Polycopié Lignes de propagation

Lignes de propagation
F. Pépin
1. Introduction
page 2
2. Modélisation des lignes
page 4
3. Étude des lignes sans pertes
page 5
3.1. Équation différentielle
page 6
3.2. Régime sinusoïdal permanent
page 7
3.3. Résistance caractéristique d'une ligne de propagation
page 9
3.4. Régime quelconque
page 11
4. Étude des lignes avec pertes
page 21
5. Étude des lignes en régime sinusoïdal
page 24
6. Méthode de Bergeron
page 29
7. Quelques applications
page 33
Lignes de propagation
1. Introduction
L'objectif d'un câble est de transporter un signal d'un point à un autre. Un tel câble comprend toujours
deux fils (figure 1), la voie de retour étant généralement la masse sauf dans le cas d'une transmission en
mode différentiel.
Figure 1 : générateur relié à une charge par un liaison bifilaire
Pour ne pas avoir à prendre en compte les phénomènes de propagation, il faut que la longueur du
câble soit beaucoup plus petite que la longueur d'onde du signal mis en jeu. En prenant par exemple une
vitesse de propagation de 2.108 m/s et une fréquence de 1 MHz, la longueur d'onde du signal est de 200
m.
La figure 2 donne les câbles de liaison couramment utilisés (fils parallèles, paires torsadées blindées
ou non, câble coaxial et ligne sur circuit imprimé, aussi appelée ligne micro-ruban).
Figure 2 : exemples de câbles
Les charges électriques circulant dans les conducteurs sont à l'origine d'un champ électrique et d'un
champ magnétique. Lorsque le courant suit le conducteur, l'onde électromagnétique est guidée
physiquement par la ligne de propagation formée par les conducteurs (figure 3).
Figure 3 : propagation des champs électrique et magnétique
2
L'étude de la propagation peut donc être faite par l'intermédiaire des équations de Maxwell :

(1)
div B  0
(2)
div E 

ρ
 0 (car pas de charges libres)
ε


(3)
B
rot E 
t

(4)

 D
rot H  j 
t
auxquelles il faut rajouter les trois relations suivantes :

(5)





j  σ. E
B  μ. H
D  ε. E
En partant de la relation :
 



 
rot rot E   grad div E   Δ E   Δ E








et en utilisant les relations précédentes :



 B
  
  
 Δ E  rot 
    rot B   μ.  rot H 
t 
t 
 t 








   D 
E
2 E
 μ.  j 
 μ.ε
  μ.σ
t 
t 
t
t 2


on peut établir la relation suivante :



E
2 E
Δ E  μ.σ
 μ.ε
0
t
t 2
Sachant que la conductivité est nulle dans un isolant, on trouve l'équation suivante :

(6)
Δ E  μ.ε

2 E
t 2
0
Et, en projetant cette relation sur les trois axes d'un repère x, y et z :
ΔEx  μ.ε
ΔEy  μ.ε
ΔEz  μ.ε
 2E x
t 2
 2Ey
t 2
 2Ez
t 2
0
0
0
En résolvant ces équations et à l'aide de conditions aux limites, on peut étudier la propagation dans
différentes situations, comme par exemple dans les guides d'onde utilisés en hautes fréquences.
3
On peut cependant réaliser une mise en équation électrique en utilisant un modèle de la ligne à
constantes de temps réparties.
2. Modélisation des lignes
Le câble coaxial, largement utilisé en électronique, sera utilisé comme support pour la modélisation,
la mise en équation et l'étude de la propagation. Cette étude est cependant valable quelle que soit la
ligne, comme le montrera le dernier chapitre.
Le câble coaxial est composé d'un conducteur central, d'un isolant et d'une tresse de blindage (figure
4).
Figure 4 : constitution du câble coaxial
L'objectif de ce paragraphe est d'établir un modèle électrique du câble coaxial. En mesurant le type
d'impédance de ce câble par l'intermédiaire d'un impédancemètre vectoriel en fonction de la charge à
l'autre extrémité (figure 5), on s'aperçoit que l'on trouve une inductance dans le cas d'un court-circuit et
un condensateur dans le cas d'un circuit ouvert. De plus, la valeur de ces deux composants dépend
directement de la longueur du câble testé.
Figure 5 : mesure du type d'impédance du câble coaxial
en fonction de la charge
De plus, en prenant un morceau de câble de longueur infiniment petite, on peut, par l'intermédiaire
des théorèmes de Gauss et d'Ampère, calculer le condensateur en parallèle et l'inductance en série. Cela
nous amène à considérer le schéma de la figure 6 qui correspond à un modèle de la ligne à constantes
de temps réparties.
Figure 6 : modèle d'une ligne de propagation
4
L et C sont respectivement la self et la capacité par unité de longueur.
En considérant les pertes joules (résistance R) et les pertes dans le diélectrique (conductance G), le
schéma devient celui de la figure 7.
Figure 7 : modèle complet
L'unité des quatre composants apparaissant dans ce schéma est :
C : pF/m
L: nH/m
R : /m
G : S/m
3. Étude des lignes sans pertes
Le modèle d'un morceau de câble coaxial sans pertes de longueur dx est celui donné dans la figure
8.
Figure 8 : modèle du câble coaxial sans pertes
L'objectif est d'abord d'établir l'équation permettant le calcul de la tension v(x,t) et du courant i(x,t)
en tous points de la ligne (figure 9).
Figure 9 : tension et courant en tous points de la ligne
3.1. Équation différentielle
En reportant la tension et le courant sur le modèle au point x et x+dx (figure 10) :
5
Figure 10 : tensions et courants sur le schéma correspondant
au modèle de la ligne
Les lois de la maille et du nœud donnent les deux relations suivantes :
ix,t 
v x,t   v x  dx, t   L.dx.
(7)
t
v x  dx, t 
ix,t   ix  dx, t)  C.dx.
(8)
t
En approchant la variation de la tension et du courant au premier ordre, on a :
v x,t 
v x  dx, t   v x,t  
.dx
(9)
x
ix, t 
ix  dx, t   ix, t  
.dx
(10)
x
A l'aide des relations (7) et (9), on obtient :
v x,t 
ix,t 
.dx  L.dx.
0
x
t
Ce qui donne :
v x, t 
ix, t 
 L.
0
x
t
Cette relation sera utilisée en autres pour calculer la résistance caractéristique de la ligne de
propagation.
En utilisant les relations (8) et (10), cela donne :
ix, t 
v x  dx, t 
.dx  C.dx.
0
x
t
Ou encore :
ix, t 
v x  dx, t 
 C.
0
x
t
Le deuxième terme de cette équation peut être simplifié de la façon suivante :
vx  dx, t  

v x,t 
 v x,t 
 v x  dx, t    v x,t  
.dx  
t
t
t 
t
t

Ce qui donne :
ix, t 
v x, t 
 C.
0
x
t
Soient donc les deux relations suivantes :
v x, t 
ix, t 
 L.
0
(11)
x
t
ix, t 
v x, t 
 C.
0
(12)
x
t
6
En dérivant par x la première et par t la deuxième :

(11) :
x
 2 v x, t 

(12) :
t
 2ix, t 
 2 v x, t 
 C.
0
tx
t 2
x 2
 L.
 2ix, t 
0
xt
cela permet d'éliminer i(x,t) et de trouver une équation différentielle de la tension v(x,t) :
(13)
 2 v x, t 
x 2
 LC.
 2 v x, t 
t 2
0
Cette équation de propagation est appelée équation des télégraphistes.
3.2. Régime sinusoïdal permanent.
La tension v(x,t) est de la forme :
vx,t   V0 x .sinω.t   x 
On note que l'amplitude et la phase de ce signal dépendent de l'endroit considéré.
En utilisant un signal complexe :
V x .e j. x .e jt
0
on en déduit l'amplitude complexe :
_
Vx   V0 x .e j. x 
L'équation de propagation de l'amplitude complexe est :
_
(14)
d2 V x 
dx 2
_
 LC.ω 2 . V x   0
La résolution de cette équation différentielle permettra de déterminer la forme de la tension en tous
points de la ligne.
L'équation caractéristique de cette équation différentielle est :
r 2  LC.ω2  0
Et ses deux solutions :
r   jω LC
La solution générale de l'équation différentielle est donc :
_
Vx   A.e jω LC.x  B.e  jω LC.x
Et en multipliant par e j.t :



jω t  LC.x
A.e jω t - LC.x  B.e
7

On en déduit alors la tension v(x,t) :



vx,t   A.cos ω.t  ω. LC.x  B.cos ω.t  ω. LC.x

En notant   . LC , on obtient :
(15)
vx,t   A.cosω.t  β.x   B.cosω.t  β.x 
On remarque la tension en tous points de la ligne est la somme de deux termes. Soit le premier :
A.cosω.t  β.x 
et plus précisément l'argument du cosinus :
 β 
ω.t  β.x  ω. t - .x 
 ω 
La valeur de ce terme en t0 et x0 est :
β


ω. t 0 - .x 0 
ω


Ce signal étant périodique, cherchons la distance parcourue par ce terme au bout d'une période :
β
β
β




ω. t 0  T - .x 0  .x   ω. t 0 - .x 0 
ω
ω
ω




On obtient :
ω.T
Δx 
β
Ce qui met en évidence une vitesse de propagation :
ω
1
v 
Δx  v.T
β
LC
Autrement dit, le premier terme A.cosω.t  β.x  correspond à un terme de propagation dans le sens
des x positifs.
On peut démontrer de la même façon que B.cosω.t  β.x  correspond à un terme de propagation
dans le sens des x négatifs.
En résumé, la relation (15) montre que la tension en tous points de la ligne (figure 11) est la somme
de deux termes, l'un est un terme de propagation dans le sens des x croissants, alors que l'autre est un
terme de propagation dans le sens des x décroissants.
Figure 11 : les deux propagations en sens opposé
Cette remarque est aussi vraie pour les deux extrémités de la ligne, c'est-à-dire en x égale à 0 et en x
égale à l.
3.3. Résistance caractéristique d'une ligne de propagation.
La résistance caractéristique est la résistance entre les deux conducteurs en un point quelconque de
la ligne lorsqu'une seule onde se propage dans le sens des x positifs. Il faut pour cela que l'autre terme
soit nul :
8
B..e

jω t  LC.x

=0
La résistance caractéristique est alors définie par le rapport des amplitudes complexes de la tension
et du courant :
_
Rc 
V x 
Ix 
L'amplitude complexe de la tension est :
_
V x   A.e j.β.x
Soit la relation vue durant le calcul de l'équation de propagation :
v x, t 
ix, t 
 L.
0
x
t
et en complexe :
_
_
d V x 
d I x 
 L.
dx
dt
La dérivée par rapport au temps correspond au produit par j.ω , cela donne :
_
_
d V x 
  jL . I x 
dx
En remplaçant V x  par son expression :
_
 j.A.β.e - j. .x   jLω I x 
et en faisant réapparaître V x  :
_
_
 j.β. Vx    j.Lω. I x 
cela permet de calculer le rapport des amplitudes complexes de la tension et du courant :
_
V x 
Ix 

L.ω
β
Avec β  ω. LC , on obtient alors l'expression de la résistance caractéristique :
Rc 
L
C
C'est la résistance en tous points de la ligne (figure 12) :
Figure 12 : résistance caractéristique
9
mais, attention, ceci n'est vrai que si il n'y a qu'une seule onde se propageant dans les sens des x positifs.
Application au câble coaxial de laboratoire : une coupe en est donnée figure 13.
Figure 13 : coupe du câble coaxial
avec a = 0,65 mm et b = 2,35 mm.
Le calcul de la capacité et de l'inductance sur une longueur l donne :
2.π .πo .ε r
μ
b
C' 
.l
L'  o .Log .l
b
2.π
a
Log
a
On obtient alors l'expression de la vitesse de propagation et de la résistance caractéristique :
v
1
LC

1
Rc 
εμ
μo
L
b


. Log 
C 2π 2 .ε .ε 
a
o r
2
Les valeurs numériques sont :
v  2.10 8 m
Rc  50Ω
s
Remarque : Rc dépend du rapport b sur a, c'est pourquoi il existe des câbles coaxiaux plus minces
mais toujours de résistance caractéristique 50 .
Les câbles coaxiaux utilisés en télévision ont une résistance caractéristique égale à 75 .
3.4. Régime quelconque
En remplaçant v x, t  par Vx,p , l'équation de propagation
(16)
d2 V x,p
dx 2
 2 v x, t 
x 2
 LC.
 2 v x, t 
t 2
 0 devient:
 LC.p 2 .V x,p
L'équation caractéristique de cette équation différentielle est :
r 2  LC.p 2  0
et ses deux solutions sont :
r  p. LC
La solution de l'équation de propagation est alors :
Vx,p  Ap.e  p. LC.x  Bp.e  p. LC.x
A(p) et B(p) sont les constantes d'intégration vis-à-vis de x, mais on peut noter qu'elles peuvent
dépendre de p.
En faisant apparaître la vitesse de propagation :
10
(17)
V x,p  A p.e
 p.
x
x
 p.
v  Bp.e
v
On retrouve le fait que la tension est la somme de deux termes, le premier étant un terme de
propagation dans le sens des x croissants alors que le deuxième est un terme de propagation dans le sens
des x décroissants.
Par l'intermédiaire d'une relation établie durant le calcul de l'équation de propagation :
v x, t 
ix, t 
 L.
0
x
t
et en utilisant la transformée de Laplace :
dV x,p
 Lp.Ix,p
dx
on peut calculer l'expression du courant en tous points de la ligne :
x
x

 p.
 p.
1 d 
v  Bp .e
v
Ix,p   
 A p .e
Lp dx 

ce qui donne :
x
(18)





x
A p  p. v Bp  p. v
Ix,p 
.e

.e
Rc
Rc
En conclusion, les transformées de Laplace de la tension V(x,p) et du courant I(x,p) en tous points
de la ligne (figure 14), caractérisée par une vitesse de propagation v et d'une résistance caractéristique
Rc sont :
V x,p  A p.e
 p.
x
x
 p.
v  Bp.e
v
x
x
A p  p. v Bp  p. v
Ix,p 
.e

.e
Rc
Rc
Figure 14 : tension v(x,p) et courant i(x,p) en tous points de la ligne
1er étude : ligne semi infinie (figure 15)
Figure 15 : ligne semi-infinie
11
Puisqu'il n'y a aucune raison d'avoir une onde se propageant dans le sens des x négatifs, on peut écrire
:
V x,p  A p.e
 p.
x
v
La seule condition au limite étant V(0,p) = E(p), on en déduit que A(p) = E(p) :
V x,p  Ep.e
 p.
x
v
Le calcul de la transformée de Laplace inverse donne :
 x
v x, t   e t  
 v
On obtient le signal du générateur retardé d'un temps correspondant au temps de propagation jusqu'à
la position considérée (figure 16).
Figure 16 : chronogrammes relatives à la ligne semi infinie.
2ième étude : générateur quelconque et charge adaptée (figure 17)
Figure 17 : générateur quelconque et charge adaptée
La tension et le courant sont donnés par la solution de l'équation de propagation :
V x,p  A p.e
 p.
x
x
 p.
v  Bp.e
v
x
x
A p  p. v Bp  p. v
Ix,p 
.e

.e
Rc
Rc
Les conditions aux limites, c'est-à-dire les relations imposées par le générateur et la charge en x = 0
et x = l sont :
V0, p  Ep  R.I0, p
Vl, p  Rc .Il, p
En remplaçant les expressions de la tension et du courant dans la relation imposée par la charge :
12
A p.e
 p.
l
l
l
l

 p.
 p.
 A p  p.


B
p
v  Bp .e
v  R .
v 
v
.e
.e
c
Rc
 Rc

On en déduit que Bp  0





La condition imposée par le générateur est :
V0, p  Ep  R.I0, p
ce qui donne :
A p
A p  Ep  R.
Rc
ou encore :
Rc
A p 
.Ep
R  Rc
L'expression de la transformée de Laplace de la tension en tous points de la ligne est donc :
x
-p
Rc
V x,p 
.Ep.e v
R  Rc
et l'expression temporelle :
v x, t  
Rc
x

.e t  
R  Rc  v 
Cette expression n'est naturellement valable que pour x compris entre 0 et l. On retrouve le fait que
l'onde se propage à une vitesse v. De plus, il n'y a pas d'onde réfléchie, c'est-à-dire d'onde se propageant
dans le sens des x décroissants, ce qui sera expliqué dans la troisième étude.
L'amplitude de l'onde se propageant dans le câble est celle du générateur multipliée par le coefficient
Rc
. En effet, en x = 0 et à t = 0+, sachant qu'il ne peut pas y avoir encore d'onde réfléchie, on a Rc
R  Rc
à l'entrée de la ligne (figure 18).
Figure 18 : calcul de la tension v(0,0+)
Le calcul de la tension v(0,0+) est donc effectué par un diviseur potentiométrique :
Rc
v 0,0  
.e 0 
R  Rc
Cette tension se propage alors dans la ligne.
 
 
3ième étude : générateur adapté, charge résistive quelconque (figure 19)
13
Figure 19 : générateur adapté, charge quelconque
Les relations déduites de l'équation de propagation et les deux conditions aux limites sont :
V x,p  A p.e
 p.
x
x
 p.
v  Bp.e
v
x
x
A p  p. v Bp  p. v
Ix,p 
.e

.e
Rc
Rc
V0, p  Ep  Rc .I0, p
Vl, p  R.I l, p
En notant  le temps de parcours de l'onde du générateur à la charge, c'est-à-dire :
l
τ
v
Le calcul des deux constantes d'intégration donne :
R  R c  2.τ.p
Ep
Bp  A p.
.e
A p 
R  Rc
2
On peut alors définir un coefficient  appelé coefficient de réflexion, la signification de ce terme sera
explicitée plus loin :
R  Rc
Γ
avec    1,1, R variant de 0 à l'infini
R  Rc
L'expression de la tension V(x,p) devient :
x
x

 p.
Ep   p. v
2.

.p
v
V x,p  
. .e
 .e
.e
2 

et celle de v(x,t) :
1 
x
x


v x, t   . e t    .e t   2.  
2 
v
v







On s'intéresse aux tensions aux deux extrémités de la ligne (figure 20).
Figure 20 : tensions v(0,t) et v(l,t)
14
L'expression de ces deux tensions est :
1
v 0, t   .et   .et  2. 
2
1
v l, t   .et -    .et   
2
La deuxième peut être mise sous la forme suivante :
1 
v l, t  
.et -  
2
1er cas : régime impulsionnel. Le générateur délivre une impulsion d'amplitude E à t égal à 0 (figure
21).
Figure 21 : étude de cette ligne en régime impulsionnel
Les chronogrammes de la tension e(t) et des deux tensions v(0,t) et v(l,t) sont donnés dans la figure
22.
Figure 22 : chronogrammes en régime impulsionnelle
L'interprétation est la suivante. À t = 0, le générateur délivre une impulsion d'amplitude E. Sachant
qu'à cet instant il ne peut pas encore y avoir d'onde réfléchie, on a Rc à l'entrée de la ligne. La résistance
de sortie du générateur étant aussi égale à Rc, l'amplitude de l'impulsion qui se propage dans la ligne est
E
égale à . Cette onde arrive en x = l à l'instant . On remarque l'on retrouve en début de ligne à t =2
2
1
E
une impulsion d'amplitude  qui correspond au terme et  2.  dans l'expression de la tension
2
2
v(0,t). On en déduit qu'il s'agit de l'onde réfléchie par la charge, ce qui explique le nom de coefficient
de réflexion. L'onde réfléchie est donc égale à l'onde qui arrive à la charge, appelée onde incidente,
multipliée par le coefficient de réflexion. Sachant que la tension en tous points de la ligne est la somme
de deux termes se propageant en sens contraire, cela est aussi vrai aux extrémités de la ligne, et dans ce
E
cas en x = l. la tension v(l,t), à l'instant  est donc la somme de l'onde incidente, c'est-à-dire , et de
2
15
1 
E
, ce qui donne E
. On note qu'il n'y a pas d'onde repartant dans le sens des x
2
2
positifs au-delà de 2, ce qui sera expliqué durant la quatrième étude.
l'onde réfléchie 
2ième cas : régime indiciel. Le générateur délivre un échelon d'amplitude E (figure 23).
Figure 23 : étude de la ligne en régime indiciel
Dans le cas où le coefficient de réflexion est positif, on obtient les chronogrammes de la figure 24.
Figure 24 : chronogrammes en régime indiciel avec  > 0
La figure 25 donne les chronogrammes avec un coefficient de réflexion négatif.
Figure 24 : chronogrammes en régime indiciel avec  < 0
L'interprétation peut être faite à l'aide de la méthode du tableau. Cette méthode consiste à tracer
graphiquement les allers et retours des ondes, en étiquetant chaque onde par son amplitude et en
déterminant les tensions aux deux extrémités en sommant l'onde incidente et l'onde réfléchie (figure 25).
16
Figure 25 : tableau pour un générateur adapté et une charge quelconque
E E
. est donc l'amplitude qui part à t=0
2 2
E
du générateur et arrive côté charge à t = . L'onde réfléchie est donc  , par définition du coefficient
2
1 
de réflexion. La tension à x = l est alors la somme des ondes incidente et réfléchie, c'est-à-dire E
.
2
L'onde réfléchie arrive côté générateur à t = 2, et il n'y a pas d'onde réfléchie car la résistance de sortie
du générateur est égale à la résistance caractéristique de la ligne, comme on le verra dans la prochaine
étude.
Tout d'abord, et pour une raison déjà énoncée, on a v 0,0  
Pour t > 2., on a :
1 Γ
R
E
.
2
R  Rc
On obtient un diviseur potentiométrique entre la charge et le générateur. En effet, après un régime
transitoire du à la réflexion sur la charge, la ligne est équivalente à un court-circuit.
v 0, t   v l, t   E.
Pour ne pas avoir de réflexion côté charge à t = , il suffit que le coefficient de réflexion soit nul :
R  Rc
Γ
0
R  Rc
ce qui donne R  R c . On dit alors que la charge est adaptée par la présence de cette résistance égale à
la résistance caractéristique de la ligne.
4ième étude : générateur et charge quelconques (figure 26) :
Figure 26 : générateur et charge quelconques
17
Les deux équations venant de la résolution de l'équation de propagation sont :
x
x
 p.
v
V x,p  A p.e v  Bp.e
x
x
A p  p. v Bp  p. v
Ix,p 
.e

.e
Rc
Rc
 p.
Les conditions aux limites sont :
V0, p  Ep  R g .I0, p
Vl, p  R.I l, p
On peut définir deux coefficients de réflexion,  côté charge et g côté générateur :
R g  Rc
R  Rc
Γ
Γg 
R g  Rc
R  Rc
Après quelques lignes de calcul, on obtient la transformée de Laplace de la tension en début de ligne
:
V 0, p  Ep.
1 Γg
2
.

. 1  Γ .e  2.τ.p
1
1  Γ.Γ g .e  2.τ.p

Le calcul de la transformée de Laplace inverse s'effectue par l'intermédiaire d'une décomposition en
série entière :

1
1  Γ.Γ g .e  2.τ.p
 
k 0

Γ.Γ g .e  2.τ.p

k
L'utilisation de cette expression dans V(0,p) donne :
1 Γg
V 0, p  Ep.
. 1  Γ.Γ g .e  2. .p  Γ 2 .Γ g2 .e  4. . p  ... . 1  Γ .e  2.τ.p
2



En identifiant les termes de retard nul, de retard égal à 2 ( e 2 .p ), puis à 4 ( e 4 .p ), etc …,
l'expression de la tension v(0,t) est :
1 Γg
v0, t  
. et   Γ . 1  Γ g .et  2.   Γ 2 .Γ g . 1  Γ g .et  4.   ...
2




Le calcul de la tension v(l,t) peut être effectué de la même manière.
L'exploitation de ce résultat ne sera faite que pour le régime indiciel (figure 27).
Figure 27 : étude de cette ligne en régime indiciel
18


Le chronogramme de la tension v(0,t) est donné dans les figures 28 et 29, avec un coefficient de
réflexion côté charge positif.
Figure 28 : les premiers échelons de la tension v(0,t)
Figure 29 : tension v(0,t) jusqu'au régime permanent
Le théorème de la valeur finale permet de calculer la tension en régime permanent :
R
Lim  Lim p.V 0, p  E.
R

Rg
t   p 0
On retrouve le fait que la ligne est un court-circuit en régime permanent.
En appliquant la méthode du tableau, on trouve le résultat donné dans la figure 30.
Figure 30 : méthode du tableau pour la ligne étudiée
19
Voici différents points pour construire ce tableau :
 la tension v(0,0) est obtenue par diviseur potentiométrique entre la résistance de sortie du
générateur et la résistance caractéristique de la ligne présente à son entrée, aucune réflexion ne
pouvant avoir eu lieu.
 L'amplitude de la première onde circulant sur la ligne correspond à la tension v(0,0).
 À t = , l'onde arrive côté charge et se réfléchit vers le générateur. L'amplitude de l'onde réfléchie
est égale celle de l'onde incidente multipliée par le coefficient de réflexion .
 La tension v(l, ) est égale à la somme de l'amplitude de l'onde incidente et de l'onde réfléchie.
 L'onde réfléchie à t =  par la charge arrive côté générateur à t = 2.. Elle est réfléchie par le
générateur, avec une amplitude égale à l'amplitude de l'onde incidente (donc celle qui a été
réfléchie à t =  par la charge) multipliée par le coefficient de réflexion côté générateur, c'est-àdire g.
 La contribution de cette réflexion à la tension en début de ligne v(0,2) est la somme de
l'amplitude des ondes incidentes et réfléchie. Il ne faut pas oublier de rajouter la tension v(0,0).
 L'onde réfléchie par le générateur à t = 2. arrive côté charge à t = 3.. Elle est alors réfléchie
par la charge (amplitude multipliée par ). La contribution de cette réflexion à la tension v(l,3)
est égale a la somme des amplitudes des ondes incidente et réfléchie, et la tension v(l,3) est
alors égale à la somme de la valeur trouvée avec la tension v(l, ).
On remarque bien que la méthode du tableau consiste à décomposer le régime transitoire sur une
ligne de propagation en une somme de réflexion élémentaire d'ondes incidentes et réfléchies, d'où le fait
d'effectuer une somme d'amplitudes pour trouver la tension à un instant donné et à un endroit particulier.
Pour ne pas avoir de réflexion, il suffit d'avoir R égale à Rc.
Pour ne pas avoir de réflexion côté générateur à t égal à 2., et donc de retrouver la troisième étude,
il faut que g soit égal à zéro, ce qui est obtenu pour une résistance de sortie du générateur R g égale à
Rc. On dit alors que le générateur est adapté, ce qui est le cas des générateurs de laboratoire.
4. Étude des lignes avec pertes
On rappelle le modèle de la ligne sur une longueur infiniment petite donné dans la figure 31.
Figure 31 : modèle de la ligne avec pertes
Les tensions et courants sont donnés dans le figure 32.
Figure 32 : tensions et courants sur le modèle de la ligne avec pertes
20
Les lois de la maille et du noeud donnent :
ix,t 
t
v x  dx, t 
ix,t   ix  dx, t   G.dx.v x  dx, t   C.dx.
x
v x, t   v x  dx, t)  R.dx.ix, t   L.dx.
L'approximation au premier ordre de la variation de la tension et du courant est :
vx,t 
v x  dx, t   v x,t  
.dx
x
ix, t 
ix  dx, t   ix, t  
.dx
x
On obtient alors deux relations intermédiaires :
v x,t 
ix,t 
 R.i (x,t   L.
0
x
t
ix,t 
v x,t 
 G.v x,t   C.
0
x
t
L'équation de propagation sur une ligne avec pertes est alors :
(19)
 2 v x, t 
x 2
v x,t 
 2 v x,t 
 LC.
0
t
t 2
 RG.v x, t   RC  LG.
Soit le signal sinusoïdal :
vx,t   V0 x .sinω.t   x 
et le signal complexe correspondant :
_
vx,t   V0 x .e j. x .e jt  Vx .e jt
L'amplitude complexe est donc :
_
Vx   V0 x .e j. x 
En remplaçant l'expression de v(x,t) dans l'équation de propagation et en simplifiant, on obtient
l'équation différentielle suivante :
_
d2 V x 
dx 2


_
 RG - LC.ω 2  j.RC  LG . V x 
La recherche de la solution générale passe par l'équation caractéristique :



r 2  RG - LC.ω2  j RC  LG
ou écrite différemment :
r 2  R  jLω
. G  jCω
L'étude décrite dans la suite suppose une ligne non dispersive, c'est-à-dire une ligne dont la vitesse
de propagation ne dépend pas de la fréquence. On a alors les hypothèses suivantes :
Lω
Cω
 1
 1
et
R
G
21
Les deux solutions de l'équation caractéristique sont alors :
r  α  jβ
avec
α
1 
C
L 
R
G

2
L
C 
et
β  LC.ω
On peut aussi écrire :
r  
La solution générale de l'équation de propagation est :
_
Vx   A.e γ.x  B.e   .x
Ce qui donne :
vx,t   A.eα.x .cosω.t  β.x   B.e α.x .cosω.t  β.x 
On retrouve une expression sous la forme d'une somme de deux termes, l'un représentant une
propagation dans le sens des x positifs, et l'autre une propagation dans le sens des x négatifs. Le
coefficient  indique que la vitesse de propagation est toujours :
1
v
LC
Par contre, le terme supplémentaire e-.x en facteur du terme de propagation dans le sens des x
croissants indique une atténuation. Par contre, on a e+.x pour l'autre terme puisqu'il s'agit d'une
propagation en sens opposé.
Le calcul numérique de ce facteur d'atténuation passe par la détermination de la résistance R
représentant les pertes joules et de la conductance représentant les pertes dans le diélectrique.
Pour R, il faut prendre en compte l'effet de peau :
2
δ
μσω
En considérant que le courant ne circule que dans l'épaisseur de peau et en prenant en compte le
chemin de retour par la tresse de blindage (figure 33), l'expression de la résistance R est :
1 1
1 
R 


σ  2.π.a.δ 2.π.b.δ 
Figure 33 : épaisseur de peau dans les
deux conducteurs du câble coaxial
La notion d'angle de pertes dans un condensateur (figure 34) nous permet d'estimer la valeur de la
conductance.
22
Figure 34 : angle de pertes dans un condensateur
En prenant tg  10 4 , l'expression de la conductance G est :
G
tg 
donc G  C.tg
C
L'atténuation pour une longueur de câble l peut être calculée en dB :

10.log e α.l

Un ordre de grandeur de cette atténuation pour différents cas est donné dans le tableau suivant :
De la même façon que pour une ligne sans pertes, on peut définir une impédance (et non une
résistance) caractéristique pour une ligne avec pertes.
A partir de
_
Vx   A.e γ.x  B.e   .x
et en annulant le terme de propagation dans le sens des x décroissants :
B.e  .x  0
la définition de l'impédance caractéristique est :
_
Zc 
V x 
Ix 
Le calcul est le suivant :
_
_
_
_
d V x 
 R. I x   j.Lω. I x    A.γ.e  γ.x  γ. V x 
dx
_
Zc 
avec
V x 
Ix 

R  jLω
γ
 2  R  jLω
. G  jCω
23
ce qui donne :
_
Zc 
V x 
Ix 
Remarque : on retrouve bien

R  jLω
G  jCω
L
lorsque R et G sont égales à zéro, c'est-à-dire pour une ligne sans
C
pertes.
5. Étude des lignes en régime sinusoïdale
L'objectif principal de ce paragraphe est de calculer l'impédance ramenée par un câble coaxial en
fonction de la charge.
L'expression de l'amplitude complexe de la tension est :
_
Vx   A.e γ.x  B.e   .x
Une équation intermédiaire durant le calcul de l'équation de propagation est :
_
_
d V x 
 R  j.Lω. I x 
dx
Le calcul du courant donne :

_
- A. .e γ.x  B. .e  γ.x


. A.e γ.x  B.e  γ.x
 R  jLω
R  jLω
_
A.eγ.x  B.e  γ.x
Zc
I x  
I x  

En résumé, les amplitudes complexes de la tension et du courant en tous points de la ligne (figure
35) en régime sinusoïdal permanent sont :
_
Vx   A.e γ.x  B.e   .x
_
I x  
A.eγ.x  B.e  γ.x
Zc
Figure 35 : amplitudes complexe de la tension et du courant
Il est cependant usuel d'inverser l'axe des x dans ce type d'étude (figure 36), afin que la charge soit
placée en x égale à zéro, quelle que soit la longueur de la ligne.
24
Figure 36 : inversion de l'axe des x
Les expressions deviennent alors :
_
Vx   A.e γ.x  B.e   .x
A.e γ.x  B.e γ.x
Zc
_
I x  
La charge impose la relation suivante :
_
_
V 0  Z. I 0
En utilisant les expressions des amplitudes complexes :
_
V 0
I0

A B
.Z c  Z
A B
on trouve le rapport des deux constantes d'intégration :
B Z  Zc

A Z  Zc
En définissant le coefficient de réflexion à x égale à zéro comme étant le rapport de l'onde incidente
et de l'onde réfléchie (avec x = 0), on retrouve la définition d'un coefficient de réflexion :
_
0 
onde incidente B Z  Z c
 
onde réfléchie A Z  Z c
_
Z  Zc
Z  Zc
Voici quelques valeurs particulières de ce coefficient de réflexion :
0 
_
0  0
pour une charge adaptée (Z = Zc)
_
0  1
pour un court-circuit
_
0  1
pour un circuit ouvert.
De façon générale, on peut définir un coefficient de réflexion en tous points de la ligne :
_
onde incidente B.e - .x _
x  

 0.e - 2. .x
onde réfléchie A.e  .x
Comme indiqué en début de paragraphe, il s'agit de calculer l'impédance ramenée par le câble coaxial
en fonction de la charge et de la longueur de la ligne, ou plus précisément en fonction de x (figure 37).
25
Figure 37 : définition de l'impédance ramenée
Cette impédance est :
_
Zx  
V x 
Ix 

A.e γ.x  B.e   .x
.Z c
A.e γ.x  B.e   .x
B  2. .x
.e
V x 
A


Zx 

.Z c
Ix  1  B .e  2. .x
A
En utilisant deux résultats précédents :
_
_
1
_
x   0.e - 2. .x
_
0 
et
B
A
on obtient :
_
Zx  
V x 
Ix 
_

1  x 
1  x 
.Z c
Cette relation est utilisée en hautes fréquences pour l'abaque de Smith (option électronique RF du
semestre 4).
A l'aide des relations suivantes :
_
Zx  
1  x 
1  x 
_
_
_
Z  Zc
Z  Zc
.Z c
x   0.e - 2. .x
0 
th .x  
e  γ.x  e  .x
e  γ.x  e   .x
on obtient l'expression de l'impédance ramenée :
Z0  Z c .thγ.x 
Z x   Z c .
Z c  Z0.thγ.x 
Dans le cas d'une ligne sans pertes :
α 0
  j.β
thγ.x   j.tgβ.x 
l'expression de l'impédance ramenée devient :
Z0  j.R c .tgβ.x 
Zx   R c .
(20)
R c  j.Z0.tgβ.x 
26
1er cas : charge adaptée (figure 38)
Figure 38 : charge adaptée
A partir de la relation (20), on en déduit Zx   R c , ce qui est explicable par la définition même de
la résistance caractéristique.
2ième cas : court-circuit en bout de ligne (figure 39)
Figure 39 : court-circuit en bout de ligne
A l'aide de Z0  0 et de l'expression (20), on obtient :
Zx   j.Rc .tgβ.x 
avec :
1
x
β.x  ω LC.x  2πf. .x  2π.
v
λ
Dans le cas où la longueur du câble est faible devant la longueur d'onde du signal :
x  λ β.x  1
tgβ.x   β.x
l'expression de l'impédance ramenée devient :
L
Zx   j.R c . β.x  j.
.. LC.x  j.L.x .
C
Cela correspondant à une inductance de valeur L.l.
3ième cas : circuit ouvert en bout de ligne (figure 40)
Figure 40 : circuit ouvert en bout de ligne
Cela correspond à Z0   . L'impédance ramenée est alors :
Rc
Zx  
j.tgβ.x 
Dans le cas où la longueur du câble est faible devant la longueur d'onde du signal :
x  λ β.x  1
tgβ.x   β.x
27
l'expression de l'impédance ramenée devient :
L
Rc
1
C
Zx  


j.β.x j.ω. LC .x j.C.x .ω
Cela correspondant à une inductance de valeur C.l. Ce résultat montre que si on place un câble coaxial
d'un mètre de longueur à un point d'un montage avec l'autre extrémité connectée à un oscilloscope
d'impédance d'entrée très grande, on met un condensateur de 100 pF en parallèle entre le point étudié et
la masse.
4ième cas : on se place à x 
λ
(figure 41), c'est-à-dire une longueur de câble égale à la moitié de la
2
longueur d'onde du signal.
Figure 41 : longueur de câble égale à
λ
2
On obtient :
β.x  2π.
x
π
λ
Zx   R c .
tgβ.x   0
Z0
 Z0
Rc
On retrouve donc la charge de façon périodique tous les
5ième cas : on se place à x 
λ
2
λ
(figure 42), c'est-à-dire une longueur de câble égale au quart de la
4
longueur d'onde du signal.
Figure 42 : longueur de câble égale à
Cela donne :
tgβ.x   
Zx   R c .
J.R c
j.Z0
Zx  R c

Rc
Z0 
On obtient un inverseur d'impédance.
28
λ
4
6. Méthode de Bergeron
La méthode de Bergeron est une méthode graphique d'étude des tensions aux deux extrémités d'une
ligne de propagation applicable uniquement en régime indiciel, avec comme intérêt de pouvoir prendre
en compte des charges non linéaires.
Soit une ligne de propagation sans pertes de longueur l entre un générateur et une charge caractérisée
par les deux paramètre vitesse de propagation et résistance caractéristique (figure 43).
Figure 43 : ligne de propagation sans pertes entre un générateur et une charge
Les tension et courant en tous points de la ligne sont donnés par les relations suivantes :
V x,p  A p.e
 p.
x
x
 p.
v  Bp.e
v
x
x
A p  p. v Bp  p. v
Ix,p 
.e

.e
Rc
Rc
En appelant respectivement a(t) et b(t) les transformées de Laplace inverse des deux constantes
d'intégration A(p) et B(p), on obtient :
x
 x 
v x, t   a t    b t  
v
 v 
1  
x 
x 
ix, t  
. a t    b t   
Rc  
v 
v 
Il s'agit de calculer la variation de la tension et du courant lorsque l'onde va de x0 pour t = 0 à x0+v.t0
pout t = t0.
En x = x0 et t = 0 :
 x  x 
v x o ,0   a  o   b o 
 v   v 
ix o ,0  
1
Rc
  x  x
. a  o   b o
  v   v

 

En x0+v.t0 et t = t0 :
x  v.t o 
x  v.t o 


v x o  v.t o , t o   a t o  o
  b t o  o

v
v




x  v.t o  
x  v.t o  
1  
ix,t  
. a t o  o
  b t o  o
 
Rc  
v
v
 

La variation de tension est définie comme suit :
Δv   vx o  v.t o , t o   vx o ,0
29
On obtient :
x  x 

Δv   b 2.t o  o   b o 
v   v 

De la même façon, on a :
Δi 
1
Rc
 
x   x 
. - b 2.t o  o   b o  
v   v 
 
On en déduit alors le rapport de la variation de la tension sur la variation du courant de l'onde se
propageant dans le sens des x positifs :
Δv 
 R c
Δi
Par un calcul similaire, on peut calculer le rapport de la variation de la tension sur la variation du
courant de l'onde se propageant dans le sens des x négatifs :
(21)
(22)
Δv 
Δi
 R c
La méthode de Bergeron consiste à travailler dans le plan tension-courant (figure 44). A un instant
donné et pour une position donnée, cela correspond à un point dans ce plan.
Figure 44 : plan tension-courant et point de fonctionnement à t = t0 et x = x0.
Lorsque l'onde se propage dans les sens des x positifs, le point de fonctionnement se déplacera
suivant une droite de pente –Rc (relation 21 et figure 45).
Figure 45 : déplacement du point de fonctionnement pour l'onde se propageant
dans le sens des x positifs
Par contre, pour l'onde se propageant en sens contraire, on obtient un déplacement suivant une pente
égale à Rc (relation 22 et figure 46).
30
Figure 46 : déplacement du point de fonctionnement pour l'onde se propageant
dans le sens des x négatifs
Exemple d'utilisation : le générateur est composé d'une tension E en série avec une résistance R
(inférieure à Rc), et la charge est non linéaire (figure 47).
Figure 47 : caractéristiques statiques du générateur et de la charge
Le premier point de fonctionnement, c'est-à-dire la tension v(0,0), est encore une fois déterminé en
disant que la ligne est équivalente à une résistance Rc, aucune onde réfléchie n'étant présente. On trace
alors la droite correspondant à Rc, droite passant naturellement par l'origine. On obtient ainsi le premier
point de fonctionnement par l'intersection de cette droite et de celle correspondant au générateur (figure
48).
Figure 48 : détermination de la tension v(0,0)
On peut en faire une autre interprétation. On considère une onde d'amplitude égale à 0 commençant
à se propager de la charge vers le générateur à t égal à - (figure 49). Le point dans le plan tensioncourant se déplace alors suivant une pente positive égale à Rc (21). Cette onde arrive au générateur à t
égal à 0, donc sur la caractéristique du générateur, ce qui donne alors le même point que dans la figure
48.
31
Figure 49 : autre façon de déterminer le premier point de fonctionnement
L'onde définie par ce premier point se propage vers la charge, donc avec une pente négative (figure
50). Cette onde arrive à la charge à t égal à  sur la caractéristique de la charge. On peut donc en déduire
la tension v(l,).
Figure 50 : deuxième point de fonctionnement.
A partir de ce deuxième point, on trace une droite de pente +Rc pour trouver la tension v(0,2), et
ainsi de suite (figure 51). Le point de fonctionnement en régime permanent est naturellement le point
d'intersection des caractéristiques du générateur et de la charge.
Figure 51 : illustration du régime transitoire et point de repos en régime permanent
7. Quelques applications
Des applications, comme la modélisation de pistes sur un circuit imprimé pour illustrer le rôle d'un
condensateur de découplage, ou encore l'utilisation de ces notions pour les câbles réseaux seront étudiées
en cours.
32