APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR - IMJ-PRG

APPROXIMATION DE FONCTIONS D´ ERIVABLES PAR UNE
FONCTION POLYNOMIALE
D´efinition 1. Soit I⊂Run intervalle ouvert et soit f:I→Rune fonction.
(1) Si fest continue, on dit que fest de classe C0.
(2) Si fest d´erivable et si f0est continue sur I, on dit que fest de classe C1.
(3) Si fest d´erivable et si f0est d´erivable, on note f00 ou f(2) sa d´eriv´ee. Si f(2)
est continue, on dit que fest de classe C2.
(4) Plus g´en´eralement, pour tout N∗, si on peut d´eriver nfois la fonction f, et
si la d´eriv´ee n-i`eme, not´ee f(n), est continue, alors on dit que fest de classe
Cn.
(5) Si fest de classe Cnpour tout n∈N, alors fest infiniment d´erivable, on dit
que fest de classe C∞.
Exemple 2.
(1) La fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = x2est C∞sur R.
(2) Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x4, on a pour tout x∈R:
f0(x) = 4x3, f00(x) = 12x2, f (3)(x) = 24x, f (4)(x)≡24, f (5)(x)≡0,
d’o`u :f(n)(x) = 0 pour tout x∈R.
(3) Plus g´en´eralement, pour tout n∈N, la fonction f:R→Rd´efinie par
f(x) = xnest de classe C∞et nous avons f(k)(x) = 0 pour tout entier
k≥n+ 1.
(4) les fonctions sin x, cos x, ex,cosh x, sinh xsont de classe C∞sur R.
(5) La fonction log xest de classe C∞sur ]0,+∞[.
(6) la fonction f(x) = x.|x|est de classe C2sur R∗et C1sur R.
Nous aurons besoin du r´esultat technique suivant.
Lemme 3. Soit I⊂Run intervalle ouvert, soit b∈Iet soit f:I→Rune fonction
de classe Cn+1,n∈N. On consid`ere la fonction g:I→Rd´efinie en posant :
g(x) = f(b)−f(x)−
n
X
k=1
(b−x)k
k!f(k)(x)
=f(b)−f(x)−b−x
1! f0(x)−(b−x)2 2! f(2)(x)− · · · − (b−x)n n!f(n)(x).
Dans ces conditions, la fonction gest d´erivable sur Iet nous avons :
g0(x) = −(b−x)n
n!f(n+1)(x),
1

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pour tout x∈I.
Preuve
Puisque fest (n+ 1) fois d´erivable, les fonctions f0,· · · , f(n)sont d´erivables. De
ce fait gest compos´ee de sommes et de produits de fonctions d´erivables sur I. Par
cons´equent, gest d´erivable sur I. Pour tout x∈Inous avons :
g0(x) = −f0(x)−
n
X
k=1 µ((b−x)k)0
k!f(k)(x) + (b−x)k k!(f(k)(x))0¶
=−f0(x)−
n
X
k=1
k(−1)(b−x)k−1
k!f(k)(x)−
n
X
k=1
(b−x)k
k!f(k+1)(x)
=−f0(x) +
n
X
k=1
(b−x)k−1
(k−1)! f(k)(x)−
n
X
k=1
(b−x)k
k!f(k+1)(x).
Dans la premi`ere somme, posons p=k−1, nous avons :
g0(x) = −f0(x) +
n−1
X
p=0
(b−x)p
p!f(p+1)(x)−
n
X
k=1
(b−x)k
k!f(k+1)(x).
Enfin, dans la deuxi`eme somme appelons pla variable, c’est `a dire posons k=p.
Nous avons donc :
g0(x) = −f0(x) +
n−1
X
p=0
(b−x)p
p!f(p+1)(x)−
n
X
p=1
(b−x)p
p!f(p+1)(x)
=−f0(x) + f0(x)−(b−x)n
n!f(n+1)(x)
=−(b−x)n
n!f(n+1)(x),
ce qui termine la preuve. ¤
Nous d´eduisons le r´esultat important :
Th´eor`eme 4. (Formule de Taylor-Lagrange)
Soit I⊂Run intervalle ouvert, soit n∈N, soit f:I→Rune fonction de classe
Cn+1. Soient a, b ∈Itels que a6=b.
Dans ces conditions, il existe au moins un r´eel c, strictement compris entre aet b,
tel que :
f(b) = f(a) + f0(a)
1! (b−a) + f(2)(a) 2! (b−a)2+· · · +f(n)(a) n!(b−a)n+f(n+1)(c) (n+ 1)! (b−a)n+1
=
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(b−a)k+f(n+1)(c) (n+ 1)! (b−a)n+1.
(1)
Cette formule est appel´ee la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre nau point a.

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Preuve
Reprenons la fonction gdu lemme 3 :
g(x) = f(b)−f(x)−
n
X
k=1
(b−x)k
k!f(k)(x), x ∈I.
Nous avons :
g(b) = 0 et g(a) = f(b)−f(a)−f0(a)(b−a)−f(2)(a)
2! (b−a)2− · · · − f(n)(a) n!(b−a)n.
Posons :
h(x) := g(x)−g(a)(b−x)n+1
(b−a)n+1 , x ∈I
La fonction hest d´erivable sur I. De plus :
h(a) = g(a)−g(a)(b−a)n+1
(b−a)n+1 = 0 et h(b) = g(b) = 0.
Nous pouvons de ce fait appliquer le th´eor`eme de Rolle `a la fonction hentre aet b:
il existe un r´eel cstrictement compris entre aet btel que :
h0(c) = 0.
Par ailleurs, nous avons :
h0(c) = g0(c)−g(a)(n+ 1)(−1) (b−c)n
(b−a)n+1
=g0(c)+(n+ 1)g(a)(b−c)n
(b−a)n+1
=−(b−c)n
n!f(n+1)(c)+(n+ 1)g(a)(b−c)n (b−a)n+1 .
Comme h0(c) = 0 nous avons donc
(n+ 1)
(b−a)n+1 g(a)−fn+1(c) n!= 0,
c’est `a dire :
g(a)−(b−a)n+1
(n+ 1)! fn+1(c) = 0.
En rempla¸cant g(a) par son expression nous obtenons :
f(b)−f(a)−f0(a)
1! (b−a)+f(2)(a) 2! (b−a)2−· · ·−f(n)(a) n!(b−a)n−f(n+1)(c) (n+ 1)! (b−a)n+1 = 0,
ce qui termine la preuve. ¤

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Corollaire 5. Reprenons les hypoth`eses et les notations de la formule de Taylor-
Lagrange. Supposons que 0∈I. Nous avons :
(1) Pour tout x∈I, il existe un r´eel cxstrictement entre 0et xtel que :
f(x) = f(0) + f0(0)x+f(2)(0)
2! x2+· · · +f(n)(0) n!xn+f(n+1)(cx) (n+ 1)! xn+1.(2)
(2) Si il existe M > 0tel que |f(n+1)(x)| ≤ Mpour tout x∈I, alors nous avons
pour tout x∈I:
¯
¯f(x)−(f(0) + f0(0)x+f(2)(0)
2! x2+· · · +f(n)(0) n!xn)¯
¯≤M|x|n+1
(n+ 1)!·(3)
Preuve
Pour (2), on applique la formule de Taylor-Lagrange en posant a= 0 et b=x.
Pour (3), on applique (2), de ce fait, pour tout x∈I, il existe un r´eel cxstrictement
entre 0 et xtel que :
¯
¯f(x)−(f(0) + f0(0)x+f(2)(0)
2! x2+···+f(n)(0) n!xn)¯
¯=|f(n+1)(cx)||x|n+1
(n+ 1)!.
Comme nous avons par hypoth`ese |f(n+1)(cx)| ≤ M, on obtient l’in´egalit´e (3), ce qui
termine la preuve. ¤
Exemple 6.
(1) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction f(x) = ex, x ∈R, au
point 0et `a l’ordre 4.
La fonction fest de classe C5(en fait infiniment d´erivable) sur R, de plus :
(ex)(k)=ex,pour tout x∈Ret tout k∈N.
En particulier :
(ex)(k)(0) = 1,∀k∈N,
ainsi, pour tout x∈R∗, il existe un r´eel cxstrictement entre 0 et xtel que :
ex= 1 + x+x2
2! +x3 3! +x4 4! +ecxx5 5! .
(2) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction f(x) = sin x, x ∈R,
au point 0, `a l’ordre 3.
La fonction sin xest de classe C4sur R(en fait infiniment d´erivable) et
nous avons pour tout x∈R:
sin0(x) = cos x, sin(2) x=−sin x, sin(3) x=−cos x, sin(4) x= sin x.

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Ainsi, pour tout x∈R, il existe un r´eel cxstrictement compris entre 0 et x
tel que :
sin x= sin 0 + (cos 0)x+ (−sin 0)x2
2! + (−cos 0)x3 3! + sin cx
x4
4!
=x−x3
3! + sin cx
x4
4! .
(3) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction f(x) = tan x,
x∈]−π/2, π/2[ au point 0, `a l’ordre 3.
La fonction tan xest de classe C4sur ]−π/2, π/2[ et nous avons pour tout
x∈]−π/2, π/2[,tan0x= 1 + tan2x,. Ce qui nous donne :
tan(2) x= 2 tan x+ 2 tan3x
tan(3) x= 2(1 + tan2x) + 6 tan2x(1 + tan2x) = 2 + 8 tan2x+ 6 tan4x
tan(4) x= 16 tan x+ 40 tan3x+ 24 tan5x.
Ainsi, pour tout x∈]−π/2, π/2[, x 6= 0, il existe un r´eel cxentre 0 et xtel
que :
tan x=x+x3
3+ (16 tan cx+ 40 tan3cx+ 24 tan5cx)x4 4! .
Nous allons voir qu’il existe une autre mani`ere d’approximer une fonction d´erivable
par une fonction polynomiale.
Th´eor`eme 7. Soit I⊂Run intervalle ouvert, soit a∈Iet soit f:I→Rune
fonction de classe Cn,n∈N∗.
Dans ces conditions, il existe une fonction ρ:I→Rcontinue telle que :
lim
x→aρ(x) = 0,(4)
and
f(x) = f(a)+f0(a)(x−a)+ f(2)(a)
2! (x−a)2+· · ·+f(n)(a) n!(x−a)n+(x−a)nρ(x).(5)
La formule (5) s’appelle le d´eveloppement limit´e de f`a l’ordre nau point a.
Preuve
Nous ferons une d´emonstration par r´ecurrence sur n∈N∗.
Premi`ere ´etape : Lorsque n= 1, on pose :
ρ(x) = f(x)−f(a)
x−a−f0(a).
Comme fest de classe C1, on a bien limx→aρ(x) = f0(a)−f0(a) = 0. De plus :
f(x) = f(a) + f0(a)(x−a)+(x−a)ρ(x).
De ce fait, les conditions (4) et (5) sont satisfaites pour n= 1.