Eléments de dynamique des structures Illustrations - Cast3M

Eléments de dynamique des structures, D. Combescure Septembre 2006
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Eléments de dynamique des structures
Illustrations à l’aide de CAST3M
D. Combescure
Septembre 2006

Eléments de dynamique des structures, D. Combescure Septembre 2006
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Table des matières
1. Introduction .......................................................................................................................6
2. Système à un degré de liberté ..........................................................................................8
2.1. Rappel de l’équation de la dynamique......................................................................8
Mouvement libre non amorti..............................................................................................8
Mouvement libre amorti.....................................................................................................9
2.2. Etude dans le domaine fréquentiel .........................................................................10
Cas général.....................................................................................................................10
Notion de fonction de transfert ........................................................................................10
Décomposition des évolutions temporelles dans le domaine fréquentiel........................12
2.3. Notion de spectre d’oscillateur................................................................................13
Réponse à un créneau....................................................................................................13
Réponse à une impulsion de durée finie.........................................................................14
Réponse à un séisme .....................................................................................................15
3. Système à n degrés de liberté ........................................................................................18
3.1. Rappel sur les systèmes continus ..........................................................................18
Méthode des modes propres ..........................................................................................18
Théorie des ondes ..........................................................................................................19
3.2. Ecriture des équations............................................................................................20
3.3. Notion de modes propres .......................................................................................22
Définition .........................................................................................................................22
Calculs ............................................................................................................................24
Méthode simplifiée de Rayleigh ......................................................................................24
Généralisation de la méthode itérative............................................................................25
Itérations des sous-espaces ...........................................................................................26
3.4. Calcul par recombinaison modale ..........................................................................27
Projection sur un mode propre........................................................................................27
Recombinaison modale...................................................................................................28
Contribution statique des modes négligés ......................................................................29
Méthodes de sous-structuration......................................................................................33
Méthode de Craig et Bampton ........................................................................................34
Utilisation d’une base de modes propres « libres » ........................................................35
Illustration sur une poutre en traction-compression ........................................................36
Commentaires sur l’erreur commise ...............................................................................38
Application aux structures multisupportées.....................................................................41
3.5. Algorithmes d’intégration temporelle ......................................................................45
Algorithmes d’Euler .........................................................................................................45
Algorithme de Newmark..................................................................................................47
Différences centrées .......................................................................................................47
Accélération moyenne :...................................................................................................48
Analyse de la stabilité : ...................................................................................................48
Estimation de l’erreur ......................................................................................................50
Méthode-α de Hilbert, Hughes et Taylor (HHT) ..............................................................52
3.6. Calculs dans le domaine fréquentiel.......................................................................53
Application au calcul du niveau vibratoire d’une machine tournante ..............................53
3.7. Rappel méthodologiques en dynamique des structures.........................................55
Calculs temporels............................................................................................................55
Calculs spectraux............................................................................................................55
Calculs dans le domaine fréquentiel ...............................................................................55
Particularité des forces suiveuses...................................................................................56
Prise en compte du chargement initial ............................................................................56
4. Amortissement des structures.........................................................................................61
4.1. Amortissement visqueux ........................................................................................61

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4.2. Amortissement de Rayleigh....................................................................................62
4.3. Amortissement hystérétique ...................................................................................63
4.4. Amortissement par frottement sec..........................................................................63
4.5. Amortissement de radiation....................................................................................64
4.6. Détermination expérimentale de l’amortissement...................................................66
5. Systèmes non linéaires ...................................................................................................67
5.1. Rappel sur les chocs entre solides rigides .............................................................67
5.2. Chocs entre solides élastiques...............................................................................69
Méthode de pénalisation .................................................................................................69
Notion de raideur de choc ...............................................................................................69
Application à l’étude du fouettement d’une tuyauterie ....................................................71
Utilisation de multiplicateurs de Lagrange ......................................................................73
Etude des rebonds d’une barre élastique .......................................................................74
Solution analytique..........................................................................................................74
Modélisation sur base modale avec un algorithme explicite (opérateur DYNE) .............76
Modélisation sur base physique avec un algorithme implicite (procédure PASAPAS) ...77
5.3. Chocs entre structures non linéaires ......................................................................80
Cas d’un projectile infiniment rigide ................................................................................80
Cas d’un projectile sans résistance mécanique ..............................................................81
6. Conclusions.....................................................................................................................83
7. Références......................................................................................................................84
8. Annexes: .........................................................................................................................85
8.1. Opérateurs et Procédures CAST3M utiles en dynamique......................................85
Création des matrices et objets.......................................................................................85
Opérateur MASS.............................................................................................................85
Opérateur AMOR ............................................................................................................85
Opérateur IMPE ..............................................................................................................85
Opérateur SUPERELEMENT..........................................................................................85
Opérateur IDLI ................................................................................................................85
Opérateur JONCT ...........................................................................................................85
Opérateur ELST ..............................................................................................................85
Opérateur CLST..............................................................................................................86
Opérateur BASE .............................................................................................................86
Opérateur PSMO ............................................................................................................86
Opérateur SOLS .............................................................................................................86
Opérateur CHAR.............................................................................................................86
Opérateur PJBA ..............................................................................................................86
Opérateur CINIMOD .......................................................................................................86
Résolution (inversion d’un système, calculs des modes propres) ..................................86
Opérateur RESO.............................................................................................................86
Opérateur VIBR...............................................................................................................86
Opérateur VIBC...............................................................................................................87
Opérateur SYNTHESE....................................................................................................87
Opérateur SISSIB ...........................................................................................................87
Calculs temporels............................................................................................................87
Procédure DYNAMIC ......................................................................................................87
Procédure PASAPAS......................................................................................................87
Procédure DYNAMODE..................................................................................................87
Opérateur DYNE .............................................................................................................87
Analyse des résultats d’un calcul sur base modale ........................................................88
Opérateur RECO.............................................................................................................88
Opérateur EVOL options RECO et SOLU.......................................................................88
Opérateur ENERMOD.....................................................................................................88
Analyse et génération de signaux temporels ..................................................................88
Opérateur TFR ................................................................................................................88

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Opérateur DSPR .............................................................................................................88
Opérateurs SPO et SPON ..............................................................................................88
Opérateur ONDE.............................................................................................................89
8.2. Liste des cas tests Gibiane en dynamique .............................................................90
Formation des matrices et calcul d’une base modale .....................................................90
Calcul de la réponse temporelle......................................................................................91
8.3. Rappels sur les calculs en mode de Fourier...........................................................94
Description de la géométrie et de la cinématique ...........................................................95
Calcul des déformations pour les éléments CERC et massifs........................................97
Calcul des déformations pour l’élément de coque COQ2 ...............................................99
Matrices de raideur élastique des éléments CERC et massifs .......................................99
Matrices de raideur élastique de l’élément COQ2 ........................................................101
Matrices de masse ........................................................................................................101
Matrices de raideur de précontrainte ............................................................................102

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Nomenclature
K,
[]
K: Raideur ou matrice de raideur
M ,
[]
M: Masse ou matrice de masse
C,
[] C : Amortissement ou matrice d’amortissement
u,
{}
i
u : Déplacement, champ de déplacement ou vecteur déplacement
v, t
u
∂
∂ ,
•
u,
{}
•
i
u: Vitesse, champ de vitesse ou vecteur vitesse
a, 2
2
t
u
∂
∂,
••
u,
{}
••
i
u: Accélération, champs d’accélération ou vecteur accélération
f, F : Force, champ de force ou vecteur force
ω
: Pulsation du chargement
0
ω
: Pulsation propre de la structure
Φ, D
Φ : Mode propre
i
D
Φ : ième mode propre
ij
D
,
Φ : ième mode propre de la jème sous-structure
i
Ω : Pulsation propre du ième mode
L
Φ, i
L
Φ, ij
L
,
Φ : Mode statique
[
]
n
D
i
D
i
DΦΦΦ=Φ "" : Base de modes propres
ξ
: Amortissement réduit
GF,: Produit scalaire
GF ⊗ : Produit vectoriel (
()
ACBCBA ,=⋅⊗ )