interferences, diffraction.

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I. RAPPELS DE COURS.
Les ondes lumineuses sont des ondes vectorielles : elles représentent une perturbation simultanée
d’un champ électrique )t,M(E
et d’un champ magnétique )t,M(B . Cependant, dans un grand
nombre de situations, la réponse du détecteur avec lequel nous analysons ces ondes peut être
déterminée au moyen d’un modèle simplifié dans lequel ces champs vectoriels peuvent être
remplacés par des grandeurs scalaires. C’est ce que nous ferons ici pour interpréter les phénomènes
d’interférences et de diffraction. A une onde lumineuse, on associera donc un ‘signal lumineux’
scalaire, représenté par une fonction d’onde scalaire (M,t).
I.1. INTERFERENCES DE DEUX ONDES DE MEME FREQUENCE
Considérons deux ondes de même nature émises par deux sources lumineuses S1 et S2. L’état de
l’onde qui résulte de la superposition des deux ondes en un point sera obtenu en faisant la somme
des fonctions d’ondes caractéristiques des ondes émises par chacune des sources.
Soient deux sources ponctuelles qui émettent des ondes harmoniques planes progressives de même
fréquence, donc de même pulsation , de phases à l’origine 1 et 2, et se propageant dans un
même milieu homogène et isotrope. Les fonctions d’ondes en M ont alors la forme suivante :
 = A1.sin(t - k1r1 + 1) = A1.sin(t + 1) et
 = A2.sin(t – k2r2 + 2) = A2.sin(t + 2), avec
k1 = k2 =2, 1 = - k.r1 + 1 et 2 = – k.r2 + 2.
La fonction d’onde résultant de la superposition des ondes en M est :, que l’on peut
écrire sous la forme :  A.exp i(t + ).
L’amplitude A est alors telle que A2 = A12 + A22 + 2A1.A2.cos(2-1).
terme d’interférence
L’amplitude de l’onde totale n’est donc pas la somme des amplitudes, mais est modulée par le
terme dit d’interférence, qui est fonction du déphasage entre les deux ondes qui se superposent au
point M. On a : 2-1 = - k ( r2 – r1 ) + 2 – 1.
 Si cos(2-1) = 1 alors A2 = (A1 + A2)2.
L’amplitude de l’onde résultante est maximale. On dit qu’il y a interférences constructives.
On a alors : 2-1 = 2p. (p entier),soit r1 – r2 = p. si elles ont même phase à l’origine. Les
ondes 1 et 2 sont dites ‘en phase’.
 Si cos(2-1) = -1 alors A2 = (A1 - A2)2.
L’amplitude de l’onde résultante est minimale. On dit qu’il y a interférences destructives.
On a 2-1 = (2p+1). soit r1 – r2 = (2p+1). toujours si les ondes de départ ont même
phase a l’origine. Les ondes sont alors dites ‘en opposition de phase’.

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La relation entre le déphasage et la différence de chemin optique des deux ondes est 
 2.
On définit l’ordre d’interférence : n =  /  . Si n est entier alors l’intensité résultante est maximale
et si n est demi-entier cette intensité est minimale.
Cas des interférences lumineuses.
Les ondes lumineuses issues d’une lampe ont, par nature, une phase qui varie très rapidement dans
le temps. Il est impossible d’observer à l’œil des interférences lumineuses produites par des ondes
issues de deux lampes différentes car la différence de phase entre ces ondes varie trop rapidement
dans le temps pour notre détecteur (notre œil). Pour pouvoir observer des phénomènes
interférentiels avec la lumière, on est obligé d’utiliser une source lumineuse unique que l’on sépare
en deux faisceaux. On peut effectuer cette séparation de deux manières : par ‘division du front
d’onde’ ou par ‘division d’amplitude’. Nous allons utiliser ici la première méthode.
Interférences par division du front d’onde : Trous d’Young
Une source unique S produit une onde lumineuse qui rencontre un écran percé de deux ouvertures
qui vont jouer le rôle de sources ponctuelles (S1 et S2). On suppose que S est telle que SS1 = SS2 et
que par conséquent ces sources secondaires S1 et S2 sont en phase.
Soit un point M dans la zone d’interférence, placé sur un écran d’observation (voir figure).
On est ici dans un cas particulier du calcul précédent, pour lequel on a : A1 = A2 et 1 =2
On obtient alors : A2 = 2. A12 + 2. A12.cos(2 - 1) = 2. A12 (1 + cos(2 - 1)) = 4. A12 cos2((2 -
1)/2), avec 2 - 1 = 
2( r1 – r2 ).
(r1 – r2) représente la différence entre les chemins optiques S1M et S2M, aussi appelée différence de
marche si l’ensemble du dispositif se trouve dans un même milieu d’indice n=1 (le vide ou l’air).
On a : 222 2
11
d
rSM Ly(z)
2
et 222 2
22
d
rSM Ly(z)
2
Lorsque L >> y, z et d, l’expression de la différence de marche peut s’approximer par r1-r2dz
L
 ,
d’où :  = - 2dz
L .
M (L, y, z)
x
O’
y
z
S2
(0,0,-d/2)
O
S1
(0,0,d/2)
S
écran percé
de 2 trous
L
écran
d’observation

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Les maxima d’intensité sont tels que z = p L
d
(p entier relatif). Le lieu géométrique des intensités
maximales est donc du type z = cste : il s’agit d’une droite horizontale, perpendiculaire à S1S2. On
observe donc une frange brillante.
De même, les minima d’intensité sont trouvés en z = (2p+1) L
2d
(p entier relatif), et s’alignent
donc selon une droite horizontale qui constitue une frange sombre. L’interfrange i est la distance
entre deux franges successives brillantes ou sombres : i= L
d
.
I.2. DIFFRACTION
En optique géométrique, on a vu que l’on pouvait réduire la taille d’un faisceau lumineux à l’aide
d’un diaphragme, par exemple circulaire. Mais si la dimension du diaphragme est suffisamment
petite, il apparaît un élargissement du faisceau transmis et un système d’anneaux concentriques :
Pour déterminer l’amplitude de l’onde observée après le diaphragme, on utilise le principe de
Huygens qui énonce que l’onde issue du diaphragme est identique à celle que produirait un
ensemble de sources ponctuelles fictives réparties sur la surface d’ouverture du diaphragme. Ainsi,
l’onde diffractée peut être vue comme le résultat des interférences entre les ondes émises par
chacune de ces sources fictives, appelées sources secondaires.
Le calcul de l’onde résultante se simplifie lorsque toutes les sources secondaires émettent des
vibrations de même amplitude, indépendamment de la direction : c’est la diffraction de Fresnel-
Fraunhofer. Ceci se produit lorsque le diaphragme est placé dans un plan d’onde d’une onde plane
incidente et que l’on examine le phénomène de diffraction à l’infini, dans une direction peu inclinée
par rapport à la normale au diaphragme. En effet, parce que deux rayons parallèles se croisent à
l’infini, les rayons qui interféreront ‘à l’infini’ dans une direction donnée, sont ceux qui sortent du
diaphragme parallèlement à cette direction.
Cas d’une fente rectangulaire infiniment fine de largeur a
Dans ces conditions, on peut trouver l’intensité diffractée par un diaphragme en forme de fente.
Considérons un diaphragme percé d’une fente de largeur a et placé dans un plan d’onde d’une onde
plane incidente suivant l’axe (Ox). Soit 0
u un vecteur unitaire repérant la direction de l’onde
incidente : 0
u (1, 0, 0). Recherchons l’intensité de l’onde diffractée dans une direction faisant un
angle  avec l’axe (Ox), c'est-à-dire repérée par un vecteur unitaire u
(cos(), sin(), 0).