introduction a l`optique de fourier

INTRODUCTION A L’OPTIQUE DE FOURIER
Cédric Blatter et Claudio Dellagiacoma
14 novembre 2005
1
Introduction
Dans un système optique, malgré l’apparence simple de l’étude par l’optique géométrique, il y a toujours
de la diffraction. Elle est causée par la dimension limitée du dispositif. Ainsi, puisque le diamètre des lentilles,
par exemple, est fini, leur bord gênère la diffraction. Il faut alors étudier ce phénomène. A la base de la
diffraction est l’interférence. C’est pourquoi nous commençons l’étude par les ondelettes et le principe de
Huygens (paragraph 2.1). Les ondelettes permettent de comprendre l’interférence et la diffraction. Pour
faire des calculs, l’idée des ondelettes a été formalisée par Rayleigh et Sommerfeld (paragraphe 2.2). Leur
développement mathématique utilisant le théorème de Green a été omis puisqu’il n’aide pas directement à
la compréhension physique de la problématique étudiée. Par la suite, la démonstration des simplifications
de la formule par des approximations (paragraphe 2.3) permettent de comprendre les domaines où celles-ci
sont valables (paragraphe 2.4). Et en introduisant la transformée de Fourier (paragraphe 2.5), les calculs de
l’image de diffraction deviennent encore plus simples. Ceci est illustré ensuite par des exemples d’applications
(paragraphe 2.6).
Même si les calculs sont simples, l’outil mathématique de la transformée de Fourier ne nous aide pas à
comprendre la physique du phénomène. Cependant, ceci est expliqué dans le paragraphe 3.1 sur les fréquences
spatiales. Leur visualisation est faite dans le plan de Fourier (paragraphe 3.2).
L’étude faite est belle et bien pour des cas très simples uniquement (onde plane diffractée par un diaphragme
par exemple). Quand on veut savoir comment l’image d’un objet complet est produite (au lieu d’un seul
point), il faut considérer le système optique comme un système linéaire (paragraphe 4). Le développement
dans ce paragraphe permettra de faire des calculs.
Finalement la description de l’expérience du montage 4f (paragraphe 5) illustre encore une fois l’utilité de
la transformée de Fourier pour le calcul de la diffraction dans un système optique.
1
2
La diffraction
2.1
Principe de Huygens
En 1678, ce principe a été énoncé par Huygens et a été précisé davantage par Fresnel en 1818. On peut
résumer [4] :
Chaque point d’un front d’onde non obstrué dans un certain temps sert de source d’une ondelette
sphérique de même fréquence. L’amplitude de l’onde en n’importe quel point derrière le front résulte de
la superposition de toutes ces ondelettes (en considérant leurs amplitudes et leurs phases).
Ce principe est illustré dans la figure 1. Dans ce cas, on voit la superposition de deux ondelettes sphériques.
Ceci permet de comprendre l’interférence de la lumière : il y a interférence constructive quand deux ondelettes
de même phase se superposent et il y a interférence destructive quand elles sont à phase opposée. De même
façon on peut expliqué la diffraction.
Fig. 1 – La propagation d’une onde vue comme la superposition d’ondelettes [2].
Rayleigh - Sommerfeld
Pour faire des calculs, le principe de Huygens n’est pas tellement confortable. Ainsi, deux siècles plus
tard, en 1896 Sommerfeld a trouvé la formule qui correspond au principe de Huygens pour un diaphragme
plan de forme quelconque [5].
Z
1
eikr
UP (x, y, z) =
U (x0 , y 0 , 0)
cosθdx0 dy 0
(1)
iλ
r
S0
0
Les lettres avec un prime ( ) désignent les composantes concernant le diaphragme.
· UP /U : Champ scalaire dans le diaphragme/au plan de diffraction (Rappel : C’est un champ U proportionnel à la valeur du champ électrique tel que l’intensité I =< U, U ∗ >).
· r : La distance entre le point d’intégration (x0 , y 0 , 0) sur S 0 et le point P (x, y, z).
· θ : L’angle entre la normale à la surface du diaphragme et ~r (voir figure 2).
2
Fig. 2 – Illustration pour la formule de Rayleigh - Sommerfeld [4].
En fait la formule se comprend assez intuitivement :
· L’intégrale représente la superposition des ondelettes.
· Le terme 1r est caractéristique pour les ondes sphériques (conservation d’énergie).
· cosθ correspond à l’inclinaison de la surface d’intégration du diaphragme vue par le point P (x, y, z)
(voir figure 2).
· Le terme eikr est la variation de phase de l’onde sur le trajet r.
1
· iλ
est un terme correctif pour l’amplitude et la phase (90˚).
Approximations
Malgré l’apparente simplicité de la formule de Rayleigh - Sommerfeld, elle reste difficile à calculer
concrètement. Pour y arriver, nous faisons des approximations, celle de Fresnel et celle de Fraunhofer [5],
qui vont nous simplifier l’intégrale. Tout d’abord on constate que
· cosθ ≈ 1 (±5% si θ ≤ 20˚).
· 1r ≈ z1 pour l’amplitude.
· eikr varie extrêmement vite et c’est pourquoi ici on ne peut pas remplacer r par z.
Commençons par préciser r en sachant que z 0 = 0 :
r=
r
p
(x −
x0 )2
+ (y −
y 0 )2
+
z2
=z
1+
(x − x0 )2
(y − y 0 )2
+
2
z
z2
Ainsi on trouve pour la phase
r
kr = kz
√
1+
(x − x0 )2
(y − y 0 )2
+
2
z
z2
1 + ² ≈ 1 + 2² pour ² ¿ 1, on peut écrire
·
¸
1
0 2
0 2
kr ≈ kz 1 + 2 ((x − x ) + (y − y ) )
2z
et en utilisant l’approximation
En introduisant cette approximation dans l’intégrale de Rayleigh - Sommerfeld, on trouve l’approximation
de Fresnel :
Z
0 2
0 2
ik
eikz
(2)
UP (x, y, z) =
U (x0 , y 0 , 0)e 2z [(x−x ) +(y−y ) ] dx0 dy 0
iλz
S0
3
x
x’
U(x’,y’)
r
S’
y
P(x,y,z)
R
z
x
y’
2
Max x '2 y '2
y
Fig. 3 – La génération de la diffraction dans les directions θx et θy par un diaphragme de rayon maximal ρ
[4].
Comme les carrés dans l’exponentiel sont assez gênants, on peut approximer davantage :
·
¸
xx0 + yy 0
x02 + y 02
1
x2 + y 2
kz 1 + 2 ((x − x02 ) + (y − y 02 )2 ) = kz + k
−k
+k
2z
2z
z
2z
Les dimensions x0 et y 0 sont souvent très petites (voir prochaine section) par rapport à z. Ainsi on peut
négliger les termes quadratiques
x02 + y 02
¿1
2z
et en introduisant l’expression simplifiée de nouveau dans l’équation 1, on obtient finalement l’approximation de Fraunhofer :
k
h
UP (x, y, z) =
e
2 +y 2
ik z+ x
iλz
2z
i
Z
ik
0
0
U (x0 , y 0 , 0)e− z (xx +yy ) dx0 dy 0
(3)
S0
Domaines des approximations
Les manipulations qu’on vient de faire ne s’appliquent évidemment que dans des cas où les p
conditions
des approximations sont assurées. Il s’agit principalement du rapport entre le rayon maximal ρ = x02 + y 02
du diaphragme par rapport à la distance z (voir figure 3) et aussi par rapport à la longueur d’onde λ.
2
ρ2
Concrètement on peut négliger les termes quadratiques quand kρ
2z = π λz ¿ 1. Il s’agit du rapport
ρ2
(4)
λz
qui est appelé le nombre de Fresnel. On peut alors classifier les domaines d’approximation selon NF (voir
figure 4) :
· NF ¿ 1 : On peut utiliser l’approximation de Fraunhofer puisque z est assez grand et ρ est assez petit
par rapport à λ.
· NF ≈ 1 : Il faut recourir à l’approximation de Fresnel. En effet c’est ce qu’on fait quand on effectue des
calculs dans une cavité LASER (faisceau gaussien) puisque le diaphragme a des dimensions comparables
à la longueur de la cavité.
· NF → ∞ : On atteint le domaine de l’optique géométrique. Effectivement ρ est très grand par rapport
à λ.
NF =
4
Fig. 4 – Les domaines d’approximation selon le nombre
de Fresnel NF . a)
L’expérience de la
diffraction par une
fente. b) Le parcours
des domaines de l’optique
géométrique
(à
gauche)
par
l’approximation de
Fresnel (milieu) à
celle de Fraunhofer
(droite) [1].
L’approximation de Fraunhofer utilisant la transformée de Fourier
Pour calculer l’intégrale dans l’approximation de Fraunhofer plus facilement, on aimerait recourir au
calcul de la transformée de Fourier. La transformée de Fourier unidimensionnelle se calcule par [4] :
+∞
Z
f (t)e−2πiνt dt
F(f (t)) = fˆ(ν) =
(5)
−∞
θ
y
x
Quand on introduit les fréquences spatiales px = λz
≈ θλx et py = λz
≈ λy , le terme dans l’exponentiel
ik
0
0
0
0
devient − z (xx + yy ) = −2πi(px x + py y ) et on voit directement apparaı̂tre une transformée de Fourier
bidimensionnelle dans l’approximation de Fraunhofer [5] :
h
UP (x, y, z) =
e
2 +y 2
ik z+ x
iλz
2z
i
h
Z
0
0
U (x0 , y 0 , 0)e−2πi(px x +py y ) dx0 dy 0 =
S0
e
2 +y 2
ik z+ x
iλz
i
2z
Û (px , py )
(6)
En comparaison avec la transformée de Fourier temporelle, on voit d’ailleurs une justification pour la
désignation de la fréquence spatiale (puisque px correspond à ν).
La relation se simplifie davantage quand on calcule l’intensité dans le plan de diffraction. Comme on a
I =< U, U ∗ >, les exponentiels complexes disparaissent et on obtient [4] :
1
Û (px , py )Û ∗ (px , py )
(7)
λ2 z 2
Ainsi on peut trouver les images de diffraction dans beaucoup de situations simplement en consultant les
tables de la transformée de Fourier ou en faisant la transformée de Fourier rapide FFT.
I(x, y, z) =
5
Exemples d’application
Un des exemples qui est traité le plus souvent est certainement la diffraction par une fente de largeur
a. Pour calculer l’effet de la diffraction sur un plan qui n’est pas trop proche du diaphragme (condition
d’approximation de Fraunhofer), on fait d’abord la transformée de Fourier de la distribution qui représente
le diaphragme. Dans ce cas le diaphragme se représente par la distribution rect( xa ) dans une direction
x
seulement. Sa transformée de Fourier est |a|sinc(apx ) où px = λz
. Dans l’autre direction on utilise l’optique
géométrique, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de diffraction. Puisque ceci n’est que l’amplitude du champ électrique
(à un facteur près), il faut en prendre le carré du module pour trouver ce qu’on voit effectivement - qui est
2
x)
l’intensité du champ électrique. On obtient finalement I = λa2 z2 sinc2 (apx ) où sinc(apx ) = sin(aπp
. En anaπpx
λz
nulant l’intensité on trouve facilement la relation bien connue x ≈ n a pour la position des endroits sombres.
Quand on a un réseau de fentes, on peut le comprendre comme une périodisation de la fente. Ainsi,
il s’agit d’un échantillonnage de l’image de diffraction de la fente (une périodisation dans l’espace correspond à un échantillonnage dans le domaine fréquentiel).
En effet, quand le nombre de fentes tend vers infini, les pics d’échantillonnage deviennent de plus en
plus minces et intenses. Dans la figure 5 on voit
l’image de diffraction d’un réseau à dix fentes dont
l’espacement est deux fois plus grand que la largeur
de la fente. La hauteur du pic central est I0 N 2 où
I0 est l’intensité de la source et N le nombre de
fentes.
En pratique, l’effet de la diffraction par un réseau
est utilisé dans les spectrographes. Si le réseau reste
le même, l’espacement des pics de la diffraction
change avec la longueur d’onde, puisque px (λ) =
x
λz . Quand λ devient plus grand, les pics s’éloignent.
Ainsi on peut détecter très exactement la longueur d’onde quand on connaı̂t le réseau de diffraction.
Pour une fente rectangulaire dont les dimensions sont
toutes comparables à la longueur d’onde, il y a superposition de la diffraction dans les deux directions x et y
(voir figure 6.1). Par contre, quand on a un diaphragme
circulaire, c’est-à-dire quand la direction x ne se sépare
pas de la direction y, le calcul de la transformée de Fourier bidirectionnelle devient plus compliqué et on fait
plutôt recours à la fonction de Bessel ou à des méthodes
numériques. Pour une pupille circulaire de diamètre D,
on trouve [4]
µ
I(p) =
q
où p =
πD2
4λz
¶2 µ
Fig. 5 – Figures de diffraction. a) Diffraction par
une fente. b) Effet d’échantillonnage sur a) par
la périodisation d’une fente. c) Diffraction par un
réseau de fentes (multiplication de a) par b)) [1].
2J1 (πDp)
πDp
¶2
p2x + p2y et J1 est la fonction de Bessel d’ordre 1. En annulant l’intensité on retrouve les endroits
circulaires sombres dont le premier est ρ ≈ 1.22 λz
D . Pour une lentille circulaire, z serait la distance entre la
lentille et le plan d’image.
6
6.1: Diaphragme rectangulaire
6.2: Diaphragme circulaire
Fig. 6 – 6.1 La diffraction par un diaphragme rectangulaire est simplement la superposition de l’effet d’une
fente dans les deux directions. 6.2 Pour le cas d’une pupille circulaire, les calculs sont un peu plus compliqués
mais l’effet est pareil à la diffraction par une fente. Par symétrie de la pupille, l’image de diffraction est aussi
circulaire [1].
Le dernier exemple est le cas d’une cavité LASER. Dans une cavité LASER, la lumière, réfléchie par les
miroirs, reste pour beaucoup d’allers et retours dans la cavité. Il y a alors un effet de diffraction (approximation de Fresnel) à chaque réflexion (par la limitation du miroir). Quand le LASER se stabilise, c’est-à-dire
quand la distribution de l’intensité dans la cavité est stable, il faut que le faisceau de lumière et son image
diffractée après réflexion par deux miroirs soient identiques. Une fonction qui remplit cette condition pour
la transformée de Fourier est la gaussienne (voir figure 7). C’est semblable pour l’approximation de Fresnel.
C’est pourquoi les faisceaux LASER peuvent être décrits par des faisceaux gaussiens.
3
3.1
L’interprétation physique de la transformée de Fourier
Fréquences spatiales
Les fréquences spatiales sont apparues dans l’approximation de Fraunhofer en comparant l’intégrale avec
la transformée de Fourier monodimensionnelle temporelle. Cependant, une interprétation plus physique peut
−
→
leur être attribuée. Considérons 2 ondes planes cohérentes données par leur vecteur k interférant sur une
surface plane (voir figure 8.1). Le profil d’intensité correspond à une sinusoı̈de dont le pas est déterminé
par leurs angles d’incidence (θ0 ). Un angle important entre les ondes donne un pas (périodicité) faible.
Par comparaison, envisageons maintenant une onde plane monochromatique incidente sur un profil diffractif
sinusoı̈dal (voir figure 9.1, cela pourrait correspondre à l’enregistrement du cas précédent) dans une ouverture
(voir figure 8.2), 2 ondes planes vont être résultantes selon 2 directions différentes. Ainsi si le profil possède
un pas (Λ) important, l’angle entre les 2 ondes planes sera faible. Une fréquence spatiale p peut donc être
attribuée au profil d’amplitude au niveau de l’ouverture (la fréquence est spatiale car au lieu d’avoir une
période temporelle nous avons une période spatiale). La direction de l’onde donnée par l’angle (θx ) entre la
direction de propagation et l’horizontal, quand le profil reste le même, sera quant à elle dépendante de la
longueur d’onde (couleur).
p = 1/Λ
sin(θ) = λ · p
Si nous considérons maintenant un profil d’amplitude, appelé la fonction d’ouverture, en forme de série
de rect (voir figure 9.2), le nombre de directions possibles pour les ondes planes résultantes est plus important. Nous pouvons dans ce cas comprendre que ces directions proviennent des interférences constructives
des ondelettes. Mais le profil peut également être vu comme la superposition de sinusoı̈des de pas différents
et donc de fréquences spatiales différentes. Une fonction d’une variable spatiale peut ainsi être exprimée
7
Fig. 7 – Quelques exemples graphiques pour la transformée de Fourier [1].
comme une combinaison linéaire d’un nombre infini de contributions sinusoı̈dales. Chacune étant définie par
sa fréquence spatiale (et sa phase), elle contribue à 2 ondes planes de directions de propagation différentes (1
angle positif et 1 négatif). On envisage l’émission d’une ouverture comme la superposition d’ondes planes de
−
→
vecteurs k différents (directions différentes). La longueur du vecteur reste la même pour une illumination
monochromatique donnée par sa longueur d’onde. L’optique invoque généralement des signaux bidimensionnels et donc la décomposition également. Ils sont exprimés en fonction d’ondes planes en 2 dimensions.
On comprend par exemple que les hautes fréquences spatiales contribuent aux détails de la fonction car
elles impliquent des harmoniques supérieures. Le même principe de décomposition est également appliqué
en traitement d’images numériques. Une des applications est la compression jpeg.
Un motif quelconque sur le diaphragme produira donc par diffraction des directions de propagation liées à
la transformée de Fourier de ce dernier. On retrouve ainsi le principe trouvé par calcul.
8
8.1: L’interférence de deux ondes planes cohérentes
inclinées sur une surface.
8.2: La diffraction par un réseau sinusoı̈dal.
Fig. 8 – [4]
3.2
Plan de Fourier
La diffraction de Fraunhofer a lieu à l’infini. Une lentille permet de la ramener dans le plan focal appelé
plan de Fourier ou plan de transformation, car la lentille transforme des directions en points dans le plan focal
(voir figure 9.2b). C’est-à-dire que tous les rayons parallels d’un certain angle sont focalisés sur un certain
point. La distribution de champ dans ce plan image est ainsi le spectre spatial de la fonction d’ouverture.
Chaque point dans la figure de diffraction indique la présence d’une fréquence spatiale spécifique. Plus petite
est la fonction d’ouverture, plus large est le spectre spatial. Ce système permet de générer des transformées
quasi instantanées.
4
Système linéaire
L’étude jusqu’à maintenant se limitait à des cas simples seulement. Cependant, le système linéaire permet
de décrire la formation d’images d’objet complet (au lieu d’un seul point) ; il fait correspondre à tout signal
à l’entrée un signal à la sortie. Un élément linéaire permet d’utiliser le principe de superposition, ce qui
permet la description de cas plus compliqués.
Définition d’un système linéaire L() [2] :
L(af1 + bf2 ) = aL(f1 ) + bL(f2 )
Un système est invariant par translation si un déplacement de l’entrée change la position de la sortie sans
en altérer sa forme. Autrement dit, l’image d’un objet déplacé est équivalent à l’image déplacée d’un objet
[2].
L(g(x − x0 , y − y 0 )) = L(g)(x − x0 , y − y 0 )
La fonction Dirac δ(x, y) est utilisée pour représenter un point lumineux, un pulse bien confiné en espace
bidimensionnel. Un objet comprend un large nombre de ces points.
La sortie g(x, y) d’un système optique linéaire peut s’exprimer comme la superposition des sorties correspondant à la transformation de chaque point composant l’objet f (x, y). La réponse du système (sortie) à
un Dirac en entrée est appelée la réponse impulsionelle h(x, y) [2].
Z Z
g(x, y) = L(
+∞
Z Z
f (x0 , y 0 )δ(x − x0 , y − y 0 )dx0 dy 0 ) =
−∞
+∞
−∞
9
f (x0 , y 0 )L(δ(x − x0 , y − y 0 ))dx0 dy 0
9.1: Profils d’amplitude sinusoı̈dal et carré.
9.2: a) Motif carré et directions de propagation. b) Effet de la lentille.
Fig. 9 – [1]
Z Z
+∞
=
f (x0 , y 0 )h(x − x0 , y − y 0 )dx0 dy 0 = f (x, y) ∗ h(x, y)
−∞
Il s’agit de la convolution de la réponse impulsionnelle h(x, y) avec l’objet f (x, y). La sortie du système linéaire
invariant pas translation s’exprime comme la convolution de l’entrée f (x, y) avec la réponse impulsionnelle
du système h(x, y). Un moyen simple de calculer cette convolution est de passer dans le domaine de Fourier
où elle se transforme en multiplication [2] :
ĝ(px , py ) = ĥ(px , py )fˆ(px , py )
La transformée de Fourier n’est ici qu’un outil mathématique permettant de calculer efficacement une
convolution. (Le système optique est ici considéré comme une boı̂te noire, il n’y a donc pas de relation directe
avec la transformée de Fourier dans l’approximation de Fraunhofer.) ĥ(px , py ) est la fonction de transfert du
système. Elle modifie chaque composante sinusoı̈dale en entrée par une amplification et un déphasage.
La formation d’une image d’un objet par une lentille peut être considérée comme un système optique.
En considérant la lentille comme une ouverture circulaire finie (système optique sans aberration), l’image
d’une source ponctuelle (δ(x, y)) est élargie par la diffraction. Cela constitue la réponse impulsionnelle de
ce système linéaire. L’ouverture étant circulaire, il s’agit d’une fonction de Bessel. La figure 10 présente
comment déterminer par linéarité l’image d’un object représenté par une série de points lumineux. Il s’agit
d’effectuer la convolution de la réponse impulsionnelle avec l’image. Dans ce cas, cela revient à translater et
multiplier la réponse pour chaque point de l’image. La convolution de h(x, y) avec un Dirac revient à déplacer
h(x, y) à la position du Dirac et à la multiplier par la pondération du Dirac. On donne ici un exemple en
une dimension, mais le même principe peut être utilisé en deux dimensions.
On constate que le diaphragme se comporte comme un filtre spatial passe-bas. Cela a pour conséquence de
limiter la résolution de l’instrument.
10
Fig. 10 – a) Objet b) Réponse impulsionnelle c)Image [2]
5
Expérience : montage 4f
Comme dernière illustration de l’utilité de la transformée de Fourier pour le calcul de la diffraction
dans un système optique, on décrit le montage 4f (voir figure 11.1). Il permet de réaliser le filtrage d’une
image. La première lentille permet d’effectuer la transformée de Fourier de l’objet illuminé par une onde
monochromatique. Puis une deuxième lentille procède à une seconde transformée sur le spectre de l’objet. Par
les propriétés de la transformée, l’image est inversée par rapport à l’objet. Une obstruction peut être insérée
dans le plan de transformée (masque ou filtre) afin de diminuer ou bloquer certaines fréquences spatiales. Le
spectre spatial est ainsi modifié, on réalise un filtrage spatial. Si on place un masque bloquant le centre du
spectre, on va ôter les basses fréquences de l’objet. Cela a pour conséquence d’accentuer les bords de l’objet,
il s’agit d’un filtre passe-haut (voir figure 11.2). Si le masque laisse seulement passer les fréquences spatiales
centrales, on obtiendra une image lissée de l’objet, les détails de l’image sont supprimés, il s’agit d’un filtre
passe-bas. Ce raisonnement peut également s’appliquer dans le traitement d’images sur ordinateur.
11.1: Montage 4f.
11.2: Filtrage de l’objet.
Fig. 11 – [2]
11
Deux dimensions
f (r, s) =
Z
Fonction
Transformée de Fourier
f (r, s)
F (u, v)
F [F (u, v)] (r, s)
F[f (r, s)] (u, v)
+∞ Z +∞
F (u, v) ei2π(ur+vs) du dv
F (u, v) =
−∞
−∞
+∞ Z +∞
f (r, s) e−i2π(ur+vs) dr ds
1 1
F
|a| |b|
u v
,
a b
−∞
−∞
f (ar, bs)
f ∗ (r, s)
F ∗ (−u, −v)
f (r − r0 , s − s0 )
e−i2π(ur0 + vs0 ) F (u, v)
ei2π(u0 r + v0 s) f (r, s)
F (u − u0 , v − v0 )
√
r 2 + s2
ρ
ou
circ
R
circR (r, s) = circR (ρ) = 1 pour ρ ≤ R
circR (r, s) = circR (ρ) = 0 pour ρ > R
pour ρ =



 circR (ρ)
avec


 et
Z

√

u2 + v 2 R)

2 2J1 (2π

√
πR

2
2
2π u + v R
J1 est la fonction de Bessel sphérique d’ordre 1
(voir figure)

où



−π
e
2 2
b2 e−πb ρ
f (r) g(s)
!2
√
u2 + v 2
b
F (u) G(v)
On a la propriété utile :
F [f (r,s)] (u, v) = F[f (r,s)] (−u, −v)
1.2
2 J 1 ( Θ)
Θ
1
0.8
(
0.6
0.4
2 J 1 ( Θ)
Θ
Θ = 3 ,8 3
0.2
)
2
Les trois premiers zéros de J1 (θ) sont :
θ = 3.83
θ = 7.02
θ = 10.2
Θ = 5 ,1 4
Θ = 7 ,0 1 5
0
-0.2
0
5
12
10
Θ
Fig. 12 – Propriétés de la transformée de Fourier en deux dimensions [6]. Notation : F = F −1
6
Bibliographie
1. B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of Photonics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1991
2. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, 2002
3. J.P. Pérez, Optique, Masson, 5ème édition, 1996
4. René-Paul Salathé, Optique, Polycopié EPFL, 2002
5. René Dändliker, Optique appliquée I et II, Polycopié EPFL, 1996
6. Christophe Balland, 2005, Transformation de Fourier : tables et propriétés 2004-2005,
http://supernovae.in2p3.fr/∼balland/CUMUL OLD/table tf.pdf, 10.10.2005
13