Chapitre 20

20
Calcul approché des intégrales définies
Pour ce chapitre, I = [a, b] est un segment réel avec a < b, C (I) est l’espace vectoriel réel
des fonctions définies sur I à valeurs réelles et continues et pour toute fonction f ∈ C (I) , on
note :
kf k∞ = sup |f 0 (t)| .
x∈I
20.1
Formules de quadrature
Définition 20.1 On appelle formule (ou méthode) de quadrature à n + 1 points sur C (I) la
donnée d’une forme linéaire ϕn définie sur C (I) par :
∀f ∈ C (I) , ϕn (f ) =
n
X
λn,k f (xn,k )
k=0
où n est un entier naturel non nul, (xn,k )0≤k≤n une suite de points deux à deux distincts dans
l’intervalle I et (λn,k )0≤k≤n une suite de réels non tous nuls.
On cherche des formules de quadrature, avec des coefficients xn,k et λn,k indépendants de f,
Z b
permettant d’approximer l’intégrale définie
f (x) dx. On écrira alors :
a
Z
b
f (x) dx w ϕn (f ) =
a
n
X
λn,k f (xn,k ) .
k=0
Pour chaque formule de quadrature il sera important de savoir estimer l’erreur de quadrature :
Z b
En (f ) =
f (x) dx − ϕn (f ) .
a
Définition 20.2 Une formule de quadrature à n + 1 points sur C (I) est dite d’ordre p si elle
est exacte sur Rp [x] et inexacte pour au moins un polynôme de degré strictement supérieur à
p.
Pour vérifier qu’une formule de quadrature est d’ordre p, il suffit, par linéarité de ϕn et de
l’intégrale, de vérifier qu’elle est exacte sur une base de Rp [x] (par exemple la base canonique)
et inexacte pour un polynôme de degré p + 1 (par exemple le polynôme xp+1 ).
473
474
Calcul approché des intégrales définies
Remarque 20.1 L’ordre maximum d’une formule de quadrature à n + 1 points est 2n + 1. En
n
Q
effet en considérant le polynôme P de degré 2n + 2 défini par P (x) =
(x − xn,k )2 , on a :
k=0
Z
b
P (x) π (x) dx > 0 =
a
n
X
λn,k P (xn,k ) .
k=0
On dit qu’une méthode de quadrature définie par une suite de formes linéaires (ϕn )n∈N est
convergente si pour toute fonction f ∈ C (I) la suite (ϕn (f ))n∈N converge vers ϕ (f ) .
20.2
La méthode des rectangles à gauche
Pour I = [a, b] intervalle fermé borné, en prenant les points xn,k équidistants dans I, c’està-dire :
b−a
xn,k = a + k
(0 ≤ k ≤ n)
n
b−a
pour k compris entre 0 et n − 1, le coefficient λn,n
et les coefficients λn,k tous égaux à
n
étant nul, on obtient la formule des rectangles à gauche :
n−1
b−aX
Rn (f ) =
f (xn,k )
n k=0
et le cours sur l’intégrale de Riemann nous dit que :
Z
b
f (x) dx.
∀f ∈ C (I) , lim Rn (f ) =
n→+∞
a
La méthode des rectangles à gauche est donc convergente.
Z
b
f (x) dx pour f constante
Cette méthode est d’ordre 0. En effet il est clair que Rn (f ) =
a
et pour f (x) = x sur [0, 1] , on a pour tout entier n ≥ 1 :
n−1
1Xk
n+1
1
1
Rn (f ) =
=
= +
6=
n k=0 n
2n
2 2n
Z
1
0
1
xdx = .
2
De manière plus générale, en choisissant pour tout entier k compris entre 0 et n − 1 un réel
ξn,k dans l’intervalle [xn,k , xn,k+1 ] , les sommes de Riemann :
n−1
ϕn (f ) =
b−aX
f (ξn,k )
n k=0
définissent une méthode de quadrature sur C (I) qui est exacte sur l’ensemble des fonctions
constantes et pour toute fonction f dans C (I) on a :
Z b
lim ϕn (f ) =
f (x) dx.
n→+∞
a
La méthode des rectangles en un point quelconque de [xn,k , xn,k+1 ] est donc convergente.
Pour f monotone, on peut facilement obtenir un encadrement de l’erreur d’approximation
pour la méthode des rectangles à gauche.
La méthode des rectangles à gauche
475
Théorème 20.1 Avec les notations qui précèdent, on a pour f monotone sur [a, b] :
¯Z b
¯
¯
¯ b−a
¯
¯≤
f
(x)
dx
−
R
(f
)
|f (b) − f (a)|
n
¯
¯
n
a
Démonstration. Par exemple, pour f croissante, on a pour k compris entre 0 et n − 1 :
∀x ∈ [xn,k , xn,k+1 ] , f (xn,k ) ≤ f (x) ≤ f (xn,k+1 )
ce qui entraîne en intégrant sur [xn,k , xn,k+1 ] :
Z xn,k+1
b−a
b−a
f (xn,k ) ≤
f (x) dx ≤
f (xn,k+1 )
n
n
xn,k
et en effectuant la somme :
n−1
b−aX
f (xn,k ) ≤
n k=0
soit :
Z
Z
b
a
n
b−aX
f (x) dx ≤
f (xn,k )
n k=1
b
b−a
(f (b) − f (a))
n
a
Dans le cas où f est décroissante, −f est croissante et Rn (f ) = −Rn (−f ) . On a donc :
Z b
b−a
−f (x) dx − Rn (−f ) ≤
0≤
(−f (b) + f (a))
n
a
ou encore :
Z b
b−a
0 ≤ Rn (f ) −
f (x) dx ≤
(f (a) − f (b)) .
n
a
0≤
f (x) dx − Rn (f ) ≤
Remarque 20.2 Il n’est pas nécessaire de supposer que f est continue dans le théorème précédent puisque une fonction monotone est Riemann-intégrable.
Pour f de classe C 1 sur [a, b] , on peut donner une majoration de l’erreur d’approximation
Z b
de
f (x) dx par la méthode des rectangles à gauche.
a
Nous utiliserons à plusieurs reprises le lemme suivant, conséquence du théorème des valeurs
intermédiaires.
Lemme 20.1 Si ϕ est une fonction continue sur [a, b] et (xk )1≤k≤n une suite de points de [a, b]
avec n ≥ 2, il existe alors un réel c dans [a, b] tel que :
n−1
X
ϕ (xk ) = n · ϕ (c)
k=1
Démonstration. En désignant par m [resp. M ] la borne inférieure [resp. supérieure] de ϕ
sur [a, b] , on a :
n−1
X
n·m≤
ϕ (xk ) ≤ n · M
k=0
et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit alors qu’il existe c dans [a, b] tel que
n · ϕ (c) .
n−1
P
k=1
ϕ (xk ) =
476
Calcul approché des intégrales définies
Lemme 20.2 Soit f une fonction de classe C 1 sur [a, b] . Il existe un réel c dans ]a, b[ tel que :
Z b
f 0 (c)
f (x) dx − f (a) (b − a) =
(b − a)2 .
2
a
Z x
Démonstration. En désignant par F : x 7→
f (t) dt la primitive de f nulle en a, cette
a
fonction est de classe C 2 sur [a, b] et le théorème de Taylor-Lagrange nous dit qu’il existe un
réel c ∈ ]a, b[ tel que :
Z b
F 00 (c)
F (b) =
f (x) dx = F (a) + F 0 (a) (b − a) +
(b − a)2
2
a
f 0 (c)
= f (a) (b − a) +
(b − a)2
2
On déduit de ce lemme une majoration de l’erreur dans la méthode de base du rectangle à
gauche :
¯Z b
¯
¯ kf 0 k∞
¯
¯
¯≤
f
(x)
dx
−
f
(a)
(b
−
a)
(b − a)2
¯
¯
2
a
Pour ce qui est de la méthode composée des rectangles, on a le résultat suivant.
Théorème 20.2 Soit f une fonction de classe C 1 sur [a, b] et n un entier naturel non nul.
Avec les notations qui précèdent, il existe un réel cn ∈ [a, b] tel que :
Z b
(b − a)2 0
f (x) dx − Rn (f ) =
f (cn )
2n
a
et on a :
¯Z b
¯
¯
¯ kf 0 k∞ (b − a)2
¯
f (x) dx − Rn (f )¯¯ ≤
¯
2n
a
Démonstration. On a :
Z b
n−1 Z
X
f (x) dx − Rn (f ) =
a
=
n−1 Z
X
k=0
=
n−1
X
k=0
k=0
n−1
xn,k+1
f (x) dx −
xn,k
b−aX
f (xn,k )
n k=0
xn,k+1
f (x) dx − (xn,k+1 − xn,k ) f (xn,k )
xn,k
n−1
f (cn,k )
(b − a)2 X 0
2
(xn,k+1 − xn,k ) =
f (cn,k )
2
2n2 k=0
0
où chaque cn,k est dans ]xn,k , xn,k+1 [ .
Le lemme 20.1 nous dit alors qu’il existe cn dans [a, b] tel que
a donc :
f 0 (cn,k ) = n · f 0 (cn ) . On
k=0
Z
b
f (x) dx − Rn (f ) =
a
et :
n−1
P
(b − a)2 0
(b − a)2
0
n
·
f
(c
)
=
f (cn )
n
2n2
2n
¯
¯Z b
¯ kf 0 k∞ (b − a)2
¯
¯
f (x) dx − Rn (f )¯¯ ≤
¯
2n
a
La méthode des rectangles à gauche
477
Avec ce théorème, on retrouve le fait que :
Z
b
lim Rn (f ) =
n→+∞
f (x) dx.
a
Pour une fonction f suffisamment dérivable, on peut donner, en utilisant la formule de TaylorLagrange, un développement asymptotique de l’erreur d’approximation dans la méthode des
rectangles à gauche.
Lemme 20.3 Pour toute fonction f ∈ C 3 ([a, b] , R) , il existe des réel c1 , c2 , c3 dans [a, b] tels
que :
b−a
(b − a)2 0
(f (b) − f (a)) −
(f (b) − f 0 (a))
2
12
¢
(b − a)4 ¡ (3)
f (c1 ) − f (3) (c2 ) + f (3) (c3 )
+
24
Z x
Démonstration. En désignant par F : x 7→
f (t) dt la primitive de f nulle en a, cette
F (b) = f (a) (b − a) +
a
fonction est de classe C 4 sur [a, b] et le théorème de Taylor-Lagrange nous dit qu’il existe un
réel c1 ∈ ]a, b[ tel que :
Z b
f (x) dx
(20.1)
F (b) =
a
F 00 (a)
F (3) (a)
F (4) (c)
(b − a)2 +
(b − a)3 +
(b − a)4
2
6
24
f 0 (a)
f 00 (a)
f (3) (c1 )
= f (a) (b − a) +
(b − a)2 +
(b − a)3 +
(b − a)4
2
6
24
= F (a) + F 0 (a) (b − a) +
(20.2)
On a aussi, avec la formule de Taylor-Lagrange pour f :
f (b) = f (a) + f 0 (a) (b − a) +
soit, en multipliant la première relation par
f 00 (a)
f (3) (c2 )
(b − a)2 +
(b − a)3
2
6
b−a
:
2
b−a
f 00 (a)
f (3) (c2 )
f 0 (a)
(b − a)2 =
(f (b) − f (a)) −
(b − a)3 −
(b − a)4
2
2
4
12
et en reportant dans (20.1) , on obtient :
f 00 (a)
f (3) (c2 )
b−a
(f (b) − f (a)) −
(b − a)3 −
(b − a)4
2
4
12
f 00 (a)
f (3) (c1 )
+
(b − a)3 +
(b − a)4
6
24
¢
b−a
f 00 (a)
(b − a)4 ¡ (3)
3
= f (a) (b − a) +
(f (b) − f (a)) −
(b − a) +
f (c1 ) − f (3) (c2 )
2
12
24
F (b) = f (a) (b − a) +
De même, avec :
f 0 (b) = f 0 (a) + f 00 (a) (b − a) +
f (3) (c3 )
(b − a)2
2
478
Calcul approché des intégrales définies
on obtient :
f 00 (a)
(b − a)2 0
f (3) (c3 )
3
(b − a) =
(f (b) − f 0 (a)) −
(b − a)4
12
12
24
et :
b−a
(b − a)2 0
(f (b) − f (a)) −
(f (b) − f 0 (a))
2
12
¢
(b − a)4 ¡ (3)
+
f (c1 ) − f (3) (c2 ) + f (3) (c3 )
24
F (b) = f (a) (b − a) +
Théorème 20.3 Pour toute fonction f ∈ C 3 ([a, b] , R) on a le développement asymptotique :
µ ¶
Z b
b−a
(b − a)2 0
1
0
Rn (f ) =
f (x) dx −
(f (b) − f (a)) +
(f (b) − f (a)) + O
.
2
2n
12n
n3
a
Démonstration. On a, pour tout k compris entre 0 et n − 1 :
Z xn,k+1
xn,k+1 − xn,k
f (x) dx = f (xn,k ) (xn,k+1 − xn,k ) +
(f (xn,k+1 ) − f (xn,k ))
2
xn,k
(xn,k+1 − xn,k )2 0
(f (xn,k+1 ) − f 0 (xn,k ))
12
¢
(xn,k+1 − xn,k )4 ¡ (3)
+
f (c1,k ) − f (3) (c2,k ) + f (3) (c3,k )
24
b−a
b−a
=
f (xn,k ) +
(f (xn,k+1 ) − f (xn,k ))
n
2n
(b − a)2 0
−
(f (xn,k+1 ) − f 0 (xn,k ))
12n2
¢
(b − a)4 ¡ (3)
(3)
(3)
+
f
(c
)
−
f
(c
)
+
f
(c
)
1,k
2,k
3,k
24n4
−
et :
Z
b
f (x) dx =
a
=
n−1
b−aX
n
f (xn,k ) +
k=0
−
+
n−1
4 X
(b − a)
24n4
k=0
n−1
b−aX
2n
xn,k+1
f (x) dx
xn,k
(f (xn,k+1 ) − f (xn,k ))
k=0
n−1
2 X
(b − a)
12n2
¡
n−1 Z
X
(f 0 (xn,k+1 ) − f 0 (xn,k ))
k=0
¢
f (3) (c1,k ) − f (3) (c2,k ) + f (3) (c3,k )
k=0
soit en désignant par cn , dn et en des réels dans [a, b] tels que
n−1
P
k=0
f (3) (c2,k ) = nf (3) (dn ) , et
n−1
P
n−1
P
f (3) (c1,k ) = nf (3) (cn ) ,
k=0
f (3) (c3,k ) = nf (3) (en ) :
k=0
Z
b
f (x) dx = Rn (f ) +
a
b−a
(b − a)2 0
(f (b) − f (a)) −
(f (b) − f 0 (a))
2n
12n2
¢
(b − a)4 ¡ (3)
(3)
(3)
+
f
(c
)
−
f
(d
)
+
f
(e
)
n
n
n
24n3
La méthode des points milieux
avec :
479
¯
°
°
¯ (3)
¯f (cn ) − f (3) (dn ) + f (3) (en )¯ ≤ 3 °f (3) °
∞
ce qui donne bien le résultat annoncé.
1
Exemple 20.1 Pour f (t) =
sur [0, 1] , on obtient :
1+t
µ ¶
2n−1
X 1
1
1
1
= ln (2) +
+
+O
2
k
4n 16n
n3
k=n
1
sur [0, 1] , avec α > 0, α 6= 1 :
(1 + t)α
µ
µ
¶
¶
µ
¶
µ ¶
2n−1
X 1
1
1
1
1
α
1
1
α−1
=
−1 −
−1 +
1 − α+1 + O
.
n
α
α−1
α
2
3
k
1
−
α
2
2n
2
12n
2
n
k=n
Exemple 20.2 Pour f (t) =
20.3
La méthode des points milieux
Cette méthode consiste à utiliser les sommes de Riemann avec le point milieu ξn,k =
xn,k + xn,k+1
. On utilise donc l’opérateur Mn défini sur C ([a, b]) par :
2
¶
n−1 µ
xn,k + xn,k+1
b−aX
Mn (f ) =
f
.
n k=0
2
La méthode de base, qui correspond à n = 1, est définie par :
µ
¶
Z b
a+b
f (x) dx w M1 (f ) = (b − a) f
.
2
a
Si f est une fonction affine, elle peut s’écrire f (x) = α (x − a) + β et le changement de
a+b b−a
variable x =
+
t nous donne :
2
2
¶
Z 1µ
Z b
Z b
b−a
b−a
(α (x − a) + β) dx =
α
f (x) dx =
(t + 1) + β
dt
2
2
a
a
−1
¶
µ
¶
Z 1µ
b−a
b−a
b−a
=2
α
+β
dt = α
+ β (b − a)
2
2
2
0
µ
¶
a+b
= (b − a) f
2
et :
µ
¶ X
Z b
n−1
n−1 Z xn,k+1
X
xn,k + xn,k+1
Mn (f ) =
(xn,k+1 − xn,k ) f
f (x) dx =
f (x) dx.
=
2
a
x
n,k
k=0
k=0
Pour f (x) = x2 sur [0, 1] , on a pour tout entier n ≥ 1 :
¶
¶2
n−1 µ
n−1 µ
1X k
1
1 X k2
k
1
Mn (f ) =
+
=
+
+
n k=0 n 2n
n k=0 n2 n2 4n2
µ
¶
1 (n − 1) n (2n − 1) n (n − 1) n
= 3
+
+
n
6
2
4
Z 1
1
1
1
= −
6=
x2 dx = .
2
3 12n
3
0
480
Calcul approché des intégrales définies
La méthode est donc d’ordre 1.
a+b
Dans le cas ou f est une fonction dérivable, la tangente au graphe de f en
a pour
2
équation :
µ
¶µ
¶
¶
µ
a+b
a+b
a+b
0
y = h (x) = f
x−
+f
2
2
2
et :
¶
µ
¶
µ
Z b
a+b
a+b
= (b − a) f
.
h (x) dx = (b − a) h
2
2
a
On a donc :
Z
b
M1 (f ) =
h (x) dx.
a
Dans le cas où f est une fonction dérivable convexe, son graphe est toujours au dessus des
tangentes, on a donc f (x) ≥ h (x) pour tout x ∈ [a, b] et :
µ
¶
Z b
Z b
a+b
.
f (x) dx ≥
h (x) dx = (b − a) f
2
a
a
Pour ce qui est d’une estimation de l’erreur d’approximation, on s’intéresse d’abord à la
méthode de base.
Lemme 20.4 Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C 2 sur un intervalle [a, b] . Il existe
un réel c dans ]a, b[ tel que :
¶
µ
Z b
a+b
(b − a)3 00
=
f (c)
f (x) dx − (b − a) f
2
24
a
Démonstration. On se ramène à l’intervalle [−1, 1] en utilisant le changement de variable
a+b b−a
x=
+
t avec t ∈ [−1, 1] , ce qui conduit à introduire la fonction g définie sur [−1, 1]
2
2
par :
µ
¶
a+b b−a
g (t) = f
+
t .
2
2
L’erreur dans la méthode du point milieu de base pour f sur [a, b] est :
µ
¶
Z b
a+b
E (f ) =
f (x) dx − (b − a) f
2
a
µZ 1
¶
b−a
g (t) dt − 2g (0)
=
2
−1
Z x
On désigne par G : x 7→
g (t) dt la primitive sur [0, 1] de g nulle en 0 et par ϕ la fonction
0
définie sur [0, 1] par :
Z
x
ϕ (x) =
g (t) dt − 2xg (0) = G (x) − G (−x) − 2xg (0)
−x
(erreur dans la méthode du point milieu sur [−x, x]). La fonction G est de classe C 3 sur [0, 1]
et la formule de Taylor-Lagrange nous donne pour x ∈ [−1, 1] \ {0} :
G00 (0) 2 G(3) (cx ) 3
x +
x
G (x) = G (0) + G (0) x +
2
6
g 0 (0) 2 g 00 (cx ) 3
= g (0) x +
x +
x
2
6
0
La méthode des points milieux
481
avec 0 < cx < x et en conséquence :
ϕ (x) = G (x) − G (−x) − 2xg (0) =
g 00 (cx ) + g 00 (c−x ) 3
x.
6
avec −x < c−x < 0. Le lemme 20.1 nous dit alors qu’il existe dx dans [−x, x] ⊂ ]−1, 1[ tel que
g 00 (cx ) + g 00 (c−x ) = 2g 00 (dx ) . On a donc :
ϕ (x) =
g 00 (dx ) 3
x
3
et :
b−a
b − a g 00 (d1 )
E (f ) =
ϕ (1) =
2
2
3
µ
¶2 00
3
b − a b − a f (c)
(b − a) 00
=
=
f (c)
2
2
3
24
a+b b−a
avec c =
+
d1 ∈ ]a, b[ .
2
2
On déduit de ce lemme une majoration de l’erreur dans la méthode de base du point milieu
pour une fonction f de classe C 2 sur [a, b] :
¯Z b
µ
¶¯
¯
¯ kf 00 k∞
a
+
b
¯
¯≤
f (x) dx = (b − a) f
(b − a)3
¯
¯
2
24
a
Pour la méthode composée, on en déduit le résultat suivant.
Théorème 20.4 Soit f une fonction de classe C 2 sur [a, b] et n un entier naturel non nul.
Avec les notations qui précèdent, il existe un réel cn ∈ [a, b] tel que :
Z
b
a
et on a :
(b − a)3 00
f (x) dx − Mn (f ) =
f (cn )
24n2
¯Z b
¯
¯
¯ (b − a)3 00
¯
f (x) dx − Mn (f )¯¯ ≤
kf k∞
¯
24n2
a
Démonstration. On a :
Z
b
f (x) dx − Mn (f ) =
a
ÃZ
n−1
X
k=0
µ
xn,k+1
f (x) dx − (xn,k+1 − xn,k ) f
xn,k
=
n−1
X
(xn,k+1 − xn,k )3
k=0
24
n−1
(b − a)3 X 00
f (cn,k ) =
f (cn,k )
24n3 k=0
00
où chaque cn,k est dans ]xn,k , xn,k+1 [ .
Le lemme 20.1 nous dit qu’il existe cn dans [a, b] tel que
donc :
xn,k + xn,k+1
2
n−1
P
f 00 (cn,k ) = n · f 00 (cn ) . On a
k=0
Z
b
a
¶!
(b − a)3 00
(b − a)3
00
n · f (cn ) =
f (cn )
f (x) dx − Mn (f ) =
24n3
24n2
482
et :
Calcul approché des intégrales définies
¯Z b
¯
¯
¯ (b − a)3 00
¯
kf k∞
f (x) dx − Mn (f )¯¯ ≤
¯
24n2
a
Là encore, on retrouve le fait que :
Z
b
lim Mn (f ) =
n→+∞
f (x) dx.
a
Remarque 20.3 Pour n ≥ 1, on a :
Mn (f ) = 2R2n (f ) − Rn (f )
En effet :
¶
2n−1
2n−1 µ
b−a X
b−a X
b−a
R2n (f ) =
f (x2n,k ) =
f a+k
2n k=0
2n k=0
2n
à n−1 µ
¶ X
¶!
n−1 µ
b−a X
b−a
b−a
=
f a + 2j
+
f a + (2j + 1)
2n
2n
2n
j=0
j=0
à n−1
¶!
n−1 µ
X
b−a X
xn,j + xn,j+1
=
f (xn,j ) +
f
2n
2
j=0
j=0
et :
n−1
n−1
b−aX
b−aX
2R2n (f ) =
f (xn,j ) +
f
n j=0
n j=0
µ
xn,j + xn,j+1
2
¶
= Rn (f ) + Mn (f ) .
On a donc accéléré la convergence de la suite (Rn (f ))n≥1 en utilisant la suite (Mn (f ))n≥1
formée des moyennes de R2n (f ) et Rn (f ) avec les poids 2 et −1 respectivement.
20.4
Les méthodes de Newton-Cotes
Ces méthodes sont basées sur l’interpolation de Lagrange.
On se place ici dans le cas où I = [a, b] est intervalle fermé borné, on se donne un entier
p ≥ 1 et on lui associe les points xp,k définis par :
xp,k = a + k
b−a
(0 ≤ k ≤ p) .
p
Théorème 20.5 Pour tout entier naturel non nul p, il existe des coefficients réels uniques
(µp,k )0≤k≤p tels que pour toute fonction polynomiale P de degré au plus égal à p on ait :
Z
b
a
p
b−aX
P (x) dx =
µp,k P (xp,k ) .
p k=0
Ces coefficients sont donnés par :
µp,k
(−1)p−k k
Cp
=
p!
Z
p
0
p
Y
j=0
j6=k
(t − j) dt (0 ≤ k ≤ p)
(20.3)
Les méthodes de Newton-Cotes
483
Démonstration. On désigne par (Lp,k )0≤k≤p la base de Lagrange de Rp [x] définie par :
p
Y
x − xp,j
Lp,k (x) =
x − xp,j
j=0 p,k
j6=k
Par linéarité, la propriété (20.3) est vérifiée pour tout P dans Rp [x] si, et seulement si, elle
est vérifiée pour tous les Lp,k , ce qui équivaut à :
Z
b
Lp,k (x) dx =
a
b−a
µp,k
p
pour tout entier k compris entre 0 et p. On a donc ainsi prouvé l’existence et l’unicité des
coefficients µp,k .
b−a
Le changement de variable x = a + t
nous donne :
p
µ
¶
Z p
b−a
µp,k =
Lp,k a + t
dt
p
0
avec :
p
Y
t−j
p
(−1)p−k Y
Lp,k (a + t (b − a)) =
=
(t − j)
k−j
k! (p − k)! j=0
j=0
j6=k
j6=k
p
=
(−1)p−k k Y
Cp
(t − j)
p!
j=0
j6=k
Remarque 20.4 Les coefficients (µp,k )0≤k≤p ne dépendent que de p et de k, mais pas de l’intervalle I.
Remarque 20.5 On peut aussi déterminer les coefficients (µp,k )0≤k≤p en utilisant la base
³
´
(x − a)i
de Rp [x] , ce qui fait apparaître ces coefficients comme solutions du système
linéaire :
0≤i≤p
p
X
p
µp,k (xp,k − a) =
b−a
k=0
Soit :
Z
b
i
p
X
k i µp,k =
k=0
La matrice de ce système est la matrice de

1
 0


A= 0
 ..
 .
(x − a)i dx (0 ≤ i ≤ pn)
a
pi+1
(0 ≤ i ≤ p)
i+1
type Vandermonde :

1 1 ··· 1
1 1 ··· 1 

2 22 · · · 2p 

.. .. . .
.. 
. . 
. .
2
0 p p · · · pp
(20.4)
484
Calcul approché des intégrales définies
de déterminant
¯
¯
¯
¯
¯
det (A) = ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 1 ···
¯
1 1 · · · 1 ¯¯
1
¯
¯
2
p ¯
p−1 ¯
¯
2 2 ··· 2 ¯
¯ 1 2 ··· 2
¯
.. .. . .
.. ¯ = p! ¯ .. .. . .
.. ¯
¯ . .
. . ¯
.
. .
. ¯¯
¯
¯
2
p ¯
p−1 ¯
¯
p p ··· p
1 p ··· p
p
p
Y
Y
Y
(i − j) = p!
(i − 1)! =
i!.
= p!
i=2
1≤j<i≤p
i=2
Ce déterminant étant non nul, on retrouve l’existence et l’unicité des coefficients µp,k .
En résolvant ces systèmes on obtient les coefficients µp,k .
Si f est une fonction continue sur I, en notant Pp le polynôme d’interpolation de Lagrange
associé à f et aux points (xp,k )0≤k≤p , on a :
Z
b
a
p
p
b−aX
b−aX
Pp (x) dx =
µp,k P (xp,k ) =
µp,k f (xp,k ) .
p k=0
p k=0
Z
Z
b
La méthode de Newton-Cotes correspondante consiste à remplacer
b
f (x) dx par
a
Pp (x) dx,
a
ce qui revient à utiliser la méthode de quadrature décrite par la fonctionnelle ϕp définies par :
p
b−aX
µp,k f (xp,k ) .
∀f ∈ C (I) , ϕp (f ) =
p k=0
Théorème 20.6 Avec les notations qui précèdent, les coefficients (µp,k )0≤k≤n sont des nombres
rationnels et on a :
µp,p−k = µp,k (0 ≤ k ≤ p)
Démonstration. Pour tout k compris entre 0 et p, le polynôme πp,k défini par :
πp,k (t) =
p
Y
(t − j)
j=0
j6=k
Z
p
est à coefficients entiers, donc
πp,k (t) dt est un nombre rationnel et il en est de même de
0
µp,k .
On peut aussi dire que les µp,k sont rationnels comme solutions du système linéaire (20.4)
qui est à coefficients rationnels.
p
Q
En notant πp (t) =
(t − j) , le changement d’indice k = p − j nous donne :
j=0
πp (p − t) =
p
Y
p+1
(p − t − j) = (−1)
j=0
p
Y
(t − (p − j))
j=0
p
= (−1)p+1
Y
k=0
(t − k) = (−1)n+1 πp (t) ,
Les méthodes de Newton-Cotes
et en écrivant que πp,k (t) =
485
πp (t)
, on obtient :
t−k
πp (t)
πp (p − t)
= (−1)p
t − (p − k)
t − (p − k)
p
= (−1) πp,p−k (t) .
πp,k (n − t) = −
Le changement de variable t = p − u nous donne alors :
Z p
Z p
p
πp,k (t) dt = (−1)
πp,p−k (u) du
0
0
et tenant compte de Cpp−k = Cpk , on en déduit que µp,p−k = µp,k pour tout k compris entre 0 et
p.
Remarque 20.6 Les formules de Newton-Cotes à p + 1 points sont exactes sur Rp [x] , elles
sont donc d’ordre au moins égal à p.
Exercice 20.1 Montrer que pour tout entier naturel non nul p pair, les formules de NewtonCotes à p + 1 points sont exactes sur Rp+1 [x] .
Solution 20.1 En effectuant un changement de variable on se ramène à l’intervalle I =
[−1, 1] .
On sait déjà que les formules de Newton-Cotes à p + 1 points sont exactes sur Rp [x] .
Soit p = 2q avec q non nul. La fonction xp+1 étant impair, on a :
Z 1
xp+1 dx = 0.
−1
D’autre part, avec :

 µp,p−k = µp,k
 xp,p−k = −1 + (2q − k)
1
k
= 1 − = −xp,k
q
q
pour k compris entre 0 et q − 1, xp,q = 0 et p + 1 impair, on déduit que :
p
X
k=0
µp,k xp+1
p,k
=
q−1
X
k=0
µp,k xp+1
p,k
+
q−1
X
µp−k,k xp+1
p−k,k = 0.
k=0
La formule de quadrature correspondante est donc exacte sur Rp+1 [x] .
Remarque 20.7 On peut montrer que les formules de Newton-Cotes à p+1 points sont d’ordre
p pour p impair et d’ordre p + 1 pour p pair (voir [43]).
Pour ce qui est de l’erreur d’approximation, on peut montrer le résultat suivant (voir [43]),
p
Q
où πp (t) =
(t − j) .
j=0
486
Calcul approché des intégrales définies
Théorème 20.7 Soient f une fonction de classe C p+2 sur I = [a, b] et
Z
b
Ep (f ) =
a
p
b−aX
µp,k f (xp,k )
f (x) dx −
p k=0
l’erreur de quadrature dans la méthode de Newton-Cotes à p + 1 points dans I.
Si p est pair, il existe alors un réel ξ dans [a, b] tel que :
µ
Ep (f ) =
b−a
n
¶p+3
f (p+2) (ξ)
(p + 2)!
Z
p
tπp (t) dt.
0
Si p est impair, il existe alors un réel ξ dans [a, b] tel que :
µ
Ep (f ) =
b−a
p
¶p+2
f (p+1) (ξ)
(p + 1)!
Z
p
πp (t) dt.
0
Les méthodes que nous venons de décrire sont les méthodes de Newton-Cotes de base. En
pratique, on utilise les formules de Newton-Cotes composées qui consistent à se fixer un entier
naturel non nul p (égal dans la pratique à 1, 2, 4 ou 6) et pour tout entier naturel non nul n on
utilise une formule de Newton-Cotes d’ordre p sur chacun des intervalles [xn,k , xn,k+1 ] pour k
b−a
compris entre 0 et n − 1, où xn,k = a + k
. Ces formules sont décrites par les fonctionnelles
n
ϕn,p définies sur C (I) par :
ϕn,p (f ) =
p
n−1
X
b−aX
k=0
np
µ
µp,j f
j=0
b−a
xn,k + j
np
¶
=
n−1
X
ϕn,p,k (f ) .
(20.5)
k=0
En écrivant :
µ
¶
p
p
n−1
X
µp,j X b − a
b−a
1X
ϕn,p (f ) =
f xn,k + j
=
µp,j Sn,p,j (f )
p k=0 n
np
p j=0
j=0
et en remarquant que pour tout entier j compris entre 0 et p, Sn,p,j (f ) est une somme de
Riemann de f sur [a, b] , on a :
Z
b
lim Sn,p,j (f ) =
n→+∞
et avec
p
P
f (x) dx
a
µp,j = p, on déduit que :
j=0
Z
b
∀f ∈ C (I) , lim ϕn,p (f ) =
n→+∞
f (x) dx.
a
Les méthodes de Newton-Cotes composées sont donc convergentes.
20.5
La méthode des trapèzes
On conserve les notations du paragraphe précédent.
La méthode des trapèzes
487
Pour p = 1, on a x1,0 = a, x1,1 = b et :
Z
1
µ1,0 = µ1,1 =
0
1
tdt = .
2
La formule de quadrature de base correspondante est la formule du trapèze :
Z b
b−a
f (x) dx w
(f (a) + f (b)) .
2
a
Cette formule est exacte pour les polynômes de degré 1 mais pas pour x2 , elle est donc
d’ordre 1.
La méthode composée est la méthode des trapèzes définie par :
à n−1
!
b−a X
Tn (f ) =
(f (xn,k ) + f (xn,k+1 ))
2n
k=0
Ã
!
n−1
b − a f (a) + f (b) X
=
+
f (xn,k )
n
2
k=1
b−a
où on a noté xn,k = a + k
pour tout k compris entre 0 et n.
n
La formule de Taylor avec reste intégral et le théorème de la moyenne nous permettent
d’obtenir une estimation de l’erreur d’approximation dans la méthode du trapèze.
Comme pour la méthode du point milieu, un changement de variable nous ramène à [−1, 1] .
Le lemme qui suit nous sera utile pour obtenir cette estimation de l’erreur.
Lemme 20.5 Soit h une fonction de classe C 2 sur [0, 1] telle que h0 (0) = 0. Pour tout x dans
]0, 1] il existe un réel cx dans [0, 1] tel que :
Z x
h00 (cx ) 3
x.
h (t) dt − xh (x) = −
3
0
Démonstration. La formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1 nous permet d’écrire :
Z x
0
h (x) = h (0) + h (0) x +
(x − t) h00 (t) dt
Z 0x
= h (0) +
(x − t) h00 (t) dt.
0
De même,
formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2 pour la primitive de h nulle en
Z la
x
0, H : x 7→
h (t) dt (qui est de classe C 3 ) nous donne :
0
Z x
(x − t)2 000
H 00 (0) 2
x +
H (t) dt
H (x) = H (0) + H (0) x +
2
2
0
Z x
h0 (0) 2
(x − t)2 00
= h (0) x +
x +
h (t) dt
2
2
0
Z x
(x − t)2 00
= h (0) x +
h (t) dt.
2
0
0
488
Calcul approché des intégrales définies
On en déduit alors que :
Z
x
h (t) dt − xh (x) = H (x) − xh (x)
Z x
(x − t)2 00
h (t) dt − x
(x − t) h00 (t) dt
2
Z 0x 2
x − t2 00
=−
h (t) dt.
2
0
0
Z
x
=
0
Pour x ∈ ]0, 1] , la fonction t 7→ x2 − t2 étant à valeurs positives sur [0, x] , le théorème de la
moyenne nous dit qu’il existe cx ∈ [0, x] tel que :
Z x
Z x 2
x − t2
h00 (cx ) 3
00
h (t) dt − xh (x) = −h (cx )
dt = −
x.
2
3
0
0
Lemme 20.6 Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C 2 sur un intervalle [a, b] . Il existe
un réel c dans ]a, b[ tel que :
Z
b
f (x) dx −
a
b−a
(b − a)3 00
(f (a) + f (b)) = −
f (c)
2
12
a+b
b−a
+
t avec t ∈ [−1, 1] nous
2
2
ramène à l’intervalle [−1, 1] . En définissant la fonction g sur [−1, 1] par :
¶
µ
a+b b−a
+
t ,
g (t) = f
2
2
Démonstration. Le changement de variable x =
l’erreur dans la méthode du trapèze pour f sur [a, b] s’écrit :
Z
b
b−a
f (x) dx −
(f (a) + f (b))
2
a
¶
µZ 1
b−a
g (t) dt − (g (−1) + g (1)) .
=
2
−1
E (f ) =
En désignant par h la fonction définie sur [−1, 1] par h (t) = g (−t) + g (t) , on a :
µZ 1
¶
b−a
E (f ) =
h (x) dx − h (1) ,
2
0
la fonction h étant de classe C 2 sur [−1, 1] avec h0 (0) = g 0 (0) − g 0 (0) = 0 et le lemme précédent
nous dit qu’il existe un réel c1 dans [0, 1] tel que :
E (f ) = −
b − a h00 (c)
b − a g 00 (c1 ) + g 00 (−c1 )
=−
.
2
3
2
3
Le lemme 20.1 nous dit qu’il existe d1 dans [0, 1] tel que g 00 (−c1 ) + g 00 (c1 ) = 2g 00 (d1 ) . On a
donc :
(b − a)3 00
b − a 00
g (d1 ) = −
f (c)
E (f ) = −
3
12
La méthode des trapèzes
489
a+b b−a
avec c =
+
d1 dans [a, b] .
2
2
On déduit de ce lemme une majoration de l’erreur dans la méthode du trapèze pour une
fonction f de classe C 2 sur [a, b] :
¯Z b
¯
¯
¯ kf 00 k∞
b
−
a
¯
¯≤
f
(x)
dx
−
(f
(a)
+
f
(b))
(b − a)3
¯
¯
2
12
a
Remarque 20.8 Une démonstration élémentaire, mais plus astucieuse, du lemme précédent
peut se faire comme suit (voir [10]).
On peut remarquer qu’une intégration par parties nous donne pour f de classe C 1 sur [a, b] :
Z bµ
a
a+b
x−
2
¶
·µ
¶
¸b Z b
a+b
f (x) dx =
x−
f (x) −
f (x) dx
2
a
a
Z b
b−a
=
(f (a) + f (b)) −
f (x) dx
2
a
0
Pour f de classe C 2 sur [a, b] une autre intégration par parties nous donne :
"
õ
¶
¶2 µ
¶2 !#b
Z bµ
b−a
a+b
1
a+b
0
0
x−
f (x) dx = f (x)
x−
−
2
2
2
2
a
a
Ã
¶2 µ
¶2 !
Z b µ
a+b
b−a
1
x−
−
−
f 00 (x) dx
2 a
2
2
¶2 µ
¶2 !
Z õ
b−a
1 b
a+b
=
− x−
f 00 (x) dx
2 a
2
2
et en conséquence :
Z
b
a
b−a
1
f (x) dx −
(f (a) + f (b)) =
2
2
=
1
2
Z b õ
Z
1
=−
2
a
b
a+b
x−
2
¡¡
x−
a
Z
b
a+b
2
¢
−
¶2
µ
−
b−a
2
¡ b−a ¢¢ ¡¡
2
¶2 !
x−
f 00 (x) dx
a+b
2
¢
+
¡ b−a ¢¢
2
f 00 (x) dx
(b − x) (x − a) f 00 (x) dx.
a
Comme sur l’intervalle [a, b] , on a (b − x) (x − a) ≥ 0, on déduit du théorème de la moyenne
qu’il existe c ∈ [a, b] tel que :
Z
Z
b
00
b
00
(b − x) (x − a) f (x) dx = f (c)
a
et :
(b − x) (x − a) dx = f 00 (c)
a
Z
b
a
(b − a)3 00
b−a
(f (a) + f (b)) = −
f (c)
f (x) dx −
2
12
Pour la méthode composée, on en déduit le résultat suivant.
(b − a)3
6
490
Calcul approché des intégrales définies
Théorème 20.8 Soit f une fonction de classe C 2 sur [a, b] et n un entier naturel non nul.
Avec les notations qui précèdent, il existe un réel cn ∈ [a, b] tel que :
Z
b
a
et on a :
(b − a)3 00
f (x) dx − Tn (f ) = −
f (cn )
12n2
¯Z b
¯
¯
¯ (b − a)3 00
¯
¯≤
f
(x)
dx
−
T
(f
)
kf k∞
n
¯
¯
12n2
a
Démonstration. On a :
ÃZ
Z b
n−1
X
f (x) dx − Tn (f ) =
a
xn,k+1
xn,k
k=0
n−1
X (xn,k+1
!
xn,k+1 − xn,k
f (x) dx −
(f (xn,k ) + f (xn,k+1 ))
2
n−1
(b − a)3 X 00
− xn,k )3 00
f (cn,k ) = −
f (cn,k )
12
12n3 k=0
=−
k=0
où chaque cn,k est dans [xn,k , xn,k+1 ] .
Le lemme 20.1 nous dit qu’il existe cn dans [a, b] tel que
donc :
n−1
P
f 00 (cn,k ) = n · f 00 (cn ) . On a
k=0
Z
b
f (x) dx − Tn (f ) = −
a
et :
(b − a)3
(b − a)3 00
00
n
·
f
(c
)
=
−
f (cn )
n
12n3
12n2
¯Z b
¯
¯
¯ (b − a)3 00
¯
¯≤
kf k∞
f
(x)
dx
−
T
(f
)
n
¯
¯
12n2
a
De ce théorème, on déduit que :
Z
b
lim Tn (f ) =
n→+∞
f (x) dx.
a
Remarque 20.9 Pour n ≥ 1, on a :
Rn (f ) + Rn0 (f )
2
Z b
P
b − a n−1
0
où Rn (f ) =
f (xn,k+1 ) est une approximation de
f (x) dx par la méthode composée
n k=0
a
des rectangles à droite. On a donc accéléré la convergence des suites (Rn (f ))n≥1 (Rn0 (f ))n≥1
1
1
en utilisant la suite (Tn (f ))n≥1 formée des moyennes de Rn (f ) et Rn0 (f ) avec les poids et
2
2
respectivement.
Tn (f ) =
Remarque 20.10 On a aussi :
Mn (f ) = 2T2n (f ) − Tn (f )
Pour n ≥ 2 on a :
Tn (f ) =
b−a
n
Ã
n−1
X
!
f (a) + f (b)
+
f (xn,k ) .
2
k=0
La méthode des trapèzes
491
En remarquant que pour tout j compris entre 0 et n − 1 on a :
(
x2n,2j = xn,j
b−a
x2n,2j+1 = xn,j +
= mn,j
2n
on déduit que :
b−a
T2n (f ) =
2n
=
Ã
!
n−1
n−1
X
f (a) + f (b) X
+
f (xn,j ) +
f (mn,j )
2
j=0
j=0
Tn (f ) + Mn (f )
.
2
Ce résultat étant encore valable pour n = 1.
π
Exercice 20.2 Donner une suite d’approximations rationnelles de ln (2) et
en utilisant les
4
méthodes composées des trapèzes. Donner une expression de l’erreur d’approximation.
Solution 20.2 On applique, pour tout entier n ≥ 1, la méthode composée des trapèzes à la
1
fonction f : t 7→
sur l’intervalle [0, 1] découpé en n intervalles égaux, ce qui donne :
1+t
Z
1
ln (2) =
0
n−1
X 1
dt
3
v un =
+
.
1+t
4n k=1 k + n
Une expression de l’erreur d’approximation est donnée par :
|ln (2) − un | ≤
kf 00 k∞
1
= 2.
2
12n
6n
Nous verrons plus loin que la formule d’Euler-Maclaurin nous donne le développement asymptotique :
b2 0
1
b4
1
(f (1) − f 0 (0)) 2 − f (4) (ξ) 4
2
n
24
n
1
1
1
=−
+
,
16n2 30n4 (1 + ξ)5
ln (2) − un = −
avec ξ ∈ [0, 1] . La suite (vn )n≥1 définie par :
n−1
X 1
3
1
vn =
−
+
4n 16n2 k=1 k + n
converge vers ln (2) plus vite que (vn )n≥1 .
Pour n = 10, on a :
u10 v 0.69377, v10 v 0.69315, ln (2) ∼ 0.6931472.
Pour
1
π
, on procède de même avec la fonction f : t 7→
sur l’intervalle [0, 1] .
4
1 + t2
492
Calcul approché des intégrales définies
Exercice 20.3 Vérifier que, pour n ≥ 2, la formule des trapèzes composées sur [0, 2π] est
exacte pour la fonction cos . Qu’en est-il pour la fonction x 7→ |sin (x)| sur [0, π] .
Solution 20.3 La formule composée des trapèzes pour la fonction cos sur [0, 2π]s’écrit :
Z 2π
0=
cos (t) dt v τn ,
0
où :
¶!
µ
n−1
cos (0) + cos (2π) X
2π
+
cos k
2
n
k=1
¶
µ
n−1
2π X
2π
=
.
cos k
n k=0
n
2π
τn =
n
Ã
Pour n = 1, on a :
τ1 = 2π
et pour n ≥ 2, on a :
n−1
X
µ
2π
cos k
n
k=0
¶
=<
à n−1
X
!
e
2ikπ
n
k=0
Ã
=<
1−e
2inπ
n
1−e
2iπ
n
!
= 0.
La formule est donc exacte pour tout n ≥ 2.
Pour f (x) = |sin (x)| , on a T = π et :
Z
π
0
20.6
π
n−1
³
´
sin
X
π
π
π
n .
|sin (x)| dx = 2, τn (f ) =
sin k
=−
π
n k=1
n
n cos − 1
n
La méthode de Simpson
Pour p = 2 dans la méthode de base de Newton-Cotes, on a x2,0 = a, x2,1 =
et :

Z
1 2
1


t (t − 1) dt =
 µ2,0 = µ2,2 =
2 0
3
Z 2

4

 µ2,1 = − t (t − 2) dt =
3
0
a+b
, x2,2 = b
2
La formule de quadrature correspondante est la formule de Simpson :
µ
µ
¶
¶
Z b
b−a
a+b
f (x) dx w
f (a) + 4f
+ f (b) .
6
2
a
On vérifie facilement, en se plaçant sur I = [−1, 1] (on s’y ramène toujours par changement
de variable affine) que cette formule est exacte pour les polynômes de degré 3 mais pas pour
x4 , elle est donc d’ordre 3.
La méthode de Simpson
493
La méthode composée de Simpson est définie par :
à n−1
!
b−a X
Sn (f ) = ϕn,2 (f ) =
(f (xn,k ) + 4f (mn,k ) + f (xn,k+1 ))
6n
k=0
Ã
!
n−1
b − a f (b) − f (a) X
=
+
(f (xn,k ) + 2f (mn,k ))
3n
2
k=0
b−a
b−a
pour tout k compris entre 0 et n et mn,k = xk +
(le milieu
n
2n
de [xk , xk+1 ]) pour tout k compris entre 0 et n − 1.
Pour une majoration de l’erreur nous utiliserons le lemme suivant, analogue à celui utilisé
pour la méthode des trapèzes.
où on a noté xn,k = a + k
Lemme 20.7 Soit h une fonction de classe C 4 sur [0, 1] telle que h0 (0) = 0 et h(3) (0) = 0.
Pour tout x dans ]0, 1] il existe un réel cx dans [0, 1] tel que :
Z x
h (x) + 2h (0)
h(4) (cx ) 5
h (t) dt − x
=−
x.
3
180
0
Démonstration. La formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 3 nous permet d’écrire :
Z x
h00 (0) 2 h(3) (0)
(x − t)3 (4)
0
h (x) = h (0) + h (0) x +
x +
+
h (t) dt
2
3!
3!
0
Z x
h00 (0) 2
(x − t)3 (4)
= h (0) +
x +
h (t) dt.
2
3!
0
et :
Z x
h (x) + 2h (0)
h00 (0) 2
(x − t)3 (4)
= h (0) +
x +
h (t) dt.
3
3!
3 · 3!
0
De même,
formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2 pour la primitive de h nulle en
Z la
x
h (t) dt (qui est de classe C 5 ) nous donne :
0, H : x 7→
0
Z x
H 00 (0) 2 H (3) (0) 3 H (4) (0) 4
(x − t)4 (5)
H (x) = H (0) + H (0) x +
x +
x +
x +
H (t) dt
2
3!
4!
4!
0
Z x
h0 (0) 2 h00 (0) 3 h(3) (0) 4
(x − t)4 (4)
= h (0) x +
x +
x +
x +
h (t) dt
2
3!
4!
4!
0
Z x
(x − t)4 (4)
h00 (0) 3
x +
h (t) dt.
= h (0) x +
3!
4!
0
0
On en déduit alors que :
Z x
h (x) + 2h (0)
h (x) + 2h (0)
h (t) dt − x
= H (x) − x
3
3
0
Z x
Z x
4
(x − t)3 (4)
(x − t) (4)
h (t) dt − x
h (t) dt
=
4!
3 · 3!
0
0
µ
¶
Z x
(x − t)3 (4)
x x−t
=−
h (t)
−
dt
3!
3
4
0
Z x
(x − t)3 (4)
x + 3t
=−
h (t)
dt
3!
12
0
494
Calcul approché des intégrales définies
Pour x ∈ ]0, 1] , la fonction t 7→ (x − t)3 (x + 3t) étant à valeurs positives sur [0, x] , le
théorème de la moyenne nous dit qu’il existe cx ∈ [0, x] tel que :
Z x
Z
h(4) (cx ) x
h (x) + 2h (0)
h (t) dt − x
=−
(x − t)3 (x + 3t) dt
3
12
·
3!
0
0
(4)
h (cx ) 2 5
h(4) (cx ) 5
=−
x =−
x.
12 · 3! 5
180
Lemme 20.8 Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C 4 sur un intervalle [a, b] . Il existe
un réel c dans ]a, b[ tel que :
µ
µ
¶
¶
Z b
(b − a)5 (4)
b−a
a+b
f (x) dx −
f (a) + 4f
+ f (b) = −
f (c)
6
2
2880
a
a+b
b−a
+
t avec t ∈ [−1, 1] nous
2
2
ramène à l’intervalle [−1, 1] . En définissant la fonction g sur [−1, 1] par :
µ
¶
a+b b−a
g (t) = f
+
t ,
2
2
Démonstration. Le changement de variable x =
l’erreur dans la méthode de Simpson sur [a, b] :
µ
µ
¶
¶
Z b
b−a
a+b
E (f ) =
f (x) dx −
f (a) + 4f
+ f (b)
6
2
a
s’écrit alors :
b−a
E (f ) =
2
µZ
¶
1
g (t) dt − (g (−1) + 4g (0) + g (1)) .
3
−1
1
En désignant par h la fonction définie sur [−1, 1] par h (t) = g (−t) + g (t) , on a :
µZ 1
¶
h (1) + 2h (0)
b−a
E (f ) =
h (x) dx −
,
2
3
0
la fonction h étant de classe C 4 sur [−1, 1] avec h0 (0) = h(3) (0) = 0 et le lemme précédent nous
dit qu’il existe un réel c1 dans [0, 1] tel que :
E (f ) = −
b − a g (4) (c1 ) + g (4) (−c1 )
b − a h(4) (c1 ) 5
x =−
.
2
180
2
180
Comme pour la méthode du point milieu ou du trapèze, le lemme 20.1 nous dit qu’il existe
d1 dans [−1, 1] tels que g (4) (c1 ) + g (4) (−c1 ) = 2g (4) (d1 ) et :
E (f ) = −
(b − a)5 (4)
(b − a)5 (4)
b − a g (4) (d1 )
=− 5
f (c) = −
f (c)
2
90
2 · 90
2880
a+b b−a
avec c =
+
d1 dans [a, b] .
2
2
On déduit de ce lemme une majoration de l’erreur dans la méthode de base de Simpson pour
une fonction f de classe C 4 sur [a, b] :
°
¯Z b
µ
µ
¶
¶¯ °
¯
¯ °f (4) °∞
b
−
a
a
+
b
¯
f (x) dx −
(b − a)5
f (a) + 4f
+ f (b) ¯¯ ≤
¯
6
2
2880
a
La méthode de Simpson
495
Remarque 20.11 Cette méthode d’évaluation de l’erreur ne fonctionne pas pour les méthodes
de Newton-Cotes plus générales.
Pour la méthode composée, on en déduit le résultat suivant.
Théorème 20.9 Soit f une fonction de classe C 4 sur [a, b] et n un entier naturel non nul.
Avec les notations qui précèdent, il existe un réel cn ∈ [a, b] tel que :
Z b
(b − a)5 (4)
f (x) dx − Sn (f ) = −
f (cn )
2880n4
a
et on a :
¯
¯Z b
¯ (b − a)5 ° (4) °
¯
¯
°f °
f (x) dx − Tn (f )¯¯ ≤
¯
∞
4
2880n
a
Démonstration. On a :
ÃZ
Z b
n−1
X
f (x) dx − Sn (f ) =
a
xn,k+1
xn,k
k=0
n−1
X
(xn,k+1
=−
k=0
!
xn,k+1 − xn,k
(f (xn,k ) + 4f (mn,k ) + f (xn,k+1 ))
f (x) dx −
6n
n−1
− xn,k )5 (4)
(b − a)5 X (4)
f (cn,k )
f (cn,k ) = −
2880
2880n5 k=0
où chaque cn,k est dans [xn,k , xn,k+1 ] .
Le lemme 20.1 nous dit alors qu’il existe cn dans [a, b] tel que
f (4) (cn,k ) = n · f (4) (cn ) .
k=0
On a donc :
Z
b
a
et :
n−1
P
(b − a)5
(b − a)5 (4)
(4)
f (x) dx − Sn (f ) = −
n · f (cn ) = −
f (cn )
2880n5
2880n4
¯Z b
¯
¯
¯ (b − a)5 ° (4) °
¯
¯≤
°f °
f
(x)
dx
−
S
(f
)
n
¯
¯
∞
4
2880n
a
De ce théorème, on déduit que :
Z
b
lim Sn (f ) =
n→+∞
f (x) dx.
a
Remarque 20.12 Pour tout entier n ≥ 1 on a :
Sn (f ) =
et :
Tn (f ) + 2Mn (f )
3
4T2n (f ) − Tn (f )
3
(c’est la première étape dans la méthode d’accélération de Romberg).
Pour la première formule, il suffit de la vérifier pour les méthodes de base, c’est-à-dire dans le
cas n = 1. Dans ce cas on a :
¶
µ
1 b−a
S1 (f ) =
(f (a) + f (b) + 2 (b − a) f (m))
3
2
Sn (f ) =
496
où m =
Calcul approché des intégrales définies
a+b
, ce qui donne bien la relation :
2
S1 (f ) =
T1 (f ) + 2R1 (f )
.
3
Puis en éliminant Mn (f ) dans les équations :

Tn (f ) + 2Mn (f )


 Sn (f ) =
3

T (f ) + Mn (f )

 T2n (f ) = n
2
on obtient :
4T2n (f ) − 3Sn (f ) = Tn (f ) ,
soit Sn (f ) =
4T2n (f ) − Tn (f )
.
3