Dynamique des Systèmes Mécaniques

Université de Liège
LTAS - Vibrations et Identification des Structures
www.ltas-vis.ulg.ac.be
Dynamique des Systèmes Mécaniques
Pr. J.-C. Golinval
EXERCICES - SÉANCE 3
SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L.
M. Peeters
E-mail : [email protected]
Année académique 2008-2009
Exercice 1
Calculer la fréquence propre du système représenté à la Figure 1 en supposant
l’inertie des poulies négligeable. Si l’on applique une force harmonique F , quelle est
l’amplitude maximale de cette force si le ressort k2 ne peut être comprimé que de
1 mm. Les données numériques sont : k1 = 5000 N/m, k2 = 7500 N/m, M = 40 kg,
mg = 20 kg et md = 30 kg.
M
F
mg
md
k1
k2
Fig. 1. Exercice 1
Exercice 2
Un bateau (Fig. 2) flotte sur un plan d’eau calme. Sa masse étant de 150 kg,
calculer la fréquence propre correspondant à son déplacement vertical en négligeant
l’amortissement du système.
1
EXERCICES - SÉANCE 3
SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L.
2
Si l’on applique à son centre de gravité une excitation harmonique verticale de
fréquence 16.7 Hz et d’amplitude croissante, le bateau commence à couler à partir
d’une amplitude de 147000 N . Calculer la hauteur h du bateau.
1m
2m
3m
Fig. 2. Exercice 2
Exercice 3
La Figure 3 représente le diagramme simplifié d’un véhicule progressant sur une
route accidentée à la vitesse v. La voiture a une masse m et sa suspension est
caractérisée par une raideur k. On suppose que le déplacement du véhicule est réduit
à un degré de liberté selon la verticale et que le profil de la route est sinusoïdal
(amplitude Y ). Les pneumatiques sont supposés rester en contact avec la route.
Déterminer l’amplitude X du mouvement en fonction de la vitesse ainsi que la
vitesse la plus défavorable.
v
m
x
y
route
vt
Y
L
Fig. 3. Exercice 3
Exercice 4
Le système symétrique de la Figure 4 est une idéalisation d’un bâti de machine
d’équilibrage et consiste en une barre rigide pesant 50 kg supportée par un ressort
à chaque extrémité, de raideur k = 7 104 N/m.
Calculer l’amplitude de la réaction dans chaque ressort lorsque :
(1) une force sinusoïdale P = P0 sin ωt d’amplitude égale à 100 N est appliquée
avec une fréquence de 12 cycles/s ;
(2) un couple M = M0 sin ωt de même fréquence et d’amplitude égale à 110 N m
est appliqué au même point.
EXERCICES - SÉANCE 3
SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L.
3
P = P0 sin ωt
M = M0 sin ωt
k
k
l = 0.75 m
l = 0.75 m
Fig. 4. Exercice 4
Exercice 5
Un instrument monté sur un avion doit être isolé des vibrations dues aux moteurs
dans un domaine de vitesse allant de 1800 à 3600 tr/min.
Si l’amortissement est négligeable et que la masse de l’instrument est de 20 kg,
quelle doit être la raideur de la suspension pour obtenir une isolation de 80% ?
Exercice 6
Un moteur électrique de 68 kg repose sur une fondation indépendante de 1200 kg
supportée par des isolateurs de vibration comme illustré à la Figure 5. La fréquence
propre (non-amortie) de vibration de cet assemblage est de 160 cycles/min avec
un pourcentage d’amortissement critique de 0.1. Le moteur présente un défaut
d’équilibrage dont résulte une force harmonique F = 100 sin(31.4 t).
Déterminer l’amplitude de vibration de la fondation et la force transmise au sol.
Fig. 5. Exercice 6
Exercice proposé
La machine représentée à la Figure 6 est le siège d’une force verticale F d’origine centrifuge (présence d’un balourd au niveau de la machine) ; cette force vaut
986.9 N à 3000 tr/min. La machine pèse 9000 N ; elle est scellée sur un socle pesant
91000 N . Le socle est posé sur le sol par l’intermédiaire d’une suspension élastique
dont les caractéristiques sont :
k = 0.5 108 N/m (raideur totale) et c = 1.5 105 N s/m
On demande de déterminer :
EXERCICES - SÉANCE 3
SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L.
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(1) l’amplitude du mouvement dû au déséquilibre ;
(2) la transmissibilité du système ;
(3) la force transmise à la fondation.
Finalement, on désire faire tourner cette machine à 4000 tr/min sans altérer la
force transmise au sol. Modifier le poids du socle en conséquence.
F
9000 N
91000 N
k
2
c
k
2
Fig. 6. Exercice proposé