Chapitre III : Vibrations transversales d`une corde 1. Equation de d

Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1
Phénomènes de propagation unidimensionnels non dispersifs
Chapitre III : Vibrations transversales d’une corde
Objectifs :
•Mise en équation de la propagation de vibrations transversales dans une corde ;
•Etude de la corde de Melde.
1. Equation de d’Alembert
1.1. Position du problème
Nous considérons une corde, dont les extrémités sont xées à des supports xes. Nous supposons qu’elle est su sament
tendue pour pouvoir négliger son poids : au repos la corde est rectiligne et sa direction est confondue avec l’axe Ox.
Si la corde est écartée transversalement de sa position d’équilibre puis lachée, elle tend à y revenir et cette évolution se
manifeste par la propagation de la déformation le long de la corde.
Nous supposons que la corde est inniment souple : elle est sans raideur et elle n’oppose donc aucune résistance à sa torsion.
Dans une telle situation la force interne entre éléments adjacents de la corde (appelée tension) a toujours pour direction
celle de la tangente locale à la corde.
Nous appelons tension de la corde au point Mla force, notée  T(M,t), exercée par la partie de la corde située à droite de
Msur la partie située à gauche. Au repos, pour tout point Mde la corde  T(M,t)= T0=cste.
Le déplacement à l’instant td’un point Md’abcisse initiale xsera noté s(x, t). Nous supposons que le problème est plan et
le plan des vibrations est noté (O,x,y).
x
y
s(x,t)
M
M0
x
T(x,t)
1.2. Equations du mouvement
1.2.1. Cas général
Soit µla masse linéique (constante) de la corde tendue, au repos.
Nous nous plaçons dans le référentiel du laboratoire (évidement galiléen pour cette expérience).
Le système étudié est un petit élément de corde compris entre xet x+dx.
x
y
s(x,t)
M
M0
x
T(x,t)
s(x+dx,t)
P
P0
x+dx
T(x+dx,t)
G
G0
x+dx/2
Bilan des forces :
•action de la corde située avant M: T(x, t)d’après la troisième loi de Newton ;
•action de la corde située au delà de P: T(x+dx, t).
Appliquons le théorème du centre d’inertie au système : macentre dinertie =
f
Nous obtenons alors :
(µdx)2s(x+dx/2,t)
t2=
T(x+dx, t) T(x, t)
soit µ2s(x+dx/2,t)
t2=
T(x+dx, t) T(x, t)
dx

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en faisant tendre dx vers zéro, il vient :
µ2s(x,t)
t2=
T(x,t)
x
1.2.2. Approximation des petites amplitudes
Nous avons supposé que les vibrations se faisait dans le plan (O,x,y):
s(x, t)=sx(x, t)ex+sy(x, t)ey
x
y
s(x,t)
M
M0
x
T(x,t)
Soit (x, t)l’angle que fait la tangente avec l’axe horizontal Ox.
L’équation µ2s(x,t)
t2=
T(x,t)
xse projette alors sur les axes Ox et Oy :
µ2sx(x,t)
t2=[Tx(x,t)] x=[T(x,t)cos((x,t))] x
µ2sy(x,t)
t2=[Ty(x,t)] x=[T(x,t)sin((x,t))] x
Nous supposons que les vibrations sont d’amplitudes faibles ; nous obtenons alors deux simplications :
•l’allongement relatif de la corde est su sament petit pour négliger les variations de tension,
soit |TT0|T0. Dans la suite nous prendrons TT0:
µ2sx(x,t)
t2T0
[cos((x,t))]
x
µ2sy(x,t)
t2T0
[sin((x,t))]
x
•l’angle est toujours très faible et nous e1ectuons donc des développements limités à l’ordre 1:
µ2sx(x,t)
t2T0
[1]
x=0
µ2sy(x,t)
t2=T0
[(x,t)]
x
Le mouvement d’un point de la corde est négligeable dans la direction (Ox):les vibrations de la corde sont des
ondes tranverses.
1.2.3. Equation de propagation
Pour obtenir l’équation de propagation il faut exprimer en fonction de syet remplacer dans l’équation µ2sy(x,t)
t2=
T0
[(x,t)]
x.
Soit  t=txex+tyeyle vecteur tangent à la corde en M. L’angle est su sament faible pour écrire
tan =ty
tx
Le vecteur tangent  test donné par
t=1
OM
x
OM
xavec 
OM = OM0+
M0M=xex+sx(x, t)ex+sy(x, t)ey
t=1
OM
x
1+sx(x, t)
xex+sy(x, t) xey
t1
OM
x
ex+sy(x, t)
xeyau 1er ordre

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nous obtenons alors :
sy(x, t)
xµ2sy(x, t) t2=T0
[(x, t)]
x=T0
sy(x,t)
x
x=T0
2sy(x, t)
x2
Pour alléger les notations, posons u=sy.
Dans l’approximation des faibles amplitudes, les ondes de déplacement transverse u(x, t)se
propageant le long d’une corde sans raideur sont solutions de l’équation de propagation uni-
dimensionnelle de d’Alembert :
2u
x21 v2
2u
t2=0avec v=T0 µ
1.2.4. Couplage
Soit Vla vitesse de déplacement transverse V=u
t=sy t
µ2sy(x,t)
t2=[Ty(x,t)] x
Ty(x, t)=T0sin ((x, t)) T0(x, t)µV
t=Ty x
Ty(x, t)=T0(x, t)=T0
sy(x,t)
x
µV
t=Ty x
Ty(x,t)
t=T0 tsy(x,t) x=T0 xsy(x,t) t=T0
V(x,t)
x
Nous obtenons donc : µV
t=Ty x
Ty
t=T0V x
Le phénomène de propagation a pour origine le couplage liant les évolutions de la vitesse
transverse V(x, t)etlacomposantetranversedelaforceT(x, t)de la tension de la corde :
•une déformation de la corde entraîne l’apparition d’une force ;
•une tension entraîne l’apparition d’une vitesse de déplacement.
2. Vibrations libres d’une corde +xée à ses extrémités
Soit une corde de longueur Lxée à ses deux extrémités. Nous étudions les mouvements transverses libres de cette corde.
2.1. Recherche des solutions
Les solutions de l’équation d’onde de d’alembert à une dimension sont de la forme :
u(x, t)=ftx
v+gt+x v
Cette solution doit vérier les conditions aux limites suivantes :
tu(0,t)=0tf(t)+g(t)=0
tu(L, t)=0tf
tL
v+gt+L v=0
ftL
v=gt+L v=ft+L v
Les fonctions fet gsont donc périodique et de période temporelle T=2L
vet donc de pulsation =2 T=v L.Nouse1ectuons
alors une décomposition en série de Fourier de la fonction f:
f(t)=
+
n=0
[ancos (nt)+bnsin (nt)]
u(x, t)=
+
n=0 ancos ntx
v+bnsin ntx v
+
n=0 ancos nt+x
v+bnsin nt+x v
La solution est donc :
u(x, t)=
+
n=1 ((2bn)cos(nt)+(2an)sin(nt)) sin nx
v
il s’agit d’une onde stationnaire car les variables xet tsont découplées.

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2.2. Modes propres de vibration
La solution générale précédente est la superposition d’ondes stationnaires monochromatiques un(x, t)=Fn(x)Gn(t):
un(x, t)=[(2bn)cos(nt)+(2an)sin(nt)] sin nx
v
=F0nsin nx
vG0ncos (nt+n)
•la période spatiale de Fn(x)=F0nsin nx
v=F0nsin n Lx=F0nsin 2 nxest n=2L n=0 n
•la fréquence temporelle de Gn(t)=G0ncos (nt+n)est !n=nv
2L=n!0
•période spatiale et fréquence temporelle sont liées par la relation n=v/!n
Les ondes se propageant librement le long d’une corde, de longueur L,+xée à ses extrémités x=0
et x=L, sont des superpositions des modes propres d’oscillation de la corde vibrante c’est à dire
des superpositions d’ondes stationnaires monochromatiques de période spatiale net de fréquence
temporelle !nquanti+ées :
n=0
n=2L net !n=n!0=nv 2L
L’onde est donnée par :
u(x, t)=+
n=1 (Ancos (2#!nt)+Bnsin (2#!nt)) sin 2#x
n
Lorsque la corde vibre dans le mode propre n:
•elle est immobile aux extrémités x=0et x=Lainsi qu’aux points d’abcisse x=p(L/n);
ces points sont appelés noeuds de vibration sont au nombre de n+1.
•les points situés au milieu de deux noeuds successifs vibrent avec une amplitude maximale ;
ces points d’abcisse x=(p+1/2) (L/n)sont appelés ventres de vibration.
•un(x, t)peut se s’écrire comme la superposition de deux ondes planes progressives mono-
chromatiques de même pulsation, de même amplitude et se propageant en sens inverse.
démonstration :
un(x, t)=[Ancos (2#!nt)+Bnsin (2#!nt)] sin 2#x
n
=Cncos (2#!nt+n)sin2#x
n
=Cn
2sin 2#!nt+n+2#x nCn 2sin 2#!nt+n2#x n
=Cn
2sin 2#x n
+2#!nt+nCn
2sin 2#x n
+2#!nt+n
=Cn
2sin (knx+nt+n)Cn 2sin (knx+nt+n)
=Cn
2cos # 2(knx+nt+n)Cn 2cos # 2(knx+nt+n)
=Cn
2cos knx+# 2nnt+Cn 2cos knx+# 2nnt
Remarque : le premier mode propre, de plus basse fréquence, est appelé mode fondamental. Les autres modes, appelés
harmoniques, ont une fréquence multiple entier de la fréquence du mode fondamental.

Physique des ondes. Chapitre III : Vibrations transversales d’une corde 5
L=
1
/ 2
L/2=
2
/ 2 L/2=
2
/ 2
L/3=
3
/ 2
L/3=
3
/ 2
L/3=
3
/ 2
mode 1
mode 2
mode 3
3. Corde de Melde
3.1. Dispositif expérimental
La code de Melde est une corde est tendue entre deux extrémités :
•la première est constituée par une lame vibrante, soumise à une électroaimant excitateur, qui e1ectue de petites
oscillations verticales à la fréquence !.
•la seconde est constituée par une poulie sur laquelle la corde, enroulée, est tendue par le poids d’une masse Majustable.
GBF
M
poulie
électroaimant
lame vibrante
x
O
3.2. Observations
A la mise en route de l’électroaimant, nous observons un régime transitoire qui laisse place à des oscillations forcées à la
fréquence !imposée par l’électroaimant. Nous pouvons alors étudier la réponse de la corde en fonction de la fréquence de
l’excitation.
En général, l’amplitude des oscillations reste faible (même ordre de grandeur que l’amplitude du vibreur) sauf pour certaines
fréquences !npour lesquelles la corde entre en résonance.
3.3. Recherche des solutions
Nous étudions le régime forcé associé à une excitation sinusoïdale de pulsation . Nous recherchons donc les solutions u(x, t)
stationnaires sinusoïdales de l’équation de d’Alembert associée à la corde de Melde :
u(x, t)=F(x)G(t)=Ucos (kx +F)cos(2#!t+G)
L’équation de d’Alembert s’écrit :
2u
x21 v2
2u
t2=0k2u+(2#!)2 v2u=0