Table des matières - Editions Ecole Polytechnique

Table des matières
Introduction 1
I Structure électronique 9
1 Symétrie et fonctions d’onde 11
1.1 Lesatomesdessemi-conducteurs ................. 12
1.2 Fonctionsdecristalpériodique .................. 13
1.2.1 FonctionsdeBloch..................... 13
1.2.2 Largeur de la zone de Brillouin .............. 14
1.2.3 NormalisationdesfonctionsdeBloch........... 14
1.2.4 Développement de Unk(r)en fonction des Un0(r)... 16
1.2.5 FonctionsdeLuttinger-Kohn ............... 17
1.3 Bande interdite et masse effective................. 18
1.4 Une description simpliste ou pourquoi le silicium est un semi-
conducteur ............................. 22
1.5 Structure cristalline et zone de Brillouin ............. 26
1.6 Combinaisonlinéaired’orbitalesatomiques ........... 31
1.6.1 Idéedirectrice........................ 31
1.6.2 Lesliaisonsfortes...................... 31
1.6.3 Équationséculaire ..................... 33
1.6.4 Structuredebande..................... 37
1.6.5 Caractère set pdesfonctionsd’onde........... 38
1.7 Symétriedesfonctionsd’ondeetélémentsdematrice...... 43
1.7.1 Fonctionsd’ondeorbitales................. 43
1.7.2 Fonctionsd’ondemélangéesdespin ........... 51
1.8 Fonctionsd’ondeducentredezone................ 52
1.8.1 Lesfonctions“sphériques”................. 52
1.8.2 Lesfonctions“cubiques”.................. 53
1.8.3 Utilité des notations de Luttinger-Kohn et Kane . . . . 55
Avant-propos

Table des matières
1.8.4 Fonctiond’ondedetrou.................. 56
1.9 Lexiquedethéoriedesgroupes .................. 57
1.9.1 Groupesimple(sansspin)................. 57
1.9.2 Groupedouble(avecspin)................. 58
1.10Semi-conducteur .......................... 60
1.10.1 Définition.......................... 60
1.10.2 Semi-conducteuràbandeinterdite“directe”....... 61
1.10.3 Semi-conducteuràbandeinterdite“indirecte”...... 61
1.10.4 Semi-conducteuràbandeinterditenulle ......... 62
1.10.5 Présentationgénéraledessemi-conducteurs ....... 64
1.11Semi-métal ............................. 71
1.11.1 Semi-métalstrictementcompensé............. 71
1.11.2 Semi-métalusuel...................... 72
1.A Appendice:FonctionsetthéorèmedeBloch........... 73
1.A.1 Propriétés.......................... 73
1.A.2 Zone de Brillouin ...................... 75
1.A.3 Doublementdemaille ................... 76
1.B Appendice : Renversement du temps et “Parité” de En(k)... 78
1.B.1 ConjugaisondeKramers.................. 78
1.B.2 Dégénérescence de spin et dégénérescence de Kramers . 79
1.B.3 Pente de En(k)....................... 81
1.C Appendice:Couplagespin-orbitedanslessolides........ 81
1.C.1 Idéegénérale ........................ 81
1.C.2 Descriptionprécise..................... 82
2 Principedelathéoriek·p85
2.1 Théoriedesperturbations ..................... 86
2.1.1 Hamiltoniendedépart................... 87
2.1.2 Casd’unniveaunondégénéré............... 87
2.1.3 Cas d’un niveau dégénéré : renormalisation de Löwdin . 88
2.1.4 Cas de niveaux quasi-dégénérés : renormalisation de Luttinger-
Kohn ............................ 89
2.2 L’hamiltonien k·p......................... 92
2.2.1 Pointdedépart....................... 92
2.2.2 Principe........................... 92
2.2.3 Premiercas:unseulétatestimportant......... 94
2.2.4 Deuxièmecas:deuxétatssontimportants ....... 95
2.A Appendice : Théorie des perturbations de Luttinger-Kohn . . . 106
2.A.1 Rappeldelathéorieusuelledesperturbations...... 106
2.A.2 Objetdel’étude ...................... 107
2.A.3 Démonstration ....................... 107

Table des matières
3 Structure de bande : I 125
3.1 Schémasdeprincipe ........................ 127
3.2 Hamiltoniensanscouplagespin-orbite .............. 128
3.2.1 Cequiestsupposéconnu ................. 128
3.2.2 Hamiltonien à l’intérieur de {Γ1;Γ5}.......... 132
3.2.3 Hamiltonien à l’intérieur de {Γ5C;Γ5}......... 136
3.2.4 Hamiltonien à l’intérieur de {Γ5C;Γ1;Γ5}....... 137
3.2.5 Hamiltonien projeté sur Γ5: l’hamiltonien de Dresselhaus-
Kip-Kittel.......................... 143
3.3 Hamiltonienaveccouplagespin-orbite .............. 148
3.3.1 Cequiestsupposéconnu ................. 148
3.3.2 L’hamiltonien à l’intérieur de {Γ6;Γ8;Γ7}ou hamil-
toniendeKane....................... 151
3.3.3 Hamiltonien à l’intérieur de {Γ8C;Γ7C;Γ6;Γ8;Γ7}154
3.3.4 L’hamiltonien projeté sur {Γ6;Γ8;Γ7}: l’hamiltonien
H8dePidgeon-Brown ................... 162
3.3.5 L’hamiltonien projeté sur Γ8: l’hamiltonien H4de Luttinger-
Kohn ............................ 174
3.3.6 L’hamiltonien projeté sur {Γ8;Γ7}: l’hamiltonien 6×6
de Luttinger-Kohn ou hamiltonien H6.......... 178
3.A Appendice : Les coefficients F,G,H1,H2de Dresselhaus-Kip-
Kittel ................................ 183
3.B Appendice : Relations entre les paramètres de Luttinger et de
Dresselhaus-Kip-Kittel....................... 188
3.C Appendice : Relations entre les paramètres de Luttinger et les
paramètresdePidgeon-Brown................... 190
3.D Appendice : Couplage spin-orbite dans les semi-conducteurs . . 190
3.D.1 Enthéoriedesgroupes................... 190
3.D.2 Calculdesélémentsdematrice .............. 191
3.E Appendice : L’hamiltonien de Kane à grand ||k|| ........ 193
3.F Appendice : Passage d’une matrice sans spin à une matrice avec
spin ................................. 193
4 Structure de bande : II 197
4.1 Bande de valence et effet Zeeman (l’article de Luttinger) . . . . 198
4.1.1 Hamiltonien relatif au niveau Γ5dit “L”=1....... 198
4.1.2 Hamiltonien relatif au niveau Γ8dit “J”=3/2..... 199
4.2 Décompositiondel’hamiltoniendeLuttinger .......... 203
4.2.1 Idéegénérale ........................ 203
4.2.2 Matricesutiles ....................... 206
4.2.3 Liens entre les paramètres de Luttinger et les paramètres
de Dresselhaus-Kip-Kittel : l’approximation sphérique . 207
4.3 Fonctionsd’ondedel’hamiltoniendeLuttinger-Kohn...... 207
4.4 Influencedel’absencedecentred’inversion ........... 211

Table des matières
4.4.1 L’hamiltoniendeKane................... 211
4.4.2 Perturbationsvenantdesautresbandes ......... 214
4.5 Lessemi-conducteursàbandeinterditenulle........... 220
4.6 Hamiltoniendecontrainte..................... 222
4.6.1 Nomenclature........................ 222
4.6.2 Généralités ......................... 222
4.6.3 Notations .......................... 224
4.6.4 L’hamiltoniendeBir-Pikus ................ 227
4.6.5 L’hamiltoniendeBir-Pikus-Pidgeon-Brown ....... 229
4.6.6 Casdesellipsoïdes ..................... 232
4.6.7 Influence d’une contrainte uniaxiale sur les dispersions en
énergie en Γ8........................ 232
4.6.8 Cas où k=(0,0,k
z)................... 234
4.6.9 Influence d’une contrainte biaxiale sur les dispersions en
énergie en Γ8........................ 235
4.7 Description en masse effectived’undonneur........... 237
4.7.1 Bandeinterditedirecte................... 237
4.7.2 Bandeinterditeindirecte ................. 243
4.8 Description en masse effectived’unaccepteur .......... 244
4.9 Hamiltonien effectif......................... 245
4.10Lawurtzite(GaN,CdS,CdSe) .................. 251
4.10.1 Descriptionquasi-cubique ................. 251
4.10.2 La wurtzite (Groupe C6v)................. 254
4.11Ondeévanescente.......................... 259
4.11.1 “Hamiltonien” k·pnonhermitique ........... 259
4.11.2 Unedescriptionsimple................... 260
4.11.3 Utilisation de la matrice Pidgeon-Brown ......... 261
4.A Appendice : Termes impairs en k................. 263
4.A.1 Notationsliéesaucouplagespin-orbite.......... 263
4.A.2 Termes linéaires en kdans la bande de valence Γ8. . . 264
4.A.3 Absence de termes linéaires en kdans la bande de conduc-
tion Γ6delablendedezinc................ 265
4.A.4 Termes en k3........................ 266
4.B Appendice : La matrice 14 ×14 ou hamiltonien H14 ...... 269
4.C Appendice:Remarquesurlafonctionenveloppe ........ 276
4.D Appendice : Théorie k·pau point Ldugermanium ...... 276
4.E Appendice:TransformationdeBroido-Sham .......... 279
5 Landé et Landau 283
5.1 EffetZeemanetfacteurdeLandé................. 284
5.1.1 Hamiltonien de conduction en présence d’un champ ma-
gnétique........................... 284
5.1.2 Facteur de Landé des électrons de conduction ...... 286
5.1.3 Effet Zeeman de la bande de valence : un aperçu . . . . 287

Table des matières
5.2 NiveauxdeLandau......................... 288
5.2.1 Niveaux de Landau d’une particule de charge ±eet de
masse m........................... 289
5.2.2 Bandedeconduction.................... 290
5.2.3 Bandedevalence...................... 291
6 Hétérostructures 299
6.1 LaproblématiqueHarrison-BenDaniel-Duke........... 301
6.1.1 L’articledeHarrison.................... 301
6.1.2 L’articleBenDaniel-Duke ................. 302
6.2 Puitscarré ............................. 303
6.2.1 Définition.......................... 303
6.2.2 Puits finiàmasseconstante................ 303
6.3 L’approximationclef........................ 305
6.4 Bandedeconduction........................ 305
6.4.1 Cas du puits infini ..................... 305
6.4.2 Cas du puits fini ...................... 307
6.4.3 Casoùlamasseestanisotrope .............. 309
6.5 Bandedevalence.......................... 310
6.5.1 Cas du puits infini ..................... 310
6.5.2 Cas du puits fini ...................... 316
6.6 Densitéd’états ........................... 318
6.A Appendice:L’hamiltoniendeBurt-Foreman........... 320
6.A.1 Rappel............................ 320
6.A.2 Pointdedépart....................... 321
6.A.3 Hamiltoniensanscouplagespin-orbite .......... 323
6.A.4 Hamiltonien tenant compte du couplage spin-orbite . . 327
6.B Appendice : Bande de valence dans un puits infini ....... 332
6.B.1 Calculspréliminaires.................... 332
6.B.2 Calculdesmassesplanaires ................ 334
6.C Appendice : Au delà de la masse effective et du puits infini . . 335
6.C.1 Un puits fini peut-il être considéré comme infini ? . . . . 335
6.C.2 Variation de l’énergie en fonction de la largeur du puits 336
6.C.3 Remarque sur la fonction d’onde dans un puits infini . . 336
II Optique et excitons 337
7 Quelques propriétés optiques des solides 339
7.1 Systèmed’unités .......................... 340
7.2 Origine de l’indice optique ..................... 340
7.2.1 Casd’unefréquencedecouplage ............. 342
7.2.2 Casdeplusieursfréquencesdecouplage ......... 349
7.2.3 Influenceduchamplocal ................. 353