Nombres et intervalles - Classe de 2nde

Nombres et intervalles - Classe de 2nde
1 Document réalisé par S. Bignon

I - Les ensembles de nombres
Définitions :
•IN est l’ensemble des nombres entiers naturels. IN ={0;1;2;3;4;...}
•Zest l’ensemble des nombres entiers relatifs.Z={... −2;−1;0;1;2...}
•ID est l’ensemble des nombres décimaux, il s’agit de l’ensemble des nombres pouvant s’écrire
sous la forme
a+
b
10noù aet bsont des nombres entiers relatifs.
•Qest l’ensemble des nombres rationnels, il s’agit de l’ensemble des nombres pouvant s’écrire
sous la forme d’une fraction de deux entiers relatifs.
•IR est l’ensemble des nombres réels, il s’agit de l’ensemble des nombres pouvant être placés
sur une droite graduée.
Remarques : •Un nombre décimal s’écrit généralement avec une virgule et un nombre fini de
chiffres non nuls après celle-ci.
•Les différents ensembles de nombres vus ci-dessus sont inclus les uns dans les autres :
IN ⊂Z⊂ID ⊂Q⊂IR
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•Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationels
IR
π
p2
Nombres irrationnels
Q
38
17
15
7
ID
125
10
-12,718
Z
-12
-564
IN
3128
Exemples : Les abscisses des nombres A, B, C et D sur la droite ci-dessous sont tous des nombres
réels :
0 1 π
A
−p7
BC
5
−44
7
D
Mais, on peut également affirmer que −44
7∈Qet que 5 ∈IN. En revanche, π∉Q.
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II - Les intervalles
1) Définition et notation
Définitions :
L’intervalle ouvert ]a;b[est l’ensemble des nombres réels xtels que a<x<b.
L’intervalle fermé [a;b] est l’ensemble des nombres réels xtels que a6x6b.
Exemples : L’intervalle fermé [−1;2] représente l’ensemble des nombres xtels que −16x62
0 1−1 2
L’intervalle ouvert ]−3;−1[ représente l’ensemble des nombres xtels que −3<x<−1
0 1−1−3
On peut également parler d’intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés) comme l’intervalle ] −2;3]
qui représente l’ensemble des nombres xtels que −2<x63
0 1−2 3
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Définitions :
L’intervalle [a;+∞[ est l’ensemble des nombres réels xtels que a6x.
L’intervalle ] −∞;a[ est l’ensemble des nombres réels xtels que x<a.
Exemple : L’intervalle ] −∞;2] représente l’ensemble des nombres xtels que x62
0 1−1 2
Remarque : Les intervalles sont toujours notés ouverts en −∞ et +∞.
L’intervalle ] −∞;+∞[ représente l’ensemble des nombres réels IR.
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