I. Cas général du coefficient de réflexion à l`interface de deux
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Examen d’électromagnétisme – avril 2014 Problème Les calculatrices, ordinateurs et téléphones ne sont pas autorisés. Seul document écrit autorisé : une feuille manuscrite recto-­verso L’examen (3 pages) comporte trois exercices indépendants Durée de l’examen : 2 heures. I. Cas général du coefficient de réflexion à l’interface de deux milieux en polarisation Transverse Magnétique (TM) On considère une interface plane séparant deux milieux 1 et 2, caractérisés par les constantes diélectriques ε1 (ω ) et ε 2 (ω ) . Une onde plane incidente polarisée transverse magnétique (TM) éclaire l’interface dans le milieu 1. On appelle z l’axe normal à l’interface orienté de 2 vers 1. Le vecteur d’onde incident a pour coordonnées α1 et −γ1 dans le plan xOz . € € € 1. Rappeler la définition de la polarisation TM € € € 2. Écrire les équations de Maxwell et retrouver l’équation de Helmholtz pour le champ magnétique H(r,ω) dans chaque milieu. 3. L’amplitude du champ magnétique incident est H0. Ecrire les solutions des équations de Helmholtz dans chaque milieu en introduisant le coefficient de réflexion r et le coefficient de transmission t de l’interface. 4. Quelles sont les 4 relations de continuité des champs à l’interface ? 5. Calculer l’expression des coefficients de réflexion et de transmission de Fresnel en polarisation TM. 6. On suppose les constantes diélectriques réelles et positives. On appelle θ1 et θ2 les angles d’incidence (milieu 1) et de réfraction (milieu 2). A quelle condition sur les angles θ1 et θ2 et les indices n1 et n2 le coefficient de réflexion TM peut-­‐il s’annuler ? II. Etude d’un plasmon de surface On considère une interface plane séparant de l’air d’un métal, dont la constante diélectrique sera modélisée dans un premier temps par un modèle de Drude sans ω2 pertes : ε (ω ) = 1 − P2 . ω € 1. Un plasmon de surface est caractérisé par la relation de dispersion suivante : ω ε (ω ) α= c 1+ ε (ω ) Où α est la projection du vecteur d’onde le long de l’interface. Le plasmon de surface n’existe qu’aux fréquences pour lesquelles ε(ω) < -­‐1. Que peut-­‐on dire de α dans ces ω conditions ? Que se p€ asse-­‐t-­‐il à basse fréquence ? Lorsque ω → P ? Représenter la 2 relation de dispersion de cette onde (ω en fonction de α). 2. On appelle γ1 et γ 2 les projections sur l’axe z des vecteurs d’onde associés au € plasmon de surface dans les milieux 1 (l’air) et 2 (le métal). Exprimer γ12 et γ 22 . En déduire que le plasmon de surface est une onde évanescente de chaque côté de l’interface. € € € € 3. Une onde plane propagative incidente venant du milieu 1 peut-­‐elle exciter le plasmon de surface ? Pourquoi ? 4. On dépose un film de quelques dizaines de nanomètres de métal, qui est une épaisseur plus petite ou de l’ordre de grandeur de l’épaisseur de peau, sur une face d’un prisme de verre d’indice n. Une onde plane monochromatique est envoyée au travers du prisme sur l’interface métallique puis réfléchie (voir Figure). L’angle d’incidence sur le métal est θinc. A quelle condition sur θinc peut-­‐on exciter un plasmon de surface à l’interface métal-­‐air ? Figure : un film métallique est éclairé par une onde plane dans le verre (indice n). L’angle d’incidence est θinc. Au-­‐dessus du film métallique, le milieu est de l’air. € 5. Le modèle de constante diélectrique donné est un peu trop grossier. Pour être plus exact, il faut prendre en compte le fait que la constante diélectrique est complexe : ε (ω ) = ε ' (ω ) + iε '' (ω ) . Quel sens physique donne-­‐t-­‐on à la partie imaginaire de la constante diélectrique ? Qu’est-­‐ce que cela implique pour α ? 6. En déduire ce qu’il se passe lorsque le plasmon de surface se propage le long de l’interface métal-­‐air ? Que devient le coefficient de réflexion à l’interface verre-­‐ métal ? Que se passe-­‐t-­‐il aux autres angles d’incidence ? III. Rayonnement d’un système de N antennes On considère une antenne de longueur L, orientée suivant z. La densité de courant j est monochromatique et dans la direction z. On rappelle que le potentiel vecteur A(r) au point r s’écrit exactement de la manière suivante : ⎛ ω ⎞ exp⎜ i r − r' ⎟ µ ⎝ c ⎠ A (r ) = 0 ∫∫∫ j(r') dx' dy' dz' 4π r − r' 1. Ecrire, dans l’approximation de champ lointain, l’expression du potentiel vecteur A au point r = (x, y, z) dû à une antenne dont le centre est situé à l’origine € des coordonnées en fonction de j(r’). Il est inutile de refaire la démonstration, mais il faut donner les conditions de l’approximation. 2. À la pulsation ω considérée, l’antenne se comporte comme un dipôle (approximation dipolaire). Qu’est-­‐ce que cela implique sur la taille de l’antenne ? Exprimer le nouveau potentiel vecteur en fonction du moment dipolaire p0 défini par : −iωp0 = ∫∫∫ j(r')dx' dy' dz' 3. Quelle est l’expression du champ électrique rayonné en champ lointain (on ne cherchera pas à faire le calcul complet). Dans quelle(s) direction(s) est-­‐il nul ? € 4. On place N antennes dipolaires espacées d’une distance d le long de l’axe Ox (la première antenne est en O). Ecrire le potentiel vecteur rayonné par ce système d’antenne en champ lointain.1 5. Dans quelle(s) direction(s) le rayonnement est-­‐il nul ? maximal ? Le rayonnement est-­‐il plus directif ? Interprétez. 1 On rappelle l’identité suivante : Nα ⎛ (N −1)α ⎞ sin 2 1+ exp(iα ) + exp(i2α ) +… + exp(i( N −1)α ) = exp⎜ i ⎟ α ⎝ ⎠ 2 sin 2 €
