Généralités sur les matrices

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Généralitéssurlesmatrices
Sommaire
1.Matricesparticulières..............................................................................................................1
2.Opérationssurlesmatrices.....................................................................................................2
Multiplicationparunscalaire:...............................................................................................2
Additiondedeuxmatricesdemêmedimension()et..............2
Multiplicationdedeuxmatricesetdedimensionsrespectiveset:............3
Transposition(ou’):...........................................................................................................3
Traced’unematricecarréed’ordren,(notée):...........................................4
3.Formeéchelonnéed’unematrice...........................................................................................4
4.Rangd’unematrice........................................................................................................4
5.Matriceinverse........................................................................................................................5
6.Déterminant(ou)....................................................................................................5
7.Matriceadjointe......................................................................................................................6
8.Matricedéfiniepositive...........................................................................................................7
9.Systèmed’équationslinéairessousformematricielle............................................................7
Matricededimension;Aaa a ⋯a
a a ⋯a
⋮⋮⋱⋮
a a ⋯a
1. Matricesparticulières
Matricenulle:
toussesélémentsa0
Matricecarréed’ordren:
nombredelignes=nombredecolonnes=

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Matricediagonale:
a 0⋯0
0a
 ⋯0
⋮⋮⋱⋮
00⋯a
Matriceidentitéd’ordre:
I10⋯0
01⋯0
⋮⋮⋱⋮
00⋯1
Matricetriangulairesupérieure:
a a ⋯a
0a
 ⋯a
⋮⋮⋱⋮
00⋯a
Matricetriangulaireinférieure:
a 0⋯0
a a ⋯0
⋮⋮⋱⋮
a a ⋯a
2. Opérationssurlesmatrices
Multiplicationparunscalaire:
  ⋯
  ⋯
⋮⋮⋱⋮
  ⋯
Additiondedeuxmatricesdemêmedimension()et
  ⋯
  ⋯
⋮⋮⋱⋮
  ⋯

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Multiplicationdedeuxmatricesetdedimensionsrespectiveset:
 0⋯0
  ⋯0
⋮⋮ ⋮
  ⋯
⋮⋮ ⋮
  ⋯
 ⋯
  ⋯
 ⋯
⋮⋮ ⋮ ⋮
  ⋯
 ⋯
  ⋯
 ⋯
  ⋯
 ⋯
⋮⋮ ⋮ ⋮
  ⋯
 ⋯
⋮⋮ ⋮ ⋮
avec
cababab⋯ababi1,2,…,m;j1,2,…,p
ATTENTION:Leproduitn’estdéfiniquesilenombredecolonnesdelamatrice
«»estégalaunombredelignesdelamatrice«».Deplus,demanièregénérale,
.
Transposition(ou’):
Latransposéed’unematrices’obtientenremplaçantleslignesdelamatriceparses
colonnes.Silamatriceestdedimension,latransposée,seradedimension
.
A  ⋯
  ⋯
⋮⋮⋱⋮
  ⋯
  ⋯
  ⋯
⋮⋮⋱⋮
  ⋯
Propriétés:Soitetdeuxmatricesetunscalaire
1. ABAB
2. AA
3. kAkA
4. ABBA
Pourtoutematrice,leproduitestunematricecarréesymétriqueetleséléments
desadiagonaleprincipalesontnonnégatifs.

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Traced’unematricecarréed’ordren,(notée):
Sommedesélémentsdeladiagonaleprincipalei.e.trAaa⋯a
Propriétés:
1. trABtrAtrB
2. trcActrA
3. Formeéchelonnéed’unematrice
UnematriceAaestdite«échelonnée»silenombrede«0»précédentle
premierélémentnonnuld’uneligneaugmentedeligneenligne.
Elleestappelée«matriceéchelonnéeréduite»sienplus,lepremierélémentnonnul
d’uneligneestégalà«1»etsi,danslacolonnecorrespondante(colonnepivot),tous
lesautresélémentssont«0».
Onpeutréduireunematriceàsaformeéchelonnée(ouéchelonnéeréduite)en
effectuantdesopérationsélémentairessurseslignes:
 Multiplieruneligneparunscalairenonnul.
 Intervertiroupermuter2lignes.
 Ajouteràuneligne«»foisuneautreligne.
4. Rangd’unematrice
Lerangd’unematriceAdedimensioncorrespondaunombredelignesnon
nullesdesaformeéchelonnéeréduite.Onditqueestde«pleinrang»sirAm
Remarque:Lerangd’unematricedonnelenombremaximumdeseslignes
linéairementindépendantesainsiquelenbmaxdesescolonneslinéairement
indépendantes.
Propriétés:
1. Sipeutêtreobtenuedeparapplicationssuccessivesd’opérationsélémentaires
surseslignes,alorsrArB
2. rArA
3. SileproduitmatricielABestdéfini,alorsrABminrA;rB

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5. Matriceinverse
Soitunematricecarrée.L’inversede(notéeA),sielleexiste,estlamatrice
quisatisfait AAAAI
Sil’inversedeexiste,onpeutl’obtenirdelafaçonsuivante:
1. Considérerlamatriceaugmentée
2. A⋮Ia a ⋯a
 ⋮10⋯0
a a ⋯a
 ⋮01⋯0
⋱⋮ ⋱
a a ⋯a
 ⋮00⋯1
3. Effectuerdesopérationsélémentairessurleslignesdelamatriceaugmentéejusqu’à
cequ’elledevienneI⋮B.Lamatriceestalorsl’inversedei.e.BA.
Propriétés:
1. Siestinversible,alors1estaussiinversibleetAA.
2. Siestinversible,alorsAA
3. Sietsont2matricescarréesinversiblesdemêmedimension,alorsleurproduit
estaussiinversibleetAB=BA
Existence:AdedimensionestinversiblesirAn
6. Déterminant(ou||)
Soitunematricecarréenn.
Matrice22:a a
a aaa–aa
Ordresupérieur:Ledéterminantestégalàlasommedesproduitsobtenusen
multipliantlesélémentsd’unelignequelconque(oud’unecolonne)parleurcofacteurs
respectifscofacteur=A1Moù(mineur)estlasous‐matricecarrée
n1n1obtenueensupprimantlaièmeligneetlajèmecolonnede.
Ainsi|A|aAaA⋯aA.