"•+--+^TS ".+

F3
R. KuzMiN (Leningrad - U. S. S. R.)
SUR UN P R O B L E M E DE GAUSS
On trouve dans le Xe tome des œuvres de Gauss une lettre que ce dernier
avait écrit à LAPLACE et dans laqueKe il attirait, entre autres, l'attention du
célèbre géomètre français sur une question qui l'intéressait depuis longtemps,
mais qu'il n'avait pas réussi à résoudre d'une manière satisfaisante. Le problème
était le suivant :
Une fraction proprement dite quelconque M étant convertie en fraction continue, déterminer la probabiKté que le quotient complet n ait une partie fractionnaire comprise entre zéro et la fraction proprement dite x.
Dans ce cas, on sous-entend que toutes les valeurs de M sont ou également
probables, ou plus ou moins probable selon la loi donnée.
Considérant toutes les valeurs de M comme également probables et désignant
la probabiKté cherchée par Pn(x), Gauss a trouvé pour cette dernière la formule
approchée, tout en supposant que le nombre n augmente à l'infini:
P(x)
^»W-
*<*+«>
lg2
"
Cependant Gauss n'a pas déterminé le degré d'exactitude de cette formule.
Quant à la méthode qu'il a appKquée, eKe nous est restée inconnue.
On ignore également si LAPLACE a trouvé une solution de ce problème. De
même, les notes de l'éditeur du Xe volume des œuvres de Gauss nous permettent
de conclure que le problème en question est demeuré jusqu'à présent sans
solution complète.
L'article suivant donnera la solution de ce problème.
§ 1. - La définition de la probabilité et les propriétés les plus simples des
fractions continues nous permettent aisément de trouver l'égalité suivante:
Pn(x)=^(-ir
"D''2
v„-l
I »-H
:—
"•+--+^TS
»1 +
".+ - + Ì-,
84
COMUNICAZIONI
qu'on peut écrire également:
p„(*)=2<7iHë^-ë)>
p _
p
où les nombres -^—^ et y~ sont les deux dernières fractions réduites qu'on
obtient, en transformant la fraction continue:
1
,i+
*,+ .... + -
en une fraction simple.
En posant dans cette égaKté x^=l, nous obtenons:
1Jr
Pn(l)
ZàQn(Qn
+
Qn_iy
(On obtient de même cette égaKté en sommant, par exemple, d'après vn, puis
d'après vn~i, etc.).
Il vaut mieux considérer non pas la fonction Pn($)> mais sa dérivée que
nous désignerons par pn(x).
En différentiant la dernière égaKté nous obtenons que:
p^x)-^{Qn+xQn^r
La differentiation de la série est permise, parce que la série obtenue a comme
majorante la série suivante:
^
Qn(Qn+Qn-i)
dont la somme est égale à 2.
Toutes les fonctions pn(%) peuvent être obtenues consécutivement en posant
Po(x)=l,
et
oo
P n W ^ P n - i ^ - ^ .
On le démontre aisément en substituant à la place de Qn sa valeur
Qn-l+vQii-2'
Remarquons que si on a Po(x)=——-,
on a
a
pn(x)=T-r:
x'
§ 2. - La question de déterminer l'expression asymptotique des fonctions pn(x)
est un cas particuKer de la question de la convergence de la suite de fonctions:
/o(s),
fl(x),
h(x)y.~,
R. KUZMIN: Sur un problème
de Gauss
85
où f0(x) est une fonction quelconque et où les autres fonctions sont composées
d'après le formule:
œ
v =î
n
Signalons quelques propriétés des fonctions de ce genre, qu'il importe de
connaître pour ce qui doit suivre.
I. Si dans le cas 0 ^ # ^ 1 , la fonction fn-i(x) satisfait aux inégaKtés :
m
^*
M
t \ ^
YT-x<fn_,(X)<TTi
fn(x) satisfera également aux mêmes inégaKtés.
Il en sera par conséquent de même de toutes les fonctions qui la suivront.
Nous omettrons, pour abréger, les démonstrations simples de ces affirmations.
En particuKer, si f0(x) = ——, nous aurons de même pour toutes les fonctions fn(x) l'égaKté:
a
' » W - 2J 'O [Qn +
xQn_J
• (Qn +
xQni)2.
Cette égaKté se démontre par raisonnement de n à n + 1.
En posant ici f0(x)=l, nous obtenons l'égaKté indiquée plus haut:
Pn(x)=
^m+^Q^Ù2'
III. En intégrant terme à terme la série qui définit fn(x),
nous obtenons :
v+l
/ / . o * - 2 ff~
n
fa)
•^
- 2 / ' - (ïU)
In
1 ,.
du
Vf
1
D'où on conclut immédiatement:
*
ï
°
ï
/ fn(x)dx= (f0(x)dx.
b
6
Si la fonction f0(x) est bornée, la série pour fn(x), en vertu des propriétés
de I, est de convergence uniforme et l'intégration terme à terme est permise.
IV. AppKquons l'inégaKté facile à démontrer :
Qn(Qn+Qn-i)>2n
et supposons l'existence des inégalités :
\f0(x)\<M
et
\fQ'(x)\<[i\
nous trouverons alors la Kmite supérieure pour |/J/(a?)|.
86
COMUNICAZIONI
Pour cela, il suffit de différentier l'égaKté II qui nous donne:
,„'(.)- 2 *'<«> (êS£y< "22 *<«> <g^ifc5..
où nous avons écrit, pour abréger:
Pn + Xlrn—.±
Qn + xQn—i
En vertu des suppositions faites, on se convaincra aisément que la differentiation terme à terme est ici permise.
De l'égaKté obtenue on déduit, à l'aide de considérations évidentes, que l'on a:
\fn'{x)\<^+m.
§ 3. - Au moyen de l'identité:
fo(x)=[fo(x)
+
T^-x
1+x
et, à l'aide de la propriété I, nous pouvons démontrer qu'en étudiant la convergence de la suite des fonctions :
fo(x)j
fi(x),
f2(x),....,
sans diminuer la généraKté des résultats, nous pouvons nous arrêter au cas
de la fonction initiale positive f0(x).
Soit, pour 0 ^ # ^ s l ,
°^rk<f,>{x)<fa'
et
I'•'<*> l < >
Il est aisé de démontrer que pour les valeurs de n suffisamment grandes, on a :
m^m^M^M
et
M^—mL<M—m.
Considérons deux fonctions positives:
(p0(x)=f0(x)-
1+x
et
x
M
Po(x)=^c-fo(xY
En composant d'après la méthode indiquée la succession des fonctions:
<Po(z),
nous trouverons :
(fi(x),
9?2(#),....,
R. KUZMIN: Sur un problème
de Gauss
87
Ici u= J , g J H est le nombre compris entre les Kmites -?? et * , "t""1
Qn + xQn^L
*
Qn
Qn + Qn-L
t
dans l'intervalle de la longueur -r~-r——-—.
Retranchons l'égalité évidente:
i
ß
Ò
a
où a et /î sont les extrêmes de l'intervalle indiqué, et u± un nombre quelconque
de ce dernier.
En retranchant, nous obtenons :
ï
1
q>n(x) — \)q>*(x)dx>\^
[Ç>o(w)-ç>o(tti)] Qn(Qn+Qn-ù
De là, à l'aide de la formule de Lagrange, nous voyons que:
<Pn(x)>\\(po(x)dx-^
i+ m
JH+i
Ò
où, en posant:
x
J = 2 j <Po(x)dx,
°
nous obtiendrons:
/• /«\ \
m
i /
m
<" +
^ m + l — 2-n(fi + m)
En faisant le même raisonnement, mais en partant de la fonction ip0(x), nous
aurons:
M
7 f ^ + M ^M__h
+ 2-n{fl + M)
w <
i + * " '
1 +
2»+* ^
OÙ
T+i
'
!
^
=
2 j vjo(x)dx.
0
Nous avons obtenu ainsi les égaKtés suivantes:
mi=m
+ l—2-n(ju + m);
Mi=M-li
+ 2-n(/Li+M).
Si l>2~n(ju + m) ou / 1 >2- t *(^ + Jf), les nombres correspondants: 2~n(ju + m)
ou 2~n(ju + M) peuvent être supprimés dans les égaKtés obtenues, en vertu de I § 2.
De cette façon nous aurons dans tous les cas:
m^m^Mi^M.
À l'aide de l'égaKté évidente:
l+k =
\lg2(M-m)
88
COMUNICAZIONI
nous trouvons :
Mi-mi<(M-m)
• ô+(JLL+M)
• 2~'l+1,
oû<5 = l - Ç < l .
§ 4. - En prenant comme fonction initiale non pas fo(x), mais :
fn(x),
f2n(x),....,
f(n-L)n(x),
nous obtiendrons une série d'inégalités analogues :
î+ï<f>*<iï<T+ï>
T+x<f^<ï+x>-
I+-x<f-<x)<T+x'
Dans ce cas:
M2-m2<(Mi
+ ml)ô + (/Lii + Mi) . 2-<«+o
M3-m3<(M2-m2)ô
+ (ju2 + M2) • 2-<"+o
i ^ - m n < ( i f n _ i - - m , i _ i ) â + ( ^ ^ i + Jf w _ 1 ). 2Hn+o.
Ces inégalités nous font trouver sans difficulté:
M n - m N < ( i f - m). <5"+2-<*+i>[(/*+Jf ) « ^ + fa + Ml)ôn-2+....
+ (fxn_i + Mn„i)].
À l'aide des inégalités I et IV § 2, la condition 2n~2 > -— étant ajoutée, nous
trouvons pour les quantités jui et Mi les inégaKtés suivantes :
L'appKcation de I § 2 nous montrera aisément que dans le cas de n2^N<(n
on aura:
m
M
+ l)2
îTï<^)<ïTiSi N augmente à l'infini, les nombres mn et Mn tendent à la limite commune a,
comprise évidemment entre ces dernières.
D'après III § 2, il est aisé de voir que:
ï
a=
îi2
\f»(X)dx-
Ce qui nous amène à trouver:
fx(x)=T^-x
+ e(Mn-mn);
\6\<1.
À l'aide de l'inégaKté obtenue pour la valeur de la différence Mn—mn,
pouvons transcrire la formule précédente de la manière suivante:
où a > 0 est une constante facile à calculer.
nous
R. KUZMIN: Sur un problème
de Gauss
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Cette formule donne la résolution du problème de Gauss dans le cas où f0(x)
est la dérivée de la probabilité que le nombre arbitraire soit compris entre les
limites 0 et x.
Dans le cas le plus simple, où toutes les valeurs des nombres sont également
probables, on a: f0(x) = l et:
Cette égaKté étant intégrée, on obtient la formule de Gauss, rendue plus
précise par l'adjonction du terme complémentaire:
De l'examen attentif du raisonnement qui nous a amené à cette formule, il
s'ensuit que l'existence de la dérivée de la fonction fQ(x) n'est pas une condition essentieKe.
Si f0(x) est une fonction intégrable au sens de Riemann, l'égalité suivante:
a
limfn(x) = Yij:
x
demeure.
n-+œ
Pour terminer nous ferons la remarque, que la conséquence immédiate des
résultats obtenus est le théorème suivant : De toutes les fonctions intégrables au
sens de Riemann, seules les fonctions de la forme: —— satisfont à l'équation
7
1 +x
^
fonctionnent :
œ
f(x)=y]f(-^-)'
X
'
-^J \v -j- x)
^-^.
(v+ x)2