TD n°4 : Deuxième principe. Bilan d`entropie.

Thermodynamique. TD n°4 PCSI TD n°4 : Deuxième principe. Bilan d’entropie. Formulaire : Entropie du gaz parfait: !"
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𝑆(𝑇, 𝑉) = !!! 𝑙𝑛 !! ! + 𝑛𝑅 𝑙𝑛 !! ! + 𝑆! avec 𝑆! = 𝑆(𝑇! , 𝑉! ) ; !
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𝑆(𝑃, 𝑉) = !!! 𝑙𝑛 !! ! + !!! 𝑙𝑛 !! ! + 𝑆! avec 𝑆! = 𝑆(𝑉! , 𝑃! ). !
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𝑆(𝑇, 𝑃) = !!! 𝑙𝑛 !! ! − 𝑛𝑅 𝑙𝑛 !! ! + 𝑆! avec 𝑆! = 𝑆(𝑇! , 𝑃! ) ; !
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Entropie d’une phase condensée indilatable et incompressible: !
𝑆 = 𝐶 𝑙𝑛 !! ! + 𝑆! avec 𝑆! = 𝑆(𝑇! ), et 𝐶 la capacité calorifique. !
Exercice n°1: Approche de transformation réversible 1. Une masse m = 1kg d'eau liquide à T0 = 273K est mise en contact avec un thermostat à Tf =300 K. La capacité thermique massique de l'eau est c = 4,18 J.kg-­‐1.K-­‐1. Calculer l'entropie crée. Quelle est la cause de la création d'entropie ? 2. On suppose maintenant que l'eau est d'abord mise en contact avec un premier thermostat à la température T1 = 285 K jusqu'à ce qu'elle atteigne cette température, puis elle est mise en contact avec le thermostat à Tf. Calculer de nouveau l'entropie crée. Pourquoi ne retrouve-­‐t-­‐on pas la valeur précédente ? 3. On découpe le processus précédent en un très grand nombre n de processus au cours desquels on élève la température de la masse d’eau de T à T + ΔT (avec ΔT<<T ) par contact avec des thermostats de températures très proches les unes des autres. ∆!
∆!
a. Montrer que pour une étape intermédiaire on peut écrire : 𝑆!,! = 𝐶 𝑙𝑛 1 +
−
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!!∆!
∆!
b. En développant ce résultat au deuxième ordre en ! , montrer que 𝑆!,! est proportionnelle à ∆! !
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c. En déduire que ce processus peut être rendu réversible quand 𝑛 → +∞ c’est-­‐à-­‐dire à la limite ou la variation de température entre deux thermostats successifs tend vers 0. Exercice n°2: Création d’entropie On considère une masse me=100g d’eau dans laquelle plonge un conducteur de résistance R = 20,0 Ω. Ce dernier est parcouru par un courant I = 10,0 A pendant t = 1,00s. On note (S) le système formé par l’eau et le conducteur ohmique. On donne : masse du conducteur mc=19,0 g capacité thermique massique du conducteur cc=0,420 J g-­‐1 K-­‐1. capacité thermique massique de l’eau ce=4,18 J g-­‐1 K-­‐1 1. La température de l’ensemble est maintenue constante, au contact d’un thermostat, et égale à T0=20,0°C. Quelle est la variation d’entropie de (S) ? Quelle est l’entropie créée ? Quelle est la cause de la création d’entropie ? 2. Le même courant passe dans le conducteur pendant la même durée mais maintenant (S) est isolé thermiquement, la température initiale estT0. Calculer la variation d’entropie de S et l’entropie créée. 1 Thermodynamique. TD n°4 PCSI Exercice n°3: Détente d’un gaz Une mole de gaz parfait diatomique subit une détente réversible de l’état initial : P1 = 5,0 bars ; T1 = 100 °C à l’état final : P2 = 1,0 bar: T2 = 40 0C Calculer les variations d’énergie interne, d’enthalpie et d’entropie du système. On donne R = 8.31 SI et on demande de préciser l’unité exacte de R ; γ = 1,4. Réponses : ΔU = -­‐1,3 kJ ; ΔH = -­‐1,7 kJ ΔS = 8,3 JK-­‐1 Exercice n°4: Mise en communication de deux gaz On considère deux gaz parfaits G1 et G2, diatomiques tous les deux. On enferme n1 = 2,0 moles de G1 et n2 = 1,0 mole de G2 dans deux récipients de volumes respectifs V1 et V2, portés aux températures respectives T1 et T2. Les récipients sont indilatables et imperméables à la chaleur. On met les récipients en communication. 1. Calculer T et P à l’équilibre. AN : T1 = 1000 K ; T2 = 700 K ; V1 = 3,0 L ; V2 = 5,0 L ; R = 8,31 SI ; γ = 1,4 2. Calculer la variation d’entropie au cours de la transformation précédente. Réponses: T = 900 K, P = 2,8.l06 Pa; ΔS = 21 J.K-­‐1. Exercice n°5: Refroidissement par détente adiabatique Soit une mole de gaz parfait monoatomique, γ = 7/5. 1. On le comprime de façon isotherme réversible (température T0) de la pression P0 = 1,0 bar à la pression P1 = 50 bars. On détend ensuite isentropiquement jusqu’à la pression P0. a. Quelle est la température finale T1 ? La comparer à T0. b. Quelle la variation d’entropie au cours de la première transformation ? Quel est son signe? 2. On recommence n fois la même suite de transformations (isotherme réversible puis isentropique), à partir de la température obtenue à la fin de la transformation précédente. Quelle est la température T0 obtenue ainsi que la variation d’entropie ΔSn ? Réponses : T1 = 0,33 T0 ( <T0) ; ΔS1 = -­‐32 J.K-­‐1 ( <0 ) ; Tn tend vers 0 et ΔSn tend vers moins l’infini. Exercice n°6: Changement d’état Dans un récipient, isolé thermiquement, sous une pression de P0 = 1,0 atm, on place : m1 = 10 g d’eau solide à T1 =-­‐8,0 0C et m2 = 100 g d’eau liquide à T2 = 15 °C. On donne : 𝛥!→! ℎ(𝑇! ) = 334 J.g-­‐1 enthalpie massique de fusion de l’eau à 𝑇! = 0 0c sous 1 atm; 𝑐! = 4,2 J.g-­‐1.K-­‐1 capacité thermique massique de l’eau liquide. 𝑐! = 2,1 J.g-­‐1.K1 , capacité thermique massique de l’eau solide. 1. Le mélange final est constitué d’eau liquide, calculer la température finale. 2. Calculer les variations d’entropie des systèmes 1 et 2. Quelle est la variation d’entropie totale ? Commentez son signe. Réponses : Tf = 6,0°C ; ∆S = 0,44 J.K-­‐1 2 Thermodynamique. TD n°4 PCSI Exercice n°7: Surfusion La surfusion, état métastable, correspond à un retard à la solidification. A la moindre perturbation s’exerçant sur le système, celui-­‐ci passe irréversiblement de l’état liquide à l’état solide. Une mole d’eau surfondue est dans un thermostat à la température T1 = 263 K. La surfusion cesse, la pression extérieure restant égale à 1 atm. 1. Calculer la variation d’entropie de la mole d’eau et commenter son signe. On imaginera un chemin réversible qui utilisera les données suivantes: cps = 2,09 kJ.kg-­‐1 K-­‐1 (capacité calorifique massique de l’eau solide) ; cpl = 4.18 kJ.kg-­‐1.K-­‐1 (capacité calorifique de l’eau liquide) et Δ!"# ℎ = 6, 𝑂2 10! 𝐽. 𝑚𝑜𝑙 !! (enthalpie massique de fusion de la glace à 273 K). 2. Quelle est la fonction d’état qui caractérise l’évolution du système? Calculer sa variation et commenter le signe de cette variation. 3