Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Semaine du 09/02/15
Situation 1 :
On lance une pièce de monnaie trois fois.
Donner la liste de tous les résultats possibles. Par exemple PPF est un résultat.
Combien y en a-t-il ?
Combien y a-t-il de résultats(ou liste) comportant la face pile deux fois exactement ?
A la calculatrice, saisir :
3 MATH PRB Combinaison(ou nCr) 2 enter
Qu’obtient-on ?
Situation 2 :
On lance une pièce de monnaie quatre fois.(Voir annexe).
Combien y a-t-il de résultats comportant la face pile deux fois exactement ?
A la calculatrice saisir :
4 MATH PRB Combinaison(ou nCr) 2 enter
Qu’obtient –on ?
Situation 3 :
On lance une pièce de monnaie 5 fois.
Ecrire une séquence de touche à la calculatrice permettant d’obtenir le nombre de résultats
comportant la face pile 3 fois exactement.
Donner le résultat.
Situation 4 :
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé bien équilibré quatre fois de suite.
On appellera succès l’évènement : «obtenir un 6 ».
1) Quelle est la probabilité d’un succès ?
Quelle est la probabilité d’un échec ?
Combien y a-t-il de résultats comportant 3 succès.(à la calculatrice).
2) On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de succès.
Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?
On écrit X 
,
,
,
,

3) On désire calculer P(X=3).
a) Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe.
b) Repérer sur l’arbre à l’aide d’une couleur, un chemin comportant trois succès
exactement.
Quel est la probabilité de ce chemin sélectionné ?
c) Compter sur l’arbre, le nombre de chemins comportant 3 succès excatement? Vérifier
qu’on obtient le même résultat qu’à la question 1.
3
1
1 5
d) De quel évènement le résultat du calcul 4       est-il la probabilité ?
6 6
4) En s’inspirant de la question 3 calculer P(X=2) puis P(X=1).
Situation 5 :
On lance une pièce de monnaie 5 fois.
Cette pièce n’est pas équilibrée si bien que la probabilité d’avoir pile est égale à 0,4.
On appellera succès : « avoir pile ».
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de pile au cours de ces 5 lancers.
On désire calculer P(X=3).
● Combien y a-t-il de résultats comportant 3 succès exactement ?
● Quelle est la probabilité d’un résultat comportant 3 succès exactement ?
● En déduire :
P(X=3) =


=
à 10-3 près.
Définition :
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n et p lorsque les trois
conditions suivantes sont vérifiées.
● On répète n fois la même expérience de façon indépendante.
● X compte le nombre de succès.
● La probabilité d’un succès est p.
On écriera alors : X  B (n; p )
Situation 6 :
Une urne contient 18 boules rouges et 12 boules noires indiscernables au toucher.
Un jeu consiste à tirer avec remise 3 boules de l’urne.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de boules noires à la fin de ces trois tirages.
1) X suit-elle une loi binomiale ? Pourquoi ?
2) Réaliser un arbre de probabilité schématisant ce jeu.
3) Calculer la probabilité de tirer au moins une boule noire.
Annexe