Ondes de crues

Chapitre 5
Ondes de crues
O. Thual, 8 d´ecembre 2008
Sommaire
1´ Equations de Navier-Stokes `a surface libre . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 ´ Equations de Navier-Stokes bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Conditions aux limites de l’´ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Adimensionnalisation du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 D´erivation des ´equations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Classification des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Mod`eles int´egr´es sur la couche fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 ´ Equations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Dynamique des ondes de crues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Dynamique lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Dynamique non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Ressauts de l’approximation des ondes de crues . . . . . . . . . . . . . 14
1

2CHAPITRE 5. ONDES DE CRUES
NOTATIONS
aAbscisse quelconque dans le plan (x, t) (m)
a(s) Borne pour la formule de Leibnitz (m)
b(s) Borne pour la formule de Leibnitz (m)
c(h) Vitesse d’advection des ondes de crues (m−1)
cnNotation pour c(hn) (m s−1)
cNotation pour √g0h(m s−1)
cnNotation pour √g0hn(m s−1)
CfCoefficient de frottement ()
CCourbe caract´eristique ()
Di
Domaine d’influence des conditions initiales dans le plan
(x, t)
Dl
Domaine d’influence des conditions aux limites dans le plan
(x, t)
dTenseur des taux de d´eformation moyenn´e (s−1)
dNotation pour d(s−1)
div Op´erateur divergence d’un champ de vecteurs (m−1)
div Divergence d’un champ de tenseurs d’ordre deux (m−1)
∂
∂t Op´erateur d´eriv´ee partielle par rapport au temps (s−1)
∂
∂x ,∂ ∂y ,∂ ∂z Op´erateur d´eriv´ee partielle par rapport `a x, y, z (m−1)
d
dt Op´erateur d´eriv´ee particulaire ∂ ∂t +U·grad (s−1)
d
dt D’eriv´ee d’une fonction d´ependant du temps (s−1)
d
dt CD´eriv´ee ∂ ∂t + ˙xC∂ ∂x le long de la courbe C(s −1)
ex, ey, ezVecteurs de la base canonique orthonorm´ee ()
EDP ´ Equation aux d´eriv´ees partielles ()
F(x, z, t) = 0 ´ Equation de la surface libre
F r Nombre de Froude U/√g0h()
[f]x2
x1Notation pour f(x2)−f(x1) ()
[[f]] Notation pour fD−fG()
fG, fDValeurs de f`a gauche et `a droite d’une discontinuit´e ()
gGravit´e (m s−2)
gVecteur gravit´e (m s−2)
g0Notation pour gcos γ(m s−2)
grad Op´erateur gradient d’un champ scalaire (m−1)
h(x, t)´ Epaisseur de la couche fluide (m)
h+(x+, t+)´ Epaisseur adimensionn´ee ()
h0´ Echelle de longueur verticale (m)
hn´ Epaisseur `a l’´equilibre (m)
e
h(x, t) Perturbation de l’´equilibre hn(m)
e
hmAmplitude complexe pour e h(x, t) (m)
e
H±Notation pour e h±hne U/cn(m)
hC(t) Valeur de h(x, t) le long de la courbe C(m)
hG, hDHauteurs `a gauche et `a droite d’un choc (m)
h0Hauteur constante initiale (m)
hfHauteur constante finale (m)
hi(a) Condition initiale (m)
hl(τ) Condition aux limites (m)

3
∆hAmplitude de hauteur (m)
I= sin γAppel´ee “pente” par abus de langage ()
J(x, t) Champ scalaire quelconque
k´ Energie cin´etique turbulente (m2s−2)
ksLongueur de rugosit´e du fond (m)
knNotation pour Unhn/(2 tanh γ) (m2s−1)
KsCoefficient de Strickler (m1/3s−1)
L0´ Echelle des longueurs horizontales (m)
l(t)´ Ecart type d’une gaussienne (m)
l0Longueur constante (m)
O() Ordre 
O(1) Ordre un
pPression en moyenne de Reynolds (Pascal)
pRemplace la notation p(Pascal)
ptPression turbulente p+3
2ρk (Pascal)
p+Pression turbulente adimensionn´ee ()
paPression atmosph´erique (Pascal)
p+
aPression atmosph´erique adimensionn´ee ()
Q0(ρ) D´eriv´ee de Q(ρ) (m s −1)
Rt Nombre de Reynolds turbulent ()
Re Nombre de Reynolds mol´eculaire ()
s=σ−i ω Valeur propre pour la stabilit´e (s−1)
tTemps (s)
t+Temps adimensionn´e ()
tan Tangente ()
tanh Tangente hyperbolique ()
UVecteur vitesse en moyenne de Reynolds (m s−1)
U= (u, v, w) Remplace la notation U(m s−1)
U0Fluctuation turbulente du vecteur vitesse (m s−1)
(u, v, w) Composantes du vecteur vitesse (m s−1)
(u+, v+, w+) Vitesses adimensionn´ees ()
U0Unit´e pour les vitesses horizontales (m s−1)
U(x, t) Vitesse umoyenn´ee dans la direction z(m s−1)
UnVitesse U`a l’´equilibre (m s−1))
e
U(x, t) Perturbation de l’´equilibre Un(m s−1)
e
UmAmplitude complexe pour e U(x, t) (m s−1)
e
U±Notation pour e U±cne h/hn(m s−1)
U·grad Op´erateur gradient suivant U(s−1)
U·grad b´ Egal grad b·U([b] s−1)
U0Vitesse horizontale constante (m s−1)
1DUnidimensionnel
w(x, t) Vitesse verticale (m s−1)
w(t) Vitesse d’un choc (m s−1)
x, y, z Coordonn´ees spatiales (m)
x+, y+, z+Coordonn´ees spatiales adimensionn´ees ()
x= (x, y, z) Vecteur position (m)
xC(t) Trajectoire de la courbe C(m)
xc(t) Trajectoire d’un choc (m)

4CHAPITRE 5. ONDES DE CRUES
x±
c(t) Point juste avant ou juste apr`es le choc (m)
[x1, x2] Intervalle fixe sur l’axe Ox (m)
˙x(t) D´eriv´ee de la fonction x(t) (m)
zCoordonn´ees de la direction normale au plan inclin´e (m)
zlim Borne sup´erieure de la couche limite de fond (m)
αMoyenne du carr´e de usur le carr´e de sa moyenne ()
γAngle du plan inclin´e avec l’horizontale ()
∆ Op´erateur Laplacien (m−2)
Rapport h0/L0()
λValeur propre pour la recherche de caract´eristiques (m s−1)
λ(h) Vitesse 5
3U(h) (m s−1)
ρMasse volumique (kg m−3))
σttenseur des contraintes turbulentes (Pa)
Itenseur identit´e ()
τ∗Contrainte de cisaillement au fond (Pa)
τ+
∗Contrainte de cisaillement au fond (Pa)
τOrdonn´ee quelconque dans le plan (x, t) (s)
τ(x, t) Ordonn´ee τde la caract´eristique passant par (x, t) (s)
νViscosit´e mol´eculaire (m2) s−1))
νtViscosit´e turbulente (m2) s−1))
ΦMS Constante pour la formule de Manning-Strickler ()
ω±Notation pour (Un±cn)k1(s−1)

1.´ EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ` A SURFACE LIBRE 5
Introduction
Les ´ecoulements `a surface libre reviennent souvent dans le champ d’investigation et d’interven-
tion de l’ing´enieur de l’environnement. Tr`es souvent, la profondeur de la couche d’eau est faible
devant l’extension horizontale des ph´enom`enes observ´es. C’est le cas des ´ecoulements dans les
rivi`eres ou dans les canaux, du ruisselement sur le sol ou encore des mouvements `a grande ´echelle
d’un lac.
On se restreint ici au cas des canaux dont la section est un rectangle de largeur miroir Lgrande
devant la profondeur, mais la g´en´eralisation au cas des sections variables peut ˆetre men´ee comme
pour le cas de l’hydraulique stationnaire.
La propagation de bourrelets d’eau ou de crues, que l’on d´esigne sous le terme g´en´erique d’in-
tumescences, est bien d´ecrite par la th´eorie des caract´eristiques appliqu´ees aux ´equations de
Saint-Venant.
Le passage des ´equations de Navier-Stokes turbulentes aux ´equations de Saint-Venant est abord´e
en utilisant la formule de Leibnitz. Une s´erie d’approximations permettant de n´egliger un ou
plusieurs termes des ´equations de Saint-Venant est pr´esent´ee.
Fig. 5.1 – Crue d’une rivi`ere.
Le mod`ele de l’approximation des ondes de crues est ensuite utilis´e pour sa pertinence hydrau-
lique et pour sa simplicit´e dans l’illustration de la m´ethode des caract´eristiques. L’exemple de
l’onde de d´etente permet de bien comprendre la notion d’invariant transport´e `a la vitesse ca-
ract´eristique. Le calcul de la vitesse de propagation d’un choc `a partir de la formulation globale
du mod`ele est explicit´e.
1´ Equations de Navier-Stokes `a surface libre
Nous pr´esentons ici les ´equations de Navier-Stokes bidimensionnelles incompressibles en pr´esence
d’un fond et d’une surface libre. Le choix d’un jeu d’unit´es repr´esentatives des ordres de gran-
deurs pertinents permet d’´ecrire ce mod`ele sous forme adimensionn´ee.