CHAPITRE 1 ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE 1.1 CHAMP

EN
IM
GE
B
CP
LLA
ME
L
NI
1
BE
CHAPITRE
ME
LL
AL
- CP
GE
ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE
-CP
AL
Notions générales
LL
1.1.1
CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
ME
1.1
GE
BE
NI
On s’interesse aux propriétés physiques des charges immobiles dans un référentiel
R supposé galiléen, placées dans le vide.
◮ On classe les corps en deux catégories :
1.1.2
P(dτ, dq)
√3
dτ ≪ r
CP
GE
dq ponctuelle =⇒
PM = r
BE
N
IM
EL
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
NI
• Conducteurs
: présentent des électrons (de valence) libres qui peuvent se déplacer
::::::::::::::
d’un atome à un autre.
Exemple : les métaux, les éléctrolytes, · · ·
• Isolants
: corps dépourvu d’électrons libres ( les électrons de valence sont liés).
::::::::::
Exemple : le bois, le verre, le papier, le plastique · · ·
◮ L’électron est une particule «élementaire» de charge q = −e=-1.6 × 10−19 coulomb
◮ Toute charge q est un multiple entier de la charge de l’électron : On dit que la
charge est quantifiée |q| = Ne
◮ La charge est une grandeur extensive , ne dépend pas du référentiel, pour un
système isolé, la charge est conservée.
◮ Une charge élémentaire dq occupant dans l’espace un volume élémentaire dτ
sera considérée comme ponctuelle si les dimensions de dτ sont très négligeables devant une distance caractéristique du système, autrement dit le point P où se situe la
charge dq est vu du point M situé à grande distance.((dτ)1/3 ≪ PM )
Répartition de charge
Soit q une charge occupant un volume (V) :
3
b
M
GE
B
CP
LLA
NI
ME
L
P(dτ, dq)
BE
(V, q)
LL
ρ(P)dτ
V
ME
$
NI
dq(P)
ρ(P) =
=⇒ q =
dτ(P)
AL
- CP
GE
Soit dq une charge élémentaire occupant le volume dτ centré en P
Définition
Densité volumique de charge
On appelle densité volumique de charge exprimé en (C m−3 )la grandeur
GE
BE
Exemples :
◮ Sphère de rayon R chargée uniformément en volume (ρ = cte)
AL
-CP
4
dq = ρdτ =⇒ q = ρπR3
3
NI
dq = ρdτ =⇒ q = ρπR2 h
ME
LL
◮ cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en volume (ρ = cte)
GE
BE
◮ Cube d’arrête a chargée uniformément en volume (ρ = cte)
-CP
dq = ρdτ =⇒ q = ρa3
"
PG
E
BE
dq(P)
=⇒ q =
σ(P) =
dS (P)
NI
ME
LL
AL
Lorsque une dimension est très négligeable devant les deux autres, on définit la densité surfacique de charge (σ)
Définition
Densité surfacique de charge
On appelle densité surfacique de charge exprimé en (C m−2 )la grandeur
σ(P)dS
Σ
LA
L
-C
Exemples :
◮ Sphère de rayon R chargée uniformément en surface (σ = cte)
IM
EL
dq = σdS =⇒ q = 4πσR2
CP
GE
BE
N
◮ cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en en surface latérale
(σ = cte)
dq = σdS =⇒ q = 2σπRh
◮ Disque de rayon R chargé uniformément
dq = σdS =⇒ q = σπR2
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Page-4
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Z
λ(P)dℓ
NI
dq(P)
=⇒ q =
λ(P) =
dℓ(P)
ME
L
LA
L-
CP
Si deux dimensions sont négligeables devant la troisième alors on définit la densité
linéique
Définition
Densité linéique de charge
On appelle densité linéique de charge exprimé en (C m−1 )la grandeur
GE
BE
Γ
AL
- CP
Exemple :
◮ segment AB de longueur ℓ
ME
LL
dq = λdℓ =⇒ q = λℓ
BE
NI
Remarque
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b
bb
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
-CP
GE
Pour une distribution discrète de charge différentes ; Avec qi la charge d’une
espèce et Ni son nombre, occupant un volume V
bb
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
+
Mi (qi )
b
b
bb
b b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
bb b
b b
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b bb
b b
bb
b
b
b
b
b
ME
LL
b
b
b b b
AL
b
b
-CP
GE
BE
NI
ME
LL
b
AL
b
b
+ b b +b+ b +b + b b b b
+b
b b
+
+ ++ + b ++
+
b b
+b+b ++ b b b
+ + ++b ++b b +b b + +b b b b b +
b
b
+
+
b
b
b b
bb
+
b
b
b
++ b +b +b
b bb
b +
++
+ ++ + ++b +b b +
b b
b
b
b +
b
b b +
b
+ +++++ +
b
+
b
b
bb b b
b +
b
+
b
b
+++b + +b ++b +b b b b + b +
b +
b
b b b
+
bb b
b +
b
+
b
b
b
b
b
+ b+
+b b +b
b
b
+b +b b b +b b ++ ++
++b
b
b b
b
+ b
b
++
b
+
bb b
b
+
+
+
+
b
b
b
+
+ +
b + +
b +
b
+
b b bb
b
+b + b b b + b b b + + +++ + b +b +b b +b +b b +b +++ ++b b b
b
b
b
b
b +
+ ++ +
+
+
+
b bb
b + +
b b
+
+
b
+
b
b b b
+
b
b
+ + b b b bb
b b
++b b b +b b +b b
bb b
+ b b ++ +
+b
+
bb
b
b
b
+b b +
+b
b
b
++b b b ++b ++++b b b b +b
+b b b b b b ++b +b b b b b b b b b b b
b +
b b
+
+
b
+ b+ + b b
b
bb + + b b +
b
b
+
b
b
b
+
b
b
b
b
+ + +b +
b
bb +
b
b
b
b
b b b
+
+ + b + ++
+b b b b
b
bb
+ b +bb ++b b b b b + +++++b b + b b b b b b
b b
b b
b +
+b b +b b ++b +b + ++ +b bb +
b
+ +b ++ +
+b b b +
b
b
b++
+
b
+
b
b
b
+
b
b
b
b
+ + b bb b b
b
b
+ b b b + b + ++
b
+ +b + b b b + b b b
b b
b
b b
b
b
+ bb
b
bb b b +
+
bb
b
b
+
b
b +
b
b
b
b
b b
+b + + bb +
+ b +b + b + b +
+
b
+
b
+
b
+
+
+
+
+
b
b
++b
b
b
b
b
b
+ +b + +
b
b b
+
b
b
+
+
b
b
+
b
b
b
+b ++
b
bb b
+ b b +b + + +
b + bb
+b + b +
b
b
b
b
b b
+
b
b
+
+
b
b
+ b+
b
b + b b
b
+ b+b +b +b
b
b
+
bb
+b +b b b b b ++b b + + b b b +b b b b +++
+ b b b + +b b b +b b b +
b b
b
b
b b
b
b
b
b
b
+
+
b +b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
BE
q X ∗
=
n qi
qi Ni =⇒ ρ =
V i=1 i
n
PG
E
q=
n
X
NI
Soit q la charge totale du système, donc :
-C
i=1
1.1.3
n∗ =
N
V
CP
GE
BE
N
IM
EL
LA
L
Avec n∗ la densité particulaire , qui représente le nombre de particules par unité de
volume
Complément mathématique
On rappelle que :
◮ Vecteur position et déplacement élémentaire :
CPGE/B.Mellal
Page-5
-SAID EL FILALI-
−−→
d OM
Coordonnées cartésiennes
−
−
−
x→
ex + y→
ey + z→
ez
−
−
−
dx→
ex + dy→
ey + dz→
ez
Coordonnées Cylindriques
−
−
r→
er + z→
ez
−
−
−
r→
er + rdθ→
eθ + dz→
ez
Coordonnées sphériques
−
r→
er
−
−
−
dr→
er + rdθ→
eθ + r sin θdϕ→
eϕ
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
CP
−−→
OM
ME
LL
AL
- CP
◮ Surface élémentaire :
−
−a et →
b deux vecteurs :
Soit →
→
−
b
BE
NI
S
-CP
GE
→
−a
→
−
LL
AL
−a et b est
la surface S délimitée par le parallélogramme formé par →
NI
ME
−
−a ∧ →
S =k →
b k
GE
BE
−n défini par
On oriente la surface S par un vecteur unitaire →
-CP
−
→
−a ∧ →
b
→
−
→
−
k a∧b k
LL
AL
→
−n =
ME
Il en résulte que
BE
NI
→
−
→
−
− →
−n =⇒ →
S = S→
S = −a ∧ b
−→
BE
N
IM
EL
LA
L
-C
PG
E
• Surface élémentaire en coordonnées cartésiennes :
−→
−
−
−
- dS z = dx→
ex ∧ dy→
ey =⇒ dS z = dxdy→
ez
−→
−→
CP
GE
−
−
−
- dS y = dz→
ez ∧ dx→
ex =⇒ dS y = dxdz→
ey
−→
−→
−
−
−
- dS x = dy→
ey ∧ dz→
ez =⇒ dS x = dydz→
ex
• Surface élémentaire en coordonnées cylindriques :
Le cylindre présente deux surfaces de bases (A et B)et une surface latérale
CPGE/B.Mellal
Page-6
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
ME
L
LA
L-
CP
A
BE
NI
B
−→
−→
−→
−
−
−
-Surface latérale : dS L = rdθ→
eθ ∧ dz→
ez =⇒ dS L = rdθdz→
er
• Surface élémentaire en coordonnées sphériques :
ME
LL
AL
- CP
GE
−
-Surface de base :dS base = ±rdrdθ→
ez
BE
NI
A
-CP
GE
Pour une sphère r = cte donc
LL
AL
−→
−→
−
−
−
dS = rdθ→
eθ ∧ r sin θdϕ→
eϕ =⇒ dS = r2 sin θdθdϕ→
er
ME
Remarque
GE
BE
NI
Pour les surfaces fermées (en 3D : délimitant un volume) on oriente toujours
−n vers l’extérieur
la normale →
◮ On rappelle que la surface :
ME
LL
AL
-CP
• de base d’un cylindre de rayon R est S B = πR2
• latérale d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est S L = 2πRh
• d’une sphère de rayon R est S = 4πR2
◮ Volume élémentaire :
NI
On rappelle que le volume délimité par trois vecteurs vaut
PG
E
BE
− →
−a ∧ →
V = (→
b ).−c
LA
L
-C
• volume élémentaire en coordonnées cartésiennes :
dτ = dxdydz
IM
EL
• volume élémentaire en coordonnées cylindriques :
BE
N
dτ = rdrdθdz =⇒ V(cylindre) = πR2 h
CP
GE
• volume élémentaire en coordonnées sphériques :
4
dτ = r2 sin θdrdθdϕ =⇒ V(sphère) = πR3
3
CPGE/B.Mellal
Page-7
-SAID EL FILALI-
GE
B
Loi de Coulomb
CP
1.1.4
ME
L
LA
L-
Soit deux charges ponctuelles placées dans le vide q1 au point P et q2 au point M
distant de r.
BE
NI
•M(q2 )
→
−u
- CP
GE
•
P(q1 )
ME
1 q1 q2 −−→
PM
4πεo PM 3
NI
→
−
→
−
F 1/2 = − F 2/1 =
LL
AL
Chacune des deux charges exerce sur l’autre une force électrostatique donnée par la
loi de Coulomb :
−−→
r =k PM k
-CP
et
GE
−−→
→
−u = PM
PM
BE
Si on pose
LL
1 q1 q2 →
−u = 1 q1 q2→
−u
2
2
4πεo PM
4πεo r
ME
→
−
→
−
F 1/2 = − F 2/1 =
AL
alors la loi de Coulomb devient
GE
BE
NI
Avec :
• εo : permittivité diélectrique du vide sa valeur est
-CP
εo = 8.854 187 817 × 10−12 F m−1
1
= 9.109 (S .I)
4πεo
• Si q1 q2 > 0 =⇒ force repulsive.
• Si q1 q2 < 0 =⇒ force attractive.
ME
LL
AL
•
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
Remarques :
◮ Dans un milieu linéaire homogène et isotrope la loi de Coulomb reste valable à
condition de remplacer εo par ε = εo εr
εr est dite permittivité diélectrique relative.
◮ Analogie entre les interactions coulombienne et gravitationnelle :
interactions gravitationnelle
EL
interactions coulombienne
attractive
BE
N
IM
Répulsive/attractive
1 q1 q2→
−u
4πεo r2
−G
CP
GE
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
m1 m2→
−u
r2
q
m
1
4πεo
−G
Page-8
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
CP
◮ Comparaison entre les forces gravitationnelle et électrostatique dans l’atome d’hy-
LA
ME
L
Fe
≃ 4.1042
Fg
L-
drogène :
On donne : me =9.11 × 10−31 kg ; e=1.6 × 10−19 C ;G=6.67 × 10−11 N m2 kg−2
- CP
GE
BE
NI
On retient que la force gravitationnelle est très négligeable devant la force électrostatique.
Le Champ électrostatique
1.1.5.1
Champ électrostatique crée par une charge ponctuelle
ME
LL
AL
1.1.5
NI
Soit une charge q placé en O et M un point quelconque de l’espace différent de O.
Plaçons une charge q′ en M
• N(q”)
GE
-CP
AL
GE
BE
NI
•
O(q)
ME
→
−u
N
M(q′ )
LL
•
BE
→
−u
M
AL
1 qq′→
−
−u = q′→
E (M)
M
2
4πεo r M
LL
→
−
F O→M =
-CP
La loi de Coulomb s’écrit :
1 qq”→
−
−u = q”→
E (N)
N
2
4πεo rN
BE
NI
→
−
F O→N =
ME
de même entre q et q” la loi de Coulomb
PG
E
→
−
E est appelé le champ électrostatique créé par la charge ponctuelle q placé au point
-C
O au point considéré
Définition
IM
1 q→
q −−→
1
−
OM =
er
3
4πεo OM
4πεo r2
BE
N
→
−
E (M) =
EL
LA
L
Champ électrostatique
On appelle champ électrostatique une région de l’espace ou une particule chargée est soumise à la force de Coulomb
→
−
CP
GE
Et Par Suite Si Une Charge Q est placée en M, elle subit la force F telle que
CPGE/B.Mellal
→
−
→
−
F = Q E (M) =
1 Qq→
−
er
2
4πεo r
Page-9
-SAID EL FILALI-
GE
B
CP
Remarques :
→
−
→
−
ME
L
→
−
LA
L-
1 Le champ électrostatique E (M) créé par une charge ponctuelle n’est pas
défini à l’origine c’est à dire pour r = 0
2
Le sens du champ E (M) dépend du signe de la charge q source de E :
NI
ME
LL
AL
- CP
GE
BE
NI
→
−
→
−
−
◮ Pour q > 0, E présente le sens de →
er : E (M) est un champ divergent.
GE
BE
q>0
-CP
GE
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
→
−
→
−
−
er : E (M) est un champ convergent.
◮ Pour q < 0, E présente le sens opposé de →
q<0
AL
Champ électrostatique crée par un ensemble de charges ponctuelles
LL
1.1.5.2
PG
E
1 qi q→
−
−u = q→
E i (M)
i
2
4πεo ri
-C
→
−
Fi =
BE
NI
ME
Soit une distribution de charges ponctuelle qi placées aux points Oi , et q une charge
ponctuelle placé au point M
La loi de Coulomb entre la charge qi placé en Oi et q placé en M s’écrit :
LA
L
La résultante des forces appliquées sur la charge q vaut
→
− X→
−
→
− X 1 qqi→
−u
F =
F i =⇒ F =
i
2
4πεo ri
i=1
i=1
i=n
→
−
BE
N
IM
EL
i=n
→
−
CP
GE
Si on pose F = q E (M) alors le champ résultant est
X→
X 1 qi
→
−
−
→
−
→
−u
E (M) =
E i (M) =⇒ E (M) =
i
2
4πεo ri
i=1
i=1
i=n
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
i=n
Page-10
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
→
−
ME
L
LA
L-
CP
On dit que le champ résultant E (M) vérifie le principe de superposition .
Activités
Champ d’un doublet
Déterminer le champ électrostatique créé par un doublet(qA , qB ) placé en
A(−a, 0, 0) et B(a, 0, 0) au point M(0, y, 0) dans les deux cas suivants :
1. qA = qB = q > 0
NI
2. qA = −qB = q > 0
- CP
GE
BE
3. Conclure
ME
LL
AL
Réponse
NI
1. Champ créé par le doublet (q,q)
M α
NI
y
α
BE
α
•
ME
LL
AL
α
GE
→
−
EA
-CP
→
−
EB
BE
y
O
B(q)
x
→
−
→
−
AL
-CP
GE
A(q)
•
→
−
NI
ME
0
−E B cos α
→
− →
− =⇒ E (E B + E A ) sin α
E B E B sin α
0
0
BE
PG
E
E cos α
→
− A
E A E A sin α
0
LL
On a : E (M) = E A (M) + E B (M) ainsi :
BE
N
CP
GE
Par conséquent
CPGE/B.Mellal
EA = EB =
p
a2 + y2 ce qui donne
qy
1
2
4πεo (a + y2 )3/2
IM
EL
LA
L
-C
Comme (ABM) triangle isocèle alors AM = BM =
→
−
E (M) =
qy
1
→
−
ey
2
4πεo (a + y2 )3/2
Page-11
-SAID EL FILALI-
GE
B
Remarque
L-
CP
→
−
E et les plans de symétrie
NI
ME
L
LA
Soit le système formé par la distribution de charge et le pont M
• Le plan (xoy) est un plan de symétrie passant par le point M.
• Le plan (xoz) est un plan de symétrie passant par le point M.
Il en résulte que le champ électrostatique appartient à
BE
l’intersection des plans de symétrie
LL
AL
- CP
GE
→
−
E (M) ∈ ∩Π s
NI
ME
2. Champ créé par le doublet (q,-q)
BE
y
-CP
M
GE
→
−
EA
AL
α
NI
BE
α
•
O
B(-q)
-CP
x
LL
E cos α
→
− A
E A E A sin α
0
PG
E
BE
NI
ME
E B cos α
(E + E A ) cos α
→
− →
− B
E B −E B sin α =⇒ E 0
0
0
LA
L
-C
Comme (ABM) triangle isocèle alors AM = BM =
p
a2 + y2 ce qui donne
qa
1
4πεo (a2 + y2 )3/2
CP
GE
BE
N
IM
EL
EA = EB =
CPGE/B.Mellal
•
AL
→
−
On a : E (M) = E A (M) + E B (M) ainsi :
Par conséquent
α
GE
A(q)
→
−
ME
y
LL
→
−
EB
→
−
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
→
−
E (M) =
qa
1
→
−
ex
2
2
3/2
4πεo (a + y )
Page-12
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Remarque
L-
CP
→
−
E et les plans de symétrie
BE
NI
ME
L
LA
Soit le système formé par la distribution de charge et le pont M
• Le plan (xoy) est un plan de symétrie passant par le point M.
• Le plan (xoz) est un plan d’anti-symétrie passant par le point M.
Il en résulte que le champ électrostatique appartient à
l’intersection des plans de symétrie perpendiculaire au plan
d’antisymétrie
→
−
E (M)⊥ΠA
→
−
→
−
• Si M est un centre de symétrie alors E (M) = 0
BE
Champ électrostatique crée par une distribution continue de charges
GE
1.1.5.3
NI
ME
LL
AL
- CP
GE
→
−
E (M) ∈ ∩Π s
PM = r
GE
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
Pour une distribution continue de charge, on subdivise le volume V
√3 en des volumes
élémentaires dτ centré en P, portant la charge élémentaire dq avec dτ ≫ PM et par
conséquent la charge dq sera considérée comme ponctuelle.
M
ME
LL
AL
-CP
P(dτ, dq)
b
→
−
-C
1 dq →
−
−u =⇒ →
E (M) =
2
4πεo PM
$
V
1 dq →
−u
2
4πεo PM
EL
LA
L
→
−
d E (M) =
PG
E
BE
NI
Le champ électrostatique élémentaire d E créé par la charge élémentaire dq (ponctuelle) placé en P au point M est
Applications :
dq = ρdτ = σdS = λdℓ
CP
GE
BE
N
IM
Avec
1 Champ électrostatique créé par un segment AB chargé uniformément (λ > 0)
en un point M distant de r (voir figure suivante)
CPGE/B.Mellal
Page-13
-SAID EL FILALI-
GE
B
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
CP
z
b
NI
P(dq)
ME
L
LA
L-
B
αA
M
GE
→
−
er
b
- CP
α
r
→
−u
AL
O
BE
αB
NI
ME
LL
A
GE
BE
Puisque on a invariance par rotation autour de l’axe Oz alors on utilise les coordonnées
cylindriques (r, θ, z)
Symétrie et invariances :
LL
AL
-CP
→
−
→
−
−
−
• Le plan (→
er ,→
ez ) = Π s =⇒ E θ = 0
→
−
• Le système {AB,M} est invariant par rotation autour de l’axe Oz , donc E (M) ne
dépend pas de θ.
ME
Par conséquent
NI
→
−
−
−
E (M) = E r (r, z)→
er + E z (r, z)→
ez
→
−
dE =
1 λdz →
1 dq →
−
−u =⇒ d→
−u
E
=
2
2
4πεo PM
4πεo PM
-CP
→
−
d E donnée par :
GE
BE
Au point P on a la charge dq = λdℓ =⇒ dq = λdz crée au point M un champ élémentaire
LL
AL
Or :
−u = cos α→
−
−
-→
er − sin α→
ez
z
dα
=⇒ dz = r 2
r
cos α
r
-PM =
cos α
N.B : On a choisit α comme variable d’intégration ( très utile en physique de choisir
des angles comme variables d’intégration) et remarquons que r = cte lorsque le point
PG
E
BE
NI
ME
- tan α =
-C
P décrit la distribution AB.
Ce qui donne
IM
EL
LA
L
dE = λ cos αdα
r
λ
→
−
−
−
4πεo r
[cos αdα→
er − sin αdα→
ez ] =⇒ dE =
λ
4πεo r
dE z = −
sin αdα
4πε r
BE
N
CP
GE
Par intégration on obtient :
λ
Er =
(sin αB − sin αA )
4πεo r
λ
Ez =
(cos αB − cos αA )
4πεo r
CPGE/B.Mellal
o






λ →
−

→
−
→
−
=⇒
E
(M)
=
(sin
α
−
sin
α
)
e
+
(cos
α
−
cos
α
)
e

B
A
r
B
A
z


4πεo r



Page-14
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
LA
L-
CP
Remarques :
−
−
1/ Si O est le milieu du segment [AB] alors le plan (→
er ,→
eθ ) = Π s =⇒ E z = 0 qu’on peut
retrouver par
αA = αB
λ
Ez = 0
(cos αB − cos αA ) GGGGGGGGGGGGGGGGGGA
4πεo r
π
π
2/ Lorsque les angles αA →
et αB → − , le segment [AB] tend vers un fil infini et
2
2
BE
NI
ME
L
Ez =
par conséquent
- CP
GE
λ →
−
er
2πεo r
AL
→
−
E (M)fil infini =
→
−u
NI
ME
LL
2 Champ électrostatique créé par une distribution circulaire (spire circulaire)
chargée uniformément (λ > 0) en un point M de son axe d’angle au sommet α (voir
figure suivante) :
AL
-CP
M
b
GE
→
−u
BE
z
α
O
NI
ME
LL
α
• M
R
O
•
P(dq)
R
GE
θ
BE
y
b
-CP
P(dq)
LL
AL
→
−
er
x
BE
NI
ME
Puisque on a invariance par rotation autour de l’axe Oz alors on utilise les coordonnées
cylindriques (r, θ, z)
Symétrie et invariances :
•
-C
PG
E
)
−
−
→
−
(→
e x ,→
ez ) = Π s
−
=⇒ E (M) = E(M)→
ez
→
−
→
−
(ey , ez ) = Π s
Ou bien tout plan diamétral (contenant le diamètre ) est un plan de symétrie donc
BE
N
IM
EL
LA
L
→
−
−
E (M) = E(M)→
ez
• M situé sur Oz donc r = 0
• Invariance par rotation autour de Oz donc
→
−
−
E (M) = E(z)→
ez
CP
GE
1 dq →
−u et comme dq = λRdθ
2
4πεo PM
→
−
−
−
ez alors on projette suivant →
ez ce qui donne
Puisque E est porté par →
→
−
On a : d E =
dE =
CPGE/B.Mellal
λRdθ
cos α
4πεo PM 2
Page-15
-SAID EL FILALI-
GE
B
LA
L-
CP
Lorsque le point P décrit la distribution, seule l’angle θ varie de 0 → 2π donc après
intégration on obtient
NI
ME
L
λRdθ
→
−
−
cos α→
ez
E (M) =
2
2εo PM
BE
√
z
et PM = z2 + R2 alors
PM
- CP
GE
Puisque cos α =
ME
LL
AL
z
λR
→
−
→
−
ez
E (M) =
2
2εo (z + R2 )3/2
√
dE(z)
= 0 =⇒ z = ± 2R
dz
ME
LL
AL
-E(z) présente un extremum pour
-CP
z→+∞
GE
BE
NI
Représentons E(z) :
- E(z) est une fonction impaire.
- lim E(z) = 0
√
2R
z
LA
L
-C
PG
E
√
− 2R
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
NI
E(z)
EL
Remarque
BE
N
IM
Pour la distribution (D) de charges seule (et non pour le système
{charge+M} le plan xOy est un plan de symétrie (xOy = Π s (distribution
seule) et par conséquent pour le point M’ symétrie de M on a :
CP
GE
→
− ′
→
−
E (M ) = − E (M)
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
si
→
−
E (M)⊥Π s (D)
Page-16
-SAID EL FILALI-
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
LA
L-
CP
→
−
E (M)
GE
BE
NI
ME
L
•M
AL
- CP
• M’
NI
ME
LL
→
− ′
→
−
E (M ) = − E (M)
→
−u
z
-CP
→
−u
AL
M
b
• M
α
O
r
O
NI
y
ME
LL
α
b
→
−
er
•
P(dq)
-CP
GE
P(dq)
x
r
BE
θ
GE
BE
3 Champ électrostatique créé par un disque chargé uniformément en surface
(σ > 0) en un point M de son axe (voir figure suivante)
LL
AL
Puisque on a invariance par rotation autour de l’axe Oz alors on utilise les coordonnées
cylindriques (r, θ, z)
Symétrie et invariances :
•
NI
ME
)
−
−
→
−
(→
e x ,→
ez ) = Π s
−
=⇒ E (M) = E(M)→
ez
→
−
→
−
(ey , ez ) = Π s
BE
Ou bien tout plan diamétral (contenant le diamètre ) est un plan de symétrie donc
→
−
−
E (M) = E(z)→
ez
EL
LA
L
-C
PG
E
→
−
−
E (M) = E(M)→
ez
• M situé sur Oz donc r = 0
• Invariance par rotation autour de Oz donc
1 dq →
−u et comme dq = σdS =⇒ dq = σrdrdθ
4πεo PM 2
→
−
−
−
ez alors on projette suivant →
ez ce qui donne
Puisque E est porté par →
→
−
CP
GE
BE
N
IM
On a : d E =
dE =
1 σrdrdθ
cos α
4πεo PM 2
Lorsque le point P décrit le disque on a z = cte donc on exprime r et PM en fonction de
z et α choisit comme variable d’intégration :
CPGE/B.Mellal
Page-17
-SAID EL FILALI-
z
cos α
dα
- r = z tan α =⇒ dr = z
cos2 α
σ
Donc dE =
sin αdαdθ et par intégration on obtient
4πεo
ME
L
LA
L-
CP
- PM =
BE
NI
σ
→
−
−
(1 − cos αm )→
ez
E (z > 0) =
2εo
- CP
GE
Remarques :
LL
AL
1. Soit M’(z < 0) le symétrie de M (z > 0) par rapport au plan du disque (qui représente un plan de symétrie pour la distribution)
NI
ME
σ
→
− ′
→
−
−
E (M ) = − E (M) = −
(1 − cos αm )→
ez
2εo
BE
π
l’expression du champ est
2
GE
2. Pour un plan infini chargé en surface αm →
AL
-CP
σ −
→
−
E plan infini = ± →
ez
2εo
LL
+ si z>0 et - si z<0.
ME
3. On pose :
BE
NI
σ→
→
−
→
−
→
−
−
• E (O+ ) = lim+ E (M) =⇒ E (O+ ) =
ez
M→O
2εo
σ −
→
−
→
−
→
−
• E (O− ) = lim− E (M) =⇒ E (O− ) = − →
ez
M→O
2εo
GE
Il en résulte que
AL
-CP
σ−
→
− + →
−
ez
E (O ) − E (O− ) = →
εo
ME
LL
−
−n
→
−
Si on pose →
ez = →
1→2 = n la normale au plan chargé dirigé du milieu (1)(z>0)
vers le milieu (2)(z>0)
PG
E
BE
NI
σ−
→
− + →
−
E (O ) − E (O− ) = →
n
εo
-C
C’est la relation de passage
E(z)
σ
2εo
CP
GE
BE
N
IM
EL
LA
L
Representation graphique du champ E(z) créé par un plan infini :
CPGE/B.Mellal
z
−
σ
2εo
Page-18
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
Propriété
L-
σ
εo
ME
L
LA
A la traversée d’une surface chargée le champ subit une discontinuité de
CP
Relation de passage
- CP
GE
BE
NI
4 champ électrostatique créé par une couronne de rayon interne Ri et de rayon
externe Re
Ri
AL
αm
Re
ME
LL
αM
Re
BE
NI
Ri
α=αm
Z
2π
AL
αM
LL
Z
θ=0
σ
sin αdαdθ
4πεo
ME
σ
dE z =
sin αdαdθ =⇒ E z =
4πεo
-CP
GE
Première méthode :
On utilise le résultat précédent du disque et on change les bornes d’intégration
Ce qui donne
GE
BE
NI
σ
→
−
−
[cos αm − cos αM ]→
ez
E (M) =
2εo
ME
LL
AL
-CP
Deuxième méthode :
On peut remarquer que la distribution est équivalente à
Ri
NI
Ri
Re
PG
E
BE
Re
LA
L
-C
σ
S (σ)
S 1 (σ)
EL
=
→
−
→
−
+
S 2 (−σ)
→
−
IM
Puisque S = S 1 (σ) + S 2 (−σ) alors E (M) = E 1 (M) + E 2 (M)
Avec :
Donc
CPGE/B.Mellal
CP
GE
BE
N
σ
→
−
−
[1 − cos αM ]→
ez
• E 1 (M) =
2εo
−σ
→
−
−
[1 − cos αm ]→
ez
• E 2 (M) =
2εo
σ
→
−
−
E (M) =
[cos αm − cos αM ]→
ez
2εo
Page-19
-SAID EL FILALI-
GE
B
L-
CP
On retrouve le résultat.
On peut remarque que le plan est un disque de rayon infini R → ∞ =⇒ α →
donne
π
ce qui
2
GE
BE
NI
σ −
→
−
E (M) planin f ini = signe(z) →
ez
2εo
LA
Champ électrostatique crée par un plan infini
ME
L
5
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
AL
- CP
C’est un champ uniforme perpendiculaire à la distribution Représentations graphiques :
LL
E
BE
NI
ME
σ
2εo
AL
-CP
GE
z
→
−
E
→
−
E
→
−
E
GE
→
−
E
LL
AL
-CP
→
−
E
BE
NI
ME
LL
− 2εσo
→
−
E
PG
E
→
−
E
→
−
E
→
−
E
LA
L
-C
→
−
E
BE
NI
ME
S (σ)
IM
EL
Remarques :
CP
GE
BE
N
1. A la traversée de la surface chargée, on retrouve la relation de passage :
σ−
→
− + →
−
n
E (O ) − E (O− ) = →
εo
2. Pour deux plans infinis de charge surfaciques opposées on a :
CPGE/B.Mellal
Page-20
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
LA
NI
BE
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ (σ)
ME
L
ET = 0
L-
CP
GE
B
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
σ
εo
- CP
GE
ET =
ET = 0
Lignes de champ
AL
1.1.6
-CP
GE
BE
NI
ME
LL
AL
⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖ (−σ)
LDC
LL
Définition
NI
ME
→
−
On appelle ligne de champ d’un champ de vecteur X quelconque, une courbe
→
−
(C) définie dans l’espace tel que en chacun de ses points le vecteur X y tan-
-C
PG
E
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
gent.
→
−
IM
EL
LA
L
Le vecteur X tangent à la courbe (C) donc
−
→
−
−−→ →
X ∧ d OM = 0
→
−
BE
N
C’est l’équation différentielle des LDC
→
−
CP
GE
En électrostatique X = E Ce qui donne :
- En coordonnées cartésiennes :
E x
E y dz − E z dy = 0
dx
−
→
−
−−→ →
E ∧ d OM = 0 =⇒ E y ∧ dy = E z dx − E x dz = 0
Ez
E x dy − E y dx = 0
dz
CPGE/B.Mellal
Page-21
(1)
(2)
(3)
-SAID EL FILALI-
GE
B
Ey Ez
Ez E x
=
=
de même (2) =⇒
dy dz
dz dx
CP
(1) =⇒
L-
Il en résulte que
ME
L
LA
Ey Ez E x
−
→
−
−−→ →
=
=
E ∧ d OM = 0 =⇒
dy dz dx
BE
NI
- En coordonnées cylindriques :
- CP
GE
Eθ
Ez
Er
−
→
−
−−→ →
=
=
E ∧ d OM = 0 =⇒
dr rdθ dz
LL
AL
- En coordonnées sphériques :
BE
NI
ME
Eϕ
Eθ
−
Er
→
−
−−→ →
=
=
E ∧ d OM = 0 =⇒
dr rdθ r sin θdϕ
LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
Définitions
AL
1.2.1
-CP
GE
1.2
→
−
GE
-CP
M
→
−
X (M)
ME
LL
•
B•
AL
A
BE
NI
ME
LL
Soit (C) une LDC (d’origine A) du vecteur X
•
NI
Définition
→
−
BE
On appelle circulation élémentaire du vecteur X la grandeur
LA
L
-C
PG
E
→
− −−→
dC = X .d OM
BE
N
IM
EL
Donc la circulation entre deux points A et B on a :
CBA
=
Z
B
→
− −−→
X .d OM
A
CP
GE
et sur un courbe fermée dite contour
CPGE/B.Mellal
C∅ =
I
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
→
− −−→
X .d OM = 0
Page-22
-SAID EL FILALI-
EN
IM
Cas d’une charge ponctuelle
CP
1.2.2
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
Remarquons que
ME
L
→
−
−−→
dC = E (M).d OM =⇒ dC =
1 q
dr
4πεo r2
NI
Donc
1 q→
−−→
−
−
−
−
e
et
d
OM = dr→
er + rdθ→
eθ + r sin θdϕ→
eϕ
r
4πεo r2
BE
→
−
GE
−−→
LL
1 q
+ cte
4πεo r
NI
V(M) =
ME
On pose pour la suite
- CP
1 q
1 q
dr
=
−d
+
cte
4πεo r2
4πεo r
AL
→
−
On a : dC = E (M).d OM or E (M) =
LA
L-
Soit q une charge ponctuelle placée en O et M un point quelconque de l’espace
différent de O :
BE
V(M) est appelé le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle
GE
Remarques :
AL
-CP
1. Le potentiel électrostatique (grandeur scalaire) est toujours défini à une constante
additive près.
ME
LL
2. Dans le cas d’une charge ponctuelle (distribution finie dans l’espace) on
prend comme référence l’infini c’est à dire
NI
lim V(r) = 0 =⇒ cte = 0
BE
r→∞
GE
Il en résulte que
1 q
4πεo r
AL
-CP
V(M) =
ME
LL
3. On retient donc :
BE
NI
→
−
−−→
dV(M) = − E (M).d OM = −dC
Relation locale entre le potentiel et le champ
1.2.3.1
L’opérateur gradient
LA
L
-C
PG
E
1.2.3
Soit une fonction scalaire f (x, y, z).
−−−−→
IM
EL
On appelle grad l’opérateur qui transforme la fonction scalaire f en vecteur dont les
composantes sont les dérivées partielles
CP
GE
BE
N
−−−−→
grad f (x, y, z) = CPGE/B.Mellal
∂f
∂x
∂f
∂f −
−−−−→
∂ f − ∂ f→
−
ex +
ey + →
ez
=⇒ grad f (x, y, z) = →
∂y
∂x
∂y
∂z
∂f
∂z
Page-23
-SAID EL FILALI-
GE
B
CP
Exemple
LA
L-
Le gradient d’une fonction
Déterminer le gradient des fonctions suivantes :
ME
L
1. f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
BE
NI
2. g(x, y, z) = sin(ax + by + cz)
- CP
AL
LL
NI
ME
∂f
= 2x ∂x
−−−−→
∂f
→
−
→
−
→
−
= 2y =⇒ grad f (x, y, z) = 2(xex + yey + z ez )
∂y
∂f
= 2z ∂z
GE
1/ Sachant que :
BE
2/ On a :
ME
LL
AL
-CP
GE
−−−−→
→
−
→
−
→
−
=⇒ grad g(x, y, z) = cos(ax + by + cz)(aex + bey + c ez )
On rappelle que :
BE
NI
∂g
= a cos(ax + by + cz)
∂x
∂g
= b cos(ax + by + cz)
∂y
∂g
= c cos(ax + by + cz)
∂z
AL
-CP
GE
−−→
−
−
−
◮ d OM = dx→
ex + dy→
ey + dz→
ez
∂ f→
−−−−→
∂
f
∂f −
−
−
◮ grad f =
ex + →
ey + →
ez
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
◮ df =
∂x
∂y
∂z
ME
LL
Et par conséquent pour toute fonction scalaire f on a :
BE
NI
−−−−→
−−→
d f = grad f.d OM
−−−−→
-C
PG
E
N.B : grad f est orienté toujours dans le sens croissant de f
L’expression du gradient
LA
L
1.2.3.2
IM
EL
1/ Coordonnées cartésiennes :
−−−−→
BE
N
grad f (x, y, z) =
∂ f − ∂ f→
∂ f→
−
−
ex + →
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
CP
GE
2/ Coordonnées cylindriques :
−−−−→
grad f (r, θ, z) =
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
1 ∂ f→
∂f −
∂ f→
−
−
er +
eθ + →
ez
∂r
r ∂θ
∂z
Page-24
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.2. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
L-
CP
3/ Coordonnées sphériques :
ME
L
NI
grad f (r, θ, ϕ) =
LA
∂ f→
1 ∂ f→
1 ∂f→
−
−
−
er +
eθ +
eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
−−−−→
BE
Propriété
GE
Propriétés du gradient
L’opérateur gradient est un opérateur linéaire et par conséquent :
Relation entre le champ et le potentiel
→
−
GE
1.2.3.3
BE
NI
ME
LL
AL
- CP
−−−−→
−−−−→
• grad (λ f ) = λgrad f
−−−−→
−−−−→
−−−−→
• grad ( f + g) = grad f + grad g
−−−−→
−−→
−−→
LL
ME
NI
−−−−→
→
−
E (M) = −grad V(M)
AL
-CP
Puisque dV(M) = − E (M).d OM et dV = grad V(M).d OM alors :
→
−
GE
BE
C’est l’équation locale entre E (M) et V(M) valable en régime stationnaire
→
−
Surfaces équipotentielles
ME
1.2.3.4
LL
AL
-CP
N.B : E (M) s’oriente toujours dans le sens des potentiels décroissant.
PG
E
BE
NI
On appelle surface équipotentielle (SEP) l’ensemble des point M de l’espace tel
que le potentiel est constant.
LA
L
-C
M ∈ S EP =⇒ V(M) = Vo = cte
→
−
−−→
→
−
−−→
IM
EL
Conséquence : V(M) = cte =⇒ dV = 0 donc E (M).d OM = 0 par conséquent E (M)⊥d OM
Propriété
BE
N
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles
→
−
◮ E (M) =
CP
GE
Exemple : Pour une charge ponctuelle
1 q→
−
er =⇒ LDC sont des droites passant par O.
4πεo r2
1 q
◮ V(M) =
= cte =⇒ r = Cte SEP sont des sphères concentriques :
4πεo r
CPGE/B.Mellal
Page-25
-SAID EL FILALI-
BE
NI
ME
L
LA
L-
CP
EN
IM
GE
B
1.3. ÉNERGIE POTENTIELLE D’INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
ÉLECTROSTATIQUE
Potentiel crée par une distribution de charges
ME
1.2.4
LL
AL
- CP
GE
q>0
sition
-CP
GE
BE
NI
◮ Pour une distribution discrète de charge :
Soit un ensemble de charges ponctuelles q1 , · · · , qi , · · · , qN , chaque charge est placée
au point Pi .
Le champ crée par cette distribution au point M vaut d’après le principe de superpoX→
→
−
−
E (M) =
Ei
AL
N
LL
i=1
−−−−→
Vi (M) =⇒ V(M) =
GE
i=1
N
X
1 qi
4πεo Pi M
i=1
NI
N
X
BE
V(M) =
ME
et puisque l’opérateur grad est linéaire alors
ME
LL
AL
-CP
◮ Pour une distribution continue de charge :
On subdivise le distribution
en des charges élémentaire dq occupant le volume élé√3
mentaire dτ tel que dτ ≪ PM , donc la charge dq se comporte comme ponctuelle et
par conséquent
BE
NI
1 dq
1
dV =
=⇒ V(M) =
4πεo PM
4πεo
-C
LA
L
ÉNERGIE POTENTIELLE D’INTERACTION ÉLECTROSTATIQUE
Énergie potentielle d’une charge placée dans un champs
électrostatique
BE
N
1.3.1
IM
EL
1.3
V
dq
PM
PG
E
Avec dq = ρdτ = σdS = λdℓ
$
→
−
→
−
→
− −−→
CP
GE
Le travail de la force électrique F = q E s’écrit : δW = F .d OM et par conséquent
−−−−→
−−→
δW = −qgrad V.d OM =⇒ δW = −d(qV) Donc
dE p = d(qV) =⇒ E p = qV + cte
CPGE/B.Mellal
Page-26
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.4. SYMÉTRIE ET INVARIANCE
Définition
ME
L
LA
L-
CP
Énergie potentielle électrostatique
→
−
L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q placée dans un champ E
créé par une distribution créant le potentiel V s’exprime par
Énergie potentielle d’interaction entre deux charges ponctuelles
LL
AL
1.3.2
- CP
GE
BE
NI
E p = qV + cte =⇒ WA→B = q(VA − VB )
GE
1 q1 q2
+ cte
4πεo r
LL
Symétrie
NI
1.4.1
SYMÉTRIE ET INVARIANCE
ME
1.4
AL
-CP
E p = q2 V1 + cte =⇒ E p =
BE
NI
ME
L’énergie potentielle d’interaction entre deux charges ponctuelles q1 , q2 placées en
M1 et M2 distant de M1 M2 = r s’exprime par
→
−
E
•
P2
Πs
EL
LA
L
-C
PG
E
•
P1
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
Rappelons que :
◮ Plan de symétrie Π s (M) : c’est un plan miroir c’est à dire pour deux points P1 et
P2 symétrique par rapport au plan Π s on a :q(P1 ) = q(P2 )
CP
GE
BE
N
IM
Conclusion :
Le champ électrostatique appartient à l’intersection des plans de symétries
→
−
E (M) ∈ ∩Π s (M)
◮ Plan d’antisymétrie ΠA (M) : c’est un plan miroir c’est à dire pour deux points P1
et P2 symétrique par rapport au plan ΠA (M) on a :q(P1 ) = −q(P2 )
CPGE/B.Mellal
Page-27
-SAID EL FILALI-
ME
L
LA
L-
CP
→
−
E
BE
NI
•
P2
GE
•
P1
AL
ME
LL
Conclusion :
Le champ électrostatique perpendiculaire au plan d’antisymétrie
- CP
ΠA
BE
NI
→
−
E (M)⊥ΠA (M)
Invariance
GE
1.4.2
-CP
◮ Invariance par translation:
AL
Une distribution de charge est invariante par translation le long de l’axe Oz si ρ(x, y, z) =
ρ(x, y, z + ∆z) (c’est à dire une translation le long de Oz laisse le système invariant) et
LL
→
−
BE
NI
ME
par conséquent le champ E ne dépend pas de la variable z.
N.B : On a une invariance par translation si la direction est infinie
◮ Invariance par rotation:
On dit qu’on a invariance par rotation autour de l’axe ∆ si la distribution de charge
reste invariante par rotation autour de ∆.
GE
→
−
LL
ME
Flux du champ électrostatique
BE
Soit S une surface et A un point de S
On pose
NI
1.5.1
THÉORÈME DE GAUSS
AL
-CP
Si θ est l’angle de rotation alors E ne dépend pas de θ.
1.5
-C
PG
E
−→
−n
dS (A) = dS→
→
−n
→
−
X
CP
GE
BE
N
IM
EL
LA
L
−n un vecteur unitaire à la surface S au point A
avec →
CPGE/B.Mellal
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.5. THÉORÈME DE GAUSS
A
Page-28
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.6. APPLICATIONS
→
−
LA
−→
→
−
X (A).dS
ME
L
"
S
NI
−→ →
→
−
−
−n =⇒ Φ =
dΦ = X (A).dS = X (A)dS→
L-
CP
Soit X un vecteur défini au point A ; on définit le flux élémentaire dΦ au point A par
→
−
GE
BE
Le flux Φ représente le nombre de vecteur X qui traverse la surface S .
Remarque
BE
Énoncé du théorème de Gauss
GE
1.5.2
NI
ME
LL
AL
- CP
On oriente une surface fermée qui délimite un volume (en 3D) par la normale
dirigeant toujours vers l’extérieur
-CP
Théorème
ME
NI
−→ Qint
→
−
E (M).dS =
εo
Σ
BE
Φ=
LL
AL
THÉORÈME DE GAUSS
Dans le vide, le flux du champ électrostatique d’une distribution de charges à
travers une surface fermée Σ est égal à la charge intérieure divisé par εo
GE
Notation
EL
IM
1.6.1
APPLICATIONS
Fil infini chargé uniformément
BE
N
1.6
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
ME
→
−
pend le champs E
• Choix de la surface de Gauss Σ
• Application du théorème de Gauss
LL
AL
-CP
Le théorème de Gauss constitue un outil de calcul rapide du champs électrostatique d’une distribution possédant une symétrie élevée.
Pour utiliser le théorème de Gauss, on suit les étapes suivantes :
• Symétrie et invariance afin de déterminer la direction et la variable dont dé-
CP
GE
Soit un fil infini (confondu avec l’axe Oz) chargé uniformément avec une densité
linéique λ > 0.
→
−
On détermine le champ E et le potentiel V en tout point M de l’espace.
En coordonnées cylindriques on a :
CPGE/B.Mellal
Page-29
-SAID EL FILALI-
LA
L-
CP
z
ME
L
λ
→
−
er
bc
r
-CP
GE
BE
NI
ME
LL
AL
- CP
GE
M
BE
O
NI
→
−
eθ
NI
ME
LL
AL
◮ Symétrie :
→
−
−
−
−
er ,→
eθ )est un plan de symétrie (Π s ) passant par le point M donc E (M).→
• Le plan (→
ez = 0
→
−
puisque ez ⊥Π s
→
−
−
−
−
• Le plan (→
eθ = 0
er ,→
ez )est un plan de symétrie (Π s ) passant par le point M donc E (M).→
→
−
puisque eθ ⊥Π s
GE
BE
Donc
LL
AL
-CP
→
−
−
E (M) = E(M)→
ez
PG
E
BE
NI
ME
◮ Invariances :
→
−
• le fil est infini donc on a invariance par translation le long de l’axe Oz donc E (M) ne
dépend pas de la variable z
→
−
• On a invariance par rotation autour de l’axe Oz donc E (M) ne dépend pas de la
variable θ
→
−
−
E (M) = E(r)→
er
BE
N
IM
EL
LA
L
-C
Conséquence
CP
GE
◮ Choix de la surface de Gauss :
→
−
Puisque le champ E (M) ne dépend que de la variable r et afin de faire sortir le E(r)
de l’intégrale il faut que E(r) = cte =⇒ r = Cte et puisque r = Cte donne une surface
en coordonnées cylindriques alors la surface de gauss est un cylindre d’axe Oz et de
rayon r (passant par M)
CPGE/B.Mellal
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
Page-30
-SAID EL FILALI-
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
L-
CP
z
→
−n
1
h
NI
O
→
−
er
bc
r
M
AL
- CP
GE
SL
BE
→
−n = →
−
er
L
→
−
eθ
ME
L
LA
S1
LL
S2
NI
ME
→
−n
2
GE
BE
La surface de Gauss Σ = S 1 ∪ S 2 ∪ S L
Théorème de Gauss :
"
-CP
"
−→
−→
−→ ! →
−
→
−
→
−
On a Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ =
E (M).dS +
E (M).dS + S E (M).dS
L
| S 1 {z
} | S 2 {z
}
LL
−→
→
−
E (M).dS = E(M)2πrh
Σ
h
λ dz =⇒ Qint = λh
GE
Qint =
Z
0
-CP
La charge intérieure
BE
NI
Φ=
ME
Donc
→
−
−n )
=0( E (M)⊥→
2
AL
→
−
−n )
=0( E (M)⊥→
1
AL
Il en résulte que
λ →
−
er
2πεo r
ME
LL
→
−
E (M) =
NI
Remarque
→
−
-C
L’expression du potentiel V(M :
PG
E
BE
Le champ électrostatique d’une distribution linéique n’est pas défini sur le fil
c’est à dire en r = 0
−−→
EL
LA
L
−
−
−
−
er .(dr→
er + rdθ→
eθ + dz→
ez ce qui donne :
On a : dV = − E (M).d OM =⇒ dV(M) = −E(M)→
λ
λ
dr =⇒ V(M) = −
ln r + cte
2πεo r
2πεo
BE
N
IM
dV(M) = −
CP
GE
Puisque la fonction lnr diverge en r = 0 et r → ∞ alors on choisit V(r = R) = 0 ce qui
donne
V(M) =
Représentation graphique de E(r) :
CPGE/B.Mellal
R
λ
ln
2πεo
r
Page-31
-SAID EL FILALI-
GE
B
- CP
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
CP
E(r)
ME
LL
AL
r
NI
Représentation graphique de V(r) :
LL
r
AL
-CP
GE
BE
V(r)
-CP
GE
BE
NI
ME
R
Cylindre infini chargé uniformément en surface
AL
1.6.2
ME
LL
Considérons une distribution cylindrique infinie de rayon R d’axe Oz portant une
charge surfacique constante σ > 0
EL
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
z
IM
→
−
Le champ E (M) :
CP
GE
BE
N
→
−
−
er
◮ Symétrie et invariance donne E (M) = E(r)→
◮ Surface de Gauss : cylindre d’axe Oz passant par le point M
◮ Théorème de Gauss"
:
"
−→
−→ ! →
−→
−
→
−
→
−
E (M).dS + S E (M).dS
Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ =
E (M).dS +
L
}
| S 1 {z
} | S 2 {z
→
−
−n )
=0( E (M)⊥→
1
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
→
−
−n )
=0( E (M)⊥→
2
Page-32
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.6. APPLICATIONS
L-
−→
→
−
E (M).dS = E(M)2πrh
Σ
LA
Φ=
CP
Donc
NI
ME
L
La charge intérieure :
• Pour M à l’intérieur (r < R)
GE
BE
Qint = 0 =⇒ E(r < R) = 0
ME
E(r)
AL
σR
εo r
LL
Qint = σ2πrh =⇒ E(r > R) =
- CP
• Pour M à l’extérieur (r > R)
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
NI
σ
εo
r
NI
R
BE
Notation
-CP
GE
On a une distribution surfacique en r = R et par conséquent le champ est
discontinu en r = R
ME
NI
On retrouve la relation de passage
LL
AL
σ−
→
− + →
−
E (R ) − E (R− ) = →
n
εo
BE
Le potentiel V(M) :
On a : dV = −Edr et puisque la distribution n’est pas limité dans l’espace on prend
-C
PG
E
V(R) = 0
• Pour r 6 R on a : E = 0 =⇒ V(r 6 R) = cte = 0 puisque V(r) est continu.
LA
L
V(r 6 R) = 0
EL
BE
N
σR
ln R donc
εo
CP
GE
V(R) = 0 =⇒ cte =
σR
σR
=⇒ V(r) = −
ln r + cte
εo r
εo
IM
• Pour r > R on a : E =
V(r > R) =
σR
ln(R/r)
εo
Représentation graphique de V(r) :
CPGE/B.Mellal
Page-33
-SAID EL FILALI-
GE
B
CP
V(r)
R
AL
- CP
Cylindre infini chargé uniformément en volume
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
r
1.6.3
ME
LL
Soit un cylindre infini de rayon R d’axe Oz uniformément chargé en volume avec
ρ > 0.
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
NI
z
NI
Symétrie et invariances :
→
−
GE
BE
−
Symétrie cylindrique donc E (M) = E(r)→
er
Par conséquent la surface de Gauss est un cylindre d’axe Oz , de rayon r et de hauteur
→
−
-CP
h
AL
Le champ E (M) :
◮ Théorème de Gauss"
:
ME
LL
"
−→
−→ ! →
−→
→
−
→
−
−
Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ =
E (M).dS +
E (M).dS + S E (M).dS
L
| S 1 {z
} | S 2 {z
}
→
−
−n )
=0( E (M)⊥→
1
Φ=
−→
→
−
E (M).dS = E(M)2πrh
-C
Σ
BE
NI
→
−
−n )
=0( E (M)⊥→
2
PG
E
Donc
EL
LA
L
La charge intérieure :
• Pour M à l’intérieur (r < R)
ρ
r
2εo
BE
N
IM
Qint = ρπr2 h =⇒ E(r < R) =
CP
GE
• Pour M à l’extérieur (r > R)
Qint = ρπR2 h =⇒ E(r > R) =
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
Page-34
ρR2
2εo r
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.6. APPLICATIONS
CP
E(r)
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
ρR
2εo
r
AL
- CP
R
Notation
ME
LL
Pour une distribution volumique , le champ est continu
GE
BE
NI
→
− + →
−
E (R ) = E (R− )
NI
ρR2
ρR2
=⇒ V(r) = −
lnr + cte
2εo r
2εo
GE
• Pour r > R on a : E =
ρ 2
(R − r2 )
4εo
BE
V(r 6 R) =
ME
LL
AL
V(R) = 0
ρ
ρ 2
• Pour r 6 R on a : E =
r =⇒ V(r 6 R) =
(R − r2 )
2εo
4εo
-CP
Le potentiel V(M) :
On a : dV = −Edr et puisque la distribution n’est pas limité dans l’espace on prend
LL
AL
-CP
ρR2
V(R) = 0 =⇒ cte =
lnR donc
2εo
PG
E
BE
Représentation graphique de V(r) :
ρR2 R
ln
2εo r
NI
ME
V(r > R) =
R
r
CP
GE
BE
N
IM
EL
LA
L
-C
V(r)
CPGE/B.Mellal
Page-35
-SAID EL FILALI-
CP
Sphère uniformément chargée en volume
L-
1.6.4
ME
L
LA
Une sphère de centre O et de rayon r uniformément chargée en volume avec une
densité volumique de charge ρ > 0
- CP
GE
BE
NI
z
y
AL
R
BE
NI
ME
LL
x
Symétrie et invariances
LL
AL
-CP
GE
→
−
◮ Le système {charge ,M} est invariante par rotation autour du point O donc E (M)
et V(M) ne dépendent pas de θ et ϕ
−
−
−
−
◮ les plans (→
er ,→
eθ ) et (→
er , →
eϕ ) sont des plans de symétrie donc
NI
ME
→
−
−
E (M) = E(r)→
er
−→
→
−
E (r).dS =⇒ Φ = E(r)4πr2
AL
Σ
LL
Φ=
-CP
GE
BE
Il en résulte que la surface de Gauss est une sphère de centre O et de rayon r
Calcul du champ
PG
E
BE
NI
ME
◮ La charge intérieur :
• Pour M à l’extérieur (r > R)
#
4
Qint =
ρ dτ =⇒ Qint = πρR3 donc
3
LA
L
-C
ρR3 →
→
−
−
er
E (r > R) =
3εo r2
CP
GE
BE
N
IM
EL
• Pour M à l’intérieur (r 6 R)
#
4
Qint =
ρ dτ =⇒ Qint = πρr3 donc
3
ρr →
→
−
−
E (r 6 R) =
er
3εo
Représentation graphique de E(r)
CPGE/B.Mellal
Page-36
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.6. APPLICATIONS
CP
V(r)
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
ρR
3εo
r
LL
AL
- CP
R
→
−
NI
ME
Remarque : : Pour une distribution volumique le champ est continu.
Calcul du potentiel
Puisque la distribution est limitée dans l’espace on prend V(r → ∞) = 0
−−→
GE
-CP
AL
ρR3
ρR3
=⇒
V(r
>
R)
=
3εo r2
3εo r
ME
LL
E(r) =
BE
On a : dV = − E (M).d OM =⇒ dV = −E(r)dr
◮ Pour M à l’extérieur (r > R)
GE
ρ
ρr
dr =⇒ V(r 6 R) =
(3R2 − r2 )
3εo
6εo
-CP
dV = −
BE
NI
◮ Pour M à l’intérieur (r 6 R)
ME
LL
AL
Représentation graphique de V(r)
NI
V(r)
PG
E
BE
ρR2
2εo
r
1.6.5
CP
GE
BE
N
R
IM
EL
LA
L
-C
ρR2
3εo
Sphère uniformément chargée en surface
Soit une sphère de rayon R,chargée en surface avec la densité surfacique σ > 0
CPGE/B.Mellal
Page-37
-SAID EL FILALI-
LA
L-
CP
GE
B
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊕
⊕
ME
L
⊕
⊕⊕
⊕
⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕
⊕
⊕⊕
AL
⊕
NI
⊕⊕
GE
BE
⊕
ME
⊕
⊕
LL
⊕
⊕⊕
⊕⊕
⊕⊕
- CP
GE
BE
⊕⊕ ⊕ ⊕ ⊕
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
NI
⊕
⊕
⊕⊕
⊕
⊕⊕
R
-CP
Symétrie et invariances
→
−
NI
−→
→
−
E (r).dS =⇒ Φ = E(r)4πr2
Σ
BE
Φ=
ME
LL
AL
−
Symétrie sphérique donc E (M) = E(r)→
er et V(M) = V(r)
Il en résulte que la surface de Gauss est une sphère de centre O et de rayon r
Calcul du champ
-CP
GE
◮ La charge intérieur :
• Pour M à l’intérieur (r < R)
Qint = 0 donc
LL
AL
→
−
→
−
E (r < R) = 0
NI
ME
• Pour#
M à l’extérieur (r > R)
Qint =
ρ dτ =⇒ Qint = σ4πR2 donc
PG
E
BE
σR2→
→
−
−
E (r > R) =
er
εo r 2
-C
Représentation graphique de E(r)
LA
L
E(r)
CP
GE
BE
N
IM
EL
σ
εo
r
R
CPGE/B.Mellal
Page-38
-SAID EL FILALI-
EN
IM
CP
ME
L
NI
GE
BE
σR2
σR2
=⇒
V(r
>
R)
=
εo r 2
εo r
- CP
E(r) =
L-
−−−−→
→
−
On a : E (M) − grad V(M) =⇒ dV = −E(r)dr
◮ Pour M à l’extérieur (r > R)
LA
Remarque : : Pour une distribution surfacique le champ est discontinu.
Calcul du potentiel
Puisque la distribution est limitée dans l’espace on prend V(r → ∞) = 0
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
NI
σR
εo
GE
BE
dV = 0 =⇒ V(r < R) =
ME
LL
AL
◮ Pour M à l’intérieur (r < R)
LL
AL
-CP
Représentation graphique de V(r)
ME
V(r)
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
NI
σR
εo
r
-C
Plan infini uniformément chargée
LA
L
1.6.6
PG
E
BE
NI
R
EL
Soit un plan infini (xOy) portant une densité de charge σ > 0
Puisque le plan est infini donc on choisit M sur Oz Symétrie et invariances
BE
N
IM
→
−
−
◮ Tout plan contenant Oz est un plan de symétrie donc E (M) = E(M)→
ez
◮ Puisque la distribution est infinie alors on a invariance par translation suivant les
CP
GE
axe Ox et Oy et par conséquent
→
−
−
E (M) = E(z)→
ez
◮ Par conséquent la surface de Gauss est un cylindre
CPGE/B.Mellal
Page-39
-SAID EL FILALI-
L-
CP
z
→
−
E (z)
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.6. APPLICATIONS
ME
L
LA
→
−n
1
BE
NI
• M(z)
AL
- CP
GE
σ
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕
y
→
−
E (−z)
LL
• M ′ (−z)
x
BE
NI
ME
→
−n
2
GE
Calcul du champ
◮ Théorème de Gauss :
AL
-CP
"
! →
−→ ! →
−→
−→
−
−
→
−
Φ = Φ1 + Φ2 + ΦL =⇒ Φ = S E (M).dS + S E (M).dS +
E (M).dS
1
2
| S L {z
}
Donc
et puisque E(−z) = −E(z) alors
NI
ME
Φ = E(z)πr2 + E(−z)(−πr2 )
LL
→
−
−n (=→
−
=0( E (M)⊥→
er ))
-CP
GE
◮ La charge intérieure :
BE
Φ = 2E(z)πr2
AL
Qint = σπr2
LL
Donc
ME
σ −
→
−
ez
E (M) = signe(z) →
2εo
NI
Avec
-C
PG
E
BE







 +1
signe(z) = 





 −1
si
z>0
si
z<0
E(r)
σ
2εo
CP
GE
BE
N
IM
EL
LA
L
Représentation graphique de E(r)
CPGE/B.Mellal
z
−
σ
2εo
Page-40
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
L-
CP
Remarque : : Pour une distribution surfacique le champ est discontinu, et on retrouve
−n
→
−
la relation de passage avec →
1→2 = ez
ME
L
NI
Analogie Electrique/mécanique
AL
- CP
1.7.1
BE
Analogie électromécanique
GE
1.7
LA
σ−
→
− + →
−
E (O ) − E (O− ) = →
n
εo
→
−
F =
-CP
AL
LL
→
−
E (M) =
BE
NI
Le potentiel
ME
1 # dq→
−
er
4πεo D r2
1 # dq
VE (M) =
4πεo D r
−−−−→
→
−
E (M) = −grad VE (M)
Champ
-CP
GE
relation locale
1 q1 q2
+ cte
4πεo r
→
−→ Qint
−
E (M).dS =
Σ
εo
L’énergie potentielle
AL
E p = qVE + cte =
ME
LL
Théorème de Gauss
Mécanique
m1 m2 −
→
−
er
F = −G 2 →
r
La masse m
GE
1
4πεo
→
−
→
−
F = q E (M) =
Relation Force/Champ
−G
→
−
−g (M)
F = m→
−
→
−g (M) = −G # dm→
e
D r2 r
# dm
VG (M) = −G D
r
−−−→
→
−g (M) = −−
grad VG (M)
E p = qVG + cte = −G
m1 m2
+ cte
r
→
→
−g (M).−
dS = −4πGmint
Σ
NI
Théorème de Gauss en mécanique
BE
1.7.2
ME
La charge q
BE
Source
1 q1 q2→
−
er
4πεo r2
NI
Force
LL
Électrique
PG
E
D’après ce qui précède Le théorème de Gauss en mécanique s’écrit
EL
Application
Σ
→
→
−g (M).−
dS = −4πGmint
IM
1.7.3
LA
L
-C
BE
N
Extrait du CNC Physique I 1999
CP
GE
Données utiles:
• Constante de gravitation universelle G=6.7 × 10−11 (u.S.I)
• Masse de la terre mT ≃ 6.0 × 1024 kg
• Rayon moyen de la terre RT ≃ 6.4 × 106 m
CPGE/B.Mellal
Page-41
-SAID EL FILALI-
L-
CP
1/ Analogie électromécanique
LA
6 On considère deux masses m1 et m2 ponctuelles situées respectivement aux
points M1 et M2 de l’espace.
→
−
ME
L
6-1
Rappeler l’expression de la force gravitationnelle F g(1→2) exercée par m1
−−−−−→
GE
BE
NI
−r = M M . Cette force est-elle attractive ou répulsur m2 en fonction de m1 , m2 , G et →
1 2
sive ?
6-2 Avec quelle unité s’exprime la constante de gravitation universelle G dans
le système international des unités (S.I) ?
AL
- CP
7 On considère deux charges ponctuelles q1 et q2 situées respectivement aux
points M1 et M2 de l’espace.
→
−
Donner l’expression de la force électrostatique F e(1→2) exercée par q1 sur
LL
7-1
NI
ME
−−−−→
−r = −
q2 en fonction de q1 , q2 et →
M1 M2 et de la permittivité électrique du vide εo . Cette
force est-elle attractive ou répulsive ?Avec quelle unité pratique exprime-t-on εo dans
→
−
Le champ électrostatique E 1 (M2 ) créé par la chargé q1 au point M2 est
→
−
→
−
BE
le S.I.
7-2
GE
défini par F e(1→2) = q2 E 1 (M2 ).
→
−
AL
-CP
Donner l’expression de E 1 (M2 )
7-3 Rappeler le théorème de Gauss .
→
−
→
−
ME
LL
8 En comparant les expressions de F g(1→2) et F e(1→2) , dégager une analogie
entre les grandeurs électriques et les grandeurs mécaniques. Quel est l’analogue mé-
→
−
canique du champ électrostatique E ?
NI
→
−
GE
BE
Le champ gravitationnel G créé en un point M de l’espace par une distribution de
masse D donnée est défini par
→
−
→
−
F g (M) = m G(M)
-CP
→
−
AL
où F g (M) est la force gravitationnelle exercée par la distribution D sur une masse m
placée au point M.
NI
ME
LL
9 En s’inspirant de l’analogie , donner l’équivalent du théorème de Gauss pour
le champ gravitationnel créé par une distribution de masse quelconque D . On fera
attention à la nature attractive ou répulsive de la force gravitationnelle.
PG
E
BE
2/ Champ gravitationnel terrestre
-C
On assimile la Terre à une boule (sphère pleine) homogène de centre T, de rayon R et
de masse m . On repère un point M quelconque de l’espace par ses coordonnées sphé-
−−→
→
−
LA
L
riques (r, θ, ϕ) telles que r = kT Mk. On note G T (M) le champ gravitationnel terrestre au
point M.
En utilisant les propriétés de symétrie de la distribution de masse, montrer
→
−
EL
10
→
−
BE
N
IM
−
−
−
−
que G T (M) peut s’écrire G T (M) = GT (r)→
er dans la base locale (→
er ,→
eθ , →
eϕ ) des coordonnées
sphériques de centre T.
Montrer,sans faire de calcul, que GT (r) est nul au centre de la Terre.
12
En utilisant le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel, établir
CP
GE
11
l’expression de GT (r) en tout point M de l’espace et représenter graphiquement GT (r).
On donnera l’ordre de grandeur de GT à la surface de la Terre.
CPGE/B.Mellal
Page-42
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
Application
CP
13
GE
B
1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
On imagine que l’on perce un tunnel le long d’un diamètre de la Terre. À l’une des
extrémités du tunnel on abandonne sans vitesse initiale un objet de masse m que
l’on pourra assimiler à un point matériel. On néglige toute force autre que la force
gravitationnelle terrestre et on supposera que le référentiel terrestre est galiléen.
13-1
Établir l’équation différentielle du mouvement de l’objet. Quelle est la
nature du mouvement ? Exprimer sa période T .
13-2 Calculer l’ordre de grandeur de T . Commenter.
- CP
13-3
La propriété précédente peut-elle donner lieu à une application pratique ? Laquelle ?
BE
L’expression de la force gravitationnelle
AL
-CP
m1 m2 −−−−−→
→
−
F g(1→2) = −G 3 M1 M2
r
GE
1-1
NI
1
ME
1/ Analogie électromécanique
LL
AL
Réponse
ME
LL
Cette force est attractive.
1-2 L’unité dans le système international des unités (S.I)est
GE
BE
NI
G : N kg−2 m2
L’expression de la force électrostatique
1 q1 q2 −−−−−→
M1 M2
4πεo r3
ME
LL
→
−
F e(1→2) =
AL
2-1
-CP
2
3
1 q1 −−−−−→
M1 M2
4πεo r3
BE
N
Le théorème de Gauss .
CP
GE
2-3
→
−
E 1 (M2 ) =
IM
EL
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
. Cette force est
• attractive si q1 q2 < 0
• répulsive si q1 q2 > 0
• L’unité pratique de εo dans le S.I est F m−1 .
2-2 L’expression de
Φ=
−→ Qint
→
−
E (M).dS =
εo
Σ
L’analogie entre les grandeurs électriques et les grandeurs mécaniques.
CPGE/B.Mellal
Page-43
-SAID EL FILALI-
1
4πεo
→
−
→
−
F = q E (M) =
Relation Force/Champ
CP
LA
ME
L
La masse m
NI
La charge q
BE
−G
→
−
→
−
F = m G(M)
→
−
AL
→
−
GE
Source
1 q1 q2→
m1 m2→
→
−
−
−
e
er
F
=
−G
r
2
2
4πεo r
r
- CP
→
−
F =
Force
Mécanique
L-
Électrique
LL
L’analogue mécanique du champ électrostatique E est le champ G
NI
ME
4 Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel créé par une distribution de masse quelconque D .
GE
-CP
Σ
BE
−→
→
−
G(M).dS = −4πGmint
LL
AL
2/ Champ gravitationnel terrestre
On a une symétrie sphérique donc
BE
-CP
Puisque le point T est un centre de symétrie alors
AL
6
GE
→
−
−
G T (M) = GT (r)→
er
NI
ME
5
ME
LL
GT (r = 0) = 0
NI
L’expression de GT (r) en tout point M de l’espace :
BE
7
LA
L
ce qui donne
r3
R3T
mT
r
R3
BE
N
CP
GE
ce qui donne
IM
EL
GT (r 6 RT ) = −G
◮ Pour r > R =⇒ mint = mT
→
−→
−
G(M).dS = −4πGmint
Σ
-C
◮ Pour r < R =⇒ mint = mT
PG
E
La surface de Gauss est une sphère de centre T et de rayon r
Symétrie sphérique donc Φ = G(r)4πr2
GT (r 6 RT ) = −G
mT
r2
◮ Représenter graphiquement GT (r).
CPGE/B.Mellal
Page-44
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.7. ANALOGIE ÉLECTROMÉCANIQUE
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
8
- CP
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
CP
GE
B
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
L’équation différentielle du mouvement de l’objet :
LL
8-1
AL
Application
BE
mT
r=0
R3T
-CP
GE
mr̈ = mGT =⇒ r̈ + G
NI
ME
−
er donne :
La relation fondamentale de la dynamique projetée sur →
NI
ME
R3T
GmT
BE
T = 2π
s
LL
AL
◮ La nature du mouvement : mouvement rectiligne sinusoïdal
◮ L’expression de la période T . :
GE
L’ordre de grandeur de T .
-CP
8-2
LL
AL
T ≃ 5074(s) = 1 h 24 min 34 s
-C
LA
L
1.8.1
LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Définition
EL
1.8
PG
E
BE
NI
ME
Commentaire. : Au cours de la rotation de la terre autour d’elle même, le point
matériel effectue 17 va et viens
8-3 L’ application pratique : horloge
IM
Définition
CP
GE
BE
N
On appelle dipôle électrostatique un système globalement neutre (QT = 0) mais
le barycentre des charges positives G+ diffèrent du barycentre des charges
négatives G− c’est à dire
CPGE/B.Mellal
QT = 0
et
−
−−−−−→ →
G−G+ , 0
Page-45
-SAID EL FILALI-
GE
B
bc bc
bc
bc
bc
bcbc bcbc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
cb
cb
bc bc
bc
bc
bc bc cb bc bc cb bc bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc bc cb
bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc cb cbbc cb
bc
cb
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc
cb bc
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc bc
bc cb bc bc bc
bc cb bc bc bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc cb
bc
bc cb
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc
c
b
c
b
bc
c
b
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc
bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc bc bc bc
bc bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc
bc
bc
bc
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bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc bc bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc
bc bc bc bc
c
b
c
b
c
b
bc
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc
c
b
c
b
bc
c
b
bc bc
c
b
bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc bc bc bc bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc bc bc
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
bc
bc
bc
bc
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bc bc
bc
bc bc bc bc
bc
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bc
bc
bc bc
bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
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bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc bcbc bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
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bc bc bc bc bc bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
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bc bc bc bc
bc
bc bc bc
bc bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc bc
bc
bc
bc
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
bc
c
b
c
b
bc bc
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bc
bc bc bc
bc
bc
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bc bc
bc
bc
bc
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bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
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bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc
bcbc
bc
bc
bc
bc bc bc bc bc bc
bc
bc bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc bc
bc bc bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bcbc bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
c
b
bc bc
bc bc bc
bc bc bc
c
b
bc
c
b
c
b
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc bc
c
b
c
b
bc bc bc bc bc bc
c
b
bc
bc bc bc bc
c
b
c
b
c
b
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc bc
bc bc bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc
bc bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc
bc bc bc
bc bc bcbc bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc bc
bc bc
c
b
bc
c
b
c
b
c
b
c
b
bbc c
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc bc
bc bcbc
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
bc bc bc
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
bc
c
b
c
b
bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc bc bc bc bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc
bc
bc bc bc
bc bc bc
bc
c
b
c
b
bc
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
b
bc bc bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc
bc bc
bc
bcbc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bcbc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc
bc bc
bc bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc
bc bc bc bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc
bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc bcbc bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc bc
bcbc bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bbc c bc
c
b
c
b
bc
c
b
c
b
bc bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc bc bc bc bc
bc bc
bc bc bc bc bc
bc
bc bc
bc bc bc bc bc
c
b
c
b
c
b
c
b
bc bc bc
bc
bc
bcbc
bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc bc
bc bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc bc bc bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc
bc bc bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc bc bcbc bc
bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc bc
cb bc
bc cb cb bc
bc
cb
bc bc bc bc bcbc
bc bc bc bc cb
bc
bc
bc
bc
bc bc bc cb
bc
bc
bc
bc
bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc cb bc
bc
bc cb bc cb bc bc
bc bc bc bc bc
bc
bc cb
bc
G−
CP
bc bc bc
L-
bc
LA
bc
G− ⊖
G+
ME
L
bc
cb bc cb bc
bc cb
bc cb
bc
bc bc
bc bc cb bc bc
bc
cb bc
bc bc
cb
bc
bc bc bc
bc
cb
bc cb bc bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc bc
bc bc
bc bc
c
b
bc
bc bc
c
b
bc
bc
bc
bc bc
bc bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc bc bc bc
bc
bc
bc bc bc
bc bc
bc
bc bc
bc bc
bc
bc
bc
bc
⊕ G+
NI
bc bc
BE
bc
GE
bc
bc
- CP
bc bc
bc
BE
NI
ME
LL
AL
Exemples
◮ Doublet [N(-q),P(+q)]
◮ Molécule HCl
◮ Deux segments AB et CD parallèles uniformément chargés avec une densité de
charges opposée :
-CP
GE
C ⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖ D
AL
A ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ B
LL
◮ Un cercle chargé avec une densité de charge exprimée en coordonnées polaires par
avec
ME
λo > 0
NI
λ = λo cos θ
⊕
⊖
⊕ ⊕
⊕ ⊖ ⊖ ⊖
-CP
AL
x
⊖
⊕
⊕⊕
LL
⊖⊖
ME
⊕⊕⊕⊕
⊖
⊖⊖⊖⊖
•
G+
⊕⊕⊕
⊖
⊖⊖⊖
⊕
⊖ ⊖
⊖ ⊕ ⊕ ⊕
⊕
⊕
BE
NI
⊖
⊕⊕
GE
⊕
⊕
⊕
⊖
⊖⊖
θ
•
G−
⊖
BE
y
⊖
PG
E
Remarque
LA
L
-C
Dipôle rigide
Le dipôle électrostatique est dit rigide si la distance G− G+ est constante
IM
EL
• On modélise pour la suite un dipôle par un bipoint [G− (−q), G+ (+q)]
→
−
• On caractérise un dipôle électrostatique par son moment dipolaire P définie par
BE
N
→
−
−−−−→
P = +qG−G+
(C m−1 )
→
−
CP
GE
Remarque :
Il existe une autre unité de P c’est le Debye notée D tel que
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
1
1D = 10−29 C m−1
3
Page-46
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
CP
GE
B
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Activité
LL
AL
- CP
GE
BE
NI
ME
L
LA
L-
Moment dipolaire de la molécule d’eau
La molécule d’eau est formée d’un atome d’oxygène et de deux atomes d’hydrogène ; H2 O est une molécule coudée, l’angle entre les deux liaisons (O−H
) est de l’ordre de α = 105o l’atome d’oxygène semble prendre un excès de
charge négative : −2δ = −2ηe avec e = 1.6 × 10−19 C ; Chaque atome d’hydrogène porte un excès de charge positive : +δ = +ηe. De ce fait la molécule d’eau
−µ de norme = 6.16 × 10−30 C m−1 .
possède un moment dipolaire permanent →
Calculer η , sachant que la distance d (O-H ) est égale à 0.98 × 10−10 m.
GE
-CP
AL
O
→
−µ
1
µ
√
ed 2(1 + cos α)
⊕ G+
H
BE
NI
H
GE
A.N
→
−µ
2
α
→
−µ
η = 0, 32(32%)
-CP
η=
→
−µ = →
−µ + →
−µ =⇒ µ = ηed p2(1 + cos α)
1
2
GGGGGGGGGGGGGA
AL
Donc
ME
LL
On a :
• La charge totale QT = 2δ − 2δ =⇒ QT = 0
• G− , G+ donc la molécule d’eau est une molécule
polaire.
• l’expression du moment dipolaire :
On a :
BE
NI
ME
Réponse
Liaison covalente/ionique
LL
Notation
BE
NI
ME
◮ η > 50% : Liaison à caractère ionique partiel
◮ η < 50% : Liaison à caractère covalent partiel
Activité
-C
PG
E
Moment dipolaire d’une distribution linéique
On considère une distribution linéique de charge repartie sur un cercle, de
centre O et de rayon R, avec une densité linéique λ = λo sin θ .
LA
L
1. Quelle est l’unité de λo ?
EL
2. Déterminer la charge totale portée par le cercle.
−−−→
IM
3. Déterminer l’expression du vecteur OG+
→
−
CP
GE
BE
N
4. En déduire l’expression du moment dipolaire P
CPGE/B.Mellal
Page-47
-SAID EL FILALI-
NI
- CP
⊖⊖⊖
⊖⊖⊖⊖
⊖
⊖
⊖⊖
⊖
LL
AL
⊖⊖
ME
On rappelle que
BE
NI
P −−−→ R
−−→
qi OMi
OM dq
−−→
i
= R
OG = P
qi
dq
-CP
GE
i
ME
λdℓ =⇒ Q+ = 2Rλo = −Q−
NI
0
1 R π −−→
OMdq qu’on projette suivant l’axe Oy
Q+ 0
−−−→ πR −
sin2 θ dθ =⇒ OG+ = →
ey
4
LL
π
L’expression du moment dipolaire
NI
ME
0
PG
E
4.
Z
BE
R2 λ o
OG+ =
Q+
AL
-CP
GE
−−−→
Sachant que OG+ =
π
BE
Q+ =
Z
LL
AL
Pour les charges positives On a :
LA
L
-C
→
−
−−−−→
−−−→
→
−
−
P = Q+G−G+ = 2Q+ OG+ =⇒ P = λo πR2→
ey
Le potentiel électrostatique crée par un dipôle dans le
cadre de l’approximation dipolaire.Surface équipotentielle
1.8.2.1
Le potentiel électrostatique
CP
GE
BE
N
IM
EL
1.8.2
→
−
Soit un dipôle de moment dipolaire P modélisé par un doublet (-q,+q) situé respectivement au point N et P et M un point quelconque de l’espace à une distance r de
O milieu de [NP] comme indique la figure suivante
CPGE/B.Mellal
Page-48
EN
IM
⊖
BE
GE
•G−
⊖
⊖
⊕
⊖ ⊖
⊖ ⊕ ⊕ ⊕
⊕
ME
L
M
R
θ
⊖
3. Puisque l’axe Oy est un axe de
symétrie pour la distribution alors
les barycentres G− et G+ sont situés
sur l’axe Oy.
L-
⊕⊕
sin θ dθ = 0
0
⊕
LA
⊕⊕⊕⊕
•G+
⊕
2π
⊕
⊕⊕⊕
⊕
λdℓ =⇒ QT = λo R
0
Z
⊖
⊕ ⊕
⊕ ⊖ ⊖ ⊖
2π
⊕
QT =
Z
⊕⊕
2. La charge totale
CP
y
⊕
1. L’unité de λo est C m−1
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
-SAID EL FILALI-
x
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
L-
CP
→
−
er
z
ME
L
LA
→
−
eϕ
M
θ
NI
→
−
eθ
BE
r
GE
P(+q)•
- CP
→
−
P
LL
AL
y
ME
N(−q)•
ϕ
Le moment dipolaire du dipôle vaut
LL
AL
→
−
−
NP = 2a =⇒ P = 2aq→
ez
-CP
GE
BE
NI
x
ME
En coordonnées sphériques on a :
• Le potentiel V(M) = V(r, θ, ϕ)
AL
-CP
GE
BE
NI
→
−
−
−
−
• Le champ E (M) = E r (r, θ, ϕ)→
er + E θ (r, θ, ϕ)→
eθ + E ϕ (r, θ, ϕ)→
eϕ
→
−
→
−
→
−
→
−
- Symétrie : Le plan ( er , eθ ) = Π s =⇒ E ϕ = 0
→
−
- Invariance : On a invariance par rotation autour de P ( ici l’axe Oz) donc les gran→
−
deurs E (M) et V(M) ne dépendent pas de la variable ϕ c’est à dire
→
−
−
−
E (M) = E r (r, θ)→
er + E θ (r, θ)→
eθ
V(M) = V(r, θ)
ME
LL
et
V(M) =
1 q
4πεo r
EL
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
Il en résulte l’utilisation des coordonnées polaires (r, θ)
On rappelle que :
◮ Le potentiel crée par une charge ponctuelle s’écrit avec référence à l’infini (
puisque la distribution est limitée dans l’espace)
BE
N
IM
◮ Le potentiel vérifie le théorème de superposition
CP
GE
V(M) = V p (M) + VN (M) =⇒ V(M) =
1
q r− − r+ q 1
−
=
4πεo r+ r−
4πεo r− × r+
avec r+ = PM et r− = N M
−−→
On s’interesse au point M tel que kOMk = r ≫ a : c’est l’approximation
dipolaire
:::::::::::::::::::::::::::::
Dans ce cadre on a :
CPGE/B.Mellal
Page-49
-SAID EL FILALI-
=⇒
r± ≃ r(1 ∓
LLA
ME
L
D’où
2a
1
cos θ) 2
r
a
r± ≃ r(1 ∓ cos θ)
r
r− − r+ ≃ 2a cos θ
NI
=⇒
GE
B
r±2 = r2 + a2 ∓ 2ar cos θ
CP
=⇒
r+ r− ≃ r 2
- CP
GE
;
BE
→
−r = →
−r ∓ a→
−
ez
±
LL
AL
approximation dipolaire
ME
Donc :
GE
BE
NI
→
−→
P.−
er
2aq cos θ
=
V(M) =
2
4πεo r
4πεo r2
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
Remarque :
Le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle présente une symétrie
sphérique et inversement proportionnel à la distance r par contre pour le dipôle électrostatique et dans le cadre de l’approximation dipolaire, le potentiel dépend de r et θ
et inversement proportionnel à r2 .
GE
Surfaces équipotentielles
-CP
1.8.2.2
AL
On rappelle que la surface équipotentielle est l’ensemble des points M tel que
V(M) = cte = Vo
LL
de l’approximation dipolaire :
Pour le dipôle électrostatique dans le cadre
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ME
2aq cos θ
= cte = Vo donc
4πεo r2
BE
NI
V(M) =
P
cos θ
4Vo πεo
LA
L
-C
PG
E
V(M) = Vo =⇒ r2 =
IM
EL
C’est l’équation des S.E.P
CP
GE
BE
N
N.B :En coordonnées sphériques θ ∈ [0, π] donc pour
◮ Pour θ ∈ [0, π/2[=⇒ Vo > 0
◮ Pour θ ∈]π/2, π =⇒ Vo < 0
◮ Pour θ = π/2 =⇒ Vo = 0
Représentation graphique des S.E.P
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Page-50
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
CP
GE
B
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
LA
L-
L’approximation dipolaire non valable
BE
NI
ME
L
SEP
Vo > 0
-CP
GE
BE
NI
Vo < 0
ME
LL
AL
- CP
GE
→
−
P
Le champ électrostatique crée par un dipôle dans le cadre
de l’approximation dipolaire.Lignes de champ
1.8.3.1
L’expression du champ
−−−−→
→
−
NI
ME
LL
AL
1.8.3
p
−
−
(2 cos θ→
er + sin θ→
eθ )
4πεo r3
-C
PG
E
BE
→
−
E (M) =
NI
ME
LL
AL
-CP
GE
E r = − ∂V = 2p cos θ
∂r
4πεo r3
→
−
1 ∂V
p sin θ
E (M) = E θ = −
=
r ∂θ
4πεo r3
1 ∂V
E ϕ = −
=0
r sin θ ∂ϕ
BE
On applique
la relation locale E = −grad V(M) en coordonnées sphériques :
LA
L
Remarques :Pour le dipole électrostatique
→
−
E=
p
→
− −→
→
−
(3( P .→
er )−
er − P)
3
4πεo r
CP
GE
BE
N
IM
EL
1
→
−
• E (M) ∝ 3
r
→
−
• E (M) peut s’écrire :
• Le plan médiateur (yoz) est une surface équipotentielle ; (θ = π/2 =⇒ V = 0)
→
−[
→
−
→
−
−
e
• Si on pose α = ( E , E ) l’angle d’inclinaison de E par rapport à →
r
r
CPGE/B.Mellal
Page-51
-SAID EL FILALI-
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
LA
→
−
Er
ME
L
→
−
Eθ
L-
CP
→
−
E
BE
NI
α
- CP
GE
M
θ
ME
LL
AL
→
−
P
Question : Quelle est la relation entre θ et α ?
BE
GE
Eθ
=⇒ tan θ = 2 tan α
Er
Les lignes de champ
ME
1.8.3.2
LL
AL
tan α =
NI
2P cos θ
P sin θ
et E θ =
donc
3
4πεo r
4πεo r3
-CP
On a : E r =
BE
NI
−
→
−
−−→ →
M ∈ LDC =⇒ E (M) ∧ d OM = 0 ce qui donne
-CP
GE
Er 1 Eθ
dr
cos θ
=
=⇒
=2
dθ
dr r dθ
r
sin θ
AL
Par intégration on obtient
NI
ME
LL
r = ro sin2 θ
L’approximation dipolaire non valable
PG
E
BE
LDC
EL
LA
L
-C
SEP
CP
GE
BE
N
IM
→
−
P
Vo < 0
CPGE/B.Mellal
Vo > 0
Page-52
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.8.4.1
Actions subies par un dipole électrostatique rigide
L-
Aspect énergétique
LA
1.8.4
CP
GE
B
1.8. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
Dans une région de l’espace où règne un champ électrostatique extérieur uniforme
BE
NI
ME
L
→
−
→
−
E e créé par une source extérieure, on place un dipôle rigide de moment dipolaire P
- CP
GE
→
−
Ee
AL
q
LL
→
−
P
GE
BE
NI
ME
-q
-CP
◮ La résultante des forces :
ME
LL
AL
−
→
−
→
−
→
−
→
− →
F = q E e + (−q) E e =⇒ F = 0
On retient que si le champ est uniforme, alors la résultante des forces est nulle.
-CP
GE
−
→
→
− →
−
MO = P ∧ E e
BE
NI
−
→
−−−→
→
−
−−−→
→
−
◮ Le moment résultant : MO = OG− ∧ (−q E e ) + OG+ ∧ (q E e ) ce qui donne
AL
Conclusion :
→
−
L’action d’un champ extérieur uniforme E e sur un dipôle rigide de moment
LL
→
−
ME
dipolaire P se réduit à un couple de force de moment
-C
l’énergie potentielle d’un dipole électrostatique rigide
→
−
LA
L
1.8.4.2
PG
E
BE
NI
−
→ →
− →
−
M = P ∧ Ee
→
−
On rappelle que la force électrostatique F = q E est conservative donc pour le
→
−
IM
EL
dipôle rigide dans E e extérieur uniforme on obtient :
CP
GE
BE
N
→
− −−→
→
− −−→
→
− −−→
dE p = − F .d OM =⇒ −dE p = −q E e d OG− + q E e d OG+
=⇒
=⇒
=⇒
CPGE/B.Mellal
→
− −−→
−−→
−dE p = q E e (d OG+ − d OG− )
→
− −−−−→
−dE p = q E e dG−G+
→
−→
−
−dE p = d(− P . E e )
Page-53
-SAID EL FILALI-
GE
B
CP
Ce qui donne
LA
L-
→
−→
−
Ep = − P.E e
→
−[
→
−
ME
L
Remarque :Si on pose α = ( P , E e ) ; déterminer les positions d’équilibre et discuter
leur stabilité .
BE
NI
Réponse
GE
On a :
LL
AL
- CP
E p = −PE e cos α
◮ Positions d’équilibre :
dE p
= PE e sin α = 0 =⇒ sin α = 0
dα
NI
ME
Donc les positions d’équilibre sont α = 0 ou α = π
◮ Stabilité :
On a :
GE
BE
d2 E p
= PE e cos α
dα2
LL
AL
-CP
d2 E p i
• Pour α = 0 on a
= PE e > 0 donc α = 0 est une position d’équilibre stable.
dα2 α=0
2
d Ep i
= −PE e < 0 donc α = π est une position d’équilibre instable.
• Pour α = π on a
dα2 α=π
BE
NI
ME
On retient que l’action d’un champ extérieur sur dipôle rigide est de le faire tourner
afin que le moment dipolaire s’oriente colinéairement au champ extérieur.
Remarque
Si le champ extérieur n’est pas uniforme, on admet le cas générale
NI
BE
Définition
PG
E
1.9.1
LE CONDENSATEUR
ME
LL
AL
-CP
GE
→
−→
−
• Ep = − P.E e
−
→ →
− →
−
• M = P ∧ Ee
−−−−→
−−−−→ →
→
−
→
−
−→
−
• F = −grad E p = grad ( P . E e ) , 0
1.9
-C
Définition
EL
LA
L
On appelle condensateur deux surfaces en regard portant deux charges opposées +Q et −Q, séparée par un isolant
BE
N
IM
On caractérise un condensateur par sa capacité C définie par
CP
GE
C=
Avec :
Q
Q
=
U V(+Q) − V(−Q)
(F)
◮ V(+Q) le potentiel de la surface qui porte la charge +Q.
◮ V(−Q) le potentiel de la surface qui porte la charge −Q.
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.9. LE CONDENSATEUR
Page-54
-SAID EL FILALI-
EN
IM
CP
LLA
ME
L
Le condensateur plan
- CP
1.9.2
GE
BE
U
B(−Q)
−
−
−
−
−
−
NI
ISOLANT
A(Q)
+
+
+
+
+
+
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.9. LE CONDENSATEUR
→
−
E
NI
BE
e
GE
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
-CP
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
LL
U
Q)
B(−
−
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
AL
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ME
)
z
-CP
GE
A( Q
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
BE
NI
ME
LL
AL
On dit qu’un condensateur est plan si les deux surfaces dites armatures sont
planes.
Soit un condensateur plan constitué de deux armatures de surface S séparées par un
isolant d’épaisseur e
√
S
AL
On suppose pour la suite que
LL
e≪
ME
afin de considérer la surface S comme un plan infini (On dit qu’on néglige l’effet de
bord) et par conséquent, le champ total entre les armatures du condensateur plan
BE
NI
Q
la densité surfacique de charge
S
PG
E
vaut en posant σ =
LA
L
-C
Q→
σ−
→
−
→
−
−
ez =⇒ E =
ez
E = →
εo
S εo
→
− −−→
IM
EL
On rappelle que :dV = − E .d OM =⇒ dV = −Edx donc
BE
N
V− − V+ = −
Z
e
0
Edx =⇒ U = V+ − V− = Ee
CP
GE
En remplaçant E par son expression on obtient :
U=
CPGE/B.Mellal
Q
Q
S
e =⇒ C =
= εo
S εo
U
e
Page-55
-SAID EL FILALI-
CP
On rappelle que l’énergie emmagasinée par le condensateur :
LA
L-
1
1 εo S 2 2
Wc = E c = CU 2 =⇒ Wc = E c =
E e
2
2 e
ME
L
ce qui donne
BE
NI
Wc 1 →
−
= εo E 2
V
2
→
−
LL
AL
dW 1 →
−
= εo E 2
dτ
2
Application
ME
1.9.3
- CP
GE
par conséquent la densité volumique d’énergie électrique pour le champs E s’écrit
we =
BE
NI
D’après CCP/TSI/2010
-CP
GE
Dans tout le problème ,εo représente la permittivité diélectrique de l’air, égale à celle
du vide.
AL
Condensateur plan
LL
1.9.3.1
On considère un plan infini uniformément chargé avec une densité surfacique σ positive.
1-1 En considérant les propriétés de symétrie de la distribution de charges,
NI
ME
1
→
−
GE
BE
montrer que le champ électrostatique E crée par un plan infini uniformément chargé
avec une densité surfacique σ est orthogonale au plan.
→
−
Démontrer que E est tel que sa norme E vaut E =
-CP
1-2
→
−
σ
. Représenter sur un
2εo
σ
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
ME
LL
AL
schéma le vecteur E de part et d’autre du plan. On indiquera avec précision la surface
de Gauss choisie.
2 Soit un condensateur plan constitué par deux plans infinis, parallèles, uniformément chargés et séparés par une distance d . Le plan supérieur étant chargé avec
une densité surfacique σ positive et le plan inférieur étant chargé avec une densité
−σ.
−σ
BE
N
IM
EL
e
CP
GE
2-1 En utilisant le théorème de superposition, déduire de la question précédente le champ électrostatique en tout point de l’espace.
2-2 Déterminer la différence de potentiel U entre les deux plans du condensateur. On exprimera U en fonction de εo ,σ et d . Identifier clairement, en le justifiant, le
plan dont le potentiel est le plus élevé.
CPGE/B.Mellal
Page-56
EN
IM
GE
B
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.9. LE CONDENSATEUR
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.9. LE CONDENSATEUR
L-
CP
2-3 Définir et déterminer la capacité C du condensateur par unité de surface.
On exprimera C en fonction de εo et d .
(Π)
AL
(P)
LL
e
d
- CP
σ
GE
BE
NI
ME
L
LA
3 on introduit entre les deux plaques du condensateur plan une plaque métallique parallélépipédique d’épaisseur e < d parallèle aux armatures du condensateur.
L’épaisseur e est donc une grandeur finie, mais on considère que les autres dimensions
de la plaque métallique sont infinies.
(P′ )
ME
−σ
GE
BE
NI
(Π′ )
LL
AL
-CP
On admet que le champ électrostatique est nul à l’intérieur du métal.
Justifier le fait qu’il apparaîtra des charges électriques sur les surfaces supérieure P et
inférieure P’ de la plaque métallique. Déterminer le signe de ces charges. On pourra
s’aider d’un schéma succinct.
BE
NI
ME
4 En utilisant le théorème de Gauss sur une surface que l’on précisera, déterminer les densités surfaciques de charge σP et σP′ qui apparaissent sur les surfaces P
et P’ de la plaque métallique. Exprimer σP et σP′ en fonction de σ
GE
5
ME
LL
AL
-CP
5-1 Déterminer la valeur du champ électrostatique en un point du condensateur extérieur à la plaque métallique (entre P et Π d’une part et entre P’ et Π′ d’autre
part).
En déduire la différence de potentiel U ′ entre les deux armatures du condensateur .
On exprimera U ′ en fonction de σ, e, d et εo .
Condensateur cylindrique
EL
1.9.3.2
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
5-2
En déduire la capacité surfacique C ′ du condensateur ainsi obtenu. On
exprimera C ′ en fonction de e, d et εo . Conclure quant à l’influence de la plaque sur la
capacité surfacique du condensateur.
CP
GE
BE
N
IM
On considère un condensateur cylindrique composé de deux armatures coaxiales
de hauteur H et de rayons respectifs R1 et R2 avec R1 < R2 et placées dans l’air. L’armature interne porte la charge électrique Q > 0. L’armature externe porte une charge
totale −Q.
Les potentiels électriques des armatures sont respectivement V1 et V2 . Soit un point
M situé à la distance r = KM de l’axe : R1 < r < R2 . K est la projection orthogonale du
point du point M sur l’axe du condensateur.
−u le vecteur unitaire de la droite (KM) dirigé de K vers M.
Soit →
CPGE/B.Mellal
Page-57
-SAID EL FILALI-
GE
B
CP
LLA
ME
L
NI
BE
GE
- CP
AL
→
−
→
−
LL
On admettra que le champ électrostatique E créé au point M est radial et sa norme
BE
NI
ME
−u .
ne dépend que de r. On peut donc écrire E (M) = E(r)→
On néglige les effets de bord.
-CP
GE
6 En appliquant le théorème de Gauss à une surface S que l’on précisera,
déterminer l’expression de E(r). On exprimera E(r) en fonction de Q, εo , r et H . on
distinguera les cas selon que r < R1 ,R1 < r < R2 ou r > R2 .
LL
AL
7 En déduire le potentiel V(r) à une distance r de l’axe lorsque R1 < r < R2 . On
exprimera V(r) en fonction de Q, H, V1 , R1 , εo et r. En déduire la différence de potentiel
U = V1 − V2 entre les deux armatures du condensateur en fonction de Q, εo , H, R1 et R2 .
Déterminer la capacité C du condensateur en fonction de εo , H, R1 et R2 .
9
On peut associer au champ électrostatique une densité volumique d’énergie
NI
ME
8
BE
1
ue égale à εo E 2 .
2
AL
-CP
GE
En utilisant l’expression de E(r) déterminée précédemment et en intégrant l’expression de ue déterminer l’énergie Wc accumulée par le condensateur. On exprimera Wc
en fonction de Q, εo , H, R1 et R2 . En déduire l’expression de Wc en fonction de Q et C .
En effectuant un développement limité de l’expression de la capacité dé-
LL
10
-C
PG
E
BE
NI
ME
terminée à la question précédente, montrer que si les rayons des armatures sont très
proches, c’est à dire R2 − R1 = e ≪ R1 , le condensateur cylindrique est équivalent à un
condensateur plan dont on précisera les caractéristiques
BE
N
IM
EL
LA
L
1 Le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée est égal au
rapport de la charge intérieure à la surface sur εo :
→
−
CP
GE
L’équation de maxwell-Gauss : div E =
→
− −→ Qint
E .dS =
εo
ρ
permet de démontrer le théorème de Gauss.
εo
Deuxième partie : Condensateur plan
2
Soit le plan infini chargé xOy.
→
−
−
E (M) est un vecteur donc il appartient aux plans de symétrie des charges (M,→
e−x ,→
ez ) et
CPGE/B.Mellal
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.9. LE CONDENSATEUR
Page-58
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.9. LE CONDENSATEUR
CP
−
−
(M,→
ey ,→
ez ) :
L-
Ainsi invariance par translation donne
ME
L
LA
→
−
−
−
E (M) = E(x, y, z)→
ez = E z (z)→
ez
AL
ME
ce qui donne
LL
σπR2
→
− −→
E .dS = E z πR2 − E z (−z)πR2 =
εo
- CP
GE
BE
NI
car les directions Ox et Oy sont infinies.
Le plan z = 0 est un plan de symétrie des charges donc E z (z) = −E z (−z)
On considère un cylindre d’axe zz, de rayon R, se trouvant entre les plans z et −z (
z>0).
Par application de Gauss :
BE
NI
σ−
→
−
ez
E (M) = signe(z) →
εo
GE
3
LL
ME
BE
Le potentiel le plus élevé est celui du plan (2) :
GE
3-2
NI
→
−
→
−
→
−
→
−
◮ Pour z < 0 :
E (M) = E 1 (M) + E 2 (M) = 0
σ−
→
−
ez
◮ Pour 0 < z < d :
E (M) = − →
εo
→
−
→
−
◮ Pour d < z :
E (M) = 0
AL
-CP
3-1 On prend le plan(1) (-σ) en z = 0 et le plan(2)(σ) en z = d .
D’après le théorème de superposition on a :
2
→ σd
→
− −
E .dℓ =
εo
LL
On a, pour le plan2 (σ) :
ME
3-3
1
AL
-CP
U = V2 (z = d) − V1 (z = 0) =
Z
C εo
=
S
d
PG
E
BE
NI
Q = σS = V(V2 − V1 ) = CU =⇒
LA
L
-C
4 Le champ électrostatique qui règne dans le condensateur déplace les électrons de la lame jusqu’à ce que le champ total régnant dans cette lame soit nul.
Il apparaît des charges négatives sur le plan( P) et des charges positives sur le plan
(P’).
EL
Surface de Gauss
IM
z
BE
N
(Π)
CP
GE
(P)
CPGE/B.Mellal
(P′ )
(Π′ )
Page-59
-SAID EL FILALI-
GE
B
CP
On applique le théorème de Gauss à un cylindre de section S et d’axe z′ z ( voir dessin),
→
−
ME
L
LA
L-
−
ez
le champ entre les armatures est toujours de la forme E (M) = E z (z)→
Le champ électrique est nul sur les surfaces S et aucun flux ne sort par la surface
latérale, donc
NI
1
→
− −→
E .dS = 0 = (σS + σ p S ) =⇒ σ p = −σ
εo
Σ
BE
De même, on en déduit que
- CP
GE
σ p′ = +σ
AL
5
σ−
σ−
→
−
→
−
Entre (P) et (Π), E (M) = − →
ez ; Entre (P’) et (Π′ ) ; E (M) = − →
ez .
εo
5-2
2
→ σ(d − e)
→
− −
E .dℓ =
εo
BE
1
GE
U =
Z
-CP
′
d−e
2
NI
εo
D’où
LL
On retrouve les mêmes condensateurs séparés de la distance
ME
5-1
On a, pour le plan (Π) : Q = σS = C ′ U ′
AL
D’où
ME
LL
C′
εo
C′ C d
C
=
=⇒
=
>
S
d−e
S
S d−e S
BE
NI
La capacité en présence de la lame est plus grande que sans la lame.
GE
Troisième partie : Condensateur cylindrique
→
− −→
E .dS =
"
→
− −→
E .dS = E r 2πrH
S lat
ME
Σ
LL
AL
-CP
6 On considère un cylindre de même axe que ceux de la distribution de rayon
r et de hauteur H . Comme le champ est radial :
NI
Le théorème de Gauss donne :
PG
E
BE
→
− −→ Qint
E .dS =
εo
S lat
CPGE/B.Mellal
CP
GE
BE
N
IM
EL
LA
L
-C
→
−
→
−
◮ Pour r < R1 : Qint = 0 =⇒ E (M) = 0 .
→
−
→
−
◮ Pour r > R2 : Qint = Q − Q = 0 =⇒ E (M) = 0 .
Q →
→
−
−u .
◮ Pour R1 < r < R2 : Qint = Q =⇒ E (M) =
2πεo rH
Q
dV
=⇒ V(r) = −
ln r + cte
7 On a : E r = −
dr
2πεo H
R1
Q
ln
+ V1
Comme pour r = R1 on a V = V1 alors V(r) =
2πεo H
r
Ce qui donne
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
1.9. LE CONDENSATEUR
U = V2 − V1 =
Q
R1
ln
2πεo H R2
Page-60
-SAID EL FILALI-
EN
IM
ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
GE
B
1.9. LE CONDENSATEUR
C = 2πεo H
LLA
NI
LL
Comme C = 2πεo H/ ln(1 + e/R1 ) et ln(1 + x) ≃ x on peut en déduire que
S lat
R1
= εo
e
e
ME
10
R2
1 2
Q2
ln
=
Q
4πεo H R1 2C
AL
Wcond =
BE
espace
#
1
1
εo E 2 dτ = cond εo E 2 rdrdθdz
2
2
GE
En intégrant
#
- CP
On a : W =
NI
9
1
R2
ln
R1
ME
L
Q = C(V1 − V2 ) =⇒ C = 2πεo H
CP
8
CP
GE
BE
N
IM
EL
LA
L
-C
PG
E
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
NI
ME
LL
AL
-CP
GE
BE
C’est la capacité d’un condensateur plan dont les armatures sont séparées de e et ont
une surface S = 2πR1 H .
CPGE/B.Mellal
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-SAID EL FILALI-