Nombres et intervalles - Classe de 2nde

Nombres et intervalles - Classe de 2nde
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I - Les ensembles de nombres
Définitions :
• IN est l’ensemble des nombres entiers naturels. IN = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
• Z est l’ensemble des nombres entiers relatifs. Z = {... − 2; −1; 0; 1; 2...}
• ID est l’ensemble des nombres décimaux, il s’agit de l’ensemble des nombres pouvant s’écrire
sous la forme
b
a + n où a et b sont des nombres entiers relatifs.
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• Q est l’ensemble des nombres rationnels, il s’agit de l’ensemble des nombres pouvant s’écrire
sous la forme d’une fraction de deux entiers relatifs.
• IR est l’ensemble des nombres réels, il s’agit de l’ensemble des nombres pouvant être placés
sur une droite graduée.
Remarques :
• Un nombre décimal s’écrit généralement avec une virgule et un nombre fini de
chiffres non nuls après celle-ci.
• Les différents ensembles de nombres vus ci-dessus sont inclus les uns dans les autres :
IN ⊂ Z ⊂ ID ⊂ Q ⊂ IR
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• Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationels
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IN
128
Z
ID
Q
IR
-12
125
10
38
17
π
-564
15
7
-12,718
p
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Nombres irrationnels
Exemples : Les abscisses des nombres A, B, C et D sur la droite ci-dessous sont tous des nombres
réels :
D
−44
7
B
p
− 7
Mais, on peut également affirmer que
0
−44
7
3
1
A
C
π
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∈ Q et que 5 ∈ IN. En revanche, π ∉ Q.
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II - Les intervalles
1) Définition et notation
Définitions :
L’intervalle ouvert ]a; b[ est l’ensemble des nombres réels x tels que a < x < b.
L’intervalle fermé [a; b] est l’ensemble des nombres réels x tels que a 6 x 6 b.
Exemples : L’intervalle fermé [−1 ; 2] représente l’ensemble des nombres x tels que −1 6 x 6 2
−1 0
1
2
L’intervalle ouvert ]−3 ; −1[ représente l’ensemble des nombres x tels que −3 < x < −1
−1 0
−3
1
On peut également parler d’intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés) comme l’intervalle ] − 2; 3]
qui représente l’ensemble des nombres x tels que −2 < x 6 3
−2
0
4
1
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Définitions :
L’intervalle [a; +∞[ est l’ensemble des nombres réels x tels que a 6 x.
L’intervalle ] − ∞; a[ est l’ensemble des nombres réels x tels que x < a.
Exemple : L’intervalle ] − ∞; 2] représente l’ensemble des nombres x tels que x 6 2
−1 0
1
2
Remarque : Les intervalles sont toujours notés ouverts en −∞ et +∞.
L’intervalle ] − ∞; +∞[ représente l’ensemble des nombres réels IR.
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2) Intersection et union
Définition :
On appelle intersection de deux intervalles A et B l’ensemble des nombres qui appartiennent à la
fois à A et à B.
Cette intersection est notée : A ∩ B .
Exemples : Considérons les intervalles ] − ∞; 2] et ] − 3; 4] représentés chacun par une couleur différente sur la droite ci-dessous :
−3
0
1
2
4
Leur intersection ]−∞ ; 2] ∩ ]−3 ; 4] est l’intervalle semi-ouvert ]−3 ; 2].
De même considérons les intervalles [−5 ; −3] et ]1 ; 4[ :
−5
−3
0
1
4
Il n’y a aucun nombre en commun dans les intervalles [−5 ; −3] et ]1 ; 4[, leur intersection est donc
vide, on note [−5 ; −3] ∩ ]1 ; 4[ = ∅
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Définition :
On appelle union de deux intervalles A et B l’ensemble des nombres qui appartiennent à A ou à B.
Cette union est notée : A ∪ B .
Exemples : Considérons de nouveau les intervalles ] − ∞; 2] et ] − 3; 4] :
−3
0
1
2
4
Leur union ]−∞ ; 2] ∪ ]−3 ; 4] est l’intervalle ]−∞ ; 4].
De même considérons les intervalles [−5 ; −3] et ]1 ; 4[ :
−5
−3
0
1
4
Leur union est l’ensemble [−5 ; −3] ∪ ]1 ; 4[ (il n’est pas possible de le noter sous la forme d’un
intervalle).
3) Autres notations
On note :
— par IR∗ l’ensemble ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ = IR \ {0}
— par IR− (respectivement IR+ ) l’ensemble ]−∞ ; 0] (respectivement [0 ; +∞[)
— par IR−∗ (respectivement IR+∗ ) l’ensemble ]−∞ ; 0[ (respectivement ]0 ; +∞[)
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