Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI STOM Antennes Jean-Charles Bolomey Arnaud Bournel 2003-2004 0-1 Maîtrise EEA 2003-2004 STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI 0-2 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Table des Matières I. Introduction..................................................................................................................................1 II. Rappels d'optique .........................................................................................................................4 1. Chemin optique ........................................................................................................................4 a. Suite de milieux homogènes ................................................................................................4 b. Généralisation ......................................................................................................................4 c. Différentielle de chemin optique..........................................................................................4 2. Principe de Fermat ...................................................................................................................5 a. Enoncé..................................................................................................................................5 b. Conséquences.......................................................................................................................5 3. Théorème de Malus..................................................................................................................5 a. Surface d'onde ......................................................................................................................5 b. Enoncé du théorème.............................................................................................................5 4. Systèmes focalisants ................................................................................................................6 5. Le principe de Huygens ...........................................................................................................6 III. Bases de l'électromagnétisme ......................................................................................................6 1. Rayonnement des sources en milieu homogène ......................................................................6 2. Les dipôles ...............................................................................................................................8 a. Les dipôles électriques rayonnants ......................................................................................8 b. Extension au cas du dipôle magnétique .............................................................................10 3. Principe d'équivalence ...........................................................................................................10 4. Exemples d'application ..........................................................................................................12 a. Sources équivalentes réparties sur un plan ........................................................................12 b. Ouvertures rayonnantes......................................................................................................13 i) Ouverture rayonnante dans un plan métallique..............................................................13 ii) Ouverture rayonnante constituée par un guide rectangulaire.........................................14 c. Antenne à réflecteur ...........................................................................................................14 i) Description du problème................................................................................................14 ii) Méthode de l'optique physique ......................................................................................15 iii) Méthode de l'ouverture équivalente ...........................................................................15 5. De l'antenne au champ lointain ..............................................................................................15 IV. Champ rayonné à grande distance .............................................................................................16 1. Caractéristique vectorielle de rayonnement ...........................................................................16 2. Puissance rayonnée ................................................................................................................17 3. Directivité et gain...................................................................................................................17 4. Théorème de translation.........................................................................................................18 V. Applications ...............................................................................................................................19 1. Etude des ouvertures rayonnantes..........................................................................................19 a. Expression du champ rayonné ...........................................................................................19 b. Exemples............................................................................................................................20 i) Ouverture rectangulaire uniforme..................................................................................20 2003-2004 0-3 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI ii) Ouverture circulaire uniforme........................................................................................22 iii) Rôle de l'amplitude ; apodisation ...............................................................................23 iv) Rôle de la phase .........................................................................................................24 c. Calcul de la directivité .......................................................................................................24 d. Bilan ...................................................................................................................................25 2. Antennes linéaires ..................................................................................................................25 3. Antennes imprimées...............................................................................................................27 4. Réseaux d'antennes ................................................................................................................27 VI. Antenne à la réception................................................................................................................29 1. Schéma équivalent .................................................................................................................29 a. Position du problème .........................................................................................................29 b. Théorème de réciprocité.....................................................................................................29 c. Application du théorème de réciprocité .............................................................................30 2. Puissance reçue ; aire d'absorption ........................................................................................31 3. Bruit .......................................................................................................................................33 VII. Exemples de liaisons..................................................................................................................33 1. Equation des liaisons en espace libre.....................................................................................33 2. Liaisons avec relais ................................................................................................................34 3. Influence des milieux de propagation ....................................................................................34 a. Ionosphère..........................................................................................................................34 b. Troposphère .......................................................................................................................34 c. Sol et obstacles...................................................................................................................35 i) Ellipsoïdes de Fresnel ....................................................................................................35 ii) Modélisation d'un canal à trajets multiples ....................................................................35 2003-2004 0-4 Maîtrise EEA I. STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Introduction Les antennes constituent une classe de composants un peu particulière : elles assurent la transition entre deux milieux très différents, d'une part un circuit électronique, et d'autre part un milieu de propagation. La différence tient au comportement des ondes dans ces deux milieux. Dans le premier, les ondes se propagent selon des trajets bien définis conçus selon les règles classiques des circuits électroniques. La propagation des signaux peut être entièrement décrite au moyen de grandeurs globales telles que tension, courant, impédance. Au contraire, dans un milieu de propagation, les ondes ne sont guère contraintes que par l'équation de propagation (déduite des équations de Maxwell) munies de conditions aux limites complexes ou mal connues. En tout état de cause, on peut au mieux s'accommoder des propriétés des milieux de propagation, et il est difficile de les modifier. Le résultat est qu'il est nécessaire de décrire les ondes dans les milieux de propagation par la répartition locale du champ électromagnétique. Interface entre le circuit électronique et le milieu de propagation, l'antenne doit être caractérisée vis-à-vis de l'un et de l'autre. En régime d'émission, l'antenne se comporte comme une charge pour le générateur qui l'alimente (cf. Figure 1(a)). Elle peut donc être caractérisée par une simple impédance, appelée impédance d'entrée. En régime de réception, l'antenne placée dans un champ électromagnétique alimente un récepteur. Pour celui-ci, l'antenne se comporte donc comme une générateur équivalent (cf. Figure 1(b)). Grâce au théorème de réciprocité, les éléments du générateur équivalent pourront se déduire des caractéristiques de l'antenne en régime d'émission. Dans le milieu de propagation, c'est par la répartition du champ rayonné que sera caractérisée l'antenne. Très souvent, cette caractérisation est effectuée en "espace libre", en négligeant les possibles obstacles naturels à la propagation. Ces obstacles sont ensuite pris en compte au moyen de termes correctifs au régime de propagation en espace libre. (a) (b) Rg ZR eg Rg eg Réq Ze ZR eéq Figure 1. (a) A l'émission, l'antenne se comporte comme une impédance pour l'émetteur. (b) En réception, l'antenne se comporte comme un générateur équivalent pour le récepteur. L'approche des antennes peut être effectuée de différentes manières : approches fonctionnelle ou structurale. Le lien entre ces deux approches est assuré par une règle d'une grande simplicité. En effet, la fonction d'une antenne est très directement liée à sa directivité, c'est-à-dire à sa faculté de concentrer son rayonnement dans un angle solide étroit. Dans les télécommunications "point-à-point" (faisceaux hertziens, liaisons spatiales, etc...) ou dans les applications de type radar, 2002-2003 1 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI on cherche à obtenir la meilleure directivité possible pour des raisons d'économie de puissance ou de résolution angulaire. Au contraire, en radiodiffusion ou dans les liaisons avec les mobiles, il s'agit "d'éclairer" aussi uniformément que possible une large zone donnée. Liée simplement à la fonction, la directivité l'est également à un paramètre structural simple qui est le rapport dimension D à longueur d'onde λ. La tendance est la suivante : lorsque λ/D → 0 une antenne est directive (cf. Figure 2(a)) ; lorsque D/λ → 0, l'antenne est peu directive (cf. Figure 2(b)). Les premières conviendront donc aux liaisons point-à-point, les secondes aux applications de type radiodiffusion. (a) (b) Figure 2. (a) Antenne très directive (D >> λ) émettant suivant un pinceau étroit, utilisée pour des liaisons point-à-point, comme radar... (b) Antenne peu directive (D << λ) assurant une large couverture, utilisée pour la radiodiffusion, les liaisons avec mobiles... Les premières expériences de liaison utilisant des antennes ont été réalisées par Hertz à la fin du XIXème siècle. Par ces expériences, Hertz apportait une validation expérimentale des équations de Maxwell, alors connues depuis une dizaine d'années. Synthèse géniale de l'électricité (doublet) et de l'optique (réflecteur), son montage préfigurait de façon très réaliste ce que seraient les antennes utilisées en radar et télécommunications 50 ans plus tard. Ensuite, l'évolution des antennes s'est opérée en fonction des progrès technologiques dans le sens des fréquences croissantes, et selon les besoins socio-économiques du moment. On est ainsi passé des antennes filaires du début de la TSF aux antennes quasi-optiques à réflecteur. Relais naturels (ionosphère, troposphère) ou artificiels (répéteurs terrestres, satellites) ont été exploités pour assurer des liaisons à grande distance en dépit de la rotondité de la Terre. L'importance actuelle du domaine des micro-ondes résulte de deux circonstances particulièrement favorables : 1) possibilité de rayonner efficacement avec des antennes de dimensions raisonnables, 2) absence de pertes notables dans les milieux de propagation naturels (air). L'évolution des antennes s'est opérée dans un sens de complexité croissante, au niveau des fonctions et donc des structures, mais aussi à celui des environnements. D'un côté, pour le radar par exemple, il s'agit de pouvoir prendre en compte plusieurs cibles simultanément, réduire voire supprimer la perturbation résultant de brouilleurs, etc... De telles fonctionnalités impliquent le développement d'antennes réseaux sophistiquées. D'un autre côté, c'est l'environnement qui crée la complexité : c'est le cas des liaisons avec mobiles en milieu urbain, ou des réseaux locaux sans fils dans des bureaux, immeubles, etc… ou bien encore, de façon beaucoup plus général celui du couplage en compatibilité électromagnétique. La conception des antennes, dont l'évolution au cours des années est illustrée Figure 3 sur la suivante, est longtemps restée très empirique. L'apparition des ordinateurs vers les années 60 a complètement modifié la situation. Un effort très important a été consacré aux techniques numériques qui s'est traduit par le développement de logiciels performants permettant de prendre en compte des structures d'antennes complexes. L'utilisation de ces logiciels ne dispense pas 2002-2003 2 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI totalement pour autant de s'intéresser aux formulations utilisées. C'est une des raisons pour lesquelles on insiste tout particulièrement sur les principes d'équivalence, point de départ de plusieurs techniques numériques. Une autre raison est que ces principes fournissent un support efficace à la compréhension du fonctionnement d'antennes très diverses. Ils consistent souvent en des extensions à l'électromagnétisme de principes développés initialement en optique. Figure 3. Evolution au cours des années des liaisons hertziennes. Les sigles TGD, MMIC et SAR signifient respectivement "théorie géométrique de la diffraction", " Microwave Monolithic Integrated Circuit" et "Synthetic Aperture Radar". L'étude des antennes commence le plus souvent par le régime d'émission. Le régime de réception, a priori le plus complexe par sa diversité, s'en déduit ensuite par réciprocité. Le problème de l'émission peut être comparé à un problème d'éclairage. L'antenne se ramène alors à une source "lumineuse" qui émet des rayons. Les analogies optiques, sous leurs diverses formes (optique géométrique, optique physique, théorie géométrique de la diffraction) peuvent, de ce fait, fournir un support imagé (rayons, ondes) à la compréhension des phénomènes. Cette vision des antennes, qui a ses limites, justifie les rappels d'optique qui suivent. Une autre vision, plus "électrique", consiste à voir dans une antenne une répartition de sources (charges et courants) variables dans le temps et rayonnant, de ce fait, un champ électromagnétique. Ce point de vue se justifie, sur le plan théorique, par les principes d'équivalence. Le calcul du champ en fonction des sources peut s'obtenir simplement par la méthode des potentiels retardés et aboutit à des expressions intégrales relativement abstraites bien qu'explicites. L'évaluation asymptotique de ces expressions à grande distance conduit à une simplification très significative de la structure du champ rayonné. On retrouve alors pour l'antenne l'image de la source ponctuelle de l'optique qui émet une onde sphérique localement plane. L'intérêt de cette approche électromagnétique est de fournir une relation simple, "en gros" une transformée de Fourier, permettant, soit de calculer le champ quand on connaît les sources (analyse), soit de déterminer les sources susceptibles de rayonner un champ donné (synthèse). 2002-2003 3 Maîtrise EEA II. STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Rappels d'optique 1. Chemin optique a. Suite de milieux homogènes n2 n1 A Figure 4. n3 I2 I1 n4 I3 B Chemin optique quelconque à travers 4 milieux homogènes. Considérons une suite de 4 milieux homogènes d'indices n1, n2, n3 et n4, et un chemin optique entre un point A du milieu 1 et un point B du milieu 4, constitué par une succession de trajectoires rectilignes (AI1), (I1I2), (I2I3) et (I3B) (cf. Figure 4). Le temps τ mis par la lumière pour aller de A en B s'écrit : I I I B AI II (II-1) τ= 1 + 1 2 + 2 3 + 3 c1 c2 c3 c4 où ci est la vitesse de la lumière dans le milieu i. Or on a ci = c/ni où c est la vitesse de la lumière dans le vide. On peut alors mettre τ sous la forme : L AB c où l'on définit la longueur LAB du "chemin optique" considéré entre A à B comme : τ= (II-2) L AB = [AB] = n 1 AI1 + n 2 I1I 2 + n 3 I 2 I 3 + n 4 I 3 B (II-3) b. Généralisation Dans un milieu d'indice n variable, on définit de manière intégrale le chemin optique suivi par la lumière sur une trajectoire C donnée entre les points A et B : B ∫ L AB = n ( x , y, z) ds (II-4) A où ds est un élément infiniment petit de la trajectoire suivie. c. Différentielle de chemin optique Considérons à travers 4 milieux homogènes deux trajectoires infiniment proches, [AI1I2I3B] et [A'I1'I2'I3'B'], rectilignes par morceaux comme celle définie dans la section II.1.a. On a alors : AA' = d A I i I i ' = d I dL = [A' I ' I ' I ' B' ] − [AI I I B] 1 2 3 1 2 3 2002-2003 (II-5) 4 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI où i ∈ {1;2;3;4} et dL est la différentielle de chemin optique à calculer. Si on note e i le vecteur directeur des rayons lumineux dans le milieu i, on a : n j Ii I j = n j e j ⋅ Ii I j On peut alors écrire : (II-6) d(n j I i I j ) = n j d e j ⋅ I i I j + n j e j ⋅ d I i I j = n j e j ⋅ d I i I j (II-7) puisque la différentielle d'un vecteur de norme constante est un vecteur qui lui est perpendiculaire (soit d e j ⊥ e j et donc d e j ⋅ I i I j = 0 ). Compte tenu de II-3 et II-5, on aboutit alors à : dL = − n 1 e1 ⋅ d A + (n 1 e1 − n 2 e 2 ) ⋅ d I1 + (n 2 e 2 − n 3 e 3 ) ⋅ d I 2 + (n 3 e 3 − n 4 e 4 ) ⋅ d I 3 (II-8) + n 4 e 4 ⋅ dB formule que l'on peut généraliser. 2. Principe de Fermat a. Enoncé Le chemin réellement suivi par la lumière pour aller d'un point A à un point B est celui de chemin optique minimal (ou stationnaire selon l'énoncé "moderne") par rapport à tout chemin infiniment voisin. D'un point de vue mathématique, le chemin réellement suivi par la lumière est donc celui vérifiant : dLAB = 0. b. Conséquences Une première conséquence du principe de Fermat est que dans un milieu homogène, la trajectoire d'un rayon est rectiligne. On aboutit de plus au principe de retour inverse de la lumière : le chemin réellement suivi pour aller de A en B est le même que celui suivi de B en A. On peut aller encore plus loin en retrouvant les lois de Descartes, en réflexion comme en transmission, à partir du principe de Fermat. 3. Théorème de Malus a. Surface d'onde Une surface d'onde Σ est constituée par l'ensemble des points M tels que les chemins optiques [SM], où S est une source, sont tous identiques et égaux à L. Le faisceau lumineux issu de cette même source S, ou faisceau "isogène", atteint donc tous les points de Σ après un même temps τ = L/c. Σ est une surface équiphase vis-à-vis de S. Remarquons que dans un milieu homogène, d'après cette définition, les surfaces d'ondes sont des sphères ayant les sources pour centres, et que pour obtenir au moins localement une onde plane (soit un faisceau parallèle) il faut se placer très loin de la source. Dans ce cas, les rayons forment un "tube" dans lequel il y a conservation de la puissance transportée. b. Enoncé du théorème Après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions, les rayons lumineux d'un faisceau isogène sont normaux aux surfaces d'ondes. L'une des applications du théorème de Malus est la construction d'Huygens. 2002-2003 5 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI 4. Systèmes focalisants L'objectif consiste à concentrer le rayonnement issu d'une source primaire par des réflecteurs ou lentilles. L'application des principes de l'optique géométrique à l'étude du rayonnement est cependant généralement limitée par les problèmes de diffraction. Pour pallier cet inconvénient, on peut se placer dans le domaine plus vaste de l'optique physique, ou de la théorie géométrique de la diffraction (ou TGD : extension des classes de rayons géométriques). 5. Le principe de Huygens En étudiant les phénomènes de diffraction, Huygens a suggéré d'introduire des sources fictives réparties sur une surface Σ autour de la source d'origine (cf. Figure 5). Chacune des sources se comporte comme une source ponctuelle rayonnant une onde sphérique, son amplitude étant égale à celle de l'onde créée par la source d'origine à l'emplacement de la source fictive. On peut ainsi calculer l'effet u de la source d'origine au point d'observation P en sommant la contribution des sources équivalentes u réparties en tous les points P' la surface Σ : u (P) = K ∫∫ Σ u (P' )e − jk. PP′ 2 d P' 4 π PP ′ (II-9) où K est une constante de proportionnalité. Une telle représentation intégrale se prête bien à la prise en compte d'un diaphragme situé entre la source S et le point P, par troncature du domaine d'intégration. C'est le point de départ du calcul des phénomènes de diffraction en optique physique. (a) P (b) P P' S S Σ Figure 5. L'effet de la source S sur le point P peut s'obtenir par tracé de rayon (optique géométrique, cf. a) ou par intégration des contributions de sources équivalentes (principe de Huygens, cf. b). III. Bases de l'électromagnétisme Une antenne est équivalente à une répartition de courant. Nous allons rappeler dans cette partie les principes de l'électromagnétisme nécessaires à l'étude du rayonnement due à une telle répartition, en nous plaçant dans le cas d'un régime harmonique. 1. Rayonnement des sources en milieu homogène Les sources, constituées de charges et de lignes de courant, sont localisées dans un domaine D. On suppose que le milieu de propagation est homogène. La loi de conservation des charges et courants s'écrit en régime harmonique sous la forme : r div J + jω ρ = 0 (III-1) r où J est la densité volumique de courant, ρ la densité de charge, et ω leur pulsation d'excitation. Dans un milieu homogène, les équations de Maxwell simplifiées s'écrivent : r r r rot E + jωµ H = 0 (III-2) r r r rot H − jωε E = J 2002-2003 6 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI r r r où E et H représentent les champs électriques et magnétiques rayonnés par J , ε la permittivité diélectrique absolue du milieu et µ sa perméabilité absolue. Les sources présentes en un point P' de D créent en un point P de l'espace un potentiel retardé. Plus précisément, la distribution de charges ρ(P') crée un potentiel retardé scalaire V(P) et la densité r r de courant J (P' ) un potentiel retardé vecteur A(P) , donnés par : 1 e − jk. PP ' 3 = ρ V ( P ) ( P ' ) d P' ε 4π PP' D (III-3) r − jk . PP ' r e A ( P) = µ J ( P' ) d 3 P' 4π PP' D r r 2π r r où k = ω εµ e = e est le vecteur d'onde, e un vecteur unitaire dans la direction de propagation, λ et λ la longueur d'onde. r r On calcule ensuite E et H grâce aux relations suivantes : r r E = −grad V − jωA (III-4) r r r B = µ H = rot A ∫∫∫ ∫∫∫ Remarquons que si PP ' << λ, e − jk . PP ' → 1 et les expressions III-3 tendent vers celles obtenues en électrostatique et magnétostatique. Le terme en e de propagation de l'onde pour aller de P' en P. − jk . PP ' exprime le retard lié au temps r Compte tenu de la relation de continuité III-1, les potentiels retardés V et A sont liés par la relation suivante : r (III-5) div A + jω εµ V = 0 Cette relation constitue la jauge de Lorentz. Enfin, on aboutit après quelques calculs aux relations liant les champs à la répartition de courants : r 1 r 2 + grad div k J ( P ' ) G ( P, P ' ) d 3 P ' = E ( P ) j ωε D (III-6) r r 3 J ( P ' ) G ( P, P ' ) d P ' H(P) = − rot D où la fonction de Green G(P,P') est donnée par : [ ]∫∫∫ ∫∫∫ e − jk. PP ' = G ( PP' ) 4π PP' Afin d'alléger l'écriture des équations, on introduit le produit de convolution, soit : r 1 r k 2 + grad div G * J E ( P ) = jωε r r H(P) = − rot G * J r où le produit de convolution de G par le champ vectoriel F est défini par la relation : r r G*F = G ( PP' ) F(P' ) d 3 P' G ( P, P ' ) = − [ ( ∫∫∫ ) ]( ) (III-7) (III-8) (III-9) D 2002-2003 7 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI 2. Les dipôles a. Les dipôles électriques rayonnants Les dipôles sont des exemples simples de source de rayonnement. Un dipôle électrique est constitué de deux charges ponctuelles +q et -q, séparées d'une distance a. La charge q oscille avec le r temps : q = q 0 e jωt . Ils peuvent également être considérés comme un petit élément de courant J . Afin d'étudier le rayonnement dû à ce dipôle oscillant dans un milieu homogène, on munit l'espace d'un repère orthonormé (Oxyz) tel que O soit au milieu des deux charges ponctuelles et que celles-ci soient situées sur l'axe (Oz) (cf. Figure 6). Etant donné les symétries de ce problème, on se place en coordonnées sphériques. On repère donc le point P d'observation par ses coordonnées r r r sphériques (r,θ,ϕ) dans le repère ( e r , e θ , e ϕ ) et la direction d'observation (OP) par les "cosinus r directeurs" (α,β,γ) du vecteur unitaire e r repérant le point P. On a en fait : α = sinθ cos ϕ β = sinθ sin ϕ γ = cos θ (III-10) r er z P(r,θ,ϕ) r eϕ r eθ r θ +q(t) r J -q(t) x Figure 6. y O ϕ Géométrie du dipôle oscillant. r r Pour des distances d'observation r >> a, le calcul du champ rayonné ( E , H ) s'effectue à l'aide r de la méthode des potentiels retardés. Pour cela, la densité volumique de courant J liée aux variations temporelles de q est donnée par : r r J = J 0 δ( x ) δ( y ) δ( z ) e z (III-11) où J0 = q0aω. En utilisant successivement les relations III-3 et III-4, on obtient après quelques calculs : r r r E = E r e r + E θ e θ (III-12) r r H = H ϕ e ϕ où : 2002-2003 8 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI e − jkr jωµ 2 j 2 + 2 2 J 0 cos θ E r = − r 4π kr k r e − jkr jωµ j 1 (III-13) − 1 + + 2 2 J 0 sin θ E θ = − r 4π kr k r jk j e − jkr = − θ H 1 J sin 0 ϕ 4π r kr r r r Le champ électrique E est donc un champ "méridien" (dans le plan vectoriel méridien ( e r , e θ )) et r r le champ magnétique H un champ "azimutal" (suivant e ϕ ). Intéressons-nous désormais à deux cas extrêmes suivant la valeur de r par rapport à la longueur d'onde λ : • A faible distance, soit pour r << λ, ou kr << 1, les relations III-13 se réduisent au premier ordre en r à : q 0a cos θ E r = − j 2πε r 3 q 0a (III-14) sin θ E θ = − j 3 πε 4 r J0 = H sin θ ϕ 4π r 2 µ représente l'impédance d'onde dans le milieu de rayonnement. où η = ε r On retrouve pour E la dépendance en 1/r3 prévue en électrostatique pour le champ électrique r créé par un dipôle et pour H la dépendance en 1/r2 prévue en magnétostatique par la loi de Biot et Savart. • A grande distance, soit pour r >> λ, ou kr >> 1, les relations III-13 se réduisent au premier ordre en 1/(kr) à : E r = 0 jωµ e − jkr (III-15) J 0 sin θ E θ = 4π r − jkr H = jωεη J sin θ e 0 ϕ 4π r r r L'amplitude complexe de E et H varie donc comme e-jkr/r en fonction de la distance au dipôle. Les surfaces équiphases sont des sphères, il s'agit donc d'une onde sphérique divergente (on aurait ejkr/r pour une onde sphérique convergente). Cette variation en 1/r garantit la conservation de la puissance rayonnée dans des milieux sans pertes. Remarquons de plus que l'on a : r r r E = η H × er (III-16) r r r c'est-à-dire que e r , E et H forment un trièdre direct. Si l'on considère des plans tangents aux surfaces équiphases très proches, l'amplitude de l'onde rayonnée varie peu et on peut dire que l'onde est localement plane. Pour caractériser la répartition dans l'espace du rayonnement, on s'intéresse aux variations de la r r norme E du champ rayonné en fonction des angles θ et ϕ. E ne variant pas avec ϕ, on trace en 2002-2003 9 Maîtrise EEA STOM - Antennes r r représentation polaire les variations de E / E max ENS Cachan - Université Paris XI = sin θ dans un plan méridien ϕ = constante arbitraire, que l'on appelle le diagramme de rayonnement du dipôle à grande distance (cf. Figure 7). On obtient un cercle, dont le segment délimité par l'origine O et le point A de coordonnées sphériques (r = 1,θ = π/2,ϕ = constante) est un diamètre. Dans l'espace, le diagramme de rayonnement est un tore engendré par la rotation du cercle décrit précédemment autour de l'axe (Oz) r r du dipôle (symétrie de révolution de E et H ). z θ O P A u Figure 7. Diagramme de rayonnement du dipôle dans un plan méridien (Ouz). Dans la direction (Ou), normale quelconque à (Oz), le rayonnement est maximal. Il est nul dans la direction (Oz). b. Extension au cas du dipôle magnétique On peut introduire les dipôles magnétiques en se basant sur la dualité des équations de r r r rot E + jωµ H = 0 1 1 Maxwell. Etant donné le problème n°1 posé par le système III-2 r r r , on peut se rot H − jωε E = J 1 1 ramener au problème n°2 : r r r rot E 2 + jωµ H 2 = − M (III-17) r r r rot H 2 − jωε E 2 = 0 r où M représente un courant magnétique, en effectuant les changements suivants : r r E2 H1 → ± η r r E 1 → m η H 2 . r r = η M J Les charges et courants magnétiques n'ont pas de réalité physique, mais peuvent être introduits pour passer d'un problème complexe à un problème plus simple (cf. les "masses magnétiques" en magnétostatique, ou la notion d'équivalence développée par la suite pour les calculs relatifs aux antennes). Par superposition enfin, on peut généraliser au cas de source électriques et magnétiques, ce sera l'objet de la section III.3. 3. Principe d'équivalence Le principe d'équivalence permet de remplacer le problème du rayonnement d'une antenne par celui de sources plus simples susceptibles d'être, soit modélisées de façon approchée, soit 2002-2003 10 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI déterminées de façon numérique. Ces principes, en électromagnétisme, correspondent au principe de Huygens en optique décrit dans la partie II.5. r r Partant d'une antenne créant un champ (E, H ) sur une surface fermée Σ, on peut montrer qu'il r est possible de déterminer des sources équivalentes superficielles électriques J Σ et magnétiques r M Σ qui, réparties sur Σ, créent à l'extérieur de cette surface un champ identique à celui de l'antenne et à l'intérieur de cette antenne un champ nul (cf. Figure 8). Le champ de l'antenne peut donc être calculé par superposition des champs créés par une répartition superficielle de dipôles électriques et magnétiques, soit : r r r 1 2 + grad div G * J + rot G * M = U ( P ) E ( P ) k Σ Σ e jωε (III-18) r r r 1 2 U e (P) H(P) = k + grad div G * J Σ − rot G * M Σ jω µ où la fonction Ue(P) est égale à 1 pour un point P appartenant au volume Ωe extérieur à Σ, et nulle sinon. r r On peut montrer que les densités de sources équivalentes J Σ et M Σ sont reliées au champ rayonné par l'antenne sur la surface Σ par les simples relations suivantes : r r r J Σ = n × H Σ (III-19) r r r = − × M n E Σ Σ r où n est le vecteur normal sortant à Σ au point considéré de cette surface. Seules interviennent les composantes tangentielles du champ sur la surface Σ. Il faut donc choisir une bonne surface (ou un bon plan) en fonction de la géométrie de l'antenne. r r D'après III-19, on pourrait penser qu'il faut systématiquement calculer J Σ et M Σ grâce à la r r relation III-20 pour en déduire E et H . En fait, il existe une relation de compatibilité (le plus r r souvent non explicite) reliant les composantes tangentielles de E et H sur une surface fermée. [ [ ]( ]( Ωe (a) r n Ωi ) ) ( ( r E r H Σ Ωe (b) r r E = 0 r r H = 0 Figure 8. rayonnent le champ 2002-2003 ) ) Ωi r n r JΣ r MΣ Σ (a) Le problème original et (b) le problème équivalent : les sources équivalentes r r (E, H ) à l'extérieur de Σ. r E r H r r J Σ et M Σ 11 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI 4. Exemples d'application a. Sources équivalentes réparties sur un plan Un cas particulier important est celui où les sources équivalentes appartiennent à un plan Σ, le plan z = 0 pour fixer les idées (cf. Figure 9). Ce plan peut généralement être considéré comme une surface enfermant les sources présentes pour z < 0 dans une ½ sphère de rayon infini. (a) (b) r JΣ (c) r r JΣ = 0 r 2 JΣ 0 r MΣ 0 r r MΣ = 0 z 0 r 2 MΣ z z Sources Σ Σ Σ Figure 9. Les sources équivalentes sont réparties dans le plan z = 0 : la contribution des courants électriques est égale à celle des courants magnétiques. On peut raisonner en (a) prenant en compte des deux contributions, (b) en doublant le contribution des seuls courants électriques, (c) ou encore celle des seuls courants magnétiques. Dans ce cas, la relation de compatibilité évoquée précédemment est explicite et les 6 r r composantes de E et H se déduisent de seulement 2 composantes tangentielles des champs sur Σ. Pour des raisons de symétrie, on démontre que les deux contributions des deux produits de r r convolution intervenant dans le calcul de E (ou de H ) dans III-19 sont strictement égales pour z > 0 (soit P ∈ Ωe) : la contribution des courants électriques est égale à celle des courants magnétiques (cf. les relations de dualité et équivalence illustrées par la Figure 10). On peut alors calculer les champs en doublant la contribution de l'un des deux produits de convolution, ce qui r r r r r r revient à supposer que les sources équivalentes sont 2 J Σ , M Σ = 0 , ou bien J Σ = 0 , 2 M Σ . On obtient ainsi l'une des deux relations suivantes : r r 2 E(P) = k 2 + grad div G * J Σ (III-20) jωε ou r r E(P) = 2 rot G * J Σ (III-21) ( [ ( ]( ) ( ) ) ) Dipôle électrique (existe physiquement) Boucle magnétique Equivalence Dualité Dualité Equivalence Dipôle magnétique Figure 10. 2002-2003 Boucle de courant (existe physiquement) Correspondances entre sources élémentaires. 12 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI b. Ouvertures rayonnantes i) Ouverture rayonnante dans un plan métallique Considérons une ligne coaxiale dont l'une des extrémités débouche sur une ouverture circulaire, de même rayon b que le rayon du conducteur extérieur à la ligne, pratiquée dans un plan métallique Π (ou z = 0, cf. Figure 11). Une onde TEM se propage dans la ligne jusqu'à l'ouverture. Si la longueur d'onde λ de l'onde TEM est très grande devant le diamètre 2b de l'ouverture, l'onde est entièrement réfléchie à l'extrémité de la ligne (circuit ouvert…). En revanche, dès que 2b n'est plus négligeable devant λ, une partie de l'onde TEM est émise par l'ouverture. a z b Π Figure 11. Coaxial débouchant sur un plan conducteur Π. On calcule les sources équivalentes dans le plan de l'ouverture en appliquant les formules III-19. Pour un point P' de Π situé à une distance r > b de l'axe (Oz) du coaxial, la composante r r r r r tangentielle du champ E Π est nulle sur Π ( n × E Π = 0 à la surface d'un conducteur parfait, où n est la normale au conducteur), et de même pour r < a où a est le rayon du conducteur intérieur du r r coaxial. On n'a en fait qu'à calculer M Π dans la couronne a ≤ r ≤ b, dans laquelle le champ E Π est r r proche du champ électrique radial E TEM . M Π constitue ainsi une "boucle magnétique épaisse" dans cette couronne. Ce problème est donc équivalent au cas d'un dipôle électrique placé sur l'axe (Oz) du coaxial à proximité de l'ouverture. Pour z > 0, le diagramme de rayonnement est donc un tore à section hémi-circulaire (cf. Figure 12). On peut remarquer qu'il n'y a pas de rayonnement dans la direction de l'axe de la ligne. x O z Π Figure 12. 2002-2003 Diagramme de rayonnement de l'ouverture "à coaxial" dans le plan (Oxz). 13 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI ii) Ouverture rayonnante constituée par un guide rectangulaire Considérons un guide d'onde à section rectangulaire dans lequel le mode fondamental TE10 se propage. Pour calculer le rayonnement émis par l'extrémité ouverte du guide, il suffit d'intégrer dans r l'ouverture le champ électrique E qui est tangentiel à la surface de l'ouverture. On prend donc encore pour sources des courants magnétiques. Le diagramme de rayonnement est constitué par une surface torique et le maximum se situe dans l'axe du guide. On peut modifier (ou corriger) ce diagramme en superposant un autre mode au mode TE10 (mais avec la bonne phase). Ainsi, en r superposant le mode TE30 au mode fondamental, on peut rendre plus uniforme l'amplitude de E dans la plan de sortie du guide (cf. Figure 13). TE10 α TE10 + β TE30 α TE 10 + β TE 30 TE 1 0 TE 3 0 Figure 13. Modification de l'allure du champ électrique dans le plan de sortie du guide : en élargissant le guide à sa sortie on superpose le mode TE30 au mode fondamental TE10. c. Antenne à réflecteur i) Description du problème Le réflecteur est constitué d'une surface découpée dans un paraboloïde de révolution. En son foyer F est disposée une source primaire (cf. Figure 14). On note D le diamètre du réflecteur. Il existe plusieurs façons de définir des sources équivalentes. D F Figure 14. Antenne placée au foyer d'un réflecteur parabolique. En optique, dans le même type de situation, on peut appliquer les résultats de l'optique géométrique car en règle générale D >> λ (0,4 µm ≤ λ ≤ 0,8 µm). Les rayons réfléchis par le 2002-2003 14 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI réflecteur sont donc tous parallèles. En effet, si l'on considère un plan Π dont la normale est l'axe du paraboloïde, on a en tout point M de Π : FA + AM = constante, où A est le projeté de M sur le paraboloïde par rapport à l'axe de ce dernier, d'après la définition d'une parabole. Le plan Π est donc un plan équiphase, et donc d'après le théorème de Malus les rayons réfléchis par le paraboloïde sont tous parallèles à l'axe de celui-ci. Dans le domaine des micro-ondes, ce raisonnement n'est généralement pas valable car D peut être du même ordre de grandeur que λ. Bien que formant un faisceau parallèle à la "sortie" du réflecteur, le faisceau diverge à grande distance. Le problème est dans ce cas moins simple qu'en optique. Deux méthodes peuvent être utilisées pour calculer le rayonnement du réflecteur à l'aide du principe d'équivalence. ii) Méthode de l'optique physique La source primaire crée un champ incident, l'onde parvient sur la surface métallique conductrice du réflecteur et y induit des courants surfaciques. Ceux-ci génèrent l'onde rayonnée globalement par le réflecteur. Etant donné cette description physique du problème, on applique le principe d'équivalence en considérant comme surface Σ celle du réflecteur. Si l'on suppose que ce dernier est parfaitement conducteur, le champ électrique primaire n'a qu'une composante normale à la surface, on a alors r r r M Σ = 0 . En revanche, J Σ est non nul puisque le champ magnétique est tangent au paraboloïde. Le r calcul de J Σ est alors peu simple sauf si D >> λ, c'est-à-dire sous les mêmes hypothèses qu'en optique, puisque dans ce cas on peut considérer l'onde primaire comme plane et assimiler le réflecteur à son plan tangent. iii) Méthode de l'ouverture équivalente On considère comme surface pour le calcul des sources secondaires un plan équiphase Π. Si Π est suffisamment proche du réflecteur, les rayons parvenant sur ce plan sont parallèles (le faisceau est collimaté), le cercle contenant ce faisceau parallèle constituera l'ouverture équivalente, le champ étant nul au delà de celle-ci. On ne calcule alors qu'un seul type de courant pour les sources secondaires dans cette ouverture (cf. la section III.4.a précédente). 5. De l'antenne au champ lointain A partir d'une antenne collimatée, on passe d'un faisceau parallèle sur le plan d'ouverture équivalente à une onde sphérique à grande distance. On distingue trois zones dans cette transition, définies en fonction de la distance à l'antenne r, de la longueur d'onde d'émission λ et de la dimension D caractéristique de l'antenne : • • • D2 , on se situe dans la zone de champ proche, dite aussi zone de Rayleigh. 2λ Le champ émis est dans ce cas quasiment uniforme sur une zone de dimension D correspondant à l'ouverture équivalente (on a un état interférentiel constructif pour les sources secondaires) et nul en dehors (état interférentiel destructif). Pour 0 ≤ r ≤ dR = 2 D2 , on a une zone moyenne ou intermédiaire dite zone de Fresnel, dans λ laquelle l'état d'interférence disparaît progressivement. Pour dR ≤ r ≤ dF = Pour dF ≤ r, on est dans la zone de champ lointain, ou zone de Fraunhoffer. A grande distance, toutes les sources secondaires semblent rayonner en phase. 2002-2003 15 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI IV. Champ rayonné à grande distance 1. Caractéristique vectorielle de rayonnement Une antenne est placée à proximité du point d'origine O d'un repère orthonormé (Oxyz). Le r r r point d'observation P est repéré par le vecteur r = r e r , r étant la distance à l'origine et e r un vecteur unitaire dans la direction de P (cf. Figure 15). Le point d'observation est dit à grande distance lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : r >> λ ou encore kr >> 1, et, r >> max(r') où r' désigne la distance entre l'origine O et un point P' de l'antenne. P z O y x Figure 15. r r r = r er r P' r' Σ Géométrie du problème. On effectue alors le développement limité suivant : r r 1 PP' = r − r '⋅e r + o r et la fonction de Green peut s'écrire au premier ordre : (IV-1) e − jk.PP ' e − jkr − jk rr′.u e ≈− (IV-2) 4π PP' 4π r Par report dans les expressions générales du champ rayonné obtenues par application du principe d'équivalence (cf. III-19), on aboutit à : r r e − jk .r r r 1 (IV-3) F(u ) + o E(r, u ) = r r r r où l'on adopte pour e r la notation plus générale u désignant un vecteur unitaire repérant la r r direction d'observation, et où l'on définit la caractéristique vectorielle de rayonnement F(u ) dans la r direction u comme : r r r r r r r r r jk jk r ′.u ′ ′ (IV-4) F(u ) = − η J ( r ) × u × − M ( r ) e d 2 r′ Σ Σ ∫∫ 4π Σ On obtiendrait également : r r r (IV-5) E = ηH × u r r r Le trièdre (E, H, u ) est direct L'onde rayonnée a ainsi une structure d'onde localement plane. Le cas général est celui d'une onde polarisée elliptiquement (cf. Figure 16). A grande distance, une antenne apparaît ainsi comme une source "ponctuelle" non isotrope émettant une onde sphérique. G ( P, P ' ) = − (( 2002-2003 ) ) 16 Maîtrise EEA STOM - Antennes r H r E r er z O ENS Cachan - Université Paris XI y x Figure 16. Structure du champ rayonné à grande distance. 2. Puissance rayonnée La densité de puissance rayonnée par unité de surface se déduit du vecteur de Poynting : r r r 1 r r r* r 1 2 r r 1 F′ 2 ( u ) r u (IV-6) P ( r , u ) = E ( r, u ) × H ( r , u ) = E ′ (r, u ) u = 2 2η 2η r 2 r r r r où E ′ 2 = E ⋅ E * et F′ 2 = F ⋅ F* . A grande distance, le vecteur de Poynting est réel et correspond à une puissance rayonnée active. Cette puissance rayonnée s'obtient par intégration du flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée S entourant l'antenne considérée : rr Wr = P.n ds (IV-7) ∫∫ S Si l'espace de rayonnement est sans perte, le calcul est indépendant du choix de S, pourvu que S entoure complètement l'antenne. On peut choisir notamment une sphère S∞ de grand rayon dont tous les points pourront être considérés comme étant à grande distance : 1 r r Wr = F′ 2 (u ) dΩ(u ) (IV-8) ∫∫ 2η 4 π r r ds avec dΩ(u ) = 2 1'élément d'angle solide dans la direction u . r 3. Directivité et gain r r La densité σ(u ) de puissance active rayonnée par unité d'angle solide dans la direction u est telle que : r dWr (u ) r 1 2 r (IV-9) F′ ( u ) σ( u ) = r = dΩ ( u ) 2η Pour une antenne isotrope rayonnant la puissance Wr′ , la densité de puissance par unité d'angle solide serait : W r′ σm = (IV-10) 4π r On définit la directivité D(u ) de l'antenne par le rapport : r r r r 4πF′ 2 (u ) σ(u ) 4πσ(u ) (IV-11) D( u ) = = = r 2 r Wr′ σm ∫∫ F′ (u ' ) dΩ(u ' ) 4π On peut réécrire plus concrètement cette dernière relation en introduisant un angle solide effectif ∆Ωeff dans lequel se trouverait concentré le rayonnement de l'antenne, soit : 2002-2003 17 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI r 4π D(u ) = (IV-12) ∆Ω eff De façon comparable, on définit le gain en prenant pour référence la puissance d'alimentation de l'antenne Wa. La puissance rayonnée étant reliée à la puissance d'alimentation par l'intermédiaire du rendement ρ de l'antenne : Wr = ρ Wa (IV-13) r le gain G (u ) est relié à la directivité par : r r G ( u ) = ρ D( u ) (IV-14) On exprime souvent la directivité et le gain en dB : DdB = 10 log D et GdB = 10 log G. G On définit également le gain relatif d'une antenne par rapport à une autre : G12 = 1 est le G2 gain relatif de l'antenne 1 par rapport à l'antenne 2. On prend souvent pour antenne de référence une antenne dipôle demi-onde (HF) ou un cornet (micro-ondes). L'intérêt de ces antennes étalon est leur réalisation aisée (on ne sait pas réaliser pratiquement une antenne isotrope) ainsi que la possibilité de déterminer leur gain par le calcul avec une grande précision. r r Par abus de langage, on désigne souvent les valeurs maximales de D(u ) et G (u ) comme la directivité et le gain d'une antenne. 4. Théorème de translation r Une antenne est translatée du point O1 au point O2 tel que O1O 2 = δ (cf. Figure 17). Soit E 1 et r E 2 les champs rayonnés au même point P pour les deux positions. Si le point P est suffisamment éloigné : r r r r r1 = O1P u 1 (IV-15) r → r2 ≈ r1 − δ ⋅ u r r2 = O 2 P u 2 Dans les deux positions, le champ rayonné à grande distance s'écrit : r r e − jk .ri r r E i (ri , u ) = F(u ) , i = 1, 2 (IV-16) ri On en déduit : rr r r r r E 2 (r2 , u ) = E 1 (r1 , u ) e jk δ⋅u (IV-17) Les deux champs ne diffèrent que par un déphasage qui est compté par le déplacement, rapporté à la longueur d'onde de l'antenne selon la direction d'observation. P r r1 O1 Σ1 r r2 r δ O2 Figure 17. 2002-2003 Σ2 Géométrie pour le théorème de translation. 18 Maîtrise EEA V. STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Applications 1. Etude des ouvertures rayonnantes a. Expression du champ rayonné r eθ x P y ϕ r O Figure 18. θ r eϕ r er z Géométrie associée à une ouverture rayonnante. On considère une ouverture rayonnante située dans le plan z = 0 (cf. Figure 18). Un point courant P' de l'ouverture est repéré par ses coordonnées (x',y') dans z = 0 ou par le vecteur position r r r r ' . Le point d'observation P est repéré par le vecteur position r pointant dans la direction u , ou par ses coordonnées sphériques (r,θ,ϕ). Dans l'ouverture équivalente, le champ électrique tangentiel est défini par sa loi d'illumination et sa polarisation. On suppose ici la polarisation uniforme selon l'axe (Ox) : r r (V-1) E ( x ' , y' ) = E ( x ' , y ' ) e x (on peut étendre ce raisonnement à une polarisation non uniforme). Par report dans l'expression IV-4 de la caractéristique vectorielle de rayonnement, on obtient : r r r r r r jk 2 M Σ ( x ' , y' ) × u e jk r '⋅u dx ' dy' (V-2) F(u ) = − 4π ∫∫ ( ) Σ avec : r r r r M Σ = −e z × E = −E e y et pour le changement d'axes : r r r r e y = sin θ sin ϕ e r + cos θ sin ϕ e θ + cos ϕ e ϕ Soit finalement : r r r F(u ) = F(α, β) e pol r avec α = sin θ cos ϕ et β = sin θ sin ϕ deux des cosinus directeurs de u , de plus : jk F(α, β) = E ( x ′, y ′) e jk (αx′+βy′) dx ′dy ′ 2π ∫∫ et : (V-3) (V-4) (V-5) (V-6) Σ r r r e pol = cos ϕ e θ − cos θ sin ϕ e ϕ 2002-2003 (V-7) 19 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Il apparaît ainsi que la loi d'illumination et la caractéristique de rayonnement sont liées par la transformation de Fourier. b. Exemples i) Ouverture rectangulaire uniforme On considère une ouverture rectangulaire présente dans le plan z = 0 et délimitée par les abscisses x = ±a/2 et les ordonnées y = ±b/2. L'ouverture est éclairée par une loi d'illumination r r uniforme, avec un champ électrique parallèle à (Ox) : E = E 0 e x . On calcule la caractéristique vectorielle de rayonnement selon l'expression V-6 : F(α, β) = jkE 0 2π a 2 b 2 ∫ ∫e jk ( αx ′ +β y′ ) dx ′dy′ (V-8) a b − − 2 2 Cette ouverture est séparable : on peut séparer les variables x' et y' et transformer l'intégrale double en un produit de deux intégrales. La fonction F(α,β) s'écrit alors sous la forme d'un produit de fonctions A(α) et B(β), avec A et B du même type dans le cas présent. Les fonctions A et B sont en fait les transformées de Fourier de fonctions "portes", c'est-à-dire des sinus cardinaux. On a finalement : • • kbβ kaα sin sin jkE 0 2 2 F(α, β) = ab (V-9) kaα kbβ 2π 2 2 Cette fonction est particulièrement simple à tracer selon deux plans (cf. Figure 19) : Le plan tel que β = 0, c'est-à-dire ϕ = 0 ou π. Ce plan est désigné comme le "plan E" car il est parallèle au champ électrique Le plan tel que α = 0, c'est-à-dire ϕ = ±π/2. Ce plan, normal au champ électrique, est désigné comme le "plan H". x b z O a y Figure 19. Plan H r E Plan E Géométrie d'une ouverture rectangulaire, plans E et H. Dans le cas présent, le rayonnement a la même allure générale dans les plans E et H. On a : 2002-2003 20 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Diagramme de rayonnement jkE 0 ka sin θ F(α,0) = 2π ab sin c 2 (V-10) jkE θ kb sin 0 F(0, β) = ab sin c 2π 2 On représente ensuite le diagramme de rayonnement, soit la valeur absolue de la caractéristique vectorielle normalisée F/Fmax, dans les plans E et H. Ce tracé peut être effectué soit en coordonnées polaires (en fonction de θ), soit en coordonnées cartésiennes (en fonction de α ou β, ou ici en fonction de sin θ). Dans ce dernier cas, il faut restreindre le tracé à "l'espace visible", c'est-à-dire -1 ≤ α ≤ 1 ou -1 ≤ β ≤ 1. Un diagramme de rayonnement dans le plan E est tracé sur la Figure 20. 1 a = 10 cm λ = 2 cm 0,8 L 3 dB 0,6 0,4 0,2 0 -1 -0,5 0 0,5 1 sin θ Figure 20. Exemple de diagramme de rayonnement obtenu dans le plan E dans le cas d'une ouverture rectangulaire éclairée par une loi d'illumination uniforme. Dans le plan E, F est maximale pour θ = 0, et s'annule pour sin θ multiple de 2π/(ka) = λ/a. Si a >> λ, le premier zéro de la caractéristique vectorielle de rayonnement est obtenu pour ±θ0 ≈ ±sin θ0 = ±λ/a. Pour obtenir un faisceau très fin, il faut donc une antenne de grande dimension devant la longueur d'onde (a >> λ). Remarquons que si l'antenne est allongée selon une direction (a > b par exemple), l'émission sera plus allongée dans la direction perpendiculaire (lobe principal du rayonnement plus grand dans le plan H que dans le plan E suivant l'exemple précédent). On peut quantifier la largeur du lobe principal d'émission par sa largeur L3 dB à -3 dB de la valeur maximale. Dans le cas d'une ouverture rectangulaire éclairée par une loi d'illumination uniforme, cette largeur est environ égale à λ/a dans le plan E et λ/b dans le plan H (sauf si a ≤ λ ou b ≤ λ…). Enfin, pour éviter des dysfonctionnements (ambiguïtés angulaires pour des applications radars, interférences en télécommunication), il faut également que les niveaux des lobes secondaires soient faibles. On quantifie généralement cela en calculant l'amplitude relative du premier lobe secondaire (situé ici en ±3λ/(2a) ou ±3λ/(2b)) par rapport à celle du lobe principal, c'est-à-dire le niveau Nsecondaire de lobe secondaire. Dans le cas présent, Nsecondaire est égal à -13 dB. La Figure 21 représente l'allure typique du diagramme de rayonnement obtenu dans l'espace en éclairant par une loi uniforme une ouverture carrée (a) ou rectangulaire (b). 2002-2003 21 Maîtrise EEA STOM - Antennes (a) ENS Cachan - Université Paris XI (b) Figure 21. Exemples de diagramme de rayonnement 3D obtenus pour une ouverture carrée (a) et pour une ouverture rectangulaire (b, en échelle logarithmique). ii) Ouverture circulaire uniforme On considère une ouverture rayonnante circulaire de rayon a et centrée en O dans le plan (xOy). La loi d'illumination est constante E(x,y) = E0. En raison de la symétrie de révolution existant par rapport à l'axe (Oz), la caractéristique de rayonnement est la même quel que soit ϕ, elle ne dépend que de α = β = sin θ. Après quelques calculs, on obtient : ka sin θ J1 jkE 0 2 2 F(sin θ) = 2 πa ka sin θ 2π 2 où J1 est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1, elle est définie par : u u J1 (u ) = z J 0 (z) dz 0 2π 1 jz cos φ dz J 0 (z) = 2πj e 0 ∫ (V-11) (V-12) ∫ λ (pour λ suffisamment faible a λ par rapport à a), et la largeur à 3 dB de ce lobe est environ égale à 1,22 . Le niveau de lobe a secondaire est de -17 dB. La Figure 22 représente l'allure typique du diagramme de rayonnement dans l'espace d'une ouverture circulaire éclairée par une loi d'illumination uniforme. Le lobe principal du rayonnement est délimité par sin θ = ±1,22 2002-2003 22 Maîtrise EEA Figure 22. STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Diagramme de rayonnement 3D obtenus pour une ouverture circulaire (en échelle logarithmique). iii) Rôle de l'amplitude ; apodisation Dans les deux cas précédents, la largeur à -3 dB du lobe principal de rayonnement est de l'ordre de λ/a, où a est la dimension caractéristique de l'ouverture, et le niveau de lobe secondaire est supérieur à -20 dB. Ce niveau de lobe secondaire est incompatible avec bon nombre d'utilisations (tours hertziennes, radars). L'idéal serait d'obtenir une caractéristique vectorielle de rayonnement rectangulaire, c'est-à-dire réaliser une loi d'illumination de l'antenne en sinus cardinal, ce qui nécessiterait une antenne infinie et des alternances de phase. Cela étant difficile à réaliser en pratique, on élargit les exigences en cherchant à obtenir une décroissance en gaussienne de la loi d'illumination quand on s'éloigne du centre de l'ouverture, gaussienne tronquée puisque a est fini. La caractéristique vectorielle de rayonnement correspond alors à la transformée de Fourier d'une gaussienne multipliée par une porte, c'est-à-dire au produit de convolution d'une autre gaussienne (transformée de Fourier de la première) par un sinus cardinal. Pour diminuer les niveaux des lobes secondaires apparaissant alors, il faut augmenter la taille de l'ouverture, mais ce au prix d'une ouverture angulaire du rayonnement plus grande. Le gain de l'antenne est alors réduit par rapport au cas d'une loi d'illumination uniforme, et un compromis doit être réalisé entre diminution du gain et diminution des lobes secondaires. Dans le cas d'une loi d'illumination quelconque, on définit un facteur de gain g comme le rapport entre le gain de l'ouverture quand elle est éclairée par cette loi et le gain obtenu dans le cas d'une loi d'illumination uniforme. Le tableau suivant résume les caractéristiques obtenues pour des ouvertures rectangulaires éclairées par des lois d'illumination diverses. Loi d'illumination g L3 dB (°) Nsecondaire Uniforme 1 57 λ/a -13 dB Triangulaire 0,75 61 λ/a -26 dB Cosinus 0,81 68 λ/a -23 dB cos2() 0,67 82 λ/a -32 dB 1/3 + 2 cos2()/3 0,89 61 λ/a -26 dB 2002-2003 23 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI D'après ces résultats, la loi la plus satisfaisante est celle en 1/3 + 2 cos2()/3, puisque c'est celle qui réalise le meilleur compromis entre les 3 paramètres indiqués. Elle est cependant difficile à réaliser. Grâce à la source primaire (dimensions, modes d'excitation, etc…), on peut accentuer l'apodisation "naturelle" introduite par l'optique géométrique. Afin d'augmenter la directivité, on peut utiliser un réseau d'antennes (cf. V.4) et effectuer un ajustement local de la loi d'illumination sur l'ouverture par une alimentation individuelle des éléments du réseau. iv) Rôle de la phase Il peut être bénéfique ou perturbant. Dans tous les cas précédents, on a considéré que le plan de l'ouverture était une surface équiphase. Ce n'est pas le cas si l'on s'intéresse par exemple à l'émission d'une onde par un cornet "alimenté" par un guide rectangulaire. En effet, le centre du cornet correspond à une avance de phase par rapport à ses bords. Ce problème peut être résolu en "freinant" l'onde avec un diélectrique formant une lentille de géométrie adéquate (cf. section II.4). c. Calcul de la directivité Dans la zone de champ proche à l'antenne, l'onde rayonnée est uniforme. La puissance Wr′ rayonnée par une antenne isotrope de surface Σ éclairée par la même loi d'illumination que l'ouverture considérée s'obtient facilement par intégration du flux du vecteur de Poynting dans le plan même de l'ouverture : 1 Wr′ = E ′ 2 ( x ′, y ′) dx ′dy ′ (V-13) 2η ∫∫ Σ En reportant V-6 et V-13 dans IV-11, on obtient : 2 D(α, β) = E( x ′, y ′) e ∫∫ 4π Σ 2 λ ∫∫ jk ( αx′+β y′) dx ′dy′ (V-14) E ′ 2 ( x ′, y′) dx ′dy′ Σ Or, d'après l'inégalité de Schwartz, on a : 2 ∫∫ E( x ′, y ′) e jk (αx′+βy′) dx ′dy ′ ≤ Σ ∫∫ 2 E( x ′, y ′) dx ′dy ′ Σ c'est-à-dire : ∫∫ e jk ( αx′+βy′) 2 dx ′dy ′ (V-15) Σ 2 ∫∫ E(x ′, y′) e Σ jk ( αx ′+βy′) dx ′dy ′ ≤ Σ ∫∫ E′ (x ′, y′) dx ′dy′ 2 (V-16) Σ où Σ représente l'aire de l'ouverture équivalente. Il en résulte : 4π Σ D(α, β) ≤ 2 = D max (V-17) λ L'égalité est obtenue pour une loi d'illumination uniforme et dans la direction de l'axe (Oz), soit α = 0 et β = 0. Dans la pratique, on a D < Dmax, on pose alors : (V-18) D = g Dmax 2002-2003 24 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI où g représente le facteur de gain de l'ouverture. Le facteur de gain dépend de la 1oi d'illumination, comme nous l'avons vu dans la section V.1.b.iii) précédente. d. Bilan • On peut retenir les résultats suivants : la largeur du lobe principal est toujours de l'ordre de λ/D, où D est la dimension caractéristique de l'ouverture, quelles que soient la forme de l'ouverture et la loi d'illumination, • le niveau des lobes secondaires dépend très fortement de la loi d'amplitude "éclairant" l'ouverture, il est environ égal à -13 dB pour une loi uniforme et peut être réduit à typiquement -20 dB en ajustant la loi d'illumination sans perte de gain notable, • le gain maximal G M = d'illumination uniforme. 4π Σ , où Σ est la surface de l'ouverture, est obtenu pour une loi λ2 2. Antennes linéaires Le rayonnement des antennes linéaires peut être calculé en assimilant une portion élémentaire dl de la ligne de courant à un dipôle électrique élémentaire, puis en appliquant le théorème de translation pour calculer l'onde générée à grande distance par l'ensemble de la ligne. Voyons par exemple le cas d'une antenne "1/2 onde". On considère une antenne filaire 1/2 onde, de longueur l, centrée en O et parallèle à l’axe (Oz) (cf. Figure 23), parcourue par un courant alternatif de fréquence f. La longueur l est égale à la demi-longueur d'onde λ/2 = c/(2f) où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Le point M d'observation est situé à grande distance de l'antenne. Soit I(z,t) = I(z) cos(2πft) le courant circulant sur le fil, ses variations le long de l'antenne sont données par : l I(z) = I 0 sin k − z 2 où k = 2π/λ. (V-19) z M(r,θ,ϕ) l/2 I(z) O y x -l/2 Figure 23. 2002-2003 Antenne linéaire 25 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI r On calcule le champ rayonné par l'antenne E(M ) en considérant qu'il correspond à la r superposition des champs dE dip (M ) produits par l'ensemble des dipôles élémentaires de longueur dz, centrés en z et parcourus par les courants I(z). Ces dipôles pouvant se déduire par translation le long de (Oz) du dipôle centré en O, on a, en utilisant les résultats de la section III.2.a et le théorème de translation : r E(M) = r d E ∫ dip (M) = antenne l/2 ω j e − jkr r jkz cos θ I ( z ) dz sin θ eθ e ∫ 4πε 0 2 r c −l / 2 (V-20) où ω = 2πf. Après quelques calculs, on obtient : π 2 cos cos θ − jkr r ω j 2 e eθ I 0l 2 π sin θ r 4πε 0 c La caractéristique vectorielle de rayonnement est alors donnée par : r E(M) = (V-21) π 2 cos cos θ r ω j 2 er (V-22) F(θ) = I 0l 2 θ π sin θ 4πε 0 c Le diagramme de rayonnement de l'antenne 1/2 onde est tracé en trait plein dans un plan méridien (Ouz) sur la Figure 24. Il est comparé au diagramme de rayonnement du dipôle oscillant (cercle en tirets-traits). Les deux diagrammes de rayonnement sont assez proches, si ce n'est que celui de l'antenne 1/2 onde est légèrement plus "aplati" : l'angle d'ouverture ∆θ1/2 à -3 dB de l'antenne 1/2 onde est égal à 78°, alors que celui ∆θdip du dipôle oscillant est égal à 90°. En conséquence, la directivité de l'antenne 1/2 onde dans la direction θ = π/2 du maximum de rayonnement est un peu plus importante (2,15 dB) que celle du dipôle (1,76 dB). Notons également que si l'on s'était intéressé à une antenne "onde entière" (l = λ), on aurait trouvé un diagramme de rayonnement encore plus aplati, avec une ouverture à -3 dB égale à seulement 48° et une directivité dans la direction θ = π/2 égale à 3,94 dB. z Dipôle oscillant ½ onde ∆θdip ∆θ1/2 O 1/ 2 1 u Figure 24. Diagrammes de rayonnement de l'antenne 1/2 onde (courbe en trait plein) et du dipôle oscillant (courbe en traits-tirets) dans un plan méridien (Ouz). Le calcul de la puissance Wr rayonnée à grande distance de l'antenne (flux du vecteur de Poynting à travers une sphère de rayon r centrée en O, cf. l'équation IV-7) conduit également à la notion importante de résistance de rayonnement. Tous calculs faits, on a en effet : 2002-2003 26 Maîtrise EEA Wr = où η0 = STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI 1 2,438 2 η0 I 0 2π 4 (V-23) µ0 = 120π Ω est l'impédance d'onde dans le vide. Le courant I variant sinusoïdalement ε0 avec le temps, on pose alors Wr = RrI02/2 où d'après ce qui précède Rr = 2,438η0/(4π) = 73,2 Ω. Cette résistance constitue la partie active de l'impédance d'entrée d'une antenne demi onde. Elle s'adapte facilement par rapport à une ligne d'impédance caractéristique 75 Ω. Notons que pour un dipôle oscillant de longueur a, on obtient de la même façon : 2 2π a η0 (V-24) 3 λ Enfin, dans un cas plus général, on peut calculer la partie réelle Re et la partie imaginaire Xe de l'impédance d'entrée de dipôles "fins" constitués par deux cylindres de hauteur H et de rayon a. La Figure 25 présente les variations de Re (a) et Xe (b) en fonction de 2H/λ pour différentes valeurs de H/a. On remarque que la réactance Xe est non nulle, ce qui complique l'adaptation d'impédance, sauf dans les situations de résonance (2H proche de λ/2) et d'anti-résonance (2H entre λ/2 et λ). Rr = (b) (a) Figure 25. Résistance (a) et réactance (b) d'entrée d'antennes de type dipôle fin en fonction de leur géométrie (hauteur 2H et rayon a) et de la longueur d'onde λ d'émission. 3. Antennes imprimées On utilise le principe d'équivalence pour quantifier l'influence des champs de fuite : ils induisent des dipôles magnétiques. 4. Réseaux d'antennes Un réseau d'antennes est un ensemble d'antennes identiques qui se déduisent les unes des autres par translation. Ce réseau est régulier ou non. Chaque antenne peut être connectée à un générateur, les réseaux de générateurs étant uniformes ou non. Le nombre total d'antennes constituant le réseau est en général grand devant 1. Plaçons nous dans le cas particulier d'un réseau régulier à N antennes dans lequel les générateurs délivrent des ondes de même amplitude, mais avec un déphasage ψ constant quand on passe d'un générateur au suivant. On peut alors calculer le champ total rayonné grâce au théorème de translation (cf. la section IV.4) : r r E t (r, u ) = N r r ∑ E 0 (r, u ) e j(n−1)φ (V-25) n =1 r r où E 0 (r, u ) est le champ rayonné par une seule antenne placée à la position de la première, et r r r φ = k δ ⋅ e r − ψ , δ étant le vecteur de translation permettant de passer d'une antenne à la suivante. 2002-2003 27 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI On reconnaît dans l'expression V-19 une somme finie d'une série géométrique, on aboutit alors après quelques calculs simples à : Nφ sin r r r r 2 E t (r, u ) = E 0 (r, u ) (V-26) φ sin 2 Le champ émis par le réseau est donc N fois le champ d'un élément du réseau multiplié par le "facteur réseau" : Nφ sin 2 R N (φ) = (V-27) φ N sin 2 La valeur absolue MN(ϕ) de ce facteur réseau est une fonction paire et 2π-périodique, prenant sa valeur maximale de 1 pour φ multiple de 2π (cf. Figure 26). Autour de φ = 2mπ, où m est un entier relatif, s'étend un lobe principal de demi largeur φ0 = π/N et des lobes secondaires dont l'amplitude s'atténue rapidement à mesure que l'on s'éloigne de part et d'autre des maxima. r r Supposons que δ = δ e x . Dans ce cas, φ = kδ cos ϕ sin θ - ψ. Pour ψ = 0 et dans le plan d'observation ϕ = 0, le domaine visible s'étend alors entre φ = -kδ et φ = kδ. Suivant la valeur de kδ par rapport à π, on voit apparaître un ou plusieurs lobes principaux d'émission, dont la demi largeur r r en φ est inférieure à φ0 = kδ sin θ0 = π/N (la forme du champ résultant dépend aussi de E 0 (r, e r ) ). Ce ou ces lobes principaux correspondent à des directions dans lesquelles les antennes sont en phase. Comme N >> 1, on peut faire l'approximation sin θ0 ≈ θ0, et donc θ0 est environ égal à λ/(Nδ) = λ/D, où D est la longueur totale du réseau. La largeur des lobes principaux du rayonnement dans l'espace réel est donc d'autant plus faible que le réseau est long. Si l'on fait varier ψ, le domaine visible est décalé vis-à-vis des valeurs de φ. Les lobes principaux pointent donc vers des directions réglables par ψ. On peut alors utiliser le réseau pour effectuer un balayage électronique de l'espace (radars de veille ou de poursuite). Cependant, suivant la nature des éléments rayonnants du réseau, des effets d'aveuglement sont possibles ce qui limite l'angle d'utilisation du balayage électronique. 1 R 10 ( φ ) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -2 π 0 2π φ (rd) Figure 26. 2002-2003 Valeur absolue du facteur réseau en fonction de l'angle φ pour N = 10. 28 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI VI. Antenne à la réception 1. Schéma équivalent a. Position du problème L'objectif est de capter le maximum de puissance et de le transmettre au circuit récepteur. Conceptuellement, ce sont les mêmes antennes qui assurent l'émission et la réception. Elles sont reliées aux circuits spécifiques d'émission ou de réception par des duplexeurs (circulateurs…). Cette "bivalence" des antennes est liée au principe de réciprocité développé dans la section suivante : si on connaît les caractéristiques d'une antenne en émission, on peut prédire son comportement en réception. Nous démontrerons ce principe dans les sections suivantes dans le cas d'une onde incidente plane (une onde arbitraire se décomposant en ondes planes…). En pratique, des courants sont excités par l'onde incidente dans l'antenne de réception. Ces courants sont transmis au récepteur et/ou induisent un rayonnement qui modifie le champ incident. L'antenne et l'onde incidente sont modélisées électriquement par une force électromotrice Uéq et une impédance interne Zéq. Ce générateur alimente l'impédance d'entrée ZR du circuit récepteur. b. Théorème de réciprocité Soit deux domaines D1 et D2 délimités respectivement par les surfaces S1 et S2. Ces domaines r r contiennent des sources J1 et J 2 . On note D le volume extérieur à S1 et S2. On suppose D homogène et qu'aucune source n'y est présente. Considérons deux états : r r r • un premier état A tel que D1 contient J1 et que les sources de D2 sont éteintes ( J 2 = 0 ), r r • un deuxième état B tel que cette fois-ci les antennes contenues dans D1 sont éteintes ( J1 = 0 ) et r r celles dans D2 actives ( J 2 ≠ 0 ). Pour ces deux configurations, les champs générés par les sources dans le domaine D vérifient : r r r rot E I + jωµ H I = 0 (VI-1) r r r rot H I − jωε E I = 0 où I = A ou B. r On définit un vecteur W tel que : r r r r r W = EA × HB − EB × HA (VI-2) La divergence de ce vecteur s'écrit sous la forme : r r r r r r r r r div W = rot E A ⋅ H B − E A ⋅ rot H B − rot E B ⋅ H A + E B ⋅ rot H A (VI-3) et compte tenu de VI-1, on obtient finalement : r (VI-4) div W = 0 D'après la formule d'Ostrogradsky, on a de plus : r r r div W dV = W ⋅ n dS (VI-5) ∫∫∫ D ∫∫ S1 ∪S2 r où n est un vecteur normal à l'élément surfacique dS de S1 ∪ S2, sortant par rapport à cette surface. En utilisant les deux relations précédentes, on aboutit à la relation de réciprocité : r r r r r E A × H B − E B × H A ⋅ n dS = 0 (VI-6) ∫∫ ( ) S1 ∪S2 2002-2003 29 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI c. Application du théorème de réciprocité On va appliquer le raisonnement précédent à un dipôle électrique de longueur s et une antenne "filaire" dont on cherche à déterminer les caractéristiques en réception (générateur équivalent). Cette antenne est constituée par deux cylindres de rayon a séparés d'une distance h << λ. Entre ces deux cylindres, on connecte soit le circuit d'émission, soit celui de réception, supposés présenter la même impédance. S1 et S2 sont deux surfaces contenant respectivement le dipôle et l'antenne (les cylindres et l'espace entre eux) et proches de ces composants. L'antenne est distante de r du dipôle et orientée dans la direction θ = π/2 par rapport à ce dernier. Le dipôle est vu depuis l'antenne dans r la direction u e . r Au champ électrique E , on peut associer la différence de potentiel V aux bornes du circuit r électrique utilisé : V = -E.h. Au champ magnétique H , on peut associer grâce au théorème d'Ampère le courant I parcourant l'une ou l'autre des antennes filaires : I = 2π.a.H. Les tensions et courants seront désignés par la suite sous la forme (Vi1,Ii1) pour le dipôle, et (Vi2,Ii2) pour l'antenne filaire, où i = A ou B. Dans l'état A, le dipôle parcouru par le courant IA1 émet et crée un champ r jωµ e − jkr r EA = I A1 s e θ au niveau de l'antenne réceptrice. Dans l'état B, l'antenne émet et crée au r 4π r e − jkr s aux bornes de ce niveau du dipôle une différence de potentiel VB1 = − E B s = Fe (u e ) r r r dernier, où Fe (u e ) est la caractéristique vectorielle de rayonnement en émission de l'antenne filaire. Dans cet état, on a de plus pour le courant d'entrée du dipôle IB1 = 0 puisque le dipôle est en circuit ouvert (source éteinte). D'après la relation de réciprocité, on a : r r r r r r r r r r E A × H B − E B × H A ⋅ n dS = − E A × H B − E B × H A ⋅ n dS (VI-7) ∫∫ ( ) S2 ∫∫ ( S1 soit encore : VA2IB2 - V2IA2 = -(VA1IB1 - VB1IA1) = VB1IA1 On a donc : VA 2 = ) VB2 V I I A 2 + B1 A1 I B2 I B2 (VI-8) (VI-9) soit encore : r e − jkr 4π r E A jkr Fe (u e ) s e VB2 r jωµs VA 2 = I A2 + (VI-10) I B2 I B2 d'où finalement après simplifications : r r r Fe (u e ) ⋅ E A 4π VB2 VA 2 = I A2 + (VI-11) I B2 I B2 jη k Le premier terme de l'expression précédente de VA2 correspond au terme ZéqIA2 donné par le schéma équivalent en réception de l'antenne filaire. L'impédance équivalente en réception Zéq est donc égale à VB2/IB2, c'est-à-dire à l'impédance Ze de l'antenne en émission, elle est donc indépendante de l'onde incidente en réception. La force électromotrice équivalente Uéq en réception est donnée par le second terme : 2002-2003 30 Maîtrise EEA U éq STOM - Antennes r r r 4π Fe (u e ) ⋅ E A = jη k I B2 ENS Cachan - Université Paris XI (VI-12) r elle varie donc linéairement avec le champ incident E A et avec la caractéristique vectorielle réduite r r r r r r Fe (u e ) Fr (u e ) = de l'antenne quand elle est en régime d'émission ( Fe (u e ) est proportionnel à IB2, I B2 Uéq est donc indépendant de IB2). Le schéma équivalent de l'antenne en réception ne fait intervenir que les éléments qui caractérisent l'antenne en émission. Le raisonnement fait ici pour aboutir à ce résultat peut être généralisé à d'autres types d'antennes réceptrices. 2. Puissance reçue ; aire d'absorption Posons ZR = RR + jXR. La puissance active fournie par l'antenne réceptrice au circuit récepteur est donnée par : 2 RR 1 U éq (VI-13) 2 2 Z +Z e R soit encore d'après ce qui précède : r r r 2 1 16π 2 E inc ⋅ Fr (u inc ) (VI-14) WR = R R 2 2 2 2 η k Ze + ZR r r où E inc est le champ électrique incident, Fr la caractéristique vectorielle réduite de l'antenne en r émission, et u inc repère la direction d'incidence. r La puissance incidente par unité de surface est égale à la norme du vecteur de Poynting Pinc , on a d'après IV-6 : r 1 ' 2r Pinc = E inc u inc (VI-15) 2η r r * ' 2 =E où E inc ⋅ E inc inc . On définit alors le facteur ρpol : r r r 2 E inc ⋅ Fr (u inc ) r (VI-16) ρ pol (u inc ) = r 2 r 2 r E inc Fr (u inc ) WR = On a d'après cette définition : WR = 16π 2 r r 2 Fr (u inc ) r 1 R R 2 2 ρ pol (u inc ) 2 η k Ze + Z R 2 2ηPinc (VI-17) Quand l'antenne est en régime d'émission, la puissance Wr′ rayonnée sur une surface S proche de l'antenne est égale à celle fournie par le générateur, soit la source du courant IB : 1 Wr′ = R e I B 2 (VI-18) 2 où Re est la partie réelle de Ze. Si l'on introduit cette expression dans celle du gain de l'antenne (IV-11 et IV-14, en prenant un rendement égal à 1), on obtient : 2002-2003 31 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI r r r r 1 4πF′ 2 (u inc ) 4π F′ 2 (u inc ) 4π 2 = = G (u inc ) = Fr (u inc ) 2 ηR e ηR e 2η Wr′ IB En reportant cette relation dans VI-17, on peut écrire après quelques simplifications : WR = λ2 4 R R R e r r ρ pol (u inc ) G (u inc ) Pinc 2 4π Z + Z e R (VI-19) (VI-20) On définit enfin le facteur de charge ρcharge : ρ ch arg e = 4RR Re Ze − ZR * 2 = 1− 2 2 Ze + Z R Ze + Z R pour aboutir à l'expression suivante de WR : (VI-21) λ2 r r ρ ch arg e ρ pol (u inc ) G (u inc ) Pinc (VI-22) 4π La puissance WR transmise au récepteur est bien proportionnelle à la densité de puissance incidente Pinc, le coefficient de proportionnalité est défini comme étant l'aire d'absorption σ : WR = λ2 r r ρ ch arg e ρ pol (u inc ) G (u inc ) (VI-23) 4π Cette aire est proportionnelle au gain en émission de l'antenne. Remarquons que l'on retrouve ici la réciprocité de l'antenne : si le gain en émission est élevé dans une direction donnée, la réception sera importante dans cette même direction. Du point de vue du facteur de charge, on peut remarquer que 0 ≤ ρcharge ≤ 1. Si Ze = ZR*, c'est-à-dire dans le cas de l'adaptation d'impédance, ρcharge est maximal et vaut 1. En revanche, dans le cas en sortie de l'antenne en réception d'un court-circuit, d'un circuit ouvert, ou d'une charge purement réactive, on a ρcharge = 0. Quant au facteur de polarisation, on peut l'écrire sous la forme : r r 2 r r ρ pol (u inc ) = e inc ⋅ f r (u inc ) (VI-24) r r r r r E F (u ) r où e inc = r inc est le champ électrique incident normalisé et f r (u inc ) = rr r inc la caractéristique E inc Fr (u inc ) σ= de rayonnement réduite et normalisée. Ces deux vecteurs ont une direction dépendant du temps. r r r Dans le cas le plus général, e inc et f r (u inc ) sont polarisés elliptiquement. On a 0 ≤ ρpol ≤ 1. Le facteur de polarisation atteint sa valeur maximale de 1 quand on réalise la condition d'adaptation r r r r r r e inc = f r (u inc )* , c'est-à-dire que e inc et f r (u inc ) sont polarisés selon la même ellipse, mais qu'ils r r r parcourent en sens inverse. En revanche ρpol = 0 quand e inc et f r (u inc ) sont polarisés suivant deux ellipses orthogonales entre elles. Lorsque l'antenne est adaptée, tant en charge qu'en polarisation, et que l'on se place dans la direction où le gain atteint sa valeur maximale GM, on obtient l'aire d'absorption maximale Smax : λ2 (VI-25) GM 4π Comme pour les directivités et gains, on parle souvent implicitement d'aire d'absorption pour l'aire d'absorption maximale. S max = 2002-2003 32 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI 3. Bruit Dans une liaison avec antennes, les sources de bruit peuvent être externes, bruit capté par l'antenne, ou interne, bruit dû à l'électronique. Aux bornes d'une antenne en réception, les différents bruits s'additionnent et la puissance de bruit disponible N (en W) s'écrit sous la forme : (VI-26) N = kB (Ta + TR) ∆f où kB est la constante de Boltzmann, Ta la température de bruit de l'antenne, TR celle du circuit R alimenté par l'antenne et ∆f la bande équivalente de bruit du système. La température TR est liée au facteur de bruit FR de R par la relation TR = T0(FR – 1) où T0 est la température ambiante. Parmi les bruits externes, on distingue : • Les bruits naturels : bruit atmosphérique (foudre), bruit galactique, bruit terrestre. • Les bruits artificiels : parasites industriels (moteurs, machines outils, enseignes lumineuses, lignes haute tension, …) et brouilleurs. Pour les applications micro-ondes, le bruit prépondérant est le bruit terrestre d'origine thermodynamique. Il correspond à un rayonnement incohérent et non polarisé. Pour l'étudier, il faut s'intéresser aux lois régissant le rayonnement d'un corps en équilibre thermique, soit la "loi de rayonnement du corps noir" ou loi de Planck, ou son approximation dans le domaines des faibles longueurs d'onde, c'est-à-dire la loi de Rayleigh. D'après cette dernière, la densité spectrale de puissance E émise sous forme électromagnétique à la longueur d'onde λ par un corps en équilibre thermique à la température T est donnée par : E ( λ, T ) = 2k B T (VI-27) λ2 Pour calculer Ta, on considère l'antenne réceptrice placée à l'intérieur d'une "voûte" en équilibre à la température T et représentant la voûte céleste et le sol. On utilise alors les relations établies dans la partie VI.2 précédente pour calculer la puissance dWR reçue par l'antenne dans une bande de fréquence df : la puissance incidente est donnée par E(λ,T)df, on considère que l'antenne est adaptée, d'où ρch = 1, et qu'elle capte au mieux la moitié du rayonnement émis par la voûte, soit ρpol = 1/2, compte tenu de son caractère non polarisé. Tous calculs faits et en généralisant à une voûte hors d'équilibre on obtient dWR = kBTadf où : 1 r r r Ta = (VI-28) T ( u ) G ( u ) dΩ ( u ) ∫∫ 4π 4 π Dans le cas d'une liaison terrestre où l'antenne pointe à l'horizontale la température Ta est proche de la température du sol, c'est-à-dire de la température ambiante. Dans celui des liaisons par satellite (pointage à la verticale), les antennes au contraire ne "voit pas le sol et Ta correspond à la température du ciel, soit une dizaine de K, et on parle alors "d'antennes froides". VII. Exemples de liaisons 1. Equation des liaisons en espace libre On considère une antenne émettrice de gain GE et d'aire d'absorption SE, et une antenne réceptrice de gain GR et d'aire d'absorption SR située à une distance r de la première. L'antenne émettrice est alimentée par la puissance WE. La densité de puissance incidente à la distance r de l'émetteur est donnée par : G E WE 4π r 2 Le récepteur intercepte la puissance : Pinc = 2002-2003 (VII-1) 33 Maîtrise EEA STOM - Antennes WR = SR Pinc d'après VI-22 et VI-23. On a de plus d'après VI-25 : ENS Cachan - Université Paris XI (VII-2) 4π S R (VII-3) λ2 En utilisant les trois relations précédentes, on obtient l'équation de propagation en espace libre : GR = WR = A0 G E G R WE où l'atténuation en espace libre A0 est définie par : λ A 0 = 4 π r (VII-4) 2 (VII-5) 2. Liaisons avec relais Un relais passif est inséré dans la liaison décrite dans la section précédente. Son aire d'absorption est notée σ et son gain G. Il est situé à une distance rm de l'émetteur et rd du récepteur. En procédant d'une manière analogue au raisonnement décrit auparavant dans le cas d'une transmission en espace libre, on aboutit à "l'équation du radar" : WR λ2 = GE GR G σ (VII-6) WE (4π )3 (rE rR )2 Si le relais est actif (liaison par satellite), il suffit d'introduire son gain électrique comme facteur supplémentaire dans la formule ci-dessus. Il est à noter que l'on désigne souvent le produit G σ comme la "surface équivalente radar" (SER) du relais. Enfin, remarquons que l'on dit que la liaison est dite en configuration "monostatique" si rE et rR sont fixés, "bistatique" si une de ces deux distances est variable au cours du temps, et "multistatique" si plusieurs des distances mises en jeu dans la liaison sont variables. 3. Influence des milieux de propagation a. Ionosphère L'ionosphère est constituée de couches ionisées résultant du bombardement par les particules solaires. Ces couches s'étendent entre 80 et 400 km d'altitude par rapport à la surface terrestre. Si les ondes émises depuis la Terre sont de fréquence inférieure à la fréquence de coupure de l'ionosphère (environ 30 MHz), elles sont réfléchies par cette dernière. Dans le cas contraire, l'onde traverse ce milieu. En basse fréquence, on parle de "cavité Terre ionosphère". b. Troposphère La troposphère (couche de l'atmosphère à moins de 20 km d'altitude) peut réfléchir les ondes émises (à cause de son inhomogénéité), les atténuer (à cause de sa composition en vapeur d'eau, en oxygène…) ou encore les diffuser. Le problème de la réfraction est abordé en TD (propagation dans un milieu d'indice variable). L'absorption importante par les molécules de gaz (H2O, O2) dans certaines gammes de fréquence conduit à privilégier des "fenêtres de propagation" (entre 30 et 40 GHz, entre 70 et 100 GHz). La pluie provoque également l'évanouissement du signal en cas de fortes précipitations. On peut considérer l'absorption par la pluie comme un bruit multiplicatif car cette atténuation est imprévisible (elle varie en fonction de la concentration, mais aussi de l'état de l'eau). 2002-2003 34 Maîtrise EEA STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Enfin la diffusion conduit à des phénomènes d'échos qui peuvent être "combattus" par la polarisation circulaire de l'onde émise. c. Sol et obstacles Les rayons émis par une antenne peuvent se réfléchir sur le sol ou des obstacles et ainsi parvenir au récepteur en dehors de la liaison directe, comme illustré par la Figure 27. Si les amplitudes des rayons parvenus directement ou après réflexion(s) sont comparables, il y a risque d'interférences destructives au niveau du récepteur. La rotondité de la Terre, la nature accidentée du sol, la diffraction sur les bords des obstacles doivent également être pris en compte. Tous ces phénomènes physiques induisent un "évanouissement" ("fading" en anglais) du signal à transmettre. Figure 27. Trajets multiples des ondes en milieu urbain. i) Ellipsoïdes de Fresnel Afin de quantifier les possibilités d'interférence liées au sol, on définit les "zones de Fresnel". La nème zone de Fresnel est la portion de l'espace telle que la différence de marche entre le rayon direct et un rayon réfléchi par un obstacle présent dans la zone est comprise entre (n-1)λ/2 et nλ/2. On balaye ainsi les différents ordres d'interférence. L'onde totale résultante est constituée par les contributions des différentes zones. Dans le cas d'un sol plat, les "ellipsoïdes de Fresnel" délimitent ces zones. Les frontières des zones sont les points M tels que : λ SM + MR − SR = n (VII-7) 2 où S et R repèrent les positions respectives de l'émetteur et du récepteur. Cette relation définit des ellipsoïdes. En pratique, le calcul des zones de Fresnel est rendu assez compliqué par les accidents du sol et on se contente de dégager le premier ellipsoïde de Fresnel. Pour un sol plat, le demi axe a de l'ellipse dans la direction verticale est donnée en première approximation par : 1 a= λd (VII-8) 2 où d est la distance entre émetteur et récepteur. ii) Modélisation d'un canal à trajets multiples L'évanouissement du signal en fonction de la distance d entre émetteur et récepteur peut se manifester sous diverses formes, comme illustré par la Figure 28 qui représente l'allure typique du niveau de puissance "signal" reçu en dB en fonction de log(d). 2002-2003 35 Maîtrise EEA Figure 28. STOM - Antennes ENS Cachan - Université Paris XI Variation du niveau de signal reçu en fonction de la distance pour une liaison multitrajets. • Loi "grande échelle" : la puissance électromagnétique en dB décroît avec la distance d suivant une loi en α.log(d), c'est la loi "mean path loss" de la Figure 28. Elle peut être modélisée soit de façon empirique et statistique (lois d'Okumura-Hata : relations analytiques établies à partir de mesures réalisées dans des environnements donnés, puis extrapolées pour des cas plus généraux), soit par des méthodes plus physiques d'étude de la propagation des ondes électromagnétiques (tracés de rayon…). • Loi "moyenne échelle" : la loi de décroissance du niveau de puissance reçu en fonction de log(d) oscille autour de la loi de "grande échelle" décrite précédemment. La loi statistique suivie par les variations du signal est alors une loi "log normale", généralisation de la loi gaussienne. En langue anglaise, on parle alors de "lognormal fading" comme sur la Figure 28, de "slow fading" (par opposition au phénomène décrit ci-dessous) ou encore de "shadowing" car ce phénomène est dû à l'absorption ou la diffusion des ondes par des obstacles. • Loi "grande échelle" ou "fast fading" : le niveau de puissance reçu en fonction de log(d) oscille enfin rapidement autour de la loi de "moyenne échelle". Ce phénomène est dû aux interférences constructives ou destructives existant entre les différents trajets effectués par l'onde entre émetteur et récepteur. Les lois statistiques à employer pour modéliser le "fast fading" sont les distributions de Rayleigh (d'où le nom de "Rayleigh fading" sur la Figure 28), ou de Rice. 2002-2003 36