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F3
R.
KuzMiN
(Leningrad - U. S. S. R.)
SUR UN PROBLEME DE GAUSS
On trouve dans le Xe tome des œuvres de Gauss une lettre que ce dernier
avait écrit à LAPLACE et dans laqueKe il attirait, entre autres, l'attention du
célèbre géomètre français sur une question qui l'intéressait depuis longtemps,
mais qu'il n'avait pas réussi à résoudre d'une manière satisfaisante. Le problème
était le suivant :
Une fraction proprement dite quelconque
M
étant convertie en fraction con-
tinue, déterminer la probabiKté que le quotient complet n ait une partie frac-
tionnaire comprise entre zéro et la fraction proprement dite x.
Dans ce cas, on sous-entend que toutes les valeurs de
M
sont ou également
probables, ou plus ou moins probable selon la loi donnée.
Considérant toutes les valeurs de
M
comme également probables et désignant
la probabiKté cherchée par
Pn(x),
Gauss a trouvé pour cette dernière la formule
approchée, tout en supposant que le nombre n augmente à l'infini:
P(x)
*<*+«>
^»W-
lg2
"
Cependant Gauss n'a pas déterminé le degré d'exactitude de cette formule.
Quant à la méthode qu'il a appKquée, eKe nous est restée inconnue.
On ignore également si LAPLACE a trouvé une solution de ce problème. De
même, les notes de l'éditeur du Xe volume des œuvres de Gauss nous permettent
de conclure que le problème en question est demeuré jusqu'à présent sans
solution complète.
L'article suivant donnera la solution de ce problème.
§ 1. - La définition de la probabilité et les propriétés les plus simples des
fractions continues nous permettent aisément de trouver l'égalité suivante:
Pn(x)=^(-ir
"D''2
v„-l
I
»-H
:—
»1 +
"•+--+^TS ".+ - +
Ì-,