Polycopié Lignes de propagation

Lignes de propagation
F. Pépin
1. Introduction page 2
2. Modélisation des lignes page 4
3. Étude des lignes sans pertes page 5
3.1. Équation différentielle page 6
3.2. Régime sinusoïdal permanent page 7
3.3. Résistance caractéristique d'une ligne de propagation page 9
3.4. Régime quelconque page 11
4. Étude des lignes avec pertes page 21
5. Étude des lignes en régime sinusoïdal page 24
6. Méthode de Bergeron page 29
7. Quelques applications page 33

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Lignes de propagation
1. Introduction
L'objectif d'un câble est de transporter un signal d'un point à un autre. Un tel câble comprend toujours
deux fils (figure 1), la voie de retour étant généralement la masse sauf dans le cas d'une transmission en
mode différentiel.
Figure 1 : générateur relié à une charge par un liaison bifilaire
Pour ne pas avoir à prendre en compte les phénomènes de propagation, il faut que la longueur du
câble soit beaucoup plus petite que la longueur d'onde du signal mis en jeu. En prenant par exemple une
vitesse de propagation de 2.108 m/s et une fréquence de 1 MHz, la longueur d'onde du signal est de 200
m. La figure 2 donne les câbles de liaison couramment utilisés (fils parallèles, paires torsadées blindées
ou non, câble coaxial et ligne sur circuit imprimé, aussi appelée ligne micro-ruban).
Figure 2 : exemples de câbles
Les charges électriques circulant dans les conducteurs sont à l'origine d'un champ électrique et d'un
champ magnétique. Lorsque le courant suit le conducteur, l'onde électromagnétique est guidée
physiquement par la ligne de propagation formée par les conducteurs (figure 3).
Figure 3 : propagation des champs électrique et magnétique

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L'étude de la propagation peut donc être faite par l'intermédiaire des équations de Maxwell :
(1)
0Bdiv 
(2)
0
ε
ρ
Ediv
(car pas de charges libres)
(3)
t
B
Erot 
(4)
t
D
jHrot 
auxquelles il faut rajouter les trois relations suivantes :
(5)
 Eε.D
 Hμ.B
 Eσ.j
En partant de la relation :
EΔEΔEdivgradErotrot
et en utilisant les relations précédentes :
EΔ
Hrot
t
μ.Brot
tt
B
rot
2
2
t
E
μ.ε
t
E
μ.σ
t
D
j
t
μ. 
on peut établir la relation suivante :
0
tE
μ.ε
t
E
μ.σEΔ2
2
Sachant que la conductivité est nulle dans un isolant, on trouve l'équation suivante :
(6)
0
tE
μ.εEΔ2
2
Et, en projetant cette relation sur les trois axes d'un repère x, y et z :
0
t
E
μ.εΔE 2x
2
x
0
t
Ey
μ.εΔE 2
2
y
0
t
Ez
μ.εΔEz 2
2
En résolvant ces équations et à l'aide de conditions aux limites, on peut étudier la propagation dans
différentes situations, comme par exemple dans les guides d'onde utilisés en hautes fréquences.

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On peut cependant réaliser une mise en équation électrique en utilisant un modèle de la ligne à
constantes de temps réparties.
2. Modélisation des lignes
Le câble coaxial, largement utilisé en électronique, sera utilisé comme support pour la modélisation,
la mise en équation et l'étude de la propagation. Cette étude est cependant valable quelle que soit la
ligne, comme le montrera le dernier chapitre.
Le câble coaxial est composé d'un conducteur central, d'un isolant et d'une tresse de blindage (figure
4).
Figure 4 : constitution du câble coaxial
L'objectif de ce paragraphe est d'établir un modèle électrique du câble coaxial. En mesurant le type
d'impédance de ce câble par l'intermédiaire d'un impédancemètre vectoriel en fonction de la charge à
l'autre extrémité (figure 5), on s'aperçoit que l'on trouve une inductance dans le cas d'un court-circuit et
un condensateur dans le cas d'un circuit ouvert. De plus, la valeur de ces deux composants dépend
directement de la longueur du câble testé.
Figure 5 : mesure du type d'impédance du câble coaxial
en fonction de la charge
De plus, en prenant un morceau de câble de longueur infiniment petite, on peut, par l'intermédiaire
des théorèmes de Gauss et d'Ampère, calculer le condensateur en parallèle et l'inductance en série. Cela
nous amène à considérer le schéma de la figure 6 qui correspond à un modèle de la ligne à constantes
de temps réparties.
Figure 6 : modèle d'une ligne de propagation

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L et C sont respectivement la self et la capacité par unité de longueur.
En considérant les pertes joules (résistance R) et les pertes dans le diélectrique (conductance G), le
schéma devient celui de la figure 7.
Figure 7 : modèle complet
L'unité des quatre composants apparaissant dans ce schéma est :
C : pF/m
L: nH/m
R : /m
G : S/m
3. Étude des lignes sans pertes
Le modèle d'un morceau de câble coaxial sans pertes de longueur dx est celui donné dans la figure
8.
Figure 8 : modèle du câble coaxial sans pertes
L'objectif est d'abord d'établir l'équation permettant le calcul de la tension v(x,t) et du courant i(x,t)
en tous points de la ligne (figure 9).
Figure 9 : tension et courant en tous points de la ligne
3.1. Équation différentielle
En reportant la tension et le courant sur le modèle au point x et x+dx (figure 10) :