trinôme du second degré - XMaths

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TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
Définition
f !"#x
f(x)=ax
$
%bx%cabc&a≠'
Exemple
(fgh !f(x)=$x
$
%)x%*g(x)=-)x
$
-x *h(x)=x
$
$%+ )
Remarques
• ,----
 (,f(x)=ax
$
%bx%c&
 ,
  "f(x)=a
.x- α/
$
+β
.αβ/
  f(x)=a.x-x /.x-x
$
/.x x
$
/
• 01n.n∈ 2
*
/f !
f(x)=a
n
x
n
+a
n-
x
n-
+3+a x+a
'
a
n
*a
n-
*3*a *a
'
&a
n
≠'
 4 ff(x)=-$x
+
+ )x
5
+ x
$
+ $x -  1+ .
g g(x)=
$x
6
- x 3 16
Exercice 01 .&/
7//8"$x
$
%5x-)'*$
.x+/
$
-6
*$.x-)/.x%+/
  9f
 :/;f.'/*f.)/*f.-+/*f.-/*f.-$/
$7//8"x
$
%5x%+.x%$/
$
%
  9g
 :/<"g(x)x
 /4=:&g>
Exercice 02 .&/
g"g(x)=)
.x- /
$
-?
7/<&g
$7/;g.'/*g./*g.5/*g. $ /
)7/!,"g(x)='
Définition
,fx
'
"f.x
'
/ = '.
Remarque
(,f,"f(x)='
.2--&--/
Exercice 03 .&/
@"-x
$
+$x+- $
Exercice 04 .&/
<-)

−
 $
Exercice 05 .&/
!A.A/B.B/8
7/ff(x)=$x
$
-Cx-5
f   f-   f"
$
.x-$/
$
-6
$7/gg(x)=$.x -)/.x%$/
g$   g.5/=$   g(x)
&
5x
$
-5x-$5
Exercice 06 .&/
f(x)=x
)
+x
$
-x++;f./
@"f(x),f(x)=.x-/.ax
$
+bx+c/Dabc#
Exercice 07 .&/
1ff(x)=$x
)
+Cx
$
-6x-65
7/<"fα
 .,,",:&:&/
$7/@",f(x)=.x-α/.ax
$
+bx+c/Dabc#
)7/4f
Exercice 08 .&/
!"
7/x
$
-6x='   $7/x
$
-?='    )7/x
$
%+x='
57/$x
$
%='   +7/)x
$
-?='   67/$x
$
-x='
Exercice 09 .&/
7/<αβ"x
$
-5x+$=.x-α/
$
+β
$7/4x
$
-5x+$,"x
$
-5x+$='
)7/<αβ"x
$
-5x++=.x-α/
$
+β
 E=,"x
$
-5x++= ' >
Exercice 10 .&/
7/;
x
$
-$x+=.x-3/
$
 x
$
+ 4x + 4 = (x + …)
$
x
$
+6x+3=.x+3/
$
 x
$
-x+
5=.x-3/
$
x
$
-3x+?
5=.x-3/
$
 x
$
+
$x+3=.x+3/
$
$7/;
x
$
-$x+)=.x-3/
$
+ … x
$
+ 4x - 5 = (x + …)
$
- …
x
$
+6x-=.x+3/
$
- … x
$
-x+$=.x-3/
$
+ …
x
$
-)x+5=.x-3/
$
+ … x
$
+
$x+=.x+3/
$
+ …
)7/!"
x
$
-$x+)='  x
$
+ 4x - 5 = 0
Remarque
f(x)=ax
$
+bx+c&a≠'
 f(x)=a x
$
+b
ax+c a=a
x+b
$a
$
-b
$
4a
$
+c
a=a
x+b
$a
$
-b
$
4a
$
+4ac
4a
$
    f(x)=a
x+b
$a
$
-b
$
-5ac
4a
$

−
 )
Définition
f(x)=ax
$
+bx+c&a≠'
∆:∆=b
$
-5ac
Remarques
• (,f(x)=a x+b
$a
$
-∆
4a
$
"
• (,    " ,   9     &  &  
• &F,∆=b
$
-5ac
Exercice 11 .&/
<"$x
$
-5x +C4"$x
$
-5x +CG'x∈ !
@9"&)x
$
+x+
Propriété .&'/
f(x)=ax
$
+bx+c&a≠'∆∆=b
$
-5ac
• ∆H',
  (
• ∆=':x
'
=-b
$a
  (f(x)=a.x-x
'
/
$
• ∆G'x x
$
"# -b-∆
$a-b+∆ $a
  (f(x)=a.x-x /.x-x
$
/
Remarques
• (,∆"
,",I,1
•Attention,""
 ,,."/
Exemple
("x
$
%='*x
$
-$x='*$x
$
-5='*)x
$
%?x='"
",,
Exercice 12 .&/
0"=",
!"
x
$
+$x-)='   x
$
- 5x = '   $x
$
-x+=' 
-x
$
++x-6='   3x
$
+$x+)'='   5-+x
$
=' 
Exercice 13 .&/
0"=",
!"
?x
$
-$5x+6='   
$x
$
+$x=-+   -)x
$
+x= 4
$x
$
-
$='   )x
$
-x%+='   x
$
5 + )  = 0 

−
 5
Exercice 14 .&/
0"=","
J:!""
.$x%)/.+-x/='   %x=x
$
  )x
)
%x
$
= 0
.x
$
-/.)-$x/='   )x-x
$
=$   x + 
x=  
Exercice 15 .&/
B",:
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Exercice 16 .&/
fgf(x)=x
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Exercice 17 .&/
f['*$']f(x)=-''$x
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4"&
7/<,K$''
$7/4",K==C'+>
Propriété .&'$/
f(x)=ax
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  (Ia
  :
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=-b
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  (f(x)=a.x-x
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D,
  :
• ∆G'x x
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"# -b-∆
$a-b+∆ $a
  (f(x)=a.x-x /.x-x
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  ( -a"x
    a"x#,
  :."x Hx
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x -∞
+∞
 ax
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+bx+c
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x -∞
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+∞
ax
$
+bx+c
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−
 +
Exemple
• $x
$
-Cx-'∆=55x =-x
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=+
 "x
$
.a=$/:
Remarque
(,,"
0,"$x
$
-Cx-'H'&#&"&x
:&",:]-*+[
Exercice 18 .&/
7/B:&
 /)x
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$
-+x%$  /-5x
$
+5x-
$7/!"&
 /)x
$
-5x%+H'   :/$x
$
-+x%$H'  /-5x
$
+5x-H'
)7/!"&
 /)x
$
-5x%+³'  :/$x
$
-+x%$³'  /-5x
$
+5x-³'
Exercice 19 .&/
!"&
.,"",/
7/$x
$
+)x+³'   $7/x
$
-)x-H'  )7/5x
$
G-)
57/-x
$
H $ x-)
$   +7/x-x
$
³'   67/)x
$
+
$x£5
Propriété .&')/
(",f(x)=ax
$
+bx+c:
:-b
$af
-b
$a
(:1,"x=-b
$a
aG':& aH':&:
f -∞ * -
b
$a
-b
$a*+∞ 
f -∞ * -
b
$a
-b
$a*+∞ 
- b
$a
- b
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x -∞  
-
b
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   +∞
f
. /
-b
$a
f         
x -∞  
-
b
$a
   +∞
f         
f
. /
-b
$a
x -∞
-  +  +∞
$x
$
-Cx-' % ' - ' %