Chapitre 1 Les Processus Aléatoires Stationnaires et les

Chapitre1.ProcessusAléatoiresStationnairesetProcessusARMA1
Chapitre1
LesProcessusAléatoiresStationnaireset
lesProcessusARMA

Chapitre1.ProcessusAléatoiresStationnairesetProcessusARMA2
Lebutde ce chapitre estd’introduirelanotion deprocessustemporeletplusparticulièrement
laclassedesprocessusARMAquisontparticulièrementutilespourdécrirele comportement
des sériestemporellesunivariées.Cetteprésentationsupposequel’on dé…nisseau préalable
un certain nombredenotionsessentiellesàl’analysedes sériestemporelles,eten particulierla
notion destationnarité.L’étudedes sériestemporelles supposequel’on fasseau préalableun
certain nombrederappelsen probabilité etenstatistiques.
1RappelsdeProbabilité etdeStatistiques
Avantdedé…nirlanotion desérietemporelle, il convientdefaireun certain nombrederap-
pels succincts.Lesrappelsproposésdansle cadrede cettesection portentavant toutsurles
probabilitésetles statistiquesusuelles.Toutefois, lalecturede cesrappelsdoitnécessairement
s’accompagnerd’une étudeplus systématiquedesfondementsprobabilistesdesméthodes statis-
tiques(cf.”MéthodesStatistiques”,PhilippeTassi, Economica1989).
Onconsidèreunevariablestochastiqueréelleouvariablealéatoireréelle(v.a.r.enabrégé)
continue,notée X,dontlaloideprobabilité,pouruneréalisationx;estdé…nieparlafonction
dedensitéfX(x);supposée continue,tellequefX(x)¸0:
8(a;b)2R2P(a·X·b)=Zb
a
fX(x)dx(1.1)
Z1
0
fX(x)dx=1(1.2)
On noteFX(:)lafonctionderépartitionoufonctiondedistributioncumulativeassociée à
X;telleque:
FX(a)´P(X·a)´P(X<a)=Za
¡1
fX(x)dx(1.3)
Nousallonsàprésentsuccessivementproposerdesrappels surlesnotionsdepopulation des
moments,demomentsempiriques,distribution jointe,dedistributionconditionnelle,d’indépen-
dance,de convergence,ainsi quedesrappels surlespropriétésd’un certain nombredelois
usuels.

Chapitre1.ProcessusAléatoiresStationnairesetProcessusARMA3
1.1La population desmomentsthéoriques
Pourunevariablealéatoireréelle(v.a.r.)X,l’espérance etlavariance constituentdeuxmoments
particuliers,maisplusgénéralementil estpossible,souscertaineshypothèses,dedé…nirla
populationdesmomentsetlapopulationdesmomentscentrésdelafaçonsuivante:
De…nition1Pourune variablealéatoireréelle continueX;dedensitéfX(:);la pop-
ulationdesmomentsassociée àtoutordrek2N;estdé…niepar:
E³Xk´=Z1
¡1
xkfX(x)dx(1.4)
La populationdesmomentscentrésassociée àtoutordrek2N,notée ¹k;estdé…nie
par:
¹k=Eh(X¡¹)ki=Z1
¡1
(x¡¹)kfX(x)dx(1.5)
avec ¹=E(X)=R1
¡1xfX(x)dx:
Ainsil’espérance,notée E(X);correspond aumomentd’ordreun (k=1):
E(X)=Z1
¡1
xfX(x)dx=¹
Delamêmefaçon, lavariance,notée V(X);estdé…nieparlemomentcentréd’ordredeux
(k=2):
V(X)=¹2=Eh(X¡¹)2i=Z1
¡1
(x¡¹)2fX(x)dx
Engénéral, lorsquel’onchercheàétablirlapopulation desmomentsd’unetransformée,
linéaireou non,delav.a.r.X;on utiliselapropriétésuivante:
Propriété1.Onconsidèreunev.a.r.transformée,tellequeY=g(X):SoitfX(:)la
fonction dedensitédelav.a.r.X.Lapopulation desmomentetlapop-
ulation desmomentscentrésd’ordrek;delatransformée g(X)sontalors
dé…niesparl’espérancerespectivedestransformées[g(X)]ket£g(X)¡¹Y¤k,
avec¹Y=E[g(x)];8k2N:
En[g(X)]ko=Z1
¡1
[g(x)]kfX(x)dx(1.6)
¹Y
k=En£g(X)¡¹Y¤ko=Z1
¡1£g(x)¡¹Y¤kfX(x)dx(1.7)
En particulier, l’espérancedeYcorrespond à:
E[g(X)] = Z1
¡1
g(x)fX(x)dx(1.8)

Chapitre1.ProcessusAléatoiresStationnairesetProcessusARMA4
Considéronsl’exemplesuivant.SoitYlatransformée linéairedeX;tellequeY=a+bX;
(a;b)2R2:Lemomentd’ordreun deY;estdé…nipar:
E(a+bX)=Z1
¡1
(a+bx)fX(x)dx
=aZ1
¡1
fX(x)dx+bZ1
¡1
xfX(x)dx
=a+bE(X)
Onretrouveainsi lerésultatE(Y)=a+bE(X);selonlequel l’espérance estun opérateur
linéaire.Delamêmefaçon,on peutcalculerlavariance delavariabletransformée Y;notée
V(Y);quicorrespond aumomentcentréd’ordredeux. On note¹;avec ¹2R, l’espérance de
lavariableX:
V(a+bX)=Z1
¡1
[(a+bx)¡(a+b¹)]2fX(x)dx
=b2Z1
¡1
(x¡¹)2fX(x)dx
Onobtient…nalementlarelationstandard:
V(a+bX)=b2V(X)(1.9)
Unautrerésultat,découlantdelapropriété1,estparticulièrementutiledansle cadredes
modèleslinéaires.Ils’agitdu résultatsuivant:
E¡X2¢=V(X)+ [E(X)]2(1.10)
Pourdémontrerce résultat, il su¢tderéécrireE¡X2¢souslaformeEh(X¡¹+¹)2i:Dès
lors, il vient:
E¡X2¢=Eh(X¡¹+¹)2i
=Eh(X¡¹)2+2¹(X¡¹)+¹2i
=Eh(X¡¹)2i+2¹[E(X)¡¹] + ¹2
=V(X)+ [E(X)]2
Dansl’application de certainstests,nousauronsparlasuitebesoin d’introduirelesmoments
centrésd’ordre3et4, quicorrespondentrespectivementàlaSkewness etàlaKurtosis:
Skewness =¹3=Eh(X¡¹)3i(1.11)

Chapitre1.ProcessusAléatoiresStationnairesetProcessusARMA5
Kurtosis=¹4=Eh(X¡¹)4i(1.12)
LaSkewness estunemesuredel’asymétriedela distribution.Pourdesfonctionsdedis-
tributions symétriques,tellesquefX(¹¡x)=fX(¹+x);lavaleurdelaSkewness estnulle,
Su=0:Enrevanche,pourdesfonctionsdedistributionsasymétriques, lavaleurdelaSkewness
estpositive,si lapartie”épaisse”deladistributionsesituedansladirection positive.LaKur-
tosisestunemesurede”l’épaisseur”desqueuesdedistributions.Enrèglegénérale,onexprime
cesdeuxmesuresencontrôlantparunefonction puissance delavariance V(X)=¾2:On dé…nit
ainsideuxnouvellesmesures: lecoe¢cientdeSkewness etledegréd’excèsdeKurtosis.
coe¢cientdeSkewness =¹3
¾3(1.13)
degréd’excèsdeKurtosis=¹4
¾4¡3(1.14)
Cettedernièremesure estfondée surladistribution normale, quiestunedistributionàqueue
”plate”,etquipossèdeun degréd’excèsdeKurtosiségalà 0.
1.2NotionsdeConvergence
Considéronsuneséquence deTv.a.r.fX1;X2; :::; Xi; :::; XTg, indicéespari:Supposonsquel’on
souhaite étudierle comportementdelamoyenne empiriquede cesv.a.r. lorsqueTaugmente.
Onchercheainsiàdéterminerle comportementasymptotiquedelav.a.r.transformée,XT;telle
que:
XT=1
T
T
X
i=1
Xi(1.15)
Pourcela, il convientd’utiliserlanotionde convergences.
1.2.1Convergence en probabilité
Lanotion de convergence en probabilité estdé…niedelafaçonsuivante:
De…nition2(Convergence enProbabilité)SoitfXTg1
T=1uneséquence de variablesaléa-
toires scalaires.Cetteséquence converge enprobabilité versc;8c2C,sipourtoute
valeursarbitraires">0et±>0;ilexisteune valeurN;telle que8T¸N:
P[jXT¡cj>±]<"(1.16)
Alors,on note:
XT
p
¡!c() plimXT=c(1.17)