corrige exam juin 2011

Examen de l’an dernier, juin 2011
Exo 1 : QCM
1) Le produit de 2 matrices inversibles est inversible.
!=> OUI
!=>
2) Soient v1, v2, v3 3 vecteurs de R3. Si v1 n’est colinéaire ni à v2, ni à v3, si v2 n’est
colinéaire ni à v1 ni à v3 etc........... alors la famille est libre.
!=> NON
!=> contre exemple :! v1 = (0,0,0)
! ! ! ! v2 = (0,1,0) et
! ! ! ! v3 = (1,1,0)
3) Les matrices sont semblables
!=> OUI
!=> Sp(A) = Sp(B) = { -2, 1, 3 } car Pa = Pb = .....................
! ! A ayant 3 valeurs propres distinctes est diagonalisable.
! ! La dimension du s-ev propre = 1 = la multiplicité
! ! et donc il existe P tel que
4) Si deux matrices ont le même polynôme caractéristique alors ils sont semblables.
!=> NON
ont le même polynôme caractéristique mais ne sont pas semblables.
En effet, si les deux matrices étaient semblables, il existe P dans tel que
ce qui est absurde.
5) Soit f un endomorphisme d’1 e.v. de dimension finie. Si est un
polynôme annulateur de f alors il est inversible.
Exo 2 : Énoncer et démontrer le théorème de Caylay-Hamilton
!=> voir cours
Exo 3 : Soit N appartement à Mn(C) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence m
(i.e. )
1) Déterminer les valeurs propres de N, son polynôme caractéristique et son polynôme
minimal.
!=> fait en cours
Sp(N) = { 0 },
PA=(X)net MA=Xn
det(A.B)=det(A).det(B)6=0
0
@
322
021
00 1
1
Aet 0 @
200
010
003
1
A
B=P1.A.P
✓00
00
◆et ✓01
00
◆
GL2(x)
✓01
00
◆=P1.✓00
00
◆.P =✓00
00
◆
x3 2x2+x3
=>OUI
=>En e↵et, f32.f2+f3.Id =0
1/3(f22.f +Id)f=Id
Donc f est inversible d’inverse f1=1/3.(f22.f +Id)
Nm=0etNm16=0

2) Montrer que det(I_n + N) = 1
!=> N etant trigonalisable dans Mn(C) (car est scindé)
!il existe P dans GL_n(C) tel que N = P^-1 T P
où
Et donc
et finalement
3) Soit A appartenant à Mn(C) tel que AN = NA
a) On suppose A inversible. Montrer que A^-1 et N commutent et A^-1.N est nilpotente.
!
En deduire que det ( A + N ) = det A
!or !est nilpotente car
!
!et en appliquant 2 on a
!et donc
b) On suppose A non inversible. Calculer (A+N)^m et montrer que l’on peut factoriser
l’expression trouvée par A.
En deduire que det (A+N) = 0
Exo 4 :
1) Calculer et factoriser P_u.
PN
0
@
0xx
00x
000
1
A
In+N=P1.(In+T).P
det(In+N)=det(In+T)=0
@
1xx
01x
001
1
A=1
AN =NA =>N=A1.A.N =A1.N.A
=>NA
1=A1.N.A.A1=A1.N
=>det(A+N)=det(A(I+A1.N ))
=detA.det(I+A1.N )
A1.N
(A1.N )m=(A1)m.N m=0
det(In +A1.N )=1
det(A+N)=(detA).det(In +A1.N )=detA
(A+N)m=Pm
i=0 Ci
m.Ank.N k
=A.(Pm1
i=0 Ci
m.Amk1.N k)
ce qui pr´ec`ede =>det(A+N)k=(detA).(det Pm1
i=0 Ci
m.Amk1.N k=0
et donc det(A+N)=0
Soit u appartement `a L(R3)telqueMat
Bu=M=0
@
322
10 1
110
1
A
Pu=PM=
3X22
1X1
11X
=... =(1X)2.
10 2
01 1
11X
=(1X)2.(1 X)=(1X)3

2) La matrice M est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ?
!=> Si M était diagonalisable, il existe P tel que
Or !donc elle n’est pas diagonalisable.
!P_n étant scindé dans R[X], M est trigonalisable dans R3.
3) Déterminer M_m
!=> théorème de Caylay-Hamilton et
!=>
4) En utilisant la décomposition m = (M-Id)+Id et la formule du binôme, exprimer M^m en
fonction de m, M et Id.
!Les matrices M-Id et Id commutent, donc par la formule du binôme de newton on a
pour tout n >= 2 :
5) Montrer que l’image de R3 par u - Id est une droite vectorielle dont on donnera un
vecteur directeur.
!=> En effet, si B = (e1, e2, e3) est une base canonique de R3, alors on a :
!
6) Déterminer 1 vecteur propre E_1 de u non colinéaire à E_2
7) Déterminer un vecteur E_3 tel que u(E_3) = E_2 + E_3
M=P1.Id.p =P1.P =Id
M6=Id
M6=Id
{racines de Mm}=Sp(M)
{
{MM=(X2)2
{ou (X1)3
{
or (AId)2= 0 et donc MA=(X1)2
Mn=((MId)+Id)=Pn
i=0 Ci
m.(MId)i.(Id)ni
=Id +n.(MId)+n(n1)/2.(n2)2+......
Im.(uid)=Vect{(uid).(e1),(uid).(e2),(uid).(e3)}
=Vect{(2,1,1)}
=>(x, y, z) dans En(1) <=>(MId).(x, y, z)=(0,0,0)
<=>x+yz=0
Vu que E2=(2,1,1), on peut prendre E1=(0,1,1)
=>u(E3)=E2+E3<=>(uId).(E3)=E2=(2,1,1)
et si E3=(x, y, z) , alors on doit avoir
(MId).(x, y, z)=0
@
222
111
111
1
A.0
@
x
y
z
1
A=0 @
2
1
1
1
A
=>x+yz=1
on peut prendre E3=(1,0,0)

8) Déterminer que est une base de R3 et donner
9) En déduire que où T est une matrice triangulaire et P une matrice
inversible que l’ont déterminera.
!
!
Et donc
B0=(E1,E
2,E 3)
Mat
B0u
=>det
B(E1,E 2,E 3)=
021
110
110
6=0
=>B
0est une base de R3
M=P.T.P 1
u(E3)=E2+E3
Mat
B0u=0
@
100
011
001
1
A=T
T=P1.A.P
o`u P=0
@
021
110
110
1
A