x - Formation Continue Diplomante

UMN12
COURS
MAI 2000
12. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU
PREMIER ORDRE.
1
1.1
Généralités sur les équations différentielles
Définitions diverses
Donnons la définition la plus générale possible d’une équation différentielle.
On considère une fonction f de la variable x, n fois dérivable sur un intervalle I de R.
n
On appelle équation différentielle, toute relation entre x, f, f ′ , , f ( )
n est appelé ordre de l’équation différentielle
si n = 1 , on parlera d’équation différentielle du premier ordre
si n = 2 , on parlera d’équation différentielle du deuxième ordre
Intégrer ( ou résoudre ) une équation différentielle, c’est chercher toutes les
fonctions f qui vérifient cette relation.
Chacune de ces fonctions s’appelle une solution, ou intégrale de l’équation
différentielle.
Le graphe de la fonction solution est appelé courbe intégrale de l’équation
différentielle.
1.2
Le premier ordre
On peut classer les équations différentielles du premier ordre en trois catégories :
•
•
•
Equations à variables séparables
Equations homogènes
Equations linéaires
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Dans ce chapitre, nous nous contenterons d’étudier la dernière famille.
2
2.1
Equations différentielles linéaires du premier ordre
Définitions
Dans ce qui suit, le terme intervalle désigne un intervalle de R non réduit à un point.
Soit I un intervalle de R et a, b et c trois fonctions réelles définies et continues dans I.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation de la
forme ou se ramenant à la forme :
a ( x ) y′ + b ( x ) y = c ( x)
(I )
•
2 xy ′ + cos ( x ) y = e x définie sur R.
•
2 x y ′ + x 2 y = e x + sin ( x ) définie sur [0;+∞[ .
Une fonction y est solution de cette équation différentielle sur I si et seulement si
y est dérivable sur I et ∀x ∈ I , a ( x ) y ′ ( x ) + b ( x ) y ( x ) = c ( x )
L’équation différentielle y ′ + y = 2e x admet la fonction f définie sur R par
f ( x ) = e x comme solution. En effet, f est dérivable sur R et e x + e x = 2e x .
L’équation différentielle linéaire du premier ordre est dite normalisée si et seulement
si a = 1 soit : y ′ + a ( x ) y = b ( x )
(I )
Dans tout ce qui suit, on ne considérera que des équations normalisées
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L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre)
est
y '+ a (x) y = 0
( II )
2.2
Résolution de l’équation sans second membre (II).
On pose y ' + a ( x ) y = 0
( II )
On admettra sans démonstration, le théorème suivant :
a étant une fonction continue sur I, elle admet sur I des primitives . Soit A une de ces
primitives.
L’ensemble des solutions sur I de l’équation différentielle ( II ) est l’ensemble
 I → R

S0 = 

− A( x )
; K ∈ R 
 x ! Ke
On considère l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :
(1 + x ) y′ − 2 xy = 0
(I )
2
(
)
Cette équation peut être normalisée sans problème car ∀x ∈ R, 1 + x 2 > 0
(I )
⇔
y′ −
2x
(1 + x2 )
y=0
En appliquant le théorème ci-dessus, on obtient :
 R → R
  R → R
S0 = 
=
2
ln(1+ x 2 )
 x ! Ke
; K ∈ R   x ! K 1 + x
(
2.3
)


; K ∈ R

Résolution de l’équation complète (I)
2.3.1 Théorème général
On admettra sans démonstration, le théorème suivant :
La solution générale de l'équation complète (I) est la somme de la solution générale
de l'équation sans second membre (II) et d'une solution particulière de l'équation
complète (I).
ySG ( I ) = ySG( II ) + ySP( I )
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C'est le principe de superposition des solutions (dû à la linéarité de l'équation
différentielle).
2.3.2 Recherche d’une solution particulière de l’équation complète (I).
•
Recherche d’une solution évidente
Avant de se lancer dans un calcul compliqué, on regarde la forme de l’équation
différentielle et on essaie de deviner une solution de l'équation complète (I).
Puis on applique le principe de superposition des solutions. Ce même principe
s'applique aussi dans le cas où le second membre est la somme de plusieurs
fonctions.
Soit l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :
(1 + x ) y′ − 2 xy = 1 − x
2
2
On « voit » que la fonction x ! x est solution « évidente » de cette équation
différentielle.
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction f définie par :
(
)
x ! K 1 + x 2 + x,
K∈R
C’est la somme d’une solution particulière de l’équation complète et de la solution
générale de l’équation sans second membre.
Dans le cas où il n'apparaît pas de solution évidente, on applique le principe de
variation de la constante.
•
Méthode de variation de la constante.
On considère l’équation sans second membre définie sur un intervalle I de R, avec a
continue sur I : y ' + a ( x ) y = 0
( II )
(Cette méthode n'est valable que pour des équations linéaires)
On considère la solution générale de l’équation sans second membre :
−A x
x ! Ke ( ) , K ∈ R où A est une primitive de a sur I
Supposons que la constante K soit une fonction de x dérivable sur I et que la fonction
−A x
x ! K x e ( ) soit solution de (I)
( )
En dérivant la fonction y et en reportant dans (I), les calculs se simplifient et l'on
déduit K ′ ( x ) puis K ( x ) par primitivation et enfin la solution particulière y.
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On considère l’équation différentielle définie sur tout intervalle I ⊂ ]0; +∞[ par
x −1
y = x2 ( I )
x
Cette équation est normalisée.
y′ +
•
On résout l’équation sans second membre y ′ +
Une primitive de x !
x −1
y=0
x
x −1
sur I est : x ! x − ln ( x )
x
Donc la solution générale est la fonction
x ! Kxe− x , K ∈ R
•
x ! Ke
− x +ln( x )
, K ∈ R soit :
On cherche une solution particulière de l’équation complète en utilisant la
méthode de variation de la constante. On suppose que K est dérivable sur I et que
y : x ! K ( x ) xe − x est solution de l’équation complète.
Cela donne :
(
y ′ ( x ) = K ′ ( x ) xe − x + K ( x ) e − x − xe − x
On remplace dans ( I )
(
)
)
x −1
K ( x ) xe− x = x 2
x
Comme prévu, les termes en K s’éliminent, il reste alors :
K ′ ( x ) xe− x = x 2 ⇔ K ′ ( x ) = xe x
K ′ ( x ) xe− x + K ( x ) e− x − xe− x +
On intègre maintenant cette équation différentielle : K ( x ) = ( x − 1) e x + λ , λ ∈ R
La fonction : y : x ! ( x − 1) e x xe − x = x ( x − 1) est solution particulière de
l’équation différentielle complète.
•
2.4
La solution générale est donc la fonction y : x ! x ( x − 1) + Kxe − x , K ∈ R
Existence et unicité d'une solution satisfaisant une condition initiale (problème de
Cauchy)
Pour tout couple ( x0 , y0 ) ∈ I × R , il existe une solution et une seule y de (I) sur I telle
que : y ( x0 ) = y0
Résoudre l’équation différentielle définie sur tout intervalle I de R par :
y ' + 2 xy = 2 x et y ( 0 ) = 2
L'équation est linéaire et normalisée.
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•
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L'équation sans second membre est : y' + 2 xy = 0
( E0 )
La fonction x ! 2 x est continue sur I et admet donc des primitives sur I , la
solution générale de l’équation sans second membre est donc la fonction
y1 : x ! Ke − x ,
2
K ∈R
•
La fonction constante
différentielle complète.
•
Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f de
y2 : x ! 1 est solution évidente de l’équation
l’équation différentielle sur I : f : x ! 1 + Ke− x
•
2
En tenant compte de la condition initiale y ( 0 ) = f ( 0 ) = 2
On obtient : λ + 1 = 2 ⇔ λ = 1
La solution de l’équation différentielle qui vérifie sur I : y ( 0 ) = 2 est donc la
fonction définie sur I par : x ! e− x + 1
2
(MATH12E01A)
Résoudre sur tout intervalle I de R l’équation différentielle :
1 + x 2 y' − y = 0 et
2.5
y (1) = 1
Problème des raccords.
Dans les paragraphes précédents, nous n’avons traité que le cas de l’équation
différentielle normalisée : y ′ + a ( x ) y = b ( x )
(I )
Nous allons maintenant traiter le cas général : a ( x ) y ′ + b ( x ) y = c ( x )
On dit qu'une solution est maximale sur un intervalle
prolongeable sur un intervalle plus grand que ] a ,b [ .
On s'appliquera à rechercher les solutions maximales
] a ,b [
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(I )
si elle n'est pas
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Considérons l'équation différentielle définie sur un intervalle I de R :
a (x) y ' + b (x) y = c (x)
(I )
On suppose que sur cet intervalle I la fonction a s'annule en un réel et un seul x0
y est solution de l’équation différentielle ( I ) sur I si et seulement si :
•
•
•
•
•
La restriction y1 de y à J1 = ] − ∞ , x0 [ ∩ I est solution de ( I ) sur J1
La restriction y2 de y à J 2 = ]x0 ; +∞ [ ∩ I est solution de ( I ) sur J 2
lim y1 ( x ) = lim y2 ( x ) = l
x→ x0
x< x0
lim
x→ x0
x< x0
x→ x0
x > x0
y1 ( x ) − l
x − x0
= lim
x→ x0
x > x0
y2 ( x ) − l
x − x0
= l′
a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
On procède ainsi au raccordement des solutions sur l’intervalle I entier. On s’assure
que y est continue en x0 , dérivable en x0 et que le point ( x0 , y ( x0 )) vérifie
l’équation différentielle pour la valeur y ′ ( x0 ) de la dérivée y ′ .
Résoudre et déterminer éventuellement une solution sur R de :
x
xy' + 2 y =
(I )
1 + x2
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0.
I 2 = ] 0 , +∞ [
On considère les deux intervalles : I1 = ]−∞ , 0 [ et
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
•
Première étape : résolution de l’équation sans second membre.
L'équation sans second membre est : xy' + 2 y = 0 ( II )
On peut sur chacun des intervalles écrire l’équation normalisée associée :
2
y' + y = 0 ( II )
x
2
La fonction x !
est continue sur chacun des intervalles et admet donc par
x
( )
exemple x ! ln x 2 comme primitive.
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•
•
•
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La solution générale de (II) est donc la fonction y définie par :
 λ1
 2 si x ∈ I1 = ] − ∞ ,0 [
x
y=
 λ2 si x ∈ I = ] 0 , + ∞ [
2
 x 2
Deuxième étape : solution particulière de l’équation complète.
Cherchons une solution particulière de (I) , en utilisant la méthode de variation de
la constante
λ ′ ( x ) x 2 − 2λ ( x ) x
λ (x)
′
y = 2 et y ( x ) =
x
x4
en reportant dans l'équation (I), il reste après simplification
x2
1
λ′( x) =
=1−
2
1+ x
1 + x2
d'où on tire une primitive : λ ( x ) = x − Arc tan x
Une solution particulière est donc la fonction définie par :
x − Arc tan x
y0 =
x2
Troisième étape : solution générale obtenue par superposition des solutions
 x − Arc tan x + λ1
si x ∈ I1 = ] − ∞ , 0 [

x2
y = f (x) = 
 x − Arc tan x + λ2 si x ∈ I = ] 0 , + ∞ [
2

x2
Raccordement sur R
Pour obtenir une solution sur R, il faut "raccorder " les solutions en 0.
•
Continuité de la solution en 0
Le dénominateur tend vers 0 lorsque x tend vers 0, une condition nécessaire
pour obtenir une limite finie est que le numérateur tende aussi vers 0, soit
donc : λ1 = λ2 = 0
Choisissons les deux constantes λ1 et λ2 nulles et considérons la fonction f
x − Arc tan x
définie par: ∀x ∈ R* , f ( x ) =
x2
Le développement limité de la fonction f à l'ordre 1 au voisinage de 0 est
x
f (x) = + ο (x)
3
lim f ( x ) = 0 , on peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant
x→0
f (0 ) = 0
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•
•
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Dérivabilité en 0
f (x) − 0 1
f (x) − 0 1
On obtient :
= + o (1) et lim
=
x →0 x − 0
x−0
3
3
1
On pose f ′ ( 0 ) =
3
Reportons dans l'équation les valeurs trouvées en 0, pour constater que le
point ( 0; 0 ) est un point d'une courbe intégrale, avec une tangente de pente
1
.
3
 x − Arc tan x
si x ∈ ]−∞ , 0 [ ∪ ] 0 , + ∞ [

Conclusion : y = f ( x ) = 
x2

si x = 0
0

1
avec f ′ ( 0 ) =
est l'unique solution sur R.
3
(MATH12E02A)
(I )
Résoudre l’équation différentielle xy ′ − 3 y = x5
Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
3
3.1
Exemples divers
Exemple 1
Résolvons l'équation différentielle x 2 y ′ + y = 1
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0.
On étudie donc l’équation différentielle sur les intervalles ]−∞; 0[ et ]0; +∞[
Sur chaque intervalle, on peut donner la forme normalisée : y ′ +
•
Résolution de l’équation homogène y ′ +
1
x2
1
x
2
y=
1
x2
y=0 :
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La fonction x !
1
x2
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est continue sur chacun des ces deux intervalles. Elle y
admet donc des primitives. La fonction x ! −
1
est une de ces primitives.
x
La solution de l’équation homogène est donc :
1

 y = λ1e x
sur ]−∞; 0[

1

sur ]0; +∞[
 y = λ2 e x
( λ1 , λ2 réels indépendants l'un de l'autre).
•
•
•
Recherche d’une solution particulière. La fonction constante x ! 1 est une
solution particulière évidente de l'équation complète.
Solution générale de l’équation complète. En appliquant le principe de
superposition des solutions, l'ensemble des solutions de (I) est
 1
λ1e x + 1 si x ∈ ] − ∞ ,0 [
y = f (x) = 
1

λ2 e x + 1 si x ∈ ] 0 , +∞ [
Raccordement des solutions en 0 :
•
Continuité de la fonction en 0
1



lim λ1 e x + 1  = 1
x →0 


x<0 
1

lim  λ2 e x + 1
x →0 
x >0 

 = 1 ⇔ λ2 = 0


On peut donc prolonger les solutions par continuité en 0 en posant f ( 0 ) = 1
•
Dérivabilité en 0
lim
x →0
x<0
y ( x ) − y (0 )
x−0
λ 1
= lim  1 e x
x →0  x
x<0 

y ( x ) − y (0 )
 = 0 et lim
=0
x →0
x−0


x >0
Le prolongement sera dérivable en 0 et f ′ (0 ) = 0 .
•
Vérification dans l’équation différentielle : 0 × 0 + 1 = 1
L’ensemble des solutions de l’équation complète sur R est donc :
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1

1 + λ e x
y = f (x) = 
1
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si x < 0 avec f ′ (0 ) = 0
si x ≥ 0
(MATH12E03A)
(E )
Résoudre l'équation différentielle xy ′ + y = e x
Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
3.2
Exemple 2
(
)
Soit l'équation différentielle : 1 − x 2 y ′ + xy = 1
Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
Le coefficient de y ′ s’annule pour x = −1 et x = 1 .
intégrons l'équation sur chacun des intervalles
I1 = ] − ∞ , −1 [ , I 2 = ] − 1,1 [ et I 3 = ] 1, +∞ [
On se place sur l’un des ces trois intervalles.
On peut alors écrire l’équation normalisée : y ′ +
•
Résolution de l’équation homogène : y ′ +
La fonction x !
x
y=
1
(1 − x2 ) (1 − x2 )
(
x
1 − x2
)
y=0
x
est continue sur chaque intervalle et y admet donc des
1 − x2
1
primitives. Soit x ! ln 1 − x 2 une de ces primitives.
2
La solution générale de l’équation homogène est donc :
λ x 2 − 1
si x ∈ I1 = ] − ∞ , − 1 [
 1

y0 = λ2 1 − x 2
si x ∈ I 2 = ] − 1 ,1 [

si x ∈ I 3 = ] 1 , + ∞ [
λ3 x 2 − 1

λ1 , λ2 et λ3 étant des constantes réelles indépendantes.
•
Recherche d’une solution particulière. On remarque une solution évidente :
x!x
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•
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Solution générale de l’équation complète.
En utilisant le principe de superposition des solutions :
λ x 2 − 1 + x
sur I1 = ] − ∞ , − 1 [
 1

y ( x ) = λ2 1 − x 2 + x
sur I 2 = ] − 1 ,1 [

sur I3 = ] 1 , + ∞ [
λ3 x 2 − 1 + x

λ1 , λ2 et λ3 étant des constantes réelles.
On cherche maintenant à raccorder les solutions en −1 et en 1
•
Raccordement en −1
•
Continuité de la solution en −1
lim f ( x ) = lim f ( x ) = −1
x→−1
x<−1
•
x→−1
x >−1
Dérivabilité en −1
lim
f ( x ) − f ( −1)
x +1
x→−1
x<−1

λ1 x 2 − 1 + x − ( −1)
x −1 
= lim
= lim  λ1
 + 1.
x→−1
x→−1 
x +1
x + 1 
x<−1
x<−1
Admet une limite 1 si et seulement si λ1 = 0
lim
f ( x ) − f ( −1)
x +1
x→−1
x<−1

λ2 1 − x 2 + x − ( −1)
1− x 
= lim  λ2
 +1
x→−1
x→−1 
x +1
x + 1 
x<−1
x<−1
= lim
Admet une limite 1 si et seulement si λ2 = 0
•
Vérification dans l’équation différentielle.
(1 − (−1) ) ×1 + (−1)(−1) = 1
2
Conclusion : la fonction x ! x est solution sur ]−∞;1[
•
Raccordement en 1
•
Continuité de la solution en 1
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 1
x→1
x<1
•
x→1
x >1
Dérivabilité de f en 1
Comme pour le raccordement en –1, on montre que
f ( x ) − f (1)
f ( x ) − f (1)
lim
= lim
= 1 ⇔ λ2 = λ3 = 0
x→1
x→1
x −1
x −1
x<1
x >1
On vérifie que la fonction x ! x vérifie bien l’équation différentielle sur R
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(MATH12E04A)
Résoudre l'équation différentielle x y ′ + ( x − 1) y = x 2 .
Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
1.3
Exemple 3
Résolvons l'équation différentielle x ( x − 1) y ' + ( x + 1) y =
x ( x + 1)
x2 − x + 1
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0 et
−1.
I 2 = ] 0 ,1 [ et I 3 = ] 1 , + ∞ [
On considère les intervalles : I1 = ] − ∞ , 0 [
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1, 2 et 3.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors considérer l’équation normalisée : y ' +
•
( x + 1)
( x + 1)
y=
x ( x − 1)
( x − 1) ( x 2 − x + 1)
Résolvons l'équation sans second membre : y ' +
La fonction x !
( x + 1)
y=0
x ( x − 1)
x +1
1
2
=− +
est continue sur I j et admet sur cet
x ( x − 1)
x x −1
intervalle des primitives, dont une est la fonction : x ! ln
( x − 1)2
x
La solution générale de l’équation homogène est donc sur I j :
y0 = Ke
− ln
( x−1)2
x
=K
x
( x − 1)2
, soit finalement :

x
λ1
sur I1 = ] − ∞ , 0 [
 ( x − 1)2

x

y0 = λ2
sur I 2 = ] 0 ,1 [
2
 ( x − 1)

x
λ3
sur I3 = ] 1 , + ∞ [
 ( x − 1)2

•
Solution particulière de l’équation complète.
Ne remarquant pas de solution évidente, utilisons la méthode de variation de la
constante
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y = λ (x)
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x
( x − 1)2
y′ = λ ′ ( x )
x
( x − 1)
2
+ λ (x)
−x −1
( x − 1)3
Soit en reportant dans l'équation, il reste après simplification
λ′(x) =
( x − 1)( x + 1)
(
)
x x2 − x + 1
=−
(
1
2x − 1
+ 2
x x − x +1
)
Soit : λ ( x ) = − ln x + ln x 2 − x + 1
On obtient donc une solution particulière : y =
•
x
( x − 1)2
x2 − x + 1
ln
x
Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions
 x 
x2 − x + 1 

ln
λ
+
 1
 sur I1 = ] − ∞ ,0 [
−x
 ( x − 1)2 


x2 − x + 1 
 x 
λ
y = f (x) = 
ln
+

 sur I 2 = ] 0 ,1 [
2  1
x
 ( x − 1) 


x2 − x + 1 
 x 
λ
ln
+

 sur I3 = ] 1 , + ∞ [

2  1
x
x
−
1
(
)



On cherche maintenant à raccorder les solutions en 0 et en 1
•
Raccordement en 0
•
Continuité en 0 : lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0
x →0
x<0
x →0
x >0
la continuité des solutions en 0 est réalisée quelles que soient les constantes
λ1 et λ2 ,
•
Dérivabilité en 0 : la solution n'est pas dérivable en 0 car
f ( x ) − f (0 )
x2 − x + 1 
1 
lim
ln
λ
= lim
+

 = −∞ .
2
x →0
x→0 ( x − 1)2 
x−0
x


x >0
x >0
Il n'existe donc pas de solution de l’équation sur
fortiori il n'y a pas de solution sur R.
] − ∞ ,1 [ = I1 ∪ { 0 } ∪ I 2
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Exercices : Gérard Hirsch et Philippe Leclère
et à
14
UMN12
•
COURS
MAI 2000
Raccordement en 1
• Continuité en 1
au voisinage de 1 on pose x − 1 = h ou x = 1 + h :

x
lim f ( x ) = lim 
x→1
x→1  ( x − 1)2
x<1
x<1 
1+ h 

x2 − x + 1  
1 + h + h2

λ
λ
ln
lim
ln
+
=
+

 2

 2
x
0  h2 
1+ h

  hh→


<0

 

 
h2  
ln
1
+
 

 1 + h 1 + h + h2 
  1 + h  
Or lim  2 ln
 = lim 
 =1
2
h→0  h
h→0
h
+
1
h
 h <0 

h <0 


1+ h


Donc f admet une limite 1 en 1 si et seulement si λ2 = 0
De même on a : lim f ( x ) = 1 si et seulement si λ3 = 0
x→1
x >1
Donc: lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0 ⇔ λ2 = λ3 = 0
x→1
x<1
x→1
x >1
On peut donc prolonger les solutions en 1 en posant f (1) = 1 ,
• Dérivabilité en 1 :
toujours au voisinage de 1 on a:
 1
f ( x ) − f (1)
x2 − x + 1 1 
lim
ln
= lim 
− 
x→1
x→1  ( x − 1)2
x −1
x
x

x<1
x >1 
 1 1 + h + h2
1 
= lim  2 ln
−
=0
h→0  h
1+ h
1 + h 

le prolongement sera dérivable en 1 et f ′ (1) = 0
• Vérification dans l’équation :
1(1 + 1)
0 + (1 + 1)1 = 2
1 −1+1
Il existe donc une solution de l’équation différentielle sur ] 0 , + ∞ [ = I 2 ∪ {1 } ∪ I3
définie par : f ( x ) =
x
( x − 1)2
ln
x2 − x + 1
x
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15
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Exercices complémentaires
MAI 2000
Exercices d’entraînement avec solutions.
(MATH12E05)
(
)
Résoudre sur R l’équation différentielle 1 + x 2 y ′ − xy = 1 + x3
Indication : on pourra chercher une solution particulière sous la forme d’un polynôme de
degré 2.
(MATH12E06)
 π π 
Résoudre sur l’intervalle  − ,  l’équation différentielle : y ′ + y tan x = sin 2 x
 2 2
(MATH12E07)
Résoudre l'équation différentielle 2 xy' − 3 y = x . Existe-t-il des solutions sur R.
(MATH12E08)
Résoudre sur R l'équation différentielle :
(1 + x ) y ′ − y = 0 , avec la condition : y ( −1) = 1
(MATH12E09)
 π
Résoudre sur l’intervalle 0;  l’équation différentielle : y ′ cos x + y sin x = x + sin x cos x .
 2
Existe-t-il une solution sur [0;π ] ?.
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SUPenonces
(MATH12S01)
Résoudre sur l’équation différentielle sur l’intervalle ]−1; −∞[
b x + 1g y ′ − 2 y = b x + 1g
4
Est-il possible de trouver une solution définie sur R?
(MATH12S02)
Résoudre l’équation différentielle xy ′ − y = x sur chacun l’intervalle 0;+∞ .
Est-il possible de trouver une solution définie sur R?
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MAI 2000
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COMPenonces
MAI 2000
(MATH12E05)
L’équation différentielle peut se mettre sous la forme normalisée :
x
1 + x3
y′ −
y
=
1 + x2
1 + x2
• Equation sans second membre.
x
est continue sur R et admet donc des primitives, en
La fonction x !
1 + x2
1
particulier la fonction : x ! ln 1 + x 2 = ln 1 + x 2 . La solution générale de
2
l’équation sans second membre est donc la fonction définie par :
(
y0 = λ 1 + x 2 ,
•
)
λ∈R
Solution particulière :
On cherche une solution particulière (d'après l'énoncé) sous forme d'un polynôme
de degré deux (en effet, le terme en y est multiplié par x et le second membre est
un polynôme du troisième degré).
On pose : y = ax 2 + bx + c avec y ′ = 2ax + b
En reportant dans l'équation différentielle initiale, on obtient :
(1 + x )(2ax + b ) − x (ax
2
2
)
+ bx + c = 1 + x3 ⇔ ax3 + ( 2a − c ) x + b = 1 + x3
par identification on obtient : a = 1, b = 1 et c = 2 . La solution particulière est
donc la fonction : x ! y0 = x 2 + x + 2
•
Solution générale :
Le principe de superposition des solutions donne pour solution générale :
x ! y = λ 1 + x 2 + x 2 + x + 2, λ ∈ R
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COMPenonces
MAI 2000
(MATH12E06)
L'équation est déjà sous forme normalisée.
•
Equation sans second membre :
y ′ + y tan x = 0
 π π 
La fonction x ! tan x est continue sur  − ,  et admet donc sur cet
 2 2
intervalle des primitives, en particulier, la fonction : x ! − ln ( cos x )
La solution générale de l’équation homogène associée est donc la fonction
x ! y0 = λ cos x, λ ∈ R
•
Solution particulière.
Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant la
méthode de variation de la constante.
y = λ ( x ) cos x et y ′ = λ ′ ( x ) cos x − λ ( x ) sin x
On reporte dans l’équation initiale et après simplification, on obtient :
λ ′ ( x ) = 2 sin x soit λ ( x ) = −2 cos x
La solution particulière est donc la fonction : y0 : x ! −2 cos 2 x
•
Solution générale :
En appliquant le principe de superposition des solutions, la solution générale de
 π π 
l’équation différentielle complète est donc la fonction f définie sur  − 2 , 2 


par : f ( x ) = −2 cos 2 x + λ cos x, λ ∈ R
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COMPenonces
MAI 2000
(MATH12E07)
L'équation est définie sur [ 0 ,+ ∞ [ ; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule
en 0. On se place sur l’intervalle I = ] 0 , +∞ [ .
3
1
y=
2x
2 x
3
Equation sans second membre: y' −
y=0
2x
3
La fonction x ! −
est continue sur I, elle admet donc des primitives sur cet
2x
3
intervalle, en particulier : x ! − ln x .
2
La solution générale de l’équation homogène est donc la fonction :
y0 : x ! λ x 3 / 2 , λ ∈ R
L’équation normalisée devient : y ′ −
•
•
Solution particulière
On peut deviner une solution particulière de la forme x ! K x
( Sinon il faut utiliser la méthode de variation de la constante)
En reportant dans l'équation, on obtient : 2 x
K
2 x
− 3K x = x ⇒ K = −
1
2
1
Soit la solution particulière : x ! − 2 x
•
Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient la solution
générale de l’équation différentielle sur l’intervalle I = ] 0 , +∞ [
x ! y = λ x3 / 2 −
1
x, λ ∈ R
2
1


lim  λ x3 / 2 −
x=0
x →0 
2

x<0
lim
x →0
x >0
y ( x ) − y (0 )
x−0

1 
= lim  λ x1 / 2 −
 = +∞
x →0 
2 x
x >0
Donc l'ensemble des solutions sur [ 0 ,+ ∞ [ est vide.
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COMPenonces
MAI 2000
(MATH12E08)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ ne s'annule pas.
On peut donner la forme normalisée.
L'équation différentielle s'écrit
1
 ′
y −
y = 0 sur ]−∞; 0[

1

1− x
y′ −
y=0 ⇔ 
1+ x
 y ′ − 1 y = 0 sur [0; +∞[
1+ x

On obtient alors la solution générale de l’équation différentielle :
λ1

sur ]−∞; 0[
y =
1− x

 y = λ2 (1 + x ) sur ]0; +∞[

où λ1 et λ2 sont des réels.
La condition initiale impose λ1 = 2
Raccordement en 0 :
•
Continuité en 0 :
La fonction est continue en 0 si et seulement si λ1 = λ2 = λ = f ( 0 ) = 2
•
Dérivabilité en 0
lim
x →0
x<0
lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x
x<0
f ( x ) − f (0 )
x
2
−2
 1 
x
1
−
= lim
= lim  2
=2
x →0
x →0  1 − x 
x
= lim
x →0
x >0
x<0
2 (1 + x ) − 2
x
=2
Finalement, on obtient la solution f définie sur R et vérifiant la condition initiale
 2
sur ]−∞; 0[
1 − x

f ( x ) = 2
si x = 0
2 x + 1 sur 0 , + ∞
]
[
)
 (

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COMPenonces
MAI 2000
(MATH12E09)
 π
Sur l’intervalle 0;  on peut mettre l’équation différentielle sous sa forme
 2
x
+ sin x
normalisée : y ′ + y tan x =
cos x
•
Equation sans second membre
La solution générale de l’équation homogène associée est donc la fonction
x ! y0 = λ cos x, λ ∈ R ( confère l’exercice MATH12E06)
•
Solution particulière.
On peut faire varier la constante ou remarquer que la fonction x ! x sin x est
solution « évidente ».
•
Solution générale.
 π
La solution générale de l’équation différentielle sur l’intervalle 0;  est donc
 2
la fonction f définie par : f ( x ) = x sin x + λ1 cos x, λ1 ∈ R
On en déduit sur ]0;π [ l’ensemble des solutions f définie par :

 π
 x sin x + λ1 cos x sur 0; 2 



y = f (x) = 
 x sin x + λ cos x sur  π ;π 
2
 2 

Raccordement en
•
Continuité en
π
2
π
2
lim f ( x ) = lim f ( x ) =
π
2
π
x<
2
x→
π
2
π
x<
2
x→
π
2
π  π
On pose donc f   =
2 2
Dérivabilité de f en
π
2
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COMPenonces
MAI 2000
lim f ′ ( x ) = lim ( sin x + x cos x − λ1 sin x ) = 1 − λ1
π
2
π
x<
2
x→
π
2
π
x<
2
x→
lim f ′ ( x ) = lim ( sin x + x cos x − λ2 sin x ) = 1 − λ2
π
2
π
x<
2
x→
π
2
π
x<
2
x→
le prolongement est donc dérivable si et seulement si λ1 = λ2
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle sur l’intervalle [0;π ] est donc
l’ensemble des fonctions f : x ! y = f ( x ) = x sin x + λ cos x,
λ∈R
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ENONCESglobal
(MATH12E01B)
Résoudre sur tout intervalle I de R l’équation différentielle :
y′ − y = −x + 1
et
y (0 ) = 1
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UMN 12
ENONCESglobal
(MATH12E01C)
Résoudre sur tout intervalle I de R l’équation différentielle :
(1 + x ) y′ + xy = x ,
2
et
y (0 ) = 2
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UMN 12
ENONCESglobal
(MATH12E02B)
Résoudre l’équation différentielle xy ′ + 3 y = x 2
Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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UMN 12
ENONCESglobal
(MATH12E02C)
Résoudre l'équation différentielle xy ′ − y = x 2 Arc tan x
Existe-t-il des solutions définies sur R ?
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UMN 12
ENONCESglobal
MAI2000
(MATH12E03B)
(
)
Résoudre l'équation différentielle xy ′ − ( x + 1) y + e x x 2 + 1 = 0
On se placera sur l’intervalle ]0;+∞[ .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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ENONCESglobal
MAI2000
(MATH12E03C)
Résoudre l'équation différentielle xy ′ + y =
2x
1 − x4
On se placera sur l’intervalle ]0;1[ .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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UMN 12
ENONCESglobal
(MATH12E04B)
Résoudre l'équation différentielle x ( x + 1) y ′ + y = Arc tan x
On se placera sur l’intervalle ]0;+∞[ .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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MAI2000
UMN 12
ENONCESglobal
(MATH12E04C)
(
)
Résoudre l'équation différentielle x x 2 − 1 y ′ + 2 y = x 2
On se placera sur l’intervalle ]0;+∞[ .
Question facultative : Existe-t-il des solutions de l'équation sur R ?
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MAI2000
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E01A)
La fonction x ! 1 + x 2 ne s’annule jamais. L'équation différentielle est donc définie
sur R.
C'est une équation du premier ordre, linéaire et homogène (sans second membre).
1
y=0
On peut l’exprimer sous sa forme normalisée : y ′ −
1 + x2
1
est continue sur R, elle admet donc des primitives sur R,
La fonction x !
1 + x2
(
)
en particulier, la fonction x ! ln x + 1 + x 2 .
La solution de l’équation différentielle est donc la fonction f définie sur R par :
(
)
f ( x ) = λ x + 1 + x 2 où λ est un réel quelconque.
En tenant compte de la condition initiale au point x0 = 1
1
f (1) = 1 = λ 1 + 2 ⇒ λ =
1+ 2
(
)
La solution Y de l’équation différentielle satisfaisant à la condition initiale : Y (1) = 1
est la fonction Y définie sur R par : Y ( X ) =
x + 1 + x2
1+ 2
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
1
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E01B)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y ′ ne s'annule pas.
•
Résolution de l'équation sans second membre y ′ − y = 0
La solution générale de cette équation différentielle est la fonction définie sur R
par : y0 = λ e x
•
Solution particulière
On remarque une solution particulière évidente de l’équation complète définie
sur R par x ! x
•
Solution générale de l’équation complète :
Le principe de superposition des solutions donne la solution générale de
l’équation différentielle : y = f ( x ) = λ e x + x , où λ est un réel quelconque.
En tenant compte de la condition initiale
y (0 ) = f (0 ) = 1 ⇒ λ = 1
La solution de l’équation différentielle qui satisfait à la condition initiale f ( 0 ) = 1
est donc la fonction f définie sur R par : f ( x ) = e x + x
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
2
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E01C)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y ′ ne s'annule pas.
x
x
y=
On peut donner la forme normalisée de l’équation : y ′ +
1 + x2
1 + x2
(
•
Résolvons l’équation sans second membre : y ′ +
La fonction x !
x
(1 + x )
2
=
particulier, la fonction x !
1 2x
2 1 + x2
(
(
)
x
(
1 + x2
) (
)
)
y = 0.
continue sur R admet des primitives, en
)
1
ln 1 + x 2 = ln
2
( 1 + x ).
2
La solution générale de l’équation homogène est donc la fonction définie par :
λ
y0 =
où λ est un réel quelconque.
1 + x2
•
Solution particulière
On remarque la solution particulière évidente de l’équation complète : x ! 1
•
Solution générale :
Le principe de superposition des solutions donne la solution générale f de
l’équation complète définie par :
λ
y = f (x) =
+1
1 + x2
En tenant compte de la condition initiale
λ
f (0 ) = 2 ⇔ 2 = + 1 ⇔ λ = 1
1
La solution Y de l’équation qui satisfait à la condition initiale est définie sur R par :
Y (x) =
1
1 + x2
+1
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de contacter votre tuteur.
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
3
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E02 A)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0.
I 2 = ] 0 , +∞ [
On considère les deux intervalles : I1 = ]−∞ , 0 [ et
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé. On donne sur I j la forme normalisée de l’équation
différentielle : y' −
•
3
y = x4
x
Equation sans second membre : y ′ −
L’application x !
3
y=0
x
3
est définie et continue sur I j , elle admet donc des
x
( )
primitives sur chacun de ces intervalles, en particulier, la fonction x ! ln x
La solution générale y0 de l’équation homogène est donc : x ! λ e
ln x3
3
= λ x3
•
λ1 x3 sur I1 = ] − ∞ , 0 [
λ1 et λ2 sont des réels quelconques.
Soit : y0 = 
3
x
sur
I
,
0
λ
=
+
∞
]
[
 2
2
Solution particulière de l’équation complète.
•
En regardant la forme de l’équation complète, on cherche une solution sous la
forme : y = Kx5 avec y ′ = 5 Kx 4
1
En remplaçant dans l’équation, on obtient : 5 Kx5 − 3Kx5 = x5 ⇒ K =
2
Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions, la solution générale de
l’équation différentielle est définie sur R* par :
 3 x5
sur I1 = ] − ∞ , 0 [
λ1 x +

2
y = f (x) = 
x5

3
λ
x
sur I 2 = ] 0 , + ∞ [
+
 2
2
où λ1 et λ2 sont des constantes réelles.
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4
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
Raccordement en 0.
•
Continuité de la fonction en 0.


x5 
x5 
lim f ( x ) = lim λ1 x3 +  = 0 et lim f ( x ) = lim λ2 x3 +  = 0
x →0
x →0 
x →0
x →0 
2 
2 
x<0
x<0 
x >0
x >0 
la fonction f est donc continue en 0 et f ( 0 ) = 0
•
Dérivabilité en 0.


f ( x ) − f (0 )
f ( x ) − f (0 )
x4 
x4 
2
2
lim
= lim  λ1 x +
= lim  λ2 x +
 = 0 et lim
=0
x →0
x →0 
x →0
x →0 
x−0
x−0
2 
2 


x<0
x<0
x >0
x >0
la fonction est donc dérivable en 0 quel que soient les réels λ1 et λ2 et f ′ (0 ) = 0
•
On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0 avec les conditions
exprimées ci-dessus.
Conclusion :
La fonction f définie sur R par :
 3 x5
sur I1 = ]−∞ , 0 [
λ1x +
2

y = f ( x ) = 0
si x = 0

5
λ x 3 + x sur I = ] 0, + ∞[
2
 2
2
avec f ′ (0 ) = 0 représente l'ensemble des fonctions continues, dérivables sur R
vérifiant l'équation différentielle
On peut aussi utiliser les développements limités pour étudier le raccordement des
solutions
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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5
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E02B)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0.
I 2 = ] 0 , +∞ [
On considère les deux intervalles de R : I1 = ]−∞ , 0 [ et
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : y ′ +
•
3
y=x
x
Equation sans second membre :
3
La fonction x !
est continue sur I j et admet donc des primitives sur cet
x
( )
intervalle, en particulier : x ! ln x
3
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction y0 définie
par : x !
•
 1 3

ln
 x 


Ke
=
K
x
3
 λ1
 3 sur I1 = ] − ∞ , 0 [
x
Soit : y0 = 
λ
 2 sur I = ] 0 , + ∞ [
2
 x3
Solution particulière :
Bien que de façon « intuitive », on conjecture une solution particulière de la
forme x ! Kx 2 , utilisons la méthode de variation de la constante
λ (x)
λ ′ ( x ) 3λ ( x )
avec y ′ = 3 −
On pose y = 3
x
x
x4
On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :
x5
x2
λ ′ ( x ) = x 4 d ' où λ ( x ) =
d’où y ( x ) =
5
5
•
Solution générale de l’équation complète
En utilisant le principe de superposition des solutions
 λ1 x 2
sur I1 = ] − ∞ , 0 [
 3+
5
x
y = f (x) = 
2
 λ2 x
sur I 2 = ] 0 , + ∞ [
+
 x3
5

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6
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
Raccordement des solutions en 0
•
Continuité de la fonction en 0.
Il apparaît évident qu’une limite ne peut exister que si λ1 = λ2 = 0 , on a alors
f (0 ) = 0
•
Dérivabilité en 0.
f ( x ) − f (0 )
f ( x ) − f (0 )
x
x
lim
= lim   = 0 et lim
= lim   = 0
x →0
x →0  5 
x →0
x →0  5 
x−0
x−0
x<0
x<0
x >0
x >0
On peut poser f ′ (0 ) = 0
•
On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0
Conclusion, la fonction définie par y = f ( x ) =
x2
5
est la seule solution de
l’équation qui soit définie sur R.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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7
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E02C)
L'équation est définie sur R. Elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0.
I 2 = ] 0 , +∞ [
On considère les deux intervalles de R : I1 = ]−∞ , 0 [ et
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : y ′ −
•
1
y = xArc tan x
x
Equation sans second membre :
1
La fonction x !
est continue sur I j et admet donc des primitives sur cet
x
intervalle, en particulier : x ! ln x
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction y0 définie
par : x ! Ke
•
ln x
=K x
λ1 x sur I1 = ] − ∞ , 0 [
Soit : y0 = 
λ2 x sur I 2 = ] 0 , + ∞ [
Solution particulière :
Utilisons la méthode de variation de la constante
On pose y = λ ( x ) × x avec y ′ = λ ′ ( x ) × x + λ ( x )
On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :
λ ′ ( x ) = Arc tan x
On intègre par parties et on obtient :
x
1
λ ( x ) = ∫ Arc tan x dx = xArc tan x − ∫
dx = xArc tan x − ln 1 + x 2
2
2
1+ x
1
Soit une solution particulière définie par : y ( x ) = x 2 Arc tan x − x ln 1 + x 2
2
(
)
(
•
)
Solution générale de l’équation complète
En utilisant le principe de superposition des solutions
1

2
2
λ1 x + x Arc tan x − 2 x ln 1 + x sur I1 = ] − ∞ , 0 [
y = f (x) = 
λ x + x 2 Arc tan x − 1 x ln 1 + x 2 sur I = ] 0 , + ∞ [
2
 2
2
λ1 etλ2 étant des réels quelconques.
(
(
)
)
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8
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
Raccordement des solutions en 0
•
Continuité de la fonction en 0.
(
)
1


lim f ( x ) = lim  λ1 x + x 2 Arc tan x − x ln 1 + x 2  = 0
x →0
x →0 
2

Cette limite est vraie à droite et à gauche de 0.
la solution est donc continue en 0 et f ( 0 ) = 0
•
Dérivabilité en 0.
lim
x →0
x<0
lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0
)
(
)
x<0
f ( x ) − f (0 )
x−0
(
1


= lim  λ1 + xArc tan x − ln 1 + x 2  = λ1
x →0 
2

1


= lim  λ2 + xArc tan x − ln 1 + x 2  = λ2
x →0 
2

x >0
On peut poser f ′ ( 0 ) = λ1 = λ2 = λ
•
On vérifie que l'équation différentielle est satisfaite en 0
(
)
x
Conclusion, la fonction définie par y = f ( x ) = λ x + x 2 Arc tan x − ln 1 + x 2 , λ
2
étant un réel quelconque, est la seule solution de l’équation qui soit définie sur R.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de contacter votre tuteur.
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9
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E03A)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0.
I 2 = ] 0 , +∞ [
On considère les deux intervalles de R : I1 = ]−∞ , 0 [ et
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1 et 2.
Supposons dorénavant j fixé.
On peut alors exprimer l’équation sous la forme normalisée : y ′ +
•
ex
1
y=
x
x
Equation sans second membre :
1
La fonction x !
est continue sur I j et admet donc des primitives sur cet
x
intervalle, en particulier : x ! ln x
La solution générale de l’équation différentielle est donc la fonction y0 définie
K
− ln x
par : x ! Ke
=
x
•
 λ1
 x sur I1 = ] − ∞ , 0 [
Soit : y0 = 
où λ1 et λ2 sont des réels quelconques.
 λ2 sur I = ] 0 , + ∞ [
2
 x
Solution particulière :
Utilisons la méthode de variation de la constante
1
1
 1 
On pose y = λ ( x ) avec y ′ = λ ′ ( x ) × + λ ( x ) ×  − 2 
x
x
 x 
On remplace dans l’équation de départ et il reste après simplification :
λ ′ ( x ) = ex ⇒ λ ( x) = ex
Soit une solution particulière définie par : y ( x ) =
•
ex
x
Solution générale de l’équation complète
On obtient la solution générale de l’équation différentielle complète en utilisant
le principe de superposition des solutions
 λ1 e x
sur I1 = ] − ∞ , 0 [
 +
x
x
y = f (x) = 
x
 λ2 e
sur I 2 = ] 0 , + ∞ [
+
 x
x
λ1 etλ2 étant des réels quelconques.
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10
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
Raccordement des solutions en 0
•
Continuité de la fonction en 0.
On rappelle qu’au voisinage de 0 on a : e x = 1 + x +
( )
x2
+ o x2
2
λ1 1
x
+ + 1 + + o ( x ) qui existe si et seulement si λ1 = −1
x x
2
De même on doit avoir λ2 = −1
On peut alors prolonger par continuité en posant f ( 0 ) = 1
Donc on obtient :
•
Dérivabilité en 0.
 −1 e x

x
 −1 1

+
−1
+ + 1 + + o (x) −1


1
x
2
 = lim  x x
lim  x
 = , on obtient évidemment
x →0 
x
x
 x →0 
 2
x<0 
 x<0 



la même limite à droite de 0.
1
On peut poser f ′ ( 0 ) =
2
•
On vérifie que l'équation différentielle est alors satisfaite en 0
1
0 × + 1 = e0 = 1
2
Conclusion, la fonction définie par y = f ( x ) =
ex − 1
, est la seule solution de
x
l’équation qui soit définie sur R.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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11
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E03B)
On travaille donc sur l’intervalle ]0;+∞[ sur lequel on peut normaliser l’équation
différentielle : y ′ −
•
( x + 1)
x
y = −e
x
( x2 + 1)
x
Equation sans second membre : y ′ −
( x + 1)
x
y=0
x +1
1
= 1 + est continue sur ]0;+∞[ et admet sur cet intervalle
x
x
des primitives, en particulier x ! x + ln x
La fonction x !
La solution générale de l’équation homogène est donc : y0 = λ xe x
•
Solution particulière :
Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variation
de la constante.
y = λ ( x ) xe x
y ′ = λ ′ ( x ) xe x + λ ( x ) e x + λ ( x ) xe x
En reportant dans l'équation, on obtient après simplification
x2 + 1
1
λ ′ ( x ) = − 2 = −1 − 2
x
x
En intégrant, on obtient
1
λ ( x ) = − x + soit finalement y = − x 2 + 1 e x
x
(
•
)
Solution générale de l’équation complète.
En utilisant le principe de superposition des solutions, on obtient :
(
)
y = − x 2 + λ x + 1 e x , où λ est un réel quelconque.
Question facultative : raccordement en 0.
(
(
)
)
 − x 2 + λ x + 1 e x sur ]−∞; 0[
1

λ1 et λ2 sont des réels quelconques
On a y = 
 − x 2 + λ2 x + 1 e x sur ]0; +∞[

•
Continuité en 0
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 1
x →0
x<0
x →0
x >0
On peut donc prolonger les solutions en 0 en posant f ( 0 ) = 1
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12
UMN12
•
SOLUTIONS
MAI 2000
Dérivabilité en 0

f ( x ) − f (0 )
ex − 1 
x
lim
= lim  ( − x + λ1 ) e +
 = λ1 + 1
x →0
x →0 
x−0
x 

x<0
x<0
lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0

ex − 1 
= lim  ( − x + λ2 ) e x +
 = λ2 + 1
x →0 
x

x >0 
le prolongement sera dérivable en 0 si et seulement si λ1 = λ2
(
)
La fonction définie par f ( x ) = − x 2 + 1 + λ x e x , λ ∈ R , est la seule solution de
l’équation différentielle définie sur R
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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13
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E03C)
L'équation est définie sur ] − 1 ,1 [ ; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en
0.
On résout cette équation sur l’intervalle ]0;1[ .
L’équation normalisée associée est : y' +
•
1
2
y=
x
1 − x4
Equation sans second membre.
1
est continue sur ]0;1[ et admet donc des primitives sur cet
x
l’intervalle, en particulier la fonction x ! ln x . La solution générale de
l’équation sans second membre est donc la fonction définie sur ]0;1[
La fonction x !
par : y0 = λ e − ln x =
•
λ
, λ∈R
x
Solution particulière.
Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant la
méthode de variation de la constante.
λ (x)
λ ′(x) x − λ (x)
avec y ′ =
x
x2
En reportant dans l'équation, il reste après simplification :
2 x dx
2x
λ′( x) =
soit λ ( x ) = ∫
1 − x4
1 − x4
On pose y =
( )
En posant X = x 2 , on obtient : λ ( x ) = Arc sin x 2
Soit la solution particulière définie par : y =
•
( )
Arc sin x 2
x
Solution générale.
En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution f
générale de l’équation différentielle proposée.
( )
2
λ Arc sin x
x ! f (x) = +
, λ∈R
x
x
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14
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
Question facultative :
On considère maintenant la solution de l’équation différentielle sur l’intervalle
]−1;1[ . On a alors la solution générale définie par :
( )

Arc sin x 2
 λ1 +
sur ]−1; 0[
x
x
x ! f (x) = 
, λ1 ∈ R et λ2 ∈ R
Arc sin x 2
λ
 2+
sur ]0;1[
x
 x
( )
•
Continuité en 0.
( )
On sait que Arc sin x 2 = x 2 + o x 2
( 2)
λ x +o x
λ
f (x) = +
= + x + o (x)
x
x
x
Une condition nécessaire pour obtenir une limite finie lorsque x tend vers 0 est
λ1 = λ2 = 0
On peut donc prolonger f par continuité en 0 en posant f ( 0 ) = 0
2
•
Dérivabilité en 0.
f ( x ) − f (0 )
x−0
=
( ) = 1 + o (1)
Arc sin x 2
x2
On peut donc aussi prolonger la dérivée en posant f ′ ( 0 ) = 1
On vérifie dans l’équation différentielle de départ que le point ( 0; 0 ) est un point
d’une courbe intégrale, avec une tangente de pente 1.
Conclusion :
La fonction définie par :
 Arc sin x 2

y = f (x) = 
x

0
( )
si x ∈ ] − 1 ,1 [ − {0}
si x = 0
est l'unique solution de l’équation différentielle sur ] − 1 ,1 [ .
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de contacter votre tuteur.
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15
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E04A)
Sur l’intervalle ]0;+∞[ , l’équation différentielle s’écrit sous la forme normalisée :
x −1
y=x
x
Equation sans second membre.
y′ +
•
1
est continue sur ]0;+∞[ et admet donc des primitives sur
x
cet l’intervalle, en particulier la fonction x ! x − ln x . La solution générale de
l’équation sans second membre est donc la fonction définie sur ]0;+∞[
La fonction x ! 1 −
par : y0 = λ e − x+ln x = λ xe − x , λ ∈ R
•
Solution particulière.
On remarque que la fonction x ! x est solution évidente de l’équation complète.
•
Solution générale.
En utilisant le principe de superposition des solutions, on en déduit la solution f
générale de l’équation différentielle proposée.
x ! f ( x ) = λ xe− x + x, λ ∈ R
Question facultative :
Vous pourrez vérifier que sur l’intervalle ]−∞; 0[ , on obtient la solution générale
ex
2
où λ1 ∈ R
suivante : y = λ1
+ x+2+
x
x
Et donc sur ]0;+∞[ y = λ2 xe− x + x, λ2 ∈ R
Raccordement en 0 :
•
Continuité de la fonction en 0
1 + x + o (x)
2 2 + λ1
=
+ 2 + λ1 + x + o (1)
x
x
x
La fonction f solution de l'équation différentielle sur R impose que la limite en 0
soit finie. Cette condition est réalisée pour λ1 = −2 et l'on obtient alors
lim f ( x ) = 0 . De plus ∀λ ∈ R, lim y ( x ) = 0
y = λ1
x →0
x<0
+ x+2+
x →0
x >0
On peut donc prolonger par continuité la fonction f en 0 en posant f ( 0 ) = 0
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16
UMN12
•
SOLUTIONS
MAI 2000
Dérivabilité en 0
lim
f ( x ) − f (0 )
x−0
x →0
x<0
 −2  x 2 x3
 
 −2

= lim  2 e x − 1 − x + 1  = lim  2 
+
+ ο x3  + 1 
 
x →0  x
6
 x→0  x  2
 
x<0
x<0
(
)
( )
 x

= lim  − + ο ( x )  = 0
x →0  3

x <0
lim
f ( x ) − f (0 )
x−0
x →0
x >0
(
)
= lim λ2 e− x + 1 = λ2 + 1
x →0
x >0
la fonction est dérivable en 0 si et seulement si λ2 = −1
Conclusion :
La seule fonction f continue en 0 et dérivable en 0, vérifiant l'équation différentielle
est la fonction f définie par ::
2
x
 x 1 − e + x + 2 sur ]−∞; 0[

f ( x ) = 0
si x = 0

−x
sur ]0; +∞[
x 1 − e

(
)
(
)
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17
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E04B)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en 0 et en
−1
I 2 = ] − 1 ,0 [ et I 3 = ] 0 , + ∞ [
On considère: I1 = ] − ∞ , − 1 [
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1, 2 et 3.
Supposons dorénavant j fixé. On peut alors la forme normalisée de l’équation
Arc tan x
1
y=
différentielle : y ′ +
x ( x + 1)
x ( x + 1)
1
y=0
x ( x + 1)
1
1
1
=− +
est continue sur I j et admet donc sur
La fonction x ! −
x( x + 1 )
x x +1
x +1
cet intervalle des primitives, en particulier, x ! ln
x
La solution générale de l’équation homogène est donc définie par :
 x +1
sur ]−∞; −1[
λ1 x

 x +1
y0 = λ2
sur ]−1; 0[
x

 x +1
sur ]0; +∞[
λ3 x

Où λ1 , λ2 et λ3 sont des constantes réelles.
•
Equation sans second membre : y ′ +
•
Solution particulière :
Cherchons une solution particulière de l’équation complète en utilisant la
méthode de variation de la constante. On pose :
x +1
x +1
 1 
y = λ (x)
avec y ′ = λ ′ ( x )
+ λ ( x ) − 2 
x
x
 x 
En reportant dans l'équation, et après simplification, on obtient :
Arc tan x
λ′(x) =
( x + 1)2
En intégrant par parties et en utilisant la décomposition en éléments simples, on
obtient
Arc tan x 1
1
1
λ ( x) = −
+ ln x + 1 − ln x 2 + 1 + Arc tan x
x +1
2
4
2
La solution générale est la fonction y définie sur I j
(
y (x) = −
)
 x +1
x +1
Arc tan x 1 
+  ln
+ Arc tan x 
 x
x
2 
x2 + 1

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18
UMN12
•
SOLUTIONS
MAI 2000
Solution générale :
En utilisant le principe de superposition des solutions :
1 
  λ1 + ln
 2 

1 
y ( x ) = f ( x ) =   λ2 + ln

2 

1 
 2  λ3 + ln
 
−x −1  x +1 x −1
+
Arc tan x


2x
x2 + 1  x
x +1  x +1 x −1
Arc tan x
+


2x
x2 + 1  x
x +1  x +1 x −1
Arc tan x
+


2x
x2 + 1  x
sur
]−∞; −1[
sur
]−1; 0[
sur
]0; +∞[
On cherche maintenant à raccorder les solutions en −1 et en 0
Raccordement en −1
•
Continuité en –1
lim f ( x ) = lim f ( x ) = Arc tan ( −1) = −
x→−1
x<−1
x→−1
x >−1
π
4
la continuité des solutions en −1 est réalisée quelles que soient les constantes
λ1 et λ2 , en revanche, la solution n'est pas dérivable en −1.
Il n'existe pas de solution définie sur ] − ∞ , 0 [ .
Raccordement en 0
•
Continuité en 0 :
au voisinage de 0 on a:

x −1
x2
Arc tan x = ( x − 1) 1 −
+ ο x2

x
3

( )
(
)

x2
+ ο x2
 = −1 + x +
3

( )
( )
x3
1
ln ( x + 1) − ln 1 + x 2 = x − x 2 +
+ ο x3
2
3
x +1
x +1
2 2
ln
×
= 1 − x + ο x2
2
x
3
x +1
( )
lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0 ⇔ λ2 = λ3 = 0
x →0
x<0
x →0
x >0
On peut donc prolonger les solutions en 0 en posant f ( 0 ) = 0
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
19
UMN12
•
SOLUTIONS
MAI 2000
Dérivabilité en 0
Toujours au voisinage de 0 on a:
x2
1
2
f ( x ) =  −1 + x +
+ 1 − x2 + ο x2

2
3
3

( ) = 12 x − 16 x2 + ο ( x2 )

Le prolongement sera dérivable en 0 et f ′ ( 0 ) =
1
2
Il existe donc une solution f de l’équation différentielle sur l’ensemble
]−1; +∞[ = I 2 ∪ {0} ∪ I3 définie par :
f (x) =
x +1
1
( x − 1) Arc tan x + ( x + 1) ln 2
2x
x +1
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons fortement de faire l'exercice suivant (Cliquez sur Exercice).
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
20
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
(MATH12E04C)
L'équation est définie sur R; elle est linéaire et le coefficient de y ′ s'annule en −1, 0
et 1. On considère les intervalles :
I1 = ] − ∞ , − 1 [
I 2 = ] − 1 , 0 [ I 3 = ] 0 ,1 [ et I 4 = ] 1 , + ∞ [
On cherche des solutions sur I j pour j prenant les valeurs 1, 2,3 et 4.
Supposons dorénavant j fixé. On peut exprimer l’équation différentielle sur chacun
x
2
y=
des intervalles sous forme normalisée : y ′ +
x x2 − 1
x2 − 1
(
•
Equation sans second membre : y ′ +
La fonction x !
(
2
)
x x2 − 1
(
) (
2
)
x x −1
2
)
y=0
est continue sur I j et admet donc sur chacun de ces
 x2 − 1 

intervalles des primitives, en particulier, x ! ln 
 x 2 


La solution générale de l’équation homogène est donc :

x2
sur ]−∞; −1[
λ1 2
 x −1

x2
λ2
sur ]−1; 0[
 x2 − 1
y=
x2

λ
 3 x 2 − 1 sur ]0;1[


x2
sur ]1; +∞[
λ4 2
 x −1
•
Solution particulière de l’équation complète.
Cherchons une solution particulière de (E), en utilisant la méthode de variation
de la constante
x2
x2
2x
− λ (x)
y = λ (x) 2
avec y ′ = λ ′ ( x ) 2
2
x −1
x −1
x2 − 1
(
)
En reportant dans l'équation initiale et en simplifiant, on obtient :
1
λ ′ ( x ) = soit : λ ( x ) = ln x
x
On obtient donc comme solution particulière la fonction définie par :
x2
y (x) = 2
ln x
x −1
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
21
UMN12
•
SOLUTIONS
MAI 2000
Solution générale.
En utilisant le principe de superposition des solutions

x2
sur ]−∞; −1[
(ln ( − x ) + λ1 ) 2
x −1


x2
(ln ( − x ) + λ2 )
sur ]−1; 0[

x2 − 1
y=
(λ1 ,λ2 , λ3 , λ4 ) ∈ R 4
2
x

λ
ln
x
sur ]0;1[
+
(
)
3

2
x
1
−


x2
λ
sur ]1; +∞[
(ln x + 4 ) 2
x −1

Raccordement en −1
•
Continuité en –1.
f est continue en −1 si et seulement si λ1 = λ2 = 0 . On pose alors : f ( −1) =
•
1
2
Dérivabilité en –1
On effectue le développement limité au voisinage de –1 de la fonction :
X − 1)
1
1 ln (1 − X ) (
1 ln − x
−
−
2
( ) 2
f (x) −
( X − 1) − 1 2
x −1 2 =
2 =
x +1
x +1
X
2
x2

X2
+o X2
 − X −
2
=
X
1
On peut donc poser f ′ ( −1) =
2
Il y a donc raccordement en –1.
( )
 ( X − 1)2
1
−

 X ( X − 2) 2 = 1 + o X
( )
2
Raccordement en 0
On pose f ( 0 ) = 0 et f ′ ( 0 ) = 0 qui assurent le prolongement de f par continuité
en 0 et la dérivabilité de f en 0.
Il y a donc raccordement en 0.
Raccordement en 1
f est continue en 1 si et seulement si λ3 = λ4 = 0 , on pose alors f (1) =
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
1
2
22
UMN12
SOLUTIONS
MAI 2000
1
2
Il existe une solution unique sur R donnée par :

x2
ln
x
sur ]−∞; −1[
 (− ) 2
x
−
1

1
si x = −1

2

x2
sur ]−1; 0[
ln ( − x ) 2
x −1


y = 0
si x = 0

2
ln x x
sur ]0;1[

x2 − 1

1
si x = 1
2

2
ln x x
sur ]1; +∞[

x2 − 1
1
f ′ (0 ) = 0
avec f ′ ( −1) = f (1) =
2
Pour la dérivabilité on a : f ' (1) =
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons vivement de contacter votre tuteur.
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EXERCICES :Philippe Leclère et Gérard Hirsch
23
UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E01A)
Le facteur de y ′ ne s'annulant pas l’équation est sous forme normalisée. Il existe donc une
fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que Y (1) = f (1) = 1
On rappelle qu'une primitive de la fonction f ; x !
1
1+ x
2
(
est ln x + 1 + x 2
( x ! Argsh x serait maladroit dans cet exercice)
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Exercices : Gérard Hirsch, Philippe Leclère
)
UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E01B)
Le facteur de y ′ ne s'annulant pas l’équation est sous forme normalisée. Il existe donc une
fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que Y ( 0 ) = f ( 0 ) = 1
Il existe une solution polynomiale de degré 1 pour l'équation complète
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UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E01C)
Le facteur de y ′ ne s'annulant pas l’équation est sous forme normalisée. Il existe donc une
fonction solution Y et une seule de l'équation et telle que Y ( 0 ) = f ( 0 ) = 2
La fonction f : x ! ln x est une bijection de ] 0 , + ∞ [ sur ]−∞ , + ∞ [
ln a = ln b
⇒a=b
a > 0 et b > 0
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UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E02A)
Le facteur de y ′ s'annule pour x = 0 , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ]−∞; 0[ et ]0; +∞[ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en x = 0 et la dérivabilité en x = 0 .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) = l
x →0
x<0
Soit :
x →0
x >0
et
lim
x →0
x<0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= f ′ (0 ) = l ′
Et enfin a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
La solution étant de classe C n , les développements limités fournissent aussi la réponse
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UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E02B)
Le facteur de y ′ s'annule pour x = 0 , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ]−∞; 0[ et ]0; +∞[ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en x = 0 et la dérivabilité en x = 0 .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) = l
x →0
x<0
Soit :
x →0
x >0
et
lim
x →0
x<0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= f ′ (0 ) = l ′
Et enfin a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
Pour obtenir une limite finie en x = 0 , vous devez éliminer les termes contenant des
puissances négatives de x.
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UMN12
Aides
(MATH12E02C)
Une primitive de x ! Arc tan x s'obtient en intégrant par parties
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MAI 2000
UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E03A)
Le facteur de y ′ s'annule pour x = 0 , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ]−∞; 0[ et ]0; +∞[ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en x = 0 et la dérivabilité en x = 0 .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) = l
x →0
x<0
Soit :
x →0
x >0
et
lim
x →0
x<0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= f ′ (0 ) = l ′
Et enfin a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
Le raccordement des solutions en x = 0 s'effectuera en utilisant le développement limité
de e x à un ordre correct
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UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH10 E 03B)
Le facteur de y ′ s'annule pour x = 0 , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ]−∞; 0[ et ]0; +∞[ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en x = 0 et la dérivabilité en x = 0 .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) = l
x →0
x<0
Soit :
x →0
x >0
et
lim
x →0
x<0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= f ′ (0 ) = l ′
Et enfin a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
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Aides
MAI 2000
(MATH12E03C)
Le facteur de y ′ s'annule pour x = 0 , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ]−∞; 0[ et ]0; +∞[ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en x = 0 et la dérivabilité en x = 0 .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) = l
x →0
x<0
Soit :
x →0
x >0
et
lim
x →0
x<0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= f ′ (0 ) = l ′
Et enfin a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
Le raccordement des solutions en x = 0 s'effectuera en utilisant le développement limité
de x ! Arc sin x à un ordre correct
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UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E04A)
Le facteur de y ′ s'annule pour x = 0 , il faut donc résoudre cette équation différentielle sur les
deux intervalles ]−∞; 0[ et ]0; +∞[ .
On essaiera de « raccorder » les deux solutions trouvées sur chaque intervalle.
Il faut donc vérifier la continuité de la solution en x = 0 et la dérivabilité en x = 0 .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( 0 ) = l
x →0
x<0
Soit :
x →0
x >0
et
lim
x →0
x<0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= lim
x →0
x >0
f ( x ) − f (0 )
x−0
= f ′ (0 ) = l ′
Et enfin a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
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UMN12
Aides
MAI 2000
(MATH12E04B)
Le facteur de y ′ s'annule pour x = 0 et x = −1 , il faut donc résoudre cette équation
différentielle sur les intervalles ]−∞; −1[ , ]−1; 0[ et ]0; +∞[ .
On essaiera de « raccorder » les solutions trouvées sur chaque intervalle. Il faut donc vérifier
la continuité de la solution en x = x0 et la dérivabilité en x = x0 pour x0 = 0 puis x0 = −1 .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) = l
x→ x0
x< x0
Soit :
x→ x0
x > x0
et
lim
x→ x0
x< x0
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
= lim
x→ x0
x > x0
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
= f ′ ( x0 ) = l ′
Et enfin a ( x0 ) l ′ + b ( x0 ) l = c ( x0 )
On cherche des solutions sur l'intervalle le plus grand possible
L'intégration par parties est utile pour trouver une solution particulière de l'équation complète
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UMN12
Aides
(MATH12E04C)
Il faut considérer les intervalles :
I1 = ] − ∞ , − 1 [
I 2 = ] − 1 ,0
[
I 3 = ] 0 ,1 [ et I 4 = ] 1 , + ∞ [
Le raccordement doit être envisagé aux points −1, 0 et 1
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MAI 2000