L`aléatoire disparaît il dans les grands nombres ?
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L’aléatoire disparaît il dans les grands nombres ? Exposé pour les mercredis de la science Laurent Serlet La loi des grands nombres de Kolmogorov La loi des grands nombres de Kolmogorov Pour un grand nombre d’expériences aléatoires indépendantes : fréquence asymptotique d’un événement → probabilité Approche causale Approche causale Ex: lancer 600 fois un dé; nombre de 5 obtenus ≅ 100 Ici proba connue à l’avance par analyse de l’expérience Approche fréquentiste Permet d’estimer une probabilité inconnue Approche fréquentiste Permet d’estimer une probabilité inconnue Sondages Approche fréquentiste Permet d’estimer une probabilité inconnue Sondages Simulations L’exemple historique : aiguille de Buffon (1777) L’exemple historique : aiguille de Buffon (1777) Pour l=d, proba de toucher deux lames=2/π L’exemple historique : aiguille de Buffon (1777) Pour l=d, proba de toucher deux lames=2/π “Application”: estimer π L’exemple historique : aiguille de Buffon (1777) Pour l=d, proba de toucher deux lames=2/π “Application”: estimer π En 1901 Lazzarini lance 3408 fois et trouve π=355/113 =3,1415929 Fiabilité ? Version moderne Version moderne Version moderne S’arrêter au bon moment ? Version moderne S’arrêter au bon moment ? Constatation: la convergence est lente Gains aléatoires Si les gains valent g(1),..,g(n) avec probas p(1),…,p(n) alors la moyenne est m=g(1)p(1)+…+g(n)p(n) Gains aléatoires Si les gains valent g(1),..,g(n) avec probas p(1),…,p(n) alors la moyenne est m=g(1)p(1)+…+g(n)p(n) Pour une bonne machine à sous et pour une mise de 1$, m≈0,9 Pertes (presque) sûres LGN : total des gains sur n parties / n →m Pertes (presque) sûres LGN : total des gains sur n parties / n →m En jouant toutes les 6 secondes, perte par heure ≈ 60 $ Laquelle choisir ? Comment choisir la machine qui a le meilleur gain moyen? Laquelle choisir ? Comment choisir la machine qui a le meilleur gain moyen? Autre contexte : traitements pharmaceutiques Grands nombres dans le texte Fréquences des lettres dans un texte Grands nombres dans le texte Fréquences des lettres dans un texte Décryptage d’un code par subtitution Fréquence des couples Pour les couples de lettres consécutives Fréquence des couples Pour les couples de lettres consécutives Un message codé par substitution par des prisonniers (Diaconnis) Fréquence des couples Pour les couples de lettres consécutives Un message codé par substitution par des prisonniers (Diaconnis) Décodage : trouver la correspondance entre lettres et symboles qui approche le mieux les transitions « réelles » Chercher au hasard? L’espace à explorer est grand Chercher au hasard? L’espace à explorer est grand Utiliser une méthode d’exploration qui utilise le hasard (MCMC) Chercher au hasard? L’espace à explorer est grand Utiliser une méthode d’exploration qui utilise le hasard (MCMC) Fluctuations dans l’estimation d’une probabilité Fluctuations dans l’estimation d’une probabilité Dans un sondage sur n personnes pour estimer la probabilité p, l’erreur est de l’ordre de p(1− p) n Où W suit une loi normale W Quelle confiance en un sondage? Avec proba 95%, -2≤W≤2 Quelle confiance en un sondage? Avec proba 95%, -2≤W≤2 d’où, pour n=1000, erreur sur p≤ 0,03 Quelle confiance en un sondage? Avec proba 95%, -2≤W≤2 d’où, pour n=1000, erreur sur p≤ 0,03 Si le sondage dit « p=48,5% » l’intervalle de confiance est [45,5 ; 51,5 ] Et s’il n’y a que des fluctuations? Et s’il n’y a que des fluctuations? marche aléatoire (1d) : pas de tendance centrale Encore… La même chose en 2d À chaque pas : en haut ou en bas ou à droite ou à gauche, avec proba 1/4 La même chose en 2d À chaque pas : en haut ou en bas ou à droite ou à gauche, avec proba 1/4 Encore… La même en 3d La même en 3d Quel est le comportement à long terme ? Dépend il de la dimension ? Mouvement brownien 1827 : Brown observe ce mouvement Mouvement brownien 1827 : Brown observe ce mouvement 1905 : explication par Einstein La même chose mais par simulation Un modèle de part de marché Un modèle de part de marché Deux technologies concurrentes Airbus/Boeing Un modèle de part de marché Deux technologies concurrentes Airbus/Boeing Achat selon parts de marché existantes Un modèle de part de marché Deux technologies concurrentes Airbus/Boeing Achat selon parts de marché existantes Encore… Encore… Encore… Encore… En favorisant le challenger En favorisant le challenger Les probas favorisent le plus petit constructeur En favorisant le challenger Les probas favorisent le plus petit constructeur Encore… Encore… Les parts de marché s’équilibrent Encore… Les parts de marché s’équilibrent Idem en achat par lots Autres modèles avec interactions Autres modèles avec interactions Marches aléatoires renforcées Autres modèles avec interactions Marches aléatoires renforcées Marches aléatoires auto-évitantes Autres modèles avec interactions Marches aléatoires renforcées Marches aléatoires auto-évitantes
