S01 : Oscillateur Harmonique

Oscillateur harmonique Énoncé PCSI22016 – 2017
S01 : Oscillateur Harmonique
Conseils pour ce TD :
•Le cours doit être connu, les applications directes qui y figurent refaites.
•Commencez par l’exercice 1, si vous n’arrivez pas à le faire c’est que votre cours n’est pas assez bien
su.
•Toujours préciser le référentiel d’étude et le système étudié.
•Faire une belle figure et y placer les forces (vecteurs) en respectant la direction, le sens voire la norme.
•Faire ensuite le bilan des forces exercées sur le système, donner leur expression dans la base vectorielle
la plus adaptée.
•Vérifier systématiquement l’homogénéité et la cohérence de vos résultats.
Exercice 1 : Connaissez-vous votre cours ?
On considère une masse µ= 0.2 kg accrochée à un ressort horizontal dont l’autre extrémité est fixe.
On repère la position de la masse par l’abscisse x(t). La longueur à vide du ressort est appelée a
(a= 10 cm), sa constante de raideur λ(λ= 10 N.m−1). On écarte la masse de sa position d’équilibre
d’une distance b= 2 cm et on la lâche sans vitesse initiale.
1. Établir l’équation différentielle qui régit le mouvement de la masse.
2. Résoudre cette équation différentielle. Que vaut la période des oscillation ?
3. Quelle est l’amplitude du mouvement ? Que vaut la valeur moyenne de x(t) ?
4. Calculer sa vitesse pour x(t) = 10 cm et x(t) = 9 cm
5. Montrer que l’énergie mécanique de la masse est constante.
Exercice 2 : Bus et dos d’âne
Un bus vide de masse M=5 tonnes passe au-dessus d’un dos d’âne. Il oscille alors verticalement à la
fréquence f=1 Hz. Au retour, le bus est rempli d’une cinquantaine de passagers de masse moyenne
m= 60kg .
Quelle sera la fréquence des oscillations après le dos d’âne ?
Exercice 3 : Exploitation de l’équation du mouvement
L’équation horaire du mouvement d’un oscillateur mécanique rectiligne et horizontal est donné par
la la relation suivante : x(t) = 4 cos (30t+π/3), avec xen cm et ten s.
1. Donner la période, la fréquence et l’amplitude des oscillations.
2. Donner l’expression de la vitesse et de l’accélération de l’oscillateur en fonction du temps.
3. Calculer les valeurs des amplitudes de la vitesse et de l’accélération.
4. Calculer l’énergie mécanique de l’oscillateur, la masse en mouvement étant m= 0,1 kg.
Exercice 4 : Lance pierre
On veut savoir à quelle distance il est possible de lancer un caillou avec un lance pierre. Pour cela
vous vous aiderez de vos connaissances et des informations suivantes :
– Raideur de l’élastique : 100 N.m−1
– Masse volumique du calcaire 2200 kg.m−3
– Lorsque l’on lance un projectile avec une vitesse initiale v0, la distance maximale atteignable est
v2
0
g.
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PCSI22016 – 2017 Énoncé Signal
Exercice 5 : Ressort vertical
Retrouver l’équation différentielle qui décrit le mouvement d’une masse suspendue à un ressort ver-
tical de longueur à vide l0et de constante de raideur k.
Exercice 6 : Encore un ressort vertical
On allonge un ressort de 0,150 m en y suspendant une masse de 0,300 kg, puis on l’allonge encore
de 0,100 m après qu’il a atteint ce point on le lâche sans vitesse initiale. Déterminer :
– les valeurs de la constante de rappel ket de la pulsation ω
– l’amplitude de l’oscillation xm
– l’expression du déplacement xen fonction du temps et la vitesse maximale vm.
– l’expression de l’accélération maximale am(dites en quel point xde l’oscillation on a cette accélé-
ration maximale)
– la vitesse à l’instant t= 0,150 s.
Exercice 7 : Masse liée à un ressort sur un plan incliné
On considère un ressort de longueur à vide l0et de raideur k, dont les extrémités sont reliées à un
point fixe Oet un point matériel Mde masse m.
On néglige tout frottement.
Soit un axe Ox sur le plan incliné (voir figure).
α
~g
Ox
y
M
1. Déterminer le, la longueur du ressort à l’équilibre en fonc-
tion de l0,m,g,ket α.
2. À partir de la position d’équilibre Mest déplacé d’une
distance d < lecomptée algébriquement sur Ox et lâché
sans vitesse initiale à t= 0.
Établir, pour t≥0, l’équation horaire du mouvement de
Men fonction de d,k,met le.
Exercice 8 : Oscillations d’une molécule
Une molécule de monoxyde de carbone CO est modélisée par deux masses m1et m2mobiles sur
l’axe 0′xet liées par un ressort de raideur ket longueur à vide l0. La position de l’atome d’oxygène
(respectivement carbone) est repérée par l’abscisse x1(respectivement x2). Initialement, les deux
atomes sont immobiles et leur position notées x0
1et x0 2.
1. Effectuer un bilan des forces sur l’atome d’oxygène (on négligera le poids). Établir l’équation
différentielle de son mouvement.
2. Effectuer un bilan des forces sur l’atome de carbone (on négligera le poids). Établir l’équation
différentielle de son mouvement.
3. Ces deux équations sont couplées : le mouvement d’un atome dépend du mouvement de l’autre.
On introduit deux fonctions : s=m1x1+m2x2et d=x1−x2. Quelles sont les équations
différentielles satisfaites par set d? Sont-elles couplées ?
4. Quelle est la forme des solutions correspondantes ?
5. Donner les expressions de x1et x2.
6. Quelle est la période des oscillations ? Dans le cas où l’une des deux molécules est beaucoup
plus lourde que l’autre, quel résultat retrouve-t-on ?
Exercice 9 : Une masse deux ressorts
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Oscillateur harmonique Énoncé PCSI22016 – 2017
x
z
~ux
OO′
(ressort 1) (ressort 2)
M
d
On accroche un point matériel Mentre deux res-
sorts tels que OO′=d. Le ressort 2 est identique
au ressort 1 ( raideur ket longueur à vide l0) .
On utilisera les notations avec l’indice 2 pour l2,
et leq,2.
Mise en équation :
1. Écrire l’expression de la force exercée par le ressort 2 sur Men fonction de k,l2,l0et le vecteur
unitaire −→ ux. Vérifier que le signe est correct en étudiant qualitativement les deux cas : ressort
allongé puis ressort contracté.
2. Écrire vectoriellement le principe fondamental pour M.
3. Projeter cette relation sur l’axe horizontal.
4. En déduire, en partant notamment de la relation précédente, les valeurs de leq,1et leq,2.
Résolution : On choisit alors l’origine de l’axe au point Oet l’abscisse de Mest notée x.
5. Écrire l’équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par x.
6. Résoudre avec précision cette équation différentielle en utilisant les conditions initiales sui-
vantes : au départ le point M a été écarté de sa position d’équilibre (et de repos) d’une distance
adans le sens positif et lâché sans vitesse initiale. La pulsation propre du mouvement sera notée
ω0(on précisera l’expression en fonction de ket m). On indiquera aussi la condition évidente
minimale à respecter pour adans le cadre de ce problème théorique.
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