X = α ) =
α
∫ α f (t ) dt = 0.
c) Pour tous réels c et d de I, l’événement (c ≤ X ≤ d ) est la réunion
des deux événements incompatibles ( X = c ) et (c < X ≤ d ). On a :
P (c ≤ X ≤ d ) = P ( X = c ) + P (c < X ≤ d ). Comme P ( X = c ) = 0 d’après la
propriété précédente, on a bien P (c ≤ X ≤ d ) = P (c < X ≤ d ). Les deux autres
égalités se démontrent de la même façon.
d) On a P ( X ∈ I) = 1, soit P ( X ∈ J ∪ J) = 1. D’après la propriété 1, on peut écrire
P ( X ∈ J ∪ J) = P ( X ∈ J) + P ( X ∈ J) = 1 donc P X ∈ J = 1− P ( X ∈ J) .
(
)
La définition suivante généralise la définition des probabilités conditionnelles qui
a été donnée dans le cas d’une loi de probabilité dans un univers fini.
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Définition 3
Soit I’ un intervalle de I tel que P ( X ∈ I′) ≠ 0 et soit J un autre intervalle de
I. On définit la probabilité conditionnelle PX ∈I′ ( X ∈ J) par l’égalité :
PX ∈I′ ( X ∈ J) =
왘
Exemple 3
P ( X ∈ J ∩ I')
.
P ( X ∈ I')
Soit X une variable aléatoire de densité f définie sur [0 ; 1] par f ( x ) = −2x + 2
(exemple 1).
Déterminer P( 0≤ X ≤0,5) (0, 4 ≤ X ≤ 0, 6 ).
왘
Solution
On a J = [0,4 ; 0,6] et I′ = [0 ; 0,5] , donc J ∩ I′ = [0,4 ; 0,5] . Alors :
P ( X ∈ J ∩ I') = P (0,4 ≤ X ≤ 0,5) =
0,5
∫ 0,4 (−2t + 2)
dt
0,5
= −t 2 + 2t  = 0,75 − 0,64 = 0,11.
0,4
De même :
P ( X ∈ I′) = P (0 ≤ X ≤ 0,5) =
0,5
∫ 0 (−2t + 2)
dt
0,5
= −t 2 + 2t  = 0,75 − 0 = 0,75.
0
D’où P( 0≤ X ≤0,5) (0, 4 ≤ X ≤ 0, 6 ) =
0,11
≈ 0,147.
0, 75
3. Espérance d’une variable à densité X
Définition 4
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire à densité f sur [a ; b ] est définie
par :
b
E( X ) = ∫ x f ( x ) dx .
a
Remarque
On note que cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de
l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs.
En effet, dans le cas discret fini, en classe de Première, on a défini l’espérance
par :
E( X ) = x 1P ( X = x 1) + x 2P ( X = x 2 ) + ... + x r P ( X = x r )
i =n
= x 1p1 + x 2p2 + ... + x r pr = ∑ x i pi .
i =1
Dans le cas où la variable aléatoire est à densité, on ne peut pas faire une somme
d’un nombre infini de termes. Mais le terme f ( x )dx peut s’interpréter comme
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l’aire d’un rectangle de côtés dx et f ( x ) (avec dx « infiniment petit ») fournissant en quelque sorte la probabilité que la variable X prenne la valeur x. Dans
b
ces conditions l’intégrale ∫ x f ( x ) dx correspond à une « somme » de produits
a
x × f ( x )dx (d’ailleurs le symbole
Remarque
D
∫ se lit « intégrale » ou « somme »).
Dans les cas où l’intervalle I a une borne infinie, on utilisera une limite d’intégrale
quand on le pourra.
Exercices d’apprentissage
Exercice 1
Pour chacune des fonctions représentées graphiquement ci-dessous, dire s’il
s’agit d’une densité de probabilité sur l’intervalle I en justifiant votre réponse.
1
2
1/3
O
1
1
3
I = [1 ; 3]
O
0,5
1
I = [0 ; 0,5]
1
1
2/3
0,5
1/3
O
1
0,5
1,5
I = [0 ; 2]
2
–1
O
1
I = [–1 ; 1]
Exercice 2
Vérifier que la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (t ) = 4t 3 est une densité de
probabilité. Représenter la fonction f dans un repère orthogonal.
Soit X une variable aléatoire ayant pour densité f.
a) Indiquer sur le graphique la probabilité P (0, 5 ≤ X ≤ 0, 75). Calculer cette
probabilité.
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b) Déterminer un nombre m tel que P ( X ≤ m ) = 0, 5.
Exercice 3
Peut-on déterminer un réel k positif tel que la fonction f définie sur [1; +∞[
k
soit une densité de probabilité sur [1; +∞[ ?
t3
k
Même question pour la fonction g définie sur [1; +∞[ par g (t ) = .
t
par f (t ) =
Exercice 4
Soit g la fonction de densité de probabilité sur [1; +∞[ définie par g (t ) =
1
t2
(deuxième fonction de l’exemple 1). Soit X une variable aléatoire qui a pour densité g.
Calculer P (1≤ X ≤ 10).
Que représente le nombre P(1≤ X ≤10 ) (1≤ X ≤ 5) ? Calculer ce nombre.
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3 Lois uniformes
A
Objectifs du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie les lois uniformes qui correspondent aux lois équiréparties du cas fini et qui sont très importantes.
B
Pour débuter
On souhaite donner un sens précis à l’expression « prendre un nombre au
hasard ».
Il faut d’abord dire dans quel intervalle on prendra ce nombre. Raisonnons avec
l’intervalle [0 ; 1] qui nous permettra ensuite d’aborder le cas des intervalles
[a ; b ].
On cherche donc une loi de probabilité à densité pour la variable X correspondant
à l’expérience aléatoire qui fournit un nombre réel « au hasard » compris entre
0 et 1.
Tout d’abord, remarquons que, d’après le chapitre précédent, pour tout réel α ,
on a P ( X = α ) = 0 lorsque la variable aléatoire X suit une loi à densité.
Il est naturel de penser que, si on choisit un nombre au hasard, les probabilités
P ( X ∈ [0 ; 0, 5]) et P ( X ∈ [0, 5 ; 1]) sont égales.
Comme P ( X ∈ [0 ; 0,5]) + P ( X ∈ [0,5 ;1]) = P ( X ∈ [0 ;1]) − P ( X = 0,5)
= P ( X ∈ [0 ;1]) = 1,
1
on souhaite donc que : P ( X ∈ [0 ; 0, 5]) = P ( X ∈ [0, 5 ; 1]) = .
2
(
) (
De même, on souhaite que P X ∈ [0 ; 0,25] = P X ∈ [0,25 ; 0,5]
)
= P ( X ∈ [0,5 ; 0,75]) = P ( X ∈ [0,75 ;1]
Il semble intuitivement que, pour la loi cherchée, plus un intervalle a une grande
amplitude (longueur), plus il est probable que le nombre pris au hasard lui
appartienne. Si l’amplitude de l’intervalle I’ est deux fois celle de l’intervalle I,
on souhaite que P ( X ∈ I′) = 2P ( X ∈ I) , et que la probabilité que le nombre pris
au hasard appartienne à un intervalle soit proportionnelle à l’amplitude de cet
intervalle. Comme l’amplitude de l’intervalle [0 ; 1] est égale à 1, on aboutit
finalement à P (c ≤ X ≤ d ) = d − c , c et d étant des nombres réels de l’intervalle
[0 ; 1] , avec c ≤ d . C’est effectivement cette égalité qui va définir la loi uniforme
16
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Séquence 8 – MA02
et nous verrons dans le cours qu’il est possible de la présenter sous un autre
aspect.
Comme la loi équirépartie dans le cas où la variable aléatoire prend un nombre
fini de valeurs, la loi uniforme intervient dans de très nombreuses situations.
Pour faire des simulations, vous avez déjà utilisé votre calculatrice ou un tableur
car on y trouve des générateurs de nombres « aléatoires ». Les nombres obtenus sont parfois appelés « pseudo-aléatoires » pour exprimer le fait qu’ils sont
construits par des processus algorithmiques déterministes. Il s’agit d’imiter le
hasard le mieux possible. Créer de tels générateurs est un vrai défi.
La copie d’écran ci-dessous illustre la répartition de 5 000 nombres « aléatoires »
fournis par le tableur OpenOffice dans les dix intervalles ayant pour bornes : 0 ;
0,1 ; 0,2 ; … ; 0,9 ; 1.
E
Les 5 000 nombres sont dans la colonne A. Pour visualiser les résultats, un graphique est donné. Il s’agit d’un diagramme en bâtons car le logiciel ne fait pas
d’histogrammes (au sens mathématiques).
En utilisant la touche F9 vous pouvez renouveler le tirage des nombres « aléatoires » (attention : l’axe des ordonnées du diagramme en bâtons ne commence
pas toujours à 0 mais à une valeur plus grande, ce qui augmente l’apparence de
l’irrégularité des fréquences).
On observe que les fréquences sont toutes proches de 0,10 (10 %) : c’est ce qui
est attendu d’un générateur de nombres aléatoires.
Séquence 8 – MA02
17
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C
Cours
1. Loi uniforme sur  0 ; 1
Nous venons de voir ci-dessus que nous souhaitons obtenir une loi d’une variable
aléatoire X où la probabilité que X appartienne à un intervalle, inclus dans [0 ; 1] ,
est égale à l’amplitude de l’intervalle.
Si on cherche à exprimer cette condition pour avoir une loi à densité, on doit faire
intervenir des intégrales et on se souvient de l’intégrale d’une fonction constante.
On peut aussi penser qu’une fonction de densité constante exprime bien la
notion d’uniformité.
La définition qui est donnée utilise ce point de vue et permettra de considérer
l’espérance de cette loi.
Propriété 3
La fonction constante f définie sur [0 ; 1] par f ( x ) = 1 est une densité de
probabilité.
Démonstration
Une fonction constante est continue sur son ensemble de définition, la fonction f
est positive et
1
∫ 01 dx = [ x ]10 = 1− 0 = 1 donc les trois conditions sont vérifiées, la
fonction f est bien une densité de probabilité.
Définition 5
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]
si sa densité est la fonction définie sur [0 ; 1] par f ( x ) = 1.
1
O
18
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Séquence 8 – MA02
c
d
1
Propriété 4
Pour tout intervalle [c ; d ] inclus dans [0 ; 1] , on a :
P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d ) = d − c .
Démonstration
En effet, P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d ) =
d
∫ c 1dt = [t ]dc = d − c .
Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d − c et 1 pour
hauteur.
왘
왘
Exemple 4
On choisit un nombre au hasard dans [0 ; 1]. Quelle est la probabilité qu’il soit
compris entre 0,2 et 0,25 ?
Solution
Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable
aléatoire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]. On
a alors P (0, 2 ≤ X ≤ 0, 25) = 0, 25 − 0, 2 = 0, 05.
On rappelle que
P (0, 2 ≤ X ≤ 0, 25) = P (0, 2 ≤ X < 0, 25) = P (0, 2 < X ≤ 0, 25) = P (0, 2 < X < 0, 25) ,
donc l’expression « compris entre 0,2 et 0,25 » peut être interprétée avec des
inégalités strictes sans changement du résultat.
2. Loi uniforme sur [a ; b]
Comme sur [0 ; 1] on cherche une loi pour laquelle un intervalle a une probabilité
proportionnelle à son amplitude et pour laquelle la densité est constante.
Propriété 5
1
La fonction constante f définie sur [a ; b ] par f ( x ) =
est une densité
b
−
a
de probabilité.
Démonstration
La fonction f est bien continue à valeurs positives.
On a :
∫
 t b
b 1
b
a
dt = 
=
−
= 1.
a b −a
 b − a a b − a b − a
Les trois conditions sont vérifiées, la fonction f est bien une densité de probabilité.
Séquence 8 – MA02
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Définition 6
Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b ] si sa
1
.
densité est la fonction f définie sur [a ; b ] par f ( x ) =
b −a
1
0,25
c
a = –1
O
1
d
b=3
Propriété 5
Pour tout intervalle [c ; d ] inclus dans [0 ; 1] , on a :
d −c
P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d ) =
.
b −a
Démonstration
On a : P (c ≤ X ≤ d ) =
∫
 t d
d 1
d
c
d −c
dt = 
.
=
−
=

c b −a
 b − a c b − a b − a b − a
Sur la figure, le rectangle dont on mesure l’aire a pour largeur d − c et pour
1
= 0, 25.
hauteur
b −a
왘
왘
Exemple 5
On choisit un nombre réel au hasard dans [0 ; 100[. Quelle est la probabilité qu’il
soit compris entre 90 et 100 ?
Solution
Comme l’énoncé précise que le nombre est choisi « au hasard », la variable aléatoire X, qui modélise ce choix, suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 100[ , on a
100 − 90
alors P (90 ≤ X < 100) =
= 0,1.
100 − 0
3. Espérance d’une loi uniforme
Rappelons la définition de l’espérance d’une loi à densité f sur [a ; b ] :
E( X ) =
20
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Séquence 8 – MA02
b
∫ a x f ( x ) dx .
Propriété 7
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur
[a ; b ] est telle que :
a +b
E( X ) =
.
2
Démonstration
 x 2 b b 2 − a 2 a + b
b 1
 =
.
On a : E( X ) =
x dx = 
=
a b −a
2
 2(b − a )  2(b − a )
a
∫
Cas particulier
L’espérance de la loi uniforme sur [0 ; 1] vaut donc
D
Exercice 5
1
.
2
Exercices d’apprentissage
Le facteur vient déposer le courrier dans la boîte aux lettres du lycée entre
10 heures et 10 h 30.
Le facteur passe toujours pendant cette plage horaire et on a observé qu’il
peut arriver à tout instant avec les mêmes chances. La variable aléatoire F
désigne l’heure d’arrivée du facteur en minutes après 10 heures (par exemple
(F = 8 ) désigne l’événement « le facteur passe à 10 h 08 »). Comment peuton modéliser la variable aléatoire F (valeurs prises par F, densité) ?
Calculer la probabilité que le facteur passe :
a) à 10 h 25 exactement ;
b) entre 10 h 15 et 10 h 20 ; c) avant 10 h 20 ; d) après 10 h 15.
Quelle est l’heure moyenne de son passage ?
Exercice 6
À partir de 7 heures, le tram passe toutes les dix minutes à l’arrêt qui se trouve
devant la maison d’Ayana.
Le moment de l’arrivée d’Ayana à l’arrêt du tram est modélisé par la variable
aléatoire X exprimée en minutes après 7 heures. On suppose que X suit la loi
uniforme sur l’intervalle [0 ; 20].
Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram moins de deux minutes ?
Quelle est la probabilité qu’Ayana attende le tram plus de cinq minutes ?
Exercice 7
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1]. Déterminer la loi
de probabilité de la variable aléatoire T où T est la première décimale de X.
Séquence 8 – MA02
21
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4 Lois exponentielles
A
Objectifs du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie les variables aléatoires qui suivent une loi exponentielle sur [0 ; +∞[.
Ce sont des lois à densité.
Ces lois sont utilisées concrètement pour étudier des systèmes non soumis à
des phénomènes d’usure ou pour modéliser des situations où la radio-activité
intervient.
B
Activité 3
Pour débuter
Un laboratoire de recherche a inventé des petits robots et étudié leur solidité. On
observe que, chaque semaine, 5 % des robots tombent en panne et ne peuvent
être réparés.
On fait fonctionner 1 000 robots de ce type pendant trois mois.
Faire un tableau indiquant le nombre (en valeur approchée à l’entier inférieur
le plus proche) de robots en fonctionnement au début de chaque semaine
pendant les 12 premières semaines. On choisit au hasard un robot.
Déterminer la probabilité :
a) qu’il soit en fonctionnement plus de trois semaines ;
b) qu’il soit en fonctionnement plus de cinq semaines ;
c) qu’il soit en fonctionnement plus de cinq semaines sachant qu’il a fonctionné plus de trois semaines ;
d) qu’il soit en fonctionnement plus de deux semaines.
e) Comparer les résultats des questions c) et d).
Imaginer des questions qui amènent à la même observation que celle faite
en e).
22
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Séquence 8 – MA02
C
Cours
1. Définition d’une loi exponentielle
Propriété 8
Soit λ un nombre réel strictement positif.
La fonction f définie sur I = [0 ; +∞[ par f (t ) = λe−λt est une densité de
probabilité.
Démonstration
Montrons que f vérifie les trois conditions.
s Par composition, la fonction f est continue sur [0 ; +∞[.
s La fonction f est à valeurs positives sur I car λ est positif et la fonction exponentielle positive.
s Dans l’exercice V de la séquence 7 (Intégration), on a montré que
 x

lim  ∫ λe−λt dt  = 1, donc l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a.
0

x →+∞ 
Définition 7
Soit λ un nombre réel strictement positif.
Une variable à densité X suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f ( x ) = λe−λ x .
h
O
Remarque
1
Le paramètre λ est égal à l’ordonnée du point de la courbe représentant la
densité situé sur l’axe des ordonnées car f (0 ) = λe−λ ×0 = λ.
Séquence 8 – MA02
23
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Propriété 9
Quels que soient les nombres réels positifs c et d, on a :
P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d ) =
d
∫c
λ e – λ t dt = e−λc − e−λd .
Démonstration
Comme la fonction t λe−λt a pour primitive la fonction t −e−λt (eu est
une primitive de u ′eu ), on a :
d
d
P (c ≤ X ≤ d ) = ∫ λ e−λ t dt = −e−λt  = −e−λd − −e−λc = e−λc − e−λd .
c
c
(
Remarque
)(
)
On a le même résultat si les inégalités sont strictes.
Cas particulier
Pour tout réel positif a, on a : P ( X ≤ a ) = 1− e−λa . En effet, pour tout réel a, on a :
P ( X ≤ a ) = P (0 ≤ X ≤ a ) = e−λ ×0 − e−λa = 1− e−λa .
Propriété 10
Pour tout réel positif a, on a : P ( X ≥ a ) = e−λa .
Démonstration
D’après la propriété 2 du chapitre 2, P ( X ≥ a ) = 1− P ( X < a ) car les événements
( X ≥ a ) et ( X < a ) sont des événements contraires : ( X ≥ a ) = ( X < a ). D’après
le cas particulier précédent, on obtient :
(
)
P ( X ≥ a ) = 1− P ( X < a ) = 1− P ( X ≤ a ) = 1− 1− e−λa = e−λa .
Remarque
Il est très utile de connaître les formules des propriétés 9 et 10, mais, pour rédiger,
il faut refaire les calculs au moins une fois dans une copie d’examen.
Exemple 6
On considère un composant électronique dont la durée de vie T (en années) suit
une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 08.
왘
Calculer la probabilité (à 10−2 près) qu’un tel composant ait une durée de vie :
égale exactement à 6 ans ;
inférieure à 6 ans ;
supérieure à 8 ans ;
comprise entre 8 et 12 ans.
24
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Séquence 8 – MA02
왘
Solution
P (T = 6 ) = 0 car T est une variable aléatoire à densité ;
P (T < 6 ) = 1− e−0,08×6 = 1− e−0,48 ≈ 0, 38 ;
P (T ≥ 8 ) = e−0,08×8 = e−0,64 ≈ 0, 53 ;
P ( 8 ≤ T ≤ 12) = e−0,08×8 − e−0,08×12 = e−0,64 − e−0,96 ≈ 0,14.
2. Espérance d’une loi exponentielle
On généralise la définition de l’espérance d’une variable aléatoire à densité qui
a été donnée dans le chapitre 2 dans le cas où les valeurs de X forment un intervalle fermé borné I = [a ; b ] . Comme ici I = [0 ; +∞[ , on prend une limite. Si la
limite est finie, et c’est le cas pour les lois exponentielles, on dit que cette limite
est l’espérance de la variable aléatoire (si la limite n’est pas finie, on ne définit
pas E( X )).
Définition 8
On définit l’espérance E( X ) d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ en posant :
x
t λe−λt dt .
∫
0
x →+∞
E( X ) = lim
Propriété 11
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de
paramètre λ est telle que :
1
E( X ) = .
λ
Démonstration
s On cherche d’abord, sur
[0 ; +∞[ ,
une primitive de la fonction
f : t f (t ) = λt e−λt sous la forme F : t F (t ) = (at + b )e−λt .
La fonction F est dérivable sur [0 ; +∞[ et
F '(t ) = (a − λ(at + b )) e−λt = (−λat + (a − λb )) e−λt .
Pour que l’égalité f (t ) = F ′(t ) soit vraie pour tout réel t positif, il suffit que
a = −1
 − λa = λ


1
, il suffit donc que  −1 , soit que F (t ) = −t −  e−λt .


λ
a − λb = 0
b =
λ
s Ensuite on calcule l’intégrale :
∫
x

x
1  −λt 
−λt
t λ e dt = −t −  e 
0
λ

0


1
1
1
= −x −  e−λ x − 0 −  e0 = 1− e−λ x − λ x e−λ x .

 λ
λ
λ
(
)
Séquence 8 – MA02
25
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s Et enfin, on étudie la limite quand x tend vers +∞ par composition.
La fonction x e−λ x est la composée de x −λ x et de X e X , or
lim − λ x = −∞ ( λ est strictement positif) et lim e X = 0, on peut donc
x →+∞
écrire
X →−∞
lim e
−λ x
x →+∞
X
= lim e = 0
par
composition
avec
X = −λ x .
X →−∞
−λ x
= lim − Xe X = 0.
On a aussi lim λ xe
x →+∞
X →−∞
 x

1
1
On conclut donc lim  t λe−λt dt  = lim
et
1− e−λ x − λ xe−λ x =
0


λ
x →+∞
x →+∞ λ
(
∫
)
on trouve bien le résultat annoncé.
Remarque
1
. Dans les applications, la variable aléatoire X désigne souvent la
E( X )
mesure d’une grandeur, une unité étant précisée, par exemple l’heure. Dans ces
cas, le paramètre λ est exprimé dans l’unité inverse, par exemple l’« h-1».
On a : λ =
3. Propriété de durée de vie
sans vieillissement
On montre ici la propriété analogue à celle qui a été rencontrée dans l’activité 3.
Propriété 12
Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous
réels x et h positifs, on a
PX ≥t ( X ≥ t + h ) = P ( X ≥ h ).
Démonstration
Par définition, on a : PX ≥t ( X ≥ t + h ) =
P ( X ≥ t + h )∩ ( X ≥ t )
.
P (X ≥t )
Comme l’événement ( X ≥ t + h ) est inclus dans l’événement ( X ≥ t ), l’intersection des événements devient ( X ≥ t + h ) ∩ ( X ≥ t ) = ( X ≥ t + h ). D’où :
PX ≥t ( X ≥ t + h ) =
P ( X ≥ t + h ) e−λ (t +h )
.
=
P (X ≥t )
e−λt
On simplifie le quotient d’exponentielles : PX ≥t ( X ≥ t + h ) = e−λh .
On reconnaît P ( X ≥ h ), d’où PX ≥t ( X ≥ t + h ) = P ( X ≥ h ).
Cette propriété est appelée propriété de durée de vie sans vieillissement. En
effet, si on interprète X comme la durée de vie d’un appareil, cette égalité signifie que la probabilité que l’appareil fonctionne encore au-delà du temps t + h
sachant qu’il fonctionne encore à l’instant t est égale à la probabilité que l’appa-
26
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Séquence 8 – MA02
reil fonctionne au-delà du temps h. Cela signifie que, pendant l’intervalle [0 ; t ] ,
l’appareil ne s’est pas usé puisque son fonctionnement à partir de l’instant t est
identique à celui qu’il avait à partir du temps 0.
왘
Exemple 7
La durée de vie X (en années) d’un appareil électrique suit une loi exponen-
tielle de paramètre λ = 0, 05.
Quelle est la probabilité qu’il fonctionne plus de 8 ans sachant qu’il a déjà
fonctionné pendant 5 ans ?
Un appareil du même modèle fonctionne déjà depuis 7 ans, quelle est la pro-
babilité qu’il fonctionne encore au moins pendant 3 ans ?
왘
Solution
On veut déterminer PX ≥5 ( X ≥ 8). Puisque X suit une loi exponentielle qui
est sans vieillissement, on calcule 8 − 5 = 3 et on a PX ≥5 ( X ≥ 8) = P ( X ≥ 3).
Donc PX ≥5 ( X ≥ 8) = P ( X ≥ 3) = e−0,005× 3 = e−0,015 ≈ 0, 985.
Sous cette forme la question possède une réponse encore plus simple. Comme
la loi de X est sans vieillissement, la question « quelle est la probabilité qu’il
fonctionne encore au moins pendant 3 ans ? » possède la même réponse
que la question « quelle est la probabilité qu’il fonctionne au moins pendant
3 ans ? » ou encore « déterminer P ( X ≥ 3) ». On a trouvé P ( X ≥ 3) ≈ 0, 985.
D
Exercice 8
Exercices d’apprentissage
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre 0,4.
Représenter graphiquement la fonction f, densité de cette variable aléatoire.
Hachurer le domaine dont l’aire mesure P ( X ≤ 0, 5) et le domaine dont l’aire
mesure P (1≤ X ≤ 2).
Calculer ces deux probabilités.
Exercice 9
La durée de fonctionnement X (en heures) d’une ampoule électrique suit une loi
exponentielle de paramètre 0,0001.
Quelle est la probabilité qu’une ampoule fonctionne plus de 200 heures ?
Quelle est la durée de fonctionnement qu’elle peut atteindre avec une proba-
bilité égale à 0,95 ?
Quelle est la durée moyenne de fonctionnement d’une telle ampoule ?
Quelle est la probabilité qu’une ampoule fonctionne plus de 1 500 heures
sachant qu’elle a déjà fonctionné pendant 1 000 heures ?
Séquence 8 – MA02
27
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Exercice 10
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse
et justifier votre réponse.
La variable aléatoire X modélise la durée de fonctionnement d’un appareil électrique. La loi de X est une loi exponentielle de paramètre λ et les informations
obtenues par une association de consommateurs indiquent une durée moyenne
de 8 ans.
On a λ = 0,125.
La probabilité pour que l’appareil fonctionne moins de 8 ans est égale à e−8 .
La probabilité pour que l’appareil fonctionne pendant au moins 16 ans est
égale à e−2.
La probabilité pour que l’appareil fonctionne entre 8 et 12 ans est égale à
0,145 à 10−3 près.
La probabilité que l’appareil fonctionne encore au bout de 12 ans sachant
qu’il a déjà fonctionné pendant 8 ans est égale à
Exercice 11
1
.
e
Radioactivité
La durée de vie d’un atome d’un corps radioactif est modélisée par une variable
aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Partie A
On appelle demi-vie le nombre T tel que P ( X ≤ T ) = P ( T ≤ X ).
Déterminer le nombre T en fonction de λ.
Le plutonium 239 a une demi-vie d’environ 24 000 ans, en déduire une valeur
approchée du coefficient λ correspondant (l’unité de temps est l’année).
L’iode 123 a une demi-vie de 13 heures, en déduire une valeur approchée du
coefficient λ correspondant (l’unité de temps est l’heure).
Partie B
Le coefficient de la loi exponentielle de la durée de vie X d’un atome d’iode 131
est égal à 0,086 en jours-1.
Calculer la demi-vie de l’iode 131.
Calculer la probabilité qu’un atome d’iode 131 se désintègre :
s pendant les deux premières semaines d’observation ;
s pendant le premier mois.
Quelle est la durée moyenne de désintégration d’un atome d’iode 131 ?
28
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Séquence 8 – MA02
5
Synthèse
de la séquence
A
Synthèse du cours
1. Lois de probabilité à densité
Définition
On dit qu’une fonction f, définie sur un intervalle I de
, est une densité de probabilité sur I lorsque :
s f est continue sur I ;
s f est à valeurs positives sur I ;
s l’aire sous la courbe de f est égale à 1 u.a.
I = [a ; b ]
I = [a ; +∞[
 x

lim  ∫ f (t ) dt  = 1

x →+∞  a
b
∫ a f (t ) dt = 1
1
a
O
1
b
1
O
a
1
I = ]−∞ ; b ]
I = ]−∞ ; +∞[
 b

lim  ∫ f (t ) dt  = 1
y


y →−∞
 0

 x

lim  ∫ f (t ) dt + lim  ∫ f (t ) dt  = 1
y
0




y →−∞
x →+∞
1
0,5
O
1
b
O
1
Séquence 8 – MA02
29
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Définition
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une
loi de probabilité P.
Soit X une variable aléatoire, fonction de Ω dans
issue un nombre réel d’un intervalle I de .
, qui associe à chaque
Soit f une fonction, définie sur I, qui est une densité de probabilité sur I.
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur l’intervalle I (ou
est « à densité f sur I ») lorsque, pour tout événement J inclus dans I, la
probabilité de l’événement ( X ∈ J) est la mesure, en unités d’aire, de l’aire
du domaine : {M ( x ; y ) ; x ∈ J et 0 ≤ y ≤ f ( x )}.
왘
Conséquence
On a : P ( X ∈ I) = 1.
Remarque
En général, les probabilités seront calculées par des intégrales.
Remarque
On admet que l’on peut prolonger la loi de probabilité à toutes unions finies
d’intervalles de telle sorte que l’on ait la propriété :
Propriété
Si J et J’ sont deux unions finies d’intervalles inclus dans I, on a :
P ( X ∈ J ∪ J′) = P ( X ∈ J) + P ( X ∈ J′) .
Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur l’intervalle I, on a
les propriétés suivantes.
a) Pour tout intervalle J = [c ; d ] de I, on a : P (c ≤ X ≤ d ) =
b) Pour tout réel α de I, on a : P ( X = α ) = 0.
d
∫ c f ( x ) dx .
c) Pour tous réels c et d de I,
P (c ≤ X ≤ d ) = P (c < X ≤ d ) = P (c ≤ X < d ) = P (c < X < d ).
(
)
d) Soit J un intervalle, on a : P X ∈ J = 1− P ( X ∈ J) .
Définition
Soit I’ un intervalle de I tel que P ( X ∈ I′) ≠ 0 et soit J un autre intervalle
de I. On définit la probabilité conditionnelle PX ∈I′ ( X ∈ J) par l’égalité :
PX ∈I′ ( X ∈ J) =
30
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Séquence 8 – MA02
P ( X ∈ J ∩ I′)
.
P ( X ∈ I′)
Définition
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire à densité f sur [a ; b ] est définie par :
E( X ) =
b
∫ a x f ( x ) dx .
2. Lois uniformes
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]
si sa densité est la fonction définie sur [0 ; 1] par f ( x ) = 1.
1
O
c
d
1
Propriété
Pour tout intervalle [c ; d ] inclus dans [0 ; 1] , on a :
P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d ) = d − c .
Définition
Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b ] si sa den1
sité est la fonction définie sur [a ; b ] par f ( x ) =
.
b −a
1
0,25
a = –1
c
O
1
d
b=3
Séquence 8 – MA02
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Propriété
Pour tout intervalle [c ; d ] inclus dans [0 ; 1] , on a :
P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d ) =
d −c
.
b −a
Propriété
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur
[a ; b ] est telle que :
a +b
E( X ) =
.
2
3. Lois exponentielles
Définition
Soit λ un nombre réel strictement positif.
Une variable à densité X suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f ( x ) = λe−λ x .
h
O
1
Propriétés
Quels que soient les nombres réels positifs a, c et d, on a :
P ( X ∈ [c ; d ]) = P (c ≤ X ≤ d ) =
P ( X ≤ a ) = 1− e−λa .
d
∫c
λ e−λ t dt = e−λc − e−λd
P ( X ≥ a ) = e − λa .
Définition
On définit l’espérance E( X ) d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ en posant :
x
t λe−λt dt .
∫
0
x →+∞
E( X ) = lim
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Séquence 8 – MA02
Propriété
L’espérance E( X ) d’une variable aléatoire X suivant une bi exponentielle de
1
paramètre λ est telle que E( X ) = .
λ
Propriété
Durée de vie sans vieillissement
Une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous
réels x et h positifs, on a PX ≥t ( X ≥ t + h ) = P ( X ≥ h ).
B
Exercices de synthèse
Exercice I
Le paradoxe de Bertrand
Soit un cercle C de rayon 1, le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ce
cercle est alors égal à 3.
Le but de cet exercice est d’étudier différentes méthodes pour déterminer la probabilité qu’une corde du cercle, choisie au hasard, ait une longueur supérieure
à 3.
A
3
I
O
3
I
3
B
E
O
3
C
D
Première méthode
On fixe un point A sur le cercle C. On choisit au hasard un point M sur le cercle
et on considère la corde AM. Quelle est la probabilité que la corde AM ait une
longueur supérieure à 3 ? (On pourra utiliser les points B et C du cercle tels
que le triangle ABC soit équilatéral.)
Deuxième méthode
Soit O le centre du cercle et D un point du cercle. On choisit au hasard un point I
sur le segment [OD]. Quelle est la probabilité que la corde de milieu I ait une
longueur supérieure à 3 ?
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Troisième méthode
On choisit au hasard un point I à l’intérieur du cercle. Quelle est la probabilité que
la corde de milieu I ait une longueur supérieure à 3 ?
Commenter les résultats précédents.
Exercice II
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose de composants électroniques identiques. La durée de vie (ou de fonctionnement) en années d’un composant électronique est une variable aléatoire notée X qui suit une loi exponentielle de paramètre
λ avec λ > 0.
Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.
Sachant que P ( X ≥ 10 ) = 0, 286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3
près de λ est 0,125. On prendra 0,125 pour valeur de λ dans la suite de
l’exercice.
Calculer la probabilité qu’un composant du modèle étudié ait une durée de
vie inférieure à 6 mois.
Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné 8 années, quelle est la probabilité
qu’il ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?
Le responsable du laboratoire décide de commander 15 composants élec-
troniques. On considère que la durée de vie X i , 1≤ i ≤ 15, d’un composant
électronique est indépendante de celle des autres appareils, c’est-à-dire
P (( X 1 ≤ a ) ∩ ( X 2 ≤ b ) ∩ ... ∩ ( X 15 ≤ c )) = P ( X 1 ≤ a ) × P ( X 2 ≤ b ) × ... × P ( X 15 ≤ c )
Quelle est la probabilité qu’au moins un composant électronique ait une durée
de vie supérieure à 10 ans ?
Combien l’établissement devrait-il acheter de composants électroniques pour
que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit
supérieure à 0,999 ?
Exercice III
Un réparateur de vélos a acheté un stock de pneus.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus
sans crevaison par un pneu. On fait l’hypothèse que X suit une loi exponentielle
de paramètre λ.
Montrer que P ( 500 ≤ X ≤ 1000 ) = e−500λ − e−1000λ .
La probabilité qu’un pneu crève pour la première fois entre 500 et 1000 kilo-
1
mètres étant égale à , déterminer la valeur arrondie à 10−4 près du
4
paramètre λ.
Exercice IV
On considère deux variables aléatoire X et Y suivant toutes les deux, indépendamment l’une de l’autre, la loi uniforme sur [0 ; 1].
On va étudier la variable aléatoire S définie par S = X +Y .
Montrer que S prend ses valeurs dans [0 ; 2].
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On associe aux deux variables aléatoires X et Y le point aléatoire M de coor-
données ( X ; Y ) dans un repère orthonormé (O ; I, J). L’ensemble (C) formé
par les points M est l’intérieur du carré OIKJ.
Un événement E correspond à un ensemble (E) de points de (C). On admet que la
aire(E)
probabilité P(E) de l’événement E est telle que P (E ) =
, ce qui correspond
aire(C)
aire(E)
à une loi uniforme sur l’ensemble (C). P (E ) =
, ce qui correspond à une loi
aire(C)
uniforme sur l’ensemble (C).
Représenter (C) et hachurer l’ensemble (E) correspondant à l’événement
E = (Y ≤ 0, 5 − X ). Quelle est son aire ? Calculer P (Y ≤ 0, 5 − X ) et P (S ≤ 0, 5).
Soit t un nombre réel tel que 0 ≤ t ≤ 1, déterminer P (S ≤ t ).
Hachurer l’ensemble (G) correspondant à l’événement (Y ≤ 1, 25 − X ). Mon-
trer que aire(G) = 0, 71875. En déduire P (S ≤ 1, 25).
t2
+ 2t − 1.
2
On pose F (t ) = P (S ≤ t ) sur [0 ; 2]. On admet que S suit une loi à densité f.
Montrer que F ′ = f .
Soit t un nombre réel tel que 1≤ t ≤ 2, montrer que P (S ≤ t ) = −
Déterminer l’expression de f (t ) suivant la valeur de t.
Vérifier que la fonction f est une densité de probabilité sur [0 ; 2].
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