Correction au format pdf - Cours et Exercices de Mathématiques

CORRECTION Exercice 8
Il est bon de donner quelques
explications pour la
construction de l'arbre de
probabilité.
1°) On sait que 1% des animaux sont porteurs de la maladie, donc p(M) = 0,01 .

Alors p( M ) = 1 - p(M) = 1 - 0,1 = 0,99 .
Pour un animal malade, le test est positif dans 85% des cas,
donc pM(P) = 0,85
alors pM(N) = 1 - pM(P) = 1 - 0,85 = 0,15 .
Pour un animal sain, le test est négatif dans 95% des cas,

donc p 
alors p 
M (N) = 0,95
M (P) = 1 - p M (N) = 1 - 0,95 = 0,05 .
On obtient l'arbre pondéré ci-dessous :
0,85
P
M
0,01
0,15
0,05
0,99
N
P

M
0,95
N
2°) a) La probabilité qu'un animal choisi au hasard soit malade et que son test
soit positif est p(M∩P) .
La formule des probabilités
totales et la formule des
probabilités conditionnelles
sont à connaître et à savoir
utiliser.
On a p(M∩P) = pM(P) x p(M) = 0,85 x 0,01 donc
p(M∩P) = 0,0085 .
b) La probabilité qu'un animal choisi au hasard ait un test positif est :

p(P) = p(P∩M) + p(P∩ M ) (formule des probabilités totales)

donc p(P) = pM(P) x p(M) + p 
M (P) x p( M ) = 0,85 x 0,01 + 0,05 x 0,99 .
On obtient
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p(P) = 0,058 .
TES - Révisions - Exercice n°8 - Corrigé
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3°) La probabilité qu'un animal, choisi parmi ceux dont le test est positif, soit
malade est pP(M).
On a pP(M) = p(M∩P) = 0,0085 donc
pP(M) ≈ 0,1466 .
p(P)
0,058
Le calcul de la probabilité
d'un événement en utilisant
son contraire est parfois
beaucoup plus simple.
Ici c'est quasiment
indispensable.
4°) On choisit 5 animaux au hasard, les épreuves étant considérées comme
indépendantes, il s'agit donc d'un schéma de Bernouilli pour lequel on peut
utiliser une loi binomiale.
L'événement contraire de «au moins un des cinq animaux a un test positif»
est «aucun des animaux n'a un test positif»
Lorsqu'on choisit un animal au hasard,
la probabilité que son test soit positif est : p(P) = 0,058 ,
et la probabilité que son test soit négatif est : p(N) = 1 - 0,058 = 0,942 .
Lorsqu'on fait le choix successif des cinq animaux, la probabilité que les cinq
aient un test négatif est donc :
p(N,N,N,N,N) = p(N) x p(N) x p(N) x p(N) x p(N) = 0,9425 (épreuves indépendantes)
La probabilité qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif est donc
p = 1 - 0,9425
On pourrait vérifier que les
résultats donnés dans le texte
correspondent aux données.
En probabilités la notion de
moyenne correspond à
l'espérance mathématique
dont la définition est à
connaître.
donc
p ≈ 0,2583 .
5°) La loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est
donnée par le tableau suivant :
Coût
Probabilité
0
0,9405
100
0,058
1000
0,0015
Le coût moyen par animal est donné par l'espérance mathématique E de
cette loi de probabilité.
E = 0 x 0,9405 + 100 x 0,058 + 1000 x 0,0015 = 7,3 .
Si un éleveur possède un troupeau de 2000 bêtes il doit prévoir un coût
moyen de 7,3 euros par bête.
Le coût total à prévoir est donc : C = 2000 x 7,3
donc :
C = 14 600 euros .
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