LES GAZ, PARTIE D :

Chapitre VI, Les gaz, partie D
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LES GAZ, PARTIE D :
Eléments de théorie cinétique1
La théorie cinétique étudie les gaz d’un point de vue statistique. Elle se base sur les notions de
densité particulaire et de distribution des vitesses et sur des hypothèses qui concernent ces deux
notions et qui traduisent l’équilibre thermodynamique des gaz.
Elle permet de poursuivre, en passant du qualitatif au quantitatif, l’interprétation cinétique de la
pression et de la température d’un gaz parfait, que nous avons établie au chapitre III.
A. Description qualitative des gaz à l’échelle microscopique
Nous commençons par le rappel de l’interprétation cinétique qualitative de la pression et de la
température d’un gaz parfait.
1. Rappels essentiels
a) L’agitation moléculaire
Un gaz est constitué de molécules animées de mouvements incessants dont les trajectoires se
brisent de choc en choc. C’est l’agitation moléculaire.
b) Interprétation cinétique qualitative de la pression
L’interprétation microscopique de la pression est la suivante : les chocs des molécules sur les
parois créent la pression. Plus les chocs sont nombreux et violents et plus la pression augmente.
Deux facteurs agissent sur le nombre et la violence des chocs : la densité moléculaire et la vitesse
des molécules.
- plus la densité moléculaire est grande et plus le nombre de chocs est grand. Donc plus la
pression est forte. L’équation d’état2 des gaz parfaits, pV = NkBT, indique qu’{ température
constante, la pression est proportionnelle à la densité moléculaire :
p
N
kBT
V
N
x cste
V
- plus la vitesse est grande et plus les chocs sont violents. Donc plus la pression est forte.
- plus la vitesse est grande et plus les molécules rencontrent souvent les parois. C’est-à-dire plus
le nombre de chocs est grand. Donc plus la pression est forte.
Ces deux derniers points indiquent que la pression est une fonction croissante de la vitesse des
molécules.
1
L’adjectif « cinétique » vient du grec « kinêtikos » « qui agite ».
2
Voir dans le chapitre III, § D.2., les deux formes de l’équation d’état des gaz parfaits.
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c) Interprétation cinétique qualitative de la température
L’interprétation microscopique de la température est la suivante : La température traduit le
mouvement incessant des molécules, nommé « agitation thermique ».
Selon l’équation d’état des gaz parfaits, à volume constant, la pression p est proportionnelle à la
température absolue T :
p
Nk B
T
V
cste x T
Donc lorsque la température absolue double, la pression double. Le volume est constant donc la
densité moléculaire aussi. Le seul facteur qui reste pour expliquer l’augmentation de pression
est la vitesse des molécules. Donc l’élévation de température se traduit par une augmentation de
la vitesse des molécules. La température est une fonction croissante de la vitesse des molécules.
2. Gaz parfait pur isolé en équilibre thermodynamique
Ces interprétations montrent l’importance de la densité moléculaire et des vitesses des
molécules. Nous allons voir quelques-unes de leurs propriétés dans le cas d’une situation très
simple.
Nous considérons un flacon de gaz, parfait, isolé, immobile dans le référentiel terrestre et en
équilibre thermodynamique. On imagine bien que la densité moléculaire et la vitesse des
molécules dépendent de ces hypothèses.
De plus nous choisissons un gaz pur. De cette façon toutes les molécules sont identiques. On
imagine bien, encore une fois, que des molécules différentes compliquent l’étude.
a) Densité moléculaire, son homogénéité
Il n’est pas possible, { cause de l’énormité de leur nombre, de connaître les positions des
molécules { chaque instant. Il faut donc se contenter d’une description statistique que nous
allons fonder sur une hypothèse plausible.
Hypothèse : Homogénéité de la densité moléculaire.
Puisque le gaz est isolé et en équilibre thermodynamique, aucun point du volume occupé n’a de
particularités. Nous faisons donc l’hypothèse qu’en moyenne, les molécules sont uniformément
réparties. C’est-à-dire que les molécules ne se concentrent pas en des points particuliers du
récipient ou n’en désertent pas d’autres. A cause de l’agitation moléculaire cela peut arriver à
certains instants mais, en moyenne au cours du temps, en chaque point, cela n’arrive pas.
Nous remplaçons donc la donnée de toutes les positions des molécules par l’hypothèse de
l’homogénéité de la densité moléculaire. C’est-à-dire un ensemble gigantesque de données par
une information statistique.
b) Répartition des vitesses, son homogénéité
De la même façon nous remplaçons la donnée de toutes les vitesses des molécules par la
connaissance de la loi de répartition des vitesses. C'est-à-dire que nous cherchons à savoir le
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nombre moyen de molécules se déplaçant à une vitesse donnée, 500 m/s par exemple, au lieu de
chercher à savoir la vitesse de chaque molécule. Et ainsi pour chaque valeur de la vitesse.
Hypothèse : Homogénéité de la répartition des vitesses.
Puisque le gaz est isolé et en équilibre thermodynamique, nous faisons l’hypothèse que la densité
de molécules ayant une vitesse donnée est uniforme. A cause de l’agitation moléculaire il peut y
avoir des fluctuations mais, en moyenne au cours du temps, en chaque point, ces fluctuations
sont gommées.
Nous remplaçons donc la donnée de toutes les vitesses des molécules par l’hypothèse de
l’homogénéité de la répartition des vitesses et par leur loi de distribution. C’est-à-dire un
ensemble gigantesque de données par une loi statistique donnant le nombre de molécules pour
chaque vitesse.
c) Orientation des vitesses, son isotropie
Hypothèse : Isotropie de la répartition des vitesses
Puisque le gaz est isolé et en équilibre nous faisons l’hypothèse qu’aucune direction n’est
privilégiée. Il y a autant de molécules se déplaçant à la vitesse de 500 m/s de haut en bas, que de
bas en haut, ou encore de droite à gauche, ou en diagonale dans le flacon, etc. La loi de
distribution des vitesses ne dépend pas de la direction de la vitesse.
Nous avons donc posé trois hypothèses : homogénéité de la densité moléculaire, homogénéité de
la distribution des vitesses, isotropie de cette distribution. Ces hypothèses traduisent le
caractère statistique de l’équilibre thermodynamique du gaz ; les molécules ne sont pas
immobiles mais en mouvement incessant ; de ces mouvements naît une répartition uniforme des
positions et des vitesses, caractéristique de l’équilibre.
Nous allons approfondir quantitativement ces notions toujours dans le cas d’un gaz parfait, pur,
isolé et en équilibre thermodynamique.
B. Densité moléculaire ou particulaire
La densité moléculaire est aussi appelée densité particulaire. Nous considérons N molécules
occupant un volume V. Nous allons la définir quantitativement, appliquer l’hypothèse de son
homogénéité pour la calculer et discuter son ordre de grandeur pour rendre compte de son
gigantisme.
1. Densité particulaire
a) Définition de la densité particulaire
La densité particulaire est calculée dans un volume élémentaire dV(L) entourant un point L
quelconque, et contenant en moyenne un nombre dN(L) de molécules :
n p ( L)
dN ( L)
dV ( L)
Le nombre de molécules est sans dimension, l’unité légale de volume est le m3 donc celle de la
densité particulaire est le m-3.
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b) Homogénéité de la densité particulaire
A cause de l’hypothèse de l’homogénéité de la densité particulaire, celle-ci ne dépend pas du
point considéré :
np ( L) cste np
En d’autres termes, la probabilité de trouver une molécule en un point du volume V est
indépendante du point considéré. De ce fait, la densité particulaire est égale à sa valeur globale :
np
n p globale
N
V
2. Ordres de grandeur
a) Densité particulaire
Calculons la densité particulaire np dans une mole de gaz parfait dans les conditions normales de
température et de pression :
np
N
V
6, 02.1023
m
22, 4.10 3
3
2, 69.1025 m
3
b) Nombre de molécules
Le résultat précédent permet de calculer le nombre moyen N de molécules présentes dans des
volumes V petits du point de vue macroscopique :
N
N
V
V
V
1 cm3
1 mm3
10-3 mm3
10-6 mm3
1 µm3
N
2,69. 1019
2,69. 1016
2,69. 1013
2,69. 1010
2,69. 107
Nous constatons que 1 µm3 est très petit devant V = 22,4 litres (vraiment très petit, V/V est de
l’ordre de 10-19) et que cependant il contient en moyenne un très grand nombre de molécules.
Ceci rend les fluctuations de la densité particulaire négligeables dans le volume V malgré les
mouvements incessants des molécules. (Voir complément VI.1)
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C. Loi de répartition3 des vitesses
L’isotropie de la distribution des vitesses entraîne quelques propriétés quantitatives pour les
moyennes des vitesses. Nous allons considérer la moyenne du vecteur-vitesse, puis la moyenne
du carré de la vitesse car elle intervient dans l’énergie cinétique.
1. Moyenne du vecteur-vitesse et de ses composantes
Nous repérons le vecteur-vitesse4 vi de la ième molécule dans le référentiel terrestre par ses
composantes (vi,x, vi,y, vi,z) sur trois axes orthonormés.
a) Moyenne du vecteur-vitesse
A cause de l’isotropie de la distribution des vitesses, la moyenne du vecteur-vitesse <v> est
nulle :
v
1
N
N
vi
0
i 1
Si cette moyenne n’était pas nulle, il y aurait un mouvement d’ensemble du gaz de vitesse <v> ce
qui n’est effectivement pas le cas. L’hypothèse de l’isotropie de la distribution des vitesses dans
un gaz isolé, immobile dans le référentiel terrestre et { l’équilibre thermodynamique est en
accord avec cette constatation expérimentale.
b) Moyenne des composantes
Lorsqu’un vecteur est nul, toutes ses composantes le sont. Donc la moyenne de chaque
composante est nulle :
1
N
vx
N
vi , x
0,
vy
i 1
1
N
N
vi , y
0,
vz
i 1
1
N
N
vi , z
0
i 1
De plus ces résultats sont cohérents avec l’isotropie de la distribution des vitesses. En projection
sur l’axe (x’x) par exemple, il y a autant de molécules se déplaçant vers la droite ou la gauche à
une vitesse donnée.
c) Moyenne de la vitesse
La moyenne <v> de la valeur de la vitesse n’est pas nulle. Petit exemple avec trente molécules
imaginaires se déplaçant uniquement sur l’axe des abscisses :
Valeurs
N(vx)
vx en m.s-1
v = |vx| en m.s-1
5
-2
2
10
-1
1
Moyennes
10
1
1
5
2
2
0
40/30≈1,33
3
Voir l’expression de cette loi dans le complément VII.2.
4
Dans le texte les vecteurs sont notés en caractères gras. La lettre surmontée d’une flèche est utilisée dans les
expressions mathématiques.
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Les moyennes se calculent ainsi :
vx
1
N
2
10 x
vx
1
N
vx
5x
N (v x )v x
1
30
10x 2 20 x 1
N ( vx ) vx
30
vx
10 x1 5x 2
0 m.s
40
1,33 m.s
30
1
1
Remarque : le nombre de molécules imaginaires ayant une vitesse égale à -1 m/s ou à +1 m/s
sont égaux, de même pour -2 et 2. Cette répartition respecte l’isotropie de la distribution des
vitesses et par conséquent la valeur moyenne de vx est bien nulle.
Nous allons maintenant nous intéresser à la moyenne du carré de la vitesse.
2. Vitesse quadratique moyenne
a) Définition de la vitesse quadratique moyenne
La moyenne <v2> du carré de la vitesse est par définition le carré de la vitesse quadratique
moyenne C :
v2
C2
1
N
N
vi2
1
N
v2
C
i 1
N
vi2
i 1
b) Remarque
La vitesse quadratique moyenne n’est pas le carré de la moyenne de la vitesse. Un exemple avec
cinquante molécules imaginaires :
Valeurs
N(v)
v en m.s-1
v2 en m2.s-2
20
1
1
18
2
4
Moyennes
10
3
9
2
4
16
(94/50) = 1,88
C ≈ 2,07 m.s-1
Les moyennes se calculent ainsi :
v
v2
1
20 x1 18x 2 10 x3 2 x 4
N (v )v
1,88 m.s
N v
50
1
20 x1 18x4 10 x9 2 x16
N (v )v 2
, C
N v
50
1
v2
2, 07 m.s
c) Propriété
Calculons la vitesse quadratique moyenne en fonction des moyennes des composantes :
C2
v2
vx2 v y2 vz2
La moyenne de la somme est ici égale à la somme des moyennes :
C2
v2
vx2
v y2
vz2
1
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Les moyennes des carrés des composantes sont égales { cause de l’isotropie de la distribution
des vitesses :
C2
v2
3 vx2
3 v y2
3 vz2
D’où la valeur de ces moyennes :
2
x
v
v
2
y
2
z
v
v2
3
C2
3
Cette propriété servira dans l’expression quantitative de la pression cinétique.
D. Pression cinétique
Reprenons l’interprétation cinétique de la pression : Elle est créée par la force exercée par les
molécules sur la paroi au moment des chocs. Ils sont à la fois très nombreux et irréguliers à
cause de l’agitation moléculaire. La pression observée est donc due à la moyenne au cours du
temps de cette force.
Nous allons utiliser un modèle simpliste pour donner l’idée générale du calcul de la pression
cinétique. Voir dans le complément VI.2 un modèle plus sophistiqué- ou moins simpliste !
1. Notre modèle simpliste
Nous considérons que toutes les molécules du gaz ont la même vitesse v et se déplacent toutes le
long de l’axe des abscisses. Leurs vecteurs-vitesses prennent donc deux valeur v et – v.
paroi de surface S
gaz
Figure 1 : Modèle de gaz comportant uniquement deux vecteurs-vitesses pour les molécules.
Nous allons calculer la pression cinétique pc exercée sur la paroi de surface S. C’est à dire
l’intensité de la force moyenne exercée par les molécules divisée par la surface S :
pc
Fmolécules/paroi
S
(La force est surlignée pour noter la valeur moyenne au cours du temps.)
Pour évaluer cette force nous allons d’abord étudier le choc d’une molécule sur la paroi.
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2. Choc d’une molécule sur la paroi
Au cours de ce choc la molécule rebondit sous l’action de la force exercée par la paroi sur la
molécule. C’est l’action réciproque de cette force qui nous intéresse, c’est-à-dire la force exercée
par la molécule sur la paroi.
a) Interactions réciproques
D’après la loi des interactions réciproques, la force exercée par une molécule sur la paroi est
l’opposée de la force exercée par la paroi sur la molécule :
f molécule/paroi
f paroi/molécule
b) Loi fondamentale de la Dynamique
Dans notre modèle simpliste nous considérons la force exercée par la paroi sur la molécule
comme constante. D’après la loi fondamentale de la Dynamique, cette force est égale au quotient
de la variation de la quantité de mouvement de la molécule par la durée très brève du choc :
f paroi/molécule
pmolécule
tchoc
mvmolécule
tchoc
Nous exprimons la variation de quantité de mouvement d’une molécule en fonction de ses
vitesses avant et après le choc :
pmolécule
mvaprès mvavant
avant le choc
mv mv
2mv
2mvi
après le choc
v
-v
Figure 2 : Les vecteurs-vitesses avant et après le choc.
D’où la force exercée par la paroi sur la molécule durant le choc et son action réciproque :
f paroi/molécule
f molécule/paroi
2mvi
tchoc
2mvi
tchoc
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c) Force moyenne
Mais ce qui nous intéresse ce n’est pas cette force mais sa valeur moyenne sur une durée Δt
pendant laquelle a lieu un grand nombre de chocs. La force f(t) s’exerce pendant la brève durée
du choc, sa moyenne s’exerce pendant la durée Δt. Par définition de la moyenne les deux aires
hachurées sont égales :
f (t ) t
f (t ) tchoc
f(t) f(t)
t
t
Figure 3 : La force f(t) et sa moyenne
Il faut donc diviser la variation de quantité de mouvement par la durée Δt et non par celle d’un
choc :
f molécule/paroi
2mvi
t
Il faut ensuite multiplier cette force moyenne par le nombre de chocs se produisant pendant la
durée Δt.
3. Contribution de l’ensemble des chocs
a) Nombre de chocs
Nous cherchons donc le nombre de chocs effectués entre deux instants de dates t et t + Δt. Les
molécules qui choquent la paroi { l’instant de date t se trouvent sur la paroi à cet instant. Celles
qui choqueront la paroi un peu plus tard se trouvent un peu plus loin. Et les molécules qui
choqueront la paroi { l’instant de date t + Δt se trouvent sur la section S’ située à la distance v Δt
de la paroi.
Donc les molécules qui heurtent la paroi entre les instants de dates t et t + Δt se trouvent à
l’instant de date t dans un cylindre de base S et de hauteur v Δt c’est-à-dire de volume S v Δt.
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distance v
section S'
t
paroi de surface S
gaz
Figure 4 : Le décompte des chocs.
En multipliant ce volume par la densité particulaire, nous obtenons le nombre de molécules
présentes dans ce volume. En divisant par deux, nous avons enfin le nombre de chocs car la
moitié des molécules se dirigent vers la paroi et l’autre moitié en sens inverse :
Nchocs
1
n p Sv t
2
b) Force moyenne exercées par les molécules
La force moyenne exercée par les molécules sur la paroi s’écrit donc :
Fmolécules/paroi
N chocs f molécule/paroi
Fmolécules/paroi
n p Smv 2i
1
2mvi
n p Sv t
2
t
c) Pression cinétique
Et finalement nous obtenons l’expression de la pression, quotient de l’intensité de la force par la
surface :
pc
n p mv 2
Mais notre modèle est simpliste. En fait, il faut remplacer v2 par la moyenne de vx2 :
pc
n p m vx 2
Nous avons montré dans le paragraphe C.2.c. que :
vx2
C2
3
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Finalement, vraiment finalement cette fois, l’expression cinétique de la pression est :
pc
1
n p mC 2
3
d) Commentaires
Nous retrouvons l’influence de la densité particulaire et de la vitesse des molécules. La pression
cinétique est bien proportionnelle à la densité particulaire et fonction croissante de la vitesse.
L’expression permet en plus de préciser que la pression cinétique est proportionnelle au carré
de la vitesse quadratique moyenne.
La comparaison de cette expression à l’équation d’état des gaz parfaits accompagnée de
l’identification de la pression cinétique { la pression mesurée permet d’exprimer la vitesse
quadratique moyenne en fonction de la température.
4. Vitesse quadratique moyenne
a) Son expression
Transformons la pression cinétique en remplaçant la densité particulaire par son expression :
1N
mC 2
3V
1
pcV
NmC 2
3
pc
Comparons cette dernière relation { l’équation d’état des gaz parfaits :
pV
Nk BT
Et identifions la pression cinétique à la pression mesurée. Nous en déduisons la vitesse
quadratique moyenne, M désignant la masse moléculaire molaire du gaz et NA le nombre
d’Avogadro :
C
3k BT
m
3k B N AT
mN A
3RT
M
La vitesse quadratique moyenne dépend de la température et de la masse des molécules :
- Plus la température augmente et plus la vitesse quadratique augmente : nous retrouvons la
notion d’agitation thermique.
- Quand on passe d’un gaz léger à un gaz plus lourd la vitesse quadratique diminue. Les gaz
parfaits ont tous la même équation d’état mais des vitesses quadratiques différentes.
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b) Ordres de grandeurs
Quelques valeurs de la vitesse quadratique moyenne à la température ambiante, 25°C :
Gaz
M
C
H2
2
1,9
He
4
1,4
N2
28
0,52
O2
32
0,48
CO2
44
0,41
g.mol-1
km.s-1
Le calcul numérique se pose en faisant attention aux unités (masse moléculaire molaire en
kilogramme par mole, température en kelvins) :
C
3RT
M
3x8,314x (273 25)
m.s
2.10 3
1
1,9 km.s
1
A la température ambiante les vitesses quadratiques moyennes sont de l’ordre de quelques
centaines à quelques milliers de mètres par seconde.
Connaître la vitesse quadratique moyenne nous permet de calculer l’énergie cinétique des
molécules. Mais ce n’est pas la seule forme d’énergie possédée par un gaz. Nous allons les passer
en revue et introduire la notion d’énergie interne.
E. Energie interne, température cinétique
Un gaz possède différentes formes d’énergie, cinétique et potentielle.
1. Les différentes formes d’énergie
a) Description
Dans le cas le plus général, un flacon de gaz (et le gaz avec lui !) est en mouvement par rapport
au référentiel choisi et possède donc de l’énergie cinétique EK globale. Par exemple si on lâche en
chute libre un flacon de gaz, les molécules acquièrent toutes une énergie cinétique croissante …
jusqu’au désastre final. Il est aussi soumis à des forces extérieures qui lui confèrent une énergie
potentielle Ep extérieure. Dans le même exemple, le gaz possède de l’énergie potentielle de
pesanteur qui décroît au cours de la chute.
A l’intérieur du flacon, chaque molécule du gaz est toujours en mouvement de translation et
possède donc de l’énergie cinétique de translation.
De plus, une molécule monoatomique, He, Ar, Ne … peut éventuellement être en rotation sur
elle-même et possède alors de l’énergie cinétique de rotation. Cette forme d’énergie n’existe pas
pour une molécule monoatomique de gaz parfait puisqu’elle est considérée comme ponctuelle.
(La rotation d’un système se repère grâce au mouvement relatif de deux points du système.)
De même une molécule diatomique, H2, N2, O2, HCl … peut éventuellement être en rotation, mais
aussi en vibration5 et possède alors de l’énergie cinétique de rotation, de l’énergie cinétique de
vibration et de l’énergie potentielle de vibration. Il en est ainsi de toute molécule polyatomique,
CO2, NH3, CH4, C2H6 …, les possibilités, de rotation et de vibration, étant seulement plus
nombreuses.
5
Une molécule diatomique se comporte comme un oscillateur mécanique formé de deux masses et d’un ressort.
Chapitre VI, Les gaz, partie D
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De plus, les molécules d’un gaz réel interagissent entre elles ce qui leur confèrent une énergie
potentielle d’interaction.
(Nous ne nous intéressons ni { l’énergie des électrons dans les atomes, ni à celle des noyaux car
elles n’entreront pas en jeu dans les transformations thermodynamiques que nous étudierons.)
Cette analyse nous permet de distinguer les termes globaux des termes moléculaires.
b) Energie globale, énergie interne
L’énergie E d’un gaz comporte donc sept termes :
- le premier d’énergie cinétique globale, nul lorsque le flacon est immobile dans le référentiel
choisi.
- le deuxième d’énergie potentielle extérieure, nul lorsque le gaz n’est soumis { aucune force
extérieure.
- le troisième est la somme des énergies cinétiques de translation de l’agitation thermique6.
- le quatrième est la somme des énergies cinétiques de vibration de chaque molécule, il est nul
pour les molécules monoatomiques.
- le cinquième est la somme des énergies potentielles de vibration de chaque molécule, il est dû
aux interactions intramoléculaires (entre atomes au sein d’une molécule) et il est donc nul pour
les molécules monoatomiques.
- le sixième est la somme des énergies cinétiques de rotation de chaque molécule. Il est nul pour
les molécules de gaz parfaits monoatomiques.
- et le septième est la somme des énergies potentielles d’interactions intermoléculaires ; il est dû
aux interactions de Van der Waals et est donc nul lorsque le gaz est parfait.
L’énergie du gaz est donc décrite { l’échelle macroscopique par la relation :
E
EK globale
E p extérieure
EK translation
EK vibration
Energie globale
E
Eglobale
E p vibration
EK rotation
E p VanDerWaals
Energie interne
U
L’énergie d’une molécule décrit le gaz { l’échelle microscopique mais la somme de ces énergies le
caractérise { l’échelle macroscopique. Les sommes des énergies moléculaires sont regroupées
dans un terme macroscopique, noté U et appelé énergie interne du gaz.
c) Intérêt de l’énergie interne
Un grand nombre de transformations thermodynamiques se réalisent sans modifier l’énergie
globale d’où l’intérêt de la notion d’énergie interne.
6
Définie, dans un cours de Mécanique, comme l’énergie cinétique dans le référentiel barycentrique du système
formé par les molécules considérées comme rigides.
Chapitre VI, Les gaz, partie D
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Par exemple, considérons un gaz contenu dans un corps de pompe horizontal fermé par un
piston. Et comprimons-le en maintenant le corps de pompe immobile. L’énergie cinétique
globale du gaz ne varie pas. L’énergie potentielle extérieure, due au champ de pesanteur est
constante. Donc seule la notion d’énergie interne est à prendre en compte au cours de la
compression.
Nous allons étudier l’énergie interne des gaz parfaits en commençant par le cas des gaz parfaits
monoatomiques.
2. L’énergie interne d’un gaz parfait monoatomique
a) Son expression
Dans le cas d’un gaz parfait monoatomique l’énergie cinétique de translation de l’agitation
thermique est la seule forme d’énergie moléculaire du gaz. L’énergie interne du gaz parfait
monoatomique UGPM s’écrit donc :
N
U GPM
EK translation
i 1
1 2
mvi
2
En utilisant la définition de la vitesse quadratique moyenne, nous pouvons récrire cette
expression :
U GPM
1
N m v2
2
1
N mC 2
2
Et en y reportant l’expression de la vitesse quadratique moyenne :
U GPM
3
N kBT
2
3
n RT
2
Notons un résultat remarquable : Dans deux gaz parfaits monoatomiques à la même
température, en moyenne les molécules du plus lourd sont plus lentes mais possèdent la même
énergie cinétique que les plus légères.
L’énergie interne d’un gaz parfait monoatomique ne dépend pas de la masse des molécules, elle ne
dépend que de la température. Cette énergie sert à définir la température cinétique.
b) Température cinétique
La définition cinétique de la température se déduit de l’expression de l’énergie interne des gaz
parfaits monoatomiques :
Tc
2
U GPM
3Nk B
2
EK translation
3Nk B
Cette relation est conforme { l’interprétation cinétique de la température : celle-ci est une
fonction croissante de l’énergie cinétique d’agitation thermique des gaz parfaits
monoatomiques.
Chapitre VI, Les gaz, partie D
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Remarque : N’importe quelle fonction croissante de l’énergie cinétique d’agitation thermique
des gaz parfaits monoatomiques aurait pu être choisie. Mais le choix retenu permet d’identifier
la température cinétique Tc et la température absolue T.
Voyons maintenant quelques ordres de grandeur.
c) Energie cinétique moyenne par molécule, énergie interne molaire
L’énergie interne est proportionnelle au nombre de molécules. L’énergie interne par molécule ou
énergie cinétique de translation moyenne par molécule s’écrit :
EK , translation par molécule
3
kBT
2
Pour tous les gaz parfaits monoatomiques, à la température ambiante, 25 °C, cette énergie vaut :
EK , translation par molécule
3
1,38.10
2
23
x
(273 25) 0,6.10
20
J
L’énergie interne est aussi proportionnelle { la quantité de gaz. L’énergie interne molaire s’écrit :
U GPM, m
3
RT
2
Tous les gaz parfaits monoatomiques ont à la même température la même énergie interne
molaire. Par exemple à 25 °C :
U GPM, m
3
8,314x (273 25) J.mol
2
1
3,7 kJ.mol
1
L’énergie interne par molécule décrit le gaz { l’échelle microscopique, l’énergie interne molaire
le fait { l’échelle macroscopique.
Après le gaz parfait monoatomique, passons maintenant aux autres.
3. Les autres gaz parfaits
L’énergie interne d’un gaz parfait polyatomique comporte des termes supplémentaires d’énergie
cinétique (de rotation et de vibration) et potentielle de vibration, tous positifs donc :
U GPP
U GPM
D’où l’inégalité au sens large pour tous les gaz parfaits :
U GP
3
n RT
2
Chapitre VI, Les gaz, partie D
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Par exemple, dans le cas des gaz parfaits diatomiques, aux températures usuelles, on obtient :
U GPD
5
N kBT
2
5
n RT
2
A température ambiante, 25 °C, l’énergie interne molaire des gaz diatomiques vaut :
U GPD, m
5
8,314x 273 25 J.mol
2
1
6, 2 kJ.mol
1
Les gaz parfaits ont tous la même équation d’état mais des énergies internes molaires qui
dépendent de leur atomicité (nombre d’atomes par molécule) et de la température.
Le grand nombre des molécules présentes dans un flacon de gaz rend impossible la connaissance de
toutes leurs positions et vitesses. Mais les notions de densité particulaire et de loi de répartition des
vitesses en permettent une représentation statistique.
Les hypothèses de l’homogénéité de la densité particulaire et de la loi de distribution des vitesses
ainsi que l’isotropie de cette dernière traduisent l’équilibre statistique du gaz.
Ces notions et ces hypothèses conduisent de l’interprétation cinétique qualitative de la pression et
de la température à leurs expressions quantitatives. Elles permettent alors d’exprimer la vitesse
quadratique moyenne des molécules et l’énergie interne du gaz en fonction de la température.
Après ces quelques notions de théorie cinétique des gaz, dans le chapitre suivant, nous
rencontrerons un système thermodynamique, l’atmosphère, soumis à une action extérieure, la
pesanteur terrestre, alors que jusqu’{ présent nous avons étudié des gaz isolés.