Modélisation de l`interaction entre un arc électrique et une cathode

UNIVERSITE TOULOUSE III – PAUL SABATIER
U.F.R. Physique-Chimie-Automatique
THESE
en vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE TOULOUSE
délivré par l’Université Toulouse III – Paul Sabatier
Discipline : Physique et Ingénierie des Plasmas de Décharge
présentée et soutenue
par
François CAYLA
Le 5 Février 2008
Titre :
Modélisation de l’interaction entre un arc électrique
et une cathode
JURY
Président :
M. Olivier EICHWALD, Professeur de l’Université Paul Sabatier, Toulouse.
Rapporteurs :
M. Bruno CHERON, Professeur de l’Université de Rouen.
M. Pierre PROUX, Professeur de l’Université de Sherbrooke.
Examinateurs :
M. Christian ARNOUX, Ingénieur de recherche, Schneider Electric, Grenoble.
M. Pierre FRETON, Maître de conférences de l’Université Paul Sabatier, Toulouse.
M. Jean-Jacques GONZALEZ, Directeur de recherche au C.N.R.S., Toulouse.
A mes parents
A Céline
A Julien
A tous ceux qui me sont chers
Remerciements
Ce travail a été effectué au sein de l’équipe « Arc Electrique et Procédés Plasmas
Thermiques » du Laboratoire Plasma et Conversion d’Energie de Toulouse.
J’exprime ma profonde gratitude et sympathie à Monsieur Jean-Jacques GONZALEZ,
Directeur de recherche au C.N.R.S., et à Monsieur Pierre FRETON, Maître de conférences de
l’Université Paul Sabatier, qui ont dirigé ce travail de thèse. Leur disponibilité ainsi que les
discussions fructueuses ont permis l’aboutissement de ce manuscrit. Je les prie d’accepter mes
plus vifs remerciements pour l’aide et le soutien qu’ils ont pu apporter à ce travail. Qu’ils
trouvent ici l’expression de ma profonde reconnaissance et de mon estime la plus sincère.
J’exprime ma gratitude à Monsieur Olivier EICHWALD, Professeur de l’Université
Paul Sabatier, pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ma thèse. Je le prie ici de
trouver ma très sincère reconnaissance.
Je remercie aussi Monsieur Bruno CHERON, Professeur de l’Université de Rouen, et
Monsieur Pierre PROULX, Professeur de l’Université de Sherbrooke, pour m’avoir fait
l’honneur d’examiner ce travail en tant que rapporteur et d’avoir participé au jury. Leurs
critiques ont permis la rédaction finale de ce mémoire.
Je remercie Monsieur Christian ARNOUX, Ingénieur de recherche chez Schneider
Electric à Grenoble, d’avoir participé à mon jury de thèse. Je le remercie pour l’attention qu’il
a su manifester à l’égard de cette étude.
J’exprime toute ma sympathie aux personnes que j’ai pu côtoyer durant ces années de
thèse au sein du laboratoire : Mathieu MASQUERE, Yann CRESSAULT, Philippe TEULET,
Manitra RAZAFINIMANANA, Alain GLEIZES, Benoit ROUFFET, Marie-Emilie
ROUFFET, Julie BENECH, Riadh HANNACHI, Hugh HINGANA, Gaëlle ESCALIER,
Fréderic LAGO, Xavier FRANCERIES et Jacques ROLAND.
Pour terminer ces remerciements, je tiens à remercier mes parents, ma future femme
Céline ainsi que mon petit Julien qui a su me distraire à la fin de ma thèse.
AUTEUR : François CAYLA
TITRE : Modélisation de l’interaction entre un arc électrique et une cathode
DIRECTEURS DE THESE : Jean-Jacques GONZALEZ et Pierre FRETON
LIEU ET DATE DE SOUTENANCE : Toulouse, le 5 Février 2008
RESUME :
Ce travail est relatif à l’étude et à la mise en place d’un modèle décrivant l’interaction
entre un plasma thermique d’argon à la pression atmosphérique et une cathode en tungstène.
Après une étude bibliographique sur les différents modèles décrivant la zone d’interaction,
la théorie proposée par Benilov a été retenue comme base de nos développements.
Dans une seconde partie, le modèle d’interaction arc/cathode est amélioré notamment par
la prise en compte de l’émission secondaire. Le modèle est ensuite confronté et validé par des
résultats expérimentaux issus de la littérature. Notre objectif était de coupler ce modèle
d’interaction à une modélisation plus globale représentant aussi bien le passage du courant
dans la cathode, la zone d’interaction (gaine et pré-gaine) que la colonne du plasma. Nous
exposons les différents paramètres d’entrée possibles et justifions le choix de la densité de
courant.
Dans une dernière partie, le modèle d’interaction développé est couplé à un modèle
bidimensionnel (2D) de plasma thermique en écoulement. Le passage du courant entre la
cathode et le plasma est assuré grâce à une estimation de la conductivité électrique à deux
températures dans la pré-gaine. L’influence de paramètres physiques (valeurs du coefficient
d’émission secondaire, du travail de sortie,…) et géométriques sur les grandeurs
caractéristiques de la décharge (tension cathodique, champ de température dans le plasma,…)
dans une configuration d’arc libre avec une cathode cylindrique a pu être étudiée.
MOTS-CLEFS : Cathode, modélisation numérique, plasma thermique, 2D, interaction, deux
températures, flux d’énergie, chute de tension cathodique, arc électrique, gaine, pré-gaine.
PHYSIQUE ET INGENIERIE DES PLASMAS DE DECHARGE
LABORATOIRE PLASMA ET CONVERSION D’ENERGIE, UMR 5213
118 ROUTE DE NARBONNE 31026 TOULOUSE CEDEX 9
Equipe Arc Electrique et Procédés Plasma Thermique
Table des matières
Table des matières
- 11 -
Table des matières
Introduction ........................................................................................................ 17
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique .................. 23
I.
Introduction............................................................................................. 25
II.
Structure de la région cathodique ......................................................... 26
II.A.
La cathode ................................................................................................................ 26
II.B.
La gaine .................................................................................................................... 27
II.C.
La pré-gaine.............................................................................................................. 27
II.D.
Le plasma à l’ETL.................................................................................................... 27
II.E.
Conclusion................................................................................................................ 28
III.
Les modèles monothermes ..................................................................... 29
III.A.
La théorie de Lowke et ses modifications............................................................ 29
III.B.
Les limites de la théorie de Lowke....................................................................... 30
III.B.1.
Calcul des densités de courant ......................................................................... 30
III.B.2.
L’absence de zone de charge d’espace............................................................. 31
III.C.
IV.
Conclusion............................................................................................................ 31
Les modèles à deux températures.......................................................... 33
IV.A.
Les modèles à deux températures simplifiés........................................................ 33
IV.A.1.
Calcul de la densité de charges à l’interface gaine-pré-gaine ...................... 33
IV.A.2.
Le flux d’électrons rétrodiffusés .................................................................. 34
IV.A.3.
La chute de tension cathodique .................................................................... 34
IV.A.4.
Synthèse ....................................................................................................... 35
IV.B.
Les modèles complets .......................................................................................... 35
IV.B.1.
La théorie de Hsu ............................................................................................. 36
IV.B.2.
Le modèle de Riemann et Schmitz................................................................... 39
IV.B.3.
La théorie de Benilov ....................................................................................... 42
IV.B.4.
Conclusion sur les modèles complets............................................................... 50
- 12 -
Table des matières
V.
Synthèse et conclusion ............................................................................ 51
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode ............................................53
I.
Introduction............................................................................................. 55
II.
Mise en place du code retranscrivant le modèle de Benilov de 1995 . 56
II.A.
Algorithme ............................................................................................................... 56
II.B.
Conditions du calcul................................................................................................. 57
II.C.
Comparaison............................................................................................................. 57
II.C.1.
Calculs avec différentes valeurs de kr fixées.................................................... 63
II.C.2.
Etude du kr « inversé » ..................................................................................... 67
II.D.
III.
Bilan ......................................................................................................................... 69
Construction de notre modèle................................................................ 70
III.A.
Modification du flux d’électrons thermoémis ...................................................... 70
III.B.
Calcul de composition à la frontière entre le plasma à l’E.T.L. et la pré-gaine... 71
III.C.
Ajout d’un bilan énergétique................................................................................ 71
III.C.1.
Hypothèses ....................................................................................................... 71
III.C.2.
Continuité du flux d’énergie à l’interface gaine/cathode ................................. 71
III.D.
Mise en œuvre de notre modèle dans une configuration unidimensionnelle ....... 72
III.D.1.
Paramètre d’entrée............................................................................................ 73
III.D.2.
Résolution des équations.................................................................................. 73
III.D.3.
Paramètres de sortie ......................................................................................... 73
III.E.
Choix de la composition à l’interface gaine/pré-gaine......................................... 73
III.E.1.
Le calcul de composition à deux températures ................................................ 74
III.E.2.
Estimation du coefficient de recombinaison à trois corps kr(Te) ..................... 75
III.E.3.
Comparaison des densités de courant............................................................... 76
III.F.
Ajout du phénomène d’émission secondaire........................................................ 78
III.F.1.
Etude préliminaire ............................................................................................ 78
III.F.2.
Modifications des équations............................................................................. 79
III.F.3.
Etude de sensibilité........................................................................................... 80
III.F.4.
Conclusion........................................................................................................ 84
- 13 -
Table des matières
III.G.
IV.
Bilan ..................................................................................................................... 84
Comparaison avec des résultats expérimentaux et théoriques........... 86
IV.A.
Recherche de résultats dans la littérature ............................................................. 86
IV.A.1.
Résultats expérimentaux .............................................................................. 86
IV.A.2.
Résultats théoriques...................................................................................... 87
IV.B.
Comparaison......................................................................................................... 87
IV.B.1.
Etude de la puissance P .................................................................................... 87
IV.B.2.
Température de surface cathodique Tw ............................................................ 88
IV.B.3.
Etude de la chute de tension cathodique .......................................................... 90
IV.C.
V.
Conclusion............................................................................................................ 91
Etude paramétrique du modèle ............................................................. 92
V.A.
Flux d’énergie vers la cathode ................................................................................. 92
V.B.
Les densités de courant ............................................................................................ 94
V.C.
Température de surface de la cathode ...................................................................... 96
V.D.
La chute de tension cathodique U ............................................................................ 97
V.E.
Bilan de cette étude paramétrique ............................................................................ 99
VI.
Vers une adaptation du modèle d’interaction arc cathode............... 100
VI.A.
La conservation du courant ................................................................................ 100
VI.B.
Paramètre d’entrée : j ......................................................................................... 101
VI.C.
Résultats ............................................................................................................. 101
VII. Bilan........................................................................................................ 104
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions ................................................... 105
I.
Introduction........................................................................................... 107
II.
Le modèle 2D ......................................................................................... 108
II.A.
Les hypothèses ....................................................................................................... 108
- 14 -
Table des matières
II.B.
Equations de conservation...................................................................................... 109
II.C.
Résolution des équations aux dérivés partielles stationnaires................................ 111
II.C.1.
Résolution des équations de diffusion pure.................................................... 112
II.C.2.
Résolution des équations de Convection-diffusion........................................ 114
II.C.3.
Résolution du couplage pression-vitesses ...................................................... 116
III.
Interaction corps de l’arc/cathode....................................................... 117
III.A.
Développements physiques spécifiques ............................................................. 117
III.B.
Résolution des équations décrivant la zone d’interaction .................................. 120
IV.
Définition du cas de référence.............................................................. 122
V.
Résultats ................................................................................................. 126
V.A.
V.A.1.
Etude du cas de référence............................................................................... 128
V.A.2.
Etudes paramétriques ..................................................................................... 134
V.A.3.
Bilan ............................................................................................................... 148
V.B.
Chute de tension cathodique .................................................................................. 149
V.B.1.
Cas de référence ............................................................................................. 150
V.B.2.
Paramètres influençant la chute de tension cathodique.................................. 153
V.B.3.
Bilan ............................................................................................................... 158
V.C.
VI.
Passage du courant à l’interface cathode/plasma ................................................... 127
Etude du transfert thermique .................................................................................. 158
V.C.1.
Calcul de référence......................................................................................... 159
V.C.2.
Etude de différents paramètres ....................................................................... 161
V.C.3.
Bilan ............................................................................................................... 166
Conclusion.............................................................................................. 167
Conclusion ......................................................................................................... 169
Annexes.............................................................................................................. 175
Bibliographie ..................................................................................................... 183
- 15 -
Table des matières
- 16 -
Introduction
Introduction
- 17 -
Introduction
- 18 -
Introduction
Les plasmas forment un domaine de la physique peu connu du grand public alors que
cet état de la matière est omniprésent autour de nous. On peut aussi bien le trouver à l’état
naturel dans l’espace au niveau des étoiles, sur terre dans l’ionosphère, ou bien encore lors
d’une décharge de foudre, qu’au niveau de notre vie de tous les jours comme par exemple en
allumant une lampe fluorescente ou lorsqu’un interrupteur ou un disjoncteur commutent.
L’évolution vers la maîtrise et la compréhension du milieu plasma est le fruit d’études
qui ont débuté il y a deux siècles grâce à l’apparition et au développement de l’énergie
électrique. Une des premières formes de plasma entretenu, à avoir été créée en laboratoire, est
celle d’un arc électrique établi entre deux électrodes de carbone [Vac-1]. Cette expérience fut
menée au début du XIXème siècle par Davy [Vac-1]. C’est ainsi que commença l’étude des
plasmas thermiques. Les travaux menés par la suite furent principalement empiriques et ce
n’est seulement qu’au XXème siècle que les progrès les plus significatifs furent établis. Tout
d’abord la physique fondamentale, durant la première moitié du XXème siècle, apporta les
connaissances en physique atomique et en physique du solide nécessaires à une meilleure
compréhension des phénomènes constitutifs de la décharge d’arc. Par la suite, dans les années
quatre-vingt, la modélisation et l’expérimentation ont fait de nombreux progrès notamment
grâce au développement rapide de l’informatique qui constitue un outil indispensable
permettant d’avoir une connaissance de plus en plus précise des plasmas thermiques. Ainsi
des modèles d’arc bidimensionnel puis tridimensionnel [Fre-1] ont été développés, basés sur
des programmes multi-physiques de plus en plus performants. Parallèlement à cela, les
moyens de validation tels que la mesure de flux d’énergie vers les matériaux par méthode
inverse [Gon-1] ou bien la tomographie [Spe-1] ont pu être mis en place afin de pouvoir
valider de manière plus fiable les modèles existants.
Les modèles ainsi établis ont pu être appliqués afin d’optimiser des procédés tels que
la projection ou bien de maîtriser le comportement de l’arc dans des installations telles que les
disjoncteurs. Ainsi les intérêts des industriels et des chercheurs convergent vers la volonté
d’une connaissance toujours plus approfondie des mécanismes régissant le comportement du
milieu en présence d’un arc électrique. Malgré les performances avérées des modèles actuels,
certaines zones d’ombre subsistent notamment au niveau de la description des pieds d’arc. En
effet, ces régions situées à l’interface entre le plasma thermique et les électrodes nécessitent
des connaissances plus approfondies pour une meilleure description (modèles hors-équilibres,
- 19 -
Introduction
phénomènes émissifs, …). Cependant, les moyens expérimentaux de validation sont rares et
bien souvent très indirects dans ces zones de plasma proches des électrodes. Pour palier à
cette lacune et dans le but d’accroître la connaissance de ces zones hors-équilibres présentes
aux voisinages des électrodes, des modèles ont été développés. La plupart offrent seulement
une description locale du pied d’arc sans prendre en compte la problématique dans sa
globalité, à savoir, les électrodes, les zones de gaine et de pré-gaine et la colonne.
Actuellement, les travaux relatifs à la description de la zone anodique ont pu être
couplés à la modélisation de la colonne d’arc. Citons à titre d’exemple le modèle de Lago
[Lag-2], validé par des mesures expérimentales obtenues par Masquère [Mas-1], qui permet
une description du plasma en écoulement et de son interaction avec une électrode ainsi qu’une
continuité du passage du courant depuis la pointe de la cathode jusqu’à son évacuation en
fond d’anode. Le parallèle de ces travaux côté cathodique n’a jamais été réellement réalisé.
En effet les modèles existants ne prennent pas vraiment en compte la conservation du courant
dans tout le domaine, en particulier à l’interface cathode/plasma où généralement une tache
d’accrochage, de dimension prédéterminée est imposée [Pau-1].
Ainsi la motivation de cette thèse va être de développer un modèle auto-cohérent
d’interaction entre le plasma thermique créé par un arc électrique et le corps de la cathode en
conservant le courant depuis son entrée dans la cathode jusqu’à la surface de l’anode. Pour
cela notre étude s’articulera en trois temps correspondant chacun à un chapitre de ce
manuscrit.
Le chapitre I présentera une synthèse des principales théories existantes pour la
description de la zone cathodique. L’objectif de ce chapitre ne sera pas de faire une liste
exhaustive des modèles existants et de leurs variantes mais d’avoir une vue d’ensemble des
principales théories et des concepts fondamentaux que l’on peut trouver dans la littérature sur
l’interaction arc/cathode à la pression atmosphérique. Ainsi deux familles de modèles vont
être présentées : celle à l’équilibre et celle hors équilibre thermodynamique. Ces deux familles
rassemblent les modèles développés depuis une trentaine d’années. Leurs spécificités vont
être décrites dans les grandes lignes. De cette étude vont découler les bases de notre modèle
d’interaction présenté dans le chapitre II.
Le chapitre II va permettre de construire le modèle d’interaction qui se basera sur les
concepts mis en avant dans le premier chapitre. Ce travail sera mené dans l’optique d’une
- 20 -
Introduction
application de ce modèle à une description globale de l’arc. On entend par description
globale, une modélisation qui englobe aussi bien la circulation du courant dans l’électrode
depuis son entrée jusqu’à la circulation dans la colonne du plasma en passant par une
description physique de l’interface. Le point de départ de notre modèle sera celui de Benilov
et al [Ben-2]. Des modifications, permettant de prendre en compte les autres travaux cités
dans le chapitre I, seront ensuite effectuées. Ainsi l’introduction du phénomène d’émission
secondaire et son influence sur les grandeurs physiques de la zone d’interaction cathodique
vont être présentées. Les résultats du modèle 1D seront ensuite comparés à des mesures
expérimentales issues de la littérature et une étude paramétrique sera présentée. Enfin l’étude
de notre modèle d’interaction arc/cathode se poursuivra par l’utilisation de la densité de
courant comme seul paramètre d’entrée afin de préparer l’implantation de notre description de
la zone cathodique dans le modèle 2D d’arc présenté dans le chapitre suivant.
Le chapitre III présentera, dans un premier temps, les grandes lignes du modèle
décrivant la colonne du plasma ainsi que les spécificités pour effectuer son couplage avec la
description de la cathode et de son proche voisinage. Nous exposerons ensuite les principaux
résultats qui peuvent être obtenus à partir d’un cas de référence. Notre modèle de couplage
entre la cathode et la colonne du plasma, bien qu’auto-cohérent, est tributaire de grandeurs
physiques plus ou moins connues. Nous présenterons donc une étude paramétrique sur les
principales grandeurs gouvernant la représentation de la zone cathodique. Une des grandeurs
obtenue par notre modèle et qui pose souvent problème est la valeur de la chute de tension
cathodique. Nous proposerons donc une étude de sensibilité de cette valeur à différents
paramètres. Enfin une discussion et une présentation des résultats relatifs au transfert
thermique vers la cathode seront exposées avant de conclure.
- 21 -
Introduction
- 22 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
Chapitre 1 : Etat de l’art de
différents modèles de zone
cathodique
- 23 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 24 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
I. Introduction
La modélisation de la zone cathodique est un sujet qui anime « la communauté
scientifique » depuis le début du XXème siècle. Les premières personnes ayant travaillé sur ce
sujet sont Tonks et Langmuir [Ton-1] et Mackeown [Mac-1]. Ceux-ci ont publié leurs
travaux en 1929. Cependant, cela fait seulement 30 ans que le sujet est activement étudié
notamment dans les arcs à des pressions proches de la pression atmosphérique. Pendant cette
dernière période, de nombreux modèles sont apparus mais manquent de validations
expérimentales. Il est en effet difficile d’effectuer un diagnostic au proche voisinage de la
surface de la cathode. Néanmoins de récentes études expérimentales [Nan-2] ont permis de
valider partiellement certains modèles décrivant la région cathodique.
Ce premier chapitre a pour objectif de donner une vue d’ensemble des principaux
modèles de zone cathodique. Dans notre étude nous n’avons pas pris en compte les modèles
de spots cathodiques décrits par certains auteurs comme Jüttner [Jüt-1]. En effet, la durée de
vie du spot est négligeable (≈ 10 ns) devant les constantes de temps caractéristiques de la
décharge (≈ ms). Ainsi nous nous sommes focalisés sur les modèles prenant en compte les
effets moyens dans le temps de l’interaction entre le plasma et la cathode.
Notre étude nous amène tout d’abord à présenter le point commun de tous ces
modèles : la structure de la région cathodique. Par la suite, deux grandes familles de modèles
vont être présentées :
¾ Les modèles monothermes, décrits principalement par la théorie de Lowke et ses
variantes, considèrent la zone cathodique comme une région dont la température des
électrons est égale à la température des lourds (ions et neutres).
¾ Les modèles à deux températures, plus ou moins complexes, considèrent que le
plasma proche de la cathode a une température électronique différente de la
température des lourds. Parmi ces modèles à deux températures celui de Benilov et al
[Ben-2] va être décrit de manière plus détaillée car il va constituer la base de notre
modèle d’interaction arc-cathode présenté dans le chapitre 2.
- 25 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
II. Structure de la région cathodique
Il est reconnu que la région cathodique peut être structurée principalement en quatre
zones lorsque le plasma est à la pression atmosphérique. Celles-ci sont très bien décrites par
Benilov [Ben-2]. La figure (FI-01) illustre cette structure qui est constituée de la cathode, de
la gaine, de la pré-gaine et du plasma.
cathode
Gaine
≈ 0.01 µm
(Zone de charge d’espace)
Pré-gaine
(Zone d’ionisation)
≈ 100 µm
Plasma
Figure (FI-01) : Structure de zone cathodique généralement admise
II.A. La cathode
La première région de la figure (FI-01), que nous décrirons, est la cathode qui est
caractérisée par sa conductivité thermique, sa conductivité électrique et par le travail de sortie
du matériau. Ces trois grandeurs sont déterminantes : la première va permettre de prendre en
compte l’évacuation de l’énergie par conduction thermique, la seconde la capacité à conduire
le courant et la troisième la capacité à émettre des électrons.
La surface de la cathode en contact avec le plasma va interagir très fortement avec la
gaine en recevant un flux d’énergie dont les valeurs moyennes dans le temps peuvent être
supérieures à 108 W.m-2 [Ben-2]. De plus c’est de la cathode que sont émis les électrons
entrant dans le plasma.
- 26 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
II.B. La gaine
La gaine est une région aussi appelée « zone de charge d’espace » car il y règne une
charge d’espace positive. C’est une région dont la taille est de l’ordre de la longueur de Debye
(λd) qui traduit la distance maximale pour laquelle il peut exister un déséquilibre de charge
électrique. Cette longueur s’exprime de la manière suivante :
⎡ ε kT ⎤
λd = ⎢ 0 2 e ⎥
⎣ e n ⎦
12
(EI-01)
Où ε0 correspond à la permittivité du vide, k la constante de Boltzmann, Te la température des
électrons à l’interface gaine/pré-gaine, e la charge élémentaire et n la densité de charge à
l’interface gaine/pré-gaine. Typiquement, ce déséquilibre de charge s’étend de 0.01 à 0.1 µm
pour des températures de l’ordre de 10000 K.
Dans cette région il existe un champ électrique très intense qui va accélérer les
électrons émis par la cathode entretenant ainsi l’excitation et l’ionisation du gaz dans la prégaine. De la même manière, les ions créés dans la pré-gaine vont être accélérés du plasma
vers la cathode par ce champ électrique.
II.C. La pré-gaine
La pré-gaine est aussi appelée « zone d’ionisation ». Ce nom vient du fait que c’est
dans cette région que l’ionisation va être prépondérante. En effet les électrons venant de la
cathode vont entrer en contact avec le gaz et effectuer une multitude de collisions (élastiques
et inélastiques) qui vont permettre à la décharge de s’entretenir. Par conséquent cette région
est dite « collisionnelle » et peut être décrite par les équations de la mécanique des fluides
dans le cas d’un plasma à la pression atmosphérique. L’ordre de grandeur de la taille de cette
région est de plusieurs dizaines de microns.
II.D. Le plasma à l’ETL
Cette région est considérée à l’équilibre thermodynamique local [San-1]. En effet, les
électrons qui proviennent de la cathode ont échangé la majorité de leur énergie dirigée par
- 27 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
l’intermédiaire des collisions élastiques et inélastiques. Par conséquent, c’est à partir de cette
région que l’on peut dans la majorité des cas décrire le plasma avec une seule température.
II.E. Conclusion
Nous venons de montrer que la structure générale de la zone cathodique peut être
articulée autour de quatre zones étroitement liées. Au cours de ce mémoire, cette structure va
être conservée.
Malgré le fait que l’on puisse avoir en point commun des modèles existants la
structure que l’on vient de décrire, des différences notables peuvent être observées dans les
approches proposées dans la littérature pour décrire la zone cathodique. Ainsi il ressort deux
grandes familles : les modèles à une température (monothermes) et les modèles à deux
températures.
- 28 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
III. Les modèles monothermes
Les modèles monothermes existants sont principalement basés sur la théorie de Lowke
publiée en 1992 [Low-1]. Celle-ci a subi quelques modifications au cours des années [Zhu1][Mor-1][Low-2][Low-3] pour aboutir à la version proposée par Sansonnens et al [San-1]
dans le cadre d’un modèle de cathode réfractaire.
III.A. La théorie de Lowke et ses modifications
La théorie de Lowke ne prend pas en compte la zone de charge d’espace. La pré-gaine
est considérée comme une région monotherme dont la composition est modifiée par la
diffusion ambipolaire créée par les ions qui migrent vers la cathode. Ainsi la densité
électronique proche de la cathode est plus importante que celle à l’Equilibre
Thermodynamique Local (E.T.L.) favorisant le passage du courant de la cathode au plasma.
Ce phénomène d’enrichissement électronique revient à considérer un déséquilibre chimique
au sein de la zone d’ionisation.
Ainsi pour obtenir la densité électronique à proximité de la cathode, l’équation de
continuité de la densité électronique est utilisée afin de tenir compte des phénomènes de perte
et de création de charges.
Grâce au calcul de la distribution de densité électronique à proximité de la cathode, la
conductivité électrique peut être calculée et ainsi le passage du courant entre la cathode et le
plasma est assuré de manière auto cohérente. Il est à noter que la définition de la conductivité
électrique diffère entre l’article de Lowke et al [Low-2] et l’article de Sansonnens et al [San1]. En effet dans le premier, le champ électrique proche de la cathode intervient ce qui n’est
pas le cas dans le second article. L’approche de Lowke et al [Low-2] permet de tenir compte
du champ électrique important en surface de la cathode qui va favoriser l’ionisation du gaz à
son proche voisinage. Celle de Sansonnens et al [San-1] quant à elle est plus classique et
plus rigoureuse car elle utilise la formulation de la conductivité électrique proposée par
Mitchner et Kruger [Mit-1].
- 29 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
Pour pouvoir calculer la densité de charges proche de la cathode il est nécessaire de
résoudre l’équation d’énergie. Afin d’avoir la température à la surface qui constitue une
condition aux limites de l’équation d’énergie, Sansonnens et al [San-1] décomposent le flux
d’énergie à la surface de la cathode en trois contributions :
¾ La première contribution provient du rayonnement du matériau de cathode. Elle est
prise en compte au travers de la loi d’émission du corps gris :
q rad = −εσT 4
(EI-02)
Où ε est l’émissivité de la surface, σ la constante de Stefan-Boltzmann et T la
température de la surface.
¾ La seconde contribution est donnée par le flux d’énergie créé par les électrons quittant
la surface de la cathode qui emportent une énergie égale à celle du travail de sortie des
électrons.
¾ La troisième contribution est constituée par l’énergie d’ionisation apportée par le flux
d’ions se neutralisant à la surface de la cathode.
La définition du flux d’énergie vers la cathode nécessite de connaître le flux d’ions qui
arrive à la cathode et le flux d’électrons qui la quitte. Ces deux flux de particules sont
déterminés à partir des densités de courant. La détermination de ces flux constitue une des
limites de la théorie de Lowke, l’autre limite étant l’absence de prise en compte de la zone de
charge d’espace.
III.B. Les limites de la théorie de Lowke
III.B.1.
Calcul des densités de courant
Dans son modèle, Lowke définit la densité de courant ionique ji de la manière
suivante :
⎧ ji = j − j em si j em ≤ j
⎨
⎩ ji = 0 sinon
(EI-03)
Où jem est la densité de courant thermoémis et j la densité de courant totale.
La densité de courant électronique je est définie de telle manière que j = je + ji .
La formulation (EI-03) pose alors un problème car le lien entre la densité de courant
électronique totale je et jem n’est pas explicité dans les articles basés sur la théorie de Lowke.
Par conséquent, dans le cas où jem est supérieur à j, la conservation de la densité de courant
- 30 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
totale ne sera pas assurée car la densité de courant thermoémise est due à un phénomène
thermique alors que la densité de courant totale traduit un phénomène électromagnétique de
transport de charges. Il manque donc une composante électronique qui permettrait
d’équilibrer l’équation de conservation de la densité de courant totale j. Cette composante
pourrait être la densité de courant provenant des électrons rétrodiffusés qui vont du plasma à
la cathode. Cependant cette hypothèse n’est pas avancée dans la théorie de Lowke.
III.B.2.
L’absence de zone de charge d’espace
La théorie de Lowke ne prend pas en compte la zone de charge d’espace négligeant
ainsi le phénomène d’accélération des charges dans cette région. Cela pose alors le problème
de l’entretien de la décharge sur le plan microscopique. En effet, l’énergie thermique des
électrons venant de la cathode est de l’ordre de 0.1eV ce qui est très loin de l’énergie
permettant d’ioniser l’argon neutre (celle-ci est de 15.9 eV). Cependant sur le plan
macroscopique la décharge est entretenue grâce au chauffage du gaz par effet Joule qui est
créé par le passage du courant. Ce passage à l’interface gaine/pré-gaine est favorisé grâce à la
conductivité électrique corrigée à proximité de la cathode.
III.C. Conclusion
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur la théorie de Lowke sont
résumés dans le tableau (TI-01).
Avantages
Inconvénients
¾ Théorie intégrée dans une description
bidimensionnelle de l’arc.
¾ La conductivité électrique à proximité
de la surface de la cathode tient
compte des propriétés physiques de la
zone cathodique.
¾ La densité de courant à la surface de
la cathode est utilisée comme
paramètre d’entrée du modèle
d’interaction cathodique.
¾ Modèle à une température non
approprié pour décrire la zone
d’interaction [Hai-2]
¾ Incohérences dans l’expression des
densités de courant dans la zone
d’interaction.
¾ Pas de description de la zone de
charge d’espace.
Tableau (TI-01) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Lowke
- 31 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
Malgré les inconvénients cités ci-dessus, la théorie de Lowke est une des rares à avoir
été intégrée dans une configuration d’arc libre dans un modèle 2D axisymétrique [Low1][Low-2][San-1][Zhu-1][Fle-1].
Le résultat principal qui peut être retenu de cette théorie est que la conductivité
électrique à proximité de la cathode doit tenir compte des phénomènes physiques intervenant
dans la description de la zone cathodique. Ainsi, le passage du courant est conditionné d’une
part par l’état du gaz à proximité de la cathode et d’autre part par l’émission électronique.
La deuxième grande famille, qui utilise une approche très différente de celle de
Lowke, qui est monotherme, est celle des modèles à deux températures. Contrairement aux
modèles monothermes, les modèles à deux températures sont nombreux et très variés. Nous
allons exposer maintenant les principaux modèles que nous avons retenus allant des plus
simples aux plus complexes.
- 32 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
IV. Les modèles à deux températures
L’idée centrale des modèles à deux températures consiste à considérer l’existence d’un
déséquilibre thermodynamique dans le plasma proche de la cathode dû à une différence de
température entre les lourds et les électrons. A partir, de cette hypothèse les modèles
d’interactions se déclinent sous des formes diverses.
IV.A. Les modèles à deux températures simplifiés
Des modèles simplifiés, à deux températures, ont été proposés par Zhou et al [Zho-1]
[Zho-2] et Coulombe et al [Cou-1]. Trois points importants de leurs approches vont être
présentés :
¾ La manière de calculer la densité de charges à l’interface gaine/pré-gaine
¾ L’introduction et le calcul du flux d’électrons rétrodiffusés
¾ La manière de déterminer la chute de tension cathodique
IV.A.1.
Calcul de la densité de charges à l’interface gaine-
pré-gaine
L’appellation « simplifiée » vient du fait que ces auteurs n’effectuent pas de calculs
hydrodynamiques dans la zone d’ionisation afin de déterminer la densité de charge à
l’interface gaine/pré-gaine (figure (FI-01)). A la place de ce calcul, qui peut rapidement être
complexe à cause du déséquilibre thermodynamique, Zhou et al [Zho-1] [Zho-2] et
Coulombe et al [Cou-1] préfèrent utiliser un calcul de composition à deux températures basé
sur l’approche de Richley et al [Ric-1].
La température des particules lourdes est égale à la température de surface dans les
modèles de Zhou et al [Zho-1] et Coulombe et al [Cou-1]. Cette hypothèse semble légitime
car les particules lourdes ne peuvent pas échanger d’énergie avec les électrons du fait de
l’absence de collisions dans la gaine. Néanmoins, les particules lourdes, se trouvant dans la
gaine, ont leur température qui atteint celle de la surface de la cathode lors du contact avec
celle-ci.
- 33 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
La détermination de la température électronique par contre diffère entre les deux
modèles.
Dans le modèle de Zhou et al [Zho-1] la température électronique à l’interface gaine/prégaine est déterminée à partir du principe de minimisation de Steenbeck [Pai-1][Li-1].
Coulombe et al [Cou-1] ne considèrent pas l’équation d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine
et effectuent une étude paramétrique suivant la température électronique.
IV.A.2.
Le flux d’électrons rétrodiffusés
Zhou et al [Zho-1] et Coulombe et al [Cou-1] considèrent tous deux que le flux
d’électrons susceptible de revenir à la cathode peut être calculé à partir d’une densité
électronique réduite. Cela signifie qu’ils utilisent la densité électronique trouvée à partir du
calcul de composition à laquelle est retranchée une contribution électronique apportée par les
électrons thermoémis. La formulation du flux d’électrons apparaissant à la frontière gaine/prégaine et pouvant revenir à la cathode est alors la suivante :
⎛ eU
φ rd = −(n e 2T − n em ) v e exp⎜⎜
⎝ kTes
⎞
⎟⎟
⎠
(EI-04)
Où Φrd est le flux d’électrons rétrodiffusés, e est la charge élémentaire, ne2T correspond à la
densité électronique du calcul de composition à deux températures, nem correspond à la
densité électronique apportée par les électrons venant de la cathode, ve est la vitesse
thermique des électrons provenant de la zone d’ionisation, U est la chute de tension dans la
gaine, k est la constante de Boltzmann et Tes est la température électronique à l’interface
gaine/pré-gaine.
IV.A.3.
La chute de tension cathodique
Coulombe et al [Cou-1] fixent la chute de tension cathodique afin d’avoir le bilan
énergétique à l’interface zone de charge d’espace/cathode. Par contre, Zhou et al [Zho-2] ont
pour objectif de se fixer un minimum de paramètres : pression, courant total et température
électronique. La chute de tension dans la gaine est déterminée grâce aux bilans d’énergie à
l’interface gaine/pré-gaine.
- 34 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
IV.A.4.
Synthèse
Les avantages et les inconvénients des modèles à deux températures simplifiés sont regroupés
dans le tableau (TI-02).
Avantages
Inconvénients
¾ La
composition
à
l’interface
gaine/pré-gaine est déterminée à
partir d’un calcul de composition à
deux températures.
¾ Le flux d’électrons rétrodiffusés dans
la gaine est pris en compte.
¾ La température des particules lourdes
dans la gaine est égale à celle de la
surface de la cathode
¾ Modèles non introduits dans une
description bidimensionnelle de l’arc.
¾ Nécessité
de
fixer
plusieurs
paramètres tels que la chute de
tension cathodique et la température
électronique.
Tableau (TI-02) : Avantages et inconvénients des modèles à deux températures simplifiés
Deux points sont à retenir de ces modèles :
9 L’idée d’un calcul de composition à l’interface gaine/pré-gaine est intéressante
car elle permet de déterminer la densité de charges à cette interface sans passer
par un modèle hydrodynamique à deux températures.
9 L’hypothèse qui consiste à supposer la température des ions à l’interface
gaine/pré-gaine égale à celle de la surface de la cathode.
IV.B. Les modèles complets
Dans la partie précédente, les modèles « simplifiés », ne tenant pas compte de ce qui
se passe dans la zone d’ionisation, ont été présentés dans leurs grandes lignes. Dans la famille
des théories à deux températures, il existe des modèles plus complets qui sont souvent cités
par la communauté. Par le terme « complet » nous entendons une description prenant en
compte la gaine et la pré-gaine et plus particulièrement l’hydrodynamique de la pré-gaine. Les
plus aboutis sont les modèles de Hsu et al [Hsu-1], de Schmitz et al [Sch-2] et de Benilov et
al [Ben-2]. Cette partie va permettre de comprendre les principales idées directrices de ces
modèles.
- 35 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
IV.B.1.
La théorie de Hsu
Le modèle de Hsu et al [Hsu-1] est très élaboré au niveau de la description de la zone
de charge d’espace et de la zone d’ionisation. Cette partie a pour objectif de montrer les idées
directrices de ce modèle pour chaque région de la zone cathodique traitée par cette théorie.
¾ Le plasma à l’ETL
Le plasma à l’E.T.L. apparaît dans le modèle au travers des conditions aux limites
suivantes :
•
la densité de courant (j = 1.2 108 A.m-2)
•
la température du plasma à l’ETL (Télectrons=Tlourds=21000 K)
•
Le gradient de température (-4 107 K/m)
•
Le champ électrique (-1.45 104 V/m)
•
La densité électronique (1.727 1023 m-3)
•
Le gradient de densité électronique (1.692 1024 m-4)
Les conditions aux limites à l’interface pré-gaine/plasma à l’E.T.L. permettent de résoudre les
équations de conservation du flux électronique et ionique dans la zone de charge d’espace et
dans la zone d’ionisation. La chute de tension dans la zone cathodique est déduite de mesures
expérimentales et fixée à 8.5V.
¾ La zone de charge d’espace
La zone de charge d’espace est considérée comme non collisionnelle c'est-à-dire que
les électrons et les ions vont être en chute libre soumis à un champ électrique intense. Dans
cette région Hsu résout l’équation de Poisson permettant ainsi d’assurer la conservation de la
charge électrique. A la différence des modèles monothermes, il considère trois contributions
de charge dans cette région : le flux d’ions, le flux d’électrons provenant de la cathode et le
flux d’électrons rétrodiffusés comme le montre la figure (FI-02).
- 36 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
Cathode
Φi
Φrd
Φcath
Gaine (zone de
charge d’espace)
Pré-gaine (zone
d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Figure (FI-02) : Représentation schématique du flux d’ions (Φi), du flux d’électrons
rétrodiffusés (Φrd) et du flux d’électrons provenant de la cathode (Φcath)
Il est à noter que le flux d’électrons provenant de la cathode n’est pas défini par une
loi telle que celle de Richardson-Duschmann. Par contre, Rethfeld et al [Ret-1], qui appuient
leurs travaux sur ceux de Hsu, définissent explicitement le flux d’électrons thermoémis par la
loi de Richardson-Duschmann [Ash-1] :
φ cath =
⎛ W
4πk 2 m e 2
Tw exp⎜⎜ −
3
h
⎝ kTw
⎞
⎟⎟
⎠
(EI-05)
¾ La zone d’ionisation
Dans le modèle de Hsu, cette région est collisionnelle et à deux températures. Hsu
considère deux équations de conservation de la charge et deux équations de l’énergie afin de
dissocier les phénomènes relatifs aux électrons et aux ions.
Les équations de conservation de la charge considèrent l’ionisation et la
recombinaison à trois corps. Pour obtenir le taux d’ionisation, Hsu utilise la formulation de
Potapov [Pot-1] qui généralise la loi de Saha permettant ainsi d’avoir la composition du
plasma à deux températures. Il est à noter que la formulation de Potapov n’est plus utilisée à
l’heure actuelle car il a été montré que celle-ci était erronée sur le plan thermodynamique
[Van-1].
- 37 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
L’équation de conservation de l’énergie électronique considère le flux de conduction
thermique, le flux enthalpique des électrons, les pertes dues aux collisions inélastiques et
élastiques avec les lourds et les pertes radiatives et l’énergie électrostatique.
Enfin l’équation de conservation de l’énergie ionique prend en compte l’énergie
électrostatique, l’énergie due aux collisions élastiques ainsi que l’énergie due à la conduction
thermique.
¾ Conclusions
Le modèle de Hsu décrit la zone d’ionisation avec un formalisme hydrodynamique à
deux températures. Si une description de la zone d’ionisation devait être faite, le modèle de
Hsu semblerait être une bonne alternative.
Cette approche est cependant limitée actuellement par le manque de données de base
notamment au niveau du calcul des coefficients de transport à deux températures. D’autre part
le modèle mis en place dans les articles [Hsu-1] et [Ret-1] est mis en application pour une
seule valeur de la densité de courant (1.2 108 A.m-2). Ces articles ne permettent pas de savoir
si la théorie de Hsu est applicable à d’autres valeurs de densités de courant.
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur la théorie de Hsu sont
regroupés dans le tableau (TI-03).
Avantages
Inconvénients
¾ Modèle fluide à deux températures
pour décrire la pré-gaine.
¾ Le paramètre d’entrée du modèle est
la densité de courant
¾ Prise en compte du flux d’électrons
rétrodiffusés
¾ Couplage avec la cathode jamais
réellement réalisé.
¾ Calcul des coefficients de transport
utilisant un calcul de composition
obsolète [Pot-1]
¾ Théorie testée seulement pour des
valeurs de la densité de courant
élevées (supérieurs à 108 A.m-2).
Tableau (TI-03) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Hsu
Le point que nous pouvons retenir de cette théorie est que la densité de courant à la
surface de la cathode peut constituer un paramètre d’entrée du modèle d’interaction
arc/cathode.
- 38 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
IV.B.2.
Le modèle de Riemann et Schmitz
Le modèle de Riemann et Schmitz [Sch-1][Sch-2] est original de par son approche
pour traiter la zone cathodique. En effet, il utilise une description fine sur le plan structurel
mais aussi sur le plan du formalisme, allant jusqu'à l’utilisation de l’équation de Boltzmann
collisionnelle pour la description d’une partie de la zone d’ionisation appelée milieu de
Knudsen (cf. figure (FI-03)).
Cathode
Gaine (zone de
charge d’espace)
Zone de Knudsen
Pré-gaine (zone
d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Figure (FI-03) : Représentation schématique de la zone cathodique prenant en compte la
subdivision de la pré-gaine appelée milieu de Knudsen
¾ La structure de la zone cathodique
Cette théorie décrit plus précisément la zone cathodique, qui est subdivisée en quatre
parties représentées sur la figure (FI-03) :
•
Le plasma à l’ETL apparaît au travers de conditions aux limites de la pré-gaine.
•
La pré-gaine est subdivisée en deux régions : la zone d’ionisation aussi appelée zone
de transition et le milieu de Knudsen dans lequel il peut y avoir des collisions mais pas
d’ionisation.
•
La zone de charge d’espace qui est considérée comme non collisionnelle.
•
Le corps de la cathode
- 39 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
¾ Le plasma à l’E.T.L.
Le plasma à l’E.T.L. intervient au travers d’un calcul de composition pour un plasma
d’argon ionisé une fois.
¾ La pré-gaine
Cette région est étudiée en détail dans l’article Schmitz et al [Sch-1]. Comme évoqué
ci-dessus, cette zone est divisée en deux sous régions :
•
La zone d’ionisation est décrite macroscopiquement par une approche
hydrodynamique simplifiée permettant de trouver le profil de densité de charge
dans cette région.
•
Le milieu de Knudsen quant à lui est décrit par l’équation de Boltzmann
collisionnelle où les ions créés dans la zone d’ionisation peuvent entrer en
collision avec des neutres.
L’article de Schmitz et al [Sch-2] présente le lien entre la densité de charge à l’interface
gaine/pré-gaine et la densité de charge à l’interface pré-gaine/plasma grâce à une formule
provenant du travail présenté dans un précédent article.
La chute de tension dans la pré-gaine est donnée par le facteur de Boltzmann qui est
aussi utilisé par Benilov et al [Ben-2].
¾ La zone de charge d’espace
Dans cette région la densité électronique est décrite par une loi exponentielle
dépendante de la température des électrons et de la chute de tension dans la gaine. Cette
formulation est classique dans le cadre d’un plasma ionisé en contact avec une paroi. Celle-ci
est donnée par la formule suivante :
⎛ eU s
n e = n es exp⎜⎜ −
⎝ kTe
⎞
⎟⎟
⎠
(EI-06)
Où nes est la densité électronique à l’interface gaine/pré-gaine, Us est la chute de tension dans
la gaine, k est la constante de Boltzmann et Te est la température électronique à l’interface
gaine/pré-gaine.
- 40 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
La densité de courant ionique dans cette région est constante car c’est une région non
collisionnelle. Elle est donnée par la résolution du courant ionique dans le milieu de Knudsen
qui juxtapose la zone de charge d’espace.
La condition aux limites concernant la vitesse des ions à l’interface gaine/pré-gaine est
intéressante. Cette notion vient de la physique des plasmas hors équilibre : c’est le critère de
Bohm. Ce critère donne la vitesse minimale que doivent atteindre les ions dans la pré-gaine
afin de rompre l’équilibre de charge et par la suite rejoindre la cathode. Riemann a étudié ce
critère [Rie-1] formulé de la manière suivante :
kTe
mi
vs =
(EI-07)
Où k est la constante de Boltzmann, Te la température électronique à l’interface gaine/prégaine et mi la masse de l’ion. Cette formule a été généralisée par Benilov [Ben-4], Valentini
et al [Val-1] et Riemann [Rie-3] pour pouvoir être appliquée à n’importe quel gaz.
¾ La cathode
La cathode intervient dans ce modèle grâce à un bilan de puissance à l’interface zone
de charge d’espace/cathode. Celui-ci prend en compte différentes composantes :
•
L’énergie apportée par les ions sous formes enthalpique, cinétique, sans oublier
l’énergie apportée par les ions lors de la recombinaison à la surface de la cathode.
•
L’énergie perdue par thermoémission et par rayonnement.
•
L’énergie que peut absorber la cathode au travers d’un terme de conduction.
¾ Conclusion
Le modèle de Riemann et Schmitz, développé dans l’argon, semble plus précis que les
autres modèles, présentés dans la littérature, relatifs à la description de la zone d’ionisation.
Le problème est que la synthèse de celui-ci [Sch-2] comporte de nombreuses formules
présentant des valeurs numériques rendant difficile une adaptation du modèle à d’autres gaz.
De plus la description plus précise apportée par ce modèle donne des résultats proches du
modèle de Benilov [Nan-2] qui lui ne modélise pas le milieu de Knudsen.
Enfin dans le bilan d’énergie à l’interface zone de charge d’espace/cathode, le fait de tenir
compte du flux d’énergie perdu par rayonnement de corps noir est discutable si on ne tient pas
compte du rayonnement provenant du plasma.
- 41 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur les travaux de Riemann et
Schmitz sont regroupés dans le tableau (TI-04).
Avantages
Inconvénients
¾ Le modèle de la zone d’interaction
cathodique fait intervenir une
description du milieu de Knudsen
permettant ainsi d’avoir une transition
entre la zone d’ionisation et la gaine.
¾ Le flux d’électrons rétrodiffusés est
pris en compte dans la gaine.
¾ Ces travaux sont difficilement
adaptables à d’autres gaz (coefficients
numériques)
¾ La complexité apportée par ces
travaux est inutile (résultats proches
de ceux obtenus par Benilov
présentés dans article de Nandelstädt
et al [Nan-2])
Tableau (TI-04) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Riemann et Schmitz
IV.B.3.
La théorie de Benilov
Au cours des dix dernières années cet auteur a été très prolifique dans le domaine de
l’étude de l’interaction arc-cathode. Sa théorie a beaucoup évolué depuis celle présentée en
1993 [Ben-1]. C’est son article de 1995 [Ben-2] qui pose les bases du modèle qu’il a modifié
au fil des années [Ben-2]-[Ben-13]. Nous allons nous baser sur le modèle de 1995 pour
exposer les idées qui structurent le modèle encore en 2005 [Ben-12].
Dans son modèle, Benilov considère les phénomènes aux frontières de chaque région
de la zone cathodique (cf. figure (FI-04)) :
•
A l’interface zone de charge d’espace/cathode, le flux d’énergie qui va du plasma vers
la cathode est défini.
•
A l’interface zone d’ionisation/zone de charge d’espace l’équation de conservation de
l’énergie électronique est considérée.
- 42 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
Cathode
Bilan énergétique 1
Calcul du flux d’énergie
provenant du plasma
allant vers la cathode
Gaine (zone de
charge d’espace)
Bilan énergétique 2 :
Conservation de
l’énergie électronique
Pré-gaine (zone
d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Figure (FI-04) : Schéma du positionnement des bilans énergétiques
Les grandeurs qui font le lien entre ces trois régions sont les flux de particules dans la
zone de charge d’espace qui, dans ce modèle, est considérée comme non-collisionnelle.
Notons qu’il existe une version du modèle avec une gaine collisionnelle pour les plasmas
haute pression (de l’ordre de la dizaine d’atmosphères) [Ben-5] .
¾ Les flux de particules
Les flux de particules sont au nombre de trois :
•
le flux d’électrons thermoémis φ em , défini à partir de la loi de Richardson
Schottky par la forme suivante :
φ em
•
⎛ W − ΔW ⎞
A
⎟ avec ΔW =
= Tw2 exp⎜⎜ −
kTw ⎟⎠
e
⎝
(EI-08)
le flux d’électrons rétrodiffusés φ bd , donné grâce au facteur de Boltzmann :
⎡
⎛ eU s
φ bd = n e v e = ⎢n es exp⎜⎜ −
⎝ kTe
⎣
•
e3E c
4πε 0
⎞⎤ Ce
8kTe
⎟⎟⎥
avec Ce =
πm e
⎠⎦ 4
(EI-09)
le flux d’ions φ i , déterminé à partir de la densité d’ions à l’interface gaine/prégaine et à une reformulation du critère de Bohm prenant en compte la
température électronique, la température ionique et la charge moyenne des
ions :
φ i = n is v is = n is
- 43 -
k (Tis + ZTe )
mi
(EI-10)
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
La légende de chacune des grandeurs est donnée par le tableau (TI-05) cidessous.
nis
Densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine
Z
Charge moyenne des ions
Te
Température électronique
Tis
Température des ions à l’interface gaine/pré-gaine
Us
Chute de tension dans la gaine
nes
Densité électronique à l’interface gaine/pré-gaine
Tw
Température de la surface de la cathode
W
Travail de sortie des électrons
ΔW
Réduction Schottky
k
Constante de Boltzmann
ε0
Permittivité du vide
e
Charge élémentaire
me
Masse de l’électron
mi
Masse des ions
A
Facteur pré-exponentiel dépendant du matériau
Ec
Champ électrique à la surface de la cathode
Tableau (TI-05) : Notations utilisées dans les formules (EI-08)-(EI-10)
Ces flux sont représentés sur la figure (FI-05).
Cathode
Φi
Φbd
Φem
Gaine (zone de
charge d’espace)
Pré-gaine (zone
d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Figure (FI-05) : Représentation des flux dans la gaine
- 44 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
¾ La zone d’ionisation (pré-gaine)
Pour décrire cette zone, Benilov considère les électrons, les ions et les atomes comme
plusieurs fluides [Ben-3] dont la densité et le mouvement sont déterminés par un modèle
hydrodynamique à deux températures.
Ainsi à partir de ce calcul, l’auteur obtient une expression condensée permettant de
connaitre la densité d’ions à partir de celle calculée au niveau de l’interface pré-gaine/plasma
à l’E.T.L. [Ben-3] :
n is = n i∞
⎛
kTis
0.8
avec α = ⎜⎜
2
2+α
⎝ m i D i 0 ∞ k r n i∞
⎞
⎟⎟
⎠
12
(EI-11)
Où ni∞ correspond à la densité d’ions dans le plasma à l’E.T.L.. Tis est la température ionique
à la frontière gaine/pré-gaine, Di0∞ est le coefficient de diffusion ion/neutre dans le plasma, kr
est le coefficient de recombinaison à trois corps et mi est la masse de l’ion. Cette expression a
évolué vers une forme plus élaborée donnée dans l’article de Benilov [Ben-8].
A partir de l’équation (EI-11) exprimant nis et de la prise en compte de la neutralité électrique,
la densité électronique nes à l’interface gaine/pré-gaine est déduite grâce au produit Zn is .
La chute de tension de la zone d’ionisation est alors définie de la manière suivante :
Ui =
kTe n e∞
ln
e
n es
(EI-12)
Dans l’égalité (EI-12), Te et nes correspondent respectivement à la température
électronique et à la densité électronique à la frontière de la zone d’ionisation. ne∞ est la densité
électronique dans le plasma à l’E.T.L.. On remarquera que la chute de tension Ui est exprimée
à partir du facteur de Boltzmann qui est déduit de l’équation de Boltzmann unidimensionnelle
et non collisionnelle avec champ électrique constant. Par conséquent, cette équation est une
estimation de la chute de tension dans la zone d’ionisation qui est collisionnelle.
¾ La zone de charge d’espace (Gaine)
La modélisation de la zone de charge d’espace est nécessaire car elle permet d’obtenir
la condition aux limites au niveau de la vitesse des ions à l’interface gaine/pré-gaine et du
champ électrique à la surface de la cathode. Ce champ électrique Ec est utilisé dans le calcul
de la correction Schottky (EI-08).
- 45 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
Pour pouvoir déterminer Ec, l’équation de Poisson est nécessaire :
d 2ϕ
ε 0 2 = e(n e − Zn i )
dz
(EI-13)
La résolution de cette équation nécessite d’expliciter la densité de charge électronique ne et la
densité d’ion ni dans la zone de charge d’espace. Pour cela l’équation de Boltzmann est
nécessaire. La gaine étant non collisionnelle pour des pressions de l’ordre de 1 atm, l’équation
de Boltzmann sans terme de collision peut être utilisée. Pour des ions accélérés par un champ
électrique celle-ci s’écrit :
vz
∂f Ze dϕ ∂f
−
=0
∂z m i dz ∂v z
(EI-14)
Avec, vz la vitesse moyenne selon l’axe z, ϕ le potentiel électrostatique, Z la charge moyenne
d’un ion fictif et f la fonction de distribution des ions. Z est calculée grâce à la moyenne des
charges de chaque ion pondérée par leur densité respective. On notera que le potentiel
électrostatique ϕ est nul à l’interface gaine/pré-gaine.
Pour résoudre l’équation (EI-14), il faut connaître la fonction de distribution des
vitesses des ions à l’entrée de la gaine. Pour cela Benilov ne modélise pas le milieu de
Knudsen contrairement à Schmitz et al [Sch-1], néanmoins il retranscrit ses effets en
supposant que la distribution des vitesses des ions sortant de la zone d’ionisation est une
fonction « porte ». Cela se traduit par la condition aux limites suivante :
⎧ n is
pour − (v s + u i ) < v < −(v s − u i )
⎪
f ( ∞, v ) = ⎨ 2 u i
⎪0 dans le cas contraire
⎩
(EI-15)
u i = kTi m i est la vitesse d’agitation thermique avec k la constante de Boltzmann, mi la
masse de l’ion et Ti sa température. vs est une vitesse limite dirigée qui va être définie par la
suite. La représentation graphique de cette fonction est reportée sur la figure (FI-06).
f(∞,v)
ui
n is
2u i
0
-vs
v
Figure (FI-06) : Fonction de distribution des vitesses des ions à l’interface gaine/pré-gaine
- 46 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
On calcule ensuite la fonction de distribution des ions f(z ,v) :
⎧ n is
pour − v + < v < − v −
⎪
f (z, v ) = ⎨ 2u i
⎪0 dans le cas contraire
⎩
(EI-16)
v+ et v- les vitesses maximale et minimale pour un point donné dans la zone de charge
d’espace. Ces vitesses sont obtenues grâce à l’équation de conservation de l’énergie
mécanique dans le cas de particules en chute libre dans un champ électrique :
(v s ± u i )2 − 2Zeϕ
v ± (z) =
(EI-17)
mi
0
La densité ni(z) est déduite de f : n i (z) =
∫ f (z, v )dv
z
z
. La part d’ions allant de la cathode
−∞
vers la zone d’ionisation est négligeable ainsi l’intégrale n’est calculée que suivant les
vitesses vz négatives.
On en déduit la valeur de ni :
n i (z ) = n is
v+ − v−
2u i
(EI-18)
Dans la zone de charge d’espace, la fonction de distribution électronique est supposée
Maxwellienne. Par conséquent, comme les électrons sont soumis à la force conservative
provenant du champ électrique présent dans cette région, la densité électronique dans cette
région s’écrit après intégration de l’équation de Boltzmann non-collisionnelle pour les
électrons :
n e (z ) = n es exp
eϕ
kTe
(EI-19)
L’équation (EI-13) devient après substitution de ni et de ne par les relations (EI-18) et (EI-19)
et intégration :
⎧⎪ 2n is ⎡ ⎛ v 3+ − v 3−
⎛
u i2 ⎞
eϕ
2
⎜
⎟⎟ − ZkTe ⎜⎜1 − exp
− vs −
E(ϕ ) = ⎨
⎢m i ⎜
3 ⎠
kTe
⎪⎩ ε 0 ⎣⎢ ⎝ 6u i
⎝
12
⎞⎤ ⎫⎪
⎟⎟⎥ ⎬
⎠⎦⎥ ⎪⎭
(EI-20)
Lorsque ϕ tend vers 0 dans l’équation (EI-20), la vitesse vs pour laquelle il y a rupture
de neutralité électrique est similaire à la vitesse de Bohm couramment utilisée [Rie-1]:
- 47 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
vs =
k (Tis + ZTe )
mi
(EI-21)
vs est la vitesse que les ions doivent dépasser pour créer une zone de charge d’espace
positive formant ainsi la gaine. Cette vitesse des ions à la frontière gaine/pré-gaine permet
d’obtenir le flux d’ions défini par l’équation (EI-10).
Si on pose Us la chute de tension au niveau de la zone de charge d’espace, on trouve le
champ électrique au niveau de la cathode Ec=E(-Us). Cette grandeur va nous permettre par la
suite de calculer la correction Schottky utilisée dans l’équation (EI-08).
¾ La densité de courant totale et le flux d’énergie à la cathode
Les trois flux de particules ((EI-08), (EI-09) et (EI-10)) permettent de calculer la
densité de courant dans la zone de charge d’espace et le flux d’énergie vers la cathode :
•
La densité de courant :
(
j = e Zφ i + φ em − φ bd
)
(EI-22)
Pour plus de détail sur cette équation on pourra se reporter au tableau (TI-01)
•
Le flux d’énergie à la cathode :
⎡ ⎛
⎤
ZT
⎞
q = φ i ⎢k ⎜ 2Tis + e − 2Tw ⎟ + ZeU s + E i − Z(W − ΔW )⎥
2
⎠
⎦
⎣ ⎝
+ φ bd (2kTe + (W − ΔW ))
(EI-23)
− φ em (2kTw + (W − ΔW ))
Le premier terme correspond à l’énergie apportée par les ions, le second terme
correspond à celle apportée par les électrons rétrodiffusés et le troisième à celle des électrons
thermoémis. Notons que dans l’article de Benilov et al [Ben-10] un flux d’énergie simplifié
fonction de la température de la surface et de la chute de tension dans la zone de charge
d’espace est déterminé grâce au bilan d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine défini par la
suite.
- 48 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
¾ Conservation de l’énergie à l’interface gaine/pré-gaine
Dans le modèle de Benilov une équation de conservation de l’énergie électronique à
l’interface gaine/pré-gaine est utilisée. Celle-ci est formulée de la manière suivante :
⎡
⎡
⎞⎤
⎛ n
⎞⎤
⎛ n
φ em ⎢eU s + 2kTw + kTe ⎜⎜ ln e∞ − 3.2 ⎟⎟⎥ = φ bd ⎢eU s + kTe ⎜⎜ ln e∞ − 1.2 ⎟⎟⎥
⎠⎦
⎝ n es
⎠⎦
⎝ n es
⎣
⎣
⎡
⎛
n
+ φ i ⎢ E i + ZkTe ⎜⎜ 3.2 − 0.5 ln e∞
n es
⎝
⎣
⎞⎤
⎟⎟ ⎥
⎠⎦
(EI-24)
Dans le premier membre on reconnaît l’énergie apportée par les électrons thermoémis
sous forme électrique et thermique. Dans le second membre on a l’énergie emportée par les
électrons rétrodiffusés et l’énergie prise par les ions.
¾ Paramètres d’entrée
Les paramètres d’entrée utilisés dans la théorie de Benilov dans les articles traitant de
l’interaction arc/cathode écrits ou coécrits par Benilov sont : la chute de tension cathodique
totale et la température de surface thermoémissive de la cathode. Seuls les articles de Nielsen
et al [Nie-1] et Benilov et al [Ben-02] utilisent une étude paramétrique en fonction de la
température électronique et de la pression du gaz en couplant le modèle à un modèle
unidimensionnel de conduction thermique dans la cathode.
¾ Bilan
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur les travaux de Benilov sont
regroupés dans le tableau (TI-06).
Avantages
Inconvénients
¾ Travaux facilement transposables
¾ Validés expérimentalement pour de
faibles ampérages en ce qui concerne
la chute de tension cathodique [Nan2]
¾ Prise en compte du flux d’électrons
rétrodiffusés
¾ Pas réellement appliqués dans une
configuration 2D/3D
Tableau (TI-06) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Benilov
- 49 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
IV.B.4.
Conclusion sur les modèles complets
La théorie de Benilov est directement utilisable sans avoir recours à un modèle
hydrodynamique complexe comme cela peut être le cas pour le modèle de Hsu. La théorie de
Riemann et Schmitz ajoute une description plus fine de la zone d’ionisation qui en fait s’avère
inutile aux vues des résultats de l’article de Nandelstädt et al [Nan-2]. Enfin le modèle de
Hsu est rigoureux au niveau de la description de la gaine et de la pré-gaine cependant il doit
être mis de côté à cause du manque de coefficients de transports à deux températures mais
aussi à cause du nombre important de paramètres d’entrée utilisés.
- 50 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
V. Synthèse et conclusion
Ce chapitre a montré qu’il existait une grande diversité de modèles décrivant la zone
cathodique. Ceux-ci ont été regroupés en deux familles : celle à une température et celle à
deux températures constituée des modèles simplifiés et complets, ce qui permet d’avoir d’une
part une vue d’ensemble et d’autre part de faciliter par la suite le choix du modèle qui sera
utilisé. Une synthèse des principales caractéristiques des modèles cités ainsi que des points
que nous allons garder pour élaborer notre modèle est donnée dans l’annexe I.
Cette synthèse nous amène à nous poser la question fondamentale suivante : est-il
judicieux d’utiliser uniquement un des modèles présentés ou faut-il plutôt construire un
nouveau modèle en sélectionnant les parties les plus pertinentes de chacun d’eux ?
La seconde solution est intéressante car certaines idées vont pouvoir être agencées
dans un modèle cohérent. Les principales idées sont les suivantes :
¾ L’utilisation de trois flux de particules chargés (électrons thermoémis et
rétrodiffusés, ions) équilibrés par le bilan d’énergie à l’interface gaine/prégaine proposé par Benilov et al [Ben-2]. L’utilisation de ce bilan permettra de
tenir compte de l’ionisation du gaz à l’interface gaine/pré-gaine.
¾ Le calcul de la densité de charges à l’interface gaine/pré-gaine par un calcul de
composition à deux températures comme le proposent Zhou et al [Zho-1] et
Coulombe et al [Cou-1]. Ce calcul permettra d’obtenir la densité de charge à
l’interface gaine/pré-gaine sans avoir à modéliser complètement la zone
d’ionisation.
¾ L’utilisation d’une conductivité électrique tenant compte des phénomènes
cathodiques entre la cathode et le plasma à l’Equilibre Thermodynamique
Local comme le suggère la théorie de Lowke [Low-2].
¾ La densité de courant à la surface de la cathode doit être un paramètre d’entrée
du modèle d’interaction arc/cathode [Low-2] [Hsu-1].
- 51 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 52 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Chapitre 2 : Modèle d’interaction
arc-cathode
- 53 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 54 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
I. Introduction
Le modèle de Benilov [Ben-2] va constituer la base de nos développements. Par
conséquent dans une première partie les résultats obtenus en codant son modèle vont être
comparés à ceux trouvés dans l’un de ses articles [Ben-2].
Une seconde partie va permettre de présenter les étapes de construction de notre
modèle dont le point de départ est le modèle de Benilov et al [Ben-2]. Ces étapes vont
permettre d’améliorer ce modèle et de lever l’incertitude existante au niveau du calcul de
composition à l’interface gaine/pré-gaine.
Dans une troisième partie les résultats de nos développements seront comparés avec
des résultats expérimentaux [Dab-02] et théoriques trouvés sur internet [Ben-14] ou bien
trouvés dans la littérature [Sch-2]. Cette étape permettra de valider notre modèle d’interaction
pour des ampérages faibles (quelques Ampères).
Dans une quatrième partie les grandeurs principales de la zone cathodique telles que la
densité de courant, le flux d’énergie à la cathode, la chute de tension cathodique et la
température de surface de la cathode vont être étudiées par le biais d’une étude paramétrique
suivant la température électronique.
Une dernière partie nous permettra de poser les bases du couplage de notre modèle
d’interaction à celui de la colonne dans une configuration d’arc électrique à deux dimensions.
Pour cela, nous allons choisir le paramètre d’entrée le plus judicieux pour réaliser cette
adaptation.
- 55 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
II. Mise en place du code retranscrivant le modèle de
Benilov de 1995
Une première étape de notre travail a consisté à retranscrire sous la forme d’un
programme le modèle de Benilov et al [Ben-2] à partir des informations trouvées dans cet
article. L’algorithme de résolution va tout d’abord être présenté, puis les résultats obtenus à
partir de notre programme seront confrontés à ceux de Benilov et al [Ben-2].
II.A. Algorithme
Afin de déterminer les différentes grandeurs au sein de la région cathodique, nous
allons adopter les étapes de résolution proposées par Benilov :
1. La température des « lourds », des électrons et de la surface de la cathode sont
données. Les deux premières températures sont supposées constantes dans
toute la zone cathodique.
2. La densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine nis est ensuite déterminée en
utilisant la formule (EI-11). Un calcul de composition à deux températures
[Van-1] permet de calculer la densité de charges à l’interface pré-
gaine/plasma.
3. Le calcul des flux de particules chargées défini par les équations (EI-08), (EI09) et (EI-10) est effectué.
4. Le bilan d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine (EI-24) permet de trouver la
chute de tension Us dans la gaine
5. La chute de tension Ui dans la zone d’ionisation (EI-12), la densité de courant
totale (EI-22), le flux d’énergie q vers la cathode sont calculés (EI-23)
6. Enfin la température électronique Te est modifiée en gardant la température des
lourds et la température de surface de la cathode fixe puis la démarche est
reprise à partir de l’étape 2.
- 56 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
II.B. Conditions du calcul
Une étude paramétrique utilisant la température électronique Te comme grandeur d’entrée
va être mise en œuvre. Les autres conditions du calcul sont les suivantes :
¾ La cathode est en tungstène
¾ Le gaz plasmagène est constitué d’argon à la pression atmosphérique
¾ La température des « lourds » est prise constante à 10000 K à l’interface gaine/pré-
gaine et à l’interface pré-gaine/cathode
¾ Les grandeurs de la zone cathodique sont calculées pour trois valeurs de la
température de surface de cathode Tw : 3000 K, 4000 K et 5000 K. Notons que cette
dernière température n’est pas réaliste. Cependant elle permet d’étudier le
comportement de notre code lorsque la thermoémission est dominante.
¾ Les valeurs utilisées pour le coefficient de recombinaison à trois corps kr (cf. (EI-11))
n’étant pas présentées dans l’article de Benilov et al [Ben-2] nous avons utilisé les
résultats d’un calcul trouvé dans l’article postérieur de Benilov [Ben-8] basé sur la
théorie de Hinnov et al [Hin-1].
¾ La valeur du coefficient de diffusion ions-neutres Dio (cf. (EI-11)) utilisée est de 10-2
m2.s-1. Celle-ci est trouvée dans l’article de Benilov et al [Ben-2].
¾ La valeur prise pour le facteur pré-exponentiel A, utilisé dans la formule définissant le
flux d’électrons thermoémis (cf. (EI-08)), est de, 6.02.105 A.m-2K-2 pour le tungstène
[Ben-2].
II.C. Comparaison
Les résultats obtenus avec des températures de surface de 3000 K, 4000 K et 5000 K
vont être présentés. Ces températures ont été choisies d’une part afin de pouvoir effectuer une
comparaison avec les résultats de Benilov et d’autre part afin de correspondre à deux
régimes : avec 3000 K la thermoémission est modérée alors qu’avec une température de
surface de 5000 K elle sera dominante. La température de surface de 4000 K est proche de
celle mesurée à la surface de cathodes en tungstène pur [Hai-1].
- 57 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
¾ Tw = 3000K
Les densités de courant totales et les chutes de tension dans la gaine obtenues par
Benilov et al [Ben-2] et celles obtenues grâce à notre programme sont présentées
respectivement sur les figures (FII-01) et (FII-02).
10
10
9
10
-2
j (A.m )
8
10
7
10
6
10
calcul
Benilov et al [Ben-02]
5
10
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-01) : Densité de courant j en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
3
10
2
10
1
Us (V)
10
0
10
-1
10
-2
10
calcul
Benilov et al [Ben-02]
-3
10
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-02) : Chute de tension Us en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
Ces deux figures montrent qu’il existe une différence d’environ un ordre de grandeur,
à haute et à basse température électronique Te, entre les densités de courant et les chutes de
- 58 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
tension Us données par notre modèle et les résultats présentés par Benilov. Nous pouvons
remarquer que les courbes obtenues par nos calculs, aussi bien pour la densité de courant que
pour la chute de tension, passent par un maximum alors que celles obtenus par Benilov et al
[Ben-02] croissent avec la température.
Voyons si ces différences apparaissent avec une température de surface de cathode de
4000 K et 5000 K.
¾ Tw = 4000 K
Les densités de courant totales et les chutes de tension dans la gaine obtenues par
Benilov et al [Ben-2] et celles obtenues grâce à notre programme sont présentées
respectivement sur les figures (FII-03) et (FII-04) pour une température de cathode de
4000K.
Les figures (FII-03) et (FII-04) présentent les mêmes tendances que les figures (FII01) et (FII-02).
La densité de courant et la chute de tension dans la gaine sont croissantes avec la
température électronique dans le cas des résultats de Benilov alors que nous obtenons encore
des courbes en « cloche » avec nos calculs.
Les différences entre nos résultats et ceux de Benilov et al [Ben-02] sont toujours d’un
ordre de grandeur pour les hautes températures électroniques dans le cas de la densité de
courant. En ce qui concerne la chute de tension, cet écart se trouve au niveau des basses et des
hautes températures électroniques.
10
10
9
-2
j (A.m )
10
8
10
7
10
6
10
calcul
Benilov et al [Ben-02]
5
10
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-03) : Densité de courant j en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
- 59 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
3
10
2
10
1
Us (V)
10
0
10
-1
10
-2
10
calcul
Benilov et al [Ben-02]
-3
10
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-04) : Chute de tension Us en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
¾ Tw= 5000 K
La densité de courant totale et la chute de tension dans la gaine obtenues par Benilov
et al [Ben-2] et par notre programme sont présentées respectivement sur les figures (FII-05)
et (FII-06).
10
10
9
-2
j (A.m )
10
8
10
7
10
6
10
calcul
Benilov et al [Ben-02]
5
10
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-05) : Densité de courant j en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
- 60 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
3
10
2
10
1
Us (V)
10
0
10
-1
10
-2
10
calcul
Benilov et al [Ben-02]
-3
10
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-06) : Chute de tension Us en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
Pour une température de surface de 5000 K, les résultats de la figure (FII-05)
montrent une différence un peu moins importante entre nos résultats et ceux de Benilov et al
[Ben-2] au niveau de la densité de courant. Cependant la figure (FII-06) présentant la chute
de tension dans la gaine indique qu’il y a une différence de plusieurs ordres de grandeur entre
nos résultats et ceux de Benilov à basse température électronique ce qui ne semble pas
acceptable.
Enfin, de même que pour les températures de surface 3000 K et 4000 K, les courbes
obtenues avec nos résultats ne sont pas monotones contrairement à celles de Benilov et al
[Ben-2].
¾ Discussion
L’étude comparative, que nous avons réalisée, a montré que la transcription faite du
modèle de Benilov de 1995 donnait des résultats très différents de ceux présentés par Benilov
et al [Ben-2]. Cependant des incertitudes demeurent sur la théorie présentée dans cet article
du fait du manque de clarté sur certaines grandeurs utilisées dans le modèle.
Nous avons donc étudié de plus près l’expression des flux de particules chargées
définis par les équations (EI-08), (EI-09) et (EI-10).
La formulation du flux d’électrons thermoémis (EI-08) ne présente pas de doute
concernant la forme globale car l’auteur fait référence à l’article de Morrow et al [Mor-1]. La
- 61 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
seule incertitude sur cette expression peut se trouver au niveau de la correction Schottky qui
n’est pas clairement explicitée. Cependant celle-ci ne peut pas faire varier drastiquement le
flux d’électrons thermoémis au point d’avoir un ordre de grandeur de différence sur la densité
de courant et sur la chute de tension cathodique.
La seule grandeur susceptible de faire varier sensiblement les flux d’ions et d’électrons
rétrodiffusés est la densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine. En effet la formule (EI-11),
exprimant la densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine, présente des incertitudes au niveau
des valeurs prises par Benilov pour le coefficient de diffusion ion-neutre Dio, le coefficient de
recombinaison à trois corps kr et la méthode de calcul de composition à deux températures à
l’interface pré-gaine/cathode :
•
Le coefficient Dio dépend de la température des lourds qui est constante et
égale à 10000K. Comme les différences entre nos résultats et ceux de Benilov
et al [Ben-2] varient avec la température électronique, on peut supposer que ce
coefficient de transport n’est pas la source des désaccords.
•
Le coefficient de recombinaison à trois corps kr peut quant à lui varier de
quatre ordres de grandeur (10-38 à 10-42 m6.s-1) suivant la théorie utilisée [Ben8][Alm-1].
•
La composition à deux températures permettant d’obtenir la densité d’ions à
l’interface pré-gaine/cathode ni∞ (cf. (EI-11)) ne peut pas varier d’un ordre de
grandeur sachant que les températures électroniques et ioniques sont bien
définies pour cette étude paramétrique.
Nous pouvons donc naturellement penser de cette analyse que le problème vient très
probablement de la valeur de kr prise pour le calcul de la densité de charges à l’interface
gaine/pré-gaine.
- 62 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
II.C.1.
Calculs avec différentes valeurs de kr fixées
Pour étudier l’influence du coefficient de recombinaison à trois corps sur la densité de
courant et sur la chute de tension dans la gaine, deux valeurs extrêmes tirées de l’article de
Benilov [Ben-8] ont été choisies (kr= 10-38 m6.s-1, kr = 10-40 m6.s-1). Ces valeurs sont données
par la courbe représentant les kr en fonction de la température électronique que l’on retrouve
sur la figure (FII-07).
A partir de chacune de ces valeurs de kr, les grandeurs de la zone cathodique ont été
calculées pour une température de surface Tw de 3000 K et de 5000 K.
-38
10
-39
6
-1
kr (m .s )
10
-40
10
-41
10
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-07) : Coefficient de recombinaison à trois corps kr en fonction de la température
électronique [Ben-8].
II.C.1.a) Tw = 3000 K
Les densités de courant totales obtenues en utilisant les deux valeurs de kr sont
présentées sur la figure (FII-08) et comparées à celles calculées par Benilov et al [Ben-02].
La courbe indique que la densité de courant est fortement influencée par la valeur du
coefficient de recombinaison à trois corps kr. Cette étude montre qu’à basse température
électronique l’utilisation de kr = 10-40 m6.s-1 permet d’avoir des résultats très proches de ceux
obtenus par Benilov et al [Ben-02].
Néanmoins, au dessus de Te = 15 kK, l’écart entre la densité de courant obtenue avec
-38
kr = 10
m6.s-1 et celle calculée par Benilov et al [Ben-02] reste le plus faible.
- 63 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
10
10
-38
m .s
6
-1
-40
6
-1
kr = 10
9
-2
j (A.m )
10
kr = 10 m .s
[Ben-02]
8
10
7
10
6
10
5
10
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-08) : Densités de courant totales en fonction de la température électronique, Tw=3000K
(carrés : calcul kr= 10-38 m6.s-1, ronds : calcul kr= 10-40 m6.s-1, croix : [Ben-02])
La figure (FII-09) présente les chutes de tensions dans la gaine calculées à partir des
deux valeurs de kr et celle déterminée par Benilov et al [Ben-2]. Cette figure montre que la
chute de tension cathodique est sensible à la valeur du coefficient kr choisie. De même que
pour la densité de courant totale, en dessous de 15 kK, la chute de tension dans la gaine est
plus proche de celle calculée par Benilov et al [Ben-2] avec kr = 10-40 m6.s-1. Au dessus de Te
= 15 kK, la chute de tension déterminée avec kr =10-38 m6.s-1 est plus proche du résultat de
Benilov et al [Ben-2].
3
10
2
10
1
Us (V)
10
0
10
-1
10
-38
m .s
6
-1
-40
6
-1
kr = 10
-2
10
kr = 10 m .s
[Ben-02]
-3
10
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-09) : Chute de tension dans la gaine Us en fonction de la température électronique,
Tw=3000 K (carrés : calcul kr= 10-38 m6.s-1, ronds : calcul kr= 10-40 m6.s-1, croix : [Ben-02])
- 64 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
II.C.1.b) Tw = 5000K
Les figures (FII-10) et (FII-11) présentent respectivement les densités de courant et
les chutes de tension dans la gaine en fonction de la température électronique pour deux
valeurs de kr : 10-38 m6.s-1 et 10-40 m6.s-1.
10
10
9
-2
j (A.m )
10
8
10
7
10
-38
m .s
6
-1
-40
6
-1
kr = 10
6
10
kr = 10 m .s
[Ben-02]
5
10
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-10) : Densités de courant totales en fonction de la température électronique, Tw=3000 K
(carrés : kr= 10-38 m6.s-1, ronds : kr= 10-40 m6.s-1, croix : [Ben-02])
3
10
2
10
1
Us (V)
10
0
10
-1
10
10
10
m .s
6
-1
-40
6
-1
kr = 10 m .s
[Ben-02]
-3
10
-38
kr = 10
-2
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-11) : Chute de tension dans la gaine Us en fonction de la température électronique,
Tw=3000 K (carrés : kr= 10-38 m6.s-1, ronds : kr= 10-40 m6.s-1, croix : [Ben-02])
- 65 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
On constate les mêmes tendances avec Tw =5000 K qu’avec Tw = 3000 K. Nos
résultats obtenus avec kr = 10-40 m6.s-1 se rapprochent de ceux obtenus par Benilov et al [Ben02] à basse température électronique. A haute température électronique ce sont les résultats
avec kr = 10-38 m6.s-1 qui sont en meilleur accord.
II.C.1.c) Conclusion
Les valeurs de kr utilisées dans cette partie ont permis d’encadrer les résultats obtenus
avec Benilov et al [Ben-02]. Ainsi pour chacune des grandeurs j et Us nous avons pu constater
un meilleur accord en utilisant kr =10-40 m6.s-1 pour les basses températures et kr =10-38 m6.s-1
pour les hautes températures. La figure (FII-07) montre que les valeurs réelles de kr sont en
contradiction avec nos constatations car physiquement à basse température électronique kr est
de l’ordre de 10-38 m6.s-1 alors qu’à haute température électronique ce coefficient est de
l’ordre de 10-40 m6.s-1. Nous pouvons donc supposer que dans l’article de Benilov et al [Ben02] une erreur a été commise en prenant les valeurs de kr au niveau des hautes températures
pour celles des basses températures et inversement. Cette hypothèse va être vérifiée dans la
partie suivante.
- 66 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
II.C.2.
Etude du kr « inversé »
Pour vérifier cette hypothèse d’ « inversion » des données concernant le coefficient de
recombinaison à trois corps kr, nous avons modifié les valeurs de celui-ci en inversant
l’échelle des températures électroniques associées aux valeurs de kr. Ces nouvelles données,
sont représentées sur la figure (FII-12).
-38
10
6
-1
kr inversé (m .s )
-39
10
-40
10
-41
10
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-12) : Coefficient de recombinaison à trois corps kr « inversé » en fonction de la
température électronique.
Des calculs effectués avec ces nouvelles données, seuls les plus représentatifs de par
leur éloignement par rapport aux résultats de Benilov et al [Ben-02] seront présentés. Ainsi la
densité de courant calculée avec Tw = 3000 K et la chute de tension cathodique avec Tw =
5000 K ont été choisies.
La figure (FII-13) représente la densité de courant, obtenue avec les données de kr
« inversées » et une température de surface Tw de 3000 K, en fonction de la température
électronique. Celle-ci tend à confirmer notre hypothèse car la densité de courant obtenue avec
le calcul est maintenant en bon accord avec les résultats de Benilov.
- 67 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
10
10
9
-2
j (A.m )
10
8
10
7
10
6
10
calcul
[Ben-02]
5
10
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-13) : Densité de courant j en fonction de la température électronique Te,
Tw = 3000 K (croix : [Ben-02], carrés : nos résultats)
Concernant la chute de tension dans la gaine calculée pour Tw = 5000 K, la figure
(FII-14) montre un bon accord entre nos résultats et ceux obtenus par Benilov et al [Ben-2].
3
10
2
10
1
Us (V)
10
0
10
-1
10
-2
10
calcul
[Ben-02]
-3
10
10
12
14
16
18
20
22
Te (kK)
24
26
28
30
Figure (FII-14) : Chute de tension Us en fonction de la température électronique Te,
Tw = 5000 K (croix : [Ben-02], carrés : nos résultats)
- 68 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
II.D. Bilan
Le programme permettant d’utiliser le modèle de Benilov et al [Ben-2] a été mis en
place avec la température électronique en paramètre d’entrée. La comparaison des résultats
obtenus avec notre première interprétation du modèle de Benilov de 1995 a montré des
désaccords importants avec ceux obtenus dans l’article de Benilov et al [Ben-2]. Ces
différences sembleraient provenir d’une erreur de l’auteur dans l’utilisation des valeurs du
coefficient de recombinaison à trois corps kr.
Cette étude a montré également que le coefficient de recombinaison kr a une influence
non négligeable sur les grandeurs de la zone cathodique car il peut varier de plusieurs ordres
de grandeur. Notons que l’article de Benilov [Ben-8] montre que deux jeux de données pour
kr existent : celui basé sur la théorie de Hinnov et al [Hin-1] et celui calculé par Benilov
[Ben-8]. Ainsi il subsiste une incertitude concernant le choix du jeu de kr à utiliser. Ce
problème va être résolu dans la partie suivante.
Afin de s’affranchir de certains paramètres d’entrée et de nous diriger vers un modèle
auto-cohérent, nous allons construire notre modèle en apportant des améliorations à celui de
Benilov et al [Ben-02].
- 69 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
III.Construction de notre modèle
Cette partie a pour objectif de poser les bases de notre modèle d’interaction
arc/cathode. Ce dernier s’appuie sur la théorie de Benilov que nous avons améliorée et
couplée à un modèle de conduction dans une cathode. Comme dans le cas de Benilov, le gaz
plasmagène sera de l’argon.
III.A. Modification du flux d’électrons thermoémis
Pour construire notre modèle, l’équation (EI-08) utilisée par Benilov et al [Ben-2] est
remplacée par celle, plus rigoureuse, provenant d’un calcul de mécanique quantique que l’on
retrouve dans la littérature [Vac-1][Cou-3] :
φ em =
⎛ W − ΔW ⎞
4πk 2 m e 2
⎟⎟ avec ΔW =
Tw exp⎜⎜ −
3
kT
h
w
⎝
⎠
e3E c
4πε 0
(EII-01)
La légende de cette formule est reportée dans le tableau (TII-01).
k
Constante de Boltzmann
me
Masse des électrons
h
Constante de Planck
Tw
Température de la surface de la cathode
W
Travail de sortie des électrons
∆W
Correction Schottky
e
Charge élémentaire
Ec
Champ électrique de surface de la cathode
ε0
Permittivité du vide
Tableau (TII-01) : Notations utilisées dans la formule (EII-01)
La différence entre les formules (EI-08) et (EII-01) se situe au niveau du facteur préexponentiel qui dans la première formule dépend du matériau alors qu’il est exprimé
uniquement à partir de constantes physiques dans la seconde et égal à 1.2.106 A.m-2.K-2.
- 70 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
III.B. Calcul de composition à la frontière entre le plasma à
l’E.T.L. et la pré-gaine
Dans notre modèle, pour effectuer le calcul de la composition à l’interface prégaine/plasma à l’E.T.L. nous avons préféré utiliser un calcul de composition monotherme car
à cette interface le plasma est à l’Equilibre Thermodynamique Local [God-1]. Dans ce calcul
nous avons considéré cinq espèces : Ar, Ar+, Ar2+, Ar3+ et e-.
III.C. Ajout d’un bilan énergétique
III.C.1.
Hypothèses
Le rayonnement absorbé et émis par la cathode est supposé négligeable dans le bilan
énergétique à l’interface gaine/cathode.
Nous supposons que la cathode ne s’évapore pas. Cela semble légitime si on considère
une cathode en tungstène dont la température d’ébullition est élevée : 5933K [Stö-1].
III.C.2.
Continuité
du
flux
d’énergie
à
l’interface
gaine/cathode
Le modèle de conduction vers l’électrode est nécessaire afin que la description de cette
zone prenne en compte la capacité de la cathode à absorber l’énergie. Ainsi la température de
la surface de la cathode ne sera plus un paramètre. Grâce à cette approche, on peut même ne
plus imposer la température ionique Tis et la prendre égale à Tw comme peuvent le faire
Coulombe et al [Cou-1] et Zhou et al [Zho-2]. Cette hypothèse semble légitime car
l’épaisseur de gaine est très faible et les particules lourdes ne font que peu de collisions. De
plus, lors de nos travaux nous avons pu constater que les grandeurs de la zone cathodique ne
sont pas sensibles au choix de la valeur de Tis.
Le flux d’énergie à la surface de la cathode est donné par la loi de Fourier :
r
r
q cathode = − κ ∇ T
(EII-02)
- 71 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Pour cette étude unidimensionnelle, la conductivité thermique κ de la cathode est
supposée constante et égale à 174 W.m-1.K-1 ce qui correspond à la conductivité du tungstène
à 300K.
En prenant T0 comme température de fond de cathode, Δz son épaisseur et Tw la
température à son interface avec la gaine, on obtient :
q cathode = κ
(Tw − T0 )
Δz
(EII-03)
Ainsi le modèle de conduction dans la cathode ajoute deux paramètres : T0 la température de
fond de cathode et Δz l’épaisseur de la cathode.
Grâce à l’expression du flux transmis à la cathode (qgaine) donné par l’équation (EI23), le deuxième bilan énergétique à la frontière gaine/cathode peut être défini :
qgaine = qcathode
(EII-04)
III.D. Mise en œuvre de notre modèle dans une configuration
unidimensionnelle
La Figure (FII-15) permet d’avoir une vue d’ensemble des grandeurs de la zone
cathodique. Côté droit, elle présente l’algorithme de notre programme qui permet de résoudre
les bilans énergétiques de manière couplée.
Figure (FII-15) : Schémas de l’algorithme de résolution et du modèle de la zone cathodique
- 72 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Nous allons voir comment nous abordons la résolution du problème afin de déterminer les
grandeurs de la zone cathodique.
III.D.1.
Paramètre d’entrée
Afin de poursuivre notre travail sur la base de l’étude paramétrique effectuée dans la
partie II, la température électronique Te a été choisie comme paramètre d’entrée. Celle-ci est
comprise entre 5 kK et 30 kK.
III.D.2.
Résolution des équations
Dans un premier temps la densité de charges à l’interface plasma/pré-gaine est
calculée à l’aide de la formule (EI-11). Ensuite les flux de particules chargées (cf. (EI-09),
(EI-10) et (EII-01)) sont déterminés. Les bilans énergétiques donnés par les équations (EI23) et (EII-04) forment alors un système d’équations non linéaires que nous avons résolu par
la méthode de Newton-Raphson. Les inconnues de ce système sont la température Tw et la
chute de tension dans la gaine Us. Le module suivant permet de trouver une solution à ce
système.
III.D.3.
Paramètres de sortie
Les paramètres de sortie de notre code sont : la chute de tension cathodique U, la chute
de tension dans la zone de charge d’espace Us, la chute de tension dans la zone d’ionisation Ui
(cf. (EI-12)), le champ électrique au niveau de la cathode Ec (cf. (EI-20)), la température de
cathode Tw, la densité de courant j (cf. (EI-22)) et le flux d’énergie vers la cathode q (cf. (EI23)).
III.E. Choix de la composition à l’interface gaine/pré-gaine
Le but de cette partie est d’améliorer le calcul de la densité de charges à l’interface
gaine/pré-gaine afin de prendre en compte le travail de Zhou et al [Zho-2] et de Coulombe et
al [Cou-1]. A la différence de Benilov, les auteurs de ces deux articles utilisent un calcul de
composition à deux températures utilisant la formulation des équations de Saha mise en place
par Van de Sanden et al [Van-1].
Afin de voir si cette approche est légitime, nous avons comparé les résultats obtenus avec
notre modèle en utilisant la formule (EI-11) et un calcul de composition à deux températures.
- 73 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Tout d’abord le calcul de composition basé sur la théorie de Van de Sanden et al [Van-1] va
être présenté. Ensuite les valeurs de kr trouvées dans la littérature vont être données. Enfin les
résultats obtenus pour la densité de courant avec les différents jeux de kr et la composition
utilisant la théorie de Van de Sanden vont être comparés.
III.E.1.
Le calcul de composition à deux températures
Le calcul de composition de l’argon prend en compte quatre espèces : Ar, Ar+, Ar2+,
Ar3+, e-. La théorie de Van de Sanden et al [Van-1] se traduit par quatre équations :
¾ la loi de Saha pour laquelle on utilise la température électronique :
n e n Ar +
n Ar
n e n Ar 2 +
n Ar +
n e n Ar 3+
n Ar 2 +
2Q Ar + (Te ) (2π m e kTe )3 2
=
Q Ar (Te )
=
=
h
3
⎛ E i ,Ar − ΔE ⎞
⎟⎟
exp⎜⎜ −
kTe
⎠
⎝
2Q Ar 2 + (Te ) (2π m e kTe )3 2
Q Ar + (Te )
h3
2Q Ar 3+ (Te ) (2π m e kTe )3 2
Q Ar 2 + (Te )
h3
(EII-05)
⎛ E i ,Ar + − ΔE ⎞
⎟
exp⎜ −
⎜
⎟
kT
e
⎝
⎠
(EII-06)
⎛ E i ,Ar 2 + − ΔE ⎞
⎟
exp⎜ −
⎜
⎟
kT
e
⎝
⎠
(EII-07)
¾ la loi de Dalton à deux températures :
p = n Ar + kTl + n Ar 2 + kTl + n Ar3+ kTl + n Ar kTl + n e kTe
Les variables de ces deux équations sont reportées dans le tableau (TII-02).
p
Pression du gaz
ni
Densité de l’espèce considérée
Q i (Te )
Fonction
de
partition
de
l’espèce
considérée
me
Masse de l’électron
h
Constante de Planck
k
Constante de Boltzmann
Tl
Température des particules lourdes
Te
Température des électrons
Ei,Ar
Energie d’ionisation de l’argon neutre
ΔE
Abaissement du potentiel d’ionisation
Tableau (TII-02) : Grandeurs utilisées pour le calcul de composition
- 74 -
(EII-08)
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
A ces quatre équations il faut ajouter l’équation de conservation de la charge et la loi d’action
de masse afin d’avoir un système d’équations fermé.
III.E.2.
Estimation du coefficient de recombinaison à
trois corps kr(Te)
Deux jeux de coefficients de recombinaison à trois corps kr(Te) ont été trouvés dans
l’article de Benilov [Ben-08]. Le premier, noté krB, est calculé par Benilov [Ben-8], le second,
noté krH, est déterminé à partir de la théorie de Hinnov et al [Hin-1]. Ces données sont
reportées sur la figure (FII-16). Celle-ci montre que les valeurs de kr(Te) diffèrent de deux
ordres de grandeurs l’une de l’autre. Au vue des résultats de la partie II, on peut penser que
cette différence va se répercuter sur la densité de courant totale qui dépend fortement des flux
de particules chargées (cf. (EI-22)).
-36
10
Benilov [Ben-08]
Hinnov et al [Hin-1]
-37
10
-38
6
-1
kr (m .s )
10
-39
10
-40
10
-41
10
-42
10
-43
10
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-16) : Coefficient de recombinaison à trois corps kr en fonction de la température
électronique (carrés : Théorie de Hinnov et al [Hin-1], ronds : Benilov [Ben-08])
- 75 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
III.E.3.
Comparaison des densités de courant
La figure (FII-17) présente les densités de courant calculées grâce aux deux jeux de
kr(Te) et avec la composition de type Van de Sanden. Cette figure montre que la densité de
courant calculée à partir de krB est de plus d’un ordre de grandeur inférieure à celle calculée à
partir du krH, et, de plus de deux ordres de grandeur inférieure à celle que nous avons calculé à
partir de la théorie de Van de Sanden. Ces différences se retrouvent au niveau des densités
d’ions à l’interface gaine/pré-gaine comme peut le montrer la figure (FII-18).
La densité de courant obtenue avec le calcul de composition de type Van de Sanden
est la seule à dépasser les 108 A.m-2. Or cet ordre de grandeur est retrouvé dans la littérature
[Hsu-2].
9
10
8
-2
j (A.m )
10
7
10
6
10
Hinnov et al [Hin-01]
Benilov [Ben-08]
Van de Sanden
5
10
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-17) : Densité de courant en fonction de la température électronique
(carrés : kr Théorie de Hinnov et al [Hin-1], ronds : kr Benilov [Ben-08], triangles : notre calcul à
deux températures)
- 76 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
24
10
23
-3
nis (m )
1x10
22
10
21
10
Hinnov et al [Hin-1]
Benilov [Ben-08]
Van de Sanden
20
10
10
15
20
25
Te (kK)
30
Figure (FII-18) : Densité d’ions en fonction de la température électronique
(carrés : kr Théorie de Hinnov et al [Hin-1], ronds : kr Benilov [Ben-08], triangles : notre calcul à
deux températures)
Afin de voir si la direction que nous prenons avec la composition de type Van de
Sanden est la bonne nous avons comparé les puissances obtenues avec le programme
actuellement en ligne de Benilov [Ben-14] et celles déduites des valeurs de flux d’énergie
vers la cathode trouvées dans l’article de Benilov et al [Ben-2] pour deux valeurs de chute de
tension cathodique (cf. figure (FII-19)).
4
10
3
10
25 V
17 V
P (W)
2
17 V
10
25 V
1
10
0
10
-1
10
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Tw (kK)
5.0
5.5
6.0
Figure (FII-19) : Puissance vers la cathode en fonction de la température de surface cathodique (trait
continu : [Ben-2], Carrés/croix : [Ben-14])
- 77 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
On peut constater qu’il existe une différence de quasiment un ordre de grandeur entre
les puissances allant vers la cathode trouvées en 1995 et celles données par le programme en
ligne de Benilov [Ben-14].
Aux vues de ces différences, notre modèle va utiliser dans toute la suite de ce chapitre
un calcul de composition de type Van de Sanden pour calculer la densité de charge à
l’interface gaine/pré-gaine.
III.F. Ajout du phénomène d’émission secondaire
III.F.1.
Etude préliminaire
Afin de montrer la légitimité de l’introduction du phénomène d’émission secondaire,
une estimation du courant créé par ce phénomène a été effectuée. Pour cela le flux d’électrons
créés par émission secondaire est nécessaire. Celui-ci est donné par la formule (EII-09) :
φ ems = − γn Ar + v s
(EII-09)
Où γ représente le coefficient d’émission secondaire, n Ar + est la densité d’ions Ar+ à
l’interface gaine/pré-gaine et vs est la vitesse des ions définie par la formule (EI-21). Le
coefficient d’émission secondaire est estimé à 0.1 pour une température de surface de 2000 K
avec des ions Ar+ dont l’énergie est comprise entre 10 et 600 eV [Phe-1].
Le flux d’électrons Φems produit permet ainsi de calculer la densité de courant créée par
émission secondaire jems :
jems = −e φ ems
(EII-10)
La densité de courant jems a été évaluée grâce au modèle utilisant la température électronique
Te comme paramètre d’entrée. Elle a été comparée à la densité de courant thermoémis jem. Ces
résultats sont reportés sur la figure (FII-20) et sont donnés en fonction de la température
électronique Te.
La figure (FII-20) montre que la densité de courant produite par émission secondaire
devient supérieure à la densité de courant thermoémis pour des températures électroniques
inférieures à 7000 K. La densité de courant thermoémis décroit de manière plus importante
que la densité de courant jems. Ainsi il semble que la prise en compte de l’émission secondaire
- 78 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
soit nécessaire pour assurer l’équilibre dans le bilan d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine
(EI-24).
9
10
8
10
7
-2
jem, jems (A.m )
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
jem
jems
1
10
0
10
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-20) : Densités de courant thermoémis jem et secondaire jems en fonction de la température
électronique Te.
III.F.2.
Modifications des équations
L’ajout du phénomène d’émission secondaire implique la modification des bilans
d’énergie et de densité de courant.
Ainsi l’équation de conservation de l’énergie à l’interface gaine/pré-gaine (EI-24) devient :
⎡
⎛
⎣
⎝
(φ em + φ ems ) ⎢eU s + 2kTw + kTe ⎜⎜ ln
⎡
⎞⎤
⎞⎤
⎛ n
n e∞
− 3.2 ⎟⎟⎥ = φ bd ⎢eU s + kTe ⎜⎜ ln e∞ − 1.2 ⎟⎟ ⎥
n es
⎠⎦
⎠⎦
⎝ n es
⎣
⎡
⎛
n
+ φ i ⎢ E i + ZkTe ⎜⎜ 3.2 − 0.5 ln e∞
n es
⎝
⎣
⎞⎤
⎟⎟ ⎥
⎠⎦
(EII-11)
L’équation de conservation du courant (EI-10) devient :
j = e(Zφ i + φ em − φ bd + φ ems )
- 79 -
(EII-12)
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Enfin le flux d’énergie vers la cathode intervenant dans le bilan d’énergie à l’interface gainecathode devient :
⎡ ⎛ ZT ⎞
⎤
q pems = φ i ⎢k⎜ e ⎟ + eZU s + E i − Z(W − ΔW )⎥
⎣ ⎝ 2 ⎠
⎦
+ φ bd (2kTe + (W − ΔW ))
− φ em (2kTw + (W − ΔW ))
(EII-13)
− φ ems (2kTw + (W − ΔW ))
Ce flux permet de remplacer l’équation de continuité de l’énergie à l’interface gaine/cathode
(EII-04) par un bilan utilisant le flux d’énergie qpems définit précédemment et le flux de
conduction qcond décrit par la formule (EII-03):
q pems = q cond
III.F.3.
(EII-14)
Etude de sensibilité
A partir des modifications de notre modèle, présentées dans la partie précédente, les
grandeurs caractéristiques (densité de courant de la zone cathodique, chute de tension,
température de surface et flux d’énergie vers la cathode) ont été calculées.
III.F.3.a) Densité de courant
Les composantes de la densité de courant totale sont présentées sur la figure (FII-21)
en fonction de la température électronique.
9
10
8
10
7
-2
jem, jems (A.m )
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
jem
jems
1
10
0
10
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-21) : Densités de courant thermoémis jem et secondaire jems en fonction de la température
électronique Te (Carrés : jem , ronds : jems)
- 80 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Cette figure confirme les résultats obtenus dans l’étude préliminaire de la partie III.F.1.
En effet en dessous d’une température de 7100 K la contribution apportée par les électrons
provenant de l’émission secondaire devient supérieure à celle des électrons thermoémis.
La comparaison des figures (FII-20) et (FII-21) montre que la décroissance de la
densité de courant d’électrons thermoémis en dessous de 7000 K est accentuée dans le cas de
la prise en compte de l’émission secondaire dans les bilans. Ce phénomène est dû à une forte
décroissance de la température de surface comme nous le verrons dans la partie III.F.3.C.
III.F.3.b) Chute de tension cathodique
La figure (FII-22) représente la chute de tension cathodique avec et sans la prise en
compte du phénomène d’émission secondaire en fonction de la température électronique.
La figure (FII-22) montre que la chute de tension cathodique ne diverge pas lorsque la
température électronique passe en dessous de 7500 K dans le cas de la prise en compte de
l’émission secondaire. Ce point démontre que la divergence de la chute de tension cathodique
lorsque l’émission secondaire n’est pas prise en compte est bien due à un déséquilibre de
l’équation de conservation de l’énergie à l’interface gaine/pré-gaine (cf. (EII-11)).
5
10
γ = 0.
γ = 0.1
4
10
3
U (V)
10
2
10
1
10
0
10
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-22) : Chute de tension cathodique en fonction de la température électronique (carré :
sans émission secondaire ; rond : avec émission secondaire)
Dans le cas de la prise en compte de l’émission secondaire, la chute de tension
plafonne autour de 174 V. Ce résultat s’explique en étudiant l’équation (EII-11) dans le cas
- 81 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
où la température électronique et la température de surface de la cathode sont faibles. En effet
la contribution des électrons thermoémis devient vite négligeable lorsque la température de
cathode diminue. La contribution des électrons rétrodiffusés décroît également très vite du fait
de l’augmentation de la chute de tension dans la gaine lorsque la température électronique
décroît. Ainsi dans le bilan (EII-11) il ne reste plus que la contribution apportée par les
électrons produits par émission secondaire et la contribution emportée par le flux d’ions. Par
conséquent, dans le cas où la température de surface de la cathode est faible et lorsque la
température électronique passe en dessous de 6500 K, l’équation d’énergie (EII-11) peut être
approximée de la manière suivante :
φ ems eU s ≈ φ i E i
(EII-15)
En utilisant le lien entre le flux d’émission secondaire et le flux d’ions présenté dans
l’équation (EII-09) l’équation (EII-15) devient :
eU s ≈ E i γ
(EII-16)
Comme Ei est de 15.75 eV et γ est de l’ordre de 0.1, la chute de tension sera de l’ordre d’une
centaine de volts. Ainsi il est important de connaître le coefficient d’émission secondaire car
il va déterminer le maximum de la chute de tension. Si on augmente d’un facteur 5 le
coefficient secondaire, la figure (FII-23) montre que la chute de tension maximum est
d’environ 40 V.
200
γ = 0.1
γ = 0.5
180
160
U (V)
140
120
100
80
60
40
20
0
5
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-23) : Chute de tension cathodique U en fonction de la température électronique Te
(ronds : γ = 0.5 ; carrés : γ = 0.1)
- 82 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
III.F.3.c) Température de surface
La température de surface de la cathode a également été calculée avec et sans le
phénomène d’émission secondaire. Les résultats sont reportés sur la figure (FII-24). Celle-ci
reporte la température de surface de la cathode en fonction de la température électronique.
Cette figure montre que le couplage utilisant l’émission secondaire influence de
manière importante la température de surface de la cathode lorsque la température
électronique passe en dessous de 7500 K. Comme la chute de tension passe par un palier, le
flux d’énergie apporté par les ions diminue avec la baisse de la densité de charge à l’interface
gaine/pré-gaine. Cela explique la baisse de la température de surface.
5.0
4.5
Tw (kK)
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
γ = 0.
γ = 0.1
1.5
1.0
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-24) : Température de surface Tw en fonction de la température électronique (carrés : sans
émission secondaire ; ronds : avec émission secondaire)
III.F.3.d) Flux d’énergie
La dernière grandeur caractéristique de la zone cathodique est le flux d’énergie vers la
cathode q. Ce flux est présenté par la figure (FII-25) en fonction de Te avec et sans émission
secondaire. Cette figure montre bien que l’introduction du phénomène d’émission secondaire
provoque une baisse du flux d’énergie vers la cathode donc une chute de la température de
surface.
- 83 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
8
10
7
-2
q (W.m )
10
6
10
5
10
γ = 0.
γ = 0.1
4
10
5
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-25) : Flux d’énergie vers la cathode q en fonction de la température électronique Te
(ronds : avec émission secondaire ; carrés : sans émission secondaire)
III.F.4.
Conclusion
L’étude de l’influence de l’émission secondaire sur les grandeurs cathodiques a
montré que celle-ci est non négligeable devant la thermoémission lorsque la température
électronique est inférieure à 7500 K. Ce phénomène permet d’assurer la continuité de
l’énergie à l’interface gaine/pré-gaine. Ainsi il semble nécessaire d’inclure ce phénomène
d’émission électronique dans notre modèle afin de pouvoir l’utiliser même lorsque la
thermoémission devient négligeable.
III.G. Bilan
Dans la suite de ce chapitre et de ce manuscrit notre modèle va utiliser les points suivants :
¾ La thermoémission va être formulée à l’aide de l’équation (EII-01)
¾ La densité de charge à l’interface pré-gaine/plasma va être calculée grâce à un
calcul de composition à une température
¾ La densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine est déterminée en utilisant
les équations de Saha formulées par Van de Sanden et al [Van-1]
- 84 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
¾ L’émission secondaire va être prise en compte avec un coefficient d’émission
secondaire de 0.1 qui correspond à la valeur expérimentale trouvée dans
l’article de Phelps et al [Phe-1] dans le cas d’une électrode en tungstène et
avec un gaz plasmagène d’argon.
¾ Les bilans d’énergie (EI-24) et (EII-04) sont respectivement remplacés par les
équations (EII-11) et (EII-14)
¾ L’expression du flux vers la cathode utilisée est celle exposée par l’équation
(EII-13)
¾ La densité de courant s’exprime avec l’expression (EII-12)
- 85 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
IV. Comparaison avec des résultats expérimentaux et
théoriques
Cette partie présente la comparaison des résultats du modèle décrit dans le bilan III.G.
avec des résultats théoriques et expérimentaux issus de la littérature.
IV.A. Recherche de résultats dans la littérature
IV.A.1.
Résultats expérimentaux
Pour valider notre modèle il a fallu trouver dans la littérature une configuration
expérimentale dont le rayon de la cathode était suffisamment petit devant sa longueur pour
pouvoir décrire les phénomènes thermiques dans celle-ci de manière unidimensionnelle. Nous
avons trouvé que la configuration expérimentale de lampe haute pression du groupe Allemand
de l’université de Bochum se prêtait bien à cette étape de validation.
En effet, ce groupe a publié une série d’articles portant sur l’interaction arc-cathode [Dab1]-[Dab-3][Luh-1][Luh-2][Nan-1][Nan-2]. De leurs travaux nous avons retenu les mesures
par pyrométrie couplées à un système de calorimétrie [Dab-2] (cf. figure (FII-26)).
La température de surface, l’énergie absorbée par la cathode et la chute de tension
cathodique ont été confrontées aux résultats expérimentaux trouvés dans les articles de
Dabringhausen et al [Dab-2] comme on va le voir dans la partie IV.B.
Électrode de
fixation refroidie
Tube de quartz
anode
Arc d’argon
Pc
Cathode
Δz
Prad
Pyromètre
Prefroidissement
sortie
entrée
Système de refroidissement
(huile silicone), T=cst
Figure (FII-26) : Schéma du dispositif expérimental pour la méthode pyrométrique/calorimétrique
- 86 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
IV.A.2.
Résultats théoriques
Les premiers résultats théoriques à avoir servi de point de comparaison sont obtenus à
partir du logiciel en ligne de Benilov [Ben-14]. Pour cela les conditions de l’expérience de
Dabringhausen et al [Dab-2] ont été intégrées au programme via internet.
Les résultats de Schmitz et al [Sch-2] ont également été utilisés et comparés à nos
résultats.
IV.B. Comparaison
Notre modèle a été adapté afin de pouvoir être confronté aux résultats expérimentaux.
Pour se placer dans les mêmes conditions que dans ces expériences, la composition a été
calculée pour une pression de 0.26 MPa, la longueur de la cathode Δz est de 2 cm et la
température de fond de cathode T0 est de 300K.
Pour ce qui est de la comparaison avec les résultats théoriques de Schmitz et al [Sch2], la pression utilisée pour nos calculs est de 2 bars et le rayon de la cathode est de 0.75 mm.
Les autres caractéristiques sont inchangées.
Comme la section des électrodes utilisées dans ces articles expérimentaux est faible,
de l’ordre de 1mm de diamètre, nous avons supposé que la densité de courant à la surface de
la cathode et le flux d’énergie vers la cathode sont uniformes sur la surface en contact avec le
plasma. Cette hypothèse va permettre d’obtenir la température de surface de la cathode Tw, la
chute de tension cathodique U et la puissance transmise à la cathode en fonction du courant de
la décharge.
IV.B.1.
Etude de la puissance P
Les résultats expérimentaux relatifs à la puissance P de l’article de Dabringhausen et
al [Dab-2] sont reportés sur la figure (FII-27) avec les résultats obtenus par notre modèle et
par le programme en ligne de Benilov [Ben-14].
La figure (FII-27) nous montre que la puissance totale calculée est en bon accord avec
celle obtenue par la mesure pour un diamètre d=1 mm. On peut constater que ce n’est pas le
cas pour les résultats obtenus à partir du programme en ligne de Benilov [Ben-14].
La variation importante des puissances en dessous de 1 A provient de l’ionisation qui
va créer des charges de manière exponentielle augmentant ainsi le flux d’ions vers la cathode.
- 87 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Au dessus de 1 A, le flux d’énergie est régulé par la limitation de l’ionisation mais aussi par le
refroidissement de la cathode par thermoémission.
Cette interprétation peut apporter une explication à la puissance insuffisante obtenue
avec le programme de Benilov. En effet on peut penser que la densité de charge à l’interface
gaine/pré-gaine, et donc le flux d’ions calculé est insuffisant pour obtenir des puissances de
l’ordre de celles mesurées.
25
20
P (W)
15
10
5
0
[Dab-2]
[Ben-14]
calcul
0
1
2
3
I (A)
4
5
6
7
Figure (FII-27) : Puissance P transmise à la cathode par le plasma en fonction de l'intensité de
courant I pour un diamètre de cathode de 1mm. p=0,26 MPa, dans l'argon.
(Ronds : notre modèle ; croix : expérience [Dab-2], Triangles : [Ben-14])
IV.B.2.
Température de surface cathodique Tw
La figure (FII-28) présente les températures de surface obtenues par notre code, par le
programme en ligne de Benilov [Ben-14] et par l’expérience [Dab-2]. Celle-ci montre qu’il y
a une différence d’environ 250 K entre la température de surface de cathode mesurée et celle
calculée grâce à notre modèle. Par contre celles obtenues à partir du programme en ligne sont
plus proches des mesures. Cependant nos résultats sont acceptables compte tenu des barres
d’erreur expérimentales existantes et non reportées sur cette figure. Ces écarts de température
par rapport à l’expérience peuvent provenir des hypothèses de notre modèle. En effet, nous
avons considéré que les profils de densité de courant et de flux d’énergie étaient constants.
- 88 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
4.0
3.5
Tw (kK)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
[Dab-2]
[Ben-14]
calcul
0.5
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
I (A)
Figure (FII-28) : Température de surface de cathode en fonction de l'intensité de courant I pour un
diamètre de cathode de 1mm. p=0,26 MPa, dans l'argon.
(ronds : notre modèle, croix : expérience [Dab-2], triangles : [Ben-14])
La température de surface obtenue par notre code a également été comparée aux
résultats théoriques obtenus par Schmitz et al [Sch-1]. Ces résultats sont reportés sur la figure
(FII-29). Cette figure permet de constater que les températures que nous obtenons sont
légèrement surévaluées. Cette tendance qu’a notre modèle à donner une température de
surface trop élevée devra être vérifiée après l’adaptation de notre modèle à une configuration
bidimensionnelle prenant en compte l’arc et son interaction avec la cathode.
4
Tw (kK)
3
2
1
0
0
1
2
3
4
I (A)
5
6
7
Figure (FII-29) : Température de surface de cathode en fonction de l'intensité de courant I pour un
diamètre de cathode de 1.5 mm. p=2 bar, dans l'argon.(carrés : [Sch-2]; ronds : nos résultats)
- 89 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
IV.B.3.
Etude de la chute de tension cathodique
Pour l’étude de la chute de tension, nos résultats sont tout d’abord comparés avec les
résultats expérimentaux [Dab-2] et avec ceux obtenus en ligne avec le programme de Benilov
[Ben-14]. Ces résultats sont reportés sur la figure (FII-30).
La figure (FII-30) montre un bon accord entre la chute de tension calculée par le
modèle et celle obtenue par l’expérience. Par contre il subsiste toujours un désaccord entre
nos résultats et ceux obtenus grâce au programme en ligne [Ben-14].
50
[Dab-2]
[Ben-14]
calcul
40
U (V)
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
I (A)
Figure (FII-30) : Chute de tension cathodique U en fonction de l’intensité I pour un diamètre de
cathode de 1mm. p=0,26 MPa, dans l'argon.
(ronds : modèle ; croix : méthode [Dab-2], triangles : [Ben-14] )
Afin de valider notre modèle de manière sûre, la chute de tension a été comparée à
celle obtenue par Schmitz et al [Sch-2]. Le résultat de cette comparaison est reporté sur la
figure (FII-31). Cette figure montre un très bon accord entre nos calculs et ceux de Schmitz et
al [Sch-2] permettant ainsi de valider notre modèle.
Concernant les variations des chutes de tensions, elles ont toutes tendances à
augmenter à bas courant. Cela est dû au fait que le système a besoin d’augmenter l’énergie
dirigée des électrons émis à la cathode pour entretenir l’ionisation dans la décharge.
- 90 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
50
U (V)
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
I (A)
6
7
8
9
10
Figure (FII-31) : Chute de tension cathodique U en fonction de l’intensité I pour un diamètre de
cathode de 1.5 mm. P = 2 Bars, dans l'argon. (ronds : modèle ; carrés : [ Sch-2] )
IV.C. Conclusion
Cette partie a montré que les résultats obtenus grâce à notre modèle sont en assez bon
accord avec les mesures expérimentales bien que les articles expérimentaux utilisés
n’indiquent pas les barres d’erreurs. Nos résultats et ceux obtenus par Schmitz et al [Sch-2]
sont en bon accord. Néanmoins la température de surface trouvée par notre modèle devra être
validée lorsque le modèle aura été appliqué à deux dimensions.
La description de l’interaction arc/cathode est donc partiellement validée par les
résultats expérimentaux pour des intensités de quelques ampères. Il serait intéressant
d’effectuer des mesures par pyrométrie/calorimétrie pour des intensités de courant de l’ordre
de 100A pour une cathode cylindrique.
- 91 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
V. Etude paramétrique du modèle
Les calculs présentés dans cette partie ont été établis pour un gaz plasmagène d’argon
à la pression atmosphérique. La cathode est en tungstène. Sa longueur est de 1cm et la
température de refroidissement est fixée de manière arbitraire à 1000 K. La température
électronique est comprise entre 5000 K et 30000 K.
V.A. Flux d’énergie vers la cathode
Le flux d’énergie vers la cathode q en fonction de Te est présenté sur la figure (FII-32)
pour des températures électroniques comprises entre 5000 K et 30000 K.
La figure (FII-32) montre que le flux d’énergie vers la cathode croit de manière
importante entre 5000 K et 10000 K. Ensuite il se stabilise autour de 6.107 W.m-2.
8
10
-2
q (W.m )
7
10
6
10
5
10
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-32) : Flux d'énergie q en fonction de la température électronique Te
Afin de mieux interpréter cette courbe, le flux d’énergie q a été décomposé en
plusieurs contributions, une ionique (qi) et trois électroniques en séparant la part des électrons
rétrodiffusés (qbd), celle des électrons thermoémis (qem) et celle des électrons émis
secondairement (qems). Ces résultats ont été reportés sur le graphique de la figure (FII-33).
- 92 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
9
4x10
qi
qem
qems
qbd
q
9
-2
qi, qem, qems, qbd, q (W.m )
3x10
9
2x10
9
1x10
0
9
-1x10
9
-2x10
9
-3x10
9
-4x10
5
10
15
Te (kK)
20
25
30
Figure (FII-33) : Composantes et flux d'énergie vers la cathode en fonction de la température
électronique Te
La composante ionique du flux d’énergie qi croit entre 5000 K et 15000 K puis se
stabilise entre 4x108 W.m-2 et 5x108 W.m-2. Cela vient de la stabilisation de la densité de
charges à partir de 15000 K.
La composante des électrons rétrodiffusés qbd augmente avec la température
électronique. Ce phénomène s’explique par l’augmentation de l’énergie cinétique des
électrons rétrodiffusés avec la température. Ce gain d’énergie va leur permettre de franchir
plus facilement la barrière de potentiel que constitue la chute de tension dans la gaine. On
verra dans la partie V.D que la chute de tension dans la gaine diminue avec l’augmentation de
la température électronique. Ainsi, la baisse de la chute de tension cathodique couplée à
l’augmentation de l’énergie cinétique des électrons contribue donc à l’augmentation du flux
d’électrons rétrodiffusés avec la température électronique.
La composante des électrons thermoémis est négative. En effet, lorsque les électrons
quittent la cathode, ils emportent de l’énergie correspondant principalement au travail de
sortie réduit par la correction Schottky. Ce phénomène va produire un refroidissement de
l’électrode. L’augmentation de la température du plasma va provoquer une élévation de la
température de la surface de la cathode Tw et donc une augmentation du flux d’électrons
- 93 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
thermoémis d’après la formule (EII-01). Cette augmentation de la température Tw est
confirmée par le résultat du calcul de cette température présenté dans la partie V.C..
Ainsi, la somme de qi et qbd est compensée par la valeur importante du flux d’énergie
des électrons thermoémis. Cette compensation permet d’avoir un flux global de l’ordre de 107
W.m-2.
Enfin le flux d’énergie emportée par les électrons émis secondairement est négligeable
au dessus de 7500 K devant le flux d’énergie prélevé par les électrons thermoémis comme le
montre la figure (FII-34) représentant les valeurs absolues des flux d’énergie transportés par
les électrons thermoémis et émis secondairement en fonction de la température électronique.
10
10
|qem|
|qems|
9
10
8
-2
|qem|, |qems| (W.m )
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
10
5
6
7
8
9
Te (kK)
10
11
12
Figure (FII-34) : Valeurs absolues des flux d’énergie emportés par les électrons thermoémis et émis
secondairement en fonction de la température électronique Te
V.B. Les densités de courant
De même que pour les flux d’énergie, la densité de courant totale provenant de la
cathode a été décomposée en quatre contributions : la densité de courant ionique ji, la densité
de courant des électrons rétrodiffusés jbd, la densité de courant des électrons thermoémis jem et
la densité de courant provenant des électrons secondaires jems. Ces densités de courant sont
représentées en fonction de la température électronique Te sur les figures (FII-35)(a) et (b).
Deux échelles de représentation ont été choisies afin de pouvoir observer les phénomènes qui
se produisent entre 5000 K et 12000 K.
- 94 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
9
1.0x10
ji
jem
jems
jbd
j
8
-2
ji, jem, jems, jbd, j (A.m )
8.0x10
8
6.0x10
8
4.0x10
8
2.0x10
0.0
8
-2.0x10
5
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FII-35) (a) : Densité de courant totale j et ses composantes ji, jbd, jem et jems en fonction de la
température électronique Te
La figure (FII-35) (a) nous montre que la densité de courant ionique est quasi
constante à partir de Te=15000 K. Cela confirme l’idée que la stabilisation de la densité
électronique dans le corps du plasma entraîne une stagnation de la densité de courant ionique.
La densité de courant ionique va dans le même sens que la densité de courant due aux
électrons thermoémis. Cela se comprend car les ions en se recombinant au niveau de la
cathode vont créer une densité de courant d’électrons dans la cathode qui va dans le même
sens que la densité de courant des électrons thermoémis.
9
10
ji
jem
jems
j
8
10
7
-2
ji, jem, jems, j (A.m )
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
10
5
6
7
8
9
Te (kK)
10
11
12
Figure (FII-35) (b) : Densité de courant totale j et ses composantes ji, jem et jems en fonction de la
température électronique Te
- 95 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Concernant la densité de courant relative aux électrons rétrodiffusés, sa valeur est
négative car ces électrons vont vers la cathode.
On constate sur la figure (FII-35) (b) que la densité de courant des électrons
thermoémis est la composante principale de la densité de courant totale à partir de 8500 K. En
dessous de cette température, la densité de courant ionique est dominante. Cela s’explique
grâce à la température de la surface de la cathode qui n’est pas encore assez élevée (cf. V.C.)
pour que la densité de courant thermoémise soit majoritaire. Enfin en dessous de 7000 K la
densité de courant thermoémis devient inférieure à celle due aux électrons émis
secondairement.
V.C. Température de surface de la cathode
La température de surface de la cathode Tw, a également été calculée en fonction de la
température électronique Te. Ce résultat est présenté sur la figure (FII-36). Cette figure nous
montre que Tw évolue de la même manière que le flux de puissance total à la cathode q. Cela
est normal car q et Tw sont reliés linéairement par la relation (EII-03) avec κ pris constant.
La température de la surface ne dépasse pas la température d’évaporation du tungstène
qui est de 5933 K. Cependant à partir de Te = 10000 K, le métal de la cathode va dépasser la
température de fusion du tungstène qui est de 3680 K. Ce point peut constituer une limite du
modèle car nous n’avons pas considéré les pertes d’énergie dues au changement d’état et les
changements de propriétés relatives à l’émission électronique du tungstène liquide.
Néanmoins, les mesures de température de surface sur des cathodes en tungstène ont montré
que celle-ci peut monter au dessus de 3680 K [Hai-1].
5.0
4.5
Tw (kK)
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-36) : Température de la cathode Tw en fonction de la température électronique Te
- 96 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
Cette limitation est relative car la plupart du temps les cathodes sont en tungstène
thorié ce qui abaisse fortement la température de surface de la cathode comme le montre la
figure (FII-37) en prenant le travail de sortie de l’alliage à 3 eV.
Ce changement va se répercuter sur les bilans d’énergies (EI-23) et (EII-04) au travers
du flux d’électrons thermoémis mais aussi au niveau des coefficients où apparaît le travail de
sortie W traduisant l’absorption ou l’ « évaporation » d’électrons.
5.0
4.5
Tw (kK)
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
W = 4.5 eV
W = 3 eV
1.5
1.0
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-37) : Température de surface Tw en fonction de la température électronique Te dans
l’argon à la pression atmosphérique (Ronds : Tungstène pur, Carrés : Tungstène thorié)
V.D. La chute de tension cathodique U
La valeur de la chute de tension cathodique U en fonction de la température
électronique Te est donnée par la figure (FII-38) (a). Sur cette figure, la température
électronique est comprise entre 5000 K et 30000 K.
La figure (FII-38) (b) représente les chutes de tension U, Ui et Us respectivement
totale, de la zone d’ionisation et de la zone de charge d’espace en fonction de la température
électronique Te. La température électronique est prise entre 5000 K et 30000 K.
- 97 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
U (V)
100
10
1
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-38) (a) : Chute de tension cathodique U en fonction de la température électronique Te
200
U
Us
Ui
180
U, Us, Ui (V)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
5
10
15
20
25
30
Te (kK)
Figure (FII-38) (b) : chute de tension cathodique U et ses composantes Ui et Us en fonction de la
température électronique Te
La figure (FII-38) (a) nous montre que la chute de tension cathodique U croit de
manière importante pour des températures électroniques inférieures à 10000 K. Ce
phénomène peut être mis en relation avec la température de la surface de la cathode Tw qui
comme on l’a vu dans la partie précédente est encore faible pour des températures
- 98 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
électroniques inférieures à 10000 K. Par conséquent, la densité de courant thermoémis est
encore trop faible pour entretenir l’arc. Le système doit alors compenser ce manque
d’électrons thermoémis par une chute de tension cathodique plus importante. Cette
compensation va permettre au système d’accélérer plus efficacement les électrons et ainsi
d’augmenter l’ionisation dans la pré-gaine.
Au-delà de 10000 K, la figure (FII-38) (b) montre que la chute de tension cathodique
reste aux alentours de 10V et augmente légèrement avec la température électronique. D’autre
part on peut constater que la chute de tension dans la zone d’ionisation Ui est négligeable
devant celle calculée au niveau de la zone de charge d’espace.
V.E. Bilan de cette étude paramétrique
Les points que nous pouvons retenir de cette étude sont les suivants :
¾ Le flux d’énergie augmente lorsque la température électronique croit. Il est de
l’ordre de 107 W.m-2. Il est limité grâce à la thermoémission qui provoque deux
phénomènes antagonistes : plus la température de surface est grande plus le
refroidissement dû aux électrons émis est important. Le flux d’ions est limité
par l’ionisation du plasma.
¾ La densité de courant obtenue par notre modèle est de l’ordre de 108 A.m-2
pour des températures électroniques de plus de 11000 K ce qui est l’ordre de
grandeur de ce qui est trouvé dans la littérature [Hsu-2]. Celle-ci est dominée
par la thermoémission au dessus de 8500 K. Pour des températures
électroniques inférieures, la contribution apportée par les ions n’est plus
négligeable.
¾ La température de surface de la cathode en tungstène est comprise entre 1000
K et 4500 K pour une température électronique comprise entre 5000 K et
30000 K. Cette température de surface est fortement influencée par le travail
de sortie du matériau constituant la cathode.
¾ La chute de tension cathodique est de l’ordre de 10 V pour une température
électronique supérieure à 10000 K. En dessous de cette valeur elle croit
fortement mais reste limitée par l’émission secondaire.
- 99 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
VI. Vers une adaptation du modèle d’interaction arc
cathode
Pour pouvoir coupler notre modèle d’interaction à un modèle global d’arc avec la
cathode il est nécessaire de respecter deux contraintes :
¾ Il devra permettre d’assurer la conservation du courant sans imposer la taille du
pied d’arc.
¾ Il doit être applicable sur toute la surface de la cathode en contact avec le
plasma thermique.
Le choix des paramètres d’entrée du modèle est fondamental car il conditionne le
« bon couplage » entre la zone cathodique et la colonne de l’arc. Pour pouvoir réfléchir à ce
problème, il faut se projeter dans une adaptation du modèle en prenant en compte le plasma
thermique et son interaction avec la cathode.
VI.A. La conservation du courant
La figure (FII-39) illustre le passage du courant qui devra être assuré par notre modèle
entre la cathode et le plasma. L’objectif est de fixer le courant de la décharge, loin de la partie
de l’électrode qui est en contact avec le plasma, grâce, par exemple, à l’application d’un profil
de densité de courant sur une section de cathode. Il faudra ensuite conserver ce courant au
passage entre la cathode et le plasma à l’ETL. Etant donné que la gaine est une région où les
phénomènes physiques peuvent être décrits de manière unidimensionnelle, cela revient à
conserver localement la densité de courant j. Autrement dit, le paramètre principal qui devra
être considéré n’est pas la température électronique mais plutôt la densité de courant. Ainsi il
va falloir tester si notre modèle permet de résoudre le problème avec j comme grandeur
d’entrée. Ce point constitue une des principales différences entre ce travail et celui de Benilov
et al [Ben-10]-[Ben-13] qui fixe comme paramètres d’entrée du modèle la chute de tension
cathodique U et la température de surface de cathode Tw.
- 100 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
I
JM(r)
Gaine
Pré-gaine
Figure (FII-39) : Schéma du passage du courant dans la configuration d’arc libre avec une cathode
cylindrique.
VI.B. Paramètre d’entrée : j
Le couplage de « type j » vise à fixer la densité de courant totale j afin d’obtenir en sortie
la température électronique Te correspondante, la température de surface de la cathode Tw, la
chute de tension dans la gaine Us. Ces trois grandeurs de sortie sont indépendantes. Par
conséquent, il faut trois équations afin d’avoir un système fermé d’équations. Ces trois
équations vont être :
¾ L’équation de conservation de l’énergie électronique à l’interface gaine/pré-gaine
(EII-11)
¾ L’équation de l’énergie à l’interface gaine/cathode (EII-14)
¾ L’équation de la conservation du courant (EII-12)
La résolution de ce système d’équations va permettre de comparer les résultats obtenus
dans la partie V avec ceux utilisant j comme grandeur d’entrée. Ce type de couplage est plus
acceptable conceptuellement car celui-ci considère que c’est le courant qui sort de la cathode
qui va exciter le gaz se trouvant à proximité.
VI.C. Résultats
Les calculs ont été obtenus pour un gaz plasmagène d’argon à la pression atmosphérique. La
cathode est en tungstène. Sa longueur est de 1cm et la température de refroidissement est de
1000 K. Les valeurs tests de j vont de 5.103 à 5.108 A.m-2.
- 101 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
La densité de courant totale, la température de surface et la chute de tension cathodique sont
représentées respectivement par les figures (FII-40) (a), (b) et (c) pour des températures
électroniques comprises entre 5000 K et 15000 K.
9
10
8
10
7
-2
j (A.m )
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Te (kK)
Figure (FII-40) (a) : Densité de courant en fonction de la température électronique Te (étoiles : j
paramètre d’entrée ; ligne continue : Te paramètre d’entrée)
4.5
4.0
Tw (kK)
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Te (kK)
Figure (FII-40) (b) : Température de surface de la cathode Tw en fonction de la température
électronique Te (étoiles : j paramètre d’entrée ; ligne continue : Te paramètre d’entrée)
- 102 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
U (V)
100
10
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Te (kK)
Figure (FII-40) (c) : Chute de tension cathodique en fonction de la température électronique Te
(étoiles : j paramètre d’entrée ; ligne continue : Te paramètre d’entrée)
Ces trois figures montrent que notre modèle peut aussi bien fonctionner avec j comme
paramètre d’entrée qu’avec Te car il donne les mêmes résultats dans les deux cas. La figure
(FII-40) (a) permet de voir que la température électronique est bien croissante avec la densité
de courant. La même remarque peut être faite en ce qui concerne la température de surface de
la cathode présentée par la figure (FII-40) (b). Enfin avec le couplage de type j le palier de la
chute de tension à basse température électronique est encore présent.
- 103 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
VII. Bilan
Ce deuxième chapitre a montré la construction de notre modèle d’interaction entre le
plasma thermique et la cathode.
Une première étape de notre étude a consisté à essayer de reproduire le modèle de
Benilov et al [Ben-2]. Celle-ci a permis de se rendre compte de l’importance du calcul de la
densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine grâce à une erreur probable faite par les auteurs
de cet article au niveau des données de base concernant le coefficient de recombinaison à 3
corps kr.
Afin de prendre en compte les concepts mis en avant à la fin de la synthèse
bibliographique présentée dans chapitre 1, nous avons apporté des améliorations au modèle de
Benilov au niveau :
¾ Du flux d’électrons thermoémis
¾ Du calcul de la densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine qui est
maintenant effectué à partir d’un calcul de composition à deux températures
basé sur la théorie de Van de Sanden et al [Van-1]
¾ Des bilans d’énergie et de la densité de courant en y ajoutant un flux
d’électrons générés par émission secondaire avec un coefficient d’émission de
0.1.
¾ De la densité de charge à l’interface pré-gaine/plasma à l’E.T.L. qui est
maintenant déterminée à partir d’un calcul de composition monotherme.
Une fois construit, notre modèle a été validé à partir de résultats théoriques et
expérimentaux issus de la littérature portant sur la chute de tension cathodique et le flux de
puissance à la cathode. Le seul point qui n’est pas encore validé se situe au niveau du calcul
de la température de surface de la cathode. Ce dernier sera réexaminé dans le chapitre suivant.
Afin d’étudier la possible adaptation de notre modèle d’interaction à un modèle plus
général d’arc interagissant avec la cathode, nous avons montré que l’on pouvait utiliser
comme paramètre d’entrée la densité de courant permettant ainsi la conservation naturelle du
courant total entre le plasma et la cathode.
- 104 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Chapitre 3 : Modélisation à deux
dimensions
- 105 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
- 106 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
I. Introduction
Plusieurs travaux portant sur la modélisation de l’interaction arc/cathode à deux
dimensions peuvent être trouvés dans la littérature. Certains ne résolvent pas le potentiel dans
la cathode [Li-2][Ben-11][Pau-1][Del-1]. D’autres considèrent la conservation du courant à
l’interface plasma/cathode en conservant la densité de courant locale [Zhu-1][San-1] sans
prendre réellement en compte le fait que la thermoémission est principalement dépendante de
phénomènes thermiques.
Le chapitre 2 a donné les bases du modèle d’interaction arc/cathode que nous
proposions dans une configuration unidimensionnelle de zone cathodique. Nous allons à
présent adapter cette description de l’interaction plasma/cathode dans un modèle d’arc à deux
dimensions précédemment mis au point dans l’équipe [Lag-1]. Nous ne modéliserons pas
l’interaction avec l’anode afin de limiter le temps de calcul. Les développements devront
permettre d’assurer la conservation du courant total de la décharge en tenant compte des
propriétés de la zone d’interaction.
Le chapitre 3 va être structuré de la manière suivante :
¾ Les bases du modèle 2D utilisé vont être posées
¾ Les développements complémentaires pour la description de la zone cathodique dans
le cas du couplage seront présentés
¾ Le cas de référence utilisé pour nos calculs va être défini
¾ Les résultats obtenus grâce à notre modèle vont être exposés. Le passage du courant
entre la cathode et le plasma sera tout d’abord étudié dans la partie V.A.. Ensuite, une
analyse du profil radial de la chute de tension dans la gaine va être proposée dans la
partie V.B.. Enfin la partie V.C. va permettre de comprendre comment s’effectue le
transfert thermique entre la cathode et le plasma. Nous effectuerons pour chacune de
ces parties une étude du cas de référence puis les influences de différents paramètres
tels que la taille de la zone d’ionisation, la valeur de la température de refroidissement,
la valeur du travail de sortie et la largeur de la cathode seront étudiées. Les résultats
obtenus seront confrontés à ceux établis dans le cas de référence.
- 107 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
II. Le modèle 2D
Dans la configuration étudiée, l’arc n’est soumis à aucune force extérieure. Par force
extérieure, nous entendons par exemple celle qui pourrait être créée par un champ magnétique
extérieur ou un soufflage externe. L’étude sera donc faite sur un arc libre qui se prête bien à
une étude à deux dimensions axisymétrique.
II.A. Les hypothèses
Pour pouvoir modéliser l’arc et son interaction avec la cathode des hypothèses portant
sur chacune des parties (colonne du plasma, électrodes et zones d’interactions) doivent être
posées.
ƒ La colonne du plasma
Les hypothèses portant sur la colonne du plasma sont les suivantes :
¾ Le plasma dans la colonne sera supposé être à l’Equilibre Thermodynamique
Local (E.T.L.).
¾ Le plasma créé par l’arc sera considéré comme un fluide Newtonien (les
contraintes de viscosité ont un comportement linéaire).
¾ Le phénomène de gravité sera négligeable.
¾ Les équations décrivant le plasma seront considérées en régime stationnaire.
ƒ Les électrodes et leur interaction avec le plasma
Les hypothèses proposées pour décrire les électrodes et leur interaction avec le plasma
sont les suivantes :
¾ La zone anodique ne sera pas modélisée
¾ Les effets d’érosion aux électrodes et de bain liquide ne vont pas être pris en
compte (électrodes indéformables)
¾ L’effet Joule dans la cathode va être supposé négligeable
¾ Les équations décrivant la cathode et son interaction avec le plasma seront
considérées comme stationnaires.
- 108 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
II.B. Equations de conservation
¾ Equations décrivant le corps de l’arc
Les équations magnétohydrodynamiques stationnaires sont mises sous la forme
généralisée proposée par Patankar [Pat-1] :
r
r r
r
∇(αρvφ) = ∇ Γφ ∇φ + S φ
(
)
(EIII-01)
α est un coefficient prenant la valeur 0 dans le cas où l’équation ne possède pas de terme
r
convectif et 1 dans le cas contraire. ρ correspond à la densité de masse, v est le vecteur
vitesse, Γφ est le coefficient de diffusion, Sφ constitue le terme source et enfin φ correspond
au scalaire considéré. Pour décrire la colonne de l’arc sept équations de conservation sont
nécessaires. Celles-ci sont définies et regroupées dans le tableau (TIII-01) [Lag-1].
Equations
de
Φ
α
ΓΦ
Masse
1
1
0
Moment axial
u
1
μ
SΦ
conservation
Moment radial
v
1
μ
0
(EIII-02)
−
∂P
∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ ⎡ ⎛ ∂u ∂v ⎞⎤
+ 2 ⎜μ ⎟ +
μr⎜ + ⎟
∂z
∂z ⎝ ∂z ⎠ r ∂r ⎢⎣ ⎝ ∂r ∂z ⎠⎥⎦
−
2 ∂ ⎡ ⎛ ∂u 1 ∂
(rv )⎞⎟⎤⎥ + jr B θ
μ⎜ +
⎢
3 ∂z ⎣ ⎝ ∂z r ∂r
⎠⎦
−
∂P 2 ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂ ⎡ ⎛ ∂v ∂u ⎞⎤
μ⎜ + ⎟
+
⎜ μr ⎟ +
∂r r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂z ⎢⎣ ⎝ ∂z ∂r ⎠⎥⎦
−
2 1 ∂ ⎡ ⎛ ∂u 1 ∂
(rv )⎞⎟⎤⎥ − μ 22v − jz B θ
μr⎜ +
⎢
3 r ∂r ⎣ ⎝ ∂z r ∂r
r
⎠⎦
(EIII-03)
(EIII-04)
Energie
T
1
κ
Potentiel
V
0
σ
0
(EIII-06)
Az
0
1
μ 0 jz
(EIII-07)
Ar
0
1
j2r + j2z
∂T ⎞
5 k B ⎛ ∂T
+ jr
−U+
⎜ jz
⎟
∂r ⎠
σ
2 e ⎝ ∂z
(EIII-05)
électrique
Potentiel
vecteur axial
Potentiel
vecteur radial
μ 0 jr −
Ar
r2
(EIII-08)
Tableau (TIII-01) : Equations de conservation mises sous la forme généralisée de Patankar
- 109 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
μ
Viscosité
κ
Conductivité thermique
σ
Conductivité électrique
P
Pression
u
Composante axiale de la vitesse
v
Composante radiale de la vitesse
U
Pertes par rayonnement
V
Potentiel électrique
Ar
Composante radiale du potentiel vecteur
Az
Composante axiale du potentiel vecteur
jr
Composante radiale de la densité de courant
jz
Composante axiale de la densité de courant
Tableau (TIII-02) : Notations utilisées dans le tableau (TIII-01)
Les équations de conservation de la quantité de mouvement utilisent la composante
azimutale du champ magnétique B θ et les composantes de la densité de courant afin de
prendre en compte la force de Lorentz.
Le calcul du champ magnétique est donné par l’équation liant celui-ci au potentiel
r
vecteur A :
r r r
B = ∇×A
(EIII-09)
Ainsi, à partir de cette équation, la composante azimutale du champ magnétique s’écrit en
coordonnées cylindriques :
Bθ =
∂A r ∂A z
−
∂z
∂r
(EIII-10)
r
Le calcul des composantes de la densité de courant j s’effectue à partir de la loi
d’ohm microscopique :
r
r
j = −σ∇V
(EIII-11)
Cette équation s’écrit en coordonnées cylindriques :
j z = −σ
∂V
∂z
(EIII-12)
j r = −σ
∂V
∂r
(EIII-13)
- 110 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Dans l’équation d’énergie, le terme U correspondant aux pertes par rayonnement est
explicité en utilisant le coefficient d’émission net ε N :
U = 4πε N
(EIII-14)
¾ Equations de conservation dans la cathode
Dans la cathode, les équations résolues traduisent la conduction électrique, la
conservation du potentiel vecteur et la conduction thermique. De la même manière que pour la
représentation de l’arc, les équations sont mises sous la forme généralisée de Patankar [Pat1]. Les grandeurs φ , α, Γφ et S φ sont définies dans le tableau (TIII-03).
Equations de conservation
Φ
α
ΓΦ
SΦ
Potentiel électrique
V
0
σ
0
(EIII-15)
Potentiel vecteur axial
Az
0
1
μ 0 jz
(EIII-16)
Potentiel vecteur radial
Ar
0
1
Energie
T
0
κ
μ 0 jr −
Ar
r2
0
(EIII-17)
(EIII-18)
Tableau (TIII-03) : Equations de conservation dans le matériau mises sous la forme de Patankar
Les équations de conservation utilisées pour décrire le corps de la cathode et celui du
plasma sont maintenant posées. La partie suivante va permettre de voir de quelle manière
nous avons résolu ces équations.
II.C. Résolution
des
équations
aux
dérivés
partielles
stationnaires
Le système d’équations présenté dans les tableaux (TIII-01) et (TIII-03) est résolu par
la méthode des volumes finis [Pat-1]. Pour pouvoir comprendre sur un cas simple cette
méthode, celle-ci va tout d’abord être présentée dans le cas de phénomènes diffusifs purs que
l’on retrouve, par exemple, dans l’équation (EIII-15). Ensuite, la résolution des équations de
- 111 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
convection-diffusion va être décrite. Le couplage pression-vitesse utilisé sera également
explicité.
II.C.1.
Résolution des équations de diffusion pure
Lorsque la partie convective de l’équation (EIII-01) est négligeable devant les autres
termes, cette équation peut se mettre sous la forme :
r r
∇ Γφ ∇φ + S φ = 0
(
)
(EIII-19)
La méthode des volumes finis a pour objectif de discrétiser cette équation afin de la résoudre
sur chaque volume de contrôle défini par le maillage.
Pour expliquer le principe de base de la méthode, l’équation (EIII-19) va être
considérée dans le cas unidimensionnel. Ainsi, à une dimension, l’équation (EIII-19) s’écrit :
d ⎛ dφ ⎞
⎜ Γφ
⎟ + Sφ = 0
dx ⎝ dx ⎠
(EIII-20)
La figure (FIII-01) permet de représenter les paramètres nécessaires à l’intégration de
l’équation (EIII-20). δxwe correspond à la taille du volume de contrôle noté ΔV centré sur le
point P. Les points W et E correspondent aux centres des mailles adjacentes au volume de
contrôle considéré. Les limites e et w représentent les faces de ΔV. Les variables ΔxWP et ΔxPE
sont les longueurs respectives des segments WP et PE. Enfin Ae et Aw sont les aires
respectives des faces e et w.
δxwe
w
W
e
E
P
x
Ae
Aw
ΔxWP
ΔxPE
Figure (FIII-01) : Schéma d’un volume de contrôle accompagné des paramètres le caractérisant
- 112 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
L’équation (EIII-20) devient après intégration :
d ⎛
∫ dx ⎜⎝ Γ
φ
ΔV
dφ ⎞
⎛ dφ ⎞
⎛ dφ ⎞
⎟ dV + ∫ S φ dV = ⎜ ΓΦ
⎟ A e − ⎜ ΓΦ
⎟ A w + S ΔV = 0
dx ⎠
dx ⎠ e
dx ⎠ w
⎝142
⎝
ΔV
4
3
14243
(EIII-21)
2
1
Où S est la valeur moyenne du terme source S sur le volume de contrôle. Ae et Aw sont les
aires respectives de la face e et w du volume. Celles-ci sont hachurées sur la figure (FIII-01).
Les flux diffusifs 1 et 2 de l’équation (EIII-21) sont ensuite exprimés en fonction des points
adjacents à P :
⎛ φ − φP ⎞
⎛ dφ ⎞
⎟⎟
⎜ Γφ ⎟ = Γφ , e ⎜⎜ E
⎝ dx ⎠e
⎝ Δx EP ⎠
(EIII-22)
⎛ φ − φW ⎞
⎛ dφ ⎞
⎟⎟
⎜ Γφ ⎟ = Γφ , w ⎜⎜ P
⎝ dx ⎠ w
⎝ Δx PW ⎠
(EIII-23)
Le terme source moyen est mis sous la forme linéaire :
S ΔV = S U + S P φ P
(EIII-24)
Où SU est la partie constante du terme source moyen et SP est le coefficient directeur qui doit
être négatif.
La dernière étape consiste à mettre l’équation (EIII-21) sous la forme linéaire suivante :
a P φ P = a E φ E + a W φ W + Su
(EIII-25)
D’après les règles énoncées par la méthode de Patankar, les coefficients aP, aE et aW doivent
être positifs.
La méthode de discrétisation présentée dans cette partie permet de transformer un
système d’équations différentielles en un système d’équations linéaires dont les inconnues
sont les grandeurs scalaires locales φN. La résolution se fait de manière itérative suivant la
méthode TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm) [Pat-1].
Cette partie a permis de comprendre l’idée générale de la méthode des volumes finis
dans le cas de la résolution d’équations de diffusion. La partie suivante va permettre
d’exposer les notions à ajouter à l’approche présentée dans le cas d’équations de convectiondiffusion.
- 113 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
II.C.2.
Résolution des équations de Convection-diffusion
En présence d’écoulements, l’équation utilisée est celle de convection-diffusion dont
la forme stationnaire généralisée est définie par l’équation (EIII-01) que l’on rappelle ici :
r r
r r
∇(ρvφ) = ∇ Γφ ∇φ + S φ
(
)
Dans le cas unidimensionnel, si on reprend les notations de la figure (FIII-01) l’intégration de
l’équation (EIII-01) dans le volume de contrôle centré sur P donne :
(ρvφ)e A e − (ρvφ)w A w
⎛ dφ ⎞
⎛ dφ ⎞
= ⎜ Γ ⎟ A e − ⎜ Γ ⎟ A w + S ΔV
⎝ dx ⎠ e
⎝ dx ⎠ w
(EIII-26)
Dans le cas où la moyenne du terme source est nulle, l’équation (EIII-26) peut être mise sous
la forme suivante :
Fe φ e − Fw φ w = D e (φ E − φ P ) − D w (φ P − φ W )
(EIII-27)
Où F = ρv et D = Γ Δx .
L’équation (EIII-27) permet de voir que les valeurs du scalaire φ aux faces e et w du volume
de contrôle sont nécessaires. Pour déterminer ces valeurs plusieurs méthodes, appelées aussi
schémas, existent.
ƒ Différences centrées (Schéma du premier ordre)
Pour un maillage uniforme la méthode des différences centrées permet de trouver la
valeur du scalaire au niveau d’une face grâce à la moyenne des valeurs du scalaire aux nœuds
adjacents :
φ e = (φ P + φ E ) 2
(EIII-28)
φ w = (φ W + φ P ) 2
(EIII-29)
La limite de ce schéma numérique est qu’il ne tient pas compte de la direction de
l’écoulement contrairement aux autres schémas présentés dans les paragraphes suivants.
- 114 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
ƒ
Upwind (Schéma du premier ordre)
Ce schéma tient compte du sens de l’écoulement en prenant comme valeurs aux faces celles
se trouvant en amont de l’écoulement comme le montre la figure (FIII-02).
Fw > 0
Fe > 0
φw = φW
φe = φP
w
e
W
P
E
φw = φP
Fw < 0
φe = φE
Fe < 0
Figure (FIII-02) : Illustration du schéma upwind
Les valeurs des scalaires aux faces sont données par les relations suivantes :
¾ Cas 1 : Fw>0 et Fe>0 :
⎧φ w = φ W
⎨
⎩φ e = φ P
(EIII-30)
⎧φ w = φ P
⎨
⎩φ e = φ E
(EIII-31)
¾ Cas 2 : Fw<0 et Fe<0 :
De préférence ce schéma doit être utilisé pour un écoulement parallèle à la direction
principale du maillage.
ƒ Power-law (Schéma du premier ordre)
Le schéma Power-law est le schéma de discrétisation élaboré par Patankar [Pat-1].
Celui-ci utilise la solution exacte de l’équation de convection-diffusion à une dimension pour
trouver la valeur du scalaire φ aux faces. Pour illustrer cela, prenons le cas de la face e (cf.
figure (FIII-01)).
- 115 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
L’expression permettant de trouver la valeur du scalaire sur cette face est donnée par :
⎛
x ⎞
exp⎜⎜ Pe e ⎟⎟ − 1
φe − φP
⎝ Δx PE ⎠
=
φE − φP
exp(Pe ) − 1
(EIII-32)
Où Pe = F D est le nombre de Péclet traduisant le rapport entre les forces de convection et
celles de diffusion et xe est la distance de la face e par rapport au nœud P.
Cette expression est intermédiaire aux précédents schémas qu’elle permet de
retrouver :
¾ Dans le cas où Pe>>1 si le sens de l’écoulement est positif on retrouve φe = φP et si le
sens de l’écoulement est négatif on a φe = φE.
¾ Dans le cas où Pe<<1 et que le maillage est uniforme, la méthode Power law permet
de retrouver la différence centrée.
II.C.3.
Résolution du couplage pression-vitesses
Les grandeurs hydrodynamiques telles que les vitesses, la densité de masse et la
température sont résolues à partir des équations de conservation. La pression est déterminée
grâce à l’équation de correction de la pression déduite de l’équation de conservation de la
masse.
Les vitesses sont calculées au niveau des faces e et w. Les autres scalaires ainsi que la
pression sont calculés aux nœuds. Ainsi la pression et les vitesses ne seront pas calculées sur
un même maillage.
Les champs de vitesse et de pression sont calculés à partir de l’algorithme SIMPLE
[Pat-1]. Celui-ci se déroule de la manière suivante :
1. Le champ de pression est estimé
2. Les équations de conservation de la quantité de mouvement sont résolues afin
d’obtenir les champs de vitesses
3. La correction des vitesses est donnée par l’équation de correction de la pression
déduite de l’équation de conservation de la masse.
4. Le champ initial de pression est corrigé.
5. Les valeurs des vitesses estimées au niveau de l’étape 2. sont corrigées.
6. Les autres scalaires sont résolus
Cette procédure est réitérée à partir de la deuxième étape jusqu’à convergence
- 116 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
III.Interaction corps de l’arc/cathode
L’objectif novateur de la modélisation arc/cathode que nous présentons ici est
d’assurer une réelle interaction entre le plasma thermique et le matériau. Pour cela, l’état du
plasma, se trouvant à proximité de la cathode, et celui de la surface de la cathode doivent
conditionner le passage naturel du courant.
Le modèle unidimensionnel, présenté dans le chapitre II, a été mis en place avec la
densité de courant comme seul paramètre d’entrée afin de préparer son adaptation à un
modèle plus global de plasma thermique en 2D prenant en compte la cathode. Cependant, il
est nécessaire d’ajouter des développements spécifiques à cette adaptation comme on va le
voir ci-dessous.
III.A. Développements physiques spécifiques
Le premier point consiste à assurer la conservation du courant, qui est une loi de
l’électromagnétisme, en prenant en compte l’émission électronique à la surface de la cathode
(thermoémission et émission secondaire) qui est principalement due à des effets thermiques à
la surface du matériau.
L’idée qui va permettre d’assurer la conservation du courant, en prenant en compte
l’interaction entre le corps du plasma et la cathode, consiste à considérer une conductivité
électrique à deux températures au niveau de la pré-gaine. Son calcul doit tenir compte de
l’état local du plasma et de la surface de la cathode au travers de la température électronique
et de l’écart à l’équilibre noté θ défini comme étant le rapport de la température des électrons
Te sur celle des lourds notée Tl. Une estimation de la conductivité électrique à deux
températures dans la pré-gaine peut être donnée à l’aide de la formule suivante [Gir-1] :
σ 2 T = σ 1T (Te )
n e (Te , θ )
n e (Te )
(EIII-33)
σ1T(Te) est la conductivité électrique à l’E.T.L., ne (Te) est la densité électronique
calculée dans des conditions d’E.T.L. et ne (Te,θ) correspond à la densité électronique à deux
températures calculée pour une température électronique Te et un écart à l’équilibre θ.
- 117 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
L’expression (EIII-33) provient du fait que la conductivité électrique peut être
considérée dans une première approximation comme proportionnelle à la densité électronique.
Pour pouvoir déterminer la densité électronique dans la zone d’ionisation une
interpolation des températures des électrons et des lourds a été mise en œuvre dans la prégaine. Afin d’illustrer cette interpolation, la figure (FIII-03) donne une représentation
schématique des profils axiaux des températures des électrons et des lourds que nous avons
considérés dans la gaine et dans la pré-gaine.
≈ 0.01 µm
d ≈ 100 µm
T
Te =Tl
Te
Te gaine
Tl gaine=Tw
Tl
zc
z
Figure (FIII-03) : Représentation schématique des profils axiaux des températures des électrons et
des lourds dans la pré-gaine et dans la gaine.
Au niveau de l’interface gaine/pré-gaine, le modèle d’interaction, présenté dans le
chapitre II, va permettre d’obtenir la température électronique et la température des lourds
respectivement notées Te gaine et Tl gaine sur la figure (FIII-03). La température à l’interface
pré-gaine/plasma est donnée par le calcul magnétohydrodynamique dont les équations ont été
définies dans la partie II.B.. Les températures à l’interface gaine/pré-gaine et à l’interface prégaine/plasma étant connues, une interpolation de la température des électrons Te et des lourds
Tl peut être effectuée au niveau de la côte zc (cf. (FIII-03)) donnant ainsi la valeur de la
- 118 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
température électronique Te et celle du rapport θ = Te/Tl. La connaissance de Te et θ permet
d’obtenir la densité électronique au niveau de la position axiale zc grâce au calcul de la
composition à deux températures préalablement établi.
Le calcul des températures Te et Tl au niveau de la zone d’ionisation a été fait dans un
premier temps grâce à une interpolation linéaire. Dans un second temps, au vue des profils
présentés par Hsu et al [Hsu-1] nous avons utilisé une interpolation linéaire pour la
température électronique et une interpolation logarithmique pour la température des lourds:
Tl (z) =
Tl (z p ) − Tl (z cath )
[
]ln((z − z ) d +1) + T (z )
ln (z p − z cath ) d +1
cath
l
cath
(EIII-34)
Avec Tl (z ) la température des lourds pour une cote z, zp la côte correspondante à l’interface
entre le plasma à l’E.T.L. et la zone d’ionisation, zcath la côte de la surface de la cathode et d la
taille de la zone d’ionisation choisie.
Le second point a consisté à améliorer notre modèle d’interaction en incluant dans la
balance d’énergie le transfert thermique entre les neutres du plasma et la surface de la
cathode. Le modèle 2D permet d’avoir accès à la température du plasma à l’E.T.L. à
l’interface pré-gaine/plasma. Par conséquent la formule (EII-11) définissant le bilan d’énergie
à l’interface gaine/pré-gaine peut être améliorée en prenant la température donnée par le
calcul dans le plasma à l’E.T.L. pour déterminer la densité électronique à l’équilibre ne∞.
Le flux thermique venant du plasma, apporté par les neutres en contact avec la cathode, va
être ajouté au flux d’énergie provenant du plasma (EII-13) donnant ainsi la condition aux
limites à la surface de la cathode en contact avec le plasma pour le scalaire température (EIII35).
⎤
⎡ ⎛ ZT ⎞
∂T ⎤
⎡
− ⎢κ Matériau
= −φ i ⎢k ⎜ e ⎟ + eZU s + E i − Z (W − ΔW )⎥
⎥
∂z ⎦ Cathode
⎣
⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠
− φ bd (2kTe + (W − ΔW ))
+ φ em (2kTw + (W − ΔW ))
+ φ ems (2kTw + (W − ΔW ))
∂T ⎤
⎡
− ⎢κ Plasma
∂z ⎥⎦ PlasmaE .T . L.
⎣
- 119 -
(EIII-35)
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
III.B. Résolution des équations décrivant la zone d’interaction
¾ Schéma de calcul du gradient de potentiel
La différence entre la conductivité électrique du plasma et celle de la cathode est au
minimum de trois ordres de grandeur. Par conséquent, des problèmes numériques relatifs au
calcul de la densité de courant à l’interface plasma/cathode peuvent intervenir compromettant
le couplage entre la cathode et le plasma.
Le calcul de la dérivée est normalement pondéré par la grandeur notée FX(L) qui est
un facteur permettant de prendre en compte la non-uniformité du maillage. Ce facteur est
défini par la formule suivante :
FX (L ) =
Δx M
Δx M + Δx P
(EIII-36)
Les longueurs ΔxM et ΔxP sont représentées sur la figure (FIII-04).
LM
LP
L
∆xM
∆xP
Figure (FIII-04) : Représentation schématique d’un maillage non-uniforme
Afin de résoudre le problème engendré par la forte variation de la conductivité
électrique, une interpolation inspirée de celle proposée par Lago [Lag-2] a été mise en place
en effectuant une pondération de la dérivée grâce à la conductivité électrique et l’épaisseur
des mailles. Le nouveau facteur de pondération, noté AX(L), peut s’exprimer de la manière
suivante grâce à FX(L) :
⎡ σ (L M ) ⎛ 1
⎞⎤
AX (L ) = ⎢
+ ⎜⎜
− 1⎟⎟⎥
⎣ σ (L ) ⎝ FX ( L) ⎠⎦
−1
(EIII-37)
Où σ(LM) et σ(L) correspondent respectivement aux conductivités électriques calculées au
centre des mailles LM et L.
- 120 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Cette pondération remplace l’expression du facteur de pondération FX(L) (EIII-36) dans le
calcul du gradient du potentiel électrique. On remarquera que si les conductivités électriques
sont égales, on retrouve FX(L).
¾ Résolution du couplage cathode/zone d’interaction/plasma
La résolution du modèle d’arc et de son interaction avec la cathode est effectuée de
manière itérative. Les étapes du calcul sont les suivantes :
1. Le champ de température dans la cathode est initialisé.
2. Les grandeurs électromagnétiques sont calculées dans l’ensemble du domaine.
3. Les grandeurs hydrodynamiques dans le plasma sont calculées.
4. Les grandeurs de la zone d’interaction sont calculées donnant ainsi le flux d’énergie
vers la cathode.
5. La température dans la cathode est corrigée grâce au profil de flux d’énergie vers la
cathode déterminé à l’étape précédente.
6. La conductivité à deux températures est calculée dans la pré-gaine lorsque la balance
des flux à l’interface cathode/plasma peut être équilibrée. Dans le cas contraire la
conductivité électrique du gaz à l’équilibre est prise en compte.
7. La démarche est réitérée à partir de l’étape 2 jusqu’à convergence du calcul
Cette partie a décrit les développements spécifiques à l’introduction de notre modèle
d’interaction arc/cathode. La partie suivante va présenter la configuration de référence qui va
nous permettre de mettre en application notre modèle.
- 121 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
IV. Définition du cas de référence
Afin de pouvoir tester notre modèle, nous avons choisi une géométrie d’arc libre avec
une cathode cylindrique comme le montre la figure (FIII-05). Cette géométrie a été choisie
car elle permet d’appliquer notre description de l’interaction arc/cathode sur une surface
plane. Ainsi nous allons pouvoir observer comment le pied d’arc se positionne sur la surface
de la cathode ce qui ne serait pas le cas avec une cathode pointue qui contraindrait la sortie du
courant au niveau de la pointe.
Le rayon de la cathode est de 10 mm et sa longueur de 8 mm. L’espace inter-électrode
est de 5 mm. La taille de la zone d’accrochage anodique FE est calculée afin d’avoir une
densité de courant de l’ordre de -1.106 A.m-2 au niveau de l’anode pour un arc de 200 A. Cet
ordre de grandeur correspond à celui trouvé dans la thèse de Lago [Lag-2]. Le maillage utilisé
est uniforme avec un pas de 0.2 mm.
A
B
r
C
z
8 mm
Cathode
G
H
10 mm
5 mm
7.98 mm
F
E
Anode
15 mm
Figure (FIII-05) : Géométrie et domaine de calcul
- 122 -
D
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Le courant total de la décharge, qui constitue la grandeur conservative de notre
modèle, est appliqué au niveau du segment AB correspondant au fond de la cathode par
l’intermédiaire d’un profil radial de densité de courant constant (EIII-38).
j z (r ) =
I
2
π rAB
(EIII-38)
Avec I l’intensité du courant électrique circulant dans la décharge et rAB le rayon de la section
de la cathode où est imposé le profil de densité de courant.
Pour la résolution de l’équation de l’énergie, la température de refroidissement de la
cathode sur le segment AB est fixée et sera notée T0. Faute de résultats expérimentaux sur ce
type de configuration, une valeur arbitraire de la température de refroidissement T0 = 2000 K
a été choisie au niveau du segment AB. Cette valeur correspond à l’ordre de grandeur des
températures mesurées par Haidar et al [Hai-1] dans le cas d’une cathode pointue en
tungstène de diamètre 3.2 mm.
Les conditions aux limites au niveau des segments BC et CD sont définies
respectivement par les équations (EIII-39) et (EIII-40).
⎧T = 1000 K si v z ≥ 0
⎪
⎨ ∂T
⎪⎩ ∂z = 0 sinon
(EIII-39)
⎧T = 1000 K si v r ≤ 0
⎪
⎨ ∂T
⎪⎩ ∂r = 0 sinon
(EIII-40)
- 123 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Les conditions aux limites permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles
(c.f. (TIII-01) et (TIII-03)) dans le domaine de calcul présenté par la figure (FIII-05) sont
résumées dans les tableaux (TIII-04) (a) et (b).
AB
BC
CD
DE
EF
u
/
∂ρu
= 0 kg.m −3 .s −1
∂z
u = 0 m.s −1
u = 0 m.s −1
u = 0 m.s −1
v
/
v = 0 m.s −1
−1
∂ρv
= 0 kg.m −3 .s −1 v = 0 m.s
∂r
v = 0 m.s −1
T
T0
(EIII-39)
(EIII-40)
1000K
∂T
= 0 K .m −1
∂z
V
(EIII-
∂V
= 0 V .m −1
∂r
V = 0V
V = 0V
38)
∂V
= 0 V .m −1
∂z
Ar
∂Ar
= 0T
∂z
∂Ar
= 0T
∂z
∂Ar
= 0T
∂r
∂Ar
= 0T
∂z
∂Ar
= 0T
∂z
Az
∂Az
= 0T
∂z
∂Az
= 0T
∂z
∂Az
= 0T
∂r
∂Az
= 0T
∂z
∂Az
= 0T
∂z
Tableau (TIII-04) (a) : Table des conditions aux limites
FA
GH
HB
u
∂u
= 0 s −1
∂r
u = 0 m.s −1
u = 0 m.s −1
v
v = 0 m.s −1
v = 0 m.s −1
v = 0 m.s −1
T
∂T
= 0 K .m −1
∂r
(EIII-33)
∂T
= 0 K .m −1
∂r
V
∂V
= 0 V .m −1
∂r
/
∂V
= 0 V .m −1
∂r
Ar
∂Ar
= 0T
∂r
/
/
Az
∂Az
= 0T
∂r
/
/
Tableau (TIII-04) (b) : Table des conditions aux limites (suite)
- 124 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Le gaz plasmagène de la décharge est constitué par de l’argon à la pression
atmosphérique. La cathode est en tungstène qui est un matériau réfractaire dont la température
d’ébullition est de 5933K. Le travail de sortie des électrons est égal à 4.55 eV [Stö-1]. Le
coefficient d’émission secondaire est issu de l’article Phelps et al [Phe-1] dans lequel il est
égal à 0.1. L’intensité du courant électrique de la décharge est de 200A. La longueur de la
zone d’ionisation « d » est de 200 µm. Cette valeur est de l’ordre de grandeur admis dans la
littérature [Ben-15].
- 125 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V. Résultats
La présentation des résultats, obtenus avec notre modèle d’interaction arc/cathode 2D, va
se faire grâce à trois études :
1. l’une portant sur le passage du courant à l’interface cathode/plasma
2. une seconde qui permettra de comprendre l’évolution radiale de la chute de tension
cathodique.
3. une dernière montrant comment s’effectue le transfert thermique entre le plasma et la
cathode.
Pour chacune de ces études l’influence des paramètres jouant significativement sur les
grandeurs étudiées (conductivité électrique à deux températures, température de la surface de
la cathode, chute de tension cathodique …) va être présentée. Les paramètres qui ont été
étudiés sont les suivants :
¾ La longueur de la zone d’ionisation « d » afin de conclure si, à terme, un calcul
de cette grandeur devra être introduit dans notre modèle.
¾ Le choix de la température de refroidissement T0.
¾ L’influence de la valeur du travail de sortie des électrons
¾ L’influence de la valeur du coefficient d’émission secondaire afin d’étudier s’il
est nécessaire de calculer plus précisément ce coefficient à l’aide d’un modèle
utilisant la mécanique quantique [Spa-1][Jos-1].
Une étude sur l’influence de la méthode d’interpolation utilisée pour calculer la
température dans la zone d’ionisation sur les grandeurs de la décharge a été effectuée. Celle-ci
ne sera pas présentée car les résultats obtenus avec l’interpolation linéaire de la température
des lourds et la formule (EIII-34) donnent les mêmes résultats.
Notre modèle a été mis en place sous le logiciel commercial Fluent 4.5.6. et les calculs
ont été réalisés sur un ordinateur dont le processeur est cadencé à 2.17 GHz avec une mémoire
vive de 512 Mo. Le temps de calcul avec cette configuration est compris entre 4 et 8 heures.
- 126 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V.A. Passage du courant à l’interface cathode/plasma
Une des principales difficultés réside dans le fait que le passage du courant à la surface
de la cathode est fortement corrélé à l’état de la zone d’interaction arc/cathode.
Pour traiter cette problématique, le cas de référence va tout d’abord être étudié puis
des études paramétriques sur la taille de la zone d’ionisation, le travail de sortie des électrons
et la largeur de la cathode vont être effectuées.
Nous allons montrer dans cette partie que deux types de résultats peuvent être trouvés :
¾ Dans certains cas les phénomènes de déséquilibre thermodynamique à
l’interface gaine/pré-gaine guident le passage du courant à l’aide du calcul de
conductivité électrique à deux températures.
¾ Dans d’autres cas la température du plasma résultante du chauffage par effet
Joule va jouer un rôle prépondérant dans le calcul de la conductivité électrique
dans la pré-gaine.
- 127 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V.A.1.
Etude du cas de référence
Les résultats présentés dans cette partie sont obtenus à partir du cas de référence décrit
dans la partie IV..
La figure (FIII-06) montre les champs correspondant à la composante axiale (à gauche) et
radiale (à droite) de la densité de courant. Les pointillés représentent la position de la cathode
dans le domaine de calcul.
Cette figure indique (côté droit) qu’il existe une concentration du courant au niveau de
l’interface entre la cathode et le plasma qui n’est pas due à la géométrie de la cathode. On
remarquera notamment un changement de signe de la composante radiale de la densité de
courant à l’interface cathode/plasma traduisant un effet de pincement de l’arc à la surface de
la cathode. La figure (FIII-06) permet également de voir que le minimum de la composante
axiale de la densité de courant est de -2.3.106 A.m-2.
Jz (A.m-2)
Jr (A.m-2)
r
z
r
z
Figure (FIII-06) : Champs des composantes axiale (à gauche) et radiale (à droite) de la densité de
courant. Calcul effectué dans un plasma d’argon et avec une cathode en tungstène. (I = 200 A)
- 128 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Afin d’étudier la répartition de la composante axiale jz de la densité de courant dans le
domaine, des iso-contours de jz compris entre -1.104 A.m-2 et -2.106A.m-2 ont été dessinés sur
la figure (FIII-07). Les pointillés permettent de matérialiser la cathode.
Les lignes de courant se resserrent au niveau du pied d’arc cathodique formant ainsi
naturellement la « tache cathodique ». L’iso-contour d correspond à la densité de courant 5.105 A.m-2. Il met en avant le fait que le pincement de courant vers la « tache de sortie » se
fait en amont de la surface de la cathode en contact avec le plasma. L’iso-contour f relatif à la
valeur -2.106 A.m-2 permet de constater que le minimum de la composante axiale de la densité
de courant n’est pas sur l’axe.
r
jz (A.m-2) :
a : - 1.104
b :-5.104
c: -1.105
d : -5.105
e : -1.106
f : -2.106
f
a
c b
e
d
z
Figure (FIII-07) : Iso-contours de la composante axiale de la densité de courant calculés dans un
plasma d’argon et avec une cathode en tungstène. (I = 200 A)
L’existence du minimum de densité de courant en dehors de l’axe de la décharge à la
surface de la cathode pourrait être liée à une conductivité électrique dans la zone d’ionisation
plus importante sur le bord de la « tache cathodique ». Pour pouvoir vérifier cette hypothèse
le profil radial de la conductivité électrique au niveau de la côte z = 8.08 mm, située dans la
zone d’ionisation, est représenté sur la figure (FIII-08). Les valeurs de la conductivité
électrique présentées sur cette figure correspondent à celles dont le calcul a été décrit dans la
partie III.A..
- 129 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
La figure (FIII-08) permet de constater que la conductivité électrique est quasiment
constante jusqu’à un rayon de 2 mm, augmente jusqu’ à un maximum de 893 S.m-1 pour r =
4.7 mm puis décroit rapidement au-delà de cette position radiale. Ce résultat peut être mis en
relation avec le profil radial de la température électronique obtenu dans la gaine et présenté
figure (FIII-09).
3
1.0x10
2
-1
σ (S.m )
8.0x10
2
6.0x10
2
4.0x10
2
2.0x10
0.0
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-08) : Profil radial de la conductivité électrique dans la pré-gaine calculé dans un
plasma d’argon et avec une cathode en tungstène. (I = 200 A)
La figure (FIII-09) présente le profil radial de la température électronique obtenu à
l’interface gaine/pré-gaine pour des positions radiales comprises entre 0 et 10 mm.
Cette figure montre que le profil de température électronique est quasiment constant
jusqu’à un rayon de 2 mm. Le maximum de ce profil est de 8184K et se situe à une distance
radiale de 4.9 mm par rapport à l’axe.
La position radiale du maximum du profil de température électronique coïncide
quasiment avec le maximum de conductivité électrique. Ainsi on pourrait penser que la
température électronique dans la gaine, calculée grâce à notre modèle d’interaction, influence
fortement la conductivité électrique dans la zone d’ionisation.
Le désaxement des profils de température électronique dans la gaine et de conductivité
électrique dans la pré-gaine pourrait apporter une explication au fait que la densité de courant
soit minimale en dehors de l’axe de la décharge. Cependant, du fait du fort couplage entre le
- 130 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
plasma et la cathode, on ne peut pas affirmer que le désaxement de la densité de courant
provoque celui de la conductivité électrique ou bien l’inverse.
9.0
8.5
Te (kK)
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
-2
8.0x10
1.0x10
Figure (FIII-09) : Profil radial de la température électronique dans la gaine calculé dans un plasma
d’argon et avec une cathode en tungstène. (I = 200 A)
Afin de pouvoir apporter des éléments de réponse à cette question, un calcul a été
effectué en fixant la densité de courant, dans la cathode et à la surface de celle-ci, à l’aide
d’un profil de densité de courant constant permettant d’avoir un courant électrique de 200A.
La valeur de la densité de courant est de j(r) = -2.106A.m-2 pour des valeurs de r
comprises entre 0 et 5.6 mm et nulle au delà de ce rayon. Le profil de la densité de courant
obtenu lors du calcul complet et celui qui va être imposé sont présentés sur la figure (FIII10).
0.0
5
-5.0x10
jcalculé
jimposé
6
-2
j (A.m )
-1.0x10
6
-1.5x10
6
-2.0x10
6
-2.5x10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-10) : Profils de la densité de courant à la surface de la cathode calculé (carrés) et
imposé (ronds) avec un plasma d’argon et une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 131 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Ce profil constant de la densité de courant à la surface de la cathode va maintenant être
imposé dans notre modèle en utilisant les conditions aux limites et la géométrie présentées
dans la partie IV. Grâce à ce calcul, le déséquilibre existant dans la pré-gaine va être estimé à
l’aide de la température électronique dans la gaine, de la température dans le plasma à
l’E.T.L. et de la valeur du rapport θ = Te/Tl dans la pré-gaine. Ces résultats vont être ensuite
reliés au profil de conductivité électrique à deux températures dans la pré-gaine
La figure (FIII-11) présente les profils de la température électronique dans la gaine (z
≈ 8 mm) et de la température dans le plasma à l’E.T.L. en z = 8.2 mm.
Cette figure laisse apparaître une montée de la température électronique et cela
indépendamment du profil de la densité de courant qui est constant à la surface de la cathode
sur un rayon d’environ 6mm (FIII-10). Le profil de la température au niveau du plasma à
l’E.T.L. forme un plateau autour de 7500 K jusqu’à un rayon de 5 mm puis décroit. La figure
(FIII-12) va permettre de voir si l’écart à l’équilibre dans la pré-gaine suit la variation de la
température électronique.
8
T, Te (kK)
7
6
5
4
0.0
T (z = 8.2 mm)
Te
-3
2.0x10
-3
4.0x10
r (m)
-3
6.0x10
Figure (FIII-11) : Profils de la température électronique dans la gaine et de la température à dans le
plasma à l’E.T.L. (z = 8.2 mm) calculés avec un profil de j constant imposé à la surface de la cathode.
Décharge créée dans de l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
Le profil de θ au niveau de la côte z = 8.08 mm est présenté par la figure (FIII-12).
Cette figure indique que le déséquilibre thermodynamique dans la zone d’ionisation augmente
avec la valeur de r suivant ainsi la variation de la température électronique dans la gaine.
- 132 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
2.1
θ
2.0
1.9
1.8
0.0
-3
-3
-3
-3
-3
-3
1.0x10 2.0x10 3.0x10 4.0x10 5.0x10 6.0x10
r (m)
Figure (FIII-12) : Profil de θ (z = 8.08 mm) calculé avec un profil de j constant imposé à la surface
de la cathode. Décharge créée dans de l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
L’augmentation radiale du profil de température électronique dans la gaine ainsi que
du profil de θ doit donc se traduire par une densité de charge dans la pré-gaine plus
importante sur le bord de la « tache d’accrochage ». Cette augmentation a des conséquences
sur la conductivité électrique à deux températures dans la zone d’ionisation comme nous
pouvons le voir sur la figure (FIII-13).
1000
800
-1
σ (S.m )
600
400
200
0
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-13) : Profil de conductivité électrique dans la zone d’ionisation calculé avec un profil de
j constant imposé à la surface de la cathode. Décharge créée dans de l’argon avec une cathode en
tungstène (I = 200 A)
- 133 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Le profil radial de conductivité électrique dans la pré-gaine (z = 8.08 mm), obtenu en
utilisant un profil de densité de courant constant à la surface de la cathode (FIII-10), est
donné par la figure (FIII-13). Cette figure permet de constater que le profil radial de
conductivité électrique est maximum en dehors de l’axe. La différence entre la valeur
maximale de ce profil et la valeur axiale de la conductivité électrique est de 60 S.m-1. On peut
donc supposer qu’un léger déséquilibre au niveau de la conductivité électrique dans la zone
d’ionisation conduit à un désaxement de la densité de courant quand celle-ci est calculée dans
tout le domaine.
L’étude comparative des résultats obtenus avec les profils de densité de courant
calculé et fixé à la surface de la cathode, a montré que l’introduction d’une description de la
zone cathodique influençait la sortie du courant à l’interface cathode/plasma. Ainsi, dans le
cas de référence, le passage du courant est conditionné par le déséquilibre thermodynamique
existant à proximité de la surface de la cathode. Ce déséquilibre est gouverné par la
température électronique dans la gaine. Les études paramétriques, présentées par la suite, vont
montrer que cette interprétation n’est pas valable dans tous les cas.
V.A.2.
Etudes paramétriques
V.A.2.a) Influence de la longueur de la zone d’ionisation d
Le cas test a mis en évidence que la température électronique, au travers de la
conductivité électrique à deux températures, guidait la sortie du courant à la surface de la
cathode.
Nous allons voir si le raisonnement proposé pour expliquer le passage du courant au
niveau de la surface de la cathode, dans le cas de référence, est également applicable pour une
autre valeur de la longueur de la zone d’ionisation d. La valeur de « d » choisie pour cette
étude paramétrique est de 500 µm. Les autres paramètres de la configuration utilisée sont
ceux décrits dans la partie IV.. Les résultats obtenus dans cette nouvelle configuration vont
être comparés à ceux obtenus dans le cas de référence.
Les grandeurs principales qui vont être présentées sont : la température électronique
dans la gaine Te, la conductivité électrique à deux températures dans la pré-gaine σ2T et la
composante axiale de densité de courant jz.
- 134 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
La figure (FIII-14) présente les profils de la température électronique dans la gaine
pour les cas d = 200 µm et 500 µm.
Celle-ci montre que pour le cas d = 500 µm le profil de la température électronique
dans la gaine est quasi-constant jusqu’à un rayon d’environ 5 mm alors que dans le cas d =
200 µm le profil est maximum en dehors de l’axe. Nous pouvons également constater une
différence au niveau de la largeur des profils. Pour le cas d = 500 µm le profil de température
électronique est 2 mm plus large que dans le cas d = 200 µm.
D’après l’étude menée dans la partie V.A.1. la conductivité électrique à deux
températures devrait être influencée par les modifications que provoque l’utilisation d’une
distance d différente.
8.5
8.0
Te (kK)
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
0.0
d = 200 µm
d = 500 µm
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-14) : Profils radiaux de la température électronique dans la gaine déterminés en prenant
d = 200 µm (carrés) et d = 500 µm (ronds). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en
tungstène (I = 200 A)
- 135 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
La figure (FIII-15) représente les profils radiaux de conductivité électrique calculés
tous deux au niveau de la côte 8.08 mm, située dans la pré-gaine, en utilisant d = 200 µm et d
= 500 µm.
Cette figure permet de constater que les valeurs de la conductivité électrique obtenues
en prenant d = 500 µm sont deux fois plus importantes que celles obtenues avec d = 200 µm.
La figure (FIII-15) montre également que la zone conductrice est plus large si on prend d =
500 µm.
1400
d = 200 µm
d = 500 µm
1200
800
-1
σ (S.m )
1000
600
400
200
0
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-15) : Profils radiaux de la conductivité électrique en z = 8.08 mm calculés avec d = 200
µm (carrés) et d = 500 µm (ronds). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène
(I = 200 A)
Dans le cas d = 500 µm, si on met en relation le profil de température électronique
(c.f. (FIII-14)) avec le profil radial de conductivité électrique dans la pré-gaine présenté par la
figure (FIII-15), on peut voir clairement que la variation de la conductivité électrique à deux
températures dans la pré-gaine ne suit pas celle de température électronique. En effet, alors
que les températures électroniques sur l’axe sont identiques (c.f. (FIII-14)), et le restent
jusqu’à un rayon de 4 mm, les profils de la conductivité électrique présentent de grandes
divergences. Or la conductivité électrique à deux températures dépend aussi de la température
du plasma à l’E.T.L. au travers de l’interpolation de la température des lourds et des électrons
dans la pré-gaine (cf. partie III.A.).
- 136 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Les profils radiaux de la température du plasma à l’E.T.L. en z = 8.5 mm et de la
température électronique dans la gaine calculés dans les cas d = 500 µm et d = 200 µm sont
reportés sur la figure (FIII-16).
Dans le cas d = 500 µm, la figure (FIII-16) montre que le profil de température au niveau du
plasma à l’E.T.L. a son maximum sur l’axe. La valeur de celui-ci est de 8130K. Cette figure
permet également de constater que la décroissance de la température en z = 8.5 mm
commence autour de 4 mm contre 6 mm pour la température électronique dans la gaine.
Lorsque l’on prend d = 200 µm, la figure (FIII-16) indique que la température du côté du
plasma à l’E.T.L. est inférieure à la température électronique dans la gaine. La différence
entre les deux profils peut atteindre 1000K sur l’axe.
Nous pouvons donc dire que dans le cas d = 500 µm, la température des électrons au
niveau de la côte z = 8.08 mm sera supérieure à celle trouvée dans le cas d = 200 µm. De plus,
on sait que la conductivité électrique et la densité électronique sont très sensibles à la valeur
de la température dans la gamme de température dans laquelle nous nous trouvons. Cela
explique pourquoi les conductivités électriques dans la zone d’ionisation sont si différentes au
centre de la décharge.
9
Te
d = 200 µm
d = 500 µm
T, Te (kK)
8
T
d = 200 µm
d = 500 µm
7
6
5
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-16) : Profils radiaux de température électronique dans la gaine( carrés) et de
température dans le plasma à l’E.T.L.en z = 8.5 mm (ronds) calculés avec d = 500 µm (ronds).
Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 137 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Si on compare l’évolution radiale de la température en z = 8.5 mm (FIII-16) avec celle
de la conductivité électrique dans la pré-gaine (FIII-15) on peut voir que leurs variations sont
similaires. On peut donc conclure que dans le cas où on utilise d = 500 µm, le calcul de la
conductivité électrique dans la pré-gaine est gouverné principalement par la température dans
le plasma à l’E.T.L..
La figure (FIII-17) représente les champs de la composante axiale de la densité de courant
obtenus en utilisant une dimension de la zone d’ionisation d = 200 µm (à gauche) et d = 500
µm (à droite). Les pointillés représentent la position de la cathode.
La comparaison des deux champs montre que les changements dus à une autre valeur de
la dimension de la zone d’ionisation sont visibles dans tout le domaine de calcul. Le champ de
densité de courant selon z est maximum sur l’axe contrairement au cas où l’on prend d = 200
µm. Dans le cas de référence, la densité de courant minimale est de -2.35.106 A.m-2 alors que
dans le cas d = 500 µm elle est de -1.90.106 A.m-2.
Jz (A.m-2)
d = 200 µm
d = 500 µm
z (mm)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
r (mm)
Figure (FIII-17) : Champs de la composante axiale de la densité de courant obtenus pour d = 200
µm (à gauche) et pour d = 500 µm (à droite). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en
tungstène (I = 200 A)
- 138 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Les profils de la densité de courant à la surface de la cathode obtenus avec d = 200 µm
(carrés) et avec 500 µm (ronds) sont reportés sur la figure (FIII-18).
Cette figure montre que le profil de jz est plus étendu radialement dans le cas où on
prend d = 500 µm que dans celui où d est égal à 200 µm. Le rayon du profil de jz est de 6 mm
dans le cas d = 200 µm contre 7 mm dans le cas d = 500 µm.
0.0
d = 200 µm
d = 500 µm
5
-2
j (A.m )
-5.0x10
6
-1.0x10
6
-1.5x10
6
-2.0x10
6
-2.5x10
0.0
-3
2.0x10
-3
-3
4.0x10
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-18) : Profils de la densité de courant à la surface de la cathode obtenus en prenant d =
200 µm (carrés) et d = 500 µm (ronds). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène
(I = 200 A)
Les résultats présentés dans cette partie ont montré que la longueur de la zone
d’ionisation joue un rôle important sur le profil de la température électronique dans la gaine,
sur la conductivité électrique à deux températures dans la pré-gaine et sur le profil de densité
de courant à la surface de la cathode. Cette partie a mis en avant le fait que dans le cas d =
500 µm, le déséquilibre thermodynamique à l’interface gaine/pré-gaine ne joue pas un rôle
prépondérant dans le calcul de la conductivité électrique à deux températures. C’est la densité
de courant, au travers du chauffage par effet Joule du plasma à l’E.T.L., qui va créer les
conditions favorables au passage du courant. Il sera donc important d’inclure un calcul de la
longueur de zone d’ionisation dans de futurs travaux.
V.A.2.b) Influence du travail de sortie des électrons
L’objectif de cette partie est d’étudier la sensibilité du paramètre « travail de sortie »
du matériau constituant la cathode sur le passage du courant à l’interface cathode/plasma.
- 139 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Pour cela nous allons considérer un calcul avec une électrode en tungstène thorié dont la
valeur du travail de sortie est de 3 eV [Hai-1] que nous allons comparer aux résultats obtenus
dans le cas d’un matériau en tungstène pur : 4.55 eV, les conductivités électriques et
thermiques entre les deux cas restant identiques.
Pour effectuer ce test, la température de refroidissement de la cathode est de 1000 K.
Nous avons choisi cette température car les travaux de Haidar et al [Hai-1] ont montré
qu’une différence d’environ 1000 K existe dans la cathode suivant que l’on utilise du
tungstène ou bien du tungstène thorié. Les autres conditions du test sont celles décrites par la
partie IV.. Les résultats obtenus vont être comparés avec ceux trouvés dans les mêmes
conditions que celles utilisées dans le cas de référence (cf. IV.) mais avec une température de
refroidissement de la cathode réduite à 1000 K.
La figure (FIII-19) présente les profils radiaux de la température électronique dans la
gaine et de la température dans le plasma à l’E.T.L. calculés en utilisant des valeurs du travail
de sortie de 4.55 eV (W) et de 3 eV (WTh).
Cette figure permet de constater que la température électronique dans la gaine, dans le
cas d’un travail de sortie de 3 eV, est plus faible qu’avec 4.55 eV. En ce qui concerne la
température dans le plasma à l’E.T.L., on peut constater que les profils sont quasiment
identiques. Ces résultats ont été obtenus avec une dimension de la pré-gaine de 200 µm.
Te :
8.5
T, Te (kK)
8.0
W (4.55 eV)
WTh (3 eV)
T (z = 8.2 mm):
W (4.55 eV)
WTh (3 eV)
7.5
7.0
6.5
6.0
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-19) : Profils radiaux de la température électronique calculés au niveau de la gaine et
dans le plasma à l’E.T.L au niveau de la côte z = 8.2 mm. (carrés : W, ronds : WTh). Calculs effectués
dans l’argon (I = 200 A)
- 140 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Les profils radiaux de la conductivité électrique dans la pré-gaine, pour les deux
valeurs du travail de sortie, ont été tracés sur la figure (FIII-20) afin de voir quelles sont les
répercutions des différences entre les profils de la température électronique, présentés figure
(FIII-19), sur la conductivité électrique.
La figure (FIII-20) représente les profils radiaux de conductivité électrique calculés en
z = 8.08 mm en utilisant des valeurs du travail de sortie de 4.55 eV (carrés) et de 3 eV
(ronds).
On peut constater que le profil de la conductivité électrique est légèrement plus large
dans le cas où le travail de sortie est de 4.55 eV (W). La figure (FIII-20) montre également
que les deux profils se rejoignent entre 4 et 4.5 mm. La différence entre la conductivité
électrique au niveau de l’axe et sa valeur maximale sur le bord de la tache est de 284 S.m-1
pour 3 eV (WTh) contre 152 S.m-1 pour 4.55 eV (W).
La différence qui existe sur l’axe entre les deux profils de conductivité électrique
s’explique par le fait que la température électronique dans la gaine est plus faible dans le cas
où une valeur de 3 eV est choisie (cf. figure (FIII-19)).
Le croisement des deux profils de conductivité électrique (FIII-20) est dû au fait que
la température électronique dans la gaine et celle calculée dans le plasma à l’E.T.L. (FIII-19)
augmentent de manière quasi-identique dans le cas d’un travail de sortie de 3 eV. La
sensibilité de la conductivité électrique et de la densité électronique dans cette gamme de
température provoque alors une augmentation significative du profil de la conductivité
électrique à partir d’une distance radiale de 3 mm.
1200
W (4.55 eV)
WTh (3 eV)
1000
-1
σ (S.m )
800
600
400
200
0
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-20) : Profils de la conductivité électrique calculés au niveau de la côte z = 8.08 mm
(carrés : W, ronds : WTh). Calculs effectués dans l’argon (I = 200 A)
- 141 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
La comparaison des profils radiaux de la conductivité électrique à deux températures
avec ceux de la température électronique dans la gaine, calculés pour un travail de sortie de 3
eV, figure (FIII-19), permet de dire que la température électronique à l’interface gaine/prégaine influence la conductivité électrique à deux températures dans la pré-gaine.
La figure (FIII-21) représente les champs de la composante axiale de la densité de
courant calculés avec une électrode en tungstène (à gauche) et une en tungstène thorié (à
droite).
La figure (FIII-21) permet de voir que dans le cas du tungstène thorié le champ de jz
semble plus constricté au niveau du pied d’arc cathodique. La densité de courant axiale
minimale est de -2.94.106 A.m-2 avec 3 eV (WTh) contre -2.52.106 A.m-2 avec 4.55 eV (W).
La valeur importante du minimum de la densité de courant dans le cas où le travail de
sortie des électrons est de 3 eV (WTh) vient du fait que le plasma dans la pré-gaine est
conducteur sur une couronne plus étroite que dans le cas où le travail de sortie est de 4.55 eV
(W)(c.f. (FIII-20)).
Jz (A.m-2)
WTh (3 eV)
W (4.55 eV)
z (mm)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
r (mm)
Figure (FIII-21) : Champs de la densité de courant axiale pour du tungstène (W) et du tungstène
thorié (WTh). Calculs effectués dans l’argon (I = 200 A)
- 142 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Les profils de la densité de courant à la surface de l’électrode calculés avec des valeurs du
travail de sortie de 3 eV (WTh) et de 4.55 eV (W) sont représentés par la figure (FIII-22).
Sur cette figure on peut voir que la largeur du profil de la composante axiale de la densité
de courant, obtenue dans le cas 3 eV (WTh), est légèrement plus faible qu’avec 4.55 eV (W).
La figure (FIII-22) montre une différence d’environ 106 A.m-2 entre les minima des profils de
la densité de courant alors que proche de l’axe la différence entre les deux profils est minime.
La superposition des deux profils au centre de la décharge vient du fait que le gradient
radial de conductivité électrique est identique à proximité du centre de l’arc (cf. figure (FIII20)).
0.0
5
-5.0x10
W (4.55 eV)
WTh (3 eV)
6
-2
j (A.m )
-1.0x10
6
-1.5x10
6
-2.0x10
6
-2.5x10
6
-3.0x10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-22) : Profils de la densité de courant à la surface de la cathode en fonction de la
position radiale (carré : W, ronds : WTh). Calculs effectués dans l’argon (I = 200 A)
Cette partie a permis d’étudier l’influence du travail de sortie sur le passage du courant
à l’interface cathode/plasma. On a pu montrer que la modification de la valeur du travail de
sortie peut entrainer une diminution de la température électronique dans la gaine. Le
déséquilibre thermodynamique présent dans la pré-gaine et la sensibilité de la conductivité
électrique à la température électronique peuvent néanmoins mener à une augmentation
significative de la conductivité électrique dans la pré-gaine comme on a pu le voir dans le cas
où le travail de sortie est de 3 eV.
- 143 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V.A.2.c) Influence de la taille de la cathode
Pour étudier l’influence de la largeur de la cathode sur le passage du courant, un calcul
a été effectué en utilisant la géométrie présentée sur la figure (FIII-23). Dans cette
configuration, le domaine de calcul est de 13 x 15 mm. Le rayon de la cathode est de 1.6 mm
et sa longueur est de 8 mm. L’espace inter-électrodes est de 5 mm.
La largeur de la zone d’accrochage anodique FE est de 7.98 mm permettant ainsi
d’avoir des densités de courant de l’ordre de 106 A.m-2 pour une décharge de 200 A. Les
conditions aux limites sont celles décrites dans la partie IV.
A
B
r
C
z
8 mm
Cathode
G
H
1.6 mm
5 mm
7.98 mm
F
E
D
Anode
15 mm
Figure (FIII-23) : Dimensions de la configuration
L’arc modélisé dans cette configuration est créé dans l’argon à la pression
atmosphérique. L’intensité du courant électrique de la décharge est de 200 A. La cathode est
en tungstène. Le dernier paramètre à choisir est la longueur de la zone d’ionisation « d » que
nous prenons ici égale à 500 µm. La partie V.A.II.a) a montré que le minimum du profil de
- 144 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
densité de courant se trouve au centre de la cathode dans le cas où la longueur d est égale à
500 µm.
La figure (FIII-24) présente le champ de la composante axiale de la densité de courant
dans le domaine de calcul. Les pointillés correspondent à la position de la cathode.
Cette figure montre que le minimum de la composante axiale de la densité de courant est
de -3.65 A.m-2 et se trouve sur le bord de la cathode. Le décalage radial du minimum de la
densité de courant commence en amont de la surface de la cathode en contact avec le plasma.
Il est important de remarquer ici, que bien que nous ayons choisi une valeur de d = 500 µm,
nous obtenons un désaxement des densités de courant, ce qui n’était pas le cas dans la
géométrie précédente. Le phénomène de désaxement du profil de la densité de courant a
également été trouvé par Lowke et al [Low-4] dans le cas d’une cathode pointue dont le bout
a été tronqué.
Dans notre configuration on peut penser que le désaxement de la densité de courant est dû
à la présence d’un champ électrique important sur le bord de la cathode. Ainsi dans cette
configuration, le déséquilibre thermodynamique dans la zone d’interaction cathodique
pourrait ne pas jouer un rôle majeur au niveau de la description du passage du courant.
Jz (A.m-2)
z (mm)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
r (mm)
Figure (FIII-24) : Champ de densité de courant axiale. Calcul effectué dans l’argon avec une cathode
en tungstène (I = 200 A)
- 145 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Afin d’étudier si le décalage de la densité de courant est dû à un déséquilibre
thermodynamique dans la pré-gaine ou à la géométrie étudiée, le champ de densité de courant
a été calculé en utilisant trois régions de conductivités électriques différentes. Pour ce test seul
le potentiel électrique a été calculé (cf. (EIII-06) et (EIII-15)). Les conditions aux limites
permettant de résoudre l’équation de conservation du courant sont celles décrites par les
tableaux (TIII-04) (a) et (b).
Les trois régions sont représentées sur la figure (FIII-25). Cette figure montre une
région dont la conductivité électrique est celle d’une cathode en tungstène dont la température
est de 2000 K. La seconde région a une conductivité de 7.96.103 S.m-1 correspondante à celle
d’un plasma d’argon dont la température est de 15000 K. La troisième région possède la
conductivité électrique d’un gaz froid.
Cathode
1.76.106 S.m-1
10-10 S.m-1
Zone
conductrice
7.96.103 S.m-1
Anode
Figure (FIII-25) : Représentation schématique des trois régions utilisées pour effectuer le calcul du
potentiel électrique.
- 146 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
La figure (FIII-26) représente les résultats obtenus en calculant le potentiel électrique
avec une intensité du courant électrique de 200 A en utilisant les régions définies sur la figure
(FIII-25).
La figure (FIII-26) permet de constater que même avec des profils radiaux de
conductivité électrique constants dans le matériau et dans le plasma, le minimum de densité
de courant se trouve sur le bord de la cathode. Ce minimum est de -3.93.107A.m-2. Cette
valeur est proche de celle présentée sur la figure (FIII-24).
Jz (A.m-2)
z (mm)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
r (mm)
Figure (FIII-26) : Champ de densité de courant axiale. Calcul effectué dans l’argon avec une cathode
en tungstène (I = 200 A) avec 3 régions dont la conductivité électrique est définie par la figure
(FIII-25)
On peut donc conclure, que dans le cas où le plasma recouvre toute la surface de la
cathode, le champ électrique important, présent sur le bord de la cathode, va provoquer un
désaxement du minimum de la densité de courant.
Nous avons pu également voir dans cette partie que la densité de courant minimum
dans cette configuration est de l’ordre de 107 A.m-2 contre 106 A.m-2 dans le cas de référence
- 147 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
présenté dans la partie V.A.1.. Ainsi on peut conclure que la géométrie de la cathode
conditionne fortement le profil de la densité de courant.
V.A.3.
Bilan
L’étude du cas de référence a permis de montrer que quatre grandeurs sont nécessaires
pour comprendre de quelle manière s’effectue le couplage électrocinétique entre la cathode et
le plasma : la température électronique dans la gaine, la température du côté du plasma à
l’E.T.L., la conductivité à deux températures dans la pré-gaine et enfin la densité de courant
dans le domaine de calcul.
Les différentes études paramétriques présentées dans cette partie ont montré que deux
types de cas peuvent se présenter :
¾ Pour certaines situations le courant influence la conductivité hors-équilibre en
modifiant par effet Joule la température à la frontière pré-gaine/plasma à l’E.T.L. (noté
j ⇒ σ dans le tableau (TIII-05))
¾ Pour d’autres situations c’est le déséquilibre thermodynamique au niveau de la gaine
qui va modifier la température dans la pré-gaine et donc la conductivité électrique à
deux températures (noté σ ⇒ j dans le tableau (TIII-05)).
d = 200 µm
Tungstène
(Ø =20 mm)
j ⇒σ
σ⇒j
Tungstène
(Ø = 3.2 mm)
d = 500 µm
Tungstène
thorié
(Ø = 20 mm)
x
x
Tungstène
x
x
Tableau (TIII-05) : Synthèse portant sur le passage du courant dans les différentes configurations
étudiées.
Il est donc difficile d’établir une règle concernant le couplage électrocinétique entre la
cathode et le plasma lorsque la partie conductrice de ce dernier ne recouvre pas toute la
surface de la cathode.
Par contre l’étude paramétrique portant sur l’étude de la largeur de la cathode a montré
que lorsque le plasma conducteur recouvre toute la surface de la cathode, le champ électrique
présent sur le bord de l’électrode provoque un désaxement du minimum de la densité de
courant à sa surface. Ce désaxement est alors indépendant du déséquilibre thermodynamique
présent dans la pré-gaine.
- 148 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Enfin nous avons montré que la longueur de la zone d’ionisation d joue un rôle non
négligeable dans le calcul de la densité de courant à la surface de la cathode. Il serait donc
utile dans de futurs développements d’inclure un calcul de la longueur de la zone d’ionisation
[Alm-1][Rie-2] afin de s’affranchir de ce paramètre.
V.B. Chute de tension cathodique
Dans les paramètres essentiels pour la caractérisation d’un milieu plasma en
interaction avec une électrode, la chute de tension occupe une place centrale.
Nous avons, dans les chapitres précédents, montré que cette grandeur pouvait être
obtenue par notre modèle. Cependant cette grandeur présente une variation radiale et il est
difficile de donner une grandeur unique. Une chute de tension cathodique « effective » Uceff a
donc été définie :
U ceff =
∑
i
I
ji Ai U s , i
(EIII-41)
I correspond au courant de décharge, ji est la densité de courant pour une couronne d’aire Ai
et Us, i est la chute de tension dans la gaine associée à la couronne d’indice i. Ces grandeurs
sont schématisées sur la figure (FIII-27). Notons que le dénominateur de l’équation (EIII-41)
est assimilable à une conductance équivalente de la gaine.
Us, i
I
ji
Ai
Figure (FIII-27) : Schéma représentant les grandeurs de la formule (EIII-41)
Dans cette partie nous allons proposer une étude de sensibilité de la chute de tension
dans la gaine aux autres paramètres. Les résultats obtenus à partir du cas de référence décrit
- 149 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
dans la partie IV. vont être analysés afin de comprendre quelles grandeurs physiques jouent
un rôle dans l’évolution radiale de la chute de tension dans la gaine. Ensuite, l’influence de la
longueur de la zone d’ionisation d, du coefficient d’émission secondaire γ et de la température
de refroidissement de la cathode T0 sur le profil de chute de tension cathodique va être
présentée. Les résultats des calculs faisant varier la valeur du travail de sortie ne sont pas
présentés car ils sont similaires à ceux obtenus dans le cas où on change la température de
refroidissement T0.
V.B.1.
Cas de référence
Le profil de chute de tension dans la gaine est représenté sur la figure (FIII-28) pour
une position radiale comprise entre 0 et 10 mm. Sur cette figure a également été reportée la
chute de tension effective Uceff calculée à partir de l’équation (EIII-41) dont la valeur est de
17.95 V.
La figure (FIII-28) permet de constater que la chute de tension cathodique dépend
fortement de la position radiale. Sur l’axe de la décharge la chute de tension cathodique est de
15 V. La chute de tension dans la gaine croit jusqu’à atteindre 31.2 V pour un rayon r = 5.5
mm puis décroit jusqu’à r = 6.3 mm. Au-delà d’un rayon de 6.3 mm, une croissance de la
chute de tension peut être observée en fonction du rayon.
35
Us (V)
30
25
20
Um=17.95
15
10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-28) : Profil de la chute de la tension dans la gaine Us(r) et valeur de la chute de tension
effective Uceff. Calcul effectué dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 150 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Pour pouvoir comprendre l’évolution radiale du profil de la chute de tension dans la
gaine il est nécessaire d’étudier l’émission électronique à la surface de la cathode. Dans le
chapitre 2 il a été mis en évidence que la valeur de la chute de tension dans la gaine est
fortement liée à l’émission électronique à la surface de la cathode. Lorsque le flux d’électrons
thermoémis diminue la chute de tension dans la gaine augmente fortement.
La figure (FIII-29) présente l’évolution radiale de la densité de courant transportée par
les électrons thermoémis jem à la surface de la cathode.
Cette figure permet de constater que l’évolution radiale de la densité de courant
thermoémis est régulière. jem est quasi constante sur un rayon de 4 mm puis elle augmente de
manière importante au-delà.
La figure (FIII-28) a montré que l’évolution radiale de la chute de tension cathodique
est très irrégulière. Or le profil radial de jem est régulier. Par conséquent, on ne peut pas lier
directement les profils radiaux de la densité de courant thermoémis et de la chute de tension
dans la gaine. La variation de la chute de tension dans la gaine est en fait directement corrélée
au rapport entre la densité de courant thermoémis et la densité de courant totale comme on va
le voir sur la figure (FIII-30).
0.0
5
-2.0x10
5
-2
jem (A.m )
-4.0x10
5
-6.0x10
5
-8.0x10
6
-1.0x10
6
-1.2x10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-29) : Profil radial de la densité de courant transportée par les électrons thermoémis à la
surface de la cathode. Calcul effectué dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 151 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
L’évolution radiale du rapport entre la densité de courant thermoémis et la densité de
courant totale ainsi que le profil radial normalisé de la chute de tension dans la gaine sont
représentés sur la figure (FIII-30).
Cette figure permet de constater que les hausses de la chute de tension cathodique
coïncident avec les baisses de la proportion de la densité de courant thermoémis par rapport à
la densité de courant totale. Ainsi nous pouvons dire que le profil de la chute de tension
cathodique est directement corrélé à la valeur du rapport jem/j.
Le raisonnement suivant permet d’expliquer cette dépendance. Le fait d’imposer la
densité de courant totale j contraint la zone d’interaction cathodique à fournir un certain flux
de charges. Si le flux transporté par les électrons thermoémis n’est pas suffisant, le flux d’ions
et donc le chauffage du gaz doit augmenter afin d’avoir une densité de charges suffisante à
l’interface gaine/pré-gaine. Ce chauffage est entretenu par les électrons émis par la cathode et
accélérés par la chute de tension dans la gaine. Ainsi lorsque le rapport jem/j diminue, la chute
de tension dans la gaine doit augmenter.
1.0
0.9
Us/Us, max, jem/j
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
jem/j
Us/Us,max
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-30) : Profils radiaux normalisés de la chute de tension dans la gaine et du rapport entre
la densité de courant thermoémis et la densité de courant totale.
Calcul effectué dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 152 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V.B.2.
Paramètres influençant la chute de tension
cathodique
Cette partie va permettre d’étudier l’influence des paramètres qui jouent
significativement sur le profil de chute de tension dans la gaine. Ces paramètres sont : la
longueur de la zone d’ionisation d, la température de refroidissement de la cathode T0 et la
valeur du coefficient d’émission secondaire.
V.B.2.a) Longueur de la zone d’ionisation d
L’influence de la longueur de la zone d’ionisation d sur le profil de chute de tension
dans la gaine va être étudiée dans cette partie. La longueur de la zone d’ionisation est de 500
µm. Les autres conditions du calcul sont celles décrites dans la partie IV.
Les résultats obtenus dans cette configuration vont être comparés à ceux du cas de
référence. Nous allons montrer que la partie centrale du profil de la chute de tension
cathodique va contribuer majoritairement au calcul de la chute de tension effective Uceff.
Les profils de chute de tension calculés au niveau de la gaine dans les cas d= 200 µm
Us (V)
et d = 500 µm ont été reportés sur la figure (FIII-31).
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
0.0
d = 200 µm
d = 500 µm
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-31) : Profils radiaux de la chute de tension dans la gaine calculés avec d = 200 µm
(carrés) et d = 500 µm (ronds). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène
(I = 200A)
- 153 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Pour un rayon inférieur à 4 mm, les chutes de tensions sont superposées. Au-delà, de
nombreuses différences apparaissent. Une différence entre les deux profils de la chute de
tension dans la gaine peut être observée au niveau des maxima. Dans le cas d = 500 µm la
chute de tension est de 34 V contre 31 V dans le cas d = 200 µm. Au-delà d’un rayon de 7.3
mm, la chute de tension dans la gaine calculée avec d = 500 µm devient inférieure à celle
calculée avec d = 200 µm.
Dans le cas d = 500 µm, la chute de tension effective dans la gaine est de 18.4 V
contre 17.8 V dans le cas d = 200 µm. Au vue du faible écart entre les valeurs de la tension
effective et des différences constatées au-delà d’un rayon de 4 mm au niveau des profils de la
chute de tension dans la gaine (FIII-31), nous pouvons dire que la partie centrale des profils
de la chute de tension dans la gaine joue un rôle prépondérant au niveau du calcul de la chute
de tension effective dans la gaine.
V.B.2.b) Température de refroidissement de la cathode T0
L’influence de la température de refroidissement T0 sur le profil de la chute de tension
dans la gaine est étudiée. La température de refroidissement choisie est de 1000 K. Les autres
caractéristiques de notre calcul sont celles décrites par la partie IV. Les résultats obtenus dans
ces conditions vont être comparés à ceux obtenus dans le cas de référence.
Les profils de la chute de tension dans la gaine calculés avec T0 = 2000 K et T0 = 1000
K sont présentés par la figure (FIII-32)
3
10
Us (V)
T0 = 2000K
T0 = 1000K
2
10
1
10
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
r (m)
Figure (FIII-32) : Profils radiaux de la chute de tension dans la gaine (carré : T0 = 2000 K, ronds :
T0 = 1000 K). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 154 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
La chute de tension dans la gaine présentée par la figure (FIII-32) est fortement
influencée par le changement de la valeur de T0. On peut observer une différence de 7 V sur
l’axe et une différence d’un ordre de grandeur au bord de la cathode. La valeur de la chute de
tension obtenue sur le bord de la cathode dans le cas où l’on prend T0 = 1000 K n’est pas
réaliste.
Dans la partie III.C.1. nous avons montré que la chute de tension cathodique est
directement corrélée au rapport jem/j. Il est donc nécessaire d’analyser le profil radial de ce
rapport.
La figure (FIII-33) présente le profil radial du rapport entre la densité de courant
thermoémis et la densité de courant totale.
Cette figure nous montre que le rapport jem/j décroit fortement à partir d’un rayon de 4
mm. Au-delà d’un rayon de 6 mm, la densité de courant thermoémis tombe en dessous de 5%
de la densité de courant totale. Cela est dû au fait que le refroidissement de la cathode, trop
important dans le cas T0 = 1000K, entraine l’apparition d’une température de la surface de la
cathode insuffisante pour assurer le transfert de charges entre le plasma et la cathode par
thermoémission. Ainsi la chute de tension cathodique doit augmenter pour assurer la
conservation de l’énergie à l’interface gaine/pré-gaine.
0.5
0.4
jem/j
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-33) : Profil radial du rapport entre la densité de courant thermoémis et la densité de
courant totale. Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
Une des limites de notre modèle est donc atteinte dans cette configuration car en toute
rigueur le refroidissement de la cathode devrait être défini à l’aide d’un coefficient de
transfert de chaleur.
- 155 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V.B.2.c) Coefficient d’émission secondaire
L’influence de la valeur du coefficient d’émission secondaire sur le profil de la chute
de tension dans la gaine est étudiée dans cette partie. La valeur du coefficient a été modifiée et
fixée à 1. Les autres conditions du calcul sont celles détaillées dans la partie IV.
Grâce à un coefficient d’émission secondaire plus élevé, nous avons augmenté la part
des électrons secondaires et ainsi voir si la chute de tension diminue par rapport au cas de
référence.
Les profils de la chute de tension dans la gaine calculés avec γ = 1 et γ = 0.1 ont été
comparés. Ceux-ci sont représentés sur la figure (FIII-34).
On peut constater que l’utilisation de l’émission secondaire avec γ = 1 limite la chute
de tension à des valeurs allant de 14.4 V à 23.4 V. Dans le cas où γ = 1, la variation radiale de
la chute de tension cathodique se traduit par une tension effective Uceff de 16.2 V.
L’explication de cette différence de profil de chute de tension cathodique entre le cas γ
= 1 et γ = 0.1 se trouve au niveau de l’émission électronique secondaire et thermoémise
comme on va le voir sur la figure (FIII-35).
32
30
28
γ = 0.1
γ=1
Us(V)
26
24
22
20
18
16
14
12
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-34) : Profils radiaux de la chute de tension dans la gaine déterminés avec γ = 1 (ronds)
et γ = 0.1 (carrés). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
Les profils radiaux du rapport entre la densité de courant thermoémis et la densité de
courant totale, et du rapport entre la densité de courant des électrons secondaires et la densité
de courant totale calculés dans le cas γ = 1 sont reportés sur la figure (FIII-35).
- 156 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Cette figure permet de constater que la proportion de la densité de courant secondaire
par rapport à la densité de courant totale est deux fois plus importante que celle des électrons
thermoémis. Au niveau du pic de tension, situé à environ r = 5 mm (cf. figure (FIII-35)), on
peut constater une baisse de la densité de courant thermoémis et une hausse de la densité de
courant provenant de l’émission secondaire.
La part importante des électrons secondaires permet de compenser une partie de la
baisse de la proportion des électrons thermoémis limitant ainsi la hausse de la chute de
tension cathodique observée sur la figure (FIII-34) entre r = 4 et 6 mm.
0.50
0.45
0.40
jem/j, jems/j
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.0
jem/j
jems/j
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-35) : Profil radial du rapport entre la densité de courant thermoémis et la densité de
courant totale (carrés) ; Profil radial du rapport entre la densité de courant secondaire et la densité
de courant totale (ronds). γ = 1. Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène
(I = 200 A)
- 157 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V.B.3.
Bilan
L’étude sur le profil de chute de tension cathodique présenté dans cette partie a permis
de montrer que la valeur de Us dépend fortement du rapport entre la densité de courant
thermoémis et la densité de courant totale.
Le changement de la longueur de la zone d’ionisation a montré que la tension effective
est principalement affectée par la partie centrale du profil de chute de tension dans la gaine.
Nous avons pu également constater que la température de refroidissement joue de
manière significative sur la valeur de la chute de tension cathodique. Il sera donc préférable
dans de futurs développements d’utiliser un coefficient de transfert de chaleur pour définir la
température de refroidissement de la cathode.
Enfin on a pu remarquer que l’augmentation de la valeur du coefficient d’émission
secondaire entraine une limitation de la valeur maximale de la chute de tension dans la gaine.
Par conséquent, il sera nécessaire de mieux connaître la valeur du coefficient d’émission
secondaire dans de futurs développements.
V.C. Etude du transfert thermique
Après avoir étudié le passage du courant à l’interface cathode/plasma (cf. V.A) et le
profil de la chute de tension dans la gaine (cf. V.B), nous arrivons dans la troisième et
dernière partie portant sur l’étude du transfert thermique entre la cathode et le plasma. Cette
étude a pour but de quantifier le flux d’énergie vers la cathode et la température de surface de
la cathode obtenus à partir de notre modèle.
Dans le corps de la décharge, le lien entre la densité de courant et le plasma à l’E.T.L.
se fait grâce à l’effet Joule et à la conductivité électrique qui est fonction de la température du
plasma. Typiquement avec une cathode cylindrique, une intensité de 200 A et un gaz
plasmagène d’argon, la température maximale est de l’ordre de 11500 K avec une cathode
dont le rayon est de 10 mm et 15200 K pour une cathode dont le rayon est de 1.6 mm.
Le couplage thermique entre la cathode et le plasma a la particularité d’être complexe
à cause du phénomène de thermoémission qui se traduit par un refroidissement de la cathode
- 158 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
dépendant fortement de sa température de surface. Par conséquent, il est intéressant d’étudier
les profils radiaux du flux d’énergie et de la température à la surface de la cathode.
Les résultats provenant du calcul de référence vont être présentés dans un premier
temps. Ensuite les influences de la longueur de la zone d’ionisation d, de la température de
refroidissement T0 et du travail de sortie sur le transfert thermique à la cathode vont êtres
étudiées.
V.C.1.
Calcul de référence
Les profils radiaux du flux d’énergie à la surface de la cathode et de ses composantes
ont été reportés sur la figure (FIII-36). Les valeurs absolues des composantes des flux
d’énergie q (flux d’énergie total), qi (flux d’énergie ionique), qrd (flux d’énergie apporté par
les électrons rétrodiffusés) et qcond (flux dû à la conduction thermique) dont les valeurs sont
négatives ont été dessinées.
La figure (FIII-36) permet de voir que les contributions majoritaires proviennent des
ions, des électrons thermoémis et des neutres. Le flux d’énergie résultant est de l’ordre de 107
W.m-2. La figure (FIII-36) montre également que le flux d’énergie total a son maximum en
dehors de l’axe à cause du flux d’ions impactant de manière plus intense la surface de la
cathode sur le bord de la « tache cathodique ».
8
-2
q, qi, qrd, qems, qem, qconduction (W.m )
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
-q
-qi
-qrd
qems
qem
-qconduction
2
10
1
10
0
10
-1
10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-36) : Profils du flux d’énergie à la surface de la cathode et de ses différentes
composantes. Calcul effectué dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 159 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Pour mieux comprendre la hausse du flux d’ions vers la cathode pour des rayons
compris entre 4 et 5 mm, le profil radial de la valeur absolue du flux d’énergie, apporté par les
ions à la surface de la cathode, est représenté sur la figure (FIII-37). Le profil radial d’une
composante de |qi| correspondant à l’équation (EIII-42) y est également tracé.
q icomp = −(U s + E i ) ji
(EIII-42)
La figure (FIII-37) montre que la composante décrite par la formule (EIII-42) et le
flux d’ions vers la cathode ont des profils quasi identiques. Les maxima de ces courbes se
trouvent autour de r = 5 mm.
8
10
-2
-qi, -(Us+Ei) ji (W.m )
-qi
-(Us+Ei) ji
7
10
6
10
5
10
0.0
-3
2.0x10
-3
-3
4.0x10
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-37) : Profils des flux d’énergie ionique qi et qicomp à la surface de la cathode. Calcul
effectué dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
Le flux d’ions peut donc être approximé par la formule (EIII-42). L’explication de la
position du maximum du flux d’énergie apporté par les ions ne peut être donnée par la chute
de tension dans la gaine qui a son maximum entre 5 et 6mm. La température électronique
étant en dessous de 10000 K dans la gaine (cf. (FIII-11)), la valeur de l’énergie d’ionisation
peut être considérée comme constante suivant r. Enfin on a pu voir sur la figure (FIII-11) que
la température électronique est maximale autour de r = 5mm. Par conséquent, le maximum du
flux d’énergie ionique s’explique par le fait que la densité de courant ionique en valeur
absolue |ji| est maximale en r = 5 mm à cause d’une densité de charges importante à cet
endroit.
- 160 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Afin de voir si la forme du profil de flux d’énergie vers la cathode a des conséquences
sur la température de surface de la cathode, la figure (FIII-38) présente le profil de
température Tw à la surface de la cathode.
Cette figure montre que la température Tw est maximale au centre de la cathode.
Cela semble en contradiction avec le profil de flux d’énergie présenté par la figure
(FIII-37). Néanmoins une explication peut être apportée. Il existe un couplage thermique
particulier au niveau de la cathode qui est dû au phénomène de thermoémission : plus la
température est importante et plus le refroidissement par thermoémission est efficace. Ainsi le
désaxement du maximum du profil de flux peut être interprété comme un état d’équilibre
entre le chauffage provoqué par le flux d’ions allant vers la cathode et le refroidissement
efficace des électrons thermoémis.
3.2
3.0
Tw (kK)
2.8
2.6
2.4
2.2
2.0
0.0
-3
2.0x10
-3
-3
4.0x10 6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-38) : Profil de la température à la surface de la cathode. Calcul effectué dans l’argon
avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
V.C.2.
Etude de différents paramètres
Les paramètres étudiés dans cette partie sont : la longueur de la zone hors équilibre, la
température de refroidissement de la cathode et le travail de sortie des électrons. Le
coefficient d’émission secondaire a un effet similaire à celui du travail de sortie des électrons
par conséquent celui-ci ne sera pas présenté.
- 161 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
V.C.2.a) Longueur de la zone d’ionisation
La valeur de la longueur de la zone d’ionisation choisie pour étudier le transfert
thermique à la surface de la cathode est de 500 µm. Les résultats obtenus sont comparés avec
ceux du cas de référence.
Cette étude va permettre d’étudier le transfert thermique à la surface de la cathode
dans le cas où le profil de densité de courant à sa surface est minimum sur l’axe.
Le profil de flux d’énergie à la surface de la cathode est représenté sur la figure (FIII39) pour des tailles de la zone d’ionisation de 200 µm et 500 µm.
Cette figure montre que le flux d’énergie vers la cathode est plus étendu pour d = 500
µm et qu’il reste minimum en dehors de l’axe. Le minimum du flux d’énergie est de -3.9.107
W.m-2 dans le cas d = 200 µm et de -2.6.107 W.m-2 avec d = 500 µm. Cette différence entre
les minima est due au fait que le flux d’ions vers la cathode est plus important lorsqu’une
distance d = 200 µm est choisie.
0
d = 200 µm
d = 500 µm
7
-2
q (W.m )
-1x10
7
-2x10
7
-3x10
7
-4x10
7
-5x10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-39) : Profils radiaux de Flux d’énergie vers la cathode pour d = 200 µm (carrés) et d =
500 µm (ronds).Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
- 162 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
Pour mieux comprendre la hausse du flux d’ions vers la cathode pour des rayons
compris entre 4 mm et 5.5 mm, les profils radiaux de la valeur absolue du flux d’ions allant
vers la cathode et de la composante qicomp (cf. (EIII-42)) ont été tracés sur la figure (FIII-40)
dans le cas d = 500 µm.
Cette figure permet de voir que les résultats obtenus avec la formule (EIII-42) sont
très proches de qi. Si on regarde le profil de chute de tension cathodique obtenu sur la figure
(FIII-31), celui-ci a son maximum en r = 6.3 mm. Ainsi de la même manière que dans la
partie V.C.1. on peut conclure que la densité de charge, plus importante entre 5 et 6 mm, va
créer un minimum de flux d’énergie en dehors de l’axe de la décharge.
8
-2
-qi, -(Us+Ei) ji (W.m )
10
-qi
-(Us+Ei) ji
7
10
6
10
5
10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-40) : Profils des flux d’énergie ionique qi et qicomp à la surface de la cathode. Calcul
effectué dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
V.C.2.b) Influence de la température de refroidissement T0
Pour pouvoir étudier l’influence de la température de refroidissement sur le profil de
chute de tension dans la gaine, la température de refroidissement de la cathode T0 a été fixée à
1000 K. Les autres conditions du calcul sont détaillées dans la partie IV.. Les résultats ont été
comparés à ceux obtenus dans le cas de référence.
- 163 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
La figure (FIII-41) montre les profils radiaux de la température à la surface de la cathode
pour des températures de refroidissement T0 égales à 2000 K et 1000 K
Sur cette figure, une différence de 50 K peut être constatée entre les maxima de
température. Cette différence passe à plus de 600 K sur le bord de la surface de la cathode
comme le montre la figure (FIII-41).
Ces résultats permettent d’expliquer pourquoi la proportion d’électrons thermoémis
diminue drastiquement dans le cas où on fixe la température de refroidissement à 1000 K (c.f.
Tw (kK)
(FIII-33).
3.2
3.1
3.0
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2.0
1.9
0.0
T0 = 2000K
T0 = 1000K
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-41) : Profils radiaux de la température de surface de la cathode (carrés : T0 = 2000 K,
ronds : T0 = 1000 K).Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
La figure (FIII-42) présente les profils du flux d’énergie à la surface de la cathode
calculés en utilisant des températures de refroidissement T0 de 2000 K et 1000 K.
On constate que le flux d’énergie vers la cathode est plus important dans le cas où le
refroidissement est de 1000 K.
Cela s’explique par le fait que la décharge doit fournir plus d’énergie afin que la
température de surface de la cathode soit suffisante pour émettre assez d’électrons et ainsi
assurer la continuité du courant et le chauffage du gaz.
- 164 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
0
7
-1x10
7
-2x10
7
-2
q (W.m )
-3x10
7
-4x10
7
-5x10
7
-6x10
7
T0 = 2000K
T0 = 1000K
-7x10
7
-8x10
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
-3
8.0x10
-2
1.0x10
r (m)
Figure (FIII-42) : Profils radiaux du flux d’énergie à la surface de la cathode (carrés : T0 = 2000 K,
ronds : T0 = 1000 K). Calculs effectués dans l’argon avec une cathode en tungstène (I = 200 A)
V.C.2.c) Influence du travail de sortie des électrons
L’étude des répercutions de la valeur du travail de sortie des électrons sur le profil de
température de la surface de la cathode va être présentée. La valeur du travail de sortie choisie
est de 3 eV. Une température de refroidissement de 1000 K est utilisée. Les autres conditions
du calcul sont décrites dans la partie IV. Les résultats obtenus avec cette configuration sont
comparés avec ceux obtenus à partir de l’étude utilisant une configuration dont la température
de refroidissement est de 1000 K.
Les profils de la température à la surface de la cathode calculés dans les deux
configurations, décrites ci-dessus, sont exposés sur la figure (FIII-43).
Il est intéressant de voir sur la figure (FIII-43) que la température de la surface de la
cathode, dans le cas où le travail de sortie est de 3 eV, est de 1000 K inférieure à celle obtenue
avec un travail de sortie de 4.55 eV. Ce résultat est en bon accord avec la tendance relevée
dans l’article de Haidar et al [Hai-1]. Cela s’explique par le fait que le point d’équilibre entre
la cathode et le plasma se trouve à une température de surface plus basse dans le cas du
tungstène thorié.
- 165 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
3.2
Ws = 4.55 eV (W)
Ws = 3 eV (WTh)
3.0
2.8
Tw (kK)
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
0.0
-3
2.0x10
-3
4.0x10
-3
6.0x10
r (m)
-3
8.0x10
-2
1.0x10
Figure (FIII-43) : Température de surface de la cathode en fonction de la position radiale (carrés :
W, ronds : WTh). Calculs effectués dans l’argon (I = 200 A)
V.C.3.
Bilan
Cette partie a permis de montrer que le flux d’énergie apporté par les ions est le terme
prépondérant dans le transfert d’énergie à la cathode. Celui-ci dépend fortement de la densité
de charge à l’interface gaine/pré-gaine. Ainsi dans le cas d’une cathode large on a pu
constater que le minimum du flux d’énergie se trouve toujours en dehors de l’axe. Cependant,
le profil de température de surface de la cathode reste maximum sur l’axe à cause de
l’équilibre qui existe entre le chauffage ionique et le refroidissement de la cathode dû à la
thermoémission.
- 166 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
VI. Conclusion
Ce chapitre a permis de présenter le modèle 2D d’interaction entre la cathode et le
plasma que nous avons mis en place.
Dans la première partie nous avons présenté le modèle 2D décrivant les équations de
conservations dans la cathode et dans le corps du plasma.
Dans une seconde partie, les développements ajoutés au modèle d’interaction élaboré
dans le chapitre 2 ont été présentés. Notre modèle a été structuré afin de prendre en compte
l’existence de la zone cathodique dans le calcul du passage du courant à l’interface
plasma/cathode. Pour cela les propriétés de la zone d’ionisation ont été introduites grâce au
calcul de la conductivité électrique hors équilibre dans cette région. Ainsi cette conductivité
hors équilibre tient compte à la fois de l’état de la surface de la cathode mais aussi de l’état du
plasma à l’E.T.L. se trouvant à proximité à l’aide d’une interpolation de la température des
lourds et des électrons dans la pré-gaine. Grâce à ce modèle le passage du courant, sans fixer
la taille de la tache d’accrochage, a pu être décrit.
Dans une troisième partie nous nous sommes focalisés sur trois points afin d’analyser
les résultats obtenus grâce à notre modèle : le couplage électrocinétique cathode/plasma,
l’évolution radiale de la chute de tension dans la gaine et le transfert thermique à la cathode.
¾ La partie portant sur le couplage électrocinétique a mis en avant le fait que le
lien entre la conductivité électrique à deux températures dans la zone
d’ionisation et le courant dépend fortement des conditions du calcul. On a pu
notamment montrer que la longueur de la zone d’ionisation joue un rôle
important au niveau du passage du courant à l’interface plasma/cathode. Il a
également était démontré que lorsque le plasma recouvre complètement la
surface de la cathode, les effets de pointes sont prépondérants.
¾ L’étude du profil de chute de tension au niveau de la cathode a permis de voir
que celui-ci est directement corrélé au rapport entre la densité de courant
thermoémis et la densité de courant totale. Cette étude a permis de montrer que
le choix de la condition aux limites en température à la base de l’électrode joue
beaucoup sur le profil de chute de tension cathodique.
- 167 -
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
¾ Enfin l’étude du transfert thermique au niveau de la surface de la cathode a
montré que qu’elle que soit la configuration, le maximum de flux d’énergie
vers la cathode se trouve en dehors de l’axe à cause de la présence d’une
densité de charge plus importante pour des distances radiales de l’ordre de 5
mm.
- 168 -
Conclusion
Conclusion
- 169 -
Conclusion
- 170 -
Conclusion
L’objectif de cette thèse a consisté à mettre en place un modèle assurant de manière
auto-cohérente la continuité du courant entre une cathode et une colonne de plasma créée par
un arc électrique. La conservation du courant a ainsi été réalisée grâce à une description
physique des zones se trouvant au proche voisinage de l’électrode : la gaine et la pré-gaine.
Comme nous avons pu le montrer dans le chapitre 1, de nombreuses études existent
sur la représentativité de ces deux zones avec la mise en place de modèles plus ou moins
sophistiqués. Cependant malgré leur degré de complexité, ces modèles se focalisent sur la
description des mécanismes dans la zone au proche voisinage de l’électrode en excluant toute
interaction, ou lien, avec la colonne du plasma ou bien avec l’électrode. Notre travail a donc
consisté dans un premier temps à effectuer une synthèse des principales études de la littérature
avec pour objectif leur incorporation dans une modélisation globale incluant la cathode, la
zone au proche voisinage (gaine et pré-gaine) ainsi que la continuité vers le plasma. Deux
familles principales de théories peuvent être considérées : celle à une température et celle à
deux températures. La famille des modèles à deux températures peut elle-même être
subdivisée en deux sous familles : celle des modèles simplifiés ne modélisant pas la zone
d’ionisation et celle des modèles complets fournissant une description plus ou moins
complexe de cette zone appelée aussi pré-gaine. De ces différentes théories sont ressorties
trois idées principales.
(1) La théorie de Benilov semble la mieux adaptée pour constituer le point de départ
du modèle que nous voulions mettre en place. En effet elle représente la zone de gaine et de
pré-gaine et a fait l’objet d’une adaptation partielle.
(2) Un calcul de composition à deux températures est nécessaire pour la description de
la pré-gaine afin d’obtenir les densités de charges à l’interface gaine/pré-gaine. Pour cela nous
pouvons considérer la température de surface des lourds égale à celle de la surface de la
cathode comme le suggère Coulombe et al [Cou-2] et Zhou et al [Zho-2].
(3) Suivant l’idée avancée dans la théorie de Lowke, la conductivité électrique doit
prendre en compte les phénomènes liés à l’interaction arc/cathode.
Le chapitre 2 a présenté une synthèse des concepts qui sont ressortis de l’étape
bibliographique précédente ainsi que les premières idées permettant l’incorporation de la
physique présente dans ces modèles vers une modélisation globale. Ainsi la première étape a
consisté à reprendre et à développer la théorie présente dans le modèle de Benilov. La
comparaison avec les résultats obtenus par l’auteur nous a montré des désaccords que nous
- 171 -
Conclusion
avons attribués à des différences sur les données de base utilisées telle que la valeur du
coefficient de recombinaison à trois corps. Cependant les écarts observés et expliqués par le
choix de paramètres ou de données de base différentes ont pu être levés par l’amélioration de
nos développements. L’objectif ici n’a pas été de retrouver les résultats de l’auteur mais
d’apporter les améliorations nécessaires à l’utilisation de la théorie proposée dans un couplage
complet cathode/colonne de plasma. Ainsi des changements ont été amenés, dont les
principaux sont cités ici :
(1) Un calcul de la composition à deux températures du plasma d’argon à l’interface
gaine/pré-gaine a été réalisé à partir des lois de Saha modifiées définies par Van de Sanden et
al [Van-1].
(2) Le flux d’électrons thermoémis a été explicité et le phénomène d’émission
secondaire a été introduit.
(3) La densité de charges à l’interface pré-gaine/plasma provient d’un calcul à
l’équilibre thermodynamique.
Ce modèle a ensuite été validé pour des intensités de quelques ampères. Comme nous l’avons
montré au cours de ces travaux, différents paramètres d’entrée sont possibles dans le modèle
utilisant la théorie mise en avant par Benilov. Cependant, dans le but d’incorporer cette
physique dans un modèle « global », sous entendu dans lequel la conservation du courant
serait assurée de l’entrée dans la cathode jusqu’à son entrée dans l’anode, l’utilisation de la
densité de courant comme variable principale s’avérait obligatoire. La faisabilité de
l’utilisation de cette grandeur a donc été démontrée, et le modèle adapté afin d’utiliser ce
paramètre comme unique grandeur d’entrée.
Enfin la dernière étape a consisté à montrer la faisabilité de l’adaptation du modèle
proposé dans une représentation d’arc transféré en deux dimensions et à effectuer une étude
paramétrique des principaux paramètres et variables régissant la zone cathodique. Ainsi ce
chapitre a été découpé en différentes étapes :
(1) Le modèle magnétohydrodynamique de la colonne ainsi que la prise en compte de
la cathode au travers des équations de conservation (électromagnétique et thermique) ont été
tout d’abord présentés.
(2) Les modifications et les développements supplémentaires à l’utilisation du modèle
dans un code à deux dimensions ont été détaillés.
(3) Les principaux résultats obtenus sont exposés au travers d’une étude paramétrique
et comparés à une configuration test servant de base aux discussions. Les résultats obtenus
- 172 -
Conclusion
grâce à notre modèle ont été regroupés en trois parties. Nous présentons ici les conclusions
essentielles:
¾ Le couplage électrocinétique cathode/plasma a permis de montrer que la
longueur de la zone d’ionisation et la largeur de la cathode ont un effet
prépondérant sur la sortie du courant. La longueur de la zone d’ionisation ou
pré-gaine a été caractérisée pour deux épaisseurs 200 et 500 μm. Deux
dimensions de cathode ont été étudiées. Celles-ci correspondent à deux
configurations différentes : l’une où l’accrochage n’occupe qu’une partie de la
surface en contact avec la gaine, la seconde où l’accrochage est de dimension
identique au rayon de l’électrode. Ainsi nous avons pu montrer la sensibilité
des résultats à ces deux paramètres, notamment sur les champs de la densité de
courant qui pouvaient, suivant l’épaisseur de cette gaine, présenter des minima
en dehors de l’axe.
¾ La chute de tension au niveau de la cathode est un paramètre essentiel.
Cependant, le profil de la tension présente des irrégularités que nous avons
commentées. Ces irrégularités sont fortement corrélées au rapport entre la
densité de courant thermoémis et la densité de courant totale. Nous avons
ensuite proposé une formulation pour exprimer la tension moyenne au
voisinage de la cathode, et avons montré la forte sensibilité de la tension à la
condition de refroidissement.
¾ Enfin la dernière partie a porté sur l’étude du transfert thermique du plasma
vers la cathode. Dans cette dernière partie nous avons pu constater que le flux
d’énergie, majoritaire à la surface de la cathode, est celui des ions. Nous avons
pu également remarquer que le minimum du flux d’énergie vers la cathode est
toujours en dehors de l’axe de la décharge qu’elle que soit la configuration à
cause d’une densité de charges plus importante en dehors de l’axe.
Dans les perspectives de ces travaux, plusieurs améliorations ou extensions pourraient
être amenées :
- Nous avons montré la sensibilité des résultats à la température de refroidissement.
Pour s’abstenir de ce paramètre, il serait préférable d’utiliser un coefficient de transfert de
chaleur.
- 173 -
Conclusion
- L’épaisseur de la pré-gaine modifie le comportement du plasma avec des effets
visibles jusque dans la colonne. Un calcul de la longueur de la zone d’ionisation devra être
ajouté à notre modèle [Alm-1][Rie-2].
- Au niveau des hypothèses utilisées dans notre modèle figure l’absence de prise en
compte du rayonnement et de l’érosion à la surface de la cathode. Ces deux hypothèses,
étroitement liées, devront être reconsidérées. En effet, sur les bords de la décharge, vers les
basses températures, le rayonnement vers la cathode doit être considéré et cela d’autant plus si
des vapeurs métalliques sont présentes. Ainsi, dans la balance de flux d’énergie à la surface de
la cathode, ces deux contributions devront être rajoutées.
- L’implantation cumulée de notre modèle avec celui de zone anodique de Lago [Lag1] permettra d’avoir un modèle réellement auto-cohérent du corps de la cathode au corps de
l’anode. A terme, le modèle pourra être mis en place dans une description tridimensionnelle
de l’arc permettant ainsi d’étudier le positionnement du pied d’arc à la surface de la cathode.
- Les développements présentés manquent d’une validation avec des travaux
expérimentaux à plus fortes intensités du courant électrique. Une mise en place expérimentale
de configurations permettant de valider les développements théoriques présentés devra être
mise en œuvre. Par exemple des mesures expérimentales sur la température de la cathode
pourraient être effectuées (pyrométrie, caméra infrarouge), et une comparaison de la tension
totale aux bornes de l’arc réalisée.
- 174 -
Annexes
Annexes
- 175 -
Annexes
- 176 -
Annexes
Annexe 1
¾ Synthèse des théories
Modèles 2T
Modèles 2T simplifiés
Hsu
Benilov
Riemann&schmitz
Zhou
Coulombe
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Modèles
monotherme
Lowke
structure
Gaine
Pré-gaine
x
Thermodynamique
1T
2T
x
Flux
Ionique
Electrons rétrodiffusés
Electrons thermoémis
x
x
Densité de courant
J fixée
J calculée
x
x
Interface Gaine/pré-gaine
Conservation de l’énergie électronique
Conservation de l’énergie des ions
x
x
Interface cathode/gaine
Bilan énergie avec la cathode
x
x
x
x
x
x
x
Dimensions
1D
1D dans une configuration 2D axisymétrique
x
x
x
- 177 -
Annexes
Annexe 2 : Grandeurs utilisées
¾ Argon
1
10
0
-3
ρAr (kg.m )
10
-1
10
-2
10
-3
10
0
5
10
15
20
25
T (kK)
Figure (FAII-01) : Densité de masse de l’argon [Fau-1]
-4
3.0x10
-4
-4
2.0x10
-1
-1
μAr (kg.m .s )
2.5x10
-4
1.5x10
-4
1.0x10
-5
5.0x10
0.0
0
5
10
15
20
T (kK)
Figure (FAII-02) : Viscosité de l’argon [Fau-1]
- 178 -
25
Annexes
4
1.2x10
4
-1
Cp, Ar (kJ.kg .K )
1.0x10
3
-1
8.0x10
3
6.0x10
3
4.0x10
3
2.0x10
0.0
5
10
15
20
25
T (kK)
Figure (FAII-03) : Chaleur spécifique de l’argon (1 Atm) [Fau-1]
5
10
4
-1
σAr (S.m )
10
3
10
2
10
1
10
0
10
0
5
10
15
20
25
T (kK)
Figure (FAII-04) : Conductivité électrique de l’argon (1 Atm) [Fau-1]
- 179 -
Annexes
1
10
0
-1
-1
κAr (W.m .K )
10
-1
10
-2
10
-3
10
0
5
10
T (kK)
15
20
25
Figure (FAII-05) : Conductivité thermique de l’argon (1 Atm) [Fau-1]
11
10
10
10
-3
-1
εN,Ar (W.m .St )
9
10
8
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
0
5
10
15
20
25
T (kK)
Figure (FAII-06) : Coefficient d’émission net de l’argon calculé pour un rayon de 2 mm (1
Atm) [Err-1]
- 180 -
Annexes
24
10
θ=1
θ=2
θ=3
23
-3
ne (m )
10
22
10
21
10
20
10
0
5
10
15
20
Te (kK)
25
30
Figure (FAII-07) : Densité électronique calculée pour trois valeurs de θ. Plasma d’argon à
la pression atmosphérique.
- 181 -
Bibliographie
¾ Tungstène
7
1.4x10
7
1.2x10
7
-1
σW (S.m )
1.0x10
6
8.0x10
6
6.0x10
6
4.0x10
6
2.0x10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
T (K)
Figure (FAII-08) : Conductivité électrique du tungstène [Han-1]
2
2.0x10
2
1.8x10
2
1.6x10
-1
-1
κW (W.m .K )
2
1.4x10
2
1.2x10
2
1.0x10
1
8.0x10
1
6.0x10
1
4.0x10
1
2.0x10
0.0
0
1
2
3
4
T (kK)
Figure (FAII-09) : Conductivité thermique du tungstène [Tou-1]
- 182 -
5
Bibliographie
Bibliographie
- 183 -
Bibliographie
- 184 -
Bibliographie
[Alm-1]
Almeida R.M.S, Benilov M.S., Naidis G.V., « Simulation of the layer of non-
equilibrium ionization in a high-pressure argon plasma with multiply-charged
ions », J. Phys. D : Appl. Phys., 33, (2000), 960-967
[Ash-1]
Ashcroft N.W., Mermin N.D., « Solid state Physics », Saunders College
Publishing, 1976, ISBN : 0-03-083993-9
[Ben-1]
Benilov M.S., « Nonlinear heat structures and arc-discharge electrode spots »,
Phys. Rev. E, 48,1, (1993), 506-515
[Ben-2]
Benilov M.S., Marotta A., « A model of the cathode region of atmospheric
pressure arcs », J. Phys. D : Appl. Phys., 28,(1995), 1869-1882
[Ben-3]
Benilov M.S., « The ion flux from a thermal plasma to a surface », J. Phys. D :
Appl. Phys., 28, (1995), 286-294
[Ben-4]
Benilov M.S., « Multifluid equations of a plasma with various species of
positive ions and the Bohm criterion », J. Phys. D : Appl. Phys., 29, (1996),
364-368
[Ben-5]
Benilov M.S., « Theory of a collision-dominated space-charge sheath on an
emitting cathode », J.Phys.D : Appl. Phys., 30, (1997), 1115-1119
[Ben-6]
Benilov M.S., « Analysis of thermal non-equilibrium in the near-cathode
region of atmospheric-pressure arcs », J. Phys. D : Appl. Phys, 30, (1997),
3353-3359
[Ben-7]
Benilov M.S., Naidis G.V., « Ionization layer at the edge of a fully ionized
plasma », Phys. Rev. E, 57,2, (1998), 2230-2241
[Ben-8]
Benilov M.S., « Analysis of ionization non-equilibrium in the near-cathode
region of atmospheric-pressure arcs », J. Phys. D : Appl. Phys., 32, (1999),
257-262
[Ben-9]
Benilov M.S., « Theory and modelling of arc cathodes », Plasma Sources Sci.
Technol., 11, (2002), A49-A54
[Ben-10]
Benilov M.S., Cunha M.D., « Heating of refractory cathode by high-pressure
arc plasmas :I », J. Phys. D. : Appl. Phys., 35, (2002), 1736-1750
[Ben-11]
Benilov M.S., Cunha M.D., « Heating of refractory cathode by high-pressure
arc plasmas :II », J. Phys. D. : Appl. Phys., 36, (2003), 603-614
[Ben-12]
Benilov M.S., Cunha M.D., Naidis G.V., « Modelling interaction of
multispecies plasmas with thermionic cathodes », Plasma Souces Sci. Technol.
, 14, (2005) 517-534
- 185 -
Bibliographie
[Ben-13]
Benilov M.S., Carpaij M., Cunha M.D., « 3D modelling of heating of the
thermionic cathodes by high-pressure arc plasmas », J. Phys. D. : Appl. Phys.,
39, (2006), 2124-2134
[Ben-14]
http://www.arc_cathode.uma.pt/tool/index.htm, juin 2007
[Ben-15]
Benilov M.S., « Near-Cathode Phenomena in HID Lamps », IEEE Transaction
on industry applications, Vol. 37, n°4, (2001),986-993
[Cou-1]
Coulombe S., Meunier J-L., « Arc-cold cathode interactions : parametric
dependence on local pressure », Plasma Sources Sci. Technol., 6, (1997), 508517
[Cou-2]
Coulombe S., « A model of the electric arc attachement on non-refractory
(cold) cathodes », McGill University, Montréal, Canada, (1997)
[Cou-3]
Coulombe S., Meunier J-L., « Themo-field emission : a comparative study»,
J. Phys. D: Appl. Phys., 30, (1997), 776-780
[Dab-1]
Dabringhausen L., Lichtenberg S., Mentel J., « Application of a self-
consistent model for HID cathodes and its comparison with the experiment »,
ICPIG XXVI, Vol 2, Greifswald, Germany, (2003), 33-34, ISBN 300-0116893
[Dab-2]
Dabringhausen L., Nandelstädt D., Luhmann J., Mentel J., « Determination
of HID electrode falls in a model lamp I : Pyrometric measurements », J. Phys.
D : Appl. Phys., 35, (2002), 1621-1630
[Dab-3]
Dabringhausen L., Langenscheidt O., Lichtenberg S., Redwitz M., Mentel
J., « Different modes of arc attachement at HID cathodes : simulation and
comparison with measurements », J. Phys. D : Appl. Phys., 38, (2005), 31283142
[Del-1]
Delalondre C., « Modélisation aerothermodynamique d’arcs électriques a
fortes intensité avec prise en compte du déséquilibre thermodynamique local et
du transfert thermodynamique local et du transfert thermique à la cathode »,
Thèse de doctorat, Université de Rouen, 1990
[Err-1]
Erraki A., « Etude du transfert radiatif dans les plasmas thermiques :
application au SF6 et au mélange argon-fer », Thèse de l’Université Paul
Sabatier n°3447, Toulouse, (1999).
[Fau-1]
Fauchais P., Boulos M. I., Pfender E., « Thermal Plasmas-Fundamentals and
applications vol 1, (New York :Plenum), ISBN 0306446073
- 186 -
Bibliographie
[Fle-1]
Flesch P., Neiger M., « Numerical simulation of dc high-pressure discharge
lamps including electrodes », J. Phys. D : Appl. Phys., 35, (2002), 1681-1694
[Fre-1]
Freton P., Gonzalez J.J., Gleizes A., « Comparison between a tow-and a
three-dimensional arc plasma configuration », J. Phys. D : Appl. Phys., 33,
(2000), 2442-2452
[Gir-1]
Girard R., «Modélisation bi-dimensionnelle d’un arc de SF6 en extinction, en
déséquilibre thermique et chimique », Thèse de doctorat, Université Paul
Sabatier, Toulouse III, 2000.
[God-1]
Godin D., Trépanier J.Y., 1999 Proc. 14th International Symp. on Plasma
Chemistry (Praha, Czech Republic) vol. 1, p239
[Gon-1]
Gonzalez J-J, Freton P., Masquère M., « Experimental quantification in
thermal plasma medium of the heat flux transferred to an anode material », J.
Phys. D : Appl. Phys., 40, (2007), 5602-5611.
[Hai-1]
Haidar J., Farmer A.J., « surface temperature measurements for tungsten-
based cathodes of high-current free-burning arcs », J. Phys. D : Appl. Phys. 28,
(1995), 2089-2094
[Hai-2]
Haidar J., « Local thermodynamic equilibrium in the cathode region of a free
burning arc in argon », J. Phys. D : Appl. Phys., 28, (1995), 2494-2504
[Han-1]
HANDBOOK OF CHEMISTRY, weast, 67th edition, 1986-1987, CRC
press
[Hin-1]
Hinnov E., Hirschberg J.G., « Electron-ion recombination in dense
plasmas », Phys. Rev., 125, (1962), 795
[Hsu-1]
Hsu K.C., Pfender E., « Analysis of the cathode region of a free-burning high
intensity argon arc », J. Appl. Phys., 54, 7, (1983), 3818-3824
[Hsu-2]
Hsu K.C., « A self-consistent model for the high intensity free-burning argon
arc », Thèse de doctorat, Université du Minnesota, (1982)
[Hsu-3]
Hsu K.C., Etamadi K., Pfender E., « Study of a free-burning high-intensity
argon arc », J. Appl. Phys.,54,3,(1982), 1293-1301
[Jos-1]
Josso T., Jouin H., Harel C., Gayet R., “Enhancement of cathodic electronic
emission by slow positive ions in high-pressure arcs”, J. Phys. D: Appl. Phys.,
31, (1998), 996-1008
[Jüt-1]
Jüttner B., « Cathode spots of electric arcs », J. Phys. D : Appl. Phys., 34,
(2001), R103-R123
- 187 -
Bibliographie
[Lag-1]
Lago F., Gonzalez J.J., Freton P. Gleizes A., « A numerical modelling of an
electric arc and its interaction with the anonde : Part I. The tow-dimensional
model, J. Phys. D : Appl. Phys., 37, (2004), 883-897
[Lag-2]
Lago F., « Modélisation de l’interaction entre un arc électrique et une surface :
application au foudroiement d’un aéronef. », Thèse de doctorat, Université Paul
Sabatier, Toulouse III, (2004)
[Li-1]
Li H-P., Pfender E., Chen X., « Application of Steenbeck’s minimum
principle for three-dimensional modelling of DC arc plasma torches », J. Phys.
D : Appl. Phys., 36, (2003), 1084-1096
[Li-2]
Li H-P., Benilov M.S., Effect of a near cathode sheath on heat transfer in high-
pressure arc plasmas”, J. Phys. D: Appl. Phys., 40, (2007), 2010-2017
[Low-1]
Lowke J.J., Morrow R., Zhu P., Haidar J., Farmer A.J.D., Haddad G.N.,
« The physics of free burning arc and their electrodes », J. of High
Temperature Chem. Processes, 1, (1992), 549-556
[Low-2]
Lowke J.J., Morrow R., Haidar J., « A simplified unified theory of arcs and
their electrodes », J.Phys.D : Appl. Phys., 30, (1997), 2033-2042
[Low-3]
Lowke J.J., Quartel J.C., « Use of Transport coefficients of calculate
properties of electrode sheaths of electric arcs », Aust. J. Phys., 50, (1997),
539-552
[Low-4]
Lowke J.J., Kovitya P., Schmidt H P, « Theory of free-burning arc columns
including the influence of the cathode », J. Phys. D : Appl. Phys., 25, (1992)
1600-1606
[Luh-1]
Luhmann J., Nandelstädt D., Barzik A., Mentel J., « Measurment of the
cathode fall in a high pressure argon model lamp », ICPIG XXVI, Vol 1,
Greifswald, Germany, (2003),13-14, ISBN 300-011689-3
[Luh-2]
Luhmann J., Lichtenberg S., Langenscheidt O., Benilov M.S., Mentel J.,
« Determination of HID electrode falls in a model of lamp II : Langmuir-probe
measurements », J. Phys. D : Appl. Phys., 35, (2002), 1631-1638
[Mac-1]
Mackeown S.S., « The cathode drop in an electric arc », Phys. Rev., 34,
(1929), 611-614
[Mas-1]
Masquère M., « Etude du transfert d’énergie entre un arc électrique et un
matériau », Thèse de doctorat, Université Paul Sabatier, Toulouse III, (2005)
[Mit-1]
Mitchner M., Kruger C.H. Jr, « Partially Ionized Gases », (1973), New
York : Wiley
- 188 -
Bibliographie
[Mor-1]
Morrow R., Lowke J.J., « A one-dimensional theory for the electrode sheaths
of electric arcs », J. Phys. D : Appl. Phys., 26, (1993), 634-642
[Nan-1]
Nandelstät D., Luhmann J., Mentel J., « Measuring the power losses of
thermionic arc cathode », », ICPIG XXVI, Vol 1, Greifswald, Germany,
(2003),15-16, ISBN 300-011689-3
[Nan-2]
Nandelstädt D., Redwitz M., Dabringhausen L., Luhmann J., Lichtenberg
S., Mentel J., « Determination of HID electrode falls in a model lamp III :
Results and comparison with theory », J. Phys. D :Appl. Phys., 35, (2002),
1639-1647
[Nie-1]
Nielsen T., Kaddani A., Benilov M.S., « Model for arc cathode region in a
wide pressure range », J. Phys. D : Appl. Phys., 34, (2001), 2016-2021
[Pai-1]
Paik S., Huang P.C., Heberlein J., Pfender E., « Determination of the arc-
root position in a DC plasma torch », Plasma Chem. and Plasma Proc., 13, 3,
(1993), 379-397
[Pat-1]
Patankar S.V., « Numerical Heat Transfer and Fluid Flow », Mc Graw Hill
Company, (1980), ISBN 0891165223
[Pau-1]
Paul K. C., Takemura T., Hiramoto T., Erraki A., Dawson F., Zissis G.,
Gonzalez J-J., Gleizes A., Benilov M.S., Lavers J.D., « Self-Consistent
model of H.I.D. Lamp for design Applications », IEEE Transaction on Plasma
Science, 34,4,(2006), 1536-1547
[Phe-1]
Phelps A.V., Petrović Z. Lj., « Cold-cathode discharges and breakdown in
argon : surface and gas phase production of secondary electrons », Plasma
Sources Sci. Technol., 8, (1999), R21-R44
[Pot-1]
Potapov A.V. ,« Chemical equilibrium of mutitemperature systems », High
Temp., 4, (1966), 48-51
[Ret-1]
Rethfeld B., Wendelstorf J., Klein T., Simon G., « A self-consistent model
for the cathode fall region of an electric arc », J. Phys. D : Appl. Phys., 29,
(1996), 121-128
[Rie-1]
Riemann K-U., « The Bohm criterion and sheath formation », J. Phys. D :
Appl. Phys., 24, (1991), 493-518
[Rie-2]
Riemann K-U., « Consistent analysis of a weakly ionized plasma and its
boundary layer », J. Phys. D : Appl. Phys., 25, (1992), 1432-1442
- 189 -
Bibliographie
[Rie-3]
Riemann K-U., « The Bohm criterion and boundary conditions for a
multicomponent system », IEEE Transaction on plasma science, 23, 4, (1995),
709-716
[San-1]
Sansonnens L., Haidar J., Lowke J.J., « Prediction of properties of free
burning arcs including effects of ambipolar diffusion », J. Phys. D : Appl.
Phys., 33, (2000), 148-157
[Sch-1]
Schmitz H., Riemann K-U., « Consistent analysis of the boundary layer of a
Saha plasma », J. Phys. D : Appl. Phys., 34, (2001), 1193-1202
[Sch-2]
Schmitz H, Riemann K-U, « Analysis of the cathodic region of atmospheric
pressure discharges », J. Phys. D : Appl. Phys., 35, (2002), 1727-1735
[Spa-1]
Spataru C., Teillet-Billy D., Gauyacq J. P., Testé P., Chabrerie J. P., “Ion-
assisted electron emission from a cathode in an electric arc”, J. Phys. D: Appl.
Phys., 30, (1997), 1135-1145
[Spe-1]
Speckhofer G., Schmidt H.-P., « Experimental and theroretical investigation
of high-pressure arcs. Part II : the magnetically deflected arc (threedimensional modeling) », IEEE Trans. on Plasma Science, 24, 4, (1996), 12391248.
[Stö-1]
Stöcker H., Jundt F., Guillaume G., « Toute la physique », editions Dunod,
ISBN :2 10 003942 3
[Teu-1]
Teulet P., « Etude des écarts à l’équilibre radiatif et thermique dans les
plasmas air et air sodium. Application au diagnostic spectroscopique, Thèse n°
3298, 1998
[Ton-1]
Tonks L., Langmuir I., « A general theory of plasma of an arc », Physical
Review, 34, (1929), 876-922
[Tou-1]
Touloukian Y.S., Thermophysical properties of matter, The TERS Data
Series, Vol. 1, (1970), ISBN : 0306670208
[Vac-1]
Vacquier S., « L’arc électrique », éd. Eyrolles, ISBN : 2-212-05822-5
[Val-1]
Valentini H-B., Herrmann F., « Boundary value problems for multi-
component plasmas and a generalized Bohm criterion », J. Phys. D : Appl.
Phys., 29, (1996), 1175-1180
[Van-1]
Van de Sanden M.C.M., Schram P.P.J.M., Peeters A.G., « Thermodynamic
generalization of the Saha equation for a two temperature plasma », Phys. Rev.
A, 40, 9, (1989), 5273-5276
- 190 -
Bibliographie
[Ver-1]
Versteeg H.K., Malalasekera W., «An introduction to computational fluid
dynamics: The finite volume methode », Longman-Edinburgh, (1996), ISBN 0582-21884-5
[Yok-1]
Yokomizu Y., Matsumura T., Henmi R., Kito Y., « Total voltage drops in
electrode fall regions of SF6, argon and air arcs in current range from 10 to
20000A », J. Phys. D :Appl. Phys., 29, (1996), 1260-1267
[Zho-1]
Zhou X., Heberlein J., « Theoretical study of factors influencing arc erosion
of cathode », IEEE Transaction on components, parckaging and manufacturing
technology, Part A, 17, 1, (1994), 107-112
[Zho-2]
Zhou X., Heberlein J., « Analysis of the arc-cathode interaction of free-
burning arcs », Plasma Souces Sci. Technol.,3, (1994), 564-574
[Zhu-1]
Zhu P., Lowke J.J., Morrow R., « A unified theory of free burning arcs,
cathode sheaths and cathodes », J. Phys. D : Appl. Phys, 25, (1992), 1221-1230
- 191 -
Bibliographie
- 192 -
TITLE: Modeling of the arc cathode interaction
SUMMARY:
This work deals on the study and the development of a model describing the
interaction between argon thermal plasma and a tungsten cathode.
A bibliographical study of the different models describing the interaction region is
performed leading to the theory proposed by Benilov as base of our developments.
In a second part, the arc/cathode interaction model has been realized taking into
account secondary emission phenomenon. Then the model has been compared and validated
by experimental results found in the literature. The final aim of this study was to couple the
developed interaction model to a more global modeling describing the electrical conduction in
the cathode bulk, the interaction region (sheath and pre-sheath) and the plasma column. We
expose the rule of different possibilities for the input parameters and we justify the choice of
the current density as main entry.
In a last part, the interaction model has been coupled to a two dimensional coordinate
system model of thermal plasma flow. The current continuity between cathode and plasma
has been assumed using an estimation of the two temperature electrical conductivity in the
pre-sheath. The influence of physical parameters (values of the secondary emission
coefficient, work function…) and geometrical ones on the characteristics of the discharge
(cathode drop voltage, plasma temperature field…) in a free burning arc configuration using
cylindrical cathode has been realized showing the good ability and behavior of the model to a
global thermal plasma description.
KEY WORDS: Cathode, numerical modeling, thermal plasma, 2D, interaction, two
temperature, heat flux, cathodic voltage drop, electrical arc, sheath, pre-sheath.
AUTEUR : François CAYLA
TITRE : Modélisation de l’interaction entre un arc électrique et une cathode
DIRECTEURS DE THESE : Jean-Jacques GONZALEZ et Pierre FRETON
LIEU ET DATE DE SOUTENANCE : Toulouse, le 5 Février 2008
RESUME :
Ce travail est relatif à l’étude et à la mise en place d’un modèle décrivant l’interaction
entre un plasma thermique d’argon à la pression atmosphérique et une cathode en tungstène.
Après une étude bibliographique sur les différents modèles décrivant la zone d’interaction,
la théorie proposée par Benilov a été retenue comme base de nos développements.
Dans une seconde partie, le modèle d’interaction arc/cathode est amélioré notamment par
la prise en compte de l’émission secondaire. Le modèle est ensuite confronté et validé par des
résultats expérimentaux issus de la littérature. Notre objectif était de coupler ce modèle
d’interaction à une modélisation plus globale représentant aussi bien le passage du courant
dans la cathode, la zone d’interaction (gaine et pré-gaine) que la colonne du plasma. Nous
exposons les différents paramètres d’entrée possibles et justifions le choix de la densité de
courant.
Dans une dernière partie, le modèle d’interaction développé est couplé à un modèle
bidimensionnel (2D) de plasma thermique en écoulement. Le passage du courant entre la
cathode et le plasma est assuré grâce à une estimation de la conductivité électrique à deux
températures dans la pré-gaine. L’influence de paramètres physiques (valeurs du coefficient
d’émission secondaire, du travail de sortie,…) et géométriques sur les grandeurs
caractéristiques de la décharge (tension cathodique, champ de température dans le plasma,…)
dans une configuration d’arc libre avec une cathode cylindrique a pu être étudiée.
MOTS-CLEFS : Cathode, modélisation numérique, plasma thermique, 2D, interaction, deux
températures, flux d’énergie, chute de tension cathodique, arc électrique, gaine, pré-gaine.
PHYSIQUE ET INGENIERIE DES PLASMAS DE DECHARGE
LABORATOIRE PLASMA ET CONVERSION D’ENERGIE, UMR 5213
118 ROUTE DE NARBONNE 31026 TOULOUSE CEDEX 9
Equipe Arc Electrique et Procédés Plasma Thermique