CHAPITRE 1 ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE 1.1 CHAMP

CPGE BENI MELLAL - CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -
CHAPITRE 1
ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE
On s’interesse aux propriétés physiques des charges immobiles dans un référentiel
R supposé galiléen, placées dans le vide.
1.1 CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
1.1.1 Notions générales
◮ On classe les corps en deux catégories :
•::::::::::::::
Conducteurs
: présentent des électrons (de valence) libres qui peuvent se déplacer
d’un atome à un autre.
Exemple : les métaux, les éléctrolytes, ···
•::::::::::
Isolants
: corps dépourvu d’électrons libres ( les électrons de valence sont liés).
Exemple : le bois, le verre, le papier, le plastique ···
◮ L’électron est une particule «élementaire» de charge q=−e =- 1.6×10−19 coulomb
◮ Toute charge q est un multiple entier de la charge de l’électron : On dit que la
charge est quantifiée
|q|=Ne
◮ La charge est une grandeur extensive , ne dépend pas du référentiel, pour un
système isolé, la charge est conservée.
◮ Une charge élémentaire dq occupant dans l’espace un volume élémentaire dτ
sera considérée comme ponctuelle si les dimensions de dτ sont très négligeables de-
vant une distance caractéristique du système, autrement dit le point P où se situe la
charge
dq est vu du point M situé à grande distance.( (dτ)1/3≪PM )
P(dτ, dq)
PM =r
M
dq
ponctuelle =⇒3
√dτ≪r
1.1.2 Répartition de charge
Soit q une charge occupant un volume ( V ) :
3

CPGE BENI MELLAL - CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
P(dτ, dq)
(V,q)
Soit dq une charge élémentaire occupant le volume dτ centré en P
On appelle densité volumique de charge exprimé en ( C m−3 )la grandeur
ρ(P)=dq(P)
dτ(P)=⇒q=$V
ρ(P)dτ
Définition
Densité volumique de charge
Exemples :
◮ Sphère de rayon R chargée uniformément en volume ( ρ=cte )
dq =ρdτ=⇒q=4
3ρπR3
◮ cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en volume ( ρ=cte )
dq =ρdτ=⇒q=ρπR2h
◮ Cube d’arrête a chargée uniformément en volume ( ρ=cte )
dq =ρdτ=⇒q=ρa3
Lorsque une dimension est très négligeable devant les deux autres, on définit la den-
sité surfacique de charge
(σ)
On appelle densité surfacique de charge exprimé en ( C m−2 )la grandeur
σ(P)=dq(P)
dS(P)=⇒q="Σ
σ(P)dS
Définition
Densité surfacique de charge
Exemples :
◮ Sphère de rayon R chargée uniformément en surface ( σ=cte )
dq =σdS =⇒q=4πσR2
◮ cylindre de rayon R et de hauteur h chargée uniformément en en surface latérale
(
σ=cte )
dq =σdS =⇒q=2σπRh
◮ Disque de rayon R chargé uniformément
dq =σdS =⇒q=σπR2
CPGE/B.Mellal Page-4 -SAID EL FILALI-

CPGE BENI MELLAL - CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
Si deux dimensions sont négligeables devant la troisième alors on définit la densité
linéique
On appelle densité linéique de charge exprimé en ( C m−1 )la grandeur
λ(P)=dq(P)
dℓ(P)=⇒q=ZΓ
λ(P)dℓ
Définition
Densité linéique de charge
Exemple :
◮ segment AB de longueur ℓ
dq =λdℓ=⇒q=λℓ
Pour une distribution discrète de charge différentes ; Avec qi la charge d’une
espèce et
Ni son nombre, occupant un volume V
Remarque
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
M
i(qi)
Soit q la charge totale du système, donc :
q=
n
X
i=1
qiNi=⇒ρ=q
V=
n
X
i=1
n∗
iqi
Avec n∗ la densité particulaire , qui représente le nombre de particules par unité de
volume
n∗=N
V
1.1.3 Complément mathématique
On rappelle que :
◮ Vecteur position et déplacement élémentaire :
CPGE/B.Mellal Page-5 -SAID EL FILALI-

CPGE BENI MELLAL - CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
−−→
OM d−−→ OM
Coordonnées cartésiennes x−→ ex+y−→ ey+z−→ ezdx−→ ex+dy−→ ey+dz−→ ez
Coordonnées Cylindriques r−→ er+z−→ ezr−→ er+rdθ−→ eθ+dz−→ ez
Coordonnées sphériques r−→ erdr−→ er+rdθ−→ eθ+rsinθdϕ−→ eϕ
◮ Surface élémentaire :
Soit
−→
a
et
−→
b
deux vecteurs :
−→
a
−→
bS
la surface S délimitée par le parallélogramme formé par
−→
a
et
−→
b
est
S=k−→ a∧−→ bk
On oriente la surface S par un vecteur unitaire
−→
n
défini par
−→
n=−→
a∧−→ b
k−→ a∧−→ bk
Il en résulte que
−→
S=S−→ n=⇒−→ S=−→ a∧−→ b
• Surface élémentaire en coordonnées cartésiennes :
-
−→
dSz=dx−→ ex∧dy−→ ey=⇒−→ dSz=dxdy−→ ez
-
−→
dSy=dz−→ ez∧dx−→ ex=⇒−→
dSy=dxdz−→ ey
-
−→
dS x=dy−→ ey∧dz−→ ez=⇒−→
dS x=dydz−→ ex
• Surface élémentaire en coordonnées cylindriques :
Le cylindre présente deux surfaces de bases (A et B)et une surface latérale
CPGE/B.Mellal Page-6 -SAID EL FILALI-

CPGE BENI MELLAL - CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -CPGE BENI MELLAL -
1.1. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE ÉLECTROMAGNÉTISME-MPSI/TSI/PCSI
A
B
-Surface de base :
−→
dSbase =±rdrdθ−→ ez
-Surface latérale :
−→
dS L=rdθ−→ eθ∧dz−→ ez=⇒−→
dS L=rdθdz−→ er
• Surface élémentaire en coordonnées sphériques :
A
Pour une sphère r=cte donc
−→
dS =rdθ−→ eθ∧rsinθdϕ−→ eϕ=⇒−→ dS =r2sinθdθdϕ−→ er
Pour les surfaces fermées (en 3D : délimitant un volume) on oriente toujours
la normale
−→
n
vers l’extérieur
Remarque
◮ On rappelle que la surface :
• de base d’un cylindre de rayon R est SB=πR2
• latérale d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est SL=2πRh
• d’une sphère de rayon R est S=4πR2
◮ Volume élémentaire :
On rappelle que le volume délimité par trois vecteurs vaut
V=(−→ a∧−→ b).−→ c
• volume élémentaire en coordonnées cartésiennes :
dτ=dxdydz
• volume élémentaire en coordonnées cylindriques :
dτ=rdrdθdz =⇒ V( cylindre )=πR2h
• volume élémentaire en coordonnées sphériques :
dτ=r2sinθdrdθdϕ=⇒ V( sphère )=4
3πR3
CPGE/B.Mellal Page-7 -SAID EL FILALI-