(Petite base + Grande base) hauteur Aire du trapèze = 2 ×

NOM : Seconde Devoir n° 1 – Mardi 28/09/2010
Attention : pensez à tourner la page !
Exercice 1 sur 9 points
On se place dans un repère (O,I,J) orthonormé.
La figure donnée ci-contre pourra être complétée et utilisée pour se
vérifier.
On considère les points : A (5 ; 1) , B (-1 ; 3) et C (1 ; -3).
On appelle M le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]
1°) a) Calculer la longueur AB
b) Montrer que le triangle ABC est isocèle en B
2°) Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]
3°) Soit E le symétrique de C par rapport à M.
a) Quelle est la nature du quadrilatère ACBE ? Justifier.
b) Calculer les coordonnées de E.
4°) La droite (CE) coupe la droite (BN) en P. Démontrer que la droite (AP)
coupe le segment [BC] en son milieu.
Exercice 2 sur 6 points
La figure est donnée ci-dessous mais elle n’est pas en vraie grandeur.
ABC est un triangle tel que AB = 6, BC = 10 et BH = 3.
H est sur la droite (BC) et les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
1. Construire ci-dessous l’orthocentre K du triangle ABC (Laisser les traits de construction)
2. a. Prouver que AH =
27
b. Calculer AC
3. M est un point du segment [BC] tel que CM= 6,5.
La parallèle à (AH) passant par M coupe le segment [AC] en N.
Déterminer l’aire du trapèze AHMN. On donnera une valeur approchée au centième de cette aire.
Formulaire :
(Petite base + Grande base) hauteur
Aire du trapèze = 2
OI
JA
B
C

Exercice 3 : sur 5 points
Compléter le tableau ci-dessous (Aucune justification n’est attendue) :
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
Le triangle ABC est rectangle en A ? (OUI ou NON)
Numéro(s) de la ou des propriétés qui permettent de le prouver
Liste des propriétés :
1. Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.
2. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
3. Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.
4. Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180 °.
5. Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
6. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c’est un losange.
7. Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
8. Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres
côtés, alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.

Corrigé
Exercice 1 :
1°)
( )² ( )²
( 6)² (2)² 40
B A B A
AB x x y y
AB
b)
(2)² ( 6)² 40BC    
On a AB = BC donc le triangle ABC est isocèle en B.
2°) M est le milieu de [AB]
5 1 4 2
2 2 2
13 2
22
AB
M
AB
M
xx
x
yy
y
donc M(2 ;2)
3°) E est le symétrique de C par rapport à M donc M est le milieu de [EC].
M est aussi le milieu de [AB] : les diagonales [AB] et [EC] du quadrilatère ACBE
ont le même milieu M donc ACBE est un parallélogramme.
M est le milieu de [EC]
2
EC
Mxx
x
1
22
E
x
xE + 1 = 4
xE = 4 – 1
xE = 3
2
EC
Myy
y
3
22
E
y
yE – 3 = 4
yE = 4 + 3
yE = 7
On a donc E(3 ; 7)
4°) La droite (BE) est la même que la droite (CM). Dans le triangle ABC, c’est donc
la médiane issue de C.
La droite (BN) est aussi une médiane du triangle ABC car on sait que N est le milieu
de [AC].
Par conséquent, leur point d’intersection P est le point de concours des médianes, le
centre de gravité du triangle ABC.
La droite (AP) est donc la troisième médiane et elle coupe le côté [BC] en son milieu.
Exercice 2
1°)L’orthocentre est le point de concours des hauteurs du triangle.
Comme (AH) est perpendiculaire à (BC), (AH) est une hauteur du triangle ABC.
On en trace une autre (ici, la hauteur relative au côté [AC]). Leur point d’intersection
est l’orthocentre (noté K)
2°) Le triangle ABH est rectangle en H. On peut donc appliquer le théorème de
Pythagore :
AB² = AH² + BH² d’où 36 = AH² + 9 d’où AH² = 27 d’où AH =
27
On utilise la même méthode dans le triangle ACH rectangle en H :
AC² = CH² + AH² = (10+3)² + 27= 13² + 27 = 169 + 27 = 196 donc AC =
196
=14
3°) Pour le trapèze AHMN les bases sont AH et MN et la hauteur est MH.
M est sur le segment [BH] et CM = 6 ,5 alors que CH = 13 donc M est le milieu de
[CH].

Dans le triangle ACH, la parallèle à (AH) passant par M coupe donc le côté [AC] en
son milieu, ce qui prouve que N est le milieu de [AC]
Le segment [MN] qui joint les milieux de deux côtés du triangle ACH a donc pour
longueur la moitié du troisième côté.
27
2
MN 
On peut aussi appliquer le théorème de Thales
L’aire du trapèze AHMN est donc :
27 27 6,5
2
()
22
MN AH MH
=
3 27 13 39 27
22
28
 25,33
ou bien on tape le calcul à la calculatrice, avec toutes les parenthèses nécessaires et
on arrondit seulement le résultat final
Exercice 3 :
Figure
1
Figure
2
Figure
3
Figure
4
Le triangle ABC est rectangle en A ? (OUI
ou NON)
OUI
NON
NON
OUI
Numéro(s) de la ou des propriétés qui
permettent de le prouver
5
4 et 7
3
1
Explications (non demandées)
Fig. 1 : évident
Fig. 2 : avec la propriété 7, on peut dire que
60ABC AEC  
et avec la
propriété 4, on peut calculer :
180 60 20 100BAC       
 90°
Fig. 3 : on regarde si la relation de Pythagore est vérifiée.
4,5²+5.5² = 50,5 et 7.5² = 56,25. La propriété 3 permet de conclure
Fig. 4. La propriété 1 permet de dire que (BA)  (AC)