Signal 3 L`oscillateur harmonique

Signal 3 L’oscillateur harmonique
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus
Capacités exigibles
Forces.
Mouvement horizontal sans frottement d’une masse accrochée à un ressort linéaire sans masse.
Position d’équilibre.
- Utiliser les forces usuelles (force de rappel d’un ressort).
- Établir et reconnaître l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique.
- Exprimer la solution compte tenu des conditions initiales.
- Caractériser le mouvement en utilisant les notions d’amplitude, de phase,
de période, de fréquence, de pulsation.
- Tracer le portrait de phase.
- Contrôler la cohérence de la solution obtenue avec la conservation de
l’énergie mécanique, l’expression de l’énergie potentielle élastique étant ici
affirmée.
- Déterminer, en s’appuyant uniquement sur des arguments physiques et
une analyse dimensionnelle, la position d’équilibre et le mouvement d’une
masse fixée à un ressort vertical.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 La force de rappel d’un ressort
1.1 Présentation des ressorts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Modélisation de la force de rappel du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Le système masse-ressort horizontal
2.1 Étude dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3
3 Approche énergétique d’un oscillateur harmonique
3.1 L’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 L’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Analyse des phases du mouvement . . . . . . . . . . .
3.4 Le portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
4
4
5
5
6
vertical
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
8
4 Le système masse-ressort
4.1 Position du problème. .
4.2 L’état d’équilibre . . . .
4.3 Résolution . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Beaucoup de systèmes en physique sont des systèmes oscillants. Nous l’avons vu par exemple lors de
l’étude des ondes. Si celles-ci contiennent des composantes sinusoïdales, c’est que le phénomène physique qui
leur a donné naissance l’est sans doute aussi. Nous introduisons dans ce chapitre le modèle de l’oscillateur
harmonique qui permet de décrire ce genre de comportements. Cet exemple est fondamental en physique,
et nous le retrouverons dans une multitude de systèmes physiques très différents, tant en mécanique qu’en
électricité.
1
1.1
La force de rappel d’un ressort
Présentation des ressorts
Un ressort est un fil de métal torsadé. Lorsqu’il est faiblement déformé, l’élasticité naturelle du matériau
tend à le faire revenir à sa configuration de départ.
Maxime Champion - www.mchampion.fr
1/8
Signal 3 : L’oscillateur harmonique
Maxime Champion
Expérience 1 : Manipulation de ressorts
On constate en imposant un effort sur les ressorts que
. si le ressort est comprimé, une force apparaît qui tend à l’étirer ;
. si le ressort est étiré, une force apparaît qui tend à le comprimer.
Cette observation se schématise sur les figure 1.
`
`
O
O
→
−
F
→
−
F
`0
`0
(a) Le ressort est plus étiré que le ressort à vide, la force
#”
de rappel F tend à le comprimer.
(b) Le ressort est plus comprimé que le ressort à vide,
#”
la force de rappel F tend à l’étirer.
#”
Fig. 1 – Schéma de la force de rappel F d’un ressort.
1.2
Modélisation de la force de rappel du ressort
Définition. Un ressort est caractérisé par
. sa longueur à vide `0 qui correspond à la longueur du ressort au repos ;
. sa raideur k qui s’exprime en N/m.
Lorsque le ressort est déformé par une extrémité, celui-ci exerce une force de rappel sur cette même
extrémité. Cette force est donnée par
#”
F (t) = ±k(`(t) − `0 ) #”
ex
avec `(t) la longueur à l’instant t du ressort et #”
e x un vecteur unitaire dirigé le long du ressort.
Le signe de la force se retrouver avec un argument physique schématisé par la figure 1
. si le ressort est étiré, soit ` − `0 > 0, la force est dirigée pour le comprimer ;
. si le ressort est comprimé, soit ` − `0 < 0, la force est dirigée pour l’étirer.
Remarque : Cette modélisation n’est valable que pour les petites déformations. En effet, si
on tire trop fort sur le ressort, celui-ci va se déformer et ne reviendra pas à sa position initiale.
L’hypothèse élastique ne sera alors plus valable.
Dans un exercice, une des premières difficultés sera généralement l’expression de la longueur `(t) en
fonction des données du problème. Cette expression doit être donnée dans le bilan des forces. Par ailleurs,
il faut toujours matérialiser la longueur à vide `0 sur le schéma pour pouvoir faire la discussion sur le signe
de la force.
La discussion sur le signe de la force est toujours importante à mener et elle doit être réalisée au moment
du bilan des forces à l’aide du schéma. La difficulté vient du fait qu’il faut tenir compte de l’orientation
de la force sur le schéma, de l’orientation choisie sur le schéma pour le vecteur unitaire #”
e x et du signe de
` − `0 pour choisir le signe.
2
Le système masse-ressort horizontal
Nous étudions dans ce paragraphe le problème d’un ressort de raideur k et de longueur à vide `0 fixé
à un mur par une de ses extrémité. On attache à l’autre extrémité une masse m. On étire le ressort d’une
certaine longueur L puis on lâche la masse sans lui communiquer de vitesse initiale.
Comme tout problème mécanique, nous allons réaliser toute l’étude à l’aide de la méthode présentée
dans le chapitre M2.
2/8
Signal 3 : L’oscillateur harmonique
2.1
Maxime Champion
Étude dynamique
1. Le système étudié est la masse m dans le référentiel terrestre RT supposé galiléen. Le problème sera
étudié en coordonnées cartésiennes.
2. On fait un schéma dans une situation quelconque en orientant la force de rappel.
`
O
→
−
F
#”
ex
x
`0
Fig. 2 – Schéma du problème du système masse-ressort horizontal.
#”
3. Bilan des forces : F = ±k(`(t) − `0 ) #”
e x . Or, sur le schéma, on a `(t) − `0 > 0 et la force dirigée selon
#”
− e x , ainsi, on a
#”
F = −k(`(t) − `0 ) #”
ex .
4. Seconde loi de Newton :
m #”
a = −k(`(t) − `0 ) #”
ex .
5. Vecteurs cinématique : La position de la masse est donnée par le vecteur position #”
x = `(t) #”
e x , la
#”
#”
#”
#”
˙
¨
vitesse vaut donc v = `(t) e x et l’accélération a = `(t) e x .
6. On projette la seconde loi de Newton sur la direction ex et il vient
¨ = −k(`(t) − `0 ) .
m`(t)
(2.1)
De façon générale en physique, on écrit cette équation comme une équation différentielle sans coefficients
devant la dérivée d’ordre supérieure, soit
¨ + k `(t) = k `0 .
`(t)
m
m
Remarque : A priori, le vecteur accélération peut avoir des composantes sur toutes les directions de l’espace. Or, en faisant la seconde loi de Newton, on constatera que l’accélération sur
les autres directions est nulle. De base, on considérera que le problème est unidirectionnel car
toutes les forces sont selon la même direction.
2.2
L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique
Définition. Un oscillateur harmonique est un système physique décrit par la fonction `(t) vérifiant
l’équation différentielle harmonique
¨ + ω 2 `(t) = ω0 `e
`(t)
(2.2)
0
avec ω0 la pulsation propre du système et `e la valeur d’équilibre de la fonction `(t).
Remarque : Cette équation différentielle est à connaître sous cette forme par cœur.
Ici, la longueur d’équilibre du ressort vaut la longueur à vide `0 .
Cette équation différentielle apparaît dans de très nombreux problèmes physiques, et elle apparaît
d’autant plus lorsque l’on étudie des petites perturbations d’un système autour d’un point d’équilibre.
Pour résoudre cette équation, on utilise la méthode établie dans le chapitre E3, qui est basée sur les règles
mathématiques de résolution d’équation différentielle.
s
Dans le problème du ressort horizontal, on constante ω0 =
3/8
k
.
m
Signal 3 : L’oscillateur harmonique
Maxime Champion
. Solution homogène : la solution de l’équation homogène est
`1 (t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t
avec A et B des constantes. Il y a deux constantes car l’équation différentielle est d’ordre 2.
Remarque : On peut, de manière totalement équivalente, introduire les deux constantes sous
la forme `1 (t) = A cos(ω0 t + φ) avec A et φ les constantes.
. Solution particulière : le second membre est constant donc la solution particulière est une constante
soit
`2 (t) = C =⇒ 0 + ω02 C = ω02 `0 =⇒ `2 (t) = `0 .
. Solution générale :
`(t) = `1 (t) + `2 (t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t + `0 .
. Conditions initiales : il est dit dans l’énoncé que `(0) = L et que la masse est lâchée sans vitesse
˙ = −ω0 A sin ω0 t + ω0 B cos ω0 t. Ainsi,
initiale, soit v(0) = 0. Calculons d’abord la vitesse, on a v(t) = `(t)
les conditions initiales s’expriment
L = A + 0 + `0
et
0=0+B .
Il vient B = 0 et A = L − `0 .
. Ainsi, la position en fonction du temps de la masse est donnée par
`(t) = (L − `0 ) cos ω0 t + `0 .
ω0
Cette fonction est tracée figure 3. On reconnaît la phase φ(t) = ω0 t, la pulsation ω0 , la fréquence f0 =
2π
2π
et la période T =
.
ω0
`(t)
T = 2π/ω0
L
2(L − `0 )
`0
t
Fig. 3 – Représentation graphique de la position de la masse m soumise à la force d’un ressort horizontal sans
vitesse initiale. La masse oscille autour de la position d’équilibre `0 .
3
3.1
Approche énergétique d’un oscillateur harmonique
L’énergie cinétique
Définition. On définit l’énergie cinétique d’une masse m animée d’une vitesse #”
v R dans le référentiel
R par la relation
1
2
(t) .
Ec (t) = mvR
2
L’énergie cinétique dépend du référentiel d’étude car la vitesse en dépend.
˙ #”
Dans le problème précédent, la vitesse dans le référentiel d’étude vaut #”
v = `(t)
e x = −(L−`0 )ω0 sin ω0 t,
soit une énergie cinétique
1
1
Ec = m`˙2 (t) = m(L − `0 )2 ω02 sin2 ω0 t .
2
2
4/8
Signal 3 : L’oscillateur harmonique
3.2
Maxime Champion
L’énergie mécanique
Repartons de l’équation différentielle (2.1) issue de la seconde loi de Newton, soit
¨ + k(`(t) − `0 ) = 0
m`(t)
(3.1)
˙
Pour faire apparaître une équation de puissance, on multiplie par la vitesse `(t).
Il vient
˙ `(t)
¨ + k `(t)(`(t)
˙
m`(t)
− `0 ) = 0 .
(3.2)
On reconnaît, en utilisant la relation mathématique 2f f 0 = (f 2 )0 ,
˙ `(t)
¨ = d
m`(t)
dt
1 ˙2
d
m` (t) =
(Ec (t)) .
2
dt
De la même façon, on reconnaît
˙ `(t)
¨ =
k `(t)
d
dt
1
k(`(t) − `0 )2
2
.
Définition. On définit l’énergie potentielle élastique du ressort par la relation
1
Ep (t) = k(`(t) − `0 )2 .
2
Application 1 : Vérifier que cette expression a bien la dimension d’une énergie.
Avec cette définition et ce qui précède, on constate que la relation (3.2) devient
d
(Ec (t) + Ep (t)) = 0 .
dt
(3.3)
Remarque : Cette méthode est totalement analogue à celle que nous avons utilisé en électricité
pour faire apparaître un bilan de puissance, à savoir la multiplication de la loi des maille par
le courant (ou la loi des nœuds par la tension).
Définition. On définit l’énergie mécanique d’un système comme la somme de l’énergie cinétique du
système et de toutes les énergies potentielles, soit
Em (t) = Ec (t) + Ep (t) .
On constate par l’équation (3.3) que l’énergie mécanique du système se conserve.
Propriété. L’énergie mécanique totale d’un système décrit par une équation harmonique se
conserve.
Cette conservation a des conséquences fortes. En effet, l’oscillation ne s’arrête jamais, le système est toujours
en mouvement. En réalité, cela n’est pas possible car il y a toujours un terme de perte d’énergie, mais qui
est négligeable sur des durée suffisamment courtes.
3.3
Analyse des phases du mouvement
Application 2 : Donner l’expression mathématique de l’énergie potentielle élastique en fonction du
temps. En déduire à l’aide de l’expression de l’énergie cinétique que l’énergie mécanique se conserve
et donner sa valeur.
On déduit de l’application que l’énergie potentielle élastique et l’énergie cinétique sont des fonction de
période π/ω0 . On peut les tracer en fonction du temps, comme cela est fait figure 4.
On peut trouver quatre phases du mouvement à l’aide de ce graphique, comme cela est visualisé dans
l’animation [1].
5/8
Signal 3 : L’oscillateur harmonique
Maxime Champion
Ep (t), Ec (t)
π/ω0
Em
Em /2
t
Fig. 4 – Conservation de l’énergie dans un système masse-ressort horizontal sans vitesse initiale.
Propriété. Un oscillateur harmonique est un système dont l’énergie potentielle se transfert en énergie
cinétique et inversement en permanence.
3.4
Le portrait de phase
Définition. Le portrait de phase d’un système est le tracé de la vitesse v du système en fonction de sa
position x. Il s’agit d’une courbe paramétrée par le temps t, appelée généralement trajectoire.
Dans le cas de l’oscillateur harmonique, on a
1
1
Em = k(` − `0 )2 + mv 2
2
2
qui est une constante du mouvement. Dans ce cas, la position x correspond à la longueur `. Cette équation
est celle d’une ellipse, comme cela est tracé figure 5. Plus l’énergie mécanique est grande, plus l’ellipse sera
grande.
Pour trouver le sens de parcours du système d’une trajectoire dans le portait de phase, on analyse en
un point donné le signe de la vitesse. Par exemple au maximum de la vitesse, celle-ci est positive donc la
position ` augmente, ce qui impose un sens de parcours horaire des trajectoires.
v
vmax
`
`min
`0
`max
vmin
Fig. 5 – Portrait de phase d’un système masse-ressort horizontal. Chaque trajectoire correspond à une énergie
mécanique fixée.
Propriété. Le portrait de phase d’un système décrit par une équation harmonique est un ensemble ellipse
parcourues dans le sens horaire.
6/8
Signal 3 : L’oscillateur harmonique
Maxime Champion
Remarque : Le fait que les trajectoires soient fermées dans le portrait de phase est une matérialisation de la conservation de l’énergie du système et du caractère périodique du mouvement.
Attention, tout système dont l’énergie se conserve n’a pas nécessairement une trajectoire dans
le portrait de phase fermée.
À nouveau, on peut constater les différentes phases du mouvement selon la position sur la trajectoire
du portrait de phase, comme cela est réalisé sur l’animation animation [2].
4
4.1
Le système masse-ressort vertical
Position du problème
Considérons cette fois le même système mais vertical. C’est-à-dire qu’une extrémité du ressort est
fixée au plafond tandis que l’autre est libre. Sur cette
extrémité libre, on place une masse m. À l’instant
initial, on communique une vitesse initiale v0 vers le
bas à la masse qui était à sa position d’équilibre.
O
#”
ez
`0
`
On étudie le problème dans le référentiel terrestre RT supposé galiléen et on se placera en
coordonnées cartésiennes.
z=0
Bilan des forces :
. le poids #”
p = m #”
g = mg #”
ez ;
#”
. la force de rappel du ressort F = ±k(`(t)−`0 ) #”
e z.
#”
#”
Ici `(t) = `0 + z(t) d’où F = ±kz(t) e z . Sur le
schéma, la force est dirigée selon − #”
e z alors que
z(t) est positive, soit donc
#”
F = −kz(t) #”
ez .
Seconde loi de Newton : En notant #”
a le vecteur accélération de la masse, il vient
m #”
a = mg #”
e z − kz(t) #”
ez .
4.2
(4.1)
→
−
F
z(t)
→
−
p
Fig. 6 – Schéma du problème du système masseressort vertical. Attention, l’origine des z est prise au
niveau de la longueur à vide du ressort.
L’état d’équilibre
Lorsque la masse est à la position d’équilibre zeq , son accélération est nulle, ainsi la seconde loi de
Newton (4.1) devient
mg
0 = mg #”
e z − kzeq #”
ez
=⇒
zeq =
.
k
On remarque que zeq > 0, ce qui est cohérent avec le fait que le poids allonge le ressort à l’équilibre.
Dimensionnellement, la longueur mg/k est la seule possible à construire avec les données du problème, ce
sera donc toujours elle qui interviendra pour l’équilibre d’un ressort vertical.
Remarque : Si le ressort était vers le haut, la longueur d’équilibre serait négative car le poids
ferait descendre la masse pour comprimer le ressort.
Application 3 : Vérifier que mg/k est bien homogène à une longueur.
Depmême, on sait que nous allons arriver à une équation d’un oscillateur harmonique de pulsation
ω0 = k/m car c’est la seule façon de construire l’inverse d’un temps avec les données du problème. Le
mouvement sera donc un mouvement sinusoïdal de pulsation ω0 .
7/8
Signal 3 : L’oscillateur harmonique
4.3
Maxime Champion
Résolution
Écrivons les vecteurs cinématiques, on a
# ”
OM = z(t) #”
ez
et
#”
v = ż(t) #”
ez
#”
soit l’équation (4.1) devient, après projection sur l’axe e z
et
#”
a = z̈(t) #”
ez
mz̈(t) = mg − kz(t) .
Cette équation peut être mise sous forme d’une équation différentielle et il vient
z̈(t) +
k
z(t) = g .
m
s
k
. Par ailleurs, pour mettre
m
l’équation sous la forme de l’équation harmonique (2.2), on veut ω02 ze = g soit ze = gm/k = zeq . L’équation
sous forme canonique est donc
z̈(t) + ω02 z(t) = ω02 zeq .
Or pour mettre cette équation sous forme canonique, on reconnaît ω0 =
.
.
.
.
.
On résout cette équation :
Solution harmonique : z1 (t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t ;
Solution particulière : c’est une constante qui vaut z2 (t) = zeq ;
Solution générale : z(t) = z1 (t) + z2 (t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t + zeq ;
Conditions initiales : Calculons d’abord la vitesse v̇(t) = −Aω0 sin ω0 t + Bω0 cos ω0 t.
Puis on a les conditions intilaies z(0) = zeq et ż(t) = v0 .
Soit zeq = A + 0 + zeq et v0 = 0 + Bω0 .
Solution du problème : on a au final
z(t) =
v0
sin(ω0 t) + zeq .
ω0
On peut tracer cette solution figure 7.
z(t)
T = 2π/ω0
zeq
2
v0
ω0
t
Fig. 7 – Représentation graphique de la position de la masse m soumise à la force d’un ressort vertical avec
vitesse initiale. La masse oscille autour de la position d’équilibre zeq .
Application 4 : Tracer le portrait de phase de ce système.
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/
oscillateur_horizontal.php
[2] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort.
php
8/8