interferences, diffraction.

TP3 INTERFERENCES
DIFFRACTION
35
36
ONDES LUMINEUSES :
INTERFERENCES, DIFFRACTION.
I. R APPELS
DE COURS .
Les ondes lumineuses sont des ondes vectorielles : elles représentent une perturbation simultanée


d’un champ électrique E(M, t ) et d’un champ magnétique B(M, t ) . Cependant, dans un grand
nombre de situations, la réponse du détecteur avec lequel nous analysons ces ondes peut être
déterminée au moyen d’un modèle simplifié dans lequel ces champs vectoriels peuvent être
remplacés par des grandeurs scalaires. C’est ce que nous ferons ici pour interpréter les phénomènes
d’interférences et de diffraction. A une onde lumineuse, on associera donc un ‘signal lumineux’
scalaire, représenté par une fonction d’onde scalaire (M,t).
I.1. I NTERFERENCES
DE DEUX ONDES DE MEME FREQUENCE
Considérons deux ondes de même nature émises par deux sources lumineuses S1 et S2. L’état de
l’onde qui résulte de la superposition des deux ondes en un point sera obtenu en faisant la somme
des fonctions d’ondes caractéristiques des ondes émises par chacune des sources.
Soient deux sources ponctuelles qui émettent des ondes harmoniques planes progressives de même
fréquence, donc de même pulsation , de phases à l’origine 1 et 2, et se propageant dans un
même milieu homogène et isotrope. Les fonctions d’ondes en M ont alors la forme suivante :
 = A1.sin(t - k1r1 + 1) = A1.sin(t + 1)
et
 = A2.sin(t – k2r2 + 2) = A2.sin(t + 2),
avec
k1 = k2 =2, 1 = - k.r1 + 1 et 2 = – k.r2 + 2.
La fonction d’onde résultant de la superposition des ondes en M est :, que l’on peut
écrire sous la forme :  A.exp i(t + ).
L’amplitude A est alors telle que A2 = A12 + A22 + 2A1.A2.cos(2-1).
terme d’interférence
L’amplitude de l’onde totale n’est donc pas la somme des amplitudes, mais est modulée par le
terme dit d’interférence, qui est fonction du déphasage entre les deux ondes qui se superposent au
point M. On a : 2-1 = - k ( r2 – r1 ) + 2 – 1.
 Si cos(2-1) = 1 alors A2 = (A1 + A2)2.
L’amplitude de l’onde résultante est maximale. On dit qu’il y a interférences constructives.
On a alors : 2-1 = 2p. (p entier),soit r1 – r2 = p. si elles ont même phase à l’origine. Les
ondes 1 et 2 sont dites ‘en phase’.
 Si cos(2-1) = -1 alors A2 = (A1 - A2)2.
L’amplitude de l’onde résultante est minimale. On dit qu’il y a interférences destructives.
On a 2-1 = (2p+1). soit r1 – r2 = (2p+1). toujours si les ondes de départ ont même
phase a l’origine. Les ondes sont alors dites ‘en opposition de phase’.
37
2
.

On définit l’ordre d’interférence : n =  /  . Si n est entier alors l’intensité résultante est maximale
et si n est demi-entier cette intensité est minimale.
La relation entre le déphasage et la différence de chemin optique des deux ondes est  
Cas des interférences lumineuses.
Les ondes lumineuses issues d’une lampe ont, par nature, une phase qui varie très rapidement dans
le temps. Il est impossible d’observer à l’œil des interférences lumineuses produites par des ondes
issues de deux lampes différentes car la différence de phase entre ces ondes varie trop rapidement
dans le temps pour notre détecteur (notre œil). Pour pouvoir observer des phénomènes
interférentiels avec la lumière, on est obligé d’utiliser une source lumineuse unique que l’on sépare
en deux faisceaux. On peut effectuer cette séparation de deux manières : par ‘division du front
d’onde’ ou par ‘division d’amplitude’. Nous allons utiliser ici la première méthode.
Interférences par division du front d’onde : Trous d’Young
Une source unique S produit une onde lumineuse qui rencontre un écran percé de deux ouvertures
qui vont jouer le rôle de sources ponctuelles (S1 et S2). On suppose que S est telle que SS1 = SS2 et
que par conséquent ces sources secondaires S1 et S2 sont en phase.
Soit un point M dans la zone d’interférence, placé sur un écran d’observation (voir figure).
z
écran percé
de 2 trous
écran
d’observation
L
S
S1
(0,0,d/2)
O
S2 
(0,0,-d/2)

M (L, y, z)
y
O’
x
On est ici dans un cas particulier du calcul précédent, pour lequel on a : A1 = A2 et 1 =2
On obtient alors : A2 = 2. A12 + 2. A12.cos(2 - 1) = 2. A12 (1 + cos(2 - 1)) = 4. A12 cos2((2 2
1)/2), avec 2 - 1 =
( r1 – r2 ).

(r1 – r2) représente la différence entre les chemins optiques S1M et S2M, aussi appelée différence de
marche si l’ensemble du dispositif se trouve dans un même milieu d’indice n=1 (le vide ou l’air).
d
2
d
2
On a : r1  S1M 2  L2  y 2  (z  )2 et r2  S2 M 2  L2  y2  (z  )2
Lorsque L >> y, z et d, l’expression de la différence de marche peut s’approximer par r1-r2  
d’où :  = -
2 dz
.
 L
38
dz
L
,
Les maxima d’intensité sont tels que z = p
L
d
(p entier relatif). Le lieu géométrique des intensités
maximales est donc du type z = cste : il s’agit d’une droite horizontale, perpendiculaire à S1S2. On
observe donc une frange brillante.
De même, les minima d’intensité sont trouvés en
z = (2p+1)
L
2d
(p entier relatif), et s’alignent
donc selon une droite horizontale qui constitue une frange sombre. L’interfrange i est la distance
entre deux franges successives brillantes ou sombres : i=
L
.
d
I.2. D IFFRACTION
En optique géométrique, on a vu que l’on pouvait réduire la taille d’un faisceau lumineux à l’aide
d’un diaphragme, par exemple circulaire. Mais si la dimension du diaphragme est suffisamment
petite, il apparaît un élargissement du faisceau transmis et un système d’anneaux concentriques :
Pour déterminer l’amplitude de l’onde observée après le diaphragme, on utilise le principe de
Huygens qui énonce que l’onde issue du diaphragme est identique à celle que produirait un
ensemble de sources ponctuelles fictives réparties sur la surface d’ouverture du diaphragme. Ainsi,
l’onde diffractée peut être vue comme le résultat des interférences entre les ondes émises par
chacune de ces sources fictives, appelées sources secondaires.
Le calcul de l’onde résultante se simplifie lorsque toutes les sources secondaires émettent des
vibrations de même amplitude, indépendamment de la direction : c’est la diffraction de FresnelFraunhofer. Ceci se produit lorsque le diaphragme est placé dans un plan d’onde d’une onde plane
incidente et que l’on examine le phénomène de diffraction à l’infini, dans une direction peu inclinée
par rapport à la normale au diaphragme. En effet, parce que deux rayons parallèles se croisent à
l’infini, les rayons qui interféreront ‘à l’infini’ dans une direction donnée, sont ceux qui sortent du
diaphragme parallèlement à cette direction.
Cas d’une fente rectangulaire infiniment fine de largeur a
Dans ces conditions, on peut trouver l’intensité diffractée par un diaphragme en forme de fente.
Considérons un diaphragme percé d’une fente de largeur a et placé dans un plan d’onde d’une onde

plane incidente suivant l’axe (Ox). Soit u 0 un vecteur unitaire repérant la direction de l’onde

incidente : u 0 (1, 0, 0). Recherchons l’intensité de l’onde diffractée dans une direction faisant un

angle  avec l’axe (Ox), c'est-à-dire repérée par un vecteur unitaire u (cos(), sin(), 0).
39
z

u0
y

u
y

O
x
L
On montre que l’intensité de l’onde diffractée dans la direction  est :
2



 sin(  sin().a) 
I()  I0 

  sin().a 
 

où I0 représente l’intensité de l’onde dans la direction =0.
Entre parenthèses dans cette expression, on reconnaît la fonction sin(x)/x qui est appelée ‘sinus
cardinal’ et notée sinc(x). Elle a l’allure suivante :
f( x)
sin ( x)
2
x
1
0.8
0.6
f( x )
0.4
0.2
0
15
10
5
0
x
5
10
15


L’intensité diffractée est nulle lorsque sin( sin().a) = 0 mais que ( sin().a) n’est pas nul, c’est à



avec pa non nul.
dire lorsque : sin()  pa .
a
Le rayon qui arrive sur l’écran d’observation (situé à une distance L de la fente) en un point
d’ordonnée y, sort de la fente avec un angle  tel que tan()=y/L. Lorsque  est petit, on peut
considérer que tan()= et sin()=Dans ces conditions, la largeur de la tache centrale est 2L/a,
et la position du premier minimum est donc L/a. L/a est aussi l’écart entre les minima successifs
d’ordres supérieurs.
40
Cas d’une ouverture circulaire :
Lorsque le diaphragme est percé d’une ouverture circulaire de rayon R, centrée sur l’axe (Ox), la
figure de diffraction produite par une onde plane a une symétrie de révolution autour de (Ox). Le
calcul se conduit comme précédemment mais il est mathématiquement plus compliqué.
z

u0

u
y

O
x
On retiendra simplement que le premier minimum correspond à sin() = 0,61 /R.
Le diamètre angulaire de la tâche centrale est donc 1,22/R.
Ce phénomène de diffraction influe sur le pouvoir de résolution des instruments d’optique car ces
derniers possèdent en général des diaphragmes pour améliorer le stigmatisme ou limiter la quantité
de lumière.
Théorème de Babinet (ou des écrans complémentaires)
Un écran percé d’un trou et un cache opaque de même forme forment deux écrans complémentaires
qui génèrent les mêmes figures de diffraction, à l’exception d’une tâche lumineuse au centre dans le
cas du trou.
I.3 D IFFRACTION
PAR DES OUVERTURES MULTIPLES
Cas de deux fentes : les fentes d’Young
Si le diaphragme diffractant est percé de plus d’une ouverture, alors l’onde après le diaphragme est
la résultante des interférences produites par les ondes diffractées. Le calcul est relativement simple
dans le cas d’une onde qui arrive en incidence normale sur un diaphragme percé de deux fentes
parallèles, infiniment fines, de largeur a et distantes de d. On obtient alors :
2



 sin(  sin().a) 

I()  I0 
.cos 2 ( sin().d)


  sin().a 
 

terme de diffraction x terme d’interférence
La figure d’interférences est donc modulée par la fonction sinc au carré, qui provient de la
diffraction.
41
f( x)
sin ( x)
x
2
 ( cos ( 4  x) ) 2
1
0.8
0.6
f( x )
0.4
0.2
0
6
4
2
0
x
2
4
6
Exemple avec d = 4.a
Diffraction par N fentes identiques : Le réseau plan.
Soit un diaphragme constitué de N fentes identiques de largeur a et équidistantes de d, supposées
infinies et situées dans un même plan.
On repère la nième fente par son point d’intersection avec l’axe (Oz) que l’on note On.

On repère par le vecteur unitaire u la direction dans laquelle on recherche l’amplitude de l’onde



diffractée u (cossin0) et par u 0 la direction de l’onde plane incidente u 0 (cossin0).
y
d
ON
+
a

u0
0
On

u

O1
x
L’intensité diffractée est :
2
2



 

 sin(  aU)   sin(N  dU) 
I  I0 
 
 avec U  sin   sin 0
  aU   sin(  dU) 

 
 

On observe des maxima d’intensité équidistants pour U= pi/d (pi un entier relatif) et dont la largeur
est égale à 2/(Nd). Du fait de la largeur finie des fentes, l'intensité des maxima varie comme la
fonction sinc au carré. On observe des extinctions dues à la diffraction pour des valeurs de U égales
à pa/a, avec pa un entier relatif non nul.
Un réseau est un diaphragme composé d’un très grand nombre de fentes identiques. Il est
caractérisé par son nombre de fentes par unité de longueur (n), ou encore son ‘pas’ d, qui est la
42
distance entre deux fentes (d = 1/n). On montre que si n est grand, on observe uniquement des
maxima principaux dans les directions telles que :
sin  - sin 0 = pi/d ,
où pi est un entier relatif, appelé 'ordre de diffraction’, et ou  et 0 sont des angles orientés qui
repèrent les directions des ondes diffractée et incidente.
II. D IFFRACTION
PAR UNE FENTE
:
L’acquisition de l’intensité lumineuse de l’onde diffractée est rendue possible grâce à l’utilisation
de capteurs CCD (Charge Coupled Devices) analogues à ceux rencontrés dans les appareils photo
ou vidéo numériques. L’analyse est assistée par ordinateur.
II.1. M ISE
EN ROUTE DU LOGICIEL D ’ ACQUISITION
:
Après la mise sous tension de l’ordinateur, attendre le chargement complet du système
d’exploitation (cf. Annexe B). Ensuite, double-cliquer sur l’icône « Caliens ». Mettre en service
(interrupteur) le boîtier d’interface entre l’ordinateur et le détecteur CCD. Mettre en service (bouton
rouge) la diode laser (cf. Annexe A). En fin de séance, on quittera le logiciel Caliens, puis on
arrêtera correctement l’ordinateur en utilisant l’icône « démarrer » en bas à gauche de l’écran.
Lorsque la fenêtre du logiciel Caliens est affichée, cliquer sur « interférences » puis sur «temps
réel». Pour tout réglage optique, il faut travailler en « temps réel ». Effectuer un alignement laserdétecteur (sans objet diffractant) de façon à obtenir un pic presque symétrique, même écrêté (le
signal est sensible à la hauteur du détecteur et à l’intensité (réglable) du faisceau laser). En absence
de signal, prévenir l’enseignant. Avant d’effectuer des mesures sur la courbe de distribution
d’intensité, il est préférable de l’acquérir puis de désactiver le temps réel pour figer la courbe sur
l’écran. Pour enregistrer un fichier, utiliser le dossier « courbes » et donner au fichier votre nom
suivi de l’extension « ccd ».
En cas de difficulté pour imprimer, quitter le logiciel Caliens (en ayant enregistré votre travail
auparavant !) et recommencer.
De manière générale, servez-vous des bulles d'aide qui apparaissent dans le logiciel Caliens pour
connaître les fonctions des différents boutons.
II.2. M ESURE
DE LA LARGEUR DE LA FENTE
:
Observations :
Installer une fente de largeur variable sur le trajet du faisceau issu de la diode laser de longueur
d’onde (650 ± 3) nm. Placer l’écran blanc (ou une feuille de papier blanc) devant le détecteur et
faire varier la largeur de la fente. Qu’observe-t-on ? Comment varie la largeur des franges de la
figure de diffraction lorsque la largeur a de la fente varie ?
Mesures :
Enlever l’écran blanc et utiliser le logiciel et le détecteur (sa partie sensible est horizontale et
mesure environ 3 cm). Le logiciel permet de visualiser sur l’écran de l’ordinateur l’image reçue par
le détecteur. Observer sur l’écran de l’ordinateur la distribution d’intensité diffractée reçue par le
détecteur.
Il est possible de visualiser les franges alternativement claires et sombres en activant les niveaux de
gris. Pour effectuer les mesures, désactiver les niveaux de gris afin de disposer de plus de place en
ordonnée. Choisir une largeur de fente qui fournit une distribution d’intensité exploitable, l’acquérir
et l’enregistrer.
43
À l’aide des curseurs verticaux effectuer une mesure de D  X1  X 1 , la distance entre les 2
premiers minima (ordres 1 et –1) de part et d'autre du lobe central. Mesurer la distance L entre
l’objet diffractant et le détecteur. Comme la figure est symétrique, y1  D / 2 correspond à la
position du minimum d'ordre 1 par rapport au centre. On a alors tan 1  D / 2L . En déduire la
valeur de l’angle . Pour cette valeur, l’approximation sin 1  tan 1 est-elle raisonnable ?
Pour une meilleure précision, effectuer plusieurs mesures de la distance X pa  X  pa qui
sépare les minima d’intensité correspondants aux ordres pa et –pa (symétriques par rapport au lobe
L
central ; on effectuera autant de mesures que possible). On a X pa  X  pa  2pa
. Déterminer
a
l’entier p égal au nombre de lobes considérés. Calculer la largeur a de la fente diffractante.
Présenter vos résultats dans un tableau du type :
pa X  X
a  2pa L / X pa  X  pa
pa
 pa
En déduire la largeur a de la fente.
Utiliser ensuite la partie « simulations » du logiciel pour générer un profil de diffraction à partir de
la largeur de fente mesurée. Ajuster les paramètres de la simulation aux résultats expérimentaux
obtenus et comparer les distributions d’intensité expérimentale et « théorique ». Imprimer en même
temps l’intensité expérimentale avec les curseurs verticaux et la simulation avec les paramètres.
Donner un titre explicite à la figure. Commenter les résultats et conclure.
II.3. M ESURE
DU DIAMETRE D ’ UN CHEVEU
:
On peut illustrer le Théorème de Babinet en remplaçant le diaphragme percé d’une fente par un
cheveu. Envoyer le faisceau laser sur un cheveu et observer la figure de diffraction sur l'écran blanc.
On n’utilisera pas le logiciel d’acquisition pour cette mesure. Déduire le diamètre du cheveu de la
figure de diffraction obtenue.
III. I NTERFERENCES – D IFFRACTION :
LES
F ENTES D ’Y OUNG :
Placer le diaphragme constitué de deux fentes identiques sur le trajet du faisceau laser. Observer le
phénomène avec le détecteur sur l’écran de l’ordinateur en affichant temporairement les niveaux de
gris.
Comment est modifiée la figure de diffraction d’une seule fente ? On peut masquer délicatement
une des fentes pour mieux répondre à cette question.
Comme précédemment, il est possible de remonter à la largeur a des fentes à partir de la figure de
diffraction. En utilisant la modulation de cette figure par le terme d’interférence, il est possible de
déterminer la distance entre les fentes d. A nouveau, on pourra mesurer les positions de plusieurs
minima d’intensité pour déterminer d et a. Dans un premier temps, on pourra mesurer la distance
X pa  X  pa entre 2 minima symétriques (ordres pa et –pa) dus à la diffraction. Puis on estimera la
distance X pi 1  X pi entre 2 minima consécutifs dus aux interférences. Cette distance est liée à la
distance a entre les deux fentes par X pi 1  X pi  L / d .
44
Reporter vos résultats dans des tableaux du type :
Figure de Diffraction :
pa X  X
a  2pa L / X pa  X  pa
pa
 pa
Figure d’Interférences :
pi
X pi 1  X pi
d  L / X pi 1  X pi
En déduire les valeurs moyennes de d et a. Ajuster les paramètres de la simulation aux résultats
expérimentaux et comparer les distributions d’intensité expérimentale et « théorique ». Imprimer en
même temps l’intensité expérimentale avec les curseurs verticaux et la simulation avec les
paramètres, une première fois pour la détermination de d, une seconde fois pour la détermination de
a. Donner un titre explicite à chaque figure. Commenter les résultats et conclure.
IV. I NTERFERENCES – D IFFRACTION : N
FENTES
IV.1 S IMULATIONS
Choisir une valeur pour d, la distance de deux « fentes » (ou traits) consécutives. Choisir une valeur
réaliste de la largeur des « fentes ». Augmenter progressivement le nombre N de « fentes » de 2 à
100, les autres paramètres restant identiques, de façon à n’obtenir finalement que des maxima
principaux. Au cours de la variation de N, observer l’écart entre les maxima principaux, le nombre
de maxima secondaires, la hauteur de ces maxima secondaires.
Sélectionner quelques figures pour mettre en évidence la progression et les imprimer. Légender et
commenter les figures obtenues.
IV.2 R ESEAU
DE DIFFRACTION
Placer le réseau de diffraction sur le trajet du faisceau laser. Observer les taches de diffraction sur
l’écran blanc. Mesurer la distance L entre le réseau et l’écran. Mesurer avec un réglet la distance Y
séparant p + 1 tâches de diffraction. Déterminer la distance a séparant deux traits consécutifs du
réseau. En déduire le nombre n de traits par mm qui caractérise ce réseau.
ANNEXES
A. CONSIGNES DE SECURITE : Diode Laser
La diode laser utilisée en TP a une puissance comprise entre 0,5 et 1 mW pour l'émission dans le
domaine visible à λ = 650 nm. Ses effets biologiques sont atténués, mais il faut malgré tout prendre
des précautions, c’est-à-dire essentiellement ne jamais regarder dans l'axe du faisceau laser. En
effet, l’oeil focalise le faisceau sur la rétine, et une brûlure irréversible de la rétine est possible.
B. CONSIGNES D’UTILISATION DU MATERIEL INFORMATIQUE
Le matériel informatique mis à la disposition des étudiants est exclusivement destiné à être utilisé
pour les travaux pratiques de physique. En particulier, l’utilisation des lecteurs de disquette et
cédérom, ainsi que la copie de fichiers, sont absolument interdites.
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