TD16 Bilan energetique d un solenoide en regime variable c

MP – Physique-chimie. Travaux dirigés
Jean Le Hir, 30 novembre 2007 Page 1 sur 2
Bilan énergétique d’un solénoïde en régime variable-corrigé
1- Que signifie l’expression « lentement » variable ? Expression de
B
à l’intérieur du solénoïde ?
Nous nous plaçons délibérément dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires
(ARQS). C’est une condition pour que l’on puisse parler du courant dans le solénoïde sans préciser à
quel endroit dans le solénoïde, c’est-à-dire dans quelle spire.
Dans l’ARQS, le champ magnétique a la même expression qu’en régime permanent, soit :
( )
0 0 0 0
t
S r z z
B j e ni t e ni e e
−τ
=µ ∧ =µ =µ
où
z
e
est le vecteur unitaire selon l’axe du solénoïde orienté par le sens du courant I.
2- Symétries du champ électrique
E
L’équation de Maxwell-Faraday nous indique que le champ
E
a un rotationnel uniforme de direction
z
e
. Cela signifie que les lignes de champ s’enroulent autour de
z
e
et donc que le champ est
orthoradial. Les invariances par rotation autour de O z et par translation selon O z impliquent que la
valeur algébrique orthoradiale du champ ne dépende que de r , ce qui implique :
(
)
(
)
, E E r t e
θ θ
= θ
Remarque : un autre argument peut être entendu pour prouver cela. Tous plan contenant l’axe O z est
un plan d’antisymétrie de la distribution des sources électromagnétiques (ici les courants). Il s’ensuit
que tous les champs de vecteurs polaires (les « vrais » vecteurs comme
E
et
A
) sont antisymétriques
par rapport à une tel plan. Corollairement, tout point M de l’espace appartenant à un tel plan, le champ
en M est orthogonal à ce plan, c’est-à-dire orthoradial.
3- Exprimer la circulation du champ
E
le long d’un parcours circulaire de rayon r
(
)
r R
<
d’axe O z et
orienté dans le sens direct. En déduire l’expression de
(
)
,
E r t
.
Nous appliquons le théorème de Stokes sur un tel parcours :
rot
z
S S
d
E d E n dS B e dS
dt
+
⋅ = ⋅ = − ⋅
∫ ∫∫ ∫∫
C
La composante
E
θ
de dépendant que de r, la circulation du champ électrique s’écrit simplement :
2
E d E e d E d rE
θ θ θ θ
⋅ = ⋅ = = π
∫ ∫ ∫
C C C
D’autre part, le champ magnétique étant uniforme, le flux a une expression très simple :
2 2 0 0
t
z z z z
S S S
B e dS B dS B dS dS r B r ni e
−
τ
⋅ = = = π = π µ
∫∫ ∫∫ ∫∫
Nous en déduisons l’expression du champ électrique :
2
20 0
0 0
2
t t
r ni
d
rE r ni e e
dt
− −
τ τ
θ
π µ
π = −π µ =
τ
Et donc :
( )
0 0
,
2 2
tz
r ni r B
E r t e e e
−τ
θ θ
µ
= =
τ τ

LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Travaux dirigés
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4- Montrer que dans le cas présent d’un régime « lentement » variable, la densité volumique d’énergie
électrique est négligeable devant la densité volumique d’énergie magnétique.
Nous avons
2
2
e 0 0
1 1
2 2 2 z
r B
u E = ε = ε
τ
et
2
2
m
0 0
2 2
z
B
B
u= =
µ µ
.
Par conséquent :
2
2 2
2
m
e 0 0 0 0
2 2 1 2 2
2
z
z
u B
c
u r B r r
τ τ τ
= × = =
µ ε ε µ
c
τ
représente la distance parcourue par l’interaction électromagnétique dans le temps caractéristique
de la variation du champ. Par définition, dans l’ARQS, cette distance est très grande par rapport à la
plus grande des dimensions du circuit, c’est-à-dire ici par rapport à la longueur du solénoïde et donc
a fortiori par rapport à r . Nous en déduisons donc que
e m
u u
.
5- Montrer que le vecteur de Poynting
Π
est radial et déterminer son expression de la forme
(
)
(
)
(
)
, , ,
r r
r t r t e
Π θ = Π θ
.
Par définition :
2
2 2
20 0
0 0 0
2 2 2
t
z z
z z r r
r n i e
r B r BE B
e B e e e
−τ
θ
µ
∧
Π = = ∧ = =
µ τµ µ τ τ
Cette expression est bien de la forme attendue, avec
( )
2
2 2
0 0
,
2
t
r
n i
r t re
−
τ
µ
Π = τ
6- On démontre qu’en coordonnées cylindriques
(
)
div 2
r
re
=
. Le théorème de Poynting est-il vérifié ?
Nous avons donc
( )
2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
div div
2
t t
r
n i n i
re e e
− −
τ τ
µ µ
Π = =
τ τ
D’autre part, la densité volumique d’énergie électromagnétique étant principalement magnétique, soit
2
2 2
20 0
em m 0
2 2
t
z
n i
B
u u e
−
τ
µ
= =
µ
, nous avons donc :
2
2 2
em 0 0
m
t
u n i
du
e
t dt
−
τ
∂ µ
= −
∂ τ
Nous retrouvons bien la formule correspondant au théorème de Poynting en l’absence de courant :
em
div 0
ut
∂
Π− =
∂
7- Faire le bilan d’énergie pour un morceau de solénoïde de longueur entre l’instant 0 où le courant
électrique a une valeur initiale
0
i
et un temps « infini » au bout duquel le courant s’est annulé.
Commenter ce bilan d’énergie.
À l’instant initial, l’énergie électromagnétique a pour valeur
( ) ( )
2 2
2 2
0 0
em m
0 0
2
n i
R u R µ π = πE  
Le flux instantané du vecteur de poynting sortant du volume du solénoïde a pour expression :
( )
2
2 2
20 0
ext 2 , t r
S
n i
n dS R R t R e
−τ
µ
Π⋅ = π ×Π = π =
τ
∫∫
P
Ce flux correspond à la puissance
P
rayonnée et en intégrant cette puissance entre
0
t
=
et l’infini,
nous obtenons :
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0
2 2
t t
n i n i n i
dt R e dt R e R
∞
∞ ∞ − −
τ τ
µ µ µ
τ
= π = π = π
τ τ  
∫ ∫
P  
(
)
em
0
=
E
Toute l’énergie magnétique initialement présente sera rayonnée…