S01 : Oscillateur Harmonique
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Oscillateur harmonique Énoncé PCSI2 2016 – 2017 S01 : Oscillateur Harmonique Conseils pour ce TD : • Le cours doit être connu, les applications directes qui y figurent refaites. • Commencez par l’exercice 1, si vous n’arrivez pas à le faire c’est que votre cours n’est pas assez bien su. • Toujours préciser le référentiel d’étude et le système étudié. • Faire une belle figure et y placer les forces (vecteurs) en respectant la direction, le sens voire la norme. • Faire ensuite le bilan des forces exercées sur le système, donner leur expression dans la base vectorielle la plus adaptée. • Vérifier systématiquement l’homogénéité et la cohérence de vos résultats. Exercice 1 : Connaissez-vous votre cours ? On considère une masse µ = 0.2 kg accrochée à un ressort horizontal dont l’autre extrémité est fixe. On repère la position de la masse par l’abscisse x(t). La longueur à vide du ressort est appelée a (a = 10 cm), sa constante de raideur λ (λ = 10 N.m−1 ). On écarte la masse de sa position d’équilibre d’une distance b = 2 cm et on la lâche sans vitesse initiale. 1. Établir l’équation différentielle qui régit le mouvement de la masse. 2. Résoudre cette équation différentielle. Que vaut la période des oscillation ? 3. Quelle est l’amplitude du mouvement ? Que vaut la valeur moyenne de x(t) ? 4. Calculer sa vitesse pour x(t) = 10 cm et x(t) = 9 cm 5. Montrer que l’énergie mécanique de la masse est constante. Exercice 2 : Bus et dos d’âne Un bus vide de masse M =5 tonnes passe au-dessus d’un dos d’âne. Il oscille alors verticalement à la fréquence f =1 Hz. Au retour, le bus est rempli d’une cinquantaine de passagers de masse moyenne m = 60kg . Quelle sera la fréquence des oscillations après le dos d’âne ? Exercice 3 : Exploitation de l’équation du mouvement L’équation horaire du mouvement d’un oscillateur mécanique rectiligne et horizontal est donné par la la relation suivante : x(t) = 4 cos (30t + π/3), avec x en cm et t en s. 1. Donner la période, la fréquence et l’amplitude des oscillations. 2. Donner l’expression de la vitesse et de l’accélération de l’oscillateur en fonction du temps. 3. Calculer les valeurs des amplitudes de la vitesse et de l’accélération. 4. Calculer l’énergie mécanique de l’oscillateur, la masse en mouvement étant m = 0,1 kg. Exercice 4 : Lance pierre On veut savoir à quelle distance il est possible de lancer un caillou avec un lance pierre. Pour cela vous vous aiderez de vos connaissances et des informations suivantes : – Raideur de l’élastique : 100 N.m−1 – Masse volumique du calcaire 2200 kg.m−3 – Lorsque l’on lance un projectile avec une vitesse initiale v0 , la distance maximale atteignable est v02 . g 1 PCSI2 2016 – 2017 Énoncé Signal Exercice 5 : Ressort vertical Retrouver l’équation différentielle qui décrit le mouvement d’une masse suspendue à un ressort vertical de longueur à vide l0 et de constante de raideur k. Exercice 6 : Encore un ressort vertical On allonge un ressort de 0,150 m en y suspendant une masse de 0,300 kg, puis on l’allonge encore de 0,100 m après qu’il a atteint ce point on le lâche sans vitesse initiale. Déterminer : – les valeurs de la constante de rappel k et de la pulsation ω – l’amplitude de l’oscillation xm – l’expression du déplacement x en fonction du temps et la vitesse maximale vm . – l’expression de l’accélération maximale am (dites en quel point x de l’oscillation on a cette accélération maximale) – la vitesse à l’instant t= 0,150 s. Exercice 7 : Masse liée à un ressort sur un plan incliné On considère un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k, dont les extrémités sont reliées à un point fixe O et un point matériel M de masse m. On néglige tout frottement. y Soit un axe Ox sur le plan incliné (voir figure). O ~g 1. Déterminer le , la longueur du ressort à l’équilibre en fonction de l0 , m, g, k et α. M 2. À partir de la position d’équilibre M est déplacé d’une x α distance d < le comptée algébriquement sur Ox et lâché sans vitesse initiale à t = 0. Établir, pour t ≥ 0, l’équation horaire du mouvement de M en fonction de d, k, m et le . Exercice 8 : Oscillations d’une molécule Une molécule de monoxyde de carbone CO est modélisée par deux masses m1 et m2 mobiles sur l’axe 0′ x et liées par un ressort de raideur k et longueur à vide l0 . La position de l’atome d’oxygène (respectivement carbone) est repérée par l’abscisse x1 (respectivement x2 ). Initialement, les deux atomes sont immobiles et leur position notées x01 et x02 . 1. Effectuer un bilan des forces sur l’atome d’oxygène (on négligera le poids). Établir l’équation différentielle de son mouvement. 2. Effectuer un bilan des forces sur l’atome de carbone (on négligera le poids). Établir l’équation différentielle de son mouvement. 3. Ces deux équations sont couplées : le mouvement d’un atome dépend du mouvement de l’autre. On introduit deux fonctions : s = m1 x1 + m2 x2 et d = x1 − x2 . Quelles sont les équations différentielles satisfaites par s et d ? Sont-elles couplées ? 4. Quelle est la forme des solutions correspondantes ? 5. Donner les expressions de x1 et x2 . 6. Quelle est la période des oscillations ? Dans le cas où l’une des deux molécules est beaucoup plus lourde que l’autre, quel résultat retrouve-t-on ? Exercice 9 : Une masse deux ressorts 2 Oscillateur harmonique Énoncé z On accroche un point matériel M entre deux ressorts tels que OO′ = d. Le ressort 2 est identique O au ressort 1 ( raideur k et longueur à vide l0 ) . On utilisera les notations avec l’indice 2 pour l2 , et leq,2 . PCSI2 2016 – 2017 (ressort 1) M (ressort 2) O′ x ~ux d Mise en équation : 1. Écrire l’expression de la force exercée par le ressort 2 sur M en fonction de k, l2 , l0 et le vecteur → unitaire − ux . Vérifier que le signe est correct en étudiant qualitativement les deux cas : ressort allongé puis ressort contracté. 2. Écrire vectoriellement le principe fondamental pour M . 3. Projeter cette relation sur l’axe horizontal. 4. En déduire, en partant notamment de la relation précédente, les valeurs de leq,1 et leq,2 . Résolution : On choisit alors l’origine de l’axe au point O et l’abscisse de M est notée x. 5. Écrire l’équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par x. 6. Résoudre avec précision cette équation différentielle en utilisant les conditions initiales suivantes : au départ le point M a été écarté de sa position d’équilibre (et de repos) d’une distance a dans le sens positif et lâché sans vitesse initiale. La pulsation propre du mouvement sera notée ω0 (on précisera l’expression en fonction de k et m). On indiquera aussi la condition évidente minimale à respecter pour a dans le cadre de ce problème théorique. 3
