introduction a l`optique de fourier

INTRODUCTION A L’OPTIQUE DE FOURIER
C´edric Blatter et Claudio Dellagiacoma
14 novembre 2005
1 Introduction
Dans un syst`eme optique, malgr´e l’apparence simple de l’´etude par l’optique g´eom´etrique, il y a toujours
de la diffraction. Elle est caus´ee par la dimension limit´ee du dispositif. Ainsi, puisque le diam`etre des lentilles,
par exemple, est fini, leur bord gˆen`ere la diffraction. Il faut alors ´etudier ce ph´enom`ene. A la base de la
diffraction est l’interf´erence. C’est pourquoi nous commen¸cons l’´etude par les ondelettes et le principe de
Huygens (paragraph 2.1). Les ondelettes permettent de comprendre l’interf´erence et la diffraction. Pour
faire des calculs, l’id´ee des ondelettes a ´et´e formalis´ee par Rayleigh et Sommerfeld (paragraphe 2.2). Leur
d´eveloppement math´ematique utilisant le th´eor`eme de Green a ´et´e omis puisqu’il n’aide pas directement `a
la compr´ehension physique de la probl´ematique ´etudi´ee. Par la suite, la d´emonstration des simplifications
de la formule par des approximations (paragraphe 2.3) permettent de comprendre les domaines o`u celles-ci
sont valables (paragraphe 2.4). Et en introduisant la transform´ee de Fourier (paragraphe 2.5), les calculs de
l’image de diffraction deviennent encore plus simples. Ceci est illustr´e ensuite par des exemples d’applications
(paragraphe 2.6).
Mˆeme si les calculs sont simples, l’outil math´ematique de la transform´ee de Fourier ne nous aide pas `a
comprendre la physique du ph´enom`ene. Cependant, ceci est expliqu´e dans le paragraphe 3.1 sur les fr´equences
spatiales. Leur visualisation est faite dans le plan de Fourier (paragraphe 3.2).
L’´etude faite est belle et bien pour des cas tr`es simples uniquement (onde plane diffract´ee par un diaphragme
par exemple). Quand on veut savoir comment l’image d’un objet complet est produite (au lieu d’un seul
point), il faut consid´erer le syst`eme optique comme un syst`eme lin´eaire (paragraphe 4). Le d´eveloppement
dans ce paragraphe permettra de faire des calculs.
Finalement la description de l’exp´erience du montage 4f (paragraphe 5) illustre encore une fois l’utilit´e de
la transform´ee de Fourier pour le calcul de la diffraction dans un syst`eme optique.
1

2 La diffraction
2.1 Principe de Huygens
En 1678, ce principe a ´et´e ´enonc´e par Huygens et a ´et´e pr´ecis´e davantage par Fresnel en 1818. On peut
r´esumer [4] :
Chaque point d’un front d’onde non obstru´e dans un certain temps sert de source d’une ondelette
sph´erique de mˆeme fr´equence. L’amplitude de l’onde en n’importe quel point derri`ere le front r´esulte de
la superposition de toutes ces ondelettes (en consid´erant leurs amplitudes et leurs phases).
Ce principe est illustr´e dans la figure 1. Dans ce cas, on voit la superposition de deux ondelettes sph´eriques.
Ceci permet de comprendre l’interf´erence de la lumi`ere : il y a interf´erence constructive quand deux ondelettes
de mˆeme phase se superposent et il y a interf´erence destructive quand elles sont `a phase oppos´ee. De mˆeme
fa¸con on peut expliqu´e la diffraction.
Fig. 1 – La propagation d’une onde vue comme la superposition d’ondelettes [2].
Rayleigh - Sommerfeld
Pour faire des calculs, le principe de Huygens n’est pas tellement confortable. Ainsi, deux si`ecles plus
tard, en 1896 Sommerfeld a trouv´e la formule qui correspond au principe de Huygens pour un diaphragme
plan de forme quelconque [5].
UP(x, y, z) = 1
iλ Z
S0
U(x0, y0,0)eikr
rcosθdx0dy0(1)
Les lettres avec un prime (0) d´esignent les composantes concernant le diaphragme.
·UP/U: Champ scalaire dans le diaphragme/au plan de diffraction (Rappel : C’est un champ Upro-
portionnel `a la valeur du champ ´electrique tel que l’intensit´e I=< U, U∗>).
·r: La distance entre le point d’int´egration (x0, y0,0) sur S0et le point P(x, y, z).
·θ: L’angle entre la normale `a la surface du diaphragme et ~r (voir figure 2).
2

Fig. 2 – Illustration pour la formule de Rayleigh - Sommerfeld [4].
En fait la formule se comprend assez intuitivement :
·L’int´egrale repr´esente la superposition des ondelettes.
·Le terme 1
rest caract´eristique pour les ondes sph´eriques (conservation d’´energie).
·cosθ correspond `a l’inclinaison de la surface d’int´egration du diaphragme vue par le point P(x, y, z)
(voir figure 2).
·Le terme eikr est la variation de phase de l’onde sur le trajet r.
·1
iλ est un terme correctif pour l’amplitude et la phase (90˚).
Approximations
Malgr´e l’apparente simplicit´e de la formule de Rayleigh - Sommerfeld, elle reste difficile `a calculer
concr`etement. Pour y arriver, nous faisons des approximations, celle de Fresnel et celle de Fraunhofer [5],
qui vont nous simplifier l’int´egrale. Tout d’abord on constate que
·cosθ ≈1 (±5% si θ≤20˚).
·1
r≈1 zpour l’amplitude.
·eikr varie extrˆemement vite et c’est pourquoi ici on ne peut pas remplacer rpar z.
Commen¸cons par pr´eciser ren sachant que z0= 0 :
r=p(x−x0)2+ (y−y0)2+z2=zr1 + (x−x0)2
z2+(y−y0)2 z2
Ainsi on trouve pour la phase
kr =kzr1 + (x−x0)2
z2+(y−y0)2 z2
et en utilisant l’approximation √1 + ²≈1 + ²
2pour ²¿1, on peut ´ecrire
kr ≈kz ·1 + 1
2z2((x−x0)2+ (y−y0)2)¸
En introduisant cette approximation dans l’int´egrale de Rayleigh - Sommerfeld, on trouve l’approximation
de Fresnel :
UP(x, y, z) = eikz
iλz Z
S0
U(x0, y0,0)eik
2z[(x−x0)2+(y−y0)2]dx0dy0(2)
3

x’
y’
x
y
P(x,y,z)
x
R
ry
U(x’,y’)
z
2 2 2
Max x ' y '
S’
Fig. 3 – La g´en´eration de la diffraction dans les directions θxet θypar un diaphragme de rayon maximal ρ
[4].
Comme les carr´es dans l’exponentiel sont assez gˆenants, on peut approximer davantage :
kz ·1 + 1
2z2((x−x02)+(y−y02)2)¸=kz +kx2+y2 2z−kxx0+yy0 z+kx02+y02 2z
Les dimensions x0et y0sont souvent tr`es petites (voir prochaine section) par rapport `a z. Ainsi on peut
n´egliger les termes quadratiques
kx02+y02
2z¿1
et en introduisant l’expression simplifi´ee de nouveau dans l’´equation 1, on obtient finalement l’approxi-
mation de Fraunhofer :
UP(x, y, z) = eik z+x2+y2
2z
iλz Z
S0
U(x0, y0,0)e−ik
z(xx0+yy0)dx0dy0(3)
Domaines des approximations
Les manipulations qu’on vient de faire ne s’appliquent ´evidemment que dans des cas o`u les conditions
des approximations sont assur´ees. Il s’agit principalement du rapport entre le rayon maximal ρ=px02+y02
du diaphragme par rapport `a la distance z(voir figure 3) et aussi par rapport `a la longueur d’onde λ.
Concr`etement on peut n´egliger les termes quadratiques quand kρ2
2z=πρ2 λz ¿1. Il s’agit du rapport
NF=ρ2
λz (4)
qui est appel´e le nombre de Fresnel. On peut alors classifier les domaines d’approximation selon NF(voir
figure 4) :
·NF¿1 : On peut utiliser l’approximation de Fraunhofer puisque z est assez grand et ρest assez petit
par rapport `a λ.
·NF≈1 : Il faut recourir `a l’approximation de Fresnel. En effet c’est ce qu’on fait quand on effectue des
calculs dans une cavit´e LASER (faisceau gaussien) puisque le diaphragme a des dimensions comparables
`a la longueur de la cavit´e.
·NF→ ∞ : On atteint le domaine de l’optique g´eom´etrique. Effectivement ρest tr`es grand par rapport
`a λ.
4

Fig. 4 – Les do-
maines d’approxima-
tion selon le nombre
de Fresnel NF. a)
L’exp´erience de la
diffraction par une
fente. b) Le parcours
des domaines de l’op-
tique g´eom´etrique
(`a gauche) par
l’approximation de
Fresnel (milieu) `a
celle de Fraunhofer
(droite) [1].
L’approximation de Fraunhofer utilisant la transform´ee de Fourier
Pour calculer l’int´egrale dans l’approximation de Fraunhofer plus facilement, on aimerait recourir au
calcul de la transform´ee de Fourier. La transform´ee de Fourier unidimensionnelle se calcule par [4] :
F(f(t)) = ˆ f(ν) =
+∞
Z
−∞
f(t)e−2πiνtdt (5)
Quand on introduit les fr´equences spatiales px=x
λz ≈θx λet py=y λz ≈θy λ, le terme dans l’exponentiel
devient −ik
z(xx0+yy0) = −2πi(pxx0+pyy0) et on voit directement apparaˆıtre une transform´ee de Fourier
bidimensionnelle dans l’approximation de Fraunhofer [5] :
UP(x, y, z) = eik z+x2+y2
2z
iλz Z
S0
U(x0, y0,0)e−2πi(pxx0+pyy0)dx0dy0=eik z+x2+y2
2z
iλz ˆ
U(px, py) (6)
En comparaison avec la transform´ee de Fourier temporelle, on voit d’ailleurs une justification pour la
d´esignation de la fr´equence spatiale (puisque pxcorrespond `a ν).
La relation se simplifie davantage quand on calcule l’intensit´e dans le plan de diffraction. Comme on a
I=< U, U∗>, les exponentiels complexes disparaissent et on obtient [4] :
I(x, y, z) = 1
λ2z2ˆ
U(px, py)ˆ U∗(px, py) (7)
Ainsi on peut trouver les images de diffraction dans beaucoup de situations simplement en consultant les
tables de la transform´ee de Fourier ou en faisant la transform´ee de Fourier rapide FFT.
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