Second principe de la thermodynamique.

¤ PCSI ¤
T4 Exercices.
Second principe de la
thermodynamique.
T4.1. Contact thermique entre deux corps.
Deux corps incompressibles (V = cte) ont pour capacités calorifiques respectives C1 et C2.
Initialement, ils sont isolés: le premier à la température T1, le second à la température T2 ; ils sont
ensuite mis en contact thermique (sans échange de chaleur avec l'extérieur).
1. Quelle est la température finale Tf? Pourquoi est-il essentiel de préciser que les deux corps sont
incompressibles?
2. Application pratique : comment porter sans thermomètre 2 litres de lait à une température très
proche de 50 °C ?
On suppose maintenant que C2 >> C1.
3. Quelle est la limite de Tf lorsque x = C2/C1 tend vers l'infini ?
Que représente le corps (2) vis-à-vis du corps (1) ?
On se propose maintenant de déterminer les variations d'entropie de chaque corps et celle du système
total dans cette transformation spontanée.
4. Calculer la variation d'entropie S1 du corps pur 1 entre l'état initial T1 et l'état final Tf. On
utilisera pour ce faire l'identité thermodynamique fondamentale. Quel est le signe de S1 (on
supposera T1 > T2) et celui de S2?
5. Dans l'hypothèse où le corps (2) peut être considéré comme un thermostat vis-à-vis de (1),
c’est-à-dire si le rapport x = C2/C1 est très grand devant 1, calculer la variation d'entropie S2
du thermostat en partant de l'expression obtenue en 4, (on arrêtera le développement au terme
en 1/x). Vérifier les résultats de votre calcul en les confrontant à un calcul direct de S2.
6. On souhaite maintenant déterminer le signe de la variation totale d'entropie du système
constitué par les corps 1+2. Pour plus de simplicité algébrique, on se limitera au cas C1 = C2
(plus, facultativement, le cas C2/C1 >> 1 étudié ci-dessus).
T4.2. Compression d’un gaz parfait.
On réalise la compression d’une mole de gaz parfait monoatomique de P1 à P2 (i) d'une manière
réversible ou (ii) d'une manière irréversible en posant sur le piston une masse M, convenablement
choisie pour que la pression finale soit P2. Le système étudié est en contact avec un thermostat à la
température To.
1. La différence d'entropie du système, entre un état initial et un état final donnés du gaz, dépendt-elle des transformations intermédiaires qu'il a subies ?
2. Quelles sont selon les cas i) ou ii) la ou les méthodes que vous pouvez utiliser pour déterminer
cette variation d'entropie du gaz parfait ?
3. Dans le cas ii) déterminer la variation d’entropie du thermostat et celle du système constitué du
thermostat et du gaz parfait, et cela en fonction de x = P2/P1. Vérifier que ce dernier résultat est
conforme au second principe.
T4.3. Critère de réversibilité. Transformation monotherme. Bilan entropique.
Un solide de capacité thermique mc, initialement à To, est mis en contact thermique avec une source de
chaleur de température Te invariable. Exprimer entre l'état initial et l'état final:
1. La variation d'entropie du solide.
2. La variation d'entropie de la source.
3. La création d'entropie. Vérifier son signe si Te = To (1 + ).
T4.4. Transformation polytropique.
Soit une quantité de matière constituée de n moles d'un gaz supposé parfait et de rapport  constant. Ce
gaz subit une évolution, dite polytropique, que nous pouvons caractériser de la manière suivante : à
partir d'un état initial (Po,Vo,To), le gaz évolue réversiblement vers un état final d'équilibre (P1, V1, T1)
de telle sorte que tout le long de la transformation la quantité PVk = Cte. k est un coefficient réel,
positif ou nul.
1. Montrer que la différentielle de la fonction entropie dS peut se mettre sous la forme
dT
dS = nC
.
T
Exprimer C en fonction de R,  et k. Calculer alors la variation d'entropie du gaz en fonction de
n, R, k, , To et T1.
2. Calculer directement le travail reçu par le gaz au cours de la transformation et retrouver, en
appliquant l'identité thermodynamique, l'expression de C précédente.
3. Dans chacun des cas suivants, indiquer quelle est l'évolution particulière observée et évaluer C.
a) k = 0 b) k = 1 c) k = 
d) k  infini.
4. Donner l'allure en diagramme (P, V), puis en diagramme (T, S), de chacune des transformations
précédentes à partir du point représentatif de l'état initial.
Données : ln 1  x   x 
x 2 x3
 
2 3