Les ensembles D. Daigle 1. Notions de base La notation x ∈ A

Les ensembles
D. Daigle
1. Notions de base
La notation x∈Asignifie que xest un ´el´ement de l’ensemble A(elle se lit “xest
´el´ement de A”ou encore “xappartient `a A”). Remarquez que le symbole d’appartenance
∈est diff´erent de la lettre grecque ε. La th´eorie des ensembles commence par la
d´efinition de l’´egalit´e des ensembles :
Deux ensembles sont ´egaux si et seulement si ils ont les mˆemes ´el´ements.
Ceci signifie que :
•si deux ensembles ont les mˆemes ´el´ements, alors ces ensembles sont ´egaux
•si deux ensembles sont ´egaux, alors ils ont les mˆemes ´el´ements.
1.1. Exemple. Supposons que Aet Bsont des ensembles satisfaisant :
•2∈A, 3 ∈A, 4 ∈A, et 2,3,4 sont les seuls ´el´ements de A
•2∈B, 3 ∈B, 4 ∈B, et 2,3,4 sont les seuls ´el´ements de B.
Alors la d´efinition d’´egalit´e implique que A=B. Donc il ne peut pas exister plusieurs
ensembles diff´erents dont les ´el´ements seraient 2,3,4 et rien d’autre.
1.2.Supposons que a1, a2, . . . , ansont des objets quelconques (un objet peut ˆetre un
nombre, un ensemble, une fonction, une matrice, etc, donc n’importe quel objet math´e-
matique). La d´efinition d’´egalit´e implique qu’il ne peut pas exister plusieurs ensembles
diff´erents dont les ´el´ements seraient a1, a2, . . . , an. Le symbole {a1, a2, . . . , an}d´esigne
l’unique ensemble dont les ´el´ements sont a1, a2, . . . , an.
Par exemple si on ´ecrit A={3,41}alors 3 ∈A, 41 ∈Aet An’a pas d’autres
´el´ements que 3 et 41.
Prenez note du cas “n= 1” de la notation 1.2 : si aest un objet quelconque, alors {a}
d´esigne l’ensemble dont l’unique ´el´ement est a. Un ensemble qui a exactement 1 ´el´ement
est appel´e un singleton. Par exemple, l’ensemble {5}est un singleton. Remarquons
que l’ensemble {5}et le nombre 5 sont deux objets diff´erents : 5 6={5}.
Observons que la d´efinition d’´egalit´e implique que {2,3,4}={4,2,3}={2,3,2,4},
puisque ces ensembles ont les mˆemes ´el´ements.
Il est possible qu’un ensemble soit un ´el´ement d’un autre ensemble. Par exemple,
on a les deux ensembles A={2,3}et B={3,4,5,6}. Puisqu’on a les objets Aet
B, on peut ensuite former l’ensemble C={A, B}={{2,3},{3,4,5,6}}. On a alors
{2,3} ∈ {{2,3},{3,4,5,6}} et {3,4,5,6} ∈ {{2,3},{3,4,5,6}}.
1.3. Exercice. Soient A={2,3}et B={A}. Alors Aa combien d’´el´ements, et Ba
combien d’´el´ements ? Aest-il ´egal `a B?
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Diff´ erentes m´ ethodes pour d´ efinir un ensemble
On a vu qu’on peut d´efinir un ensemble en ´enum´erant ses ´el´ements, comme dans les
exemples suivants : U={3,7,342},V={2,3,4,...,10},N={0,1,2,3, . . . }. Il existe
plusieurs m´ethodes pour d´efinir un ensemble sans ´enum´erer ses ´el´ements. Voici une de
ces m´ethodes :
1.4.´ Etant donn´ee une condition P, la notation
E=x|xsatisfait la condition P
signifie que Eest l’ensemble de tous les objets qui satisfont la condition P.
Remarquez que, d’apr`es la d´efinition d’´egalit´e des ensembles, il ne peut pas exister
plusieurs ensembles diff´erents dont les ´el´ements seraient “tous les objets qui satis-
font P”.
1.5. Exemple. Utilisons la m´ethode 1.4 pour d´efinir des ensembles A,Bet C:
•A=x|xest un nombre entier et x2−7x+ 10 = 0 
Cette notation signifie que Aest l’ensemble de tous les objets xqui satisfont
la condition “xest un nombre entier et x2−7x+ 10 = 0”. Autrement dit,
A={2,5}.
•B=x|xest un nombre premier 
Ceci signifie que Best l’ensemble de tous les nombres premiers.
•C=x|xest une fonction de Nvers N
Ceci signifie que Cest l’ensemble de toutes les fonctions de Nvers N.
Voici une variante de la m´ethode 1.4 pour d´efinir un ensemble :
1.6.´ Etant donn´es un ensemble Aet une condition P, la notation
E=x∈A|xsatisfait la condition P
signifie que Eest l’ensemble de tous les ´el´ements de Aqui satisfont la condition P.
1.7. Exemple. La m´ethode 1.6 nous permet de d´efinir l’ensemble
E=x∈R|x2>3,
qui est l’ensemble de tous les nombres r´eels xsatisfaisant x2>3. La m´ethode 1.4 nous
permet de d´efinir l’ensemble
E0=x|x∈Ret x2>3,
qui est l’ensemble de tous les objets xsatisfaisant “x∈Ret x2>3”. Donc E=E0.

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Dans les notations 1.4 et 1.6, on peut remplacer “x” par n’importe quelle autre lettre.
Par exemple on a x∈R|x2>3=s∈R|s2>3, car dans les deux cas on a
l’ensemble des nombres r´eels dont le carr´e est sup´erieur `a 3.
Il y a des cas o`u on pr´ef`ere utiliser une lettre plutˆot qu’une autre, pour des raisons
psychologiques. Consid´erez par exemple C=x|xest une fonction de Nvers N,
qui est l’ensemble de toutes les fonctions de Nvers N. Puisque les ´el´ements de Csont
des fonctions, on ´ecrira plutˆot C=f|fest une fonction de Nvers N.
1.8.Voici encore une autre m´ethode pour d´efinir un ensemble. Cette fois nous don-
nerons seulement des exemples, sans donner une formulation g´en´erale.
•Soit A=x2|x∈N; alors Aest l’ensemble de tous les carr´es de nombres
naturels, donc A={02,12,22,32, . . . }={0,1,4,9, . . . }.
•Soit B=x2|x∈R; alors Best l’ensemble de tous les carr´es de nombres
r´eels, donc Best l’ensemble des nombres r´eels plus grands ou ´egaux `a 0, donc
B=x∈R|x≥0.
•Soit C=4x+ 6y|x, y ∈Z; alors Cest l’ensemble de tous les nombres de
la forme 4x+ 6yo`u x, y peuvent prendre n’importe quelles valeurs dans Z. En
fait Cest exactement l’ensemble des entiers pairs, C=x∈Z|xest pair .
Les ensembles de nombres
Nous utiliserons les notations suivantes :
•Un nombre entier plus grand ou ´egal `a z´ero est appel´e un nombre naturel. Le
symbole Nd´esigne l’ensemble des nombres naturels, donc N={0,1,2,3,4, . . . }.
Notez bien que 0 ∈N.
•Le symbole Zd´esigne l’ensemble des entiers (positifs, n´egatifs, ou nuls), donc
Z={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . . }.
•Un nombre rationnel est une fraction a/b o`u a, b ∈Zet b6= 0. L’ensemble de
tous les nombres rationnels est not´e Q.
•L’ensemble de tous les nombres r´eels est not´e R.
Rappelons la notation des intervalles.
Si a < b sont des nombres r´eels alors
•(a, b) = x|x∈Ret a<x<b
•[a, b) = x|x∈Ret a≤x<b
•(a, b] = x|x∈Ret a < x ≤b
•[a, b] = x|x∈Ret a≤x≤b.
Si a∈Ralors
•[a, ∞) = x|x∈Ret x≥a
•(a, ∞) = x|x∈Ret x>a
•(−∞, a] = x|x∈Ret x≤a
•(−∞, a) = x|x∈Ret x<a.
Finalement,

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•(−∞,∞) = R.
1.9. Exemple. Soit J=[a, a2+ 1] |a∈R. Alors Jest un ensemble dont les
´el´ements sont des intervalles : pour chaque a∈Rl’intervalle [a, a2+ 1] est un ´el´ement
de J, et Jn’a pas d’autres ´el´ements que les intervalles [a, a2+ 1] tels que a∈R. Par
exemple, on a [3,10] ∈J, [1
2,5 4]∈Jet [3,8] /∈J.
L’´ egalit´ e des ensembles
Regardons encore une fois la d´efinition d’´egalit´e des ensembles. On sait que la
condition A6=Bsignifie que Aet Bn’ont pas les mˆemes ´el´ements. On a donc :
1.10.´ Etant donn´es des ensembles A, B,
A6=B⇔il existe au moins un objet qui est ´el´ement d’un des
ensembles A, B mais n’est pas ´el´ement de l’autre.
En effet, la phrase ´ecrite `a droite de “⇔” est une fa¸con pr´ecise de dire que Aet B
n’ont pas les mˆemes ´el´ements.
L’ensemble vide
1.11. Th´eor`eme. Il existe exactement un ensemble qui n’a aucun ´el´ement.
D´emonstration. On doit prouver les deux affirmations suivantes :
(1) Il existe au moins un ensemble qui n’a aucun ´el´ement.
(2) Il existe au plus un ensemble qui n’a aucun ´el´ement.
Preuve de (1). L’ensemble x∈Z|x3= 4 n’a aucun ´el´ement, donc il existe au
moins un ensemble qui n’a aucun ´el´ement.
Preuve de (2). On doit montrer que si Aet Bsont des ensembles qui n’ont aucun
´el´ement alors A=B. Par contradiction : supposons que Aet Bsont deux ensembles
qui n’ont aucun ´el´ement et tels que A6=B. Alors 1.10 implique qu’il existe un objet
xqui est ´el´ement d’un des ensembles A, B mais qui n’est pas ´el´ement de l’autre. En
particulier, on a alors x∈Aou x∈B, ce qui contredit l’hypoth`ese que Aet Bn’ont
aucun ´el´ement. 
1.12. D´efinition. En vertu de 1.11, il existe exactement un ensemble qui n’a aucun
´el´ement. Cet ensemble est appel´e l’ensemble vide et on le d´esigne par le symbole ∅.
Autrement dit, ∅est l’unique ensemble qui satisfait :
quel que soit l’objet x, on a x /∈∅.
Par exemple, les ensembles V=x∈R|x2=−1et W=x∈Z|x3= 4 
n’ont aucun ´el´ement, donc V=∅et W=∅, donc V=W.
Rappelons que, ´etant donn´e un objet a, on peut former le singleton {a}.
1.13. Lemme. Si aet bsont des objets tels que {a}={b}, alors a=b.

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D´emonstration. Puisque a∈ {a}, et puisque {a}et {b}on les mˆemes ´el´ements, il
s’ensuit que a∈ {b}. Puisque a∈ {b}et puisque le seul ´el´ement de {b}est b, on
conclut que a=b.
1.14.Puisqu’on a l’objet ∅, on peut former le singleton {∅}. Notez bien que ∅6={∅},
puisque {∅}n’est pas vide (on a ∅∈ {∅}).
Puisqu’on a l’objet {∅}, on peut former le singleton {{∅}}. Montrons que
{∅} 6={{∅}}.
Par contradiction : Supposons que {∅}={{∅}}. Alors le Lemme 1.13 implique que
∅={∅}, qui est faux.
1.15.Si Eest un ensemble qui poss`ede un nombre fini d’´el´ements, on dit que Eest un
ensemble fini. Si Eest un ensemble fini qui poss`ede exactement n´el´ements, on ´ecrit
|E|=net on dit que la cardinalit´e de Eest ´egale `a n.
Par exemple, si A=x∈R|x2= 9 alors |A|= 2 (car A={−3,3}poss`ede deux
´el´ements).
Si Eposs`ede un nombre infini d’´el´ements, on dit que Eest un ensemble infini. Par
exemple, N,Z,Q,Rsont des ensembles infinis.
2. Les sous-ensembles d’un ensemble
2.1. D´efinition. Soient Aet Bdes ensembles. Si la condition
chaque ´el´ement de Aest ´el´ement de B
est satisfaite, alors on dit que Aest un sous-ensemble de B, et on ´ecrit A⊆B.
Par exemple, les affirmations suivantes sont vraies :
{2,3,4}⊆{1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5,6}⊇{2,3,4},{2,3,4}⊆{2,3,4},
et on a aussi {2,3,4} 6⊆ {3,4}.
Les expressions suivantes sont des synonymes : Aest un sous-ensemble de B,Aest
une partie de B,Aest inclus dans B. La n´egation de A⊆Bs’´ecrit A*B, et signifie
que An’est pas un sous-ensemble de B. Remarquez :
2.2.´ Etant donn´es des ensembles Aet B, on a :
A*B⇔il existe au moins un ´el´ement de Aqui n’est pas ´el´ement de B.
2.3. Proposition. Pour tout ensemble A, on a ∅⊆Aet A⊆A.
D´emonstration. Soit Aun ensemble.
Puisque tout ´el´ement de Aest un ´el´ement de A, on a A⊆A.