Examen de l’an dernier, juin 2011 Exo 1 : QCM 1) Le produit de 2 matrices inversibles est inversible. ! => OUI ! => det(A.B) = det(A).det(B) 6= 0 2) Soient v1, v2, v3 3 vecteurs de R3. Si v1 n’est colinéaire ni à v2, ni à v3, si v2 n’est colinéaire ni à v1 ni à v3 etc........... alors la famille est libre. ! => NON ! => contre exemple :! v1 = (0,0,0) ! ! ! ! v2 = (0,1,0) et ! ! ! ! v3 = (1,1,0) 0 1 0 1 3 2 2 2 0 0 3) Les matrices @0 2 1 A et @ 0 1 0Asont semblables 0 0 1 0 0 3 ! ! ! ! ! => OUI => Sp(A) = Sp(B) = { -2, 1, 3 } car Pa = Pb = ..................... ! A ayant 3 valeurs propres distinctes est diagonalisable. ! La dimension du s-ev propre = 1 = la multiplicité ! et donc il existe P tel que B = P 1 .A.P 4) Si deux matrices ont le même polynôme caractéristique alors ils sont semblables. ! ✓ =>◆NON✓ ◆ 0 0 0 1 ont le même polynôme caractéristique mais ne sont pas semblables. et 0 0 0 0 En effet, si les deux matrices étaient semblables, il existe P dans GL2 (x) tel que ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ 0 1 0 0 0 0 1 =P . .P = 0 0 0 0 0 0 ce qui est absurde. 5) Soit f un endomorphisme d’1 e.v. de dimension finie. Si x3 2x2 + x polynôme annulateur de f alors il est inversible. => OUI => En e↵et, f 3 2.f 2 + f 3.Id = 0 1/3(f 2 2.f + Id) f = Id Donc f est inversible d’inverse f 1 = 1/3.(f 2 2.f + Id) 3 est un Exo 2 : Énoncer et démontrer le théorème de Caylay-Hamilton ! => voir cours Exo 3 : Soit N appartement à Mn(C) une matrice nilpotente d’indice de nilpotence m (i.e. N m = 0 et N m 1 6= 0 ) 1) Déterminer les valeurs propres de N, son polynôme caractéristique et son polynôme minimal. ! => fait en cours Sp(N) = { 0 }, PA = ( X)n et MA = X n 2) Montrer que det(I_n + N) = 1 ! => N etant trigonalisable dans Mn(C) (car PN est scindé) ! 0 1 il existe P dans GL_n(C) tel que N = P^-1 T P où 0 x x @0 0 x A 0 0 0 Et donc et finalement In + N = P 1 .(In + T ).P 0 1 @ det(In + N ) = det(In + T ) = 0 0 x 1 0 1 x xA = 1 1 3) Soit A appartenant à Mn(C) tel que AN = NA a) On suppose A inversible. Montrer que A^-1 et N commutent et A^-1.N est nilpotente. AN = N A => N = A 1 .A.N = A 1 .N.A ! => N A 1 = A 1 .N.A.A 1 = A 1 .N En deduire que det ( A + N ) = det A => det(A + N ) = det(A(I + A 1 .N )) = detA.det(I + A 1 .N ) ! ! or A 1 .N ! est nilpotente car 1 m (A .N ) = (A 1 )m .N m = 0 ! ! 1 et en appliquant 2 on a det(In + A .N ) = 1 1 et donc det(A + N ) = (detA).det(In + A .N ) = detA b) On suppose A non inversible. Calculer (A+N)^m et montrer que l’on peut factoriser l’expression trouvée Pm pari A. n k k m .N (A + N ) = i=0 Cm .A = A.( Pm i=0 1 i Cm .Am k 1 .N k ) En deduire que det (A+N) = 0 ce qui précède => det(A + N )k = (detA).(det et donc det(A + N ) = 0 Pm 1 i=0 i .Am Cm k 1 .N k = 0 Exo 4 : 0 3 3 @ 1 Soit u appartement à L(R ) tel que M atB u = M = 1 1) Calculer et factoriser P_u. 3 X 2 2 1 X 1 = . . . = (1 P u = PM = 1 1 X = (1 X)2 .(1 X) = (1 X)3 1 X) . 0 1 2 0 1 1 2 0 1 2 1 X 1 2 1A 0 2) La matrice M est-elle diagonalisable ? Trigonalisable ? ! => Si M était diagonalisable, il existe P tel que M = P 1 .Id.p = P OrM 6= Id! donc elle n’est pas diagonalisable. ! P_n étant scindé dans R[X], M est trigonalisable dans R3. 1 .P = Id 3) Déterminer M_m ! => théorème de Caylay-Hamilton et M 6= Id { racines de Mm } = Sp(M ) ! => { MM = (X 2)2 { ou (X 1)3 or (A { { Id)2 = 0 et donc MA = (X 1)2 4) En utilisant la décomposition m = (M-Id)+Id et la formule du binôme, exprimer M^m en fonction de m, M et Id. ! Les matrices M-Id et Id commutent, donc par la formule du binôme de newton on a pour tout n >= 2 : Pn i .(M Id)i .(Id)n i M n = ((M Id) + Id) = i=0 Cm = Id + n.(M Id) + n(n 1)/2.(n 2)2 + ...... 5) Montrer que l’image de R3 par u - Id est une droite vectorielle dont on donnera un vecteur directeur. ! => En effet, si B = (e1, e2, e3) est une base canonique de R3, alors on a : ! Im.(u id) = V ect{(u id).(e1), (u = V ect{(2, 1, 1)} id).(e2), (u id).(e3)} 6) Déterminer 1 vecteur propre E_1 de u non colinéaire à E_2 => (x, y, z) dans En (1) <=> (M Id).(x, y, z) = (0, 0, 0) <=> x + y z = 0 Vu que E2 = (2, 1, 1), on peut prendre E1 = (0, 1, 1) 7) Déterminer un vecteur E_3 tel que u(E_3) = E_2 + E_3 => u(E3 ) = E2 + E3 <=> (u Id).(E3 ) = E2 = (2, 1, 1) et si E3 = (x, y, z) , alors on doit 0 2 2 @ 1 1 (M Id).(x, y, z) = 1 1 => x + y z = 1 avoir 1 0 1 0 1 x 2 2 @ A @ A 1A 1 . y = z 1 1 on peut prendre E3 = (1, 0, 0) 8) Déterminer que B 0 = (E1 , E2 , E3 ) est une base de R3 et donner M atB 0 u 0 => detB (E1 , E2 , E3 ) = 1 1 2 1 1 0 6= 0 1 0 => B 0 est une base de R3 9) En déduire que M = P.T.P 1 où T est une matrice triangulaire et P une matrice inversible que l’ont déterminera. ! u(E3 ) = E2 + E3 0 1 0 @ M atB 0 u = 0 1 0 0 Et donc T = P 0 0 où P = @1 1 1 1 0 1A = T ! 1 .A.P 2 1 1 1 1 0A 0