Question EM1 Une guirlande électrique pour arbre de

Question EM1
Une guirlande électrique pour arbre de Noël est formée de 20 ampoules connectées en série.
Elle consomme 575 W quand on la branche sur le secteur de 230 V. Que vaut le courant dans
les ampoules ? Quelle est la résistance de chaque ampoule prise isolément ?
Réponse
Le courant qui parcourt la guirlande est 575/230 A = 2,5 A. La résistance de la guirlande est 20
R, si R est la résistance d’une ampoule. La loi d’Ohm nous apprend que (20 R) x (2,5 A) = 230 V,
ou que R = 230/50 = 4,6
Question EM2
Trois ampoules d'éclairage consomment respectivement 20 W, 30 W et 60 W quand on les
branche séparément sur le secteur (230 V). Quelle puissance consommeront-elles à trois si on
les raccorde en parallèle au même secteur ? Et si on les raccorde en série (en supposant que la
modification du raccordement soit sans effet sur la résistance des ampoules) ?
Réponse
Lorsqu’on branche les ampoules en //, elles restent chacune soumises à une différence de
potentiel de 230 V.
Comme la résistance de chaque ampoule est indépendante de la manière dont on les raccorde
et que P = V2/R, la puissance totale vaut P = V/R = V(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) = V/R1 + V/R2 + V/R3 = P1
+ P2 + P3 = 110W.
En série, on branche une résistance sur les 230 V, et il faut donc commencer par ajouter les 3
résistances : puisque P = V²/R, où P est la puissance consommée par l’ampoule, on a R = V²/P,
et donc Psérie = V²/(R1 + R2 + R3) = V²/(V²/P1 + V²/P2 + V²/P3) = 1/(1/P1 + 1/P2 + 1/P3) = 1/(3/60 +
2/60 + 1/60) = 60/6 = 10 W.
Question EM3
Un condensateur de 50 µF dans un flash électronique fournit une puissance moyenne de 10 kW
pendant 2 ms. A quelle différence de potentiel doit-on initialement charger le condensateur ?
Quelle est sa charge initiale ?
Réponse
L’énergie fournie pendant la décharge est 10000 W × 0,002 s = 20 J.
Par ailleurs, l’énergie accumulée dans un condensateur chargé vaut CU²/2, donc U² = (2/C) × 20
J = 40/(5 × 10-5) = 800000 V², et donc U = 894 V.
Pour la charge, Q = CU = 894 × 5 × 10-5 = 44721 µC.
Question EM4
On charge un condensateur plan sous une certaine différence de potentiel, puis on déconnecte
les deux armatures.
1) Si la distance qui sépare les deux plaques double, cette distance restant petite devant leur
taille, et les effets de bord étant donc négligeables, que deviennent les grandeurs suivantes?
2) Et si on injecte un diélectrique tel que K = 4 ?
a. la charge du condensateur.
b. le champ électrique entre les plaques.
c. la différence de potentiel entre les plaques.
d. la densité de charge à la surface des plaques.
e. l'énergie électrostatique emmagasinée.
f. la capacité du condensateur.
Justifiez, pour les grandeurs qui changent comme pour celles qui ne changent pas.
Réponse
Dans les deux cas 1 et 2,
a. charge Q invariante, puisqu’on a déconnecté et qu’aucune charge supplémentaire
n’a été amenée.
d. Invariante, puisque la charge l’est et que la surface des plaques ne varie pas
davantage.
Dans le cas 1, quand la distance entre les deux plaques double :
b. Champ électrique E
invariant, puisque le champ électrique entre les deux
0
plaques ne dépend pas de leur distance, mais dépend de la densité superficielle de
charge électrique et de la permittivité du milieu, qui ne changent pas.
c. La différence de potentiel U E.d double, puisqu’elle est donnée par le produit du
champ électrique (invariant) par la distance qui sépare les plaques, distance qui
double.
e. L’énergie : elle double, puisqu’elle vaut ½ Q. U, que Q est invariante, et que U
double. Il faut d’ailleurs fournir du travail pour écarter les plaques, qui s’attirent.
f. La capacité C = Q/ U est divisée par 2, puisque Q est invariant et que U double.
Dans le cas 2, si on injecte un diélectrique tel que K = 4 :
b. Champ électrique divisé par 4 car E
4
.
0
c. La différence de potentiel U E.d est divisée par 4 car le champ électrique est
divisé par 4, et la distance d ne change pas.
e. L’énergie est divisée par 4 puisqu’elle vaut ½ Q. U, que Q est toujours invariante, et
que U est divisée par 4.
f. La capacité C = Q/ U est multipliée par 4, puisque Q est toujours invariant et que U
est divisée par 4.
Question EM5
Les 4 sommets du carré ABCD portent 4 charges électriques qA = 3 µC, qB = 1 µC,
qC = 1µC, qD = - 3 µC. Quelle est la direction du champ électrique au centre du carré, et quel est
son module, sachant que le côté du carré est de 10 cm (k, la constante de couplage
électrostatique, vaut 9 109 N.m²/C²) ?
A--------B
|
|
|
|
C--------D
Réponse
Les champs électriques créés par les charges B et C s’annulent exactement au centre du
carré.
Il ne reste donc que les champs créés par A et D, qui pointent tous les 2 vers D (sur la
diagonale du carré) ; la distance AD est 10 cm × √2, la distance de A ou de D au centre est la
moitié, soit 10 cm/√2, et le champ créé par A est donc k × 3 × 10-6/(50 ×10-4) = 5,4 × 106 V/m
= 5,4 × 106 N/C, le champ au centre est le double et vaut 10,8 MV/m = 10,8 × 10 6 N/C.
Question EM6
On désire conférer à une particule de charge q (< 0), initialement au repos, une vitesse vo.
Comment pourrait-on procéder ?
a) On la soumet à un champ magnétique parallèle à vo.
b) On la soumet à un champ magnétique anti-parallèle à vo.
c) On la soumet à un champ magnétique perpendiculaire à vo.
d) On la soumet à un champ électrique anti-parallèle à vo.
e) On la soumet à un champ électrique parallèle à vo.
f) On la soumet à un champ électrique et à un champ magnétique perpendiculaires entre eux et
tous deux perpendiculaires à vo.
Discuter la pertinence des différentes propositions du point de vue de l’objectif poursuivi
(conférer à la charge la vitesse vo), en expliquant comment un champ électrique et un champ
magnétique peuvent agir sur une charge.
Réponse
Un champ magnétique est incapable de mettre une charge initialement au repos en
mouvement, il peut seulement modifier la direction de son mouvement, les propositions a, b, c
sont donc fausses.
Puisque la charge de la particule est négative, la force qu’elle subit a une direction opposée à
celle du champ électrique. La bonne réponse est donc la d. La e est aussi fausse puisqu’un
champ électrique perpendiculaire à vo donne une accélération elle-même perpendiculaire à vo.
Question EM7
Une boucle de fil carrée parcourue par un courant est placée dans un champ magnétique qui
pénètre de haut en bas dans le plan du dessin (voir ci-dessous). Le module de B est croissant en
fonction de x, comme l’indique le nombre de symboles représentés. Les forces agissant sur la
spire ont-elles une résultante non nulle ? Si oui, quelle est l’orientation de cette résultante ?
Expliquer.
y
B
i
x
Réponse
Chaque brin de conducteur rectiligne (soit les 4 côtés du rectangle) subit une force à la fois
perpendiculaire au champ B, donc dans le plan du schéma, et perpendiculaire à lui-même. La
règle de la main droite montre que ces forces sont toutes les 4 dirigées vers l’intérieur du
rectangle. Les 2 forces qui s’exercent sur les côtés parallèles à l’axe x se compensent
exactement ; il n’en va pas de même pour les forces qui s’exercent sur les côtés parallèles à
l’axe y : celle qui s’exerce sur le côté droit (sur le dessin), et qui est dirigée vers la gauche, est
plus grande que celle qui s’exerce sur le côté gauche, dirigée vers la droite. Leur résultante est
donc dirigée vers la gauche, vers le côté négatif de l’axe x.
[On peut comprendre ce résultat en se disant que le moment magnétique de la spire pointe
vers nous, il est dirigé dans le sens opposé au champ B. Le couplage avec le champ (moins le
produit scalaire du champ par le moment magnétique) donne donc une énergie positive, et un
déplacement de la spire vers la gauche, du côté des petites valeurs de B, déplacement qui serait
provoqué par la résultante des forces, diminuerait l’énergie de couplage magnétique]
Question EM8
Une bobine plane, constituée d'une seule spire ayant une section de 40 cm2, est disposée
perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de 2 T. On pivote continûment
cette spire de manière à placer sa surface parallèlement aux lignes du champ ; la durée
de cette rotation est de 2 s. On mesure le courant qui circule dans la bobine pendant la
rotation de la spire, à savoir 10 µA. Que vaut la résistance de la spire ?
Réponse
Le flux magnétique qui traverse la spire passe de 2 T x 0,004 m² = 0,008 T.m² à 0.
Cette variation donne naissance à une force électromotrice induite de 0,008/2 = 0,004 V,
puisque la durée de l’opération est 2 s.
Le courant observé étant de 10 µA, la loi d’Ohm nous apprend que la résistance de la spire est 4
x 10-3/10-5 = 400 .
Question EM9
Un fil horizontal peut glisser librement (sans
frottement) sur les rails d’un cadre conducteur vertical.
Le fil a une masse m et une longueur l, et la résistance
du circuit est R. On applique un champ magnétique
uniforme B perpendiculaire au cadre. Le fil tombe sous
l’effet de son poids, et ce mouvement provoque
l’apparition d’un effet induit (en l’occurrence un
courant) dans le circuit ; donner l’expression de ce
courant. L’existence de ce courant a pour conséquence
de modifier le mouvement de chute du fil – une
nouvelle force apparaît ; que vaut-elle ? Quel serait le
mouvement du fil si B était nul ? Quelle est la vitesse
limite du fil qui tombe sous l’action de son poids, en
présence de B ?
Réponse
Courant induit = E/R, où E, la force électromotrice, est donnée par la loi de Faraday
(E = - dφ/dt). On trouve E = Bvl, si le fil tombe à vitesse v. On a donc i = Bvl/R.
Le fil est parcouru par un courant ; exposé à un champ magnétique, ce dernier exerce sur le
courant une force qui est à la fois perpendiculaire au courant et au champ ; elle est donc
verticale, et elle s’oppose à la chute en vertu de la loi de Lenz (les effets électromagnétiques
induits s’opposent aux causes qui leur ont donné naissance). Le mouvement de chute est
donc affecté.
Si B était nul, comme toute chute libre, on aurait affaire à un mouvement uniformément
accéléré. Ici, la force de « frein » vaut Bil = (B²l²/R)v.
Le mouvement de chute finit donc par se faire à vitesse de chute constante, une fois que le
« frein » compense exactement le poids du fil, soit lorsque mg = B²l²v/R, ou quand v =
mgR/(B²l²). C’est la vitesse limite.