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DEUX CENT DIX-NEUF EXERCICES D’ALGÈBRE
POUR LA LICENCE DE MATHÉMATIQUES
2007–2008
Rutger Noot, Michèle Audin, Vincent Blanlœil, Michel Coornaert
Les exercices marqués d’une étoile sont les « indispensables », c’est-à-dire ceux qui ne sont pas très
difficiles et qu’il est indispensable de savoir faire — ce qui ne veut pas pas dire qu’il ne faut pas savoir
faire les autres, parfois un peu plus techniques, ou faisant appel à plus de connaissances mathématiques
(en algèbre linéaire, en analyse ou en géométrie), voire contenant des pièges.
On trouvera d’autres exercices dans les livres [5, 2, 3, 1, 6, 7] (dans lesquels certains de ceux
présentés ici ont été copiés) notamment.
0. Bases du raisonnement, ensembles, relations d’équivalence —
exercices de vérification
Cette première série d’exercices est un « échauffement ». Assurez-vous qu’aucun des exercices (étoi-
lés) suivants ne vous pose de problème avant de vous attaquer aux exercices d’algèbre proprement
dits.
Exercice?0.1. S’il pleut, je prends un parapluie. Est-ce que cela veut dire que si vous me rencontrez
dans la rue avec un parapluie, il pleut ?
Exercice?0.2 (La nuit...). Nier l’assertion(1) « tous les chats sont gris », puis l’assertion « la nuit, tous
les chats sont gris ».
Exercice?0.3. Nier les assertions suivantes :
– Tout triangle rectangle possède un angle droit.
– Dans toutes les universités, tous les étudiants détestent tous les enseignants.
– Pour tout entier x, il existe un entier ytel que pour tout entier z, la relation z < y implique la
relation z < x + 1.
Exercice?0.4 (Cent mille milliards de théorèmes). Quand Eest l’ensemble vide, tous les énoncés com-
mençant par « pour tout x∈E»sont vrais. Vrai ?
Exercice?0.5 (Tous les crayons ont la même couleur). Démonstration par récurrence sur le nombre n
de crayons : pour n= 1, l’assertion est trivialement vraie ; pour le passage de nàn+ 1, parmi nos
n+ 1 crayons, choisissons-en n, ils ont tous la même couleur, par hypothèse de récurrence, de même
l’ensemble formé par le dernier crayon et un de nos npremiers crayons, donc les n+ 1 crayons ont
bien la même couleur. Commentaire ?
Exercice?0.6. Soient Aet Bdeux parties de l’ensemble E. Montrer que
({EA)∩({EB) = {E(A∪B).
Exercice?0.7. Vrai ou faux ?
Merci de nous communiquer commentaires, corrections et suggestions. Il n’existe pas et n’existera pas de « corrigé »de
cette « feuille ».
(1)Une bonne occasion de recommander la lecture de [4].

2RUTGER NOOT, MICHÈLE AUDIN, VINCENT BLANLŒIL, MICHEL COORNAERT
– Si f:E→Fest une application injective, alors |F|≥|E|.
– Si f:E→Fest une application surjective, alors |F| ≥ |E|.
– Si f:E→Fest une application injective et si |F|=|E|, alors fest bijective.
– Si f:E→Fest une application surjective et si |F|≤|E|, alors fest bijective.
– Si Eet Fsont des ensembles finis et |E|=|F|, alors il existe une bijection de Esur F.
Exercice?0.8. Combien y a-t-il de relations d’équivalence sur un ensemble à deux éléments ? sur un
ensemble à trois éléments ?
Exercice?0.9. On considère une relation binaire Rsur R. Quelles propriétés de son graphe
Γ(R) = n(x, y)∈R2|xRyo⊂R2
expriment respectivement le fait que Rest réflexive ? symétrique ?
Pour chacune des parties de R2qui suivent, déterminer si elle est ou non le graphe d’une relation
d’équivalence sur R:
–Γ(R) = {(s, s)|s∈R};
–Γ(R) = ∅;
–Γ(R) = {(x, y)|xy + 1 = 0}.
Dans le premier cas, de quelle relation d’équivalence s’agit-il ?
Exercice?0.10. Soit El’ensemble des droites d’un plan affine. On rappelle que « par un point extérieur
à une droite, on peut mener une unique parallèle à cette droite ». Montrer que la relation « être parallèle
à »est une relation d’équivalence sur E.
Exercice 0.11. Simplifier la phrase suivante : « ... il ne se trouvera aucun sportif pour nier que le
contraire n’eût été immérité... »
1. Lois de composition internes, définition d’un groupe
Exercice?1.1. Montrer que la loi de composition interne ?définie sur Npar
x?y=xy
n’est ni commutative ni associative et qu’en plus elle n’admet pas d’élément neutre.
Exercice?1.2. Dans cet exercice, Eest un ensemble et P(E)désigne l’ensemble des parties de E.
(1) On munit P(E)de la loi de composition interne ∩(intersection). Est-elle associative ? commu-
tative ? a-t-elle un élément neutre ? est-ce une loi de groupe ?
(2) Mêmes questions pour la loi ∪(réunion).
(3) On munit maintenant P(E)de la loi ∆« différence symétrique »définie par
A∆B=A∪B−A∩B.
Montrer que (P(E),∆) est un groupe commutatif.
Exercice?1.3. Soit X={a, b}un ensemble à deux éléments. Construire une loi de composition interne
commutative mais non associative sur X.
Exercice?1.4. Soit X={a, b}un ensemble à deux éléments. Construire une loi de composition interne
associative mais non commutative sur X.
Exercice?1.5. Soit X={a, b}un ensemble à deux éléments. Construire une loi de composition interne
?sur Xtelle que (X, ?)soit un monoïde commutatif mais pas un groupe.
Exercice?1.6. Soit Xun ensemble à deux éléments. Combien de lois de composition internes ∗existe-
t-il sur Xtelles que (X, ∗)soit un groupe ?
Même question, mais pour Xde cardinal 3, puis de cardinal 4.
Exercice?1.7. Pour chacun des couples d’un ensemble avec loi de composition suivants, décider s’il
s’agit d’une loi interne. Lorsque c’en est une, est-ce qu’elle définit une structure de groupe sur l’en-
semble en question ? Lorsque c’est le cas, trouver l’élément neutre et, pour tout élément, son inverse.

EXERCICES D’ALGÈBRE 3
(1) (N,+).
(2) (R,∗), avec x∗y=x+y−1.
(3) (] −π/2, π/2[,∗), avec x∗y= arctan(tan(x) + tan(y)).
(4) ({f:R→R},∗), avec f∗g=f◦g.
(5) ({A∈M(n;R)|d´et(A)6= 0},·), avec ·la multiplication des matrices.
(6) ({A∈M(n;Z)|d´et(A)6= 0},·), avec ·la multiplication des matrices.
Exercice?1.8. Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne associative qui possède un
élément neutre. Montrer que l’ensemble des éléments inversibles de Eforme un groupe.
Exercice?1.9 (Calcul dans les groupes). Dans un groupe G, montrer que l’on a
(1) a, b ∈G⇒ ∃!x∈G|ax =b;
(2) a, b, c ∈Get ac =bc ⇒a=b.
Exercice?1.10 (Calcul dans les groupes (suite)). Soient Gun groupe, n∈Net g1, . . . , gn∈G.
(1) Définir
n
Y
i=1
gi=g1g2···gn.
(2) Montrer que pour 1≤m≤non a m
Y
i=1
gi!
n
Y
i=m+1
gi
=
n
Y
i=1
gi.
(3) En déduire que (g1g2···gn)−1=g−1
ng−1
n−1···g−1 1.
(4) Pour g∈Get n∈Z, définir gn.
(5) Montrer que, pour g∈Get m, n ∈Z, on a gmgn=gm+net (gm)n=gmn.
(6) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (gh)n=gnhnpour tous g,h∈Get tout
n∈Z.
Exercice?1.11. Donner la table des groupes additifs Z/2Z,Z/3Zet Z/4Z.
Exercice?1.12. Faire la liste (table de multiplication) de tous les groupes à deux, trois, quatre (exer-
cice 1.6) et cinq éléments.
Exercice?1.13. Donner la table des groupes symétriques S2et S3.
Exercice?1.14. Soient Xun ensemble non vide et Gun groupe. On note Al’ensemble des applications
de Xdans G. Munir Ad’une structure de groupe.
Exercice?1.15 (Le groupe diédral). On considère l’ensemble D2ndes isométries qui préservent un po-
lygone régulier à ncôtés (nest un entier ≥3). Montrer que c’est un groupe, le groupe diédral, que ce
groupe a 2néléments(2), dont la moitié sont des rotations (d’angle multiple de 2π/n) et les autres des
réflexions (d’ordre 2). Ce groupe est-il commutatif ?
Exercice?1.16. On considère l’ensemble Gdes transformations « affines »de Rdans R,
x7−−−→ ax +bavec a, b ∈Ret a6= 0.
Montrer que G, muni de la composition des applications, est un groupe et que ce groupe n’est pas
commutatif.
Exercice?1.17. Soit Gun groupe d’élément neutre e.
(1) On suppose que, que pour tout x∈Gon a x2=e. Montrer que Gest commutatif.
(2) On suppose maintenant que pour tous xet ydans Gon a (xy)−1=x−1y−1. Montrer que Gest
commutatif.
(3) On suppose enfin que, pour tous xet ydans Gon a (xy)2=x2y2. Peut-on conclure que Gest
commutatif ?
Exercice 1.18. Donner un exemple d’un groupe non commutatif Gtel que pour tous xet ydans Gon
ait (xy)3=x3y3. Indication : considérer les adans M(3; Z/3Z)tels que ai,i = 1 pour 1≤i≤3et
ai,j = 0 pour 1≤j < i ≤3.
(2)d’où la notation, qui n’est pas universelle, on trouve aussi Dnpour ce même groupe

4RUTGER NOOT, MICHÈLE AUDIN, VINCENT BLANLŒIL, MICHEL COORNAERT
Exercice 1.19. Pour chacun des couples d’un ensemble avec loi de composition suivants, décider s’il
s’agit d’une loi interne. Lorsque c’en est une, est-ce qu’elle définit une structure de groupe sur l’en-
semble en question ?
(1) ({A∈M(100,Z)|∃B∈M(100,Z) : AB =BA =I},·), avec ·la multiplication des matrices.
(2) ({A∈M(100,Z)|∃B∈M(100,Z) : AB =I},·), avec ·la multiplication des matrices.
(3) ({a∈End(V)|∃b∈End(V) : ab = IdV},◦), avec Vun espace vectoriel, éventuellement de di-
mension infinie, sur un corps quelconque. Est-ce qu’on peut appliquer le résultat de l’exercice 1.8 pour
résoudre cette question ? Pourquoi (pas) ?
Exercice 1.20. Soient Gun ensemble et ∗une loi de composition interne associative sur G. Supposons
que (G, ∗)a un élément neutre e, et que pour tout xdans Gil existe yet y0dans Gtels que yx =e=xy0.
Est-ce que (G, ∗)est un groupe ? Est-ce que l’existence d’un inverse à gauche (y, donc) suffit ?
Exercice 1.21. Trois éléments x,yet zd’un groupe sont tels que xyz =e. A-t-on yzx =e? Et yxz =e?
Exercice 1.22. On suppose que Xest un ensemble muni d’une loi de composition (binaire) interne, pas
nécessairement associative et que x1, . . . , x5∈X. De combien de façons peut-on insérer trois paires
de parenthèses dans le produit x1x2x3x4x5pour que ce produit soit défini ?
2. Sous-groupes
Exercice?2.1. Parmi les sous-ensembles suivants, lesquels sont des sous-groupes ?
(1) GL(n;R)⊂GL(n;C)(pour n≥1).
(2) {1,−1} ⊂ (R?,×).
(3) N⊂(Z,+).
(4) (Q?,×)⊂(R?,×).
(5) {−1,0,1} ⊂ (Z,+).
(6) Pour n≥2,{g∈GL(n;R)|tg=g}dans GL(n;R).
(7) Pour Gun groupe d’élément neutre e,{x∈G|x2=e}dans G.
Exercice?2.2. Montrer que nx+y√2, x ∈Z, y ∈Zo
est un sous-groupe de (R,+).
Exercice?2.3 (Groupe des rotations). Montrer que
H=cos θ−sin θ
sin θcos θ|θ∈R
est un sous-groupe de GL(2; R).
Exercice?2.4 (Groupe orthogonal). Montrer que
O(n) = {g∈GL(n;R)|tg−1=g} ⊂ GL(n;R)
est un sous-groupe. Vérifier que c’est le groupe des isométries vectorielles de l’espace Rn.
Déterminer tous les éléments de O(2).
Exercice?2.5. Montrer que
H=( 2kn
2m
0 2−k!|k, n, m ∈Z)
est un sous-groupe de GL(2; R).
Exercice?2.6. Montrer que
H=
1a b
0 1 c
0 0 1
|a, b, c ∈R
est un sous-groupe de GL(3; R).

EXERCICES D’ALGÈBRE 5
Exercice?2.7. Montrer que les matrices
±1 0
0 1,±0 1 −1 0,±0i i0,±i0 0−i
forment un sous-groupe de GL(2; C)(on appelle ce groupe à huit éléments le groupe quaternionien).
Exercice?2.8. Quels sont les éléments du sous-groupe engendré par 1 1
−1 0dans GL(2; R)?
Exercice?2.9. Donner un exemple d’un groupe Get de sous-groupes H1et H2tels que H1∪H2ne
soit pas un sous-groupe.
Soit Gun groupe, H1et H2des sous-groupes. Montrer que H1∪H2est un sous-groupe si et
seulement si H1⊂H2ou H2⊂H1.
Exercice?2.10. Montrer que G, défini par
G=1a
0b∈M(2; R)|b6= 0.
est un sous-groupe de GL(2; R). Montrer que
H1=1 0
0b|b6= 0et H2=1a 0 1|a∈R
sont des sous-groupes de G.
Exercice?2.11. Montrer que dans le groupe (P(E),∆), considéré dans l’exercice 1.2, tous les éléments
(sauf ∅) sont d’ordre 2.
Exercice?2.12. Soit Gun groupe commutatif. Soit Hl’ensemble des éléments d’ordre fini de G. Montrer
que Hest un sous-groupe de G. Montrer aussi que, pour dfixé, l’ensemble des éléments xtels que
xd=eest un sous-groupe. La condition que Gsoit commutatif est-elle essentielle ?
Exercice?2.13. L’hypothèse de commutativité du groupe est indispensable dans l’exercice 2.12, en
voici une preuve. On considère le groupe affine Gcomme dans l’exercice 1.16, dont on a vu qu’il n’est
pas commutatif. Montrer que les éléments x7→ −xet x7→ −x+1 sont d’ordre 2mais que leur produit
est d’ordre infini.
Exercice?2.14. Soit Gun groupe. Soit x∈Gun élément d’ordre fini n. Soit r∈N. Montrer que xr
est d’ordre n0=n/d, où d= pgcd(n, r).
Exercice?2.15. Soit Gun groupe fini d’ordre n. Montrer que Gest cyclique si et seulement si Gpossède
un élément d’ordre n.
Exercice?2.16. Soient G1et G2des groupes. Soient x∈G1un élément d’ordre fini met y∈G2un
élément d’ordre fini n. Montrer que l’élément (x, y)∈G1×G2est d’ordre r= ppcm(m, n).
Exercice?2.17. Soit Hun sous-ensemble non vide d’un groupe G, stable par la loi de groupe. Est-ce
que Hest un sous-groupe ? Et si on suppose que Hest fini ?
Exercice?2.18. Soit Gun groupe. Soit Hun sous-groupe de Gd’indice fini n.
(1) Soit gun élément de G. Montrer qu’il existe un entier k∈ {1, . . . , n}tel que gk∈H.
(2) On suppose qu’il existe un entier Mtel que tout élément d’ordre fini de Hsoit d’ordre inférieur
ou égal à M. Montrer que tout élément d’ordre fini de Gest d’ordre inférieur ou égal à nM.
Exercice?2.19. Dans un groupe G, on considère le sous-groupe Hengendré par deux éléments aet b.
Montrer que, si ab =ba, alors Hest abélien.
Exercice?2.20. Déterminer le nombre d’éléments d’ordre 2dans chacun des groupes suivants : Z/2Z,
Z/4Z,Z/2Z×Z/2Z,S3.