8 La théorie cinétique

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La théorie cinétique
8 La théorie cinétique
8.1 Le modèle d’un gaz parfait
La théorie cinétique des gaz s’appuie sur le modèle d’un gaz parfait. Ce modèle repose sur les
hypothèses qui suivent.
1. Un volume (V) de gaz contient un très grand nombre (N) de molécules de masse identique
(m) animées de vitesses aléatoires. À l’équilibre, le gaz remplit tout le volume de façon
homogène.
2. Les molécules n’ayant pas de structure interne, leur énergie cinétique est uniquement une
énergie de translation. (Nous tiendrons compte plus tard du fait qu’une molécule peut vibrer
ou être animée d’un mouvement de rotation.)
3. Les molécules n’interagissent pas, sauf durant de brèves collisions élastiques entre elles
ou avec les parois du récipient contenant le gaz. Cela signie que les forces de répulsion
intenses qui s’exercent sont uniquement de courte portée. La durée de chaque collision est
beaucoup plus courte que l’intervalle de temps séparant les collisions, de sorte que l’énergie
potentielle associée à ces forces est négligeable.
4. La distance moyenne entre les molécules est très supérieure à leur diamètre. Cela signie
qu’elles occupent une fraction négligeable du volume du contenant. (On peut facilement
justier cette quatrième hypothèse en se référant à l’incompressibilité des liquides. Cette
propriété nous indique que les molécules d’un liquide sont aussi proches les unes des autres
qu’il est possible de l’imaginer. Sous une pression d’une atmosphère et à la température
ambiante, la masse volumique d’un gaz est mille fois moindre que celle d’un uide soumis
aux mêmes conditions. Il est dès lors juste de supposer que les molécules d’un gaz sont
éloignées les unes des autres. Aux conditions de température et de pression mentionnées, la
distance moyenne entre les molécules d’un gaz est de l’ordre de dix diamètres atomiques.)
Ces hypothèses sont valables dans la pratique pour les gaz réels maintenus à une faible pression et
dont la température est très supérieure au point de liquéfaction (ébullition). Pour simplier, nous
allons également supposer qu’il n’y a pas de forces extérieures comme la gravité. De plus, on
considère que globalement la distribution des vitesses des molécules ne varie pas dans le temps,
bien que la vitesse de chaque molécule varie à cause des collisions.
8.2 L’interprétation cinétique de la pression
Considérons un gaz parfait conné dans un cube d’arête L
Nous cherchons à calculer la pression exercée sur une face
perpendiculaire à l’axe des x. Pour simplier, nous supposons
d’abord que les molécules n’entrent pas en collision les unes
avec les autres. Nous nous intéressons à une molécule de
masse m dont la vitesse aune composante vx selon l’axe des x.
Lorsqu’elle subit une collision élastique avec la paroi (gure),
les composantes en y et en z de sa vitesse ne changent pas
v v
y y
¢=
alors que la composante en x s’inverse complètement:
v v
x x
¢=-
La variation de la quantité de mouvement de cette
molécule s’écrit
�
�
�

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Dp p p mv mv mv
x x x x x x
=¢- = ¢- =-2
La paroi, quant à elle, subit une impulsion de même module, mais de direction opposée. La molécule
poursuit son mouvement vers la paroi opposée, la frappe dans les mêmes conditions et revient sur
la paroi de droite après un intervalle de temps Dt = 2L/vx’ (Pourquoi les collisions avec les autres
parois n’ont-elles pas d’effet sur cet intervalle de temps ?) Une seule molécule exerce donc une
série d’impulsions sur la paroi. Si on néglige la durée de la collision, ce que permet le modèle du
gaz parfait, il devient aisé d’obtenir le module de la force moyenne subie par la paroi et associée
à l’action d’une molécule (Fmol). Pour ce faire, on considère le module de l’impulsion subie sur
l’intervalle de temps associé à chaque aller-retour de la molécule
Fp
t
mv
L v
mv
L
mol
xx
x
x
= = =
D
D
2
2
2
/
Le module de la force moyenne totale exercée par toutes les molécules est la somme
F F m
Lv
mol ix
i
N
= =
å å
=
2
1
Où N correspond au nombre de molécules présentes dans le cube.
On ne peut pas déterminer
vix
2
å
puisqu’on ne sait pas comment les vitesses des molécules sont
distribuées. On remarque toutefois que la valeur moyenne de
vx
2
sur la totalité des N molécules du
gaz (et non pas la moyenne dans le temps pour une seule molécule) s’écrit
vv
N
x
ix
2
2
=å
Le carré du module de la vitesse de la ième molécule est donné par
v v v v
x ix ix iz
2 2 2 2
= + +
, de sorte que
la moyenne calculée sur l’ensemble des molécules est
v v v v
xxz
2 2 2 2
= + +
Comme les mouvements des molécules sont complètement aléatoires, il n’y a pas de direction
privilégiée; on peut donc s’attendre que
v v v v
x y z
2221
3
2
===
En utilisant
v N v N v
ix x
2 2
2
3
= =
å
dans l’antépénultième équation, on trouve le module de la force
moyenne totale
FNmv
L
=
2
3
et la pression p = F / A, exercée sur la paroi d’aire A = L2, s’écrit
PNmv
V
=
2
3
La vitesse quadratique moyenne des molécules est dénie par
v v
qm =2

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Cette nouvelle façon d’interpréter le mouvement des molécules d’un gaz est reliée à la vitesse
moyenne réelle des molécules. En fonction de la masse volumique l’équation devient
P vqm =1
3
2
r
L’importance de cette équation réside dans le fait que la pression, qui est une variable macroscopique,
est exprimée en fonction de la vitesse quadratique moyenne des molécules, qui est une variable
microscopique. Nous avons établi ce résultat pour une des parois du cube, mais en réalité il
s’applique à toutes les parois d’un récipient de forme quelconque. Bien que les collisions entre
deux molécules conduisent à un échange de quantité de mouvement, la force moyenne exercée sur
une paroi par l’ensemble des molécules ne s’en trouve pas modiée pour autant.
Exemple
Soit huit molécules dont les modules des vitesses sont 2, 4, 5, 5, 8, 9, 12 et 15 m/s. Déterminer: (a)
la valeur moyenne des modules de leurs vitesses ; (b) leur vitesse quadratique moyenne.
8.3 L’interprétation cinétique de la température
En thermodynamique, la notion de température est simplement une valeur indiquée par un
thermomètre. La théorie cinétique va nous pernlettre de mieux comprendre le fondement physique
de cette notion. En écrivant
PV Nmv=
( )
2
3
1
2
2
et en le comparant avec la loi des gaz parfaits, PV=NkT: on constate que l’énergie cinétique
moyenne d’une molécule est
E mv kT
c moy qm
= =
1
2
23
2
On voit donc que, pour un gaz parfait (ou pour un gaz réel maintenu à une faible pression et de
température sufsamment élevée ), la température absolue est une mesure de l’énergie cinétique
moyenne de translation des molécules. C
Exemple
Déterminer: (a) l’énergie cinétique moyenne de translation des molécules dans l’air à 300 K; (b) la
vitesse quadratique moyenne des molécules de O2 et de N2 à cette température.

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8.4 Exercices
8.1 La température à la surface du Soleil est estimée à 5800 K. À cette température, quelle est la
vitesse quadratique moyenne: (a) des atomes d’hydrogène (1 u) ; (b) des atomes d’uranium
(238 u) ?
8.2 La température à l’intérieur du Soleil est d’environ
2 107 ×K
. Déterminez (a) l’énergie cinétique
moyenne des protons; (b) leur vitesse quadratique moyenne.
8.3 La vitesse de libération de l’attraction gravitationnelle terrestre vaut 11,2 km/s. Déterminez à
quelle température les gaz suivants ont une vitesse quadratique moyenne égale à cette valeur:
(a) N2 ; (b) O2; (c) H2.
8.4 Les neutrons produits par ssion de l’uranium ont de très hautes énergies. On utilise un
modérateur (du graphite par exemple) pour les ralentir aux vitesses thermiques caractéristiques
de la température du matériau. Quelle est la vitesse quadratique moyenne d’un neutron
thermique à 300 K ?
8.5 La vitesse quadratique moyenne d’une molécule est de 500 m/s à 300 K. (a) A quelle température
la vitesse quadratique moyenne est-elle deux fois plus grande; (b) quatre fois plus grande ?
8.6 Pour déclencher une réaction de fusion, les deutérons (de masse 2 u) doivent avoir une
température voisine de 109 K. A cette température, quelle est : (a) l’énergie cinétique moyenne;
(b) la vitesse quadratique moyenne ?
8.7 Deux moles d’azote (N2) sont enfermées dans un récipient de 6 L à la pression de 500 kPa.
Trouvez l’énergie cinétique moyenne d’une molécule.
Références
Benson, Mécanique, DeBoeck, 1999
Monard, Chaleur,
Hecht, Physique, DeBoeck, 1999