Feuille 2

Master de mathématiques
Probabilités
2010-2011
Probabilités conditionnelles
Exercice 1. Dans un magasin, 70% des machines viennent d’une usine A et 30% d’une
usine B. Parmi celles venant de A, 20% présentent un défaut. Parmi celles venant de B,
10% présentent un défaut.
1) Déterminer le pourcentage de machines dans le magasin présentant un défaut.
2) Une machine donnée présente un défaut. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de
l’usine B ?
Exercice 2. On s’intéresse à la fiabilité d’un alcootest pour automobilistes. Grâce à
des études statistiques sur un grand nombre d’automobilistes, on sait que 0,5% d’entre
eux dépassent la dose d’alcool autorisée. Aucun test n’est fiable à 100%. Avec celui que
l’on considère, la probabilité que le test soit positif quand la dose d’alcool autorisée est
dépassée, et la probabilité que le test soit négatif quand elle ne l’est pas, valent toutes
deux ρ = 0, 95. Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ayant un test positif ait
réellement dépassé la dose d’alcool autorisée ? Quelle devrait être la valeur de ρ pour que
cette probabilité soit de 95% ? Un policier affirme : Ce test est beaucoup plus fiable le
samedi soir à la sortie des boites de nuit ! Sachant que la proportion d’automobilistes
ayant trop bu est alors de 30%, déterminer s’il a raison.
Exercice 3. Vous jouez aux échecs contre un adversaire X. Vous n’excluez pas la possibilité qu’il triche. A quelle condition, sa victoire (votre défaite) renforcera-t-elle la probabilité qu’il triche ?
Exercice 4. Une maladie touche 5 % d’une population. On dispose d’un test. Si le test
d’un individu est positif alors cet individu subit une intervention chirurgicale. Dans 10%
des cas cette intervention provoque des complications, lésions,... Le test est positif 90 fois
sur 100 si la personne testée est malade, 10 fois sur 100 si elle n’est pas atteinte de cette
maladie.
1) Calculer la probabilité que ce patient soit atteint de la maladie sachant qu’il a été opéré
suite à un test positif et que l’opération a été suivie de complications.
2) Comparer les probabilités des événements “L’individu est malade, testé positivement,
opéré sans problème" et “L’individu n’est pas malade, testé positivement, opéré avec complications".
Exercice 5. Madame Gloria Stewart prétend avoir un pouvoir de vision extrasensorielle.
Une équipe de chercheurs américains lui fait subir une expérience. On lui présente 5 cartes,
elle doit deviner la valeur d’une carte sans la voir. Cette question lui est posée 37 100 fois.
Elle trouve la bonne réponse 9410 fois. L’équipe de chercheurs affirme qu’une application
simple du théorème de Bayes permet d’aboutir à la conclusion que madame Stewart
a effectivement un pouvoir extrasensoriel avec une grande probabilité. Reconstituez le
raisonnement probabiliste basé sur la formule de Bayes. Qu’en pensez-vous ?
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Master de mathématiques
2010-2011
Probabilités
Le théorème de Bayes en continu
Considérons une variable aléatoire Y de loi de densité fY . Supposons connues les probabilités conditionnelles :
P(B|Y = λ).
Ignorant la valeur de λ on peut calculer la probabilité d’un événement A par la formule
Z
P(A) = P(A|Y = λ)fY (λ)dλ.
On vérifie que cette formule définit bien une probabilité. Les quantités apparaissant dans
l’intégrale sont données. La loi de Y sous cette probabilité est bien la loi de densité fY :
Z
Z y
P(x < Y < y) = P(x < Y < y|Y = λ)fY (λ)dλ =
fY (λ)dλ,
x
car P(x < Y < y|Y = λ) est l’indicatrice du segment ]x, y[.
On veut renverser le conditionnement. On observe un événement B. Quelle loi suit maintenant la variable aléatoire Y ? Quelle est la densité de Y sachant B ?
P(Y ∈ I|B) =
P(B|Y ∈ I)P(Y ∈ I)
P(B|Y ∈ I)P(Y ∈ I)
=R
P(B)
P(B|Y = λ)fY (λ)dλ
Divisons les deux termes de cette égalité par la longueur de I, et prenons pour I une suite
d’intervalles dont l’intersection est réduite à λ. On obtient (sous certaines conditions de
continuité) l’expression de la densité de Y sachant B
fY |B (λ) = R
P(B|Y = λ)fY (λ)
.
P(B|Y = λ)fY (λ)dλ
Remarque sur les conditions de continuité : le calcul précédent nécessite que certaines
fonctions soient continues en λ. Comme on recherche une densité, il suffit de savoir la
déterminer partout sauf en un nombre fini de points. La continuité peut donc n’être pas
vérifiée en un nombre fini de points sans que cela nous dérange.
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