I. Cas général du coefficient de réflexion à l`interface de deux

Examen'd’électromagnétisme'–'avril'2014'
'
Problème'
Les$calculatrices,$ordinateurs$et$téléphones$ne$sont$pas$autorisés.$
Seul$document$écrit$autorisé$:$une$feuille$manuscrite$recto8verso$
!
L’examen!(3!pages)!comporte!trois!exercices!indépendants!
Durée!de!l’examen!:!2!heures.!
I. Cas&général&du&coefficient&de&réflexion&à&l’interface&de&deux&
milieux&en&polarisation&Transverse&Magnétique&(TM)&
!
On! considère! une! interface! plane! séparant! deux! milieux! 1! et! 2,! caractérisés! par! les!
constantes!diélectriques!
€
ε
1
ω
( )
!et!
€
ε
2
ω
( )
.!Une!onde!plane!incidente!polarisée!transverse!
magnétique! (TM)! éclaire! l’interface! dans! le! milieu! 1.! On! appelle!
€
z
! l’axe! normal! à!
l’interface!orienté!de!2!vers!1.!Le!vecteur!d’onde!incident!a!pour!coordonnées!
€
α
1
et!
€
− γ
1
!
dans!le!plan!
€
xOz
.!
!
1. Rappeler!la!définition!de!la!polarisation!TM!
!
2. Écrire! les! équations! de! Maxwell! et! retrouver! l’équation! de! Helmholtz! pour! le!
champ!magnétique!H(r,ω!!dans!chaque!milieu.!
!
3. L’amplitude! du! champ! magnétique! incident! est! H0.! Ecrire! les! solutions! des!
équations! de! Helmholtz! dans! chaque! milieu! en! introduisant! le! coefficient! de!
réflexion!r!et!le!coefficient!de!transmission!t!de!l’interface.!
!
4. Quelles!sont!les!4!relations!de!continuité!des!champs!à!l’interface!?!
!
5. Calculer!l’expression!des!coefficients!de!réflexion!et!de!transmission!de!Fresnel!
en!polarisation!TM.!
!
6. On!suppose!les!constantes!diélectriques!réelles!et!positives.!On!appelle! θ
"#$%#
θ
&#'$(#
)*+'$(#,-.*/.,$*/$# 01.'.$2#"!# $%#,$# 3453)/%.6*#01.'.$2# &!7!A!quelle!condition!sur!les!
angles! θ
"# $%#
θ
&# $%# '$(# .*,./$(# n"# $%# n&! le! coefficient! de! réflexion! TM! peutWil!
s’annuler!?!
!
II. Etude&d’un&plasmon&de&surface&
!
On!considère!une!interface!plane!séparant!de!l’air!d’un!métal,!dont!la!constante!
diélectrique!sera!modélisée!dans!un!premier!temps!par!un!modèle!de!Drude!sans!
pertes!:!
€
ε ω
( )
=1−
ω
P
2
ω
2
.!
!
!

1. Un!plasmon!de!surface!est!caractérisé!par!la!relation!de!dispersion!suivante!:!
€
α =
ω
c
ε ω
( )
1+ ε ω
( )
!
Où!α#$(%#')#8369$/%.6*#,2#:$/%$23#,-6*,$#'$#'6*+#,$#'-.*%$35)/$7#;$#8')(16*#,$#(235)/$#
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€
ω →
ω
P
2
#A D$834($*%$3#')#
3$')%.6*#,$#,.(8$3(.6*#,$#/$%%$#6*,$#0ω#$*#56*/%.6*#,$#α!7#
#
&7 E*#)88$''$#
€
γ
1
#$%#
€
γ
2
#'$(#8369$/%.6*(#(23#'-)<$#z#,$(#:$/%$23(#,-6*,$#)((6/.4(#)2#
8')(16*#,$#(235)/$#,)*(#'$(#1.'.$2<#"#0'-).3!#$%#&#0'$#14%)'!7#F<83.1$3#
€
γ
1
2
#$%#
€
γ
2
2
7#F*#
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#
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#
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θ
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#
#
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#
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€
ε ω
( )
= ε ' ω
( )
+i ε '' ω
( )
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#
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'-.*%$35)/$#14%)'?).3#A#@2$#,$:.$*%#'$#/6$55./.$*%#,$#345'$<.6*#B#'-.*%$35)/$#:$33$?
14%)'#A#@2$#($#8)(($?%?.'#)2<#)2%3$(#)*+'$(#,-.*/.,$*/$#A#
!

III. Rayonnement&d’un&système&de&N&antennes&
!
On!considère!une!antenne!de!longueur$L,!orientée!suivant!z.!La!densité!de!courant!j!est!
monochromatique!et!dans!la!direction!z.!
!
On!rappelle!que!le!potentiel!vecteur!A(r)!au!point!r!s’écrit!exactement!de!la!manière!
suivante!:!
€
A r
( )
=
µ
0
4 π
jr'
( )
∫∫∫
exp i
ω
cr−r'
&
'
( )
*
+
r−r' dx'dy'dz'
!
!
1. Ecrire,!dans'l’approximation'de'champ'lointain,!l’expression!du!potentiel!
vecteur!A!au!point!r'=!(x,!y,!z)!dû!à!une!antenne!dont!le!centre!est!situé!à!l’origine!
des!coordonnées!en!fonction!de!j(r’).!Il!est!inutile!de!refaire!la!démonstration,!
mais!il!faut!donner!les!conditions!de!l’approximation.!
!
2. À!la!pulsation!ω!considérée,!l’antenne!se!comporte!comme!un!dipôle!
(approximation!dipolaire).!Qu’estWce!que!cela!implique!sur!la!taille!de!l’antenne!?!
Exprimer!le!nouveau!potentiel!vecteur!en!fonction!du!moment!dipolaire!p0!défini!
par!:!
€
−i ω p0=jr'
( )
∫∫∫ dx'dy'dz'
!
!
3. Quelle!est!l’expression!du!champ!électrique!rayonné!en!champ!lointain!(on!ne!
cherchera!pas!à!faire!le!calcul!complet).!Dans!quelle(s)!direction(s)!estWil!nul!?!
!
4. On!place!N!antennes!dipolaires!espacées!d’une!distance!d!le!long!de!l’axe!Ox!(la!
première!antenne!est!en!O).!Ecrire!le!potentiel!vecteur!rayonné!par!ce!système!
d’antenne!en!champ!lointain.1!
!
5. Dans!quelle(s)!direction(s)!le!rayonnement!estWil!nul!?!maximal!?!Le!
rayonnement!estWil!plus!directif!?!Interprétez.!
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1!On!rappelle!l’identité!suivante!:
€
1+exp i α
( )
+exp i2 α
( )
+…+exp i N −1
( )
α
( )
=exp i(N−1)
α
2
$
%
& '
(
)
sin N
α
2
sin
α
2
!