Chapitre 20

20
Calcul approché des intégrales définies
Pour ce chapitre, I= [a, b]est un segment réel avec a < b, C(I)est l’espace vectoriel réel
des fonctions définies sur Ià valeurs réelles et continues et pour toute fonction f∈ C (I),on
note :
kfk∞= sup
x∈I|f0(t)|.
20.1 Formules de quadrature
Définition 20.1 On appelle formule (ou méthode) de quadrature à n+ 1 points sur C(I)la
donnée d’une forme linéaire ϕndéfinie sur C(I)par :
∀f∈ C (I), ϕn(f) =
n
X
k=0
λn,kf(xn,k)
où nest un entier naturel non nul, (xn,k)0≤k≤nune suite de points deux à deux distincts dans
l’intervalle Iet (λn,k)0≤k≤nune suite de réels non tous nuls.
On cherche des formules de quadrature, avec des coefficients xn,k et λn,k indépendants de f,
permettant d’approximer l’intégrale définie Zb
a
f(x)dx. On écrira alors :
Zb
a
f(x)dx wϕn(f) =
n
X
k=0
λn,kf(xn,k).
Pour chaque formule de quadrature il sera important de savoir estimer l’erreur de quadrature :
En(f) = Zb
a
f(x)dx −ϕn(f).
Définition 20.2 Une formule de quadrature à n+ 1 points sur C(I)est dite d’ordre psi elle
est exacte sur Rp[x]et inexacte pour au moins un polynôme de degré strictement supérieur à
p.
Pour vérifier qu’une formule de quadrature est d’ordre p, il suffit, par linéarité de ϕnet de
l’intégrale, de vérifier qu’elle est exacte sur une base de Rp[x](par exemple la base canonique)
et inexacte pour un polynôme de degré p+ 1 (par exemple le polynôme xp+1).
473

474 Calcul approché des intégrales définies
Remarque 20.1 L’ordre maximum d’une formule de quadrature à n+ 1 points est 2n+ 1.En
effet en considérant le polynôme Pde degré 2n+ 2 défini par P(x) =
n
Q
k=0
(x−xn,k)2,on a :
Zb
a
P(x)π(x)dx > 0 =
n
X
k=0
λn,kP(xn,k).
On dit qu’une méthode de quadrature définie par une suite de formes linéaires (ϕn)n∈Nest
convergente si pour toute fonction f∈ C (I)la suite (ϕn(f))n∈Nconverge vers ϕ(f).
20.2 La méthode des rectangles à gauche
Pour I= [a, b]intervalle fermé borné, en prenant les points xn,k équidistants dans I, c’est-
à-dire :
xn,k =a+kb−a
n(0 ≤k≤n)
et les coefficients λn,k tous égaux à b−a
npour kcompris entre 0et n−1,le coefficient λn,n
étant nul, on obtient la formule des rectangles à gauche :
Rn(f) = b−a
n
n−1
X
k=0
f(xn,k)
et le cours sur l’intégrale de Riemann nous dit que :
∀f∈ C (I),lim
n→+∞Rn(f) = Zb
a
f(x)dx.
La méthode des rectangles à gauche est donc convergente.
Cette méthode est d’ordre 0.En effet il est clair que Rn(f) = Zb
a
f(x)dx pour fconstante
et pour f(x) = xsur [0,1] ,on a pour tout entier n≥1:
Rn(f) = 1
n
n−1
X
k=0
k
n=n+ 1 2n=1 2+1 2n6=Z1
0
xdx =1
2.
De manière plus générale, en choisissant pour tout entier kcompris entre 0et n−1un réel
ξn,k dans l’intervalle [xn,k, xn,k+1],les sommes de Riemann :
ϕn(f) = b−a
n
n−1
X
k=0
f(ξn,k)
définissent une méthode de quadrature sur C(I)qui est exacte sur l’ensemble des fonctions
constantes et pour toute fonction fdans C(I)on a :
lim
n→+∞ϕn(f) = Zb
a
f(x)dx.
La méthode des rectangles en un point quelconque de [xn,k, xn,k+1]est donc convergente.
Pour fmonotone, on peut facilement obtenir un encadrement de l’erreur d’approximation
pour la méthode des rectangles à gauche.

La méthode des rectangles à gauche 475
Théorème 20.1 Avec les notations qui précèdent, on a pour fmonotone sur [a, b]:
¯¯¯¯Zb
a
f(x)dx −Rn(f)¯¯¯¯≤b−a
n|f(b)−f(a)|
Démonstration. Par exemple, pour fcroissante, on a pour kcompris entre 0et n−1:
∀x∈[xn,k, xn,k+1], f (xn,k)≤f(x)≤f(xn,k+1)
ce qui entraîne en intégrant sur [xn,k, xn,k+1]:
b−a
nf(xn,k)≤Zxn,k+1
xn,k
f(x)dx ≤b−a
nf(xn,k+1)
et en effectuant la somme :
b−a
n
n−1
X
k=0
f(xn,k)≤Zb
a
f(x)dx ≤b−a
n
n
X
k=1
f(xn,k)
soit :
0≤Zb
a
f(x)dx −Rn(f)≤b−a
n(f(b)−f(a))
Dans le cas où fest décroissante, −fest croissante et Rn(f) = −Rn(−f).On a donc :
0≤Zb
a−f(x)dx −Rn(−f)≤b−a
n(−f(b) + f(a))
ou encore :
0≤Rn(f)−Zb
a
f(x)dx ≤b−a
n(f(a)−f(b)) .
Remarque 20.2 Il n’est pas nécessaire de supposer que fest continue dans le théorème pré-
cédent puisque une fonction monotone est Riemann-intégrable.
Pour fde classe C1sur [a, b],on peut donner une majoration de l’erreur d’approximation
de Zb
a
f(x)dx par la méthode des rectangles à gauche.
Nous utiliserons à plusieurs reprises le lemme suivant, conséquence du théorème des valeurs
intermédiaires.
Lemme 20.1 Si ϕest une fonction continue sur [a, b]et (xk)1≤k≤nune suite de points de [a, b]
avec n≥2,il existe alors un réel cdans [a, b]tel que :
n−1
X
k=1
ϕ(xk) = n·ϕ(c)
Démonstration. En désignant par m[resp. M] la borne inférieure [resp. supérieure] de ϕ
sur [a, b],on a :
n·m≤
n−1
X
k=0
ϕ(xk)≤n·M
et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit alors qu’il existe cdans [a, b]tel que n−1
P
k=1
ϕ(xk) =
n·ϕ(c).

476 Calcul approché des intégrales définies
Lemme 20.2 Soit fune fonction de classe C1sur [a, b].Il existe un réel cdans ]a, b[tel que :
Zb
a
f(x)dx −f(a) (b−a) = f0(c)
2(b−a)2.
Démonstration. En désignant par F:x7→ Zx
a
f(t)dt la primitive de fnulle en a, cette
fonction est de classe C2sur [a, b]et le théorème de Taylor-Lagrange nous dit qu’il existe un
réel c∈]a, b[tel que :
F(b) = Zb
a
f(x)dx =F(a) + F0(a) (b−a) + F00 (c)
2(b−a)2
=f(a) (b−a) + f0(c)
2(b−a)2
On déduit de ce lemme une majoration de l’erreur dans la méthode de base du rectangle à
gauche : ¯¯¯¯Zb
a
f(x)dx −f(a) (b−a)¯¯¯¯≤kf0k∞
2(b−a)2
Pour ce qui est de la méthode composée des rectangles, on a le résultat suivant.
Théorème 20.2 Soit fune fonction de classe C1sur [a, b]et nun entier naturel non nul.
Avec les notations qui précèdent, il existe un réel cn∈[a, b]tel que :
Zb
a
f(x)dx −Rn(f) = (b−a)2
2nf0(cn)
et on a : ¯¯¯¯Zb
a
f(x)dx −Rn(f)¯¯¯¯≤kf0k∞(b−a)2
2n
Démonstration. On a :
Zb
a
f(x)dx −Rn(f) =
n−1
X
k=0 Zxn,k+1
xn,k
f(x)dx −b−a
n
n−1
X
k=0
f(xn,k)
=
n−1
X
k=0 Zxn,k+1
xn,k
f(x)dx −(xn,k+1 −xn,k)f(xn,k)
=
n−1
X
k=0
f0(cn,k)
2(xn,k+1 −xn,k)2=(b−a)2 2n2
n−1
X
k=0
f0(cn,k)
où chaque cn,k est dans ]xn,k, xn,k+1[.
Le lemme 20.1 nous dit alors qu’il existe cndans [a, b]tel que n−1
P
k=0
f0(cn,k) = n·f0(cn).On
a donc : Zb
a
f(x)dx −Rn(f) = (b−a)2
2n2n·f0(cn) = (b−a)2 2nf0(cn)
et : ¯¯¯¯Zb
a
f(x)dx −Rn(f)¯¯¯¯≤kf0k∞(b−a)2
2n

La méthode des rectangles à gauche 477
Avec ce théorème, on retrouve le fait que :
lim
n→+∞Rn(f) = Zb
a
f(x)dx.
Pour une fonction fsuffisamment dérivable, on peut donner, en utilisant la formule de Taylor-
Lagrange, un développement asymptotique de l’erreur d’approximation dans la méthode des
rectangles à gauche.
Lemme 20.3 Pour toute fonction f∈ C3([a, b],R),il existe des réel c1, c2, c3dans [a, b]tels
que :
F(b) = f(a) (b−a) + b−a
2(f(b)−f(a)) −(b−a)2 12 (f0(b)−f0(a))
+(b−a)4
24 ¡f(3) (c1)−f(3) (c2) + f(3) (c3)¢
Démonstration. En désignant par F:x7→ Zx
a
f(t)dt la primitive de fnulle en a, cette
fonction est de classe C4sur [a, b]et le théorème de Taylor-Lagrange nous dit qu’il existe un
réel c1∈]a, b[tel que :
F(b) = Zb
a
f(x)dx (20.1)
=F(a) + F0(a) (b−a) + F00 (a)
2(b−a)2+F(3) (a) 6(b−a)3+F(4) (c) 24 (b−a)4(20.2)
=f(a) (b−a) + f0(a)
2(b−a)2+f00 (a) 6(b−a)3+f(3) (c1) 24 (b−a)4
On a aussi, avec la formule de Taylor-Lagrange pour f:
f(b) = f(a) + f0(a) (b−a) + f00 (a)
2(b−a)2+f(3) (c2) 6(b−a)3
soit, en multipliant la première relation par b−a
2:
f0(a)
2(b−a)2=b−a 2(f(b)−f(a)) −f00 (a) 4(b−a)3−f(3) (c2) 12 (b−a)4
et en reportant dans (20.1) ,on obtient :
F(b) = f(a) (b−a) + b−a
2(f(b)−f(a)) −f00 (a) 4(b−a)3−f(3) (c2) 12 (b−a)4
+f00 (a)
6(b−a)3+f(3) (c1) 24 (b−a)4
=f(a) (b−a) + b−a
2(f(b)−f(a)) −f00 (a) 12 (b−a)3+(b−a)4 24 ¡f(3) (c1)−f(3) (c2)¢
De même, avec :
f0(b) = f0(a) + f00 (a) (b−a) + f(3) (c3)
2(b−a)2