i1 Un quadripôle est un élément comportant 4 bornes, deux que nous plaçons sur sa gauche et deux sur sa droite. i2 u1 u2 De la façon la plus générale, le quadripôle considéré effectue une opération de traitement du signal, telle que de l’amplification ou du filtrage. On ne précise pas le sens du transfert de l’information dans le quadripôle : La tension d’entrée peut être u1 ou u2, voire les 2 simultanément ! (Le quadripôle est alors bidirectionnel) Les 2 courants i1 et i2 sont ainsi fléchés comme entrants dans le quadripôle (convention récepteur) Pour aborder plus simplement cette étude, nous allons tout d’abord considérer que le transfert de l’information est unidirectionnel dans un quadripôle. Dans ces conditions, les 2 bornes de gauche sont les bornes d’entrée du circuit et celles de droite les bornes de sortie. Il paraît alors plus logique de flécher les grandeurs de sortie avec la convention générateur. i1 i2 u1 u2 En fin de chapitre, nous donnerons un aperçu de l’approche généralisée des quadripôles, dans laquelle la notion d’entrée et de sortie perd son sens. Classification des quadripôles : On peut les classer selon qu’ils ont un comportement linéaire ou non, selon qu’ils sont actifs ou passifs, selon qu’ils sont symétriques ou non… 7.1 Modélisation linéaire. Considérons un quadripôle traitant un signal appliqué sur ses bornes d’entrée. Ce quadripôle est inséré dans une chaîne électronique ; il est ainsi connecté, côté entrée, à un générateur de commande, et à une impédance de charge, côté sortie. ie is Q ue us Le fait que ce quadripôle soit qualifié de linéaire signifie qu’il ne renferme que des éléments dont le comportement est linéaire. (C’est à dire que les relations qu’on peut écrire entre les différentes grandeurs internes sont linéaires) Une conséquence du comportement linéaire est que l’application en entrée d’un régime sinusoïdal entraîne que toutes les grandeurs électriques sont sinusoïdales pour le quadripôle. Dans ce qui suit, les quadripôles fonctionnent en régime sinusoïdal établi. 7.1.1 Modèle d’entrée. Pour le générateur de commande (eG ; ZG), le quadripôle représente un récepteur. Il est donc vu comme une impédance ZE ZG eG Cette impédance est nommée impédance d’entrée ; U soit ZE = U E en module ZE = E IE IE ie ue Ze Elle n’a, le plus souvent, aucune existence physique, mais résulte d’un calcul. L’impédance d’entrée peut dépendre des conditions de fonctionnement du quadripôle, en particulier de la charge à laquelle sa sortie est connectée. Exemple : Impédance d’entrée d’un circuit RC chargé. Pour une valeur quelconque de Ru Ru ZE = R + 1 + jR uCω On définit les 2 valeurs limites pour ZE : En sortie à vide ZEV = R + 1 jCω En sortie court-circuitée ZECC = R R uE uS C Ru 7.1.2 Nature de la commande. - Commande en tension : L’entrée du quadripôle « voit » un générateur de tension. uE = eG si ZG → 0 ou si ZE → ∝ ceci correspond à une condition stricte ; toutefois, de façon approchée, on admet que le quadripôle est commandé en tension si ZE >> ZG ZG uE eG - Commande en courant : L’entrée du quadripôle « voit » un générateur de courant. iE = iG si ZG → ∝ ou si ZE → 0 ; (condition stricte) ici également, on considère la commande en courant réalisée de façon approchée si ZG >> ZE iE ZE iE iG ZG ZE uE 7.1.3 Modèles de sortie. Pour la charge, le quadripôle est assimilable à un générateur. Dans la mesure où il fonctionne de façon linéaire, cet électromoteur se décrit par une structure de Thévenin ou de Norton. On appelle impédance de sortie d’un quadripôle, l’impédance interne du générateur modèle de sa sortie. Remarquer que la source active de ce générateur est une source commandée par une grandeur d’entrée. Comme nous avons 2 grandeurs d’entrée (iE et uE) et 2 structures de générateur de sortie (Thévenin ou Norton), nous aurons 4 possibilités pour décrire la sortie d’un quadripôle : Quadripôle commandé en tension ZS iE iS iE iS YCCuE uE ZE A0uE A0 est l’amplification en tension à vide uS uE ZE ZS uS YCC est l’admittance de transfert en court-circuit Quadripôle commandé en courant ZS iE iS iS iE AiCCiE uE ZE ZTiE uS ZE uE ZT est l’impédance de transfert à vide ZS uS AiCC est l’amplification en courant en court-circuit Remarque 1 : L’impédance de sortie peut dépendre de l’impédance de sortie du générateur de commande. Exemple : Impédance de sortie d’un quadripôle RC. Calculons l’impédance de sortie du circuit RC précédent, commandé par un générateur décrit par {eG ; RG} En appliquant le th. de Thévenin, on neutralise eG ; entre S1 et S2, on voit l’impédance équivalente à R + RG en parallèle avec C : R + RG ZS = 1 + j(R + R G)Cω Selon RG, ZS peut varier entre 2 extrêmes : R RG S1 eG C S2 R 1 + jRCω - Pour une commande en courant (RG → ∝) ZSI = 1 jCω - Pour une commande en tension (RG → 0) ZSU = Remarque 2 : Calcul d’impédances de sortie en présence de sources commandées dans les schémas. Ce cas est typique dans l’étude des amplificateurs ; d’après le théorème de Thévenin, on ne neutralise en effet que les sources dites « autonomes » (qui ne dépendent en fait d’aucune autre grandeur interne au circuit étudié). iB iC Dans les étages à transistors, par exemple, intervient le modèle « petits signaux » du transistor (cf. ci-contre) βiB Nous verrons lors de leur étude que 2 cas peuvent se produire, selon que le courant iB disparaît ou non lors de la neutralisation de la source de commande de l’étage. vBE r ρ vCE 7.2 Cascades de quadripôles. Dans les chaînes de traitement analogique de signal, les différent blocs fonctionnels, assimilables à des quadripôles, s’enchaînent (l’un au bout de l’autre). Ce type d’association se nomme « cascade » Considérons une cascade élémentaire de 2 quadripôles linéaires Q1 et Q2, commandée par un générateur {eG, RG}, et chargée par une résistance RU. Pour simplifier, supposons toutes les impédances résistives pures. RG eG RS1 iE uE RE1 A1uE RS2 i u Q1 RE2 A2u iS uS RU Q2 Recherchons le modèle linéaire du quadripôle Q équivalent à la cascade de Q1 et Q2. Résistance d’entrée. La résistance d’entrée de la cascade est R E = u E ; c’est la résistance d’entrée RE1 du 1er quadripôle ! iE (Compte-tenu de la présence des autres étages, éventuellement (cf. 711)) Résistance de sortie. C’est la résistance interne du générateur « vu » par la charge RU ; pour la définir, nous débranchons RU, puis nous neutralisons la seule source autonome du schéma, c’est à dire eG . Si eG devient nulle, uE s’annule ; d’où disparition de la source A1uE, donc de la tension u et de la source A2u ! Finalement, il ne reste plus que la résistance RS2 entre les 2 bornes de sortie de la cascade, et la résistance cherchée n’est autre que RS2. La résistance de sortie d’une cascade d’étages est la résistance de sortie du dernier étage. (Compte-tenu de la présence des autres étages, éventuellement (cf. 713)) Source active de sortie. Selon que l’on veuille décrire la sortie de la cascade par un générateur de Thévenin ou de Norton, on recherche la tension de sortie à vide ou le courant de sortie en court-circuit de la cascade. D’après le schéma proposé ci-dessus, la fém. de sortie de la cascade est eTH = A2u. R E2 Or, u = Au R E2 + RS1 1 E R E2 Finalement, nous pouvons écrire : eTH = AéquE = A1A 2 u R E2 + RS1 E Noter que l’amplification en tension à vide globale est strictement inférieure au produit des amplifications en tension à vide des différents étages. Finalement, la cascade considérée se ramène au quadripôle Q ci dessous : RG eG RS2 iE uE RE1 A1A 2 R E2 u R E2 + RS1 E Q iS uS RU Remarque : Liaisons entre quadripôles. - Liaison continue : La liaison est directe (fil) - Liaison capacitive : Cas classique entre les étages à transistors ; le continu et les plus basses fréquences eG ne peuvent pas être transmis. - Liaison par transformateur : Se rencontre entre 2 circuits accordés pour adapter une bande passante, ou en liaison entre étage de puissance et haut-parleur. Là aussi, ce type de liaison interdit la transmission eG du continu et des fréquences les plus basses. C RG RE RG RE 7.3 Adaptations d’impédances. Le problème consiste à obtenir une certaine relation d’ordre entre l’impédance de sortie d’un quadripôle et l’impédance d’entrée du suivant, afin d’optimiser le transfert d’une grandeur électrique donnée. Au départ, cette relation d’ordre n’est pas satisfaite ; la solution généralement adoptée consiste à intercaler un quadripôle adaptateur entre les 2 quadripôles. 7.3.1 Adaptation en tension. Ce cas est fréquent en électronique : Il s’agit de réaliser la commande en tension d’un quadripôle par un autre. R1 La commande en tension nécessite u ≈ e1 , ce qui ne peut être résolu que par i = 0. i R2 u e1 Il faudrait vérifier R1 << R2 pour qu’il en soit ainsi. Si ça n’est pas le cas, on intercale un quadripôle adaptateur nommé suiveur de tension, caractérisé par une impédance d’entrée infinie, une impédance de sortie nulle et une amplification en tension unitaire. R1 u e1 Ainsi, le quadripôle amont fonctionne-t-il à vide et u = e1 ; le quadripôle aval voit un générateur de tension u = e1. i 0 R2 u Quadripôle suiveur de tension 0 u u Exemple : Suiveur de tension à A. Op 7.3.2 Adaptation en puissance. RG • Position du problème Considérons un générateur {eG, RG}, débitant sur une charge Variable R. eG La puissance P fournie par ce générateur à la charge R 2 s’écrit P = R.I = < u.i > Elle est nulle si R → ∝ (pas de courant i) et si R = 0 (pas de tension) ; en conséquence, elle doit admettre un maximum pour une valeur finie de R ! P 2 R ⋅ EG EG 0.5 donc P = On a I = R + RG (R + R G) 2 Le maximum de P est donné par l’annulation de la dérivée de la fonction P(R) 2 2 2 dP = EG.(R + R G ) − 2REG.(R + R G ) dR (R + R G)4 Cette dérivée s’annule si son numérateur s’annule ; on vérifie aisément que dP = 0 dR si R = RG i u R Pmax= 0,5W 0.4 0.3 R = 50Ω 0.2 0.1 La puissance maximale est alors : 100m 1 10 100 1k 2 EG Pmax = 4R G Cf. ci-dessus un exemple pour lequel EG = 10V et RG =50Ω ; on obtient PMAX = 0,5W pour R =RG = 50Ω. En charge sur R = RG, un générateur fournit un maximum de puissance : Pmax = 2 EG 4R G (Remarque : Dans ces conditions, le générateur fonctionne au point u = eG 2 i = eG ) 2R G • Cas général Le générateur est caractérisé par une impédance de sortie ZG et il est chargé par une impédance Z. Le même raisonnement s’effectue, mais en grandeurs complexes : Posons ZG = RG + jXG et Z = R + jX et ZG eG ( RΩ ) i u Z La puissance P fournie à la charge est en fait celle fournie à la seule résistance R : P = R.I2 EG EG = Avec I = Z + ZG (R + R G) + j(X + X G) 2 R.EG (R + R G)2 + (X + X G)2 Afin de minimiser le dénominateur de P, on peut déjà choisir X = - XG ; dans ces conditions, nous sommes ramenés à une expression de P identique à celle vue lors de la position du problème. Nous savons que P sera E2 maximale pour R = RG et vaudra Pmax = G . 4R G L’adaptation en puissance entre un générateur d’impédance de sortie ZG et une impédance de charge Z est réalisée lorsque ces 2 impédances complexes sont conjuguées : R = RG et X = -XG d’où P = Remarque : X et XG dépendent de la fréquence de travail ; en conséquence, l’adaptation rigoureuse des impédances n’est réalisée qu’à une fréquence (et approximativement en son voisinage proche) • Adaptation par quadripôle réactif. Les possibilités sont multiples ; le principe consiste à insérer un quadripôle associant bobines et condensateurs (qui ne consomme théoriquement pas) entre 2 quadripôles non adaptés. Choisissons la configuration représentée à droite : L RG Au départ, RG ≠ R Pour les calculs, on considère que C fait partie eG du générateur et que L fait partie de la charge. RG et Z = R + jLω D’où ZG = 1 + jR GCω L’adaptation en puissance exige : RG = R − jLω 1 + jR GCω soit encore RG = (1 + jRGCω)×(R - jLω) = (R + RGLCω2) + j(RRGC – L)ω L’identification des parties réelles et imaginaires amène à La seconde équation entraîne L = RRGC ; R C Quadripôle adaptateur RG = R + RGLCω2 0 = RRGC - L en éliminant alors L dans la 1ère équation, il vient, tous calculs faits : C = RG − R 2 Rω2 RG Cette condition ne peut être satisfaite que si RG > R, et la solution trouvée ne sera valable que pour une valeur donnée de la pulsation ! • Adaptation par transformateur. Supposons le transformateur idéal ; dans cette hypothèse, U 2 = I1 = m U1 I2 (m est le rapport de transformation) RG eG i1 u1 i2 u2 R Cherchons quelle est l’impédance d’entrée Z = U1 du transformateur chargé par R. I1 Nous avons U2 = R.I2, ce qui peut s’écrire mU1 = R I1 , ou encore U1 = R2 .I1 m m U L’impédance d’entrée cherchée est Z = 1 = R2 (c’est en fait une résistance) I1 m L’adaptation en puissance exige que RG et Z soient identiques : R G = R2 m en général, R et RG sont différentes et ne sont pas modifiables ; il faut alors choisir le rapport de transformation m de telle sorte que m = R RG Nous avons ici une adaptation en puissance qui ne dépend pas de la fréquence de travail (à la bande passante du transformateur près !) 7.4 Etude généralisée des quadripôles linéaires – Notions. Considérons ici un quadripôle linéaire le plus général, dont le sens de fonctionnement est quelconque. Par convention, le fléchage des grandeurs électriques est celui donné à droite. i1 i2 u1 u2 On montre que ce quadripôle est entièrement décrit par deux relations indépendantes entre les grandeurs u1, i1, u2 et i2. Ces 2 relations font intervenir 4 paramètres qui sont alors des grandeurs caractéristiques. Nous supposons un fonctionnement en régime sinusoïdal établi, ce qui permet d’utiliser la notation complexe. 7.4.1 Quadripôle décrit par des paramètres « impédance ». On choisit d’exprimer chacune des 2 tensions u1 et u2 en fonction des 2 courants i1 et i2. U1 = Z11. I1 + Z12. I2 U2 = Z21. I1 + Z22. I2 Les coefficients Zij sont les 4 paramètres “z” ou “impédance”; la dimension de leur module est en effet une impédance. Signification, pour un quadripôle fonctionnant de gauche à droite : U1 : c’est l’impédance d’entrée en sortie à vide. Z11 = I1 I2 = 0 Z22 = U2 : c’est l’impédance de sortie pour une commande en courant. I2 I = 0 1 Z21 = U2 I1 Z12 = U1 I2 : c’est l’impédance de transfert à vide. I2 = 0 : c’est l’impédance de transfert inverse (ou de réaction) I1 = 0 7.4.2 Quadripôle décrit par des paramètres « hybrides » U1 = H11. I1 + H12. U2 I2 = H21. I1 + H22. U2 Ici, H12 et H21 sont sans dimensions ; ils correspondent respectivement à un transfert en tension inverse et à une amplification en courant ; U1 H11 a la dimension d’une impédance : c’est l’impédance d’entrée, à sortie court-circuitée H11 = I1 U2 = 0 I2 U2 I = 0 1 Les paramètres hybrides sont notamment utilisés pour la description dynamique du transistor. H22 a la dimension d’une admittance : c’est l’admittance de sortie, à entrée ouverte H 22 = Citons également les descriptions par les paramètres « admittances » (i1 et i2 en fonction de u1 et u2) , les paramètres « de transfert » (u2 et i2 en fonction de u1 et i1). Pour de plus amples informations sur cette approche des quadripôles, on consultera l’abondante littérature consacrée au sujet.