Dynamique des Systèmes Mécaniques

Université de Liège
LTAS - Vibrations et Identification des Structures
www.ltas-vis.ulg.ac.be
Dynamique des Systèmes Mécaniques
Pr. J.-C. Golinval
EXERCICES - SÉANCE 3
SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L.
M. Peeters
E-mail : [email protected]
Année académique 2008-2009
Exercice 1
Calculer la fréquence propre du système représenté à la Figure 1 en supposant
l’inertie des poulies négligeable. Si l’on applique une force harmonique F, quelle est
l’amplitude maximale de cette force si le ressort k2ne peut être comprimé que de
1mm. Les données numériques sont : k1= 5000 N/m,k2= 7500 N/m,M= 40 kg,
mg= 20 kg et md= 30 kg.
k1k2
F
M
mgmd
Fig. 1. Exercice 1
Exercice 2
Un bateau (Fig. 2) flotte sur un plan d’eau calme. Sa masse étant de 150 kg,
calculer la fréquence propre correspondant à son déplacement vertical en négligeant
l’amortissement du système.
1

EXERCICES - SÉANCE 3 SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L. 2
Si l’on applique à son centre de gravité une excitation harmonique verticale de
fréquence 16.7Hz et d’amplitude croissante, le bateau commence à couler à partir
d’une amplitude de 147000 N. Calculer la hauteur hdu bateau.
2m
3m
1m
Fig. 2. Exercice 2
Exercice 3
La Figure 3 représente le diagramme simplifié d’un véhicule progressant sur une
route accidentée à la vitesse v. La voiture a une masse met sa suspension est
caractérisée par une raideur k. On suppose que le déplacement du véhicule est réduit
à un degré de liberté selon la verticale et que le profil de la route est sinusoïdal
(amplitude Y). Les pneumatiques sont supposés rester en contact avec la route.
Déterminer l’amplitude Xdu mouvement en fonction de la vitesse ainsi que la
vitesse la plus défavorable.
route
m
v
vt
L
yY
x
Fig. 3. Exercice 3
Exercice 4
Le système symétrique de la Figure 4 est une idéalisation d’un bâti de machine
d’équilibrage et consiste en une barre rigide pesant 50 kg supportée par un ressort
à chaque extrémité, de raideur k= 7 104N/m.
Calculer l’amplitude de la réaction dans chaque ressort lorsque :
(1) une force sinusoïdale P=P0sin ωt d’amplitude égale à 100 Nest appliquée
avec une fréquence de 12 cycles/s ;
(2) un couple M=M0sin ωt de même fréquence et d’amplitude égale à 110 N m
est appliqué au même point.

EXERCICES - SÉANCE 3 SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L. 3
P=P0sin ωt
M=M0sin ωt
k k
l= 0.75 ml= 0.75 m
Fig. 4. Exercice 4
Exercice 5
Un instrument monté sur un avion doit être isolé des vibrations dues aux moteurs
dans un domaine de vitesse allant de 1800 à3600 tr/min.
Si l’amortissement est négligeable et que la masse de l’instrument est de 20 kg,
quelle doit être la raideur de la suspension pour obtenir une isolation de 80% ?
Exercice 6
Un moteur électrique de 68 kg repose sur une fondation indépendante de 1200 kg
supportée par des isolateurs de vibration comme illustré à la Figure 5. La fréquence
propre (non-amortie) de vibration de cet assemblage est de 160 cycles/min avec
un pourcentage d’amortissement critique de 0.1. Le moteur présente un défaut
d’équilibrage dont résulte une force harmonique F= 100 sin(31.4t).
Déterminer l’amplitude de vibration de la fondation et la force transmise au sol.
Fig. 5. Exercice 6
Exercice proposé
La machine représentée à la Figure 6 est le siège d’une force verticale Fd’ori-
gine centrifuge (présence d’un balourd au niveau de la machine) ; cette force vaut
986.9Nà3000 tr/min. La machine pèse 9000 N; elle est scellée sur un socle pesant
91000 N. Le socle est posé sur le sol par l’intermédiaire d’une suspension élastique
dont les caractéristiques sont :
k= 0.5 108N/m (raideur totale) et c= 1.5 105N s/m
On demande de déterminer :

EXERCICES - SÉANCE 3 SYSTÈMES FORCÉS À 1 D.D.L. 4
(1) l’amplitude du mouvement dû au déséquilibre ;
(2) la transmissibilité du système ;
(3) la force transmise à la fondation.
Finalement, on désire faire tourner cette machine à 4000 tr/min sans altérer la
force transmise au sol. Modifier le poids du socle en conséquence.
91000 N
9000 N
F
k
2
k
2
c
Fig. 6. Exercice proposé