M2 Plasmas : de l`Espace au Laboratoire

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M2
Plasmas : de l'Espace au Laboratoire
Cours
"Introduction à la physique des plasmas"
Auteur : Philippe Savoini
Année universitaire : 2011-2012
Table des matières
1 Introduction
9
1.1
L’état de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2
Les équations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Les diﬀérentes approches théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4
1.3.1
Théorie des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2
Théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3
Théorie multi-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4
Théorie magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Les échelles caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1
Hypothèse de quasi-neutralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2
Ecrantage électrique : la longueur de Debye . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3
Ecrantage électrique : la fréquence plasma . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4
Critères d’existence d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5
1.4.4.1
premier critère :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.4.2
deuxième critère : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.4.3
troisième critère : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.4.4
quatrième critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Classification des plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Les ondes : électromagnétisme dans le désordre
2.1
2.2
25
Existence des ondes plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1
Les modes propres du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2
Les modes instables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Généralités sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1
Bases fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1.1
Les solutions en ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1.2
Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1.3
Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1.4
Fréquences de résonance et de coupure . . . . . . . . . . . 32
2.3
Relation de dispersion formelle des plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4
Plasma sans champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5
2.4.1
Onde longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2
Onde transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3
Ondes basse fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Plasma avec champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.6
Propagation parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.1.1
Fréquence de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1.2
Fréquence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1.3
Approche basse fréquence (onde “siﬄeur”) . . . . . . . . . 40
2.5.1.4
Approche très basse fréquence (ondes d’Alfvèn) . . . . . . 41
Propagation perpendiculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2.1
Fréquence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2.2
Fréquence de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Propagation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.3.1
Fréquence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.3.2
Fréquence de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.3.3
Approche basse fréquence (ondes “magnétosonores”) . . . . 45
Diagramme CMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Approche particulaire
3.1
3.2
51
Champs électromagnétiques constants et uniformes . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1
Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2
Champ magnétique uniforme
3.1.3
Champ électrique et magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.4
Force uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Champs électromagnétiques NON-uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1
Champ électrique NON stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2
Champ magnétique NON uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2.1
Dérive due au gradient du champ magnétique . . . . . . . 61
3.2.2.2
Dérive due à la courbure du champ magnétique . . . . . . 63
3.2.3
L’eﬀet miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.4
Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.4.1
Premier invariant adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.4.2
Autres invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4.2.1
Second invariant adiabatique . . . . . . . . . . . 69
3.2.4.2.2
Troisième invariant adiabatique . . . . . . . . . . 69
4 Approche statistique
4.1
Eléments de théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.1
Position dans l’espace des phases : description exacte . . . . . . . . 72
4.1.2
Position dans l’espace des phases : description statistique . . . . . . 74
4.1.3
L’équation de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.4
La hiérarchie BBGKY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.5
L’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.6
4.2
4.3
4.1.5.1
Incompressibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.5.2
Réversibilité temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
L’équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.6.1
Evolution de la fonction de distribution . . . . . . . . . . 87
4.1.6.2
Le modèle de Krook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.6.3
Le modèle de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.6.4
Irréversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.6.5
Distribution à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Le phénomène de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1
Notion de libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.2
Notion d’angle de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.3
Fréquence de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
L’état d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.1
Equilibre en présence d’une force extérieure : formule de Boltzmann 101
4.3.2
Equilibre en présence d’une charge ponctuelle : comportement collectif103
5 L’approche fluide
5.1
71
107
Equations fluides : la théorie multi-fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.1
Valeurs moyennes : notion de flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.2
Application à l’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.1.3
Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.3.1
Equation de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . 112
5.1.3.2
Equation de conservation de l’impulsion . . . . . . . . . . 113
5.1.4
5.1.5
Notion de pression cinétique : un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . 115
5.1.4.1
Concept de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1.4.2
Approximations courantes du terme de pression . . . . . . 116
Equation de conservation de l’énergie : moment d’ordre 3 . . . . . . 117
5.1.5.1
5.1.6
5.2
5.3
Relations de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Comparaison approche particulaire et approche fluide . . . . . . . . . . . . 121
5.2.1
Dérive diamagnétique : aspect fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.2
Dérive diamagnétique : aspect statistique . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.3
Dérive due au gradient de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Le modèle mono-fluide : la M agnétoH ydroDynamique . . . . . . . . . . . 128
5.3.1
Hypothèse des variations lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.1.1
Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1.2
Equation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.1.3
Loi d’Ohm généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3.2
La MHD non idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.3
La MHD idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.4
5.4
Approximation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.3.1
Théorème de conservation du flux magnétique . . . . . . . 135
5.3.3.2
Le théorème du gel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
La pression magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.4.1
Pression et tension magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.4.2
Confinement du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.4.3
Le ”β” du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Validité de la magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6 Annexe : Le phénomène de collision
145
6.1
Notion d’angle de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2
Section eﬃcace de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3
Section eﬃcace de transfert d’impulsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7 Annexe : Notions élémentaires sur le transport
7.1
153
Transport dans un plasma faiblement ionisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.1.1
Equation de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.1.2
Définition des coeﬃcients de diﬀusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.3
7.1.2.1
Coeﬃcient de mobilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.2.2
coeﬃcient de diﬀusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
La diﬀusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2
Diﬀusion en présence d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3
Transport dans un plasma complètement ionisé . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3.1
Diﬀusion en l’absence de champ magnétique . . . . . . . . . . . . . 162
8 Annexe : Généralités sur les invariants
8.1
Rappel de mécanique analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.1.1
8.1.2
8.2
Les équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.1.1.1
Principe de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.1.1.2
Les coordonnées généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.1.3
Cas des forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.1.1.4
Les équations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Le principe de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2.1
Les constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2.2
Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2.2.1
Le premier invariant adiabatique . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2.2.2
Le second invariant adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2.2.3
Le troisième invariant adiabatique . . . . . . . . . . . . . 181
9 Annexe : Formulaire mathématique
9.1
183
Algèbre vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.1
9.1.2
9.2
165
Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.1.1
Coordonnées carthésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.1.1.2
Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.1.1.3
Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Identités vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.1.2.1
Identités vectorielles “simples” . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.1.2.2
Identités vectorielles avec opérateur de dérivation . . . . . 186
Les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10 Bibliographie
189
Page 8
Ce cours d’introduction aux plasmas se veut le plus didactique possible et,
de ce fait, il aborde les diﬀérents concepts de base qui fondent la physique
des plasmas. Ce sont systématiquement les démonstrations les plus simples
qui seront présentées. Cependant, certains calculs (mis en annexes) peuvent
sortir du cadre de cette introduction mais sont néanmoins présent afin de
permettre à l’étudiant intéressé d’approfondir certains concepts importants
et de rendre l’ensemble le plus cohérent possible.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
1.
Introduction
Sommaire
1.1
1.2
1.3
L’état de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les équations de base . . . . . . . . . . . . . . .
Les diﬀérentes approches théoriques . . . . . .
1.3.1 Théorie des orbites . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Théorie multi-fluide . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Théorie magnétohydrodynamique . . . . . . . .
1.4 Les échelles caractéristiques . . . . . . . . . . .
1.4.1 Hypothèse de quasi-neutralité . . . . . . . . . .
1.4.2 Ecrantage électrique : la longueur de Debye . .
1.4.3 Ecrantage électrique : la fréquence plasma . . .
1.4.4 Critères d’existence d’un plasma . . . . . . . .
1.4.4.1 premier critère : . . . . . . . . . . . .
1.4.4.2 deuxième critère : . . . . . . . . . . .
1.4.4.3 troisième critère : . . . . . . . . . . .
1.4.4.4 quatrième critère . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Classification des plasmas . . . . . . . . . . . .
.
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10
11
14
14
14
15
15
16
16
17
19
21
21
21
22
22
22
Le terme ”plasma” a été introduit dans un premier temps 1 pour désigner un gaz ionisé
(observé dans les tubes à décharges) dont la principale propriété était d’être globalement
neutre. Par la suite, ce terme a été utilisé en astrophysique pour désigner un état dilué
de la matière, analogue à celui d’un gaz, mais principalement constitué de particules
chargées (électrons + ions) en proportions égales. Les plasmas se confondent donc avec
les gaz ionisés et font suite dans l’échelle des températures, aux trois états ”classiques”:
solides, liquides et gaz. Ils constituent donc un quatrième état de la matière bien
qu’il n’existe aucune transition de phase entre gaz et plasmas 2 . ESSAI
1. Ce sont les physiciens américains Irving Langmuir et Levi Tonks en 1929 qui ont forgé ce mot à
partir du grec signifiant ”quelque chose que l’on façonne, que l’on forme”. En eﬀet, les oscillations de
l’ensemble des ions qu’ils observaient dans un tube à décharge faisaient penser à ce que l’on peut voir
dans un milieu gélatineux.
2. En eﬀet, d’un point de vue physique, la distinction entre solide, liquide et gaz se caractérise par
une énergie de liaison allant de très forte à quasi-inexistante. L’état dans lequel se trouve une substance
dépend principalement de la vitesse aléatoire (température) des atomes ou des molécules la constituant.
L’équilibre entre l’énergie de liaison et son énergie cinétique aléatoire conditionne alors l’état dans laquel
se trouve cette substance. Au fur et à mesure que la température s’accroît, l’énergie cinétique dépasse
l’énergie de liaison ce qui aboutit à un changement de phase, changement de phase qui se déroule à
température constante pour une pression donnée et se caractérise par une quantité d’énergie spécifique
à la substance observée que l’on appelle ”chaleur latente”. A l’inverse, le passage de l’état gazeux à l’état
de plasma se fait graduellement avec l’augmentation de la température et ne comporte aucune phase de
transition au sens thermodynamique du terme.
9
Page 10
1.1
INTRODUCTION
L’état de plasma
Un plasma ressemble à première vue à un gaz, mais le fait que les particules de ce gaz
soient ionisées change en fait radicalement la physique qui gouverne la dynamique de ces
particules. D’une part les particules chargées ont un mouvement qui est déterminé par
les champs électromagnétiques, et d’autre part les champs sont créés par les densités de
charge et de courant dus à ces champs qui rétro-agissent sur les particles, ce couplage
entre champs et particules est ce qui rend la physique des plasmas si riches et aussi si
intéressante à étudier.
Bien que l’analyse théorique des plasmas soit relativement simple (forces entre particules
connues exactement, description par la mécanique classique, utilisation d’une approche
non relativiste dans la majorité des cas ...), leur étude ne s’est développée que depuis les
années 50. Grâce à des techniques nouvelles, (hyperfréquences puis lasers) les paramètres
fondamentaux des plasmas : densité, température, fréquence de collisions, ont pu être
déterminés avec précision. Le développement de la radioastronomie puis de la recherche
spatiale a permis de découvrir que notre environnement proche et lointain est essentiellement constitué de plasma. L’environnement terrestre (ionosphère, magnétosphère, vent
solaire, couronne solaire ...) en sont des exemples frappant. De manière plus générale, la
physique des plasmas joue un rôle considérable dans toute l’astrophysique et la cosmologie, on pense que 99 % de l’Univers (avec un grand U !) est constitué de matière à l’état
de plasma. De la même façon, et de manière beaucoup plus terre à terre, de nombreuses
techniques nouvelles utilisent les propriétés des plasmas : explosions nucléaires, conversion magnétohydrodynamique et thermoionique de l’énergie, rentrée dans l’atmosphère
d’engins spatiaux, propulsion électrique des satellites (moteur MHD), lasers à gaz, découpage des métaux, et bien sur fusion thermonucléaire, en sont quelques exemples parmi
d’autres, liste non exhaustive qui s’aggrandit de jour en jour.
Puisque l’état de plasma inclut des charges positives et négatives et que leur mouvement
relatif produit des courants, il est évident que les constituants de ce plasma seront influencés par les champs électriques et magnétiques présents, et que dans le même temps, ils
modifiront de manière auto-cohérente ces mêmes champs. Il est donc essentiel, lorsque l’on
s’intéresse à l’étude des plasmas, de traiter les champs électro-magnétiques comme une
part intégrale du système. Les plasmas sont donc le résultat de deux tendances contradictoires et complémentaires, une tendance au désordre due à l’agitation thermique et une
tendance à l’organisation due à l’aspect collectif (ou d’auto-organisation, nous y reviendrons) que manifeste les interactions électromagnétiques. Ces deux tendances permettent
aux plasmas de rester sous forme ionisée, tout en restant globalement neutre. Cet électromagnétisme dans le désordre est devenu avec le temps une branche quasi-autonome de
la physique qui en plus des aspects qui lui sont propres fait appel aux connaissances et aux
techniques acquises dans d’autres disciplines : mécanique, statistique, électromagnétisme,
hydrodynamique, physique atomique. Très varié dans ces applications, la physique des
plasmas constitue également une extension considérable du champ d’application de ces
disciplines.
Le développement de la physique des plasmas s’est fait à la suite des premières découvertes
sur les gaz ionisés mais aussi à partir des recherches sur les radiocommunications. Dès
1901, G. Marconi avait observé la réflexion des ondes sur ce qu’il pensait être l’atmosphère
mais qui était en fait l’ionosphère. L’idée que notre atmosphère est ionisée à partir d’une
certaine altitude a été émise par Appleton en 1925, il a lancé ainsi l’étude des plasmas
naturels qui est devenue progressivement celle des plasmas astrophysiques. En laboratoire,
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 11
INTRODUCTION
Forces
Equations du
mouvement
Mécanique
Forces de collisions
Champs
(électrique
et
magnétique)
Particules
(positions
et vitesses)
Ondes
Equations de
Maxwell
Statistique
(∆x,∆v)
densité
et
courants
Forces
Electromagnétisme
Figure 1.1: Schéma représentant le couplage entre la partie mécanique (mouvements des
→
− →
−
particules) et la partie électromagnétique (variations des champs E et B ) dans un plasma.
les études se sont poursuivies au-delà des décharges, en particulier avec les recherches sur
les faisceaux d’électrons comme sources de rayonnement cohérent (klystrons), mais elles
sont passées à un stade beaucoup plus intensif avec le début des recherches sur la fusion
nucléaire contrôlée, vers 1955. Plus récemment des travaux ont été entrepris pour étudier
les interactions entre plasma et surfaces, pour aboutir à des traitements de surfaces en
mécanique ou en microélectronique grâce aux plasmas. Le domaine de la physique des
plasmas est donc un domaine très actif que cela soit dans les domaines de l’astrophysique,
de la fusion ou dans les applications industrielles.
1.2
Les équations de base
La physique des plasmas consiste à résoudre des problèmes auto-cohérents d’interaction
des champs électromagnétiques et des particules chargées dont la richesse est due à la
nature intrinsèquement non linéaire de ce couplage champ/matière. La dynamique des
particules est gouvernée par l’interaction de ces particules avec les champs externes et les
→
−
→
−
champs électriques E et magnétiques B créés par ces même particules.
Ce système couplé est à la base de toute la physique des plasmas. C’est lui qui fait que
cette science se situe à l’intersection entre l’électromagnétisme (Maxwell) et la mécanique
statistique (nécessaire afin de passer des informations sur les trajectoires individuelles
→
−
aux informations macroscopiques que sont ρ et j ). La figure (1.1) résume ce couplage et
permet de se rendre compte de la richesse intrinsèque des milieux constitués d’un plasma.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 12
INTRODUCTION
En eﬀet, dans un gaz neutre, les couplages entre la partie électromagnétique du schéma
et la partie mécanique n’existent pas puisque les forces dues à l’action des champs sur la
→
−
matière ainsi que les sources matérielles du champ que sont ρ et j sont nulles. Le système
d’équations équivalent à ce schéma se découple donc en deux sous-systèmes indépendants
qui décrivent, l’un la propagation des perturbations électromagnétiques (ondes lumineuses,
ondes radio, ... qui se comportent sensiblement comme dans le vide), et l’autre la propagation des perturbations mécaniques dues aux collisions (ondes sonores). Dans un plasma,
au contraire, la propagation de n’importe quel type d’information implique toujours à la
fois des perturbations mécaniques et électromagnétiques ; il en découle un comportement
plus complexe et un nombre de modes de propagation beaucoup plus grand. On conçoit
donc le rôle important que jouent les ondes dans les plasmas, à la fois comme traceur de
ce qui se passe dans le milieu ou comme outil de diagnostic (voir chapitre 2).
→
−
→
−
Il est important de noter que les champs notés E et B sur le schéma (1.1) représentent
les champs dits « collectifs », c’est à dire moyennés. A ces champs collectifs s’ajoute
en fait, dans le champ instantané mesuré en un point, un « bruit » de fluctuations très
rapides qui est dû au caractère particulaire du plasma : on comprend bien que le champ
en un point devient brièvement très grand chaque fois qu’une particule passe très près de
ce point. Mais l’eﬀet de ce bruit particulaire ne se fait logiquement sentir que lorsque deux
particules sont eﬀectivement amenées à passer très près l’une de l’autre et on verra qu’on
peut l’inclure dans le terme « forces de collisions » représenté dans la partie mécanique
du système.
La partie “mécanique” de la figure (1.1) se traduit par l’équation de la dynamique :
−
−
→
− − →
−
d→
p
d→
v
=m
= q( E + →
v × B)
dt
dt
(1.1)
−
−
où →
p = m→
v représente le vecteur impulsion de la particule 3 . Il est donc concevable, du
moins en principe, de décrire la dynamique d’un plasma en résolvant l’équation (1.1) pour
chaque particule présente dans le plasma et ce, en présence simultanément des champs
extérieurs appliqués et des champs internes créés par les particules elles-mêmes.
La partie “électromagnétique” de la figure (1.1) concerne les champs électromagnétiques ”vues” par les diﬀérentes espèces de particules et sont régis par les équations de
Maxwell qui s’écrivent usuellement sous leur forme locale 4 .
3. La dynamique des particules dans un plasma est correctement décrit par les lois de la mécanique
classique NON relativiste. Nous utiliserons le cadre non relativiste car c’est celui qui est rencontré dans
la majorité des processus physiques où interviennent les plasmas (à part quelques cas particulier, supernovae, quasar, ...) dont nous ne parlerons pas dans ce cours. De même, le moment (impulsion) des
particules est suﬃsamment élevé et leur densité suﬃsamment basse pour que la distance interparticulaire soient très grandes devant la longueur d’onde de De Broglie (λB ). Les eﬀets quantiques sont donc
négligeables à part dans le cas de plasmas ayant une très basse température et une densité très élevées :
conditions que nous nous garderons bien de considérer dans ce cours introductif, où nous nous limiterons
au cadre classique.
4. Ces 4 équations forment ce que l’on appelle les équations de Maxwell, dont les expressions sont
facilement obtenues à partir de l’équation fondamentale de conservation de la charge. Cette équation
repose sur l’hypothèse de base qu’aucune particule ou charge ne peut être détruite ou créée en électrodynamique. En d’autres termes, toute variation temporelle de la densité de charge doit être due à la
divergence du courant électrique qui transporte ces charges vers ou au-dehors de l’élément de volume dV.
Principe que l’on écrit usuellement sous la forme
− →
∂ρ →
−
+∇· j =0
∂t
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 13
INTRODUCTION
→
− →
−
∇·E =
ρ
e (ni − ne )
=
(équation de poisson)
εo
εo
→
− →
−
∇·B = 0
(1.2)
(1.3)
Ces équations font apparaître les termes sources des champs électrique et magnétique.
L’équation (1.2) indique que la source du champ électrique est la densité de charge d’espace
e (ni − ne ) qui représente la diﬀérence entre électrons et ions dans l’hypothèse où il n’y
a qu’une seule espèce d’ions de charge e, et l’équation (1.3) postule qu’il n’y a pas de
“charges magnétiques” dans l’univers.
→
−
→
− →
−
∂B
∇×E = −
(loi de Faraday)
∂t
→
−
→
− →
−
∂E
→
−
∇ × B = µo j + ε o µo
(équation d’Ampère)
∂t
(1.4)
(1.5)
Les champs électrique et magnétique ne sont donc pas indépendants mais couplés via leurs
variations spatio-temporelles. L’équation (1.4) met en évidence la partie électromagnétique
du champ électrique dont l’existence peut être, via un changement de référentiel adéquate,
éliminé au seul profit du champ magnétique. Seule la partie électrostatique (équation 1.2)
existe quelque soit le référentiel utilisé. Les constantes εo et µo sont respectivement la
permitivité et la susceptibilité du vide.
Bien que la théorie de la relativité nous dise que les champs électrique et magnétique ne
sont que la même manifestation d’un champ électromagnétique et qu’aucune distinction
formelle ne doit être faite entre eux, trois points sont à souligner :
→
−
→
−
– Dans un référentiel non-relativiste (ce qui sera toujours le cas ici), les champs E et B
ne jouent généralement pas un rôle identique. Les charges électriques constituent une
source pour le champ électrique alors qu’aucun monople magnétique n’a jusqu’ici été
mis en évidence expérimentalement. Même si certaines théories du champ quantique 5
introduisent naturellement de telles particules dans notre univers, les cosmologistes
invoquent le modèle inflationnaire de l’univers pour expliquer la disparition de ces
monopoles. Cette diﬀérence fondamentale introduit une disymétrie intrinsèque dans
les équations de Maxwell concernant leurs sources matérielles (équations 1.2 et 1.3)
modifiant profondément la dynamique et donc le comportement des particules chargées.
– L’existence de champs électriques sur de grandes échelles dans l’univers est très rare
du fait de la possibilité qu’ont les particules de se déplacer le long du champ magnétique et de neutraliser les eﬀets de charge d’espace. Ceci a pour conséquence que tout
phénomène de charge d’espace qui a pu exister initialement dans notre univers a disparu
→
−
depuis longtemps, et seuls les champs électriques E induits (engendrés par des courants
de convection) peuvent encore exister sur des échelles spatio-temporelles importantes 6 .
Ces champs sont induits par des champs magnétiques variant temporellement ce qui
donne lieu (équation (1.4) de Faraday) à des champs électriques variant eux aussi temporellement.
5. Dès 1931, Dirac a souligné que la quantification de la charge de l’électron pouvait être expliqué
naturellement dans le cadre d’une théorie postulant l’existence des monoples magnétiques, ceux-ci pouvant
même être peu nombreux (voir unique) dans tout l’univers.
6. Quelques exceptions sont toutefois à noter, tels les pulsars nouveau-nés. Néanmoins, ces écarts à la
quasi-neutralité sont ponctuels par rapport aux échelles de temps caractéristiques de l’univers.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 14
INTRODUCTION
→
−
– A l’inverse, le champ B ne peut être aisément neutralisé par des “charges magnétiques”
sur les échelles cosmiques une fois qu’il a été généré par un courant électrique. Alors que
les charges positives et négatives sont en nombre égal dans un volume mascroscopique
quelconque, leur mouvement n’est souvent pas identique. Ceci donne lieu à une dérive
relative électrons-ions qui aux échelles astrophysiques peut générer des courants très
forts. Dans l’approche magnétohydrodynamique (fluide), ce sont ces courants de conduction qui sont responsables de l’existence des champs électriques induits, à leur tour
termes-sources pour le champ magnétique.
1.3
Les diﬀérentes approches théoriques
La simplicité apparante des équations (1.2 à 1.4) ne doit pas nous faire oublier leur
caractère non linéaire introduit avec l’équation (1.1). C’est d’ailleurs ce couplage non
linéaire champs-matière qui fait toute la richesse de la physique des plasmas et l’étude
des concepts et méthodes d’approximation permettant de résoudre ces équations, le ”fond
de commerce” de la théorie des plasmas.
Il existe en fait quatre principales approches de la physique des plasmas utilisant diﬀérentes
approximations suivant les circonstances.
1.3.1
Théorie des orbites
Cette théorie concerne l’étude du mouvement d’une particule individuelle en
présence de champs électrique et magnétique à-priori spécifiés. Cette approche n’est
pas réellement celle d’une théorie des plasmas puisqu’elle concerne la dynamique d’une
particule dans un champ électromagnétique spécifié et non modifié par la présence de
cette particule. Néanmoins, cette approche est importante pour aider à comprendre le
comportement ”fin” d’une particule, comportement qu’il sera alors possible de généraliser
dans certains cas à une assemblée de particules chargées. La diﬃculté ne sera donc pas
le problème de rétro-action entre champs et particules mais bien plutôt le caractère non
linéaire des équations du mouvement en présence de champs non homogènes. Cela sera
l’objet du premier chapitre de ce cours.
Cette approche a prouvé son utilité dans le cas de plasmas de faible densité pour lesquels la
dynamique est essentiellement déterminée par l’interaction des particules avec les champs
externes appliqués. C’est le cas par exemple, des plasmas peu denses de la ceinture de
radiation de Van Allen, de la couronne solaire, des rayons cosmiques, des accélérateurs à
hautes énergies, des tubes cathodiques, etc ...
1.3.2
Théorie cinétique
Il est évident que le comportement même très intéressant d’une particule individuelle
n’est pas d’un intérêt probant lorsque l’on s’intéresse à une assemblée très importante
de particules interagissant ensembles et avec les champs électromagnétiques. Dans le
même temps, une distribution de N corps contient beaucoup trop d’informations pour
être eﬃcacement utilisable 7 . Afin d’obtenir une description macroscopique du plasma,
7. De plus, la plupart des sytèmes ayant un grand nombre de degrés de liberté vérifie l’hypothèse de
régression des corrélations de Bogolioubov. En résumé, tout système dynamique évolue spontanément
sur trois échelles de temps distinctes : une échelle pré-cinétique de l’ordre de l’inverse de la fréquence
de collision, l’échelle cinétique (qui nous intéresse ici) et l’échelle fluide (hydrodynamique). Après une
période pré-cinétique, la plupart des corrélations entre particules est détruite et le système peut être
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
INTRODUCTION
Page 15
une approche statistique peut alors s’avérer nécessaire. La discernabilité de chaque
particule est alors perdue au profit d’une approche plus globale qui implique une réduction
drastique (c’est étudié pour !) du nombre de paramètres à suivre au cours du temps. Dans
cette théorie cinétique statistique, il est seulement nécessaire de connaître la fonction de
distribution. Le problème se réduit à résoudre les équations qui gouvernent l’évolution
de cette distribution dans l’espace des vitesses. Cette théorie sera le sujet du deuxième
chapitre de ce cours d’introduction à la physique des plasmas. L’exemple type d’une
équation cinétique (et la plus simple) est représenté par l’équation de Vlasov. Cette
équation exprime l’évolution d’une assemblée de particules chargées en présence de champs
électromagnétiques auto-cohérents lorsque l’on néglige toutes les corrélations à courtes
longueurs d’onde (appelées aussi collisions proches ou de type boules de billard).
1.3.3
Théorie multi-fluide
Dans le cas contraire où l’on ne peut plus négliger ces collisions proches, on peut faire
l’hypothèse inverse et supposer que chaque espèce arrive à maintenir un équilibre thermodynamique local (ETL) si bien qu’elle peut être décrite comme un fluide ayant une densité,
une vitesse et une température locale. Elle concerne l’étude de la dynamique des fluides
conducteurs en présence de champs magnétiques et permet de décrire le plasma comme
une collection de particules en terme de moyenne sur de petits volumes dans l’espace des
phases. Le plasma est donc un ensemble de diﬀérents fluides intéragissant à travers
les champs électromagnétiques et est pour cela appelée théorie multi-fluide (ou à deux
fluides dans le cas le plus simple). Dans le cadre de cette théorie, il s’ajoute aux équations
du paragraphe (1.2), les équations hydrodynamiques de conservation : conservation de la
masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie pour chacune des populations mises
en jeu.
1.3.4
Théorie magnétohydrodynamique
A la limite des très basses fréquences (échelle de temps très grande), on peut traiter le
plasma dans son ensemble comme un fluide conducteur unique, un mono-fluide. Cette
théorie appelée théorie magnétohydrodynamique est l’expression la plus simple des
équations gouvernant l’évolution d’un plasma, et est de ce fait, largement utilisée dans
de nombreux domaines de la physique des plasmas lorsque cela est possible. Il faudra
toutefois garder à l’esprit que cette théorie forgée de toutes pièces dans une volonté de
simplification extrême possède des limitations fortes, en particulier, certaines de ces hypothèses qui seront discutées dans la suite de ce cours, ne sont ni justifiées ni même
justifiables. La pertinence de cette théorie vient du fait qu’elle permet d’expliquer de
nombreux phénomènes physiques observés dans les plasmas et donc ne possède de justification que dans la mesure où elle marche, ce qui, il faut bien le reconnaître n’est pas si
mal du tout !!!
Les quantités physiques obtenues de cette manière (densité, température, pression, etc...)
sont gouvernées par les lois de conservation de base que sont la conservation de la masse,
de l’impulsion et de l’énergie. De cette façon, si les eﬀets des champs électromagnétiques
sont négligeables, les équations fluides décrivant la dynamique des processus physiques
sont les équations de l’hydrodynamique. Elle sera quant à elle traitée dans le troisième
chapitre.
décrit par une distribution beaucoup plus simple qui ne dépend plus que de la position, de la vitesse et
−
−
du temps f (→
r ,→
v , t).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 16
1.4
INTRODUCTION
Les échelles caractéristiques
Les conditions de température et de densité régnant au sein de diﬀérents milieux naturels
ou créés en laboratoire sont extrêmement disparates. Une façon de s’en persuader est de
regarder la valeur que prennent ces deux paramètres pour certains plasmas, reporté dans
la liste ci-dessous (1.6).
gaz faiblement ionisé
ne (cm−3 ) T (K)
ionosphère (couche D : altitude70km)
décharge gazeuse à faible intensité
décharge gazeuse à forte intensité
convertisseur magnétohydrodynamique
103
1011
1015
1016
102.5
104
105
103
gaz interstellaire
vent solaire
ionosphère (couche F : altitude 250 km)
couronne solaire
plasma alcalin d’ionisation superficielle
plasma produit par laser
explosion thermonucléaire
100
100.5
105.5
107
1012
1019
1020
103.5
105
103
106.5
103
105
106
électrons dans les métaux
intérieur des étoiles
intérieur des naines blanches
pulsars
1023
1027
1032
1037
102.5
107.5
107
100
gaz fortement ionisé
(1.6)
matière dense
D’une façon générale, les plasmas de laboratoire se caractérisent par une densité basse.
Afin de maîtriser cette diversité phénoménologique, la première étape est l’identification
des diﬀérentes échelles (temporelles et spatiales) caractéristiques des processus étudiés.
Les échelles caractéristiques ainsi déterminées permettront, entre autre, de savoir quel
type de comportement (collisionel ou non) domine dans le plasma étudié et de ce fait
quel type d’approche théorique utilisée. Sans rentrer dans une ”zoologie” interminable
des diﬀérentes échelles pertinentes concernant chaque domaine de la physique du plasma,
il est intéressant de mettre en évidence les échelles les plus communes que l’on retrouve
systématiquement dans la littérature.
1.4.1
Hypothèse de quasi-neutralité
La pierre angulaire des théories décrivant l’existence et l’évolution des plasmas peut être
décrite en un mot: la ”quasi-neutralité”. Dans un plasma, la matière est dissociée en
ses composantes électriquement positives et négatives. Un plasma
� est donc en général
“macroscopiquement” neutre du point de vue électrique (ρ =
ni Zi − ne e). Le terme
macroscopique signifie que cette neutralité n’est vérifiée qu’en moyenne, à une échelle
spatiale suﬃsamment grande. Ceci a pour conséquence que la force agissant sur ces
particules n’est pas comme dans le cas d’un gaz neutre une force à courte portée 8 mais
bien plutôt une force à très long rayon d’action (en théorie de portée infinie) : la force
8. Dans un gaz neutre, les collisions sont binaires à cause de la courte portée des forces d’interaction
(collision de type boule de billard). Les déviations subies par les atomes sont donc rares mais extrêmement
brutales et décrites par la théorie de Boltzmann dont nous aurons un aperçu dans les chapitres suivants.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 17
INTRODUCTION
de Coulomb 9 . Toute charge interagit en principe constamment et simultanément avec
un grand nombre de particules voisines qui créent autour d’elle un champ électrique (de
charge d’espace). Ce comportement que l’on appelle “collectif ” est une caractéristique
essentielle des plasmas.
D’autre part, il est à noter que la force électrostatique est une force de grande amplitude
dont l’action sera très importante sur les particules chargées. Pour s’en persuader, il suﬃt
d’estimer un ordre de grandeur de cette force en regardant l’accélération d’une particule
légère sous l’action d’un champ électrique. L’écart à la quasi-neutralité dans un volume
sphérique V induit l’existence d’un potentiel de la forme
1 Q
1 (qe Ne + qi Ni )V
=
4πεo r
4πεo
r
où Ne et Ni représentent respectivement les densités électroniques et ioniques que l’on
supposera uniformes dans la sphère V . En supposant les ions immobiles (formant un fond
neutralisant), ce potentiel peut être associé à un champ électrique E et donc une force f
qui aboutira à l’accélération d’un électron de charge q = −e de la forme :
Φ(r) =
γ=
1
e Φ(r)
e 1 (qe Ne + qi Ni )V
f (r) = −
=−
m
m r
m 4πεo
r2
Si l’on suppose un écart à la neutralité de l’ordre de 1/100 (|Ne − Ni | /Ne = 1/100) sur
une sphère de 1cm de rayon et pour une densité de l’ordre de N ∼ 1011 particules par
cm−3 , on trouve une accélération de l’ordre de γ ∼ 8 × 1015 ms−2 , accélération qui est
absolument énorme. Il est donc certain que tout écart à la quasi-neutralité sera presque
”instantanément” corrigé par la population la plus mobile, c’est-à-dire les électrons. Ceci
traduit la tendance naturelle du plasma à rester neutre sur des échelles spatiales L et
temporelles T universelles pour tous les plasmas, ce sont la longueur de Debye et la
fréquence plasma (ou fréquence de Langmuir).
1.4.2
Ecrantage électrique : la longueur de Debye
Les charges négatives sont attirées par les charges positives, et réciproquement. Cette
tendance naturelle implique que statistiquement, toute charge va s’entourer d’un surplus
de charge de l’autre signe, formant autour d’elle ce que l’on appelle le nuage de Debye. Il
est très important de prendre conscience que chaque électron du nuage qui entoure un ion
entre et sort de ce nuage en un temps très court. En fait, ce processus est tout à la fois
dynamique et statistique et représente un équilibre entre deux tendances antagonistes,
la force Coulombienne qui tend à rapprocher les électrons de l’ion central et l’agitation
thermique qui tend à lisser toutes les accumulations de charge 10 .
Un modèle simple mono-dimensionnel permet de décrire qualitativement ce phénomène
d’écrantage statistique. On suppose que les électrons et les ions sont répartis dans l’espace
9. La force de Coulomb décroît avec la distance interparticulaire r comme 1/r2
10. Cet équilibre entre l’agitation thermique d’une part et la force Coulombienne d’autre part, est
décrite par une distribution particulière : la distribution de Boltzmann. On obtient par exemple pour la
densité des électrons autour de l’ion central, la relation
ne (r) = no e(
eφ(r)
kT )
où φ(r) est le potentiel électrostatique autour de l’ion en fonction de la distance relative électrons-ions r.
Nous reviendrons sur cette expression dans la suite de ce cours.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 18
INTRODUCTION
Figure 1.2: modèle simplifié permettant de définir la longueur de Debye
de façon uniforme et en densité égale. On suppose d’autre part qu’il existe une région de
l’espace L de surface indéfinie possédant un surplus d’électrons de densité constante égale
à ne , la symétrie du problème est celle représentée figure (1.2).
Dans cette zone, le champ électrique est variable et obéit à l’équation de Poisson.
dE
d2 Φ
ene
=− 2 =−
dx
dx
εo
dont la solution générale peut s’écrire
Φ(x) = α + βx + (
ne e 2
)x
2εo
ou, en supposant que les conditions aux limites vérifient les relations Φ = 0 et dΦ/dx = 0
quand x = 0,
ne e 2
Φ(x) = +(
)x
2εo
Le terme quadratique représente l’eﬀet sur le potentiel de la charge d’espace constante,
ρ = −ene . A partir de ce potentiel, il est aisé d’en déduire l’énergie potentiel Ep que devra
vaincre un électron ayant une énergie cinétique Ec pour pouvoir atteindre la position x = 0
avec une vitesse nulle, en partant du bord de la zone L que l’on note x = λD . On trouve
donc
∆Ec = −∆Ep =⇒ (Ec (0) − Ec (λD ) = e(Φ(0) − Φ(λD ))
où l’énergie cinétique de l’électron est 1/2kB T par degré de liberté, T étant la température
du gaz électronique. On appellera ainsi longueur de Debye 11 , la distance maximale
susceptible d’être traversée par cet électron sous le simple eﬀet de son agitation thermique,
on obtient
1
ne e 2 2
kB T e =
λ
2
2�o D
Cette longueur maximale qui représente la distance parcourue par un électron du fait de
son inertie, s’écrit donc
�
� o kB T
λD =
(1.7)
ne e 2
Cette structuration en sphère de Debye n’a pas un caractère statique et ordonné mais bien
plutôt dynamique et statistique, un électron participant à plusieurs sphères de Debye simultanément et possédant lui-même une sphère ionique tout en évoluant dans l’espace
11. La longueur de Debye est donc bien un compromis entre l’agitation thermique, qui tend à produire une non-neutralité du plasma, et la densité des particules qui impose �
cette même neutralité par
l’intermédiaire des forces électrostatiques. C’est ce qu’exprime la formule en Te /ne définissant λD .
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Page 19
INTRODUCTION
sous l’eﬀet de son agitation thermique. Ce phénomène d’accumulation statistique et temporaire des charges ”écrante” le champ électrostatique 12 . La longueur de Debye peut donc
être considérée comme une longueur de corrélation des positions des diﬀérentes charges,
ou pour le dire autrement, des fluctuations de densité.
1.4.3
Ecrantage électrique : la fréquence plasma
L’écart à la neutralité est limité à des distances de l’ordre de λD . Il est naturel d’anticiper
qu’il puisse exister de la même façon une échelle temporelle. Si l’on introduit une perturbation locale sous la forme d’un excès de charge électrique positive ou négative, celui-ci
va tendre à revenir vers l’état d’équilibre de neutralité. Là encore, un modèle simplifié à
l’extrême permet d’obtenir une estimation de cette échelle de temps caractéristique. On
considère un plasma constitué d’ions supposés infiniment lourds (de densité nio ), donc au
repos, et d’électrons mobiles constituant un fluide chargé de densité neo , tel que nio = neo .
L’agitation thermique et les collisions sont supposées négligeables et aucun champ électrique et magnétique n’est imposé par des sources externes. La perturbation spatiale
→
−
ξ induit alors une séparation de charge δne qui se traduit par l’apparition d’un champ
→
−
électrique E . La relation fondamentale de la dynamique s’écrit alors sous la forme
→
−
→
−
→
−
d2 ξ
me 2 = −e E = e ∇Φ
dt
Par ailleurs le potentiel Φ est donné par l’équation de Poisson
�Φ =
(1.8)
e
δne
εo
(1.9)
où δne est la perturbation de densité par rapport à la densité d’équilibre neo . La conservation de la matière au cours de cette perturbation s’exprime par la loi de conservation
habituelle.
→
−
−
∂δne →
∂ξ
→
−
→
−
+ ∇ · [(neo + δne ) v ] = 0 avec v =
∂t
∂t
En supposant une perturbation très petite (approximation linéaire !), on obtient
→
−
→
− ∂ξ
∂δne
+ neo ∇ ·
=0
∂t
∂t
d’où la relation
−
→
− →
δne = −neo ∇ · ξ
(1.10)
En utilisant simultanément les équations (1.8), (1.9) et (1.10), on en déduit que
→
− →
−
d2 ( � · ξ )
e
=
�Φ
2
dt
me
1 d2 δne
e2
=
−
δne
neo dt2
m e εo
d2 δne neo e2
+
δne = 0
dt2
m e εo
(1.11)
12. Dans cette introduction, la longueur de Debye a été définie de manière qualitative, un calcul plus
rigoureux faisant intervenir la fonction de distribution des électrons permettra d’obtenir la forme de ce
potentiel Φ induit par un excès de charge et spatialement ”écranté” sur une distance λD .
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 20
INTRODUCTION
Cette dernière équation est l’équation d’un oscillateur harmonique oscillant à la pulsation
�
neo e2
ωpe =
(1.12)
m e εo
pulsation appelée par abus de langage fréquence plasma électronique 13 . L’équation
−1
(1.11) décrit une force de rappel linéaire, opérant sur une échelle de temps ωpe
. Bien
que cette force de rappel ait tendance à restaurer la neutralité du plasma, elle ne peut y
parvenir car à l’instant où la densité des électrons regagne sa valeur initiale neo , l’énergie
potentielle du déplacement est convertie en énergie cinétique. Les électrons ”ratent” alors
leur cible emportés par leur inertie. Ils continuent sur leur lancée créant une nouvelle
charge d’espace jusqu’à ce que le champ électrique ainsi créé les arrête et tout recommence.
On voit donc que toute perturbation va engendrer une oscillation pendulaire non amortie
du plasma autour de sa position d’équilibre 14 . Néanmoins, en moyenne, le plasma arrive
à maintenir sa neutralité.
On a considéré le plasma comme un fluide à température nulle, contrairement à l’analyse
menée à la section précédente. Cela s’explique par le fait que ces oscillations sont extrêmement rapides, durant celles-ci l’équilibre thermodynamique local n’est pas assuré, la
notion même de température n’est donc plus pertinente 15 .
−1
Le rôle de référence joué par ωpe
et λD leur valent le statut d’unités naturelles. On notera
qu’elles n’ont pas de valeur absolue mais dépendent des variables thermodynamiques :
densité particulaire, température, caractéristiques du milieu étudié. Une relation simple
relie ces deux quantités :
vth
λD =
ωp
où vth est la vitesse thermique associée à la particule considérée. Une particule typique
du plasma explore à la vitesse vth la distance maximale de corrélation (d’interaction) de
n’importe quelle autre particule chargée du plasma. Le temps τ = 2πωp−1 est donc bien
le temps moyen d’amortissement des corrélations binaires entre particules chargées.
Les paramètres définissant le plasma peuvent varier dans de grandes proportions suivant
les plasmas que l’on regarde. Afin d’avoir une idée des valeurs rencontrées dans notre
univers, le tableau ci-dessous donne les valeurs approximatives observées dans certaines
situations caractéristiques.
13. De la même façon des oscillations ioniques peuvent apparaître à la fréquence plasma ionique.
ωpi = (
me 1/2
) ωpe
Mi
14. C’est pour cette raison qu’un plasma froid peut être assimilé mécaniquement à un oscillateur harmonique !
15. Nous reviendrons sur le problème à définir la notion même de température dans le cas des plasmas
non collisionnels, c’est-à-dire, des plasmas dans lesquels les collisions type boule de billard sont totalement
négligeables. Ces plasmas présentent alors de grands écarts à l’équilibre thermodynamique (définis par
une fonction de distribution Maxwellienne) et il devient alors très diﬃcile d’associer une température à
ce plasma.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 21
INTRODUCTION
Plasma
Interstellaire
Vent solaire
Ionosphère
Couronne solaire
Décharge d’arc
Tokamak
1.4.4
n (m−3 ) T (kev) B (T ) ωpe (s−1 ) λD (m)
106
10−5
10−9
6 104
0.7
107
10−2
10−8
2 105
7
12
−4
−5
7
10
10
10
6 10
2 10−3
1012
0.1
10−3
6 107
0.07
20
−3
10
10
0.1
6 1011
7 10−7
1020
10
10
6 1011
7 10−5
nλ3D
3 105
4 109
104
4 108
40
3 107
νei (Hz)
4 108
10−4
104
0.5
1010
4 104
Critères d’existence d’un plasma
Certaines hypothèses sont sous-jacentes à l’utilisation de la théorie des plasmas. Elles
définissent des ”critères” d’existence du plasma, critères qui peuvent être approximativement ramenés au nombre de quatre.
1.4.4.1
premier critère :
L’écrantage de Debye est une caractéristique de tous les plasmas (hypothèse de quasineutralité !!) bien qu’il n’apparaît pas dans tous les milieux contenant des particules
chargées. Une condition nécessaire et évidente est que les dimensions du système étudié
doivent être beaucoup plus grands comparés à la longueur de Debye. Dans le cas contraire,
il n’y a pas assez d’espace pour que les eﬀets collectifs (statistiques) puissent exister, et
l’ensemble des particules ne constitue pas un plasma. Si on suppose que la dimension du
système est L, alors on doit avoir la relation
L >> λD
1.4.4.2
(1.13)
deuxième critère :
Le phénomène d’écrantage étant un phénomène statistique, il est d’autre part nécessaire
que le nombre de particules dans la sphère de Debye (de rayon λD ) soit très important,
on pose
ne V = ne λ3D >> 1
(1.14)
Cette relation, appelée approximation plasma, permet d’utiliser un modèle quasi-fluide
pour décrire le plasma et démontre que la longueur de Debye est bien plus grande que la
distance moyenne entre deux particules.
Dans ces conditions, on peut facilement montrer que l’énergie potentielle d’interaction est
beaucoup plus petite que l’énergie d’agitation thermique, |Uint | << Uth 16 . Cette inégalité
16. Dans la suite de ce cours, nous ferons un usage intensif de la théorie des perturbations (linéarisation
!!) dans l’étude des mécanismes de base des plasmas. L’une des conditions à remplir sera que la quantité
eΦ/kB T doit être suﬃsamment petite pour permettre des développements à l’ordre 1 des équations non
linéaires. Une façon d’apprécier ce rapport est de le calculer pour une charge e se trouvant à une distance
r = λD d’une charge test. On trouve alors
|Uint |
eΦ
e2 1 1
=
=
Uth
kB T
4πεo λD kB T
Ce rapport peut alors être réécrit en utilisant l’expression de la longueur de Debye, en eﬀet on a la relation
e2
1
=
εo k B T
nλ2D
si bien que le rapport de l’énergie potentielle d’interaction sur l’énergie d’agitation thermique prend la
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 22
INTRODUCTION
signifie du point de vue thermodynamique que le plasma se rapproche d’un gaz parfait.
On pourra donc utiliser la loi classique des gaz parfaits, p = nkB T pour définir la pression
interne du plasma. Dans certains cas, les électrons et les ions sont séparément en équilibre
avec Te �= Ti , si bien que cette formule s’applique pour chaque espèce de particules en
utilisant les pressions partielles pe et pi .
1.4.4.3
troisième critère :
Le troisième critère concerne la quasi-neutralité du plasma. La densité des électrons et
des ions doit être en égale proportion comme cela
�a déjà été souligné dans le paragraphe
(1.4.1). Nous devons donc avoir la relation ne = α nα où α représente toutes les espèces
d’ions possibles existant dans le plasma. Ce critère découle en fait directement du premier
critère. Si le système est beaucoup plus grand que la longueur de Debye alors nécessairement la quasi-neutralité doit être assurée au moins sur de grandes échelles (supérieure à
λD ).
1.4.4.4
quatrième critère
La fréquence plasma ωpe a été déterminée en négligeant totalement l’influence des neutres.
Il est clair que les collisions des électrons sur cette population ne peuvent que perturber,
voir détruire, toute oscillation collective des électrons. Pour que ces oscillations existent,
il est nécessaire que la fréquence de collisions électrons-neutre que l’on note υc soit plus
faible que la fréquence plasma.
ωpe
υc <
(1.15)
2π
En d’autre termes, le temps moyen entre deux collisions électrons-neutre doit être beaucoup plus grand que toutes les échelles temporelles caractéristiques des variations des
paramètres plasmas. Dans le cas contraire, les électrons seront forcés de suivre la dynamique des neutres et le plasma devra plutôt être considéré comme un gaz neutre.
1.4.5
Classification des plasmas
En plus des critères donnés section (1.4.4), on peut répartir les principaux types de plasmas
dans un diagramme densité-température dont les séparatrices délimitent diﬀérents types
de comportement.
La limite entre régions de couplage faible et de couplage fort est reliée au paramère plasma
Γ qui est défini par la relation
Γ=
forme
Energie d’interaction électrostatique
e2
=
Energie Thermique
4π�o kB T n−1/3
|Uint |
1
=
Uth
4πnλ3D
L’inégalité forte de l’équation (1.14) a pour conséquence que
|Uint |
<< 1
Uth
Les plasmas pour lesquels cette inégalité est vérifiée sont dits collectifs, ou faiblement couplés (sousentendu par l’interaction électrique).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 23
INTRODUCTION
On définit donc deux régions bien distinctes : (i) une région où Γ > 1 dite de fort couplage
et (ii) une région où Γ < 1 de faible couplage entre particule. Dans le cas limite où Γ = 1,
on trouve alors la relation densité-température suivante :
e2
= 1, 7 × 105 S.I.
4π�o kB
Si l’on suppose que la distance moyenne entre deux particules est bien donnée par la
relation d ≈ n1/3 (dans un plasma de densité n), on définit alors la longueur dite de
Landau qui correspond à la distance minimale d’approche pour laquelle deux particules
ont une énergie d’interaction égale à leur énergie cinétique moyenne par la relation
T n−1/3 =
rL =
e2
4π�o kB T
(1.16)
Cette distance est représentée sur le schéma (1.3) par la droite en traits pointillés épais.
De la même façon, la limite entre plasmas classiques et plasmas quantiques est donnée
par l’égalité de la longueur de deBroglie et de la distance interparticulaire,
h
h
=√
= n−1/3
(1.17)
p
mkB T
Prenons l’exemple des électrons, ce sont des fermions et on sait que s’ils se retrouvent trop
proches, les eﬀets quantiques vont intervenir. On peut caractériser ces eﬀets par l’énergie
de Fermi. La comparaison entre énergie thermique et énergie de Fermi est équivalente
à la comparaison entre distance entre particules et longueur d’onde de de Broglie, elle
aboutit au tracé de la droite en trait pointillés épais sur la figure (1.3). On constate
que pour la plupart des plasmas, l’énergie thermique est de plusieurs ordres de grandeur
supérieure à l’énergie de Fermi. Le point qui représente un métal typique est lui bien audessous de cette droite, ce qui correspond au fait bien connu que les eﬀets quantiques sont
fondamentaux pour comprendre le comportement métallique. Les plasmas de l’intérieur
de certaines étoiles peuvent être aussi sensibles aux eﬀets quantiques, on les appelle alors
dégénérés.
λBroglie =
La conclusion qu’on peut tirer de cette étude rapide est que les eﬀets qui régissent la
physique des plasmas sont, en général, fondamentalement diﬀérents de ceux qui régissent
les gaz. Les interactions binaires sont souvent négligeables et seuls interviennent dans la
dynamique les eﬀets collectifs : ce sont donc eux qui seront étudiés essentiellement ici.
La limite relativiste est quant à elle égale à kB Te = me c2 ce qui donne Te = 6 × 109 K.
En fait, pour la majorité des plasmas (à l’exception des électrons dans les solides), on
se trouve dans la région de comportement classique et de couplage faible comme cela est
illustré par la figure (1.3) ci-dessous.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 24
INTRODUCTION
λ
lpm
=1000km
=1m
=1µm
d=λ
Broglie
intérieur
du
Soleil
d=r
L
Figure 1.3: Répartition densité-température de quelques plasmas. Les droites en traits
pleins représentent la valeur du libre parcours moyen λlpm des électrons calculé à partir
de la relation obtenue à la section (4.52) définissant la fréquence de collision (λlpm =
vthe /νei ). La droite en traits pointillés épais représente la distance pour lesquels la distance
interparticulaire est égale à la longueur de Landau (relation 1.16) et la droite en traits
pleins épais représente la limite quantique associée à la longueur de DeBroglie (relation
1.17)
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
2.
Les ondes : électromagnétisme dans le désordre
Sommaire
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Existence des ondes plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Les modes propres du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Les modes instables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Généralités sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bases fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 Les solutions en ondes planes . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.2 Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.3 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.4 Fréquences de résonance et de coupure . . . . . . . .
Relation de dispersion formelle des plasmas . . . . . . . . .
Plasma sans champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Onde longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Onde transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Ondes basse fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plasma avec champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Propagation parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.1 Fréquence de résonance . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.2 Fréquence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1.3 Approche basse fréquence (onde “siﬄeur”) . . . . .
2.5.1.4 Approche très basse fréquence (ondes d’Alfvèn) . . .
2.5.2 Propagation perpendiculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2.1 Fréquence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2.2 Fréquence de résonance . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Propagation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3.1 Fréquence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3.2 Fréquence de résonance . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3.3 Approche basse fréquence (ondes “magnétosonores”)
Diagramme CMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
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.
.
.
26
27
27
28
29
29
30
31
32
32
34
36
37
37
38
39
40
40
40
41
42
43
43
44
44
45
45
46
L’étude des ondes et surtout de leur propagation (voire de leur amplification : instabilités)
est une branche très importante de la physique des plasmas qui ne sera qu’eﬄeurée dans
cette introduction mais sera reprise durant tout ce M2 et suivant diﬀérentes approches
(cinétique, fluide, MHD, ...).
On distingue plusieurs types d’ondes suivant qu’elles sont émises naturellement par le
plasma ou qu’elles sont utilisées par l’expérimentateur pour diagnostiquer le plasma ou
modifier ses propriétés. Les ondes émises naturellement par le plasma peuvent être diagnostiquées par des mesures directes dans le plasma (sondes de Langmuir, antennes magnétiques. . . .). On les observe, par exemple, dans les plasmas du Système Solaire où sont
envoyés des satellites et des sondes instrumentés. Ces mesures directes, in situ, permettent
25
Page 26
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
d’identifier des oscillations MHD dans la magnétosphère de la Terre, ou des ondes d’Alfven dans le vent solaire. Ces ondes émises par le plasma peuvent aussi se propager et être
observées ensuite à distance de la source. On observe de cette façon le rayonnement émis
par le plasma d’un tokamak ou les ondes radio émises par les électrons accélérés près de
la surface du Soleil grâce aux radiotélescopes installés au sol.
La connaissance des propriétés d’interaction des ondes avec les plasmas a donné depuis
longtemps l’idée de les utiliser comme outil de diagnostic pour connaître les propriétés
de plasmas diﬃcilement accessibles. On utilise la réflectométrie pour connaître la densité
du plasma dans un tokamak, ou les radars ionosphériques pour connaître les propriétés
de la turbulence dans l’ionosphère. Enfin les ondes sont utilisées aussi pour modifier les
propriétés du milieu. On peut créer un plasma par interaction d’une cible avec un laser
ou en injectant des ondes radio-fréquences dans un gaz. Les ondes servent aussi à chauﬀer
ou à accélérer un plasma déjà existant.
2.1
Existence des ondes plasma
Les champs (électrique et magnétique) associés à l’onde interagissent avec les particules
du plasma par l’intermédiaire de la force électromagnétique. Cette interaction modifie les
caractéristiques de propagation des ondes (vitesse de phase) par rapport au cas simple
d’une onde dans le vide. De plus, si on tient compte que le milieu plasma est souvent
aniotrope (présence d’un champ magnétique ambiant) et sujet à la force électromagnétique
à laquelle s’ajoute la force de pression (responsable par exemple des ondes accoustiques
dans les solides ou les fluides), on comprend aisément qu’un plasma peut supporter une
multitude de modes de propagation. Eﬀectivement, au contraire des fluides collisionnels où
seuls existent les modes sonores, un plasma raréfié est un milieu hautement dispersif où
il existe de nombreuses possibilités pour obtenir des phénomènes évoluant dans le temps.
En particulier, les hautes températures que suppose la génération d’un plasma impliquent
des particules ayant de très grandes vitesses (mais non relativistes). De tels mouvements
sont à l’origine de charges d’espace et de courants, termes sources des champs électriques
et magnétiques fluctuant dans le temps. La force de Lorentz en découlant, a une portée en
théorie infinie. Les interactions entre particules chargées du plasma ne peuvent donc être
décrites en termes d’interaction binaire uniquement car un grand nombre de particules
intervient statistiquement dans le déroulement de chaque processus élémentaire. Il s’ensuit
que même un écart infime à la quasi-neutralité rigoureuse du plasma (ni �= ne ) va induire
des forces électriques à longue portée qui vont influer, à distance, sur un très grand nombre
de particules.
De même, si le mouvement moyen des diverses espèces chargées est diﬀérent (les densités
étant par ailleurs telles que les charges sont compensées en tout lieu), il va apparaître
localement des courants susceptibles d’induire des perturbations électromagnétiques à
longue distance qui vont faire participer à ces mouvements locaux un vaste ensemble de
particules.
Il est alors naturel d’imaginer que l’existence de ces champs fluctuants est probable voire
obligée même dans un plasma “au repos”. De plus, par le simple fait des mouvements
thermiques, tout plasma en équilibre est le siège de fluctuations électromagnétiques qui
dépendent entièrement de la température du plasma et qui sont de ce fait appelées le
niveau de fluctuation thermique.
Le spectre thermique peut être déterminé en calculant les échanges entre la génération
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Page 27
des fluctuations thermiques et les phénomènes de réabsorption et de dissipation de ces
fluctuations au niveau microscopique. Se superposant à ces fluctuations thermiques, le
plasma va réagir, souvent violemment, à toute perturbation de son état d’équilibre. Ces
perturbations peuvent généralement 1 être décrites par une superposition d’ondes linéaires,
ou modes propres du plasma à l’équilibre, qui se propagent à travers le milieu afin de
transporter l’énergie de la perturbation pour la communiquer à l’ensemble du plasma.
2.1.1
Les modes propres du plasma
Les ondes ne peuvent exister dans un plasma qu’en vérifiant les équations décrivant celuici. Les modes propres du plasma ainsi définis ne formeront donc pas un spectre continu
mais discret. Ceci peut être compris en se rappelant que ces perturbations macroscopiques
vont avoir une influence loin de l’endroit où elles ont pris naissance et à des instants postérieurs à celui de leur apparition, du fait de la vitesse de propagation finie des perturbations
électromagnétiques. Les mouvements du plasma et son état local vont donc dépendre non
seulement des paramètres locaux instantanés mais aussi de l’état du plasma, dans des régions lointaines et à des instants antérieurs au temps d’observation. Ces eﬀets de retard et
de délocalisation donneront lieu à ce que l’on appellera la dispersion du plasma dont la
conséquence immédiate est de n’autoriser que certains modes de propagation particuliers
(les modes propres du plasma).
2.1.2
Les modes instables
L’amplitude de ces ondes doit de plus être supérieure au niveau des fluctuations thermiques
toujours présentes dans le plasma. Ceci impose des conditions initiales concernant la source
de ces ondes. Si l’amplitude de la source n’excède pas le niveau thermique et qu’aucun mécanisme n’amplifie cette perturbation, alors celle-ci n’aﬀecte pas le plasma et aucune onde
n’est générée. Dans le cas contraire, les échanges d’énergie ondes-plasma peuvent conduire
à la croissance de l’amplitude des ondes (action : particules → champs). On parlera
alors d’instabilité, capable de modifier profondément les paramètres macroscopiques du
1. En fait, le système d’équations décrivant la réponse du plasma à des champs extérieurs est essentiellement non-linéaire. Ceci rend diﬃcile l’étude de cette réponse, et surtout interdit de la déterminer
indépendamment de l’amplitude de l’excitation. Néanmoins, pour des perturbations de faibles amplitudes,
on pourra considérer que la réponse à une superposition d’excitation est données par une superposition
des réponses aux excitations individuelles. Cette approche, appelée approximation linéaire, est massivement utilisée pour l’étude des ondes car elle permet de décrire les modes propres du plasma de manière
“simple” ou en tout cas, de résoudre les équations de façon analytique.
Toutefois, cette approche n’est valable que si la densité d’énergie électromagnétique associée à la
perturbation est petite devant la densité d’énergie thermique du plasma non perturbé.
Eélectromagnétique =
�o E 2
B2
+
<< Ethermique = N kB T
2
2µo
En pratique, l’approximation linéaire permet d’écrire une grandeur physique sous la forme
G = Go + G1
où Go est la valeur non perturbée de G, et G1 représente la perturbation (la réponse du plasma ! !) de
G. On néglige alors dans les équations TOUS les termes du type G21 ou G1 H1 où H1 est la perturbation
→
−
−
d’une autre grandeur H. Un exemple significatif est l’expression du courant j = qn→
v qui se simplifie
sous la forme
→
−
−
−
j 1 = qno →
v 1 + qn1 →
vo
→
−
→
−
où on a négligé les termes d’ordre 2 ( j = qn v ).
2
1
1
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 28
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
plasma et dont l’existence induit le retour à l’équilibre thermodynamique des plasmas noncollisionnels hors équilibres (action : champs → particules). Ces modifications peuvent
être subtiles et n’aﬀectér qu’une partie limitée des particules (dites particules résonantes)
et conduire à une modification de la forme même des fonctions de distribution des vitesses (et donc nécessitant l’utilisation de la théorie cinétique). De plus, ces instabilités
ont souvent des amplitudes telles que la théorie linéaire (ou des faibles perturbations)
n’est plus valable, on parle alors de théorie non-linéaire. Néanmoins, l’étude linéaire de
ces instabilités reste très riche d’enseignements puisque ces instabilités ne peuvent exister
dans le plasma que suivant les modes propres de celui-ci.
Comme on peut donc le comprendre, l’étude des ondes dans les plasmas est d’une importance capitale car elles transportent de l’information et de l’énergie sur de grandes distances. Certaines ondes (ondes électromagnétiques) transmettent même de l’information
en dehors du plasma et sont donc un excellent moyen d’investigation lorsque l’observateur
ne peut pas venir “in-situ” voir l’intérieur du plasma. Les ondes peuvent aussi grandir
(instabilité) ou décroitre (amortissement) et donc diminuer l’énergie disponible pour le
plasma ou à l’inverse augmenter cette énergie. Du fait qu’un plasma est constitué d’au
moins deux fluides (électrons+ions), le nombre d’ondes diﬀérentes pouvant être générées
dans un plasma est beaucoup plus important que pour un fluide normal où seul les ondes
acoustiques sont possible.
2.2
Généralités sur les ondes
Dans ce chapitre, il n’est bien entendu pas question de faire un bestiaire de toutes les
ondes pouvant être générées (exitées) dans un plasma, nous nous focaliserons plutôt sur
la méthode générale de détermination des modes propres, laissant leur détermination
exacte aux cours plus spécialisés. En fait, la détermination des autres ondes possibles
suivra le même principe, seul changera le nombre de termes considérés dans l’équation du
mouvement, des hypothèses faites concernant l’équation d’état (équation de fermeture)
et de la description utilisée, description à un fluide ou à deux fluides suivant la ou les
populations de particule soutenant l’onde considérée.
Comme nous nous focaliserons sur les ondes les plus simples, la géométrie utilisée sera elle
→
−
aussi très simple. On prendra donc un plasma magnétisé par un champ B o uniforme. On
se limitera aussi à des perturbations du milieu d’amplitude très petite. Il est évident au
regard des équations que celles-ci forment un système d’équations non-linéaire couplées.
Il est donc naturel de s’attendre à un couplage non-linéaire des diﬀérentes quantités fluc→
−
tuantes d’une onde (pression, densité, champ magnétique B , vitesse, courant, etc ...) et
donc à des amplitudes pouvant être très grandes, voir dépassant les quantités uniformes.
Dans ce cas malheureusement, la résolution analytique exacte des équations de Maxwell
devient alors impossible. Cette limitation est donc très restrictive d’un point de vue
physique mais possède de nombreux avantages. En particulier, elle permet l’application
du principe de superposition qui ne fonctionne que pour les équations linéaires.
En utilisant des équations linéaires afin de décrire la croissance/décroissance des ondes,
on peut alors voir toute perturbation comme la superposition de composantes de Fourier
(modes de Fourier) et donc d’étudier l’évolution de chaque mode de façon isolé dans
l’équation du mouvement, ce qui nous simplifiera singulièrement la tâche. Les techniques
mathématiques utilisées seront donc les mêmes pour l’étude des ondes et des instabilités
dans leur régime linéaire.
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(Auteur : Philippe Savoini)
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
2.2.1
Page 29
Bases fondamentales
Avant même d’eﬄeurer les ondes plasmas proprement dites et les mécanismes leur donnant
naissance, il est important de revenir sur les équations de bases ainsi que sur le concept
même des ondes progressives.
Afin de simplifier cette introduction, nous allons nous focaliser sur les ondes électromagnétiques se propageant dans un espace libre. Les équations de Maxwell de la section (1.2)
→
−
se simplifient alors (ρ = 0 et j = 0) et l’on obtient le système suivant :
→
− →
−
∇·E =0
→
− →
−
∇·B =0
−
→
→
− →
−
∇ × E = − ∂∂tB
−
→
→
− →
−
∇ × B = εo µo ∂∂tE
(2.1)
En éliminant le champ magnétique par substitution dans ces équations, on trouve l’équation de propagation du champ électrique sous la forme
→
−
1 ∂E
∇ E − 2 2 =0
c ∂t
−
2→
où on a poser c−2 = εo µo . Bien sûr, nous obtiendrions le même type de relation en
éliminant le champ électrique pour ne garder que le champ magnétique. On voit donc que
→
−
→
−
dans le vide, champs E et B se propagent de manière identique à la vitesse de la lumière.
Puisque cette équation est satisfaite pour chaque composante de ces vecteurs, on peut
écrire une équation d’onde scalaire du type :
∇2 ψ −
2.2.1.1
1 ∂ψ
=0
c2 ∂t2
(2.2)
Les solutions en ondes planes
Dans le cas des ondes électromagnétiques, la solution recherchée est simple, se sont des
ondes transverses se trouvant dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation
(voir relation 2.1) et fonction seulement de la distance à l’origine et du temps. Ce plan,
appelé “front d’onde” est défini par sa distance ζ à l’origine ainsi que par le vecteur normal
→
−
k comme cela est représentée sur la figure (2.1).
−
Il s’ensuit que n’importe quels points de ce plan caractérisé par le vecteur position →
r
→
− →
→
−
→
−
−
vérifie la relation : k · r = ζ = cte et donc que les vecteurs champs E et B varient
spatialement suivant le seul paramètre ζ (et le temps bien sûr), si bien que l’équation
(2.2) se réécrit simplement
∂ 2ψ
1 ∂ψ
−
=0
∂ζ 2
c2 ∂t2
dont la solution générale est une combinaison de fonctions quelconques de variables ζ − ct
et ζ + ct que l’on peut écrire
ψ(ζ, t) = f (ζ − ct) + g(ζ + ct)
La fonction f (ζ − ct) représente une onde plane se propageant dans la direction des ζ
positifs à la vitesse c, la fonction g(ζ + ct) donnant une propagation dans le sens inverse.
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
z
k
ζ
r
y
x
Figure 2.1 – Dans le cas d’ondes transverses, les vecteurs champs sont constants sur le
front d’onde, ils ne dépendent donc que de ζ et du temps t.
Dans le cadre de la théorie linéaire, nous pouvons aller plus loin, car il devient possible de
décomposer n’importe quelle fonction sur une base de composantes sinusoïdales eik(ζ−ct)
−
→−
→
que l’on peut réécrire, en posant ω = kc et en explicitant ζ, sous la forme ei( k · r −ωt)
−
pour une onde se propageant dans le sens positif. Toute perturbation f (→
r , t) peut se
décomposer en une somme d’après les propriétés de la transformation de Fourier
��
�
−
→−
→
→
−
→
−
→
−
f ( r , t) =
dk
dωf ( k , t)ei( k · r −ωt)
→
−
−
f ( k , ω) se déduisant de f (→
r , t) par la transformée inverse 2 . L’intérêt des ondes sinusoïdales est que les opérateurs diﬀérentiels tels ceux du système (2.1) se simplifient en
opérateur algébriques :
→
−
→
−
→
−
→
−
∂
∂
= −iω ; ∇ = →
= i k et ∇× = i k ×
−
∂t
∂r
(2.3)
qui permettent de simplifier les équations de Maxwell dans le vide sous la forme d’équations algébriques linéaires et homogènes.
2.2.1.2
Vitesse de phase
−
On peut, dans le cas d’une propagation positive, décrire l’onde par la fonction ψ(→
r , t) =
→
− →
−
Acos( k · r − ωt), les fronts d’onde, définis comme ayant la même phase, sont donnés par
la relation
→
− →
k ·−
r − ωt = kζ − ωt = cte
→
− →
−
2. Ecrire une grandeur sous forme complexe tel que Eei( k · r −ωt) signifie que le champ est sinusoïdal
→
− −
et de la forme � E � cos( k · →
r − ωt + δ) avec tan(δ) = Im(E)/Re(E).
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Page 31
Ondes ayant des fréquences
très proches forment un
paquet en interférants les
unes avec les autres
Enveloppe définissant
le paquet d'onde
Figure 2.2 – Schéma d’un paquet d’onde.
La vitesse de phase est alors la vitesse de propagation de ces plans d’onde, donnée par
−
Vphase = dζ
= ωk . La vitesse de phase est positive lorsqu’une onde se déplace vers les →
r
dt
positifs (ζ augmente avec t de façon que kζ − ωt = cte !).
2.2.1.3
Vitesse de groupe
Il est important de souligner que les ondes réelles ne sont jamais des perturbations monochromatiques d’extension spatiales infinies. Elles forment des paquets d’onde que l’on
peut décomposer en une superposition d’ondes monochromatiques de fréquences et de
longueurs d’onde très proches et qui se propageront avec une vitesse diﬀérente.
Un tel paquet d’ondes peut être représenté par l’équation
� +∞
−
→−
→
→
−
→
−
→
−
ψ( r , t) =
A( k , ω)e[i( k · r −ωt)] d k dω
(2.4)
−∞
→
−
→
−
La fonction A( k , ω) présentant un pic pour une valeur ( k o , ωo ) et tendant vers 0 pour
→
−
−
k et ω s’écartant de ces valeurs. La fonction A(→
r , t) conservera la même forme en tout
→
−
point ( r , t) de l’espace-temps où les ondes planes constituant le signal interféreront entre
elles de façon identique. Pour cela, il faut que la phase relative entre les composantes de
Fourier reste la même. Il s’ensuit que ω est nécessairement une fonction de k qui varie
légèrement autour de sa valeur ω(ko ). On peut donc développer cette fonction autour de
ko et en ne gardant que les termes d’ordre un, on obtient
→
− →
−
∂ω
ω(k) ≈ ωo + ( k − k o ) · →
− | ko
∂k
→
−
La phase dans l’équation (2.4) se réécris en faisant apparaître les quantités k o et ωo :
→
− →
→
− −
→
− →
−
∂ω
−
k ·−
r − ω(k)t ≈ k o · →
r − ωo t + ( k − ko ) · [→
r − →
− |ko t]
∂k
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La phase restant nécessairement constante pour le paquet d’onde, il faut (et il suﬃt) que
−
[→
r − ∂ω
−
→ |k t] = 0. Dans ce cas, la vitesse du paquet d’onde (appelée vitesse de groupe)
∂k o
est donnée par
−
−
d →
∂ω
d→
r
∂ω
d→
r
∂ω
[−
r − →
|
t]
=
−
|
=
0
=⇒
V
=
= →
ko
ko
groupe
−
→
−
− | ko
dt
dt
dt
∂k
∂k
∂k
Au vu de cette expression, on peut voir que si le milieu est tel que la vitesse de phase
n’est pas une fonction de k (i.e. ω(k) = cte · k) alors la vitesse de groupe est égale à la
vitesse de phase et le milieu est alors non dispersif (c’est le cas des ondes dans le vide
où l’on a ω = ck). Dans le cas où la vitesse de phase décroît lorsque k augmente (i.e.
∂Vphase /∂t < 0) alors Vgroupe est inférieure à Vphase et le milieu est dit dispersif, dans le
cas contraire on parlera de milieu dispersif “anormal”.
→
− →
−
L’utilisation du développement de Taylor à l’ordre un (terme linéaire en k − k o ) pour
obtenir la forme du paquet d’onde limite le concept de la vitesse de groupe de ces paquets
d’onde à des faibles valeurs autour de ko et ωo , dans le cas contraire, la forme du paquet
d’onde change en s’étendant spatialement.
2.2.1.4
Fréquences de résonance et de coupure
Les équations de dispersion ω(k) obtenues peuvent mettre en évidence deux cas particuliers intéressants lorsque l’indice de réfraction N = ck
passe par les valeurs : (i) N → 0 ou
ω
(ii) N → ∞. Ces deux valeurs caractérisent un comportement des ondes particulier que
l’on nomme respectivement la fréquence de coupure et la fréquence de résonance.
En particulier, le passage par une fréquence de résonance se caractérise par un changement
de signe de N 2 , le vecteur d’onde devient un complexe imaginaire pur et l’onde s’amortie
exponentiellement, il n’y a plus de propagation. C’est ainsi que les fréquences de coupures
et de résonances délimitent les régions de propagation et d’évanescence. On peut donc
dire :
– Fréquence de coupure : N → 0. Ceci se rencontre lorsque la vitesse de phase tend
vers l’infini (vϕ → ∞), il y a alors réflection de l’onde.
– Fréquence de résonance : N → ∞. L’onde est réfléchie (ou amortie). On parle de
résonance, car à cette fréquence le champ électrique de l’onde se déplace (ou tourne)
dans le même sens et à la même vitesse que les particules du plasma (vϕ ∼ vth ). L’énergie
de l’onde est alors transmise directement aux particules (on parle aussi d’absorption).
La détermination de ces fréquences permet de séparer les plages de fréquences ayant le
même comportement. Elles seront utilisées pour définir le diagramme CMA (diagramme
de Clemmov, Mullaly et Allis) que nous verrons alors brièvement à la section (2.6).
2.3
Relation de dispersion formelle des plasmas
→
−
Dans un plasma, il existe donc un fort couplage entre les champs électromagnétiques ( E
→
−
et B ) et les particules, qui est décrit par les équations de Maxwell. Dans ces équations, ce
couplage entre les champs et le plasma est assuré par l’intermédiaire des termes sources, le
→
−
→
− →
−
courant j = j + j ext et les charges d’espace ρ = ρ+ρext (où ext correspond aux courants
et charges imposés de l’extérieur). A ce stade, il est intéressant de remarquer que le plasma
peut être vu (i) soit comme un conducteur, (ii) soit comme un diélectrique. En eﬀet, sous
l’action du champ électrique, les particules se déplacent. On pourra donc considérer que
le mouvement des particules (i) correspond à un courant, le plasma est alors défini par
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Page 33
sa conductivité électrique ou alors (ii) ce déplacement correspond à l’apparition, en plus
de la charge initiale, d’un dipôle formé d’une charge égale à la charge initiale placée à sa
nouvelle position et d’une charge de signe opposée, placée à son ancienne position. Dans
ce cas, on parle d’un diélectrique. En eﬀet, le mouvement se traduit par une séparation
entre les noyaux (ions) et le nuage d’électrons – le milieu est dit “polarisé”. Dans le cas
d’un plasma, ce mouvement se traduit par une séparation entre les électrons et les ions.
Dans les deux cas, les équations de Maxwell doivent décrire la même physique, et l’étude
formelle des ondes s’obtient en éliminant le champ magnétique pour obtenir une équation
ne dépendant que du champ électrique et du courant associé. On prend donc le rotationnel
de l’équation (1.4) si l’on modélise le plasma comme un conducteur
�
→
−�
→
−
→
− →
−
− →
−
∂ →
∂
∂E
→
−
∇ × (∇ × E ) = − (∇ × B ) = −
µo j + � o µo
∂t
∂t
∂t
en introduisant la réponse du plasma aux champs de l’onde via sa conductivité (qui peut
→
−
→
−
→
→
être un tenseur que l’on note ←
σ): j =←
σ · E , on a alors
�
�
→
−
→
− →
−
→ →
−
∂←
∂2 ←
→
∇ × ( ∇ × E ) + µo
σ + �o 2 I · E = 0
(2.5)
∂t
∂t
←
→
où I est le tenseur identité. Pour des ondes sinusoïdales, l’équation (2.5) se réécrit en
utilisant les relations (2.3) sous forme d’opérateurs algébriques.
�
�
�
�
→
−
→
− →
→
− →
−
−
−
→
−
→
→ →
−
ω2 →
ω2 ←
←
→
←
→
2←
k × ( k × E ) + iωµo σ + 2 I · E = k ⊗ k − k I + iωµo σ + 2 I · E = 0
c
c
où on a utilisé la relation entre les produits vectoriel et tensoriel de l’annexe (9). En
explicitant les diﬀérents termes, on obtient le système suivant :
�
� �
ω2
2
kα kβ − k δαβ + iωµo σαβ + 2 δαβ Eα = 0
c
α=x,y,z
avec β = x, y, z qui donne les trois équations du système et où δαβ est le symbole de
Kronecker (δαβ = 1 pour α = β et δαβ = 0 autrement). De plus, cette équation peut
→
être modifiée pour faire apparaître le tenseur diélectrique réduit ←
κ lorsque l’on considère
le plasma, non plus comme un conducteur, mais comme un diélectrique 3 . Dans cette
3. Les approches, plasma conducteur ou plasma diélectrique, étant équivalentes, les résultats doivent
l’être aussi. Dans la description diélectrique, les équations de Maxwell s’écrivent sous la forme :
→
− →
−
k · E = −i ερo
→
− →
−
k ·B =0
→
− →
−
→
−
k × E = ωB
→
− →
−
→
−
→
−
k × H = −iµo j − cω2 D
avec les relations
→
−
→
−
B = µo H
→
−
→
−
→
D =←
� ·E
La comparaison de ce système avec celui obtenu dans le cas d’un conducteur (ou dans le vide) permet de
→
→
relier la conductivité ←
σ au coeﬃcient diélectrique ←
� via l’égalité
�
�
←
→
←
→
←
→
�
σ
←
→
κ =
= I −
�o
iω�o
→
où l’on à mis en évidence le tenseur diélectrique réduit ←
κ.
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Bo
z
k
Θ
y
0
x
Figure 2.3 – Système de coordonnées
approche, l’expression se simplifie et prend la forme :
�
�
� � k 2 c 2 � k α kβ
− δαβ + καβ Eα = 0
ω2
k2
α=x,y,z
Cette relation constitue un système linéaire sans second membre dont il existe une solution
→
−
non triviale ( E �= 0) si et seulement si le tenseur (i.e. matrice) coeﬃcient du champ
électrique possède un déterminant nul, c’est-à-dire
� 2 2�
�
�
k c k α kβ
det
− δαβ + καβ = 0
ω2
k2
Sans perte de généralité, nous pouvons choisir l’axe Oz le long du champ magnétique
→
− →
→
−
→
−
−
( B = (Bx = 0, By = 0, Bz = Bo ) et Ox dans le plan ( k , B ) avec k = (kx = ksinθ, ky =
0, kz = kcosθ) comme représenté sur la figure (2.3).
Sous ces conditions, le déterminant prend la forme simple en posant N =
l’indice de réfraction ou indice de phase)
�
�
� κxx − N 2 cos2 θ
κxy
κxz + N 2 sinθcosθ ��
�
�
�=0
κyx
κyy − N 2
κyz
�
�
� κzx + N 2 sinθcosθ
κzy
κzz − N 2 sin2 θ �
ck
ω
(N est appelé
(2.6)
Bien sûr, toute la diﬃculté consiste à déterminer l’expression du tenseur de conductivité
→
−
−
σ (ou cela revient au même le tenseur diélectrique →
κ ) adaptée au problème considéré,
nous allons en voir quelques exemples dans la suite de ce chapitre.
2.4
Plasma sans champ magnétique
Le cas d’un plasma SANS champ magnétique est de loin le plus simple, tout simplement
parce que le milieu est alors isotrope. La détermination du tenseur diélectrique peut alors
être aisément calculé dans le cas générique d’un plasma “chaud” 4 (donc en présence d’un
gradient de pression). Dans un premier temps, nous ferons les hypothèses suivantes :
4. Dans un plasma SANS champ magnétique, si nous devions faire en plus la simplification d’un plasma
froid SANS température (T = 0), nous n’aurions plus grand chose à étudier à part la propagation des
ondes électromagnétiques dans le vide !
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Page 35
– Ondes hautes fréquences. On ne s’intéresse qu’aux échelles de temps très courtes. Les
ions sont donc supposés infiniments lourds et on néglige leur réaction aux champs de
l’onde. Ils constituent juste un fond uniforme neutralisant.
– Approximation adiabatique. Les échelles de temps sont tellement courtes que le mouvement des électrons associé est supposé adiabatique. Cette hypothèse permet d’écrire la
→
−
→
−
relation d’adiabaticité entre pression et densité sous la forme ∇P/P = γ ∇n/n où γ
est le coeﬃcient polytropique.
Muni de ces deux hypothèses simplificatrices, la dynamique du système est décrit par les
deux seules équations :
→
−
−
∂n
+ ∇ · (n→
u)=0
∂t
(2.7)
→
− →
−
→
d−
u
nm dt = nq E − ∇P
On utilise ici l’approche fluide afin d’une part d’introduire de manière “simple” l’impact
de la température (gradient de pression) sur les ondes. Nous allons utiliser la méthode
standard de résolution des équations de dispersion. Comme seul les modes propres du
plasma nous intéressent ici, nous allons supposer que les ondes sont de petites amplitudes.
Cette approximation est naturelle et permettra d’une part de linéariser les équations
(c’est toujours avantageux au niveau des calculs ...) et d’autre part de décrire les ondes
comme une superposition d’onde sinusoïdales et donc d’utiliser de nouveau les opérateurs
algébriques (2.3). Le système (2.7) s’écrit en se limitant à l’ordre un
→
− −
−iωn + in k · →
u =0
1
o
−
−iω →
u1 =
−
q →
E1
m
1
−
−
→
i k γkB T n1
no m
où l’indice 1 représente la grandeur perturbée et l’indice 0 la grandeur non perturbée. Muni
→
−
→
−
−
→
de ces deux relations, on peut exprimer le courant perturbé j 1 = qno →
u1 = ←
σ E 1 en
éliminant la perturbation de densité n1 . Sans perte de généralité, le milieu étant isotrope,
→
−
−
on fait l’hypothèse que l’onde se propage suivant l’axe Oz (en d’autres termes, k = k →
e z ),
on trouve alors suivant Ox (ou Oy)
u1,x (ou y) =
u1,z =
iq
E
mω 1,x (ou y)
iq
mω−
k2 γkB T
ω
E1,z =
iq
mω(1−
k2 γkB T
mω 2
)
E1,z
le courant s’en déduit immédiatement
2
oq
j1,x (ou y) = i nmω
E1,x (ou y)
j1,z = i
2
� no q
�
γkB T E1,z
2
mω 1−k
2
(2.8)
mω
On remarque tout de suite que le terme thermique provenant du gradient de pression
→
−
n’intervient que dans la composante longitudinale du courant (le long de k ). Le système
←
→
←
→
→
σ
(2.8) permet d’exprimer aussi le tenseur diélectrique ←
κ = I − iω�
et de réécrire le
o
déterminant (2.6) sous la forme
�
� �
�
2
� 1 − ωpe
�
2
−
N
0
0
�
�
ω2
�
�
�
�
2
ωpe
�
�
2
0
1 − ω2 − N
0
�
�=0
(2.9)
�
�
2
ω
�
�
pe
� �
0
0
1− �
�
γv 2
�
�
ω 2 1−k2 the
ω2
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β
α
(avec tg(β)=Vg)
(avec tg(α)=vϕ)
Figure 2.4 – diagramme (ω, k) des ondes longitudinales
2
où on a introduit la fréquence plasma ωp2 = no q 2 /m�o et la vitesse thermique vthe
=
kB T /m. On constate donc que le tenseur diélectrique est diagonale mais pas scalaire. En
résolvant ce déterminant, on trouve l’équation de dispersion d’un plasma thermique SANS
champ magnétique


��
�2
2 �
2
ωpe
ω
pe
�
� = 0
1 − 2 − N 2 1 −
2
γvthe
ω
2
2
ω 1−k
ω2
Deux solutions sont possibles suivant que l’on pose un terme ou l’autre égal à 0.
2.4.1
Onde longitudinale
→
−
Cette onde se propage suivant Oz (// k ) et nous devons donc annuler le terme de droite
1−
�
2
ωpe
ω2 1 − k2
2
γvthe
ω2
� =0
On en déduit aisément l’équation de dispersion ω(k) sous la forme
�
�
2
2
2
ω 2 = ωpe
+ γk 2 vthe
= ωpe
1 + γλ2De k 2
2
2
avec vthe
= λ2De ωpe
.
Cette relation “simple” est dite relation de “Bohm et Gross” (en posant γ = 3 car
la dynamique se fait seulement suivant Oz et est donc mono-dimensionnelle). Dans la
limite des plasmas froids (vthe = 0), on retrouve l’oscillation plasma ωp . Cette relation
démontre que la prise en compte des eﬀets thermiques va permettre à cette oscillation de
se propager. De plus, on aura toujours ω ≥ ωpe , si bien que pour les grandes longueurs
d’ondes (petit k ) ou une grande température (vthe élevée), la vitesse de phase Vϕ sera
très grande devant vthe , voir même devant la vitesse de la lumière c. A l’inverse, pour les
petites longueurs d’onde (grand k ), la vitesse de phase diminue et tend asymptotiquement vers la vitesse thermique. Pour ces faibles vitesses, le champ électrique de l’onde va
interagir fortement avec les nombreuses particules du plasma (nous sommes dans le corps
de la distribution des particules) et va être fortement amorti. C’est ce que l’on appelle
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
l’amortissement Landau 5 qui ne peut être étudié de façon rigoureuse qu’à partir d’une
description cinétique qui sera faite dans l’UE du même nom. Une conséquence directe est
que ce type d’onde reste pratiquement limitée aux fréquences légèrement supérieures à
ωpe pour lesquelles les particules résonnantes sont peu nombreuses.
2.4.2
Onde transversale
C’est la plus simple (enfin si on veut ...). Elle s’obtient en annullant le terme de gauche
�
�
ωp2
1 − 2 − N2 = 0
ω
si bien que l’on trouve l’équation de dispersion suivante
ω 2 = ωp2 + k 2 c2
L’allure des ondes transversales est donc très similaire à celui des ondes longitudinales
puisque c2 remplace la vitesse thermique. On remarque que seules les ondes électromagnétiques ayant une fréquence supérieure à ωpe peuvent se propager dans un plasma
isotrope. Ceci à pour conséquence que la fréquence plasma apparait comme une fréquence
de coupure pour ce type d’onde 6 .
2.4.3
Ondes basse fréquence
Lorsque l’on s’intéresse aux ondes basse fréquence (ou en tout cas de l’ordre ou inférieure
à la fréquence plasma ionique), l’hypothèse d’ions formant un fond immobile neutralisant
devient caduque et nous devons intégrer la dynamique de cette population dans le calcul
du tenseur de conduction. En fait, il suﬃt de sommer les conductivités électronique et
ionique pour obtenir la conductivité totale du plasma. Si bien que le déterminant (2.9) se
réécrit
� �
� 1−
�
�
�
�
�
�
�
�
2 +Ω2
ωpe
pi
ω2
0
0
�
− N2
�
0
1−
2 +Ω2
ωpe
pi
ω2
0
�
0
− N2
0
1−
ω2
�
2
ωpe
γe v 2
the
1−k2
ω2
�
−
�
Ω2pi
ω 2 1−k2
γi v 2
thi
ω2
�
�
�
�
�
�
�=0
�
�
�
�
(2.10)
Au vu de ce déterminant, il est évident que les ondes transversales électromagnétiques
sont très peu modifiées par l’adjonction de la dynamique des ions, on a
ω 2 = ωp2 + Ω2pi + k 2 c2
Il en est de même pour les ondes longitudinales, le terme ionique ne modifie que très peu
l’onde haute fréquence qu’est l’oscillation plasma (“Bohm et Gross”) car il est beaucoup
plus petit que le terme électronique (mi >> me ).
5. L’interaction Landau se traduit par un fort amortissement de l’onde seulement dans le cas ou nous
avons aﬀaire à une distribution proche de l’équilibre. Dans le cas d’une distribution de vitesses très
fortement hors équilibre (interaction faisceau-plasma par exemple), le phénomène inverse peut avoir lieu
et on observe alors une amplification de l’onde, c’est l’instabilité Landau.
6. Cette coupure explique le rôle d’écran réflecteur joué par l’ionosphère terrestre vis-à-vis du rayonnement radio dont la fréquence est inférieure à la fréquence plasma maximum de l’ionosphère (typiquement
10 MHz de jour). Cette particuliarité, nous permet de communiquer d’un continent à l’autre par radio
alors même que la rondité de la Terre ne devrait pas le permettre.
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(Auteur : Philippe Savoini)
Page 38
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Onde acoustique ionique
Par contre, en basse fréquence, de nouvelles solutions apparaissent. En eﬀet, en faisant
l’hypothèse que la vitesse de phase de l’onde est petite devant la vitesse thermique des
électrons 7 (nous sommes à très basses fréquences ! !), le terme électronique se simplifie
�
2
ωpe
ω2 1 − k2
2
γe vthe
ω2
�∼
2
ωpe
2
k 2 γe vthe
Il s’ensuit que l’équation de dispersion obtenue prend la forme simple en supposant de
plus que chaques termes est beaucoup plus grand que 1.
2
2
ω2
γe me vthe
γi vthi
γ e kB T e + γ i kB T i
=
+
=
2
k
mi
mi
mi
(2.11)
2
en posant vth
= kB T /m. Cette onde est donc clairement une onde acoustique dont le
support matériel sont les ions. Pour s’en convaincre, il suﬃt de poser Te = 0 dans (2.11) : on
retrouve une onde acoustique classique dans un gaz d’ions de masse mi et de température
Ti . Les électrons se contentent de suivre le mouvement des ions pour assurer la quasineutralité. Lorsque la température électronique n’est plus nulle, la force électrique qui
couple les électrons et les ions est perturbée par l’agitation thermique électronique qui
détruit partiellement ce couplage. Il en résulte donc une dépendance de la vitesse par
rapport à Te . A la limite, lorsque Ti = 0, l’onde acoustique ionique existe encore alors
qu’une onde acoustique dans un gaz neutre de température nulle n’existerait plus.
2.5
Plasma avec champ magnétique
Le cas d’un plasma magnétisé est plus complexe car le milieu devient anisotrope, c’està-dire que les caractéristiques des ondes vont dépendre de la direction de propagation.
L’équation du mouvement des particules chargées comporte alors un terme supplémentaire, la force de Lorentz. Afin de simplifier les expressions à traiter, nous allons négliger les
eﬀets thermiques 8 (en d’autres termes, le gradient de pression dans les équations fluides).
Si on reprend l’hypothèse des ions formant un fond neutralisant immobile, l’équation du
mouvement des électrons linéarisée s’écrit :
→
−
−
−
−iωme →
v 1 = q E 1 + q→
v 1 × Bo
−
En résolvant une fois de plus par rapport à →
v 1 , on trouve l’expression du courant linéa→
−
→
−
→
−
−
risé j 1 = qno v 1 . Sans perte de généralité, en posant encore B o = Bo →
e z (le champ
magnétique extérieur est parallèle à l’axe Oz ), et en utilisant l’expression de la fréquence
cyclotronique ωce = eBo /me , le courant prend la forme


1 −i ωωce
0
2
ωpe
−
→
−
 i ωωce
·→
1
0
j 1 = iω�o 2
E1
2
2
ω − ωce
ωce
0
0
1 − ω2
7. Cela revient à négliger l’inertie des électrons (∂/∂t = 0) dans l’équation de la quantité de mouvement.
8. Si l’on garde la force de pression, il apparaît le mode sonore “classique” qui se propage dans le
plasma parallèlement aux lignes de champ magnétique avec une vitesse cs donnée par
cs =
γkT
mi
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Page 39
On peut en déduire le tenseur diélectrique associé et donc l’expression de son déterminant :
�
�
ωpe2
� 1 − 2ωpe22 − N 2 cos2 θ
�
i ωωce ω2 −ω
0
2
�
�
ω −ωce
ce
ωpe2
�
�
ωce ωpe2
2
(2.12)
−i ω ω2 −ω2
1 − ω2 −ω2 − N
0
�
�=0
ce
ce
�
�
ωpe2
2
2 �
�
0
0
1 − ω2 − N sin θ
Au vu de ce déterminant, il est clair que les solutions obtenues seront plus compliquées
que dans le cas sans champ magnétique et ne seront pas traité intégralement dans ce cours.
Néanmoins, il est important de souligner que la prise en compte du champ magnétique
a rendu le tenseur de conductivité (ou diélectrique) anisotrope, ou en d’autres termes
non diagonal. Cette propriété peut être mise en lumière grace aux deux cas particuliers
qui seront traité brièvement dans les sections suivantes : (i) le cas d’une propagation
→
− →
→
− →
−
−
parallèle ( k // B o ) et (ii) d’une propagation perpendiculaire ( k ⊥ B o ). Afin de rendre les
expressions plus compactes, on utilisera les paramètres suivants 9
�
� κ1 = 1 − 2ωpe22
�
ω −ωce
ωpe2
�
(2.13)
� κ2 = − ωωce ω2 −ω
2
�
ωpe2 ce
� κ3 = 1 − 2
ω
ce qui donne pour expression du déterminant
�
� κ1 − N 2 cos2 θ
−iκ2
0
�
2
�
iκ
κ
−
N
0
2
1
�
�
0
0
κ3 − N 2 sin2 θ
2.5.1
�
�
�
�=0
�
�
(2.14)
Propagation parallèle
→
− →
−
Dans le cas ( k // B o ), le déterminant (2.14) se développe facilement et on obtient l’équation de dispersion
� 2
�
�
N± = κ 1 ± κ 2
2 2
2
κ3 κ1 − N
− κ2 κ3 = 0 =⇒
κ3 = 0
2
La solution κ3 = 0 (i.e. ω 2 = ωpe
) re-donne l’oscillation plasma qui avait été obtenue
section (2.4.1) mais sans le terme thermique puisqu’ici on néglige cet aspect. Cette solution
→
−
→
−
était prévisible car le vecteur d’onde k (et donc le champ électrique E ) étant parallèle à
→
−
B o , ils ne sont pas aﬀectés par ce dernier.
La deuxième solution N±2 = κ1 ± κ2 , représentent les ondes transversales électromagnétiques, que l’on peut écrire sous la forme
�
2
ωpe
c2 k 2 ��
2
N± = 2 � = 1 −
(2.15)
ω ±
ω(ω ∓ ωce )
Cette équation définit donc deux types d’onde appelées onde circulaire droite (+) et
onde circulaire gauche (−) 10 qui tournent dans des sens diﬀérents comme cela est
illustré par la figure (2.5).
9. On constate d’ailleurs que puisque les expressions de κ1 , κ2 et κ3 ne font intervenir aucun vecteur
d’onde k, il n’y a aucune dispersion spatiale pour un plasma froid.
10. On parle d’onde circulaire car le calcul de la polarisation de l’onde donne comme résultat
Ey
κ1 − N 2
=
= ±i
Ex
iκ2
donc des composantes Ex et Ey de même amplitude avec un déphasage de π/2.
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(Auteur : Philippe Savoini)
Page 40
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
onde
gauche
onde
droite
sens de
rotation de Et
sens de
rotation de Et
Figure 2.5 – Représentation schématique des ondes droite (qui tournent dans le sens des
aiguilles d’une montre) et gauche (qui tournent en sens contraire) pour un observateur
→
−
regardant dans la direction de propagation de l’onde (sens du vecteur k ).
2.5.1.1
Fréquence de résonance
Une disymétrie apparaît entre ces deux modes puisque l’onde droite (+) présente une
résonance (N+ → ∞) pour ω ∼ ωce , c’est-à-dire lorsque le champ électrique tourne dans
le même sens et à la même vitesse que les électrons autour du champ magnétique statique
→
−
B o . Ceci peut donner lieu à une absorption eﬃcace de l’énergie de l’onde par les particules,
on parlera “d’amortissement cyclotronique”. De plus, lorsque ω < ωpe , elle existe (N+2 ≥ 0)
seulement pour ω < ωce . Au voisinage de cette fréquence, ce mode est d’ailleurs parfois
appelé “onde cyclotronique électronique”.
2.5.1.2
Fréquence de coupure
La fréquence de coupure apparaît lorsque N = 0, ce qui arrive au vue de l’équation de
dispersion lorsque κ1 ± κ2 = 0. Ces valeurs définissent diﬀérentes plages de fréquences
permises pour la propagation de ces modes propre du plasma. On obtient aisément pour
les modes gauche (−) et droit (+), la fréquence de coupure
coupure
ω±
=
2.5.1.3
�
�
1�
2 + 4ω 2
±ωce + ωce
pe
2
Approche basse fréquence (onde “siﬄeur”)
Dans l’hypothèse d’une fréquence comprise entre les fréquences plasmas ioniques et électroniques (Ωci << ω << ωce ), les équations (2.15) peuvent se simplifier. Le mode gauche
donne alors la fréquence plasma (ω ≈ ωpe ) et ne se propage plus quant au mode droit, il
peut se réécrire
2
2
ωpe
ωpe
c2 k 2
=1−
≈1+
ω2
ω(ω − ωce )
ωωce
si on suppose de plus que ωpe ≈ ωce qui est le cas qui se rencontre dans l’ionosphère où
la densité du plasma est “faible” et le champ magnétique fort, l’équation de dispersion
obtenue prend la forme
ωce
ω≈ 2 k 2 c2
ωpe
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Page 41
Orage
ligne de champ
magnétique
Figure 2.6 – Représentation schématique d’ondes “siﬄeurs” produit par un éclair et se
propageant parallèlement au champ magnétiqe terretre d’un hémisphère à l’autre.
dont l’expression est diﬀérente des autres car nous avons ω ∝ k 2 au lieu de ω 2 ∝ k 2 . La
vitesse de groupe est alors
vg =
dω
ωce
2c √
= 2 2 kc2 ≈
ωωce
dk
ωpe
ωpe
où l’on voit que les hautes fréquences se déplacent plus rapidement que les basses fréquences. Ce type d’onde est appelé “siﬄeur” (“whistler” en anglais) car ils se trouvent
dans la gamme des fréquences audibles au niveau de l’ionosphère et on observe un glissement des hautes fréquences vers les basses. C’est Owen Storey, en 1953, qui démontra que
des ondes naturelles de ce type 11 , sont produites par la foudre et généralement guidées
sur de grandes distances le long des lignes du champ magnétique terrestre comme illustré
sur la figure (2.6).
2.5.1.4
Approche très basse fréquence (ondes d’Alfvèn)
En prenant en compte la dynamique des ions, il suﬃt de rajouter un terme identique mais
faisant apparaître les fréquences plasmas et de gyration des ions (Ωpi et Ωci ).
N±2 = 1 −
2
2
ωpe
Ω2pi
ωpe
−
=1−
ω(ω ∓ ωce ) ω(ω ± Ωci )
(ω ∓ ωce )(ω ± Ωci )
2
où on a utilisé les relations ωpe >> Ωpi et ωpe
Ωci = Ω2pi ωce . Dans ce cas, on rétablit la
symétrie entre modes droit et gauche car le mode gauche (−) montre une résonance pour
ω ∼ Ωci .
Dans la limite des très basses fréquences (ω → 0), cette équation se simplifie de tel sorte
que les deux modes deviennent non dispersifs (indépendants de ω) et se propagent tout
les deux à la même vitesse. L’indice s’écrit dans ce cas
N±2 = 1 +
2
ωpe
c2
=1+ 2
ωce Ωci
vA
11. Des extraits audio sont accessible à l’adresse suivante
http://www-pw.physics.uiowa.edu/space-audio/sounds/sounds.html
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 42
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
en faisant apparaître la vitesse d’Alfvèn vA égale à
�
ωce Ωci
Bo
vA = c
=√
2
ωpe
n o m i µo
où Bo est le module du champ magnétique statique. La vitesse de phase des deux modes
est alors donnée par
ω
vA
=�
�1/2
k
v2
1 + cA2
Ces ondes dites ondes hydromagnétiques ou magnéto-hydrodynamique (MHD) correspondent à une oscillation de la ligne de force magnétique et du plasma avec la même
amplitude (le champ est “gelé” dans le plasma). Lorsque l’on a vA2 << c2 (faible champ
magnétique et/ou densité élevée), la vitesse de phase se réduit à la limite fluide ω/k = vA .
En ne négligeant plus la force de pression (on introduit alors les eﬀets thermiques), nous
avons alors deux modes parallèles, le mode d’Alfven et le mode sonore se propageant à la
vitesse du son
�
γpo
cs =
ρo
Il est intéressant de remarquer que le rapport de ces deux vitesses donne
c2s
γpo
γ
= 2
= β
2
cA
Bo /µo
2
(2.16)
avec β le paramètre béta du plasma (β = 2po µo /Bo2 ), rapport entre l’énergie cinétique et
l’énergie magnétique. Ce rapport montre que dans le calcul des modes MHD, les eﬀets
thermiques qui interviennent via cs sont en compétition avec les eﬀets magnétiques qui
interviennent via cA , mettant en évidence le fort couplage “mécanique/électromagnétique”
présent dans un plasma. Dans le cas où β << 1, alors cA >> cs et nous sommes face à
un plasma dont la dynamique est principalement contraint par le champ magnétique et
dans le cas contraire, β >> 1, ce sont les eﬀets thermiques qui contrôlent le plasma.
2.5.2
Propagation perpendiculaire
En se plaçant dans le cas extrême d’une propagation perpendiculaire (θ = π/2), le déterminant (2.14) prend la forme
�
�
� κ1
�
−iκ2
0
�
�
� iκ2 κ1 − N 2
�=0
0
�
�
2
� 0
0
κ3 − N �
qui possède là encore deux solutions en N au regard de l’équation suivante
�
��
�
κ3 − N 2 κ1 (κ1 − N 2 ) − κ22 = 0
qui sont respectivement
�
No2 = κ3
κ2 −κ2
NX2 = 1κ1 2
La première solution représente le mode appelé “ordinaire” (O) dont l’indice est identique
à celui obtenu en l’absence de champ magnétique (d’où sont nom ! !). Ce résultat n’est
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Page 43
pas surprenant car le champ électrique est aligné sur l’axe Oz donc parallèle au champ
magnétique. L’onde n’est donc pas aﬀectée par la présence du champ magnétique statique
→
−
−
→
−
→
− →
Bo . Ce mode se caractérise par les relations vectorielle ( E // ⊥ k et B o ⊥ k ), le champ
→
−
électrique est polarisé linéairement dans la direction de B o .
La seconde solution représente le mode “extraordinaire” (X) par analogie avec la situation rencontrée en optique cristalline. Il se caractérise par une composante électrique
→
−
→
−
→
−
perpendiculaire ( E ⊥ �= 0) longitudinale (// k ) et transverse (⊥ k ) . Sa polarisation
(Ex /Ey ) est donc généralement elliptique.
2.5.2.1
Fréquence de coupure
Les fréquences de coupures en propagation perpendiculaire sont identiques à celles des
modes droit et gauche en propagation parallèles. En eﬀet, on a bien N 2 = 0 = κ1 ± κ2 . Il
→
−
est logique que les coupures soient indépendantes de la direction de k , puisque le module
de celui-ci est nul.
2.5.2.2
Fréquence de résonance
Seul le mode extraordinaire montre une résonance lorsque κ1 = 0. Résonance que l’on
trouve aisément
�
mode X
2 + ω2 = ω
ωresonance
= ωpe
hh
ce
Cette fréquence est la fréquence hybride haute (“hybride” car elle dépend à la fois de
la densité électronique et du champ magnétique ; “haute”, car il existe également une fréquence hybride basse). La fréquence hybride haute est la fréquence de résonance naturelle
d’un plasma plongé dans un champ magnétique statique perpendiculaire au déplacement
des électrons. Cette fréquence est donc très souvent rencontrée dans les processus physiques naturels étudiés.
Une façon simple de le voir est de résoudre le problème des oscillations propre d’un plasma
→
−
en présence d’un champ magnétique. Si on prend le champ électrique E suivant Ox et
→
−
B o suivant Oz. L’équation fondamentale de la dynamique d’un électron, nous donne le
système

dv
 me dtx = qEx + qBo vy

me dvdty = −qBo vx
En éliminant la vitesse vy entre ces deux relations (par intégration de la seconde et en
faisant apparaître la position x de la particule (vx = dx
), on trouve
dt
me
d2 x
q 2 Bo2
=
qE
−
x
x
dt2
me
en remplaçant le champ électrique grâce à l’équation de poisson, on obtient
me
� 2
�
d2 x
nq 2
q 2 Bo2
2
=
−
x
−
x
=
−
ω
+
ω
pe
ce x
dt2
�o
me
qui est bien l’équation d’un oscillateur harmonique, vibrant à la fréquence hybride haute.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 44
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Là encore, si on tient compte de la dynamique des ions, une nouvelle fréquence de résonance apparaît dans le domaine des fréquences ioniques, appelée de ce fait la fréquence
“hybride basse” 12 , donnée par
ωhb = ωce Ωci
2.5.3
2
ωpe
+ ωce Ωci
2 + ω2
ωpe
ce
Propagation quelconque
Nous venons de voir les cas particuliers d’une propagation parallèle et perpendiculaire
aux lignes de champ magnétique, nous allons maintenant voir le cas plus général d’une
propagation oblique, nous nous limiterons néanmoins au cas des hautes fréquences pour ne
pas alourdir inutilement les calculs. Pour cela nous allons reprendre le déterminant général
(2.6) déterminé section (2.3) mais en utilisant les composantes κ1,2,3 calculées dans le cas
d’un plasmas magnétisé (2.14). Le déterminant s’écrit alors sous la forme compact
�
�
� κ1 − N 2 cos2 θ
−iκ2
N 2 cos θ sin θ ��
�
�
�=0
iκ2
κ1 − N 2
0
�
�
2
� N 2 cos θ sin θ
0
κ3 − N 2 sin θ �
qui après un calcul simple mais long donne la relation
αN 4 + βN 2 + γ = 0
avec
(2.17)

 α = κ1 sin2 θ + κ3 cos2 θ
β = (κ21 − κ22 ) sin2 θ + κ1 κ3 (1 + cos2 θ)

γ = κ3 (κ21 − κ22 )
dont la solution bi-carrée est alors
N2 =
�
β±
�
�
β 2 − 4αγ
2α
Ce cas plus général permet de voir comment les modes parallèles “G” et “D” se connectent
de manière continue aux modes perpendiculaires “X” et “O”.
2.5.3.1
Fréquence de coupure
Nous savons que la fréquence de coupure correspond physiquement à des points de réflexion des ondes. Cette réflexion apparaît lorsque N 2 −→ 0, valeur qui n’est possible que
si nous avons γ = 0, c’est-à-dire lorsque :
– κ3 = 0 : En reprenant les équations (2.13), nous obtenons ω = ωpe qui est l’expression
de la fréquence plasma.
– κ21 −κ22 = 0 : La encore, on peut réécrire cette relation sous la forme (κ1 − κ2 ) (κ1 + κ2 ) =
0 qui représente les modes “G” et “D” de la section (2.5.1).
Nous avons donc en tout 3 fréquences de coupure diﬀérentes dont la propriété la plus
remarquable est d’être indépendante de l’angle de propagation θ.
2
12. L’expression de cette fréquence hybride prend les formes suivantes ωhb
� ωce ωci dans le cas d’un
2
2
plasma dense et ωhb � ωci dans le cas d’un plasma magnétisé (i.e. dont le champ magnétique est très
élevé).
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
2.5.3.2
Page 45
Fréquence de résonance
Dans ce cas, nous devons avoir N 2 −→ ∞. En divisant la relation (2.17) par N 4 , on a
α+
β
γ
+ 4 =0
2
N
N
si bien que les fréquences de résonance existent pour α = 0, ou en d’autre termes, lorsque
α = κ1 sin2 θ + κ3 cos2 θ = 0. Ceci décrit se que l’on nomme un cône de résonance tel que
tan2 θ = −
2.5.3.3
κ3
κ1
Approche basse fréquence (ondes “magnétosonores”)
Nous avons vu qu’au basses fréquences, en propagation parallèle nous observions une
onde d’Alfven. Si nous ne négligeons plus le gradient de pression (la température !), une
onde sonore peut être observée. L’onde d’Alfven est une onde transverse (ou onde de cisaillement) alors que l’onde sonore est une onde longitudinale (ou onde de compression),
ces deux modes sont donc totalement découplés. Cette séparation n’est plus valable dans
le cas d’une propagation oblique car les deux modes se couplent pour former des ondes
mixtes, appelées “ondes magnétosonores”. Ces ondes sont d’une importance capitale
car elles constituent avec le mode d’Alfven, les modes que l’on rencontre dans le domaine
basses fréquences (on parle d’ailleurs de mode MHD). Dans cette introduction, nous ne
ferons pas les calculs proprement dits car ils nécessitent une réécriture de l’équation de
dispersion aux basses fréquences, en présence des eﬀets thermiques. Ce qui est plus intéressant est que nous trouvons pour les modes magnétosonores, un polynome d’ordre 4
dont les racines sont :
k2
ω =
2
2
�
�
�
2
2
(cA + cs ) ± (c2A + c2s )2 − 4c2s c2A cos2 θ
(2.18)
Comme on peut le constater, ω 2 est toujours positif, donc les modes sont stables. On
parle d’onde magnétosonore rapide pour le signe + puisqu’il correspond à une vitesse
de phase la plus rapide et d’onde magnétosonore lente pour le signe -. La compression des lignes de champ magnétique crée une pression magnétique qui va se propager
perpendiculairement au champ de la même manière qu’une onde de pression ordinaire se
propage à travers un gaz à la vitesse du son.
Ces ondes sont donc des ondes longitudinales. Les caractéristiques de ce type de mode a
été résumé sur la figure (2.7). On voit que ces ondes sont responsables d’une compression
magnétique et d’une compression gazeuse (augmentation de la pression p). Ces variations
peuvent être en phase, la force résultante s’exerçant sur le plasma est donc amplifiée et
correspond a une accélération du mode magnétosonore, c’est le mode rapide. Ce mode apparaît comme une onde sonore modifiée, mue par le jeu conjugué des pressions magnétique
et gazeuse. Dans le cas contraire, ces variations sont en opposition de phase produisant
une force plus faible et donc une vitesse de propagation inférieure, c’est le mode lent.
Au regard de l’équation (2.18), on remarque que les valeurs de la vitesse de phase dépendent de la valeur de k� = k cos θ variant de 0 à k. Deux cas particuliers permettent
d’obtenir des solutions simples et donc de mieux comprendre ce qui se passe :
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 46
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
p
compression magnetique et gazeuse
B
mode rapide
(b)
p
B
(a)
mode lent
temps
Figure 2.7: (a) vue schématique représentant les lignes de champs magnétiques à leur déplacement maximum dans le cas d’une onde magnétosonore. (b) profil des pressions cinétiques et du
champ magnétique en fonction du temps pour les ondes rapide et lente.
→
−
→
−
– la propagation perpendiculaire ( k = k ⊥ ) : Dans ce cas, l’équation de dispersion se
réduit à :
ω2 =
�
k2 � 2
k 2 (c2A + c2s ) =⇒ mode rapide
(cA + c2s ) ± (c2A + c2s ) =
0 =⇒ mode lent
2
(2.19)
qui montre un mode lent dont les vitesses de phase et de groupe sont nulles et donc, un
mode ne se propageant pas. Puisque l’onde d’Alfvèn ne se propage pas non plus dans
la direction perpendiculaire, on note que seul le mode rapide existe pour cette direction
particulière.
→
−
→
−
– la propagation parallèle ( k = k � ) : Dans ce cas, l’équation de dispersion se réduit à
ω2 =
�
k2 � 2
(cA + c2s ) ± (c2A − c2s )
2
(2.20)
Les caractéristiques des ondes dépendent donc des valeurs respectives de cA et de cs .
Si l’on a cA > cs alors le mode rapide (signe +) se propage perpendiculairement à la
vitesse d’Alfven cA et le mode lent à la vitesse du son cs (onde sonore). Dans le cas
contraire, cA < cs , c’est le mode lent qui se propage à la vitesse d’Alfvèn et le mode
rapide à la vitesse du son.
2.6
Diagramme CMA
Comme nous venons de la voir, dans le cas général d’un plasma contenant un seul type
d’ions positifs, l’indice de réfraction N dépend de quatre paramètres : (i) l’angle de propagation θ, (ii) la densité n, (iii) le champ magnétique et (iv) la fréquence de l’onde.
La façon la plus claire pour décrire la propagation de l’onde est par une représentation
graphique qui donne une idée qualitative de la variation de N ou de vϕ avec l’angle θ. On
peut décrire une surface définie par la longueur d’un vecteur en fonction de l’angle θ (diagramme polaire). Cette approche est d’autant plus pertinente que l’indice de réfraction N
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Page 47
est une fonction de seulement trois paramètres lorsque l’on fait intervenir les fréquences
caractéristiques normalisées suivantes :
X=
ωp2
ωc2
et
Y
=
ω2
ω2
On obtient une fonction de la forme N 2 = N 2 (X, Y, θ), si bien qu’en chaque point de
l’espace (X, Y ), on peut tracer la surface polaire d’indice de réfraction N (θ) ou son inverse
la surface des vitesses de phases vϕ = c/N (θ). Ces surfaces sont de révolution autour du
champ magnétique Bo .
La représentation dans le plan (X, Y ) est appelé le diagramme CMA (Clemmow-MullalyAllis). C’est une façon très compacte de représenter les diﬀérentes solutions des équations
de dispersion. Son intérêt réside dans le fait qu’il permet de déterminer de manière qualitative en fonction des fréquences de coupures et/ou de résonances, la nature des ondes
pouvant se propager dans un milieu donné, ou à l’inverse, pour une fréquence donnée,
de connaître le mode de propagation en fonction des paramètres du plasma. En eﬀet,
dans cette représentation, le champ magnétique augmente dans la direction verticale, la
densité électronique augmente dans la direction horizontale et la fréquence de l’onde électromagnétique augmente dans la direction radiale (dans chaque cas, on considère les autres
paramètres fixés). Le diagramme CMA est donc divisé en régions à l’intérieur desquelles la
topologie de la surface des vitesses est conservée. Puisque la topologie dépend du nombre
des modes en propagation parallèle et perpendiculaire (que l’on appelle modes principaux
ou modes propres du plasma), elle est déterminée par les fréquences de résonances et de
coupures. Fréquences qui déterminent aussi des frontières où il y a un changement de
mode de propagation. Donc les coupures et les résonances divise l’espace des paramètres
du plasma en régions où la propagation est semblable. Quand on passe d’une région à
l’autre, il y a donc un changement dans la forme de la surface des vitesses de phase. Les
diﬀérentes topologies possibles sont donc définies par l’existence ou non d’une résonance
(vϕ = 0) au point (X, Y ) considéré du plan, ainsi que par le nombre de modes possibles
(0, 1, 2) en propagation parallèle, perpendiculaire. En fait, il n’existe que 3 topologies
possibles pour la surface des vitesses, que l’on appelle de façon imagée :
– Ellipsoïde : Il y a autant de modes en propagation parallèle qu’en propagation perpendiculaire (aucune résonance)
– Roue : Il y a un mode de plus en propagation parallèle qu’en propagation perpendiculaire
(il y a propagation seulement pour θ < θres )
– Haltère : Il y a un mode de plus en propagation perpendiculaire qu’en propagation
parallèle (il y a propagation seulement pour θres < θ < π/2)
On obtient ainsi 13 régions distinctes qui se réduisent à 8 lorsque l’on ne tient pas compte
du mouvement des ions (approximation des hautes fréquences ou de manière équivalente
lorsque l’on fait mi → ∞). Le diagramme CMA “simplifié” de la figure (2.9) montre ces 8
diﬀérentes régions ainsi que l’allure de la surface des vitesses dans chacune d’elles.
Par exemple, dans la région I, les diﬀérents modes peuvent exister (modes Droits, Gauche,
Ordinaire et eXtraordinaire) mais lorsque l’on passe dans la région II, les modes rapides
disparaissent et il n’en restent alors plus que deux (Droit et Gauche). A l’inverse, si l’on
se déplace le long d’un chemin qui va de la région VIII à la région VII (donc lorsque la
densité électronique diminue ! !), les modes rapides apparaissent. Ce type de comportement
est observé à la traversé de chaque frontière (coupure ou résonance) et est donné par le
diagramme CMA. Cette représentation est bien évidemment purement qualitative et la
forme des surfaces de vitesse de phase peut être la même alors même que l’amplitude de
ces modes change suivant les paramètres du plasma.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 48
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
Bo
a)
b)
Bo
c)
Θres
d)
Onde "rapide"
Vitesse de
la lumière
Θres
Θ
Onde "lente"
Haltère
Roue
Ellipsoïde
Bo
Figure 2.8 – Représentation schématique des diﬀérentes topologies possibles concernant
la surface des vitesses de phase. Les dessins a, b et c représentent les trois topologies
possibles, respectivement, “l’éllipsoïde”, la “roue” et “l’haltère”. Le schéma d est quant à
lui la représentation typique d’onde montrant en traits pointillés la surface concernant la
vitesse de la lumière. On parlera donc dans le cas où la vitesse de phase est inférieure à
la vitesse de la lumière, d’onde lente et dans le cas contraire d’onde rapide.
coupure plasma
vO ->
8
Y
8
coupures
v
G G=vX ->
G
G
D
D
X
8
coupures
v =v ->
D
D
résonance cyclotron
électronique : v =0
D
D
G
G
G
D
G
Aucune
propagation
X
Figure 2.9 – Diagramme CMA d’un plasma froid dans l’approximation des hautes fréquences. 8 régions distinctes y sont représentées. Les lignes pleines sont obtenues grâce
aux principales résonances et les lignes pointillées par les zones de réflexion (coupure).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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LES ONDES : ÉLECTROMAGNÉTISME DANS LE DÉSORDRE
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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3.
Approche particulaire
Sommaire
3.1
Champs électromagnétiques constants et uniformes . .
3.1.1 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Champ magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Champ électrique et magnétique uniforme . . . . . . . .
3.1.4 Force uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Champs électromagnétiques NON-uniformes . . . . . .
3.2.1 Champ électrique NON stationnaire . . . . . . . . . . .
3.2.2 Champ magnétique NON uniforme . . . . . . . . . . . .
3.2.2.1 Dérive due au gradient du champ magnétique .
3.2.2.2 Dérive due à la courbure du champ magnétique
3.2.3 L’eﬀet miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.1 Premier invariant adiabatique . . . . . . . . . .
3.2.4.2 Autres invariants adiabatiques . . . . . . . . .
3.2.4.2.1 Second invariant adiabatique . . . . .
3.2.4.2.2 Troisième invariant adiabatique . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
52
52
54
55
57
58
58
59
61
63
63
66
66
68
69
69
Afin de mieux comprendre le comportement et l’évolution d’un plasma dans son entier (au
niveau macroscopique), il est important dans un premier temps de regarder la dynamique
des particules individuelles dans les champs électromagnétiques. En eﬀet, il est évident
que les trajectoires des particules sont un maillon primordial dans l’étude d’un plasma.
La diﬃculté d’une telle étude repose essentiellement sur le caractère non-linéaire de la
relation fondamentale de la dynamique lorsque l’on tient compte de la force de Coulomb
et de la force de Lorentz. On a en eﬀet
−
−
→
− −
→
− −
d2 →
r
d→
r
m 2 = q E (→
r , t) + q
× B (→
r , t)
(3.1)
dt
dt
→
−
→
−
où E et B modifient la dynamique des particules qui à leur tour induisent des champs
→
−
→
−
E et B auto-cohérents, qui à leur tour modifient les trajectoires des particules, qui à leur
tour .... Dans ce chapitre, nous allons donc simplifier ce système bouclé, en ne retenant
que l’action des champs électriques et magnétiques sur la dynamique des particules 1 .
Cette procédure, appelée aussi théorie des orbites, permet une étude fine des trajectoires
des particules dans des champs inhomogènes et en particulier d’étudier les phénomènes de
dérive, phénomènes d’origine microscopique mais qui contribuent au comportement global
du plasma. Dans ce cours, nous ne considérerons que le cas non relativiste (v 2 << c2 ) et
supposerons que tous les phénomènes radiatifs sont négligeables.
Au vu de la force de Lorentz de l’équation (3.1), il paraît clair que la présence d’un
→
−
champ magnétique B introduit naturellement une direction privilégiée dans l’espace des
1. On parle alors de test-particules. Les champs magnétiques et électriques sont a-priori donnés et ne
sont donc pas aﬀectés par le comportement des particules.
51
Page 52
APPROCHE PARTICULAIRE
vitesses. En eﬀet, cette force ne s’applique que dans la direction perpendiculaire au champ
magnétique et de ce fait, aboutit à une dynamique totalement diﬀérente suivant que l’on
→
−
se trouve parallèlement ou perpendiculairement au champ B , illustré par la figure (3.1).
Figure 3.1 – Décomposition du vecteur vitesse dans ses composantes parallèle et perpendiculaire
Ceci introduit une anisotropie dans l’espace qui sera souvent mise à profit afin de simplifier
au maximum la résolution des équations de la dynamique. La vitesse et le champ électrique
de l’équation (3.1) peuvent donc être décomposés en une composante parallèle et une
→
−
−
−
−
composante perpendiculaire au champ magnétique telle que : →
v = →
v�+→
v ⊥ et E =
→
−
→
−
E � + E ⊥ . Les composantes parallèle et perpendiculaire s’écrivent alors
→
− →
−
− →
−
→
−
→
− →
→
−
−
v � = (→
v · b ) b et E � = ( E · b ) b
→
−
→
−
→
−
−
→
−
→
− →
→
−
−
v ⊥ = b × (→
v × b ) et E ⊥ = b × ( E × b )
où la direction perpendiculaire peut être à son tour décomposer en deux composantes (
→
−
−
−
v⊥=→
v ⊥1 + →
v ⊥2 ) si cela s’avère nécessaire.
3.1
Champs électromagnétiques constants et uniformes
Dans le cas d’un champ stationnaire (constant), l’énergie des particules peut être aisément
calculée, suivant les cas nous allons voir que soit l’énergie cinétique de la particule, soit
son énergie mécanique (cinétique + potentielle) se conserve.
3.1.1
Conservation de l’énergie
En absence de champ électrique, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit sous la
forme
−
→
−
d→
v
−
m
= q(→
v × B)
(3.2)
dt
Cette équation montre que la force magnétique s’applique toujours perpendiculairement
au mouvement de la particule et donc, qu’elle ne travaille pas. En multipliant scalairement
−
par →
v l’équation (3.2), on obtient
−
m→
v ·
−
→
−
d→
v
d 1
−
−
= ( mv 2 ) = q →
v · (→
v × B) = 0
dt
dt 2
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 53
APPROCHE PARTICULAIRE
Ceci montre que l’énergie cinétique de la particule (Ec = 12 mv 2 ) et donc l’amplitude de sa
−
vitesse sont des constantes 2 , et que, de plus, →
v est toujours orthogonale à l’accélération.
Ces dernières conditions sont caractéristiques d’un mouvement circulaire uniforme dont
nous discuterons les caractéristiques au paragraphe suivant.
Dans le cas où à la fois un champ magnétostatique et électrostatique sont présents, une
méthode similaire permet d’obtenir la relation
−
m→
v ·
−
→
−
d→
v
d 1
−
= ( mv 2 ) = q →
v ·E
dt
dt 2
Cette équation peut être modifiée à l’aide des équations de Maxwell. En eﬀet, puisque
→
−
→
− →
−
B = cte alors ∇ × E = 0 et donc le champ électrique peut être décrit par un potentiel
→
−
→
−
électrostatique sous la forme E = − ∇φ, si bien que l’on peut écrire
−
→
−
d 1 2
d→
r dφ
dφ
−
( mv ) = −q →
v · ∇φ = −q
· →
= −q
−
dt 2
dt d r
dt
expression qui s’exprime sous la forme
d 1 2
( mv + qφ) = 0
dt 2
(3.3)
Cette relation montre que la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie électrostatique de
chaque particule se conserve en présence d’un champ électromagnétique statique 3 . Cette
propriété importante sera souvent mise à contribution pour résoudre et/ou simplifier la
plupart des problèmes que nous verrons.
2. Ce résultat reste d’ailleurs valable même dans le cas où le champ magnétique est non uniforme
et ce quelque soit sa dépendance spatiale. A l’inverse, si le champ magnétique possède une dépendance
temporelle alors les équations de Maxwell nous disent qu’il se créer un champ électrique tel que
→
−
→
− →
−
∂B
�×E =−
∂t
champ électrique dont le travail change l’énergie cinétique de la particule. Nous reviendrons sur ce comportement lorsque l’on verra les invariants adiabatiques à la fin de ce chapitre.
3. Cette expression est en fait tout à fait évidente (on redécouvre la roue ! !). En eﬀet, elle traduit tout
simplement que l’énergie mécanique totale d’un système en présence de forces conservatives se conservent.
Cette expression découle directement de ce qu’on appelle le théorème de l’énergie cinétique que l’on
écrit
�
�
�Ec =
W+
W
(3.4)
f orces conservatives
f orces N ON conservatives
qui énonce que la variation totale de l’énergie d’un système est égale à la somme du travail de toutes les
forces s’appliquant sur ce système, qu’elles soient conservatives ou non-conservatives. Ce théorème très
puissant n’est en fait qu’une autre façon d’exprimer la relation fondamentale de la dynamique.... En eﬀet,
on a
−
�→
−
d→
v
m
=
F
dt
−
−
�→
�→
� δW
− →
− d→
d→
v →
r
m
·−
v =
F ·−
v =
F ·
=
dt
dt
dt
� δW
�
d 1
1
( mv 2 ) =
=> d( mv 2 ) =
δW
dt 2
dt
2
Cette dernière expression représente l’équation (3.4) pour une variation infinitésimale.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 54
3.1.2
APPROCHE PARTICULAIRE
Champ magnétique uniforme
Si l’on excepte le cas d’un champ électrostatique seul qui entraîne une accélération constante
→
−
→
−
γ = mq E , le cas le plus simple concerne le mouvement d’une particule en présence d’un
champ magnétostatique uniforme. L’équation de la dynamique (3.2) peut être décomposée
→
−
en composantes parallèle et perpendiculaire au champ B , on trouve
→
−
d →
q −
−
−
(−
v�+→
v ⊥ ) = ([→
v�+→
v ⊥] × B )
dt
m
équation qui peut être scindée en parties, on trouve
d→
−
v� = 0
dt
→
−
d→
q→
−
−
v⊥ =
v⊥×B
dt
m
(3.5)
(3.6)
→
−
L’équation (3.5) montre que la particule ne subit aucune accélération le long du champ B .
Dans la direction perpendiculaire, la conservation de l’énergie nous dit que nous sommes
−
en présence d’un mouvement circulaire uniforme (| →
v |= cte). L’équation (3.6) décrit
une particule tournant donc autour des lignes de champ magnétique et subissant une
accélération centripète de la forme
2
d
v⊥
q
v⊥ = γ =
= ω | v⊥ |=
| v⊥ || B |
dt
r
m
d’où l’on tire l’expression de la vitesse angulaire ω, indépendante du rayon
ωc =
|q|B
m
(3.7)
(3.8)
Cette pulsation est appelée par abus de langage 4 , la fréquence cyclotronique ou gyromagnétique 5 . Inversement proportionnelle à la masse de la particule, elle est plus
grande pour les électrons que pour les ions. Cette fréquence est omniprésente dans la
théorie des plasmas et il est important de retenir que ωc est directement proportionnel
à B. En conséquence, si le champ B s’accroît, la fréquence de gyration s’accroît dans les
mêmes proportions.
Figure 3.2 – Particules chargées dans un champ magnétique : rotation autour des lignes de
champ magnétique
L’équation (3.7) permet d’autre part de définir le rayon de gyration de cette particule, on
trouve en eﬀet pour l’expression de r
rc =
| v⊥ |
m | v⊥ |
=
ωc
|q|B
(3.9)
4. Et oui, un de plus ! Ce ne sera pas le dernier ....
5. On trouve aussi dans la littérature ; fréquence angulaire de gyration ou gyrofréquence ou fréquence
de Larmor.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 55
APPROCHE PARTICULAIRE
Ce rayon est appelé rayon de Larmor ou rayon cyclotron et est inversement propor→
−
tionnel à l’amplitude de B . A v⊥ donnée, le rayon de Larmor est proportionnel à la masse
des particules et donc beaucoup plus grand pour les ions que pour les électrons. Le sens de
→
−
−
−
rotation de la particule se détermine facilement. L’accélération centripète →
γ = mq →
v ⊥× B
doit être dirigée vers le centre du cercle. Ceci est le cas pour un ion positif, s’il parcourt le
cercle dans le sens des aiguilles d’une montre comme illustré sur la figure (3.2). Pour les
électrons, de charge négative, ils circulent dans le sens inverse. Pour les deux espèces, le
→
−
sens du courant équivalent est par rapport à la direction du champ B en sens inverse du
sens positif défini par l’orientation usuelle de l’espace. Ainsi, le champ magnétique créé par
la particule en mouvement est toujours dirigé en sens contraire du champ magnétique
initial, le plasma est donc un milieu diamagnétique. Dans le cas général, la vitesse le
→
−
long de B n’étant pas nulle, la trajectoire des particules est une hélice s’enroulant autour
des lignes de champ.
3.1.3
Champ électrique et magnétique uniforme
Supposons maintenant que le plasma est soumis à un champ électrique uniforme et statique, superposé au champ magnétique constant considéré dans le paragraphe précédent.
L’équation du mouvement s’écrit alors
m
−
→
−
→
−
d→
v
−
= q E + q(→
v × B)
dt
(3.10)
que l’on peut décomposer de la même façon suivant les directions parallèle et perpendi→
−
culaire au champ B , on obtient
−
d→
v�
→
−
= qE�
(3.11)
dt
−
→
−
→
−
d→
v⊥
−
m
= q E ⊥ + q(→
v ⊥ × B)
(3.12)
dt
→
−
De manière évidente, on remarque que le long de B , l’équation (3.11) est la même qu’en
absence de champ magnétique : la particule subit une accélération constante. Dans la
direction perpendiculaire, l’équation (3.12) est un système diﬀérentiel linéaire du premier
ordre dont la solution générale sans second membre vient d’être déterminé dans le paragraphe précédent. La solution particulière du système complet s’obtient en prenant une
−
vitesse constante que l’on injecte dans l’équation (3.12). Soit →
v d = cte cette solution
particulière, alors on peut écrire
m
→
−
→
−
−
0 = q E ⊥ + q(→
v d × B)
→
−
En multipliant vectoriellement par B , on trouve alors
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
− − →
−
−
−
0 = q E ⊥ × B + q(→
v d × B ) × B = q E ⊥ × B + q[ B (→
v d · B) − →
v dB2]
→
− − →
−
−
Comme →
v d est par définition perpendiculaire à B , →
v d · B = 0 et on trouve finalement
→
−
→
−
E⊥ × B
→
−
vd=
B2
(3.13)
→
−
On voit qu’un champ électrique uniforme perpendiculaire à B n’accélère pas les particules
mais crée une vitesse d’ensemble qui s’ajoute au mouvement circulaire de gyration. On
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Page 56
APPROCHE PARTICULAIRE
Figure 3.3 – Trajectoires cylodes décrites par les électrons et les ions en présence de champs
électrique et magnétique stationnaires.
l’appelle vitesse de dérive, ou pour des raisons évidentes, vitesse du centre guide.
Cette dérive a été représentée sur la figure (3.3) et est identique pour toutes les espèces
de particules.
Il est remarquable que cette vitesse de dérive (équation 3.13) soit indépendante de la
charge et de la masse, les électrons et les ions dérivent à la même vitesse et dans la
même direction 6 . Son caractère universel peut s’expliquer assez facilement 7 : dans le cas
6. Dans un plasma sans collision cette vitesse de dérive n’induit donc aucun courant de champ croisé. A
l’inverse, dans le cas où les collisions avec les neutres ne peuvent plus être négligées, cette dérive donne lieu
à un courant perpendiculaire. Cette dérive vient de ce que les ions sont alors plus lents que les électrons
du fait des diﬀérences entre fréquences de collisions électron-neutres (νe−n ) et ions-neutres (νi−n ) (nous
→
−
→
−
−
y reviendrons). Ce courant perpendiculaire à la fois à E et B et se déplaçant en sens contraire à →
v d , est
connu sous le nom de courant Hall.
7. Il existe une autre explication tout aussi valable à l’universalité de cette dérive. En eﬀet, en appliquant la transformation de Lorentz aux équations de Maxwell, il est aisé de montrer que les champs
−→
−→
�
�
−
électrique E⊥ et magnétique B⊥ vus d’un repère se déplaçant à la vitesse →
u par rapport à un repère au
→
−
→
−
repos où l’on a les champs E et B , s’écrivent sous a forme
−→
�
E⊥ =
−→
�
B⊥ =
−→ − →
−
γ(E⊥ + →
u × B)
−
−→ →
→
−
u
γ(B⊥ + 2 × E )
c
Dans le cas non relativiste qui nous intéresse ici (γ = 1 et u << c2 ) on trouve
−→
�
E⊥ =
−→
�
B⊥ =
−→ →
→
−
E⊥ + −
u ×B
−→
B⊥
→
−
On remarque donc que si B reste inchangé dans cette transformation, cela n’est pas le cas du champ
→
−
électrique E . Parmi tous les repères possibles, il existe un repère particulier dans lequel le champ électrique
−→
�
E⊥ = 0, et où la particule possède la trajectoire la plus simple (une simple gyration autour des lignes de
champ magnétique, leur centre-guide étant immobile !). Ce repère se déplace donc à la vitesse
−→ →
−
−→
�
E⊥ × B
−
E⊥ = 0 <==> →
u =
B2
−
La vitesse →
u de ce repère, dit ”repère magnétique” est alors une grandeur intrinsèque du champ électromagnétique (équations de Maxwell). Les particules du plasma ne sont pas responsables de son existence,
elles ont juste la propriété de matérialiser ce repère. C’est dans ce repère que toutes les particules quelque
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APPROCHE PARTICULAIRE
Page 57
d’une charge positive, la force électrique accélère la particule dans la première partie de
→
−
son orbite (lorsque son mouvement est dirigé suivant E ⊥ , voir figure (3.3)) augmentant
sa vitesse et donc son rayon de gyration rc , à l’inverse, dans la seconde partie de son
orbite, elle perd son énergie et donc voit décroître son rayon de gyration. C’est cette
−
diﬀérence entre les deux parties de l’orbite qui induit la dérive →
v d . Une particule négative
tourne en sens contraire, subit le champ électrique en sens contraire avec pour résultat
une dérive dans le même sens. De la même façon, une particule plus légère possède un
rayon de gyration plus petit, donc dérive moins par orbite mais d’autre part possède une
fréquence de gyration supérieure et fait plus d’orbite dans le même temps. Les deux eﬀets
se compensent exactement, la dérive devient donc indépendante de la masse.
3.1.4
Force uniforme
→
−
Dans le cas très général 8 d’une force F qui s’exerce sur une particule chargée en présence
→
−
d’un champ B , on trouve de la même manière une vitesse de dérive perpendiculaire à la
→
−
→
−
fois à F et à B de la forme
→
− →
−
F ×B
→
−
vF =
(3.14)
qB 2
L’exemple le plus commun est la force de gravitation, force négligeable à l’échelle du
laboratoire mais qui peut devenir prépondérante dans le cadre de l’astrophysique. Dans
→
−
−
le cas d’un champ gravitationnel uniforme F = m→
g , la vitesse de dérive s’écrit
→
−
−
m→
g ×B
→
−
vg=
qB 2
Cette vitesse de dérive dépend donc du rapport mq . Des particules de charge opposée vont
dériver en sens contraire. Cette dérive va générer un courant de ”dérive” qui pourra à son
→
−
tour rétro-agir sur le champ B . De plus, les charges allant dans des directions opposées,
cette dérive induit une polarisation qui peut générer un champ électrique par séparation
→
−
de charge, et ce champ peut à son tour amplifier le champ E initial. Un tel mécanisme
se rencontre dans certaines instabilités, dites instabilités de dérive. Comme on peut le
voir, bien que le mouvement intrinsèque de la particule peut être aisément décrit, dès que
l’on voudra tenir compte du système dynamique auto-cohérent dans son entier (donc de
la rétro-action des particules sur le champ) les choses se compliqueront très vite, et des
approximations seront alors nécessaires. Nous allons voir un type d’approximation extrêmement répandu dans la théorie des plasma, je veux parler de l’approximation adiabatique
ou approximation des variations lentes.
soit leur masse et leur charge auront une vitesse de centre-guide nulle et donc resteront attachées à la
→
−
même ligne de champ B . Ceci représente la base du comportement fluide des particules que nous verrons dans le chapitre (5). Pour des champs stationnaires et uniformes, on peut donc dire que le champ
magnétique bouge dès que E �= 0. C’est cette propriété qui permet à des particules de ”savoir” si le
champ magnétique dans lequel elles baignent est immobile ou non, et cela même si on a aﬀaire à un
champ stationnaire et uniforme. Une conséquence de l’existence d’un tel repère est le champ électrique
de corotation des planètes magnétisées. En eﬀet, ces planètes génèrent un dipôle magnétique qui tourne
avec elles. Les particules situées dans l’espace vont donc ”voir” ce mouvement et ce sans l’intervention
d’aucune collision mécanique, simplement sous l’eﬀet de ce champ électrique. Ce champ est appelé champ
électrique de corotation puisqu’il entraîne toutes les particules (en tout cas leur centre-guide) à tourner
à la même vitesse que la planète elle-même, et ainsi à suivre sa rotation.
8. Il faut en fait relativiser la ”généralisation” de l’expression de la vitesse de dérive. En eﬀet, cette
→
−
force F doit avoir certaines caractéristiques bien particulières, force uniforme ne dépendant pas de la
position de la particule et stationnaire ne dépendant pas du temps, qui en réduisent singulièrement la
généralité.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 58
3.2
APPROCHE PARTICULAIRE
Champs électromagnétiques NON-uniformes
Dès que les champs sont inhomogènes ou qu’ils varient en fonction du temps, l’équation
(3.1) est non linéaire et sa résolution exacte devient un problème ardu. Une solution analytique étant souvent impossible à obtenir, une solution numérique reste toujours possible.
Toutefois, il existe un cas particulier où des résultats théoriques approximatifs sont possibles, tout en restant d’une grande utilité pour comprendre la dynamique compliquée
d’un plasma. Cette approximation repose sur trois propositions indépendantes :
– la non prise en compte des détails de la trajectoire des particules, on ne s’occupera que
de son centre-guide
– l’hypothèse d’un champ magnétique fort dont les variations spatiales et/ou temporelles
sont de faible amplitude
– l’hypothèse d’un champ électrique faible
Ces hypothèses peuvent sembler au premier abord très limitatives mais en fait cela n’est
pas vraiment le cas. En eﬀet, pour que cette théorie fonctionne à peu près bien, il faut
et il suﬃt que les variations des champs restent faibles sur des distances de l’ordre du
rayon de gyration des particules. Cette propriété est commune à nombre d’expériences de
laboratoire, y compris les plus intéressantes telle la fusion thermonucléaire, ainsi que dans
nombre de problèmes astrophysiques où les distances de variation des champs sont à ”très
grande échelle”.
Cette approximation du centre-guide peut être quantifiée de manière assez simple. Si l’on
→
−
→
−
suppose que la variation du champ B , appelée δB est de la forme δB = rc | ∇B |
→
−
(où ∇B représente le gradient de B) sur une gyration rc , alors des variations faibles
signifient que δB << B 9 . Ceci nous permettra de linéariser les équations du mouvement
et d’obtenir des informations importantes sur les trajectoires des particules. Toute les
équations théoriques présentées dans ce paragraphe sous-tendront cette approximation et
seront donc naturellement limitées à l’ordre un du développement de Taylor.
3.2.1
Champ électrique NON stationnaire
Les inhomogénéités du champ électrique sont une des sources de dérive avec celles du
champ magnétique. Il n’est pas dans le propos de cette introduction de faire le bestiaire
des diﬀérentes dérives et/ou modifications des trajectoires par des champs NON uniformes
et NON stationnaires. Dans ce paragraphe nous allons regarder ce qui arrive lorsque
c’est le champ électrique qui varie. Deux cas sont intéressants : Le premier que je ne
traiterais pas concerne un champ électrique variant spatialement, on montre que c’est
la fréquence de gyration qui s’en trouve modifiée d’une quantité dépendant du gradient
→
−
∇E. Le second, plus simple, concerne un champ dépendant du temps. Dans ce dernier
cas, afin de simplifier les équations, nous ferons aussi l’hypothèse d’un champ magnétique
stationnaire ET uniforme et d’un champ électrique uniforme. Cette dernière hypothèse
→
−
n’est valide que si les variations de E se font sur une échelle spatiale beaucoup plus grande
que le rayon de gyration de la particule. Sous ces hypothèses, l’équation de la dynamique,
se réécrit
−
→
−
→
−
d→
v
−
m
= q( E (t) + →
v × B)
dt
9. Cela revient tout simplement à dire que le gradient qu’il soit électrique ou magnétique est beaucoup
plus grand que le rayon de gyration de la particule (son rayon de Larmor), c’est-à-dire rc << L où L est
l’échelle caractéristique du gradient et de faire un développment de Taylor en rc /L.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 59
APPROCHE PARTICULAIRE
Dérivant cette équation par rapport au temps, on trouve
→
−
→
−
−
−
→
−
−
→
−
→
−
d2 →
v
d E (t) d→
v
d E (t) q 2 →
−
m 2 = q(
+
× B) = q
+ ( E (t) + →
v × B) × B
dt
dt
dt
dt
m
→
−
Afin de simplifier cette expression, on fait l’hypothèse que les variations de E sont très
−
lentes et donc que la vitesse de dérive associée →
v dp est elle-même à variations lentes. Dans
→
−
ce cas le terme de gauche disparaît et l’on trouve dans la direction perpendiculaire à B
→
−
−
→
−
→
−
q d E ⊥ (t)
q2 →
−
−
0=
+ 2 ( E ⊥ (t) + [→
vd+→
v dp ] × B ) × B
m dt
m
−
où l’on a fait apparaître les vitesses de dérive →
v d dues à la partie uniforme du champ
→
−
→
−
→
−
électrique E ⊥ et v dp due à la partie variable E ⊥ (t). En développant le double produit
vectoriel 10 , on obtient finalement
→
−
→
−
→
−
E⊥ × B
m d E ⊥ (t)
→
−
→
−
v d + v dp =
+
B2
qB 2 dt
(3.15)
−
On reconnaît la vitesse de dérive →
v d trouvée précédemment, à laquelle se rajoute une
→
−
dérive due aux variations temporelles de E . On parle de dérive de polarisation car
les particules de charge et de masse diﬀérente ont des vitesses diﬀérentes. La dérive de
polarisation est proportionnelle à la masse, les courants qui en résulteront seront donc
principalement d’origine ionique.
3.2.2
Champ magnétique NON uniforme
Dans le cas d’un champ magnétique non uniforme, nous allons voir que d’autre types de
→
− →
−
dérive apparaîssent. En se plaçant dans le référentiel du centre-guide (dérive E × B ), la
particule durant son mouvement va voir des variations du champ magnétique que nous
allons supposer faibles. En faisant un développement de Taylor à l’ordre un au voisinage
de l’origine 11 , on peut alors exprimer la relation fondamentale de la dynamique sous la
forme
−
→
−
←→
d→
v
−
m
= q(→
v × [ B o + �r · ∇B])
(3.16)
dt
←→
où intervient dans cette expression, le tenseur ∇B car les variations du champ magnétique peuvent avoir lieu dans toutes les directions. Par exemple, dans une base cartésienne,
toutes les composantes du champ magnétique peuvent varier suivant les coordonnées spatiales x, y, z. De ce fait, on remarque que l’opérateur décrivant ces modifications est en
fait un tenseur d’ordre 2 (une matrice) de la forme
 ∂B ∂B ∂B 
→
− →
−
←→ 
∇ ⊗ B ≡ ∇B = 
x
x
x
∂x
∂By
∂x
∂Bz
∂x
∂y
∂By
∂y
∂Bz
∂y
∂z
∂By
∂z
∂Bz
∂z


→
−
→
−
où ⊗ représente le produit tensoriel entre l’opérateur variationnel � et le champ B .
←→
Le tenseur résultant∇B exprime alors toutes les variations spatiales possibles du champ
→
−
→
− →
−
→
− →
− →
−
→
− →
− →
−
10. On a la relation : A × ( B × C ) = B ( A · C ) − C ( A · B )
−
11. Cela signifie que la variable →
r représentera la position instantanée de la particule durant une
gyration par rapport à la position de son centre-guide.
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Page 60
APPROCHE PARTICULAIRE
→
−
−
magnétique. Si l’on suppose que le champ magnétique principal B o = Bo →
e z se trouve le
long de l’axe des z, alors ces diﬀérents termes peuvent être assez facilement classés en 4
groupes distincts :
y
x
z
– les termes de divergence : ∂B
, ∂B
, ∂B
, voir figure (3.4a)
∂x
∂y
∂z
∂Bz ∂Bz
– les termes de gradients : ∂x , ∂y (variation perpendiculaire de la composante principale),
voir figure (3.4b)
y
x
– les termes de courbure : ∂B
, ∂B
(variation longitudinale des composantes secondaires),
∂z
∂z
voir figure (3.4c)
y
x
– les termes de cisaillement et/ou de tortillement : ∂B
, ∂B
(variation perpendiculaire
∂y
∂x
des composantes secondaires) , voir figure (3.4d)
Figure 3.4 – Géométrie des lignes de champ magnétique ayant une divergence (a), un gradient
(b) et une courbure (c) suivant la direction x
Le comportement des lignes de champ suivant ces diﬀérents termes a été résumé sur la
figure (3.4). En fait, ces 9 composantes ne sont pas toutes indépendantes. Puisque l’on a la
→
− →
−
relation ∇ · B = 0, cela démontre que seulement 2 composantes des termes de divergence
sont indépendantes, une faible variation du champ magnétique le long de z (∂Bz /∂z �= 0)
se traduira donc aussi par une variation suivant une des deux autres coordonnées, c’està-dire ∂Bx /∂x �= 0 et/ou ∂By /∂y �= 0. De plus, un gradient de champ magnétique ne
→
−
→
−
peut exister seul dans le vide (où ∇ × B = 0), si bien qu’il est généralement associé
à une courbure des lignes de champ magnétique. Dans la réalité, ces cas d’école ne se
rencontrent pas séparément, le champ magnétique cumule à la fois divergence, gradient
et courbure comme illustré par la figure (3.5)) 12 . L’un des avantages de l’approximation
du centre-guide est d’obtenir des équations linéaires (d’ordre un), si bien que chaque eﬀet
peut être étudié séparément, l’eﬀet cumulatif de tous ces eﬀets n’étant alors que la somme
de chacun de ces termes (additivité des solutions).
12. Cela est en fait le cas pour toutes les configurations planétaires et stellaires qui se caractérisent à
l’ordre zéro par un dipôle et dont l’origine est l’eﬀet dynamo.
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Page 61
APPROCHE PARTICULAIRE
Figure 3.5 – Représentation schématique d’un champ magnétique possédant un gradient et
une courbure
←→
→
− →
−
−
−
En se limitant à l’ordre un, on peut remarquer que l’expression →
r · ∇B = (→
r · ∇) B , si
bien que l’équation du mouvement (3.16), prend la forme simple
m
−
→
−
→
− →
−
d→
v
−
−
−
= q(→
v × B o) + q→
v × (→
r · ∇) B
dt
(3.17)
Si le premier terme de l’équation (3.17) décrit le mouvement de gyration que nous avons
déjà étudié au paragraphe (3.1), le second terme est nouveau et décrit une force qui dépend
−
de la position instantanée de la particule (de la coordonnée →
r ). Cette dépendance rend la
résolution de cette équation extrêmement diﬃcile, dont la solution ne pourra être obtenue
que numériquement. La question se pose de savoir si les informations contenues dans cette
équation ne sont pas trop nombreuses par rapport à ce qui nous intéresse. En eﬀet, dans le
cadre de la théorie du centre-guide, seul nous intéresse le mouvement ”lent” de la particule
et non le mouvement de rotation rapide, dont on connaît d’ailleurs déjà les caractéristiques,
et qui se rajoute aux mouvements de dérive 13 . Une façon simple d’éliminer les fluctuations
rapides de cette force due à la rotation de la particule est de moyenner sur une gyration.
La force moyenne ainsi obtenue pourra alors être considérée comme constante sur une
gyration (c’est étudié pour ! !) et donc injectée tout naturellement dans l’équation (3.14)
afin d’obtenir la dérive correspondante.
3.2.2.1
Dérive due au gradient du champ magnétique
Afin de ne pas alourdir inutilement les calculs, nous allons nous placer dans le cas simple
→
−
→
−
où B a sa composante principale le long de z et les variations spatiales de B se font
→
−
perpendiculairement à cette direction( ∇ ⊥ ), dans le plan (x, y). En supposant des petites
perturbations à la trajectoire, on a les relations
→
−
−
−
r = →
r o+→
r1
→
−
dr
→
−
−
−
v =
=→
vo+→
v1
dt
−
−
où →
r 1 et →
v 1 sont respectivement la position et la vitesse perturbées de la particule dans
−
−
−
−
le référentiel du centre-guide, avec les relations →
r 1 << →
r o et →
v 1 << →
v o . L’équation
13. Dans le cadre de cette théorie, les équations sont linéaires et les solutions des combinaisons linéaires
des diﬀérentes solutions.
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Page 62
APPROCHE PARTICULAIRE
(3.17) se réécrit, en ne gardant que les termes d’ordre inférieur ou égal à un, sous la forme
−
→
−
d→
vo
−
m
= q(→
v o × B o)
(3.18)
dt
−
→
−
→
− →
−
d→
v1
−
−
−
m
= q(→
v 1 × B o) + q→
v o × (→
r o · ∇ ⊥) B
(3.19)
dt
L’équation (3.18) décrit le mouvement de gyration que nous avons déjà étudié précédemment. L’équation (3.19) fait apparaître deux termes : (i) un terme qui constitue une
correction au mouvement de gyration 14 et (ii) un terme supplémentaire dont nous allons
étudier l’impact sur la trajectoire. Sans perte de généralité, on peut supposer que le mouvement de gyration circulaire d’ordre zéro se déroulant dans le plan perpendiculaire au
→
−
champ B est de la forme
→
−
−
−
r o = rc (cos ωc t→
e x + ε± sin ωc t→
e y)
→
−
dro
→
−
−
−
vo =
= rc ωc (− sin ωc t→
e x + ε± cos ωc t→
e y)
dt
où ε± vaut 1 pour les électrons (sens trigonométrique) et -1 pour les ions (sens contraire),
ces particules ne tournant pas dans le même sens (voir figure 3.2). Si bien que le terme
de force lié au gradient de champ magnétique s’écrit alors


∂
∂
ε± rc2 ωc cos ωc t[(cos ωc t ∂x
+ ε± sin ωc t ∂y
)Bz ] 

→
−
∂
∂
→
F−
=q
r2 ω sin ωc t[(cos ωc t ∂x
+ ε± sin ωc t ∂y
)Bz ]
∇ ⊥B
 c c

0
puisque seul nous intéressent les mouvements lents par rapport�à la rotation des particules,
on�prend la moyenne sur
� une gyration en se rappelant que < (cos ωc t sin ωc t)dt >= 0 et
< (cos2 ωc t)dt > =< (sin2 ωc t)dt >= 1/2 sur une période. La force due au gradient se
réécrit alors sous la forme
 1

∂
2
ε
r
ω
B


±
c
z
2
c
2
∂x
→
−
−
→
−
e 2 →
e v⊥
1
∂
2
→
ε
r
ω
B
< F−
>
=
q
=
−
r
ω
∇
B
=
−
∇ ⊥B
(3.20)
période
⊥
c c
2 ± c c ∂y z
∇ ⊥B


2
2 ωc
0
avec e =| q | et où on a remplacé Bz par B, les lignes de champ étant parallèles à cette
direction. On remarque que cette force a le même sens pour les électrons et les ions 15
→
−
et est de sens contraire au gradient ∇ ⊥ B. Cette force étant uniforme sur une gyration
(la moyenne a été faite pour cela !), on peut appliquer la formule générale (3.14) et après
réorganisation des termes, on trouve
− →
−
2 →
1 mv⊥
B × ∇ ⊥B
→
−
→
v d−
=
(3.21)
∇ ⊥B
q 2B
B2
→
−
→
Comme toute force transverse, < F −
> produit une dérive perpendiculaire au champ
∇ ⊥B
magnétique. Cette dérive dépend du signe de la charge et donc donne lieu à un courant
dit de dérive. L’origine physique de cette dérive est une lente accumulation d’oscillations
non compensées du rayon de Larmor entre les zones de champ fort et les zones de champ
faible. En eﬀet, d’une zone à l’autre, les rayons de gyration ne sont pas les mêmes, petits
pour les champs fort et plus grand pour les champs faibles. Le raccordement de ces cercles
de rayons diﬀérents implique nécessairement une dérive lente.
14. Ce terme disparaîtra naturellement dans le processus de moyenne temporelle que nous utiliserons
→
−
pour obtenir la force < F > ”constante” qui s’applique sur la particule dans le référentiel du centre-guide.
15. Attention, pas le même module car ωc dépend de la masse de la particule et donc diﬀère entre les
espèces.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 63
APPROCHE PARTICULAIRE
3.2.2.2
Dérive due à la courbure du champ magnétique
Jusqu’ici nous n’avons pas parlé de courbure des lignes de champ magnétique, pourtant
→
− →
−
une courbure seule ne peut satisfaire ∇ × B = 0 si bien que dans le vide elle est inséparable
de la notion de gradient. Pour calculer la force moyenne s’appliquant sur les particules
du fait de la courbure des lignes de champ, on peut faire un calcul du type que celui du
paragraphe précédent, mais cela sera un peu long. Une manière plus rapide d’arriver à
nos fins, est de faire l’hypothèse légitime que cette courbure est très faible par rapport à
la gyration des particules, c’est-à-dire rc << RC où RC est le rayon de courbure des lignes
de champ. Dans le référentiel lié à la particule, pour que celle-ci puisse suivre les lignes
de force, une force centrifuge apparaît. Elle prend la forme usuelle
�
�
m < v�2 > →
→
−
−
F centrif uge =
n
RC
Cette force centrifuge est orientée vers l’extérieur de la courbure et est portée par la
−
2
normale principale →
n à la ligne de champ. La vitesse < v//
> représente la moyenne
→
−
2
du carré de la composante suivant B de la vitesse thermique (on écrira v//
pour alléger
l’écriture). Cette force étant de nouveau uniforme durant une gyration, la vitesse de dérive
associée est donnée par
�
�
→
−
→
−
2
mv
→
−
F centrif uge × B
�
→
−
→
−
v dC =
=
n ×B
(3.22)
2
2
qB
qB RC
Cette dérive est donc orientée perpendiculairement au plan contenant la courbure et de
sens opposé pour les ions et les électrons (figure 3.6).
Figure 3.6 – Dérive due à la courbure des lignes de champ magnétique
Là encore, on voit apparaître un courant lié à la diﬀérence de dérive entre les particules
de charge opposée. En fait, la plupart des dérives engendrent des courants, et ces courants
réagissent sur le champ appliqué : soit en établissant les conditions d’un retour à l’équilibre et l’apparition d’oscillations associées à une onde, soit en amplifiant la perturbation
responsable de la dérive, déclenchant ainsi une instabilité 16 .
3.2.3
L’eﬀet miroir
Bien que cet eﬀet miroir soit à mettre dans le paragraphe concernant le cas d’un champ
magnétique NON uniforme, il sera traité à part du fait de son importance dans la compréhension des phénomènes physiques. Ce type d’eﬀet a été pour la première fois proposé
16. En général, les courants de dérive ont simplement tendance à lisser les gradients ou les courbures
qui leur ont donné naissance.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 64
APPROCHE PARTICULAIRE
comme mécanisme possible d’accélération des rayons cosmiques. De la même façon, le
confinement des particules dans la ceinture de Van Allen en est un autre exemple. En fait,
dès que l’amplitude du champ magnétique augmente, les lignes de champ se resserrent
et l’eﬀet miroir existe et ses conséquences pourront être observées. Dans le paragraphe
(3.2.2.1), nous avons étudié le cas d’un gradient (inhomogénéité) perpendiculaire au champ
→
−
B , que se passe-t-il maintenant lorsque ce gradient se trouve le long des lignes de champ ?
Puisque les lignes de champ magnétique convergent le long du gradient, on obtient une
configuration comme celle de la figure (3.7)
Figure 3.7 – configuration des lignes de champ magnétique pouvant entraîner un eﬀet miroir
Il est évident au vu de la figure (3.7) que le champ magnétique se décompose en une
composante principale Bz et une composante radiale Br . Sans perte de généralité, on
suppose une symétrie de révolution autour de l’axe des z, si bien que l’on a Bθ = 0 avec
∂/∂θ = 0. De plus, on suppose que le rayon de gyration de la particule est beaucoup plus
petit que l’échelle des variations du champ. On peut alors reprendre l’équation (3.19),
→
−
en prenant non pas un gradient strictement perpendiculaire à B mais plus général, en
→
−
−
−
∂
∂
posant ∇B = ∂r
B→
e r + ∂z
B→
e z , on trouve alors dans la base locale qui nous intéresse
→
−
−
r o = rc →
er
→
−
−
−
v o = ε± v ⊥ →
e θ = ε± rc ωc →
eθ
Si bien que l’équation (3.17) permet d’obtenir l’expression de la force


∂
ε± rc2 ωc [ ∂r
Bz ] 

→
−
→ = q
0
F−
∇B


∂
−ε± rc2 ωc [ ∂r
Br ]
On retrouve une partie perpendiculaire à la composante magnétique principale Bz qui
après une moyenne sur une gyration donne
→
−
∂Bz →
1 ∂ →
−
2
2
→
< F−
>=
−er
ω
<
e
>=
−er
ω
B−
er
c
r
c
c
c
∇ ⊥B
∂r
2 ∂r
Cette force ayant une direction opposée au gradient radial, on remarque bien que son
sens dirige les particules vers l’axe z, et permet aux particules de suivre la courbure des
lignes de champ qui se rapprochent. C’est la même force que l’on avait obtenue précédemment (paragraphe 3.6), dans le cas d’un gradient purement perpendiculaire. La seconde
composante de la force de gradient est par contre nouvelle, on a
→
−
∂
−
→ = er 2 ωc
F−
Br →
ez
c
∇B
∂r
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(3.23)
(Auteur : Philippe Savoini)
APPROCHE PARTICULAIRE
Page 65
Dans cette expression, la composante Br est inconnue mais heureusement nous connaissons
une relation simple reliant Br à Bz . En eﬀet, la divergence du champ magnétique est
toujours nulle. Son expression dans la base cylindrique avec ∂/∂θ = 0, nous donne
→
− →
−
1 ∂
∂
∇ · B = 0 ==>
(rBr ) + (Bz ) = 0
r ∂r
∂z
En faisant alors l’hypothèse habituelle que la composante Bz varie lentement (toujours
par rapport au temps de gyration d’une particule), on peut supposer que ∂Bz /∂z est
indépendant de r, et cette équation s’intègre aisément
�
1 r ∂Bz
r ∂Bz
Br = −
rdr = −
r 0 ∂z
2 ∂z
La variation de cette quantité par rapport à r est donc
∂Br
1 ∂Bz
1 ∂B
=−
≈−
(3.24)
∂r
2 ∂z
2 ∂z
Nous avons supposé que la composante principale Bz ne diﬀère pas ”beaucoup” de la
composante totale B (les variations spatiales de B sont très faibles dans la région qui nous
intéresse !). On somme alors ce terme sur une période gyro-magnétique τc afin d’obtenir
→
−
→
la moyenne de la force F −
∇B
�
∂Br
1
∂B
r1
∂B
1 ∂B
<
>= − <
>= −
dτ = −
∂r
2
∂z
2 τc gyration ∂z
2 ∂z
Dans cette dernière équation, on a utilisé le fait que la variation de B est constante sur
une gyration. L’équation (3.23) donnant la force parallèle qui s’exerce sur les particules
se réécrit alors sous la forme
2
→
−
∂
1 ∂B →
mv⊥
∂B →
→
−
−
−
2
2
→
< F−
>
=
er
ω
<
B
e
>=
−er
ω
e
=
−
ez
c
r
z
c
z
�
c
c
∇ �B
∂r
2 ∂z
2B ∂z
Cette force peut être réécrite en faisant apparaître explicitement la direction parallèle, on
trouve
2
→
−
→
−
mv⊥
→ >� = −
< F−
∇ �B
(3.25)
∇� B
2B
Cette expression 17 (3.25) montre que lorsqu’il existe une variation longitudinale du champ
magnétique (convergence ou divergence des lignes de champ), alors une force axiale s’ap→
−
plique sur les particules chargées dans la direction de décroissance du champ B . Cette
force est indépendante de la charge et s’applique donc de la même façon pour les ions et
les électrons. En résumé, au fur et à mesure qu’une particule se propage vers les régions de
→
−
→
champ magnétique fort, elle est décélérée sous l’action de la force < F −
>. Sa vitesse
∇ �B
v� diminue et peut aller jusqu’à s’annuler sous certaines conditions, la particule subit alors
une réflexion et est de nouveau accélérée dans l’autre direction repartant d’où elle était
venue. Ce mécanisme est appelée réflexion miroir.
Bien que dans cette introduction nous n’avons pas présenté de manière exhaustive les
diﬀérents mouvements et trajectoires que peuvent avoir une particule en présence de
champs électromagnétiques NON uniforme ET NON stationnaire, il paraît clair que dans
un plasma réel où tout se superpose, le comportement des particules chargées peut devenir extrêmement complexe à comprendre. Il existe certaines quantités physiques dont
la conservation nous permet d’obtenir une image simple de phénomènes complexes. Ces
quantités que l’on appelle invariants adiabatiques jouent un rôle central dans la physique
des plasmas et seront présentés au paragraphe suivant.
17. Le signe − traduit l’eﬀet du diamagnétisme du plasma.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 66
3.2.4
APPROCHE PARTICULAIRE
Les invariants adiabatiques
L’étude de la dynamique d’un système se fait de manière usuelle en exprimant les diﬀérentes variables physiques (position et vitesse) en fonction du temps. Si cette méthode est
la plus répandue, il existe une autre approche consistant à rechercher des combinaisons
de variables qui à l’inverse son indépendantes du temps. En eﬀet, malgré l’évolution du
système, il n’est pas exclu que certaines combinaisons de variables temporelles puissent
être construites de manière à se compenser mutuellement. L’exemple le plus représentatif est bien sûr la conservation de l’énergie mécanique dans un système conservatif
(Ec + Ep = cte). Cette recherche des constantes du mouvement peut être formalisée
et systématisée dans le cadre de la mécanique Hamiltonienne où les actions constituent
de tels invariants.
Dans ce qui suit, nous ne parlerons pas de constantes du mouvement mais bien plutôt
d’invariants. En eﬀet, ces invariants ne découlent pas de symétries du type de ceux présents
dans un système conservatif, mais découlent de l’existence de trois échelles de temps
bien séparées présentes dans un ”plasma réel ”. Nous verrons que ces invariants ne sont
”qu’approximativements constants” et ce uniquement dans le cas de faibles variations du
système. Pour être valables, ces variations devrons donc vérifier certaines conditions dites
approximations adiabatiques :
– critère spatial : On suppose que les variations de B dans l’espace sont suﬃsamment
lentes (d’échelle L), et B suﬃsamment fort, pour que la variation relative sur une
longueur de gyration reste faible rc << L.
– critère temporel : On suppose que les variations de B dans le temps sont suﬃsamment
lentes (d’échelle T ), et B suﬃsamment fort, pour que la variation relative sur une période
de gyration reste faible 2πωc−1 << T.
Comme on peut tout de suite le remarquer, cette approximation n’est ni plus ni moins
que l’approximation utilisée dans la théorie des orbites pour en déduire les mouvements
de dérive. Ceci nous permettra d’utiliser les résultats déjà obtenus pour en déduire ces
invariants.
3.2.4.1
Premier invariant adiabatique
Afin d’introduire le premier invariant adiabatique, il est intéressant de revenir sur l’équation (3.25) donnant la force le long de l’axe d’une configuration magnétique inhomogène
→
−
→
< F−
∇
�B
2
→
−
→
−
mv⊥
>� = −
∇ � B = −µ ∇ � B
2B
→
−
L’équation de la dynamique projetée suivant le champ B , s’écrit alors
−
d→
v�
→
−
→
−
→
m
=< F −
>� = −µ ∇ � B
(3.26)
∇
B
�
dt
−
En multipliant scalairement l’équation (3.26) par →
v � de part et d’autre, on obtient
−
d→
v�
d 1
dz ∂B
dB
→
−
m( v � ·
) = ( mv�2 ) = −µ
= −µ
(3.27)
dt
dt 2
dt ∂z
dt
Or nous savons que la force de Lorentz ne travaille pas, il est donc clair que l’énergie
cinétique totale se conserve (Ec// + Ec⊥ = cte ) et l’on trouve en utilisant la relation
reliant le paramètre µ à l’énergie cinétique perpendiculaire
où µ =
2
mv⊥
.
2B
d
d 1
1 2
d 1
(Ec� + Ec⊥ ) = ( mv�2 + mv⊥
) = ( mv�2 + µB) = 0
dt
dt 2
2
dt 2
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(3.28)
(Auteur : Philippe Savoini)
APPROCHE PARTICULAIRE
Page 67
expression que l’on peut développer sous la forme
d 1 2
d
dµ
dB
( mv� ) = − (µB) = − B − µ
dt 2
dt
dt
dt
(3.29)
Le champ magnétique ne pouvant être nul, une simple comparaison entre les équations
(3.26) et (3.29 ) nous montre que
dµ
= 0=>µ = cte
dt
(3.30)
Le paramètre µ 18 apparaît donc comme une constante du mouvement, ”apparaît” est bien
le mot car dans le calcul on a abusivement remplacé les ∂ par des d. Cet abus n’est tolérable
→
−
que si les variations de B sont suﬃsamment lentes (et faibles) pour se limiter à l’ordre
→
−
un du développement de Taylor du champ B . C’est pour cette raison que l’on parlera
”d’invariant adiabatique” plutôt que de constante du mouvement. µ est souvent référencé
dans la littérature comme étant le premier invariant adiabatique, nous en verrons d’autres
mais celui-ci est d’une importance capitale dans la compréhension des phénomènes liés
à la réflexion miroir et au chauﬀage magnétique. Deux résultats importants découlant
directement de la conservation de cette quantité :
1. conservation du flux magnétique. Une conclusion immédiate de la constance de µ
concerne le flux magnétique embrassé par une particule lorsqu’elle se déplace dans
un champ magnétique inhomogène. Par définition, le flux magnétique traversant la
surface S d’une orbite fermée est donné par
�
→
− →
−
2m
Φm =
B · d S = πrc2 B = 2 µ = cte
(3.31)
e
Cette équation démontre donc que lorsqu’une particule se déplace dans une région
où le champ magnétique augmente, alors son rayon de gyration décroît de telle sorte
que le flux magnétique à travers son orbite de gyration reste constant 19 .
2. cône de perte. Nous avons vu que l’existence d’une force parallèle freine les particules lorsqu’elles s’approchent d’une région où le champ magnétique s’accroît. Il
→
−
peut même arriver que le champ B soit suﬃsamment fort pour que v� = 0 et que la
particule soit réfléchie dans la zone de faible champ. Supposons que nous ayons une
configuration comme celle représentée sur la figure (3.8a), dans ce cas les particules
sont piégées et doivent rester au centre de cette configuration (on parlera de bouteille magnétique). Toutefois, ce piégeage est loin d’être parfait, pour s’en persuader
il suﬃt de regarder ce qui se passe pour les particules n’ayant qu’une composante de
vitesse parallèle (v⊥ = 0), elles ne ressentent aucune force décélératrice et traversent
le ”goulot de la bouteille”, s’échappant du système. La conservation de µ va nous
permettre de quantifier ce processus d’échappement et de trouver un critère simple
de piégeage. On suppose que le champ magnétique minimum de cette configuration (voir figure 3.8a) est Bo et que le champ magnétique maximum au niveau du
resserrement des lignes de forces est Bm .
18. Le paramêtre µ joue un rôle central dans l’approche particulaire où l’on s’intéresse au mouvement
d’une particule magnétisée.
→
−
19. Là encore et sans le dire, nous avons fait l’approximation que le champ B restait constant à
→
−
l’intérieur d’une orbite. En d’autres termes, que les variations de B étaient négligeables (au moins d’ordre
deux) par rapport au rayon de gyration rc . Bref, on a de nouveau utilisé l’approximation adiabatique !
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 68
APPROCHE PARTICULAIRE
Figure 3.8 – a) Configuration schématique de deux miroirs magnétiques se faisant face (bouteille magnétique). (b) Cône de perte des particules dans cette configuration.
On recherche alors le point miroir pour une particule chargée dont la vitesse était vo
lorsqu’elle se trouvait dans la zone où régnait Bo . Si le champ au point miroir est B � , alors
la conservation de µ et de l’énergie cinétique totale nous donne les relations
�
2
mv⊥o
mv⊥2
µ = cte =
=
2Bo
2B �
1
1 �
Etotale = cte = mvo2 = mv 2
2
2
�
(3.32)
(3.33)
�
2
2
avec vo2 = v�o
+ v⊥o
et v 2 = v⊥2 . Combinant (3.32) et (3.33), on trouve l’angle que faisait
initialement la direction de vo avec l’axe de révolution
2
2
v⊥o
v⊥o
Bo
sin θ = 2 = � 2 = �
vo
B
v⊥
(3.34)
2
�
Dans le cas présent, on doit avoir de plus la relation Bm > B , cette condition impose que
l’angle θ doit être supérieur à un minimum θm tel que :
sin2 θm =
Bo
Bm
(3.35)
L’angle θm définit donc le contour d’un cône dans l’espace des vitesses, appelé ”cône de
perte” représenté sur la figure (3.8b). Toute particule ayant une vitesse vo se trouvant
initialement dans ce cône, ne sera pas confinée mais s’échappera du système. Une conséquence directe sera donc qu’aucune distribution isotropique ne pourra être obtenue dans
ce type de configuration.
3.2.4.2
Autres invariants adiabatiques
Il apparaît qu’à chaque mouvement périodique, nous pouvons associer un invariant adiabatique diﬀérent. Les plus simples (et surtout les plus utiles en physique spatiale) sont
respectivement appelés second et troisième invariant adiabatique. Ils découlent des diﬀérents mouvements périodiques que l’on trouve dans un configuration magnétique “réaliste”
telle celle représentée sur la figure (3.9).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 69
APPROCHE PARTICULAIRE
Figure 3.9 – Mise en évidence des trois invariants adiabatiques et de leurs périodes respectives,
Tµ , TJ et TΦ , liées chacune riodique des particules. On a l’inégalité TΦ >> TJ >> Tµ .
3.2.4.2.1 Second invariant adiabatique C’est ainsi que l’on peut définir le second
invariant (appelé aussi invariant longitudinal) lié aux mouvements que fait une particule
subissant des réflexions successives sur les deux miroirs magnétiques (M1 et M2 ). Il prend
la forme :
� M2
� M2
→
−
→
−
J=
v ·ds =
v� ds = cte
(3.36)
M1
M1
De l’invariance de J, on peut déduire un comportement remarquable de l’eﬀet miroir.
En eﬀet, si l’on suppose que les miroirs magnétiques se déplacent l’un vers l’autre alors
l’énergie parallèle de la particule piégée entre les deux miroirs doit augmenter. Les miroirs
étant séparés d’une distance L, on a alors J = 2v� L pour un aller-retour et son énergie
parallèle est de la forme
mv�2
J2
Ec// =
=m 2
(3.37)
2
8L
On remarque que si L décroît alors Ec� augmente très rapidement (en 1/L2 ). Ce mécanisme
a été invoqué par Fermi pour expliquer l’origine des rayons cosmiques très énergétiques
observés dans l’espace. Fermi a supposé que deux nuages stellaires se déplaçant l’un vers
l’autre et possédant un champ magnétique supérieur à celui du milieu interstellaire ambiant, pouvait piéger et accélérer ces particules cosmiques 20 . Ce mécanisme de base doit
bien sûr être raﬃné pour être directement applicable à l’observation. En particulier, J
n’étant qu’un invariant ”approximatif” rien ne garantit la régularité des trajectoires, en
particulier, J peut être aﬀecté par interaction (échange d’énergie) avec les mouvements
de rotation autour des lignes de champ. De plus, les particules, voyant leur vitesse longitudinale augmenter, peuvent ”tomber” dans le cône de perte et s’évader rapidement,
etc...
3.2.4.2.2 Troisième invariant adiabatique L’invariance du moment magnétique µ
est associée au mouvement de gyration des particules. Celle de l’invariant longitudinal J
au mouvement le long des lignes de champs. Un troisième invariant lié au mouvement de
dérive à travers les lignes de champ peut être identifié lorsque ce mouvement est quasipériodique. C’est l’invariant de flux ou troisième invariant Φ.
Contrairement à l’invariant longitudinal J, dominé par le terme cinétique (dérive du
centre-guide à travers les lignes de champ), la valeur de l’invariant de flux est due essentiellement au terme magnétique (gradient de B). A l’ordre un, lorsque la courbure et
20. Ce mécanisme est connu aujourd’hui sous le nom d’accélération Fermi.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 70
APPROCHE PARTICULAIRE
le gradient du champ sont pris en compte, le centre-guide dérive et change lentement de
ligne de champ. Ce changement engendre une famille de lignes appelées surface de dérive
comme illustré sur la figure (3.9). Cet invariant est moins utile que les deux précédents
car son existence n’est garantie que pour des perturbations extrêmement lentes, très vite
perturbé par de la turbulence basse fréquence (qui préserve néanmoins le premier et le
second invariant).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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4.
Approche statistique
Sommaire
4.1
Eléments de théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.1 Position dans l’espace des phases : description exacte . . . . . .
72
4.1.2 Position dans l’espace des phases : description statistique . . .
74
4.1.3 L’équation de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.1.4 La hiérarchie BBGKY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.1.5 L’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.1.5.1 Incompressibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.1.5.2 Réversibilité temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.1.6 L’équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.1.6.1 Evolution de la fonction de distribution . . . . . . . .
87
4.1.6.2 Le modèle de Krook . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.1.6.3 Le modèle de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.1.6.4 Irréversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1.6.5 Distribution à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.2 Le phénomène de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 Notion de libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.2.2 Notion d’angle de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.2.3 Fréquence de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 L’état d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.1 Equilibre en présence d’une force extérieure : formule de Boltzmann101
4.3.2 Equilibre en présence d’une charge ponctuelle : comportement
collectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Le comportement collectif du plasma est souvent caché sous les termes de longueur de
Debye (λDe ), fréquence plasma (ωp ), paramètre plasma (ND )... Tous ces termes ont en
commun d’inclure des quantités moyennées (température, densité) et de décrire les principales caractéristiques globales du plasma. Ce comportement collectif est en fait la conséquence d’interactions multiples entre un nombre très élevé de particules et les champs
→
− −
→
− −
électrique E (→
x , t) (créés par les particules chargées) et magnétique B (→
x , t) (générés
→
−
par les particules se déplaçant à une vitesse v ). Ces interactions conduisent à un échange
d’impulsion et d’énergie entre particules ainsi qu’avec les champs. Il est donc clair que dans
un plasma contenant un nombre très élevé de particules, chacune générant des champs mi→
−
→
−
croscopiques E et B , et réagissant aux champs créés par les autres particules, les champs
moyens possèdent une structure spatiale complexe et une multitude d’échelles temporelles
diﬀérentes. Vu le très grand nombre de particules composant le plasma, une description
dynamique de l’ensemble de ses constituants est donc un problème insoluble. Heureusement, il est souvent inutile de s’intéresser au mouvement exact de toutes les particules
constituant le plasma mais bien plutôt d’étudier ses propriétés statistiques. Il peut être
plus facile de ne s’intéresser qu’aux variations de quantités moyennées sur un petit volume
du plasma (aspect fluide) qui ont, elles, des comportements macroscopiques mesurables.
Pour aﬃner cette description, une approche statistique est possible. Elle permet entre
71
Page 72
APPROCHE STATISTIQUE
autre de s’aﬀranchir totalement des hypothèses réductrices fluides dont la justification
peut être diﬃcile dans le cas usuel d’un plasma non collisionnel.
4.1
Eléments de théorie cinétique
L’approche statistique de l’étude d’un plasma est connue sous le terme de théorie cinétique. Elle permet d’obtenir une description complète du plasma sous réserve de perdre
la discernabilité des particules. Si la connaissance de ces équations est d’une grande
importance en physique des plasmas, leurs démonstrations sont en amont de la pratique
courante dans ce domaine. Ces outils statistiques sont d’une manipulation un peu délicate
et ne seront présentés ici que sommairement, en essayant de faire ressortir l’enchaînement
des idées et des raisonnements conduisant aux équations cinétiques (en particulier l’équation de Vlasov).
4.1.1
Position dans l’espace des phases : description exacte
Avant de pouvoir faire des statistiques sur l’ensemble des particules d’un système et décrire l’évolution des propriétés statistiques dans le temps et dans l’espace, il faut savoir
déterminer exactement la trajectoire de chacune des particules individuelles du système.
Cette description est facilitée si l’on prend les positions et les vitesses comme variables
−
−
indépendantes dans un espace hypothétique à 6 dimensions avec pour axes (→
x, →
v ) que
→
−
l’on appelle l’espace des phases. Afin d’alléger l’écriture, on notera x le vecteur position
représentant la particule de coordonnées (x, y, z) dans l’espace réel ; de même le vecteur
→
−
v décrit les coordonnées de sa vitesse. Une particule est alors caractérisée, à un certain
−
−
temps to , par un point dans cet espace se trouvant dans un élément de volume d→
x d→
v et
dont l’évolution temporelle correspond à une trajectoire dans cet espace à 6 dimensions.
Dans un premier temps, on s’intéresse à un gaz constitué d’une seule particule ponctuelle
→
−
modélisée par l’utilisation d’un Dirac 1 . Cette particule a une trajectoire X 1 (t) qui repré−
sente les diﬀérentes positions →
x occupées par la particule à des temps successifs. De la
→
−
−
même façon, cette particule possède une trajectoire V 1 (t) dans l’espace des vitesses →
v.
→
−
→
−
En combinant les coordonnées d’espace x et de vitesse v dans un espace à 6 dimensions
−
−
(→
x,→
v ), la densité d’une particule s’écrit
�
� �
�
→
−
→
−
−
−
−
−
N1 (→
x,→
v , t) = δ →
x − X 1 (t) δ →
v − V 1 (t)
(4.1)
�
�
→
−
−
où δ →
x − X 1 (t) ≡ δ [x − X1 (t)] δ [y − Y1 (t)] δ [z − Z1 (t)] est une distribution de Dirac.
1. La distribution de Dirac possède des propriétés intéressantes dont les principales sont :
�
�
0 si x �= 0
δ (x)
1 si x = 0
� +∞
δ (x) dx = 1
−∞
Pour une fonction arbitraire f(x) définie sur l’intervalle ]−∞, +∞[ , on a les relations :
� +∞
f (x)δ (x) dx = f (0)
�
b
a
−∞
f (x)δ (x − xo ) dx = f (xo ) (a � xo � b)
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 73
APPROCHE STATISTIQUE
L’équation (4.1) nous dit que la densité de particule dans l’espace des phases est diﬀérente
de zéro seulement à l’endroit et à la vitesse où se trouve la particule 1 au temps t. Lorsque
le temps varie, cette densité forme une trajectoire dont les caractéristiques dépendent des
forces s’exerçant sur cette particule. En fait, pour une particule isolée, cette densité est
→
−
→
−
−
−
singulière car elle représente ni plus ni moins que la position →
x = X 1 et →
v = V 1 d’une
−
−
particule ponctuelle 2 dans l’élément de volume d→
x d→
v de l’espace des phases 3 .
La densité exacte totale est alors la somme sur toutes les particules ponctuelles constituant
le système.
N
�
� �
�
�
→
−
→
−
−
−
−
−
N (→
x,→
v , t) =
δ →
x − X i (t) δ →
v − V i (t)
(4.2)
i=1
Cette équation décrit la densité de particule pour chaque composante du plasma (électrons+ions) pris séparément 4 . Elle représente donc le volume total occupé par le plasma
dans l’espace des phases ; volume qui va se déformer sous l’action des forces s’appliquant
sur les particules qui constituent le plasma. Toutefois, il faut souligner que du fait que le
nombre de particules ne change pas (conservation du nombre de particules), ce volume
bien que changeant de forme se conserve durant l’évolution dynamique du plasma. La
−
−
dérivée totale de N (→
x,→
v , t) prise le long de la trajectoire décrivant toutes les particules
(espace à 6N dimensions) doit donc être nulle 5 .
−
−
dN (→
x,→
v , t)
=0
(4.3)
dt
Reprenant l’équation (4.3), on écrit :
−
−
−x ∂N
−
dN (→
x,→
v , t)
∂N
d→
d→
v ∂N
=
+
· →
+
· − =0
(4.4)
−
dt
∂t
dt ∂ x
dt ∂ →
v
En développant tous les termes et en utilisant les équations de la dynamique, on peut
réécrire cette équation sous la forme :
� →
�� →
→
−
−
− �→
→
− �→
∂N →
q �→
−
−
−
−
−
→
→
+ v · �xN +
E m x , t + v × B m x , t · �−
(4.5)
vN = 0
∂t
m
→
−
−
∂N →
→
− →
→
→
⇐⇒
+−
v · �−
x N + γ · �−
vN = 0
∂t
Cette équation en relation avec les équations de Maxwell permet une description exacte
du plasma, elle représente l’équation de Klimontovitch (valable pour chaque espèce N
constituant le plasma). La connaissance de la position et des vitesses initiales de toutes les
−
−
−
−
particules du plasma détermine les densités Ne (→
x,→
v , t = 0) et Ni (→
x,→
v , t = 0) (électrons
et ions), dont l’évolution ultérieure est décrite par l’équation (4.5) en tenant compte des
champs électromagnétiques auto-cohérents décrits par Maxwell.
→
−
→
−
2. En d’autres termes, les quantités X 1 et V 1 représentent les coordonnées lagrangiennes de la par−
−
ticule alors que les quantités →
x et →
v représentent l’approche eulérienne de la trajectoire.
→
−
3. L’élément de volume d x ne doit pas être pris littéralement comme une quantité mathématique
infinitésimale mais bien plutôt comme un volume fini suﬃsamment grand pour contenir un grand nombre
de particules et suﬃsamment petit en comparaison des échelles spatiales caractéristiques associées aux
variations spatiales des paramètres physiques qui nous intéressent. Dans un plasma contenant 1020
−
particules/m3 , par exemple, un élément de volume d3 →
x ∼ 10−12 m3 qui à l’échelle macroscopique peut
8
être considéré comme ponctuel contient toujours 10 particules.
4. Dans le cas, où l’on est intéressé
� par la densité totale du plasma, il suﬃt de sommer sur chaque
composante s du plasma. (Ntotal = e,i Ns ).
5. L’équation (4.3) est remarquable car elle traduit la conservation d’une quantité physique le long de
la trajectoire : la particule (à 6N dimensions) emporte avec elle la valeur de cette quantité. Les équations
cinétiques seront de cette forme.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 74
4.1.2
APPROCHE STATISTIQUE
Position dans l’espace des phases : description statistique
La simplicité apparente de cette équation est trompeuse. Toute la diﬃculté se trouve en
−
fait “cachée” dans le terme d’accélération →
γ qui dépend des champs microscopiques vus
par chaque particule. Son calcul nécessite la connaissance des trajectoires exactes des N
particules, ce qui en pratique limite son utilité (N>‌>1 !). Une densité exacte, telle que N ,
est une grandeur très fluctuante puisqu’elle est nulle partout entre les particules (c’est-àdire presque partout pour des particules quasi-ponctuelles) et extrêmement grande (infinie
pour une particule ponctuelle) à l’intérieur. De plus, elle évolue sous l’action de champs
locaux eux-aussi très fluctuants. Par exemple, le champ électrique est le résultat des eﬀets
collectifs d’un grand nombre de particules, mais cette valeur varie énormément dans le
temps et dans l’espace suivant que l’on passe plus ou moins près de la position exacte
d’une particule (elle diverge sur la position exacte des particules ponctuelles). La question
se pose alors de savoir si la connaissance de ces grandeurs exactes est nécessaire dans la
pratique pour décrire un plasma.
L’équation (4.5) n’est donc utile que dans la mesure où elle est un bon point de départ
pour obtenir des équations qui décrivent les propriétés macroscopiques d’un plasma. Cette
−
−
équation nous renseigne sur l’existence ou non au point (→
x,→
v ) d’une particule de densité
infinie. Mais il est en fait beaucoup plus intéressant pour nous de connaître le nombre de
−
−
particules se trouvant dans le volume �→
x �→
v de l’espace des phases centré au point
→
−
→
−
( x , v ), une approche qui est usuellement utilisée en mécanique statistique. Ce formalisme
est de ce fait souvent appelé description statistique du plasma.
Ce qui nous intéresse, c’est en fait les champs moyens qui intéragissent avec un nombre
très important de particules définissant les variables macroscopiques qui décriront l’état
du plasma. Pour ce faire, une description statistique est suﬃsante, c’est-à-dire moyennée
d’une façon ou d’une autre, qui ne ferait apparaître que des grandeurs macroscopiques
variant dans l’espace et le temps de façon régulière. Pour le champ électrique par exemple,
il serait intéressant de pouvoir le décomposer en :
→
−
→
−
→
−
→
→
→
→
– (i) Une composante moyenne < E >�−
x �−
v =< E ext + E int >�−
x �−
v utilisée dans les
équations de Maxwell pour boucler le système d’équations décrivant le comportement
macroscopique du système champ-plasma. Pour simplifier nous avons séparé le champs
→
−
électrique créé par des particules extérieures au plasma considéré E ext et le champ
→
−
électrique créé à l’intérieur du plasma par l’interaction des particules entre elles E int .
−
→
– (ii) une composante fluctuante δE, dont l’importance n’interviendrait que pour des
particules passant très près l’une de l’autre et que l’on pourrait traiter de manière
diﬀérente 6 .
Chaque quantité peut donc s’écrire sous la forme :
→
−
→
−
→
−
→
→
Q =< Q >�−
x �−
v +δ Q
−
−
La moyenne se faisant sur un élément de volume �→
x �→
v , nous perdons la discernabilité des particules dans cet élement de volume. De plus, en supposant que le nombre de
particule dans chaque volume élementaire est très important (hypothèse récurrente que
nous avons déjà rencontré dans l’introduction), nous pouvons faire l’hypothèse supplémen→
−
→
→
taire que < δ Q >�−
x �−
v ∼ 0. En d’autre termes, dans chaque élement de volume, nous
6. Il est à noter que dans les plasmas non-collisionnels qui représentent la majorité des plasmas spatiaux, c’est cette composante fluctuante du champ électrique qui est responsable de ce que l’on peut
appeler les “collisions” coulombiennes proches. C’est donc ces “collisions” que l’on négligera dans l’approche la plus simple, ne retenant que l’action des champs collectifs vus par un nombre considérable de
particules.
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Page 75
APPROCHE STATISTIQUE
avons en moyenne autant de fluctuations δQ “positives” que de fluctuations “négative” de
même amplitude, si bien que leur contribution totale peut être considérée comme nulle.
Si l’on ne s’intéresse qu’aux champs électromagnétiques à long rayon d’action sur des
distances largement supérieures à la longueur de Debye λDe , nous pouvons imaginer un
−
volume ϑ centré autour de la position →
x de taille très supérieure à la distance interparticulaire (afin d’avoir une densité de particule dans ce volume très important). Nous
pouvons alors compter le nombre de particules se trouvant dans ce volume ϑ à l’instant t
−
−
−
ayant une vitesse comprise entre →
v et →
v + ∆→
v , diviser ce nombre par la taille du volume
→
−
−
et multiplié par ∆vx ∆vy ∆vz et l’appeler f ( x , →
v , t). En d’autres termes, cette fonction
→
−
→
−
f ( x , v , t) représente la densité de particules dans l’espace des phases 7 et est reliée à
la densité réelle n qui ne dépend plus que des coordonnées spatiales et du temps, par la
relation :
�+∞
�→
�
−
−
−
−
n x,t =
f (→
x,→
v , t)d3 →
v
(4.6)
−∞
Cette fonction f est aussi appelée la fonction de distribution du plasma et est utilisée
dans tous les calculs de moyenne qui décriront les propriétés macroscopiques du plasma 8 .
L’application de ce type de moyenne permet à partir de l’équation de Klimontovitch (4.5),
−
−
d’obtenir une équation d’évolution de la distribution f (→
x,→
v , t). Après une moyenne sur
les termes fluctuants, on trouve une équation de la forme :
−
−
→
−
∂f (→
x,→
v , t) →
→
− →
−
→
+−
v · ∇−
x f ( x , v , t)
∂t
� �
�
�� →
− �→
→
− �→
−
q �→
∂f
−
→
−
−
→
−
→
−
→
+
E x , t + v × B x , t · ∇−
v f ( x , v , t) =
m
∂t coll
(4.8)
où le membre de droite contient les produits des termes fluctuants δN , δE et δB telle que
→
→
→
→
< δEδB >�−
x �−
v ou < δN δE >�−
x �−
v , etc..., dont la valeur moyenne est en général non
nulle (termes non linéaires et corrélés) et qui représentent toutes les interactions à courte
portée qui jouent le rôle des collisions dans un plasma et qui seront introduites dans la
section (4.2). Il décrit donc les processus liés à la nature discrète des particules du plasma.
C’est ce terme qui assure le mélange d’échelles et qui couple les valeurs moyennes et les
fluctuations particulaires. Sa détermination théorique pose de sérieux problèmes puisque
−
−
la fonction de distribution f (→
x,→
v , t) ne distingue pas les particules ponctuelles mais ne
tient compte que de leur dépendance dans l’espace réel et dans l’espace des vitesses.
Le membre de gauche quant à lui ne fait apparaître que des termes moyens qui varient
−
−
lentement dans l’espace des phases (→
x,→
v ), ces termes ne dépendent donc plus de la
7. Cette fonction de distribution peut être définie comme étant la densité de probabilité correspondant à
−
−
un nombre “moyen” de particules dans le volume �→
x �→
v . Il s’agit donc bien d’une grandeur statistique
représentant la moyenne spatiale (dans l’espace des phases) de la densité exacte N sur un petit
−
−v). Cette grandeur sera donc bien fluctuante dans le temps, mais si le nombre de
volume entourant (→
x,→
particules est vraiment important, ces fluctuations seront très faibles et la valeur obtenue représentera
bien une valeur “caractéristique” du système.
−
−
8. A toute fonction Ψ(→
x,→
v , t) de l’espace des phases, on peut associer une valeur moyenne définie
par la relation :
+∞
�
� �→
��
�− �
1
−
−
−
�
Ψ −
x , t = �→
Ψ →
x , t · f (→
x,→
v , t)d3 →
v
(4.7)
−
n x,t
−∞
où n est la densité définie par l’équation (4.6)
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Page 76
APPROCHE STATISTIQUE
−
−
position exacte de toutes les particules, mais bien plutôt des coordonnées (→
x,→
v , t) de
l’espace des phases. Ce terme décrit donc l’évolution de la fonction f sous l’action des
champs moyens. Ces champs sont responsables des mouvements collectifs du plasma
dont on peut montrer qu’ils sont généralement les termes les plus importants. Ces champs à
longs rayons d’action vont modifier drastiquement la description statistique du plasma. Au
contraire des collisions qui tendent sans cesse à restaurer l’équilibre thermodynamique, les
eﬀets collectifs ont tendance, au moins temporairement, à organiser spatio-temporellement
le plasma et à le maintenir à l’écart de l’équilibre thermodynamique. Nous pouvons voir
qu’il y a deux termes bien distincts :
→
−
−
→
– Un terme en →
v · ∇−
x f qui représente les phénomènes de diﬀusion (on l’appelle terme
de diﬀusion). En eﬀet, si le plasma présente un gradient spatial (c’est-à-dire n’est pas
homogène) alors sous l’action de leur vitesse, les particules vont diﬀuser vers les zones de
moindre densité et au bout d’un certain temps le plasma tendra vers un état homogène.
Ce terme s’annulle si la vitesse des particules est nulle (aucun mouvement) ou si le
gradient est nul (plasma homogène).
→
−
−
→
– Un terme en →
γ · ∇−
v f qui représente les phénomènes d’accélération venant de l’action
des forces appliquées (on l’appelle terme d’entraînement). Sous l’action de ces forces,
les particules du plasma voient leur vitesse variée et donc aussi leur distribution f . Ce
terme s’annulle lorsqu’il n’y a aucune force qui s’applique sur le système ou lorsque le
gradient en vitesse est nul. Dans ce cas, les particules sont réparties de manière uniforme
dans l’espace des vitesses et l’action des forces extérieures n’induit qu’une translation
des axes de cet espace.
Une façon de simplifier l’équation cinétique est de négliger toutes les corrélations entre les
champs et les particules pour obtenir la méthode de fermeture la plus simple qui consiste
à négliger totalement tout type de collisions. Ceci a pour conséquence principale que
nous négligeons aussi toute les contributions dues au champ électrique d’interaction entre
→
−
→
−
particules, c’est-à-dire les termes E int et B int . Dans ce cas, nous obtenons une équation
de la forme :
−
−
� →
�� →
→
−
−
− �→
→
− �→
∂f (→
x,→
v , t) →
q �→
−
→
−
→
−
−
−
−
→
− →
−
−
→
→
+ v · � x f ( x , v , t)+
E ext x , t + v × B ext x , t · � −
v f ( x , v , t) = 0
∂t
m
(4.9)
qui est appelée équation de Boltzmann sans second membre 9 . Du fait de sa simplicité (toute relative !), cette équation est intéressante. Elle décrit l’évolution de particules
chargées dans un champ électromagnétique extérieure, c’est ce que l’on appelle un modèle
test-particule où on décrit l’action des champs électromagnétiques sur les particules mais
sans aucune rétro-action des particules sur ces même champs 10 . L’utilisation d’une telle
approche pré-suppose donc que le nombre de particules est suﬃsamment faible pour ne pas
modifier les champs extérieurs. Cette équation ne fournit donc pas plus d’information que
l’étude des trajectoires que nous avons vu dans le chapitre (3) précédent mais permet de
traiter statistiquement les trajectoires obtenues à partir d’un grand nombre de particules
−
−
ayant des conditions initiales diﬀérentes introduites par la distribution f (→
x ,→
v , t = 0).
Afin d’aller un peu plus loin dans notre analyse de la théorie cinétique, nous devons
9. Cette équation est quelquefois appelée dans la littérature l’équation de Boltzmann sans collision !
10. Si cette approche est tout à fait justifiée lorsque l’on étudie la dynamique d’une particule individuelle comme dans le chapitre (3). Cette approche est très restrictive dans le cas d’un plasma mais
reste très importante car elle permet de manière simple d’étudier des phénomènes physiques complexes.
Par exemple, les trajectoires des particules dans la magnétosphère, tous les mécanismes sous-jacents à
l’accélération des particules (ondes de choc, sous-orage, reconnexion magnétique, ...), machines à plasma
pour la fusion contrôlée, etc...
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APPROCHE STATISTIQUE
dériver de manière plus formelle l’équation d’évolution d’un plasma sous l’action des forces
extérieures et intérieures. Pour ce faire, nous allons utiliser une approche probabilistique
en utilisant les propriétés de l’équation de Liouville.
4.1.3
L’équation de Liouville
Si l’équation de Klimontovich décrit le comportement des particules individuelles et permet par une “simple moyenne” dans l’espace des phases d’obtenir l’équation de Vlasov,
l’utilisation de la mécanique statistique nous permet d’introduire de façon plus formelle
(et surtout plus exacte) la notion de fonction de distribution. Pour se faire, nous allons
introduire la quantité Nétat qui représente la densité des états dans l’espace des phases.
−
−
En eﬀet, au lieu d’introduire la densité de particules dans l’espace à 6 dimensions (→
x,→
v)
comme pour l’équation de Klimontovitch, nous introduisons la quantité N état qui représente les particules se trouvant dans un état particulier. Par exemple, si nous définissons
dans l’espace des phases à 6 dimensions, un système ne décrivant qu’une seule particule,
la densité des états dans cet espace prendra la forme vu précédemment
→
−
→
−
−
−
−
−
N (→
x 1, →
v 1 , t) = δ(→
x 1 − X 1 (t))δ(→
v 1 − V 1 (t))
→
− →
−
−
−
où (→
x 1, →
v 1 ) représente les coordonnées de cette particule et ( X 1 , V 1 ) l’ensemble de la
trajectoire de cette particule au cours du temps. Pour l’instant, nous n’avons pas beaucoup avancé par rapport à la section précédente mais maintenant supposons que nous
ayons 2 particules au lieu d’une. La particule que l’on appellera 1 se trouvant comme
−
−
−
−
précédemment en (→
x 1, →
v 1 ) et une particule 2 ayant pour coordonnées (→
x 2, →
v 2 ). Nous
→
−
→
−
−
−
pouvons alors définir un nouvel état dans un espace à 12 dimensions ( x 1 , v 1 , →
x 2, →
v 2)
qui occupe un point de cet espace avec une densité de la forme
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
N (→
x 1, →
v 1, →
x 2, →
v 2 , t) = δ(→
x 1 − X 1 (t))δ(→
v 1 − V 1 (t))δ(→
x 2 − X 2 (t))δ(→
v 2 − V 2 (t))
Cette densité d’état ne représente plus une densité de particules (comme dans la section
précédente) mais une densité d’état (constituée de 2 particules chacun) dans un espace
à 12 dimensions ! Bien évidemment, nous pouvons généraliser ce résultat à un nombre
quelconque de particules. En supposant que notre système possède No particules, nous
pouvons construire un espace à 6No dimensions dans lequel l’état du système sera décrit
par un point dont la densité dans cet espace s’écrira
−
−
−
−
−
−
N (→
x 1, →
v 1, →
x 2, →
v 2, . . . , →
x No , →
v No , t) =
No
�
i=1
→
−
→
−
−
−
δ(→
x i − X i (t))δ(→
v i − V i (t))
A partir de cette équation et en utilisant la même procédure 11 que dans la section (4.1.1),
on obtient finalement l’ équation de Liouville qui prend la forme
N
N
o
o
�
→
−
→
−
∂N �
→
−
→
−
−
→
→
+
v i · ∇ x iN +
γ i · ∇−
v iN = 0
∂t
i=1
i=1
(4.10)
11. En prenant la dérivé temporelle de la quantité N , on obtient la somme de No termes en utilisant
la relation suivante
→
−
→
−
−
→
−
∂ →
∂ X i ∂δ(→
x i − X i (t))
δ(−
x i − X i) = −
·
→
−
∂t
∂t
∂Xi
et pour la vitesse
→
−
→
−
−
→
−
∂ →
∂ V i ∂δ(→
v i − V i (t))
δ(−
v i − V i) = −
·
→
−
∂t
∂t
∂V i
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Page 78
APPROCHE STATISTIQUE
Cette équation est, de manière équivalente à l’équation de Klimontovitch, une description
exacte du plasma, elle décrit les trajectoires des No particules le long d’une orbite dans un
espace à 6No dimensions. De la même façon que dans la section (4.1.2), la connaissance
exacte de la phase n’est pas vraiment souhaitable car impossible à obtenir pour des raisons
pratiques (grande valeur de No ) et fondamentales (indéterminations quantiques), nous
allons donc assimiler la quantité N à une densité de probabilité.
4.1.4
La hiérarchie BBGKY
Pour ce faire, on pose que la probabilité décrivant les états du système pour lesquels la
−
particule 1 se trouve à l’intérieur d’un petit élément de volume d→
x 1 avec une vitesse se
−
trouvant dans d→
v 1 , en même temps que la particule 2 se trouve dans l’élément de volume
−
−
(d→
x 2 d→
v 2 ) et ceci jusqu’à la particule No s’écrit par définition
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
N (→
x 1, →
x 2, . . . , →
x No , →
v 1, →
v 2, . . . , →
v No )d→
x 1 d→
x 2 . . . d→
x No d →
v 1 d→
v 2 . . . d→
v No
Cette quantité étant une probabilité, elle doit donc être égale à 1 lorsque l’on intègre sur
tout l’espace à 6No dimensions. En d’autres termes, nous avons la relation
�
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
N (→
x 1, →
x 2, . . . , →
x No , →
v 1, →
v 2, . . . , →
v No )d→
x 1 d→
x 2 . . . d→
x No d →
v 1 d→
v 2 . . . d→
v No = 1
qui représente la probabilité que le système se trouve dans un état quelconque. L’intégration est étendue à l’espace total occupé par le plasma et à la totalité de l’espace des
vitesses. Cette normalisation sera utilisée dans la suite de ce chapitre.
Les particules étant indiscernables, elle sont donc identiques et la fonction N doit rester
inchangée quand on échange deux indices 12 . En fait, cette fonction N contient le maximum d’information que l’on puisse avoir sur le plasma, information qui n’est pas le plus
souvent indispensable à connaître. A partir de cette définition, on obtient donc une densité
de probabilité “réduite” (concernant un nombre limité de particules ! !) qui représente la
probabilité des états du système pour lesquels la particule 1 est à l’intérieur de l’élément
−
−
de volume (d→
x 1 d→
v 1 ) pendant que les autres particules sont dans un état quelconque, en
intégrant sur tout l’espace à 6(No − 1) dimensions. On pose 13
�
−
−
−
−
f 1 = No N d →
x 2 . . . d→
x No d →
v 2 . . . d→
v No
(4.11)
en multipliant par No le nombre total de particules en suivant la normalisation définissant
la probabilité des diﬀérents états possibles.
→
−
→
−
−
Les propriétés de la distribution de Dirac nous permettent alors de remplacer les V i par →
v i et les X i
→
−
par x i pour obtenir l’équation (4.10) dite de Liouville. Il est à noter que nous avons bien
→
−
�
− →
→
− −
∂V i
q i �→
−
=
E (−
x i , t) + →
v i × B (→
x i , t)
∂t
mi
−
l’accélération microscopique que l’on obtient à la position →
x i.
12. De plus, si on néglige les corrélations entre particules (les particules sont alors indépendantes les
unes des autres), cette densité de probabilité s’écrit sous la forme
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
N (→
x 1, →
x 2, . . . , →
x No , →
v 1, →
v 2, . . . , →
v N o ) = No ( →
x 1, →
v 1 )No (→
x 2, →
v 2 ) · · · No ( →
x No , →
v No )
où No est une densité de probabilité individuelle identique pour toutes les particules. A l’inverse, on
parlera de corrélation lorsque nous ne pourrons pas écrire une telle relation.
13. Bien sûr, la probabilité pour qu’une autre particule 2, 3, ..., No se trouve dans le même volume
−
−
(d→
x 1 d→
v 1 ) est égale à la même expression (les particules étant indiscernables).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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APPROCHE STATISTIQUE
Page 79
Cette fonction est appelée usuellement fonction de distribution simple 14 et est la plus
utilisée en théorie cinétique. Cette distribution “réduite” se généralise très simplement
à nombre quelconque d’état. Si on considère non plus une particule dans l’état 1 mais
deux particules, l’une dans l’état 1 et la seconde dans l’état 2, les autres étant totalement
quelconques, la probabilité de trouver le système dans cet état est par définition
�
−
−
−
−
f12 = No (No − 1) N d→
x 3 . . . d→
x No d →
v 3 . . . d→
v No
(4.12)
où on a multiplé par le nombre total de couples possibles 15 . Si on s’intéresse maintenant
à k états diﬀérents, on trouve de la même façon
�
No !
−
−
−
−
f12···k =
N d→
x k+1 . . . d→
x No d →
v k+1 . . . d→
v No
(4.13)
(No − k)!
De ces définitions, on obtient directement la densité en intégrant cette fonction sur tout
l’espace des vitesses. Le nombre probable de particules se trouvant dans l’élément de
−
volume d→
x 1 avec une vitesse quelconque, est
�
→
−
−
n1 ( x 1 , t) = f1 d→
v1
(4.14)
L’hypothèse sous-jacente à cette distribution réduite concerne les corrélations entre particules qui sont ignorés. En d’autres termes, la probabilité de présence de la particule se
−
−
trouvant dans le volume (d→
x 1 d→
v 1 ) ne dépend pas de la présence d’une autre particule
−
−
dans le volume (d→
x 2 d→
v 2 ), etc...
Cette hypothèse est bien sûr inexacte dans le cas d’un plasma car la force électromagnétique est une force à long rayon d’action (elle décroît en 1/r2 ). Une étape supplémentaire
→
−
est donc nécessaire afin d’inclure les corrélations entre particules, se faisant via la force F i .
Dans le cas d’un plasma non relativiste, la force électromagnétique, et donc l’accélération
de la particule i, prend la forme
�
−
→
−
q i �→
→
−
−
−
γi=
E ext i + →
v i × B ext i + →
γ ij
mi
→
−
→
−
où E ext i est le champ électrique macroscopique extérieur, B ext i le champ magnétique
−
macroscopique et →
γ ij est le terme d’interaction (corrélation) qui fait intervenir le plus
souvent que la seule force de Coulomb 16 créée par la particule j (�= i) sur la particule i.
−
−
14. Cette fonction dépend donc de f1 (→
x 1, →
v 1 , t) tel que
�
−
−
f 1 d→
x 1 d→
v 1 = No
−
On dit qu’elle est isotrope en espace lorsque elle ne dépend pas explicitement de →
x 1 et isotrope en vitesse
→
−
si elle ne dépend que de | v 1 |.
15. Dans ce décompte, nous avons en fait compter deux fois chaque couple de particules, lorsque la
première particule est dans l’état 1 et lorsqu’elle se trouve dans l’état 2. Cette définition, bien qu’arbitraire,
est raisonnable car souvant les deux états sont distincts (bien que les particules elle ne le soient pas !).
−
Par exemple, la position →
x 1 de l’état 1 est l’endroit où est placé l’observateur et on regarde l’action en
ce point des particules du plasma se trouvant dans l’état 2.
→
−
16. Il pourrait à priori paraître nécessaire de traiter le champ magnétique B comme le champ électrique
→
−
E et d’introduire le champ magnétique microscopique créé par les charges j (�= i) en mouvement mais
cela n’est en fait pas nécessaire car cela n’apporte que des corrections d’ordre v 2 /c2 qui sont négligeables
dans un plasma non relativiste. Ce type de calculs sort du cadre de ce cours.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 80
APPROCHE STATISTIQUE
Cette accélération peut s’exprimer sous la forme d’un potentiel électrique d’interaction de
paire
−
1 →
qi qj
→
−
γ ij = −
∇ xi →
−
−
4π�o
|xi−→
x j|
L’équation de Liouville (4.10) s’écrit alors sous une forme explicitant ces interactions
N
N
o
o
�
→
−
∂N �
→
−
−
→
+
v i · ∇−
N
+
(→
γi+
xi
∂t
i=1
i=1
No
�
j=1
(i �= j)
→
−
→
−
→
γ ij ) · ∇ −
v iN = 0
(4.15)
qui va permettre le calcul explicite des fonctions de distributions réduites. En particulier, si on s’intéresse à la distribution simple f1 , on doit multiplier cette équation par
−
−
−
−
No d →
x 2 . . . d→
x No d →
v 2 . . . d→
v No et intégrer cette équation sur tout l’espace 6(No − 1). Afin
de faciliter la lecture, nous allons décomposer l’équation (4.15) en ses 4 termes distincts :
– Terme 1 : cette partie est très simple, nous avons de façon évidente
�
�
∂N →
∂
∂f1
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
No
d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v N o =
No N d →
x 2 . . . d→
x No d →
v 2 . . . d→
v No =
∂t
∂t
∂t
– Terme 2 : On peut décomposer ce terme en deux parties distinctes
No
No
�
i=1
→
−
−
→
−
→
− →
→
→
v i · ∇−
x i N = No v 1 · ∇ −
x 1 N + No
No
�
i=2
→
−
→
−
→
v i · ∇−
x iN
la première partie donne de manière évidente
�
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
No →
v 1 · ∇−
x 1 N d x 2 . . . d x N o d v 2 . . . d v No
�
→
−
−
−
−
−
−
→
=→
v 1 · ∇−
N d→
x 2 . . . d→
x No d →
v 2 . . . d→
v No
x 1 No
→
−
−
→
=→
v 1 · ∇−
x 1 f1
alors que la seconde partie peut s’écrire
�
� o →
−
− →
→
−
→
−
→
−
→
−
−
→
No N
i=2 v i · ∇ x i N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v No
= No
� No � →
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
v i · ∇−
x i N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v No
i=2
= No (No − 1)
�→
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
v 2 · ∇−
x 2 N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v No
�
�
�→
�
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
∂
= v 2 · No (No − 1) ∂ −
N d x 3 . . . d x N o d v 3 . . . d v No d →
x 2 d→
v2
→
x2 V
=
��
�→
−
v2· V
−
∂
f d→
x2
→
∂−
x 2 12
�
−
d→
v2=0
Nous avons utilisé le fait que chaque état est équiprobable (les particules sont indiscernables), nous avons donc choisit l’état 2 sans perte de généralité parmi les No − 1
états possibles, les autres états contribuant de manière identique. Dans l’hypothèse que
la probabilité de trouver une particule dans l’état 2 est nulle aux bornes du volume de
notre plasma, l’intégrale entre parenthèse est égale à zéro et la contribution totale de
ce terme nul. Cette hypothèse n’est pas très contraignante car le nombre de particules
et donc la probabilité de les trouver décroît nécessairement aux limites du plasma.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 81
APPROCHE STATISTIQUE
– Terme 3 : Ce terme peut être traité de la même façon que le précedent, nous avons
�
� o →
−
− →
→
−
→
−
→
−
→
−
−
→
No N
i=1 γ i · ∇ v i N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v No
� No �
→
−
→
−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
=→
γ 1 · ∇−
No →
γ i · ∇−
v i f1 +
v i N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v No
i=2
�→
→
−
→
−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
=→
γ 1 · ∇−
γ 2 · ∇−
v i f1 + No (No − 1)
v 2 N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v N o
� →
→
−
−
−
− →
→
− →
−
→
→
=→
γ 1 · ∇−
v i f1 + ( γ 2 · ∇ −
v 2 f12 )d x 2 d v 2
Dans cette dernière expression, on peut développer le produit scalaire dans l’intégrale
pour faire apparaître la dépendance en fonction de la vitesse, on obtient alors
�
∂f12
∂f12
∂f12 →
−
(γ2x
+ γ2y
+ γ2z
)d−
x 2 d→
v2
(4.16)
∂v2x
∂v2y
∂v2z
Cette expression est également nulle dans le cas où l’accélération (en d’autres termes la
−
→
γi
y
x
force extérieure m
) ne dépend pas de la vitesse 17 . Dans ce cas, nous avons ∂γ
= ∂γ
=
∂vx
∂vy
i
= 0 et les termes de la relation (4.16) ci-dessus peuvent se réécrire, (pour simplifier
nous ne prendrons que le premier terme, les autres se traitant de manière identique) :
�
∂
−
(
γ2x f12 )dv2x dv2y dv2z d→
x2 =0
∂v2x
∂γz
∂vz
Dans cette expression la fonction f12 est forcément nulle (il n’y a aucune particule ayant
une vitesse infinie ! !) lorsque nous nous trouvons aux limites de l’intervalle d’intégration
(vx → ±∞) si bien que ce terme est nul et il en est de même pour les deux autres. Pour
résumer le terme 3 de l’équation (4.15) se réduit donc à l’expression
→
−
→
−
→
γ 1 · ∇−
v i f1
– Terme 4 : Ce terme regroupe les diﬀérentes forces d’interaction agissant sur les particules, ou en d’autres termes, les forces dépendant de la position des particules ellesmêmes. Chaque particules doit donc se positionner par rapport aux autres afin de minimiser ces forces, les positions des particules sont donc corrélées les unes par rapport
aux autres. Là encore, il est assez simple de décomposer cette expression en explicitant
les termes faisant référence à l’état 1 (pour un j quelconque, il y en a donc No − 1)
des termes correspondant à i �= 1 (toujours pour un j quelconque). On obtient là deux
parties distinctes, la première ayant pour expression
� � No
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
No →
γ 1j · ∇ −
v 1 N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v N o
j=2
(j �= 1)
= No (No − 1)
�→
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
γ 12 · ∇ −
v 1 N d x 2 . . . d x No d v 2 . . . d v No
17. En eﬀet, la seule force à laquelle nous avons aﬀaire qui montre une dépendance en vitesse est la
→
−
→
−
−
force magnétique, F = q(→
v × B ). Néanmoins, dans ce cas, on voit aisément que chaque composante
ne dépend pas explicitement de la composante correspondante en vitesse, nous avons par exemple, Fx =
q(vy Bz − vz By ). Si bien que même pour cette force magnétique, nous avons bien les relations
∂Fx
∂Fy
∂Fz
=
=
=0
∂vx
∂vy
∂vz
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 82
APPROCHE STATISTIQUE
où on a prit de nouveau l’état 2 comme référence sans perte de généralité, les diﬀérents
états étant équiprobable. En utilisant la relation (4.12), on réécrit cette équation sous
la forme
�→
→
−
−
→
− →
−
→
γ 12 · ∇ −
v 1 f12 d x 2 d v 2
�→
→
−
−
−
−
→
= ∇−
γ 12 f12 d→
x 2 d→
v2
v1 ·
Comme nous avons déjà fait l’hypothèse que les forces d’interaction ne dépendent pas
de la vitesse, nous pouvons sortir la dépendance en v1 de l’intégrale. Enfin, la deuxième
partie du terme 4 donne la relation
� � No
j�=2
=
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
No (No − 1)→
γ 2j · ∇ −
v 2 N d x 2 . . . d x N o d v 2 . . . d v No
� No � →
→
−
−
→
− →
−
→
γ 2j · ∇ −
v 2 f2j d x 2 d v 2 = 0
j�=2
qui par un traitement similaire à ce que nous avons fait ci-dessus donne une contribution
nulle.
En regroupant les diﬀérents termes obtenus après intégration de l’équation (4.15), on
trouve finalement l’équation d’évolution de la fonction de distribution f1 .
�
→
−
→
−
→
−
∂f1 →
−
→
−
−
→
− →
−
−
→
−
→
→
+ v 1 · ∇ x 1 f1 + γ 1 · ∇ v i f1 + →
γ 12 · ∇ −
(4.17)
v 1 f12 d x 2 d v 2 = 0
∂t
L’importance de cette équation en théorie cinétique est primordiale et nous allons nous y
arrêter afin de souligner diﬀérents points. Tout d’abord, revenons sur la signification de la
fonction de distribution f1 , cette fonction peut être interprétée comme (i) étant le nombre
−
−
moyen de particules par unité d’espace et de vitesse au point (→
x 1, →
v 1 ) dans un espace des
phases à 6 dimensions ou bien (ii) comme la probabilité de trouver une particule donnée
−
−
−
−
−
−
dans une région de l’espace des phases comprise entre (→
x 1, →
v 1 ) et (→
x 1 +d→
x 1, →
v 1 +d→
v 1 ).
Dans cet optique, l’interprétation de la fonction f12 est immédiate, elle correspond (i) au
−
−
nombre moyen de particules par unité d’espace →
x 1 , par unité d’espace →
x 2 , par unité de
→
−
→
−
vitesse v 1 et par unité de vitesse v 2 ou, dit autrement, (ii) elle représente la probabilité de
−
−
trouver une particule au point (→
x 1, →
v 1 ) et simultanément de trouver une autre particule
→
−
→
−
au point ( x 2 , v 2 ).
Les particules n’étant pas discernables dans cette équation (hypothèse de départ), l’expression de f12 doit vérifier le fait qu’aucune particule ne peut occuper le même espace
−
−
en même temps, si bien que f12 → 0 lorsque →
x1 → →
x 2 et ce quelque soit les valeurs
→
−
→
−
de v 1 et de v 2 . De même, cette fonction doit être nécessairement symétrique par rapport au “nom” ou label des particules (puisque celles-ci sont indiscernables), nous avons
−
−
−
−
−
−
−
−
f12 (→
x 1, →
v 1, →
x 2, →
v 2 , t) = f12 (→
x 2, →
v 2, →
x 1, →
v 1 , t).
Le point le plus important est que l’équation (4.17) montre que si nous voulons connaître
l’évolution de f1 nous devons connaître aussi la fonction f12 . De même, l’équation d’évolution de f12 fera intervenir la distribution f123 et ainsi de proche en proche, on obtiendra
une chaîne d’équations couplées, dont la dernière, donnant l’évolution de f123···No n’est
autre que l’équation (4.10) de Liouville où on a introduit l’expression (4.13). Aucune de
ces équations, sauf la dernière, n’est fermée : l’ensemble de ces équations (il y en a No ! !)
constitue la hiérarchie BBGKY 18 , d’après le nom des physiciens qui l’ont établie de
18. Ces initiales BBGKY représente par ordre alphabétique les noms de : N. N. Bogoliubov (1946),
M. Born (1946), M. S. Green (1946), J. G. Kirkwood (1946) et J. Yvon (1935).
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APPROCHE STATISTIQUE
Page 83
manière indépendante dans les années 40. Ce système d’équations en chaîne faisant intervenir des fonctions de distribution à un nombre réduit mais croissant de particules
est exact 19 . Pris dans son ensemble, ce système est équivalent à l’équation de Liouville
pour la fonction de distribution complète (heureusement car il en découle...). Son intérêt
majeur est de permettre des approximations qui conduisent à tronquer la hiérarchie à un
certain niveau (en pratique principalement après f1 ! !).
Les méthodes de simplification les plus simples du système BBGKY correspondent à des
approximations de la fonction f12 qui ne font plus intervenir que la fonction à une particule f1 . Nous ne montrerons pas ici l’ensemble des équations obtenues par de telles
approximations, nous nous contenterons de présenter succinctement les principales équations obtenues :
1. L’équation de Boltzmann sans second membre. Cette approche est la plus
simple et à déjà été introduite dans la section (4.1.2). Elle représente l’ordre zéro de
notre système puisque nous avons totalement négligé le dernier terme dans l’équation
(4.17) et seules interviennent les forces extérieures au plasma.
2. L’équation de Vlasov. Cette approche est utilisée lorsque la densité des particules ne permet plus de négliger les interactions (c’est-à-dire la rétro-action des
particules sur les champs électromagnétiques). L’hypothèse la plus simple consiste
alors à négliger les corrélations entre particules. Ceci a pour conséquence de “réduire” les phénomènes d’interaction entre particules à des champs collectifs produits
par les charges d’espace et les courants. Du fait de son importance, cette équation
sera décrit plus en détail dans la section suivante (4.1.5).
3. L’équation de Boltzmann. A l’inverse des hypothèses utilisées pour obtenir
l’équation de Vlasov, on peut imaginer que les interactions sont majoritairement
pilotées par des collisions binaires et brutales et qu’entre deux collisions les particules ne sont soumises à aucune force et suivent une trajectoire rectiligne. Ce modèle
est en fait, celui de la théorie cinétique classique des gaz neutres et il sera traité dans
la section (4.1.6).
4. L’équation de Fokker-Planck. Cette approche est équivalente à celle utilisée
pour déterminer l’équation de Boltzmann avec comme diﬀérence fondamentale que
les interactions, en d’autres termes les collisions brutales 20 , sont principalement due
à la force de Coulomb, donc une force à “long” rayon d’action. Dans un plasma,
chaque particule intéragit simultanément avec beaucoup d’autres (celles dans la
sphère de Debye !) mais la majorité des interactions binaires restent faibles. Ceci a
pour conséquence une diﬀusion des particules dans l’espace des vitesses, diﬀusion
qui est décrite par l’équation dite de Fokker-Planck. Son expression est complexe et
sort définitivement du domaine de cette introduction à la physique des plasmas, elle
ne sera donc pas traitée ici.
4.1.5
L’équation de Vlasov
De part sa “simplicité”, l’équation de Vlasov est massivement utilisée en physique des plasmas, il faudra donc bien comprendre les hypothèses et approximations faites pour l’obtenir
19. Ce système est tout aussi exacte que l’équation de Klimontovitch, et d’ailleurs tout aussi impraticable
20. Dans la littérature (et aussi dans ce cours d’ailleurs), ces collisions sont les collisions coulombiennes
à courtes distances, dites collisions coulombiennes proches qui se caractérisent par un angle de déviation
supérieur à 90◦ (voir les calculs de l’annexe (6.1) pour plus de détails), afin de les opposer aux collisions
coulombiennes lointaines responsables du comportement collectif du plasma.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 84
APPROCHE STATISTIQUE
afin de ne pas sortir de son cadre de validité. L’approximation, utilisée pour fermer le système BBGKY, est usuellement appelée approximation de champs moyen et consiste
à négliger toutes les corrélations entre particules (entre deux collisions/interactions).
En eﬀet, d’un point de vue des probabilités, nous pouvons décrire l’absence de corrélation
par une relation très simple, entre probabilités. Prenons l’événement du tirage de deux
boules rouges dans deux sacs ayant le même nombre de boules rouges. La probabilité
d’obtenir à partir de ces deux tirages, deux boules rouges est donné par la relation :
P (rouge + rouge) = Psac1 (rouge)Psac2 (rouge). Cette relation dit seulement que puisque
les événements sont indépendants (le contenu du sac ne dépend pas de l’autre sac) alors la
probabilité d’occurence est tout simplement le produit des probabilités individuelles 21 . Les
fonctions de distributions pouvant elles aussi être vues comme des densités de probabilité,
nous pouvons donc écrire de manière similaire
f12 = f1 f2 + g(f1 , f1 )
où f12 représente bien la probabilité de trouver une particule dans l’état 1 et simultanément une autre particule dans l’état 2 et g(f1 , f2 ) l’écart à la probabilité obtenue si les
états ne sont pas indépendants mais corrélés. Attention toutefois, les particules étant indiscernables, les densités de probabilités à un état (qu’il soit 1 ou 2) doivent être identiques
et donc nous avons aussi naturellement la relation, f1 = f2 .
Si nous négligeons les corrélations dans l’espace des phases, la relation se simplifie et nous
obtenons 22
−
−
−
−
−
−
−
−
f12 (→
x 1, →
v 1, →
x 2, →
v 2 , t) ≈ f1 (→
x 1, →
v 1 , t)f1 (→
x 2, →
v 2 , t)
(4.18)
L’équation (4.17) devient alors une équation ne dépendant que de f1 donc fermée (c’està-dire solvable) qui s’écrit
�
�
�
→
−
→
−
∂f1 →
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
+ v 1 · ∇−
γ1+
γ 12 f1 ( x 2 , v 2 , t)d x 2 d v 2 · ∇ −
(4.19)
x 1 f1 +
v i f1 = 0
∂t
�−
−
−
−
−
où le terme →
γ 12 f1 (→
x 2, →
v 2 , t)d→
x 2 d→
v 2 représente une accélération supplémentaire induite par les interactions de paires et donc produite en moyenne par les autres particules.
On peut écrire cette équation en faisant apparaître la force électromagnétique
→
−
−
→
−� →
→
− � →
−
∂f1 →
q �→
−
−
−
→
→
+ v 1 · ∇ x 1 f1 +
E 1 + E 1 + v 1 × B 1 · ∇−
(4.20)
v i f1 = 0
∂t
m
→
−
→
−
→
−
où les champs E 1 et B 1 sont les champs extérieurs et E �1 le champ “moyen” obtenus
en sommant la contribution de chaque particules j �= i sur la particule i. Bien que cette
21. De cette simple définition, nous pouvons donc en déduire que lorsque les corrélations entre événements ne sont plus négligeables alors nécessairement la probabilité d’obtenir deux événements prend la
forme
P (rouge + rouge) = Psac (rouge)Psac (rouge) + g(rouge/rouge)
où la fonction g(rouge/rouge) représente l’écart dû aux corrélations entre les deux tirages (si nous restons
avec l’image du tirage de boules, on peut imaginer que nous faisons ces deux tirages dans le même sac,
si bien que le tirage de la première boule rouge modifie la probabilité de tirer une seconde boule rouge,
d’une quantité g(rouge/rouge)).
22. En reprenant les définitions (4.11) et (4.12) utilisées pour définir f1 et f12 , on voit aisément que
nous avons la relation
No − 1 →
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
f12 (→
x 1, →
v 1, →
x 2, →
v 2 , t) =
f1 ( −
x 1, →
v 1 , t)f1 (→
x 2, →
v 2 , t) ≈ f1 (→
x 1, →
v 1 , t)f1 (→
x 2, →
v 2 , t)
No
en faisant l’hypothèse que No est nécessairement très grand.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 85
APPROCHE STATISTIQUE
t1
v
dv {
{
t0 chemin dynamique
x
dx
Figure 4.1 – illustration du théorème de Liouville où un élément de volume se déforme au
cours du temps
équation puisse sembler identique à l’équation de Boltzmann sans second membre (4.9),
→
−
il n’en est rien à cause de la contribution de ce champ moyen. En eﬀet, le champs E �1 est
déterminé par le mouvement et la position de l’ensemble des particules du plasma et sa
détermination fait apparaître un terme quadratique par rapport à la fonction de distribution f1 . L’équation de Vlasov (4.19) est donc non-linéaire et sa résolution analytique
beaucoup plus diﬃcile. En fait, cette équation ne néglige que les collisions caractérisées
par une interaction locale à courte longueur d’onde, c’est-à-dire toute collision type boule
de billard ainsi que les collisions proches coulombiennes (à fortes déviations). Les seules
interactions qui sont prises en compte sont les interactions lointaines liées au mouvement des particules chargées dans le champ coulombien moyen créé par l’ensemble des
particules.
4.1.5.1
Incompressibilité
Afin de mieux comprendre la signification de cette équation, il est utile de remarquer
qu’elle peut se réécrire sous une forme conservative :
− −
→
− −
df
∂f →
=
+ � x (→
v f ) + � v (→
γ f) = 0
dt
∂t
(4.21)
−
−
−
−
où d/dt est la dérivée lagrangienne d’un élément de volume d→
x d→
v,→
v et →
γ les vecteurs
vitesse et accélération 23 . Cette équation nous montre donc qu’en l’absence de collisions, f
reste constante au cours du temps sous l’action de la seule force de Lorentz à longue portée.
−
−
En d’autres termes, pour un observateur se déplaçant avec l’élément de volume d→
x d→
v,
la fonction f reste constante, l’espace des phases se comporte donc comme un fluide
incompressible. Ce comportement est illustré sur la figure (4.1) qui montre l’évolution
−
−
temporelle d’un élément de volume dans l’espace (→
x ,→
v ).
Au temps t0 toutes les particules se trouvent dans un élément de volume avec presque la
même vitesse et la même position. A un temps ultérieur t1 , ces particules se sont déplacées
de manière légèrement diﬀérentes, sous l’eﬀet de leur vitesse initiale légérement diﬀérente
et sous l’action des forces de Lorentz agissant sur elles. Ceci aboutit à une déformation
−
−
du volume δ →
v ; cependant, le nombre de particules dans l’élément de volume δ →
v et donc
le volume lui-même se conserve. La fonction de distribution f est donc constante le long
de cette trajectoire.
Attention, il est important de remarquer que ce modèle n’est pas équivalent au modèle
fluide utilisé en hydrodynamique. En eﬀet, dans l’aspect fluide, on introduit le concept
23. Afin de simplifier les expressions, on notera dorénavant simplement f la fonction de distribution à
une particules (ou 1 état) f1 lorsqu’il n’y aura aucune ambiguité sur le type de distribution utilisée.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 86
APPROCHE STATISTIQUE
−
de la cellule de volume δ →
v qui représente une moyenne des particules à l’intérieur de ce
−
volume, leur nombre pouvant varier (particules entrantes et sortantes de δ →
v ) au cours
du temps. A l’inverse, l’aspect statistique de Vlasov n’induit qu’une perte d’information
concernant la discernabilité des particules se trouvant dans l’élément de volume δv à
l’instant initial mais celui-ci représente toujours les mêmes particules dont on peut suivre
l’évolution avec le temps.
4.1.5.2
Réversibilité temporelle
L’équation de Vlasov, à l’instart de l’équation de Liouville, est une équation réversible pour
la variable temporelle. En d’autre termes, l’approximation de non corrélation (g(f1 , f2 ) =
0) préserve l’invariance par renversement du temps. En eﬀet, si nous faisons la transformation suivante
t → −t
→
−
−
x →→
x
→
−
−
v → −→
v
→
−
→
−
E →E
→
−
→
−
B → −B
−
−
−
−
on constate que les fonctions de distribution f (→
x ,→
v , t) et f (→
x , −→
v , −t) vérifient la même
équation d’évolution. Ceci a pour conséquence que si on inverse le temps, les vitesses et
le champ magnétique à un instant quelconque, le plasma revient à son état initial en
suivant une évolution inverse. Il n’y a donc aucune tendance de la fonction de distribution
à relaxer vers un équilibre thermodynamique. Cette équation conserve toute l’information
et le système est totalement déterminé par ses conditions initiales.
Cette propriété peut être décrite à l’aide de la notion d’entropie donnée en mécanique
statistique classique pour une système hors équilibre par la formule
�
−
−
S = − f ln f d→
x d→
v
(4.22)
En eﬀet, en dérivant l’équation (4.22) en fonction du temps, on obtient la relation suivante
�
� �
dS
∂f
∂f →
−
=−
+ ln f
d−
x d→
v
dt
∂t
∂t
En remplaçant l’expression obtenue à l’aide de l’équation de Vlasov (4.19), et en se rappelant que les forces électromagnétiques ne dépendent pas explicitement de la vitesse, on
trouve
� �
�
→
−
→
− →
→
−
→
− →
dS
→
−
−
→
−
−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
=
∇−
·
(
v
f
)
+
∇
(
γ
·
f
)
+
∇
·
(
v
f
ln
f
)
+
∇
(
γ
·
f
ln
f
)
d→
x d→
v
x
v
x
v
dt
On remarque tout de suite que lors de l’intégration sur les bornes, si la fonction f décroît
plus vite que n’importe quelle puissance de v n et que l’on a un système borné (ce qui est
−
toujours le cas) alors f (→
x → ∞) = 0, si bien que la contribution totale de cette intégrale
est nulle et nous avons bien
dS
= 0 ⇒ S = cte
dt
Une conclusion importante est que l’équation de Vlasov ne peut décrire que le début de
l’évolution d’un plasma à partir d’un état initial hors équilibre, mais ne peut pas décrire
le processus irréversible qui amène finalement ce plasma à l’équilibre.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 87
APPROCHE STATISTIQUE
4.1.6
L’équation de Boltzmann
A l’inverse des hypothèses faites pour déterminer l’équation de Vlasov, nous pouvons
supposer que les phénomènes d’interaction sont des collisions binaires (type boule de
billard) et qu’entre deux collisions les particules ne sont soumises à aucune force et suivent
donc une trajectoire rectiligne. Ce modèle est celui de la théorie cinétique classique des
gaz neutres. Il a pour conséquence importante que les deux particules entrant en collision
ne sont pas corrélées entre elles (hypothèse dite du “chaos moléculaire”), et donc que nous
pouvons utiliser l’égalité (4.18). En d’autre termes, nous pouvons utiliser de nouveau une
fonction de distribution à une particule que nous noterons f au lieu de f1 pour ne pas
alourdir les écritures.
4.1.6.1
Evolution de la fonction de distribution
Bien que nous puissions partir de l’équation (4.17) afin d’établir l’équation de Boltzmann,
une façon plus immédiate est d’obtenir une expression formelle à partir d’un raisonnement
physique simple. En eﬀet, en utilisant la relation (4.14), on peut poser que le nombre
−
−
−
−
total de particules se trouvant en →
x et →
v dans un élement de volume (d→
x d→
v ) est égal
→
−
→
−
→
−
→
−
à dn = No f ( x , v , t)d x d v . En l’absence de toute collision binaire, les particules vont
évoluer sous la seule action des forces extérieures, si bien qu’une particule après un temps
−
−
−
−
�t se trouvera nécessairement à la position →
x +→
v δt et avec une vitesse →
v +→
γ δt. Toutes
les particules ayant suivit le “même chemin”, leur nombre doit nécessairement se conserver
et nous avons
−
−
−
−
−
−
−
−
dn = No f (→
x ,→
v , t)d→
x d→
v = dn� = No f (→
x �, →
v � , t + δt)d→
x � d→
v�
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 88
APPROCHE STATISTIQUE
−
−
−
−
Dans le cas d’une force constante 24 , nous avons d→
x d→
v = d→
x � d→
v � et cette expression ne
fait plus intervenir que la fonction de distribution f . Maintenant, supposons que l’intervalle
de temps δt bien que très petit 25 , soit beaucoup plus important que le temps entre deux
collisions (et que nous n’ayons QUE des collisions à deux particules, impliquant donc
seulement des distributions f12 = f1 f1 ), il s’ensuit que plusieurs collisions arriveront
durant le temps δt qui éjecteront (injecterons) des particules hors (dans) l’intervalle de
−
vitesse d→
v . Le nombre total de particules doit donc maintenant varier et nous pouvons
écrire la relation
� �
δf
→
−
→
−
→
−
−
� →
�
f ( x , v , t) − f ( x , v , t + δt) = δt
δt collision
24. Cette égalité peut être démontrée de nombreuses façons diﬀérentes. Une manière assez simple de
comprendre cette conservation du volume des vitesses est de revenir au concept de densité de particules
−
−
−
−
par unité de volume. Soit dn = f (→
r ,→
v , t)d→
r d→
v le nombre de particules se trouvant dans l’élément de
→
−
→
−
volume d r d v à l’instant t. Alors à l’instant ultérieur t + δt, l’on se retrouve aux coordonnées
→
−
r�
→
−
v�
=
=
→
−
−
r +→
v δt
→
−
→
−
v + γ δt
(4.23)
(4.24)
−
où →
γ représente l’accélération subie par les particules de ce petit volume pendant δt. Le nombre de
−
−
−
−
particules à l’instant t + δt est donc donné par la relation dn� = f (→
r �, →
v � , t)d→
r � d→
v � . La position et la
vitesse étant des variables indépendantes, l’équation (4.23) permet d’écrire
−
−
d→
r = d→
r�
(4.25)
De même, si J est le jacobien de la transformation de v en v � , on a
−
−
d→
v � = |J| d→
v
(4.26)
− −
− −
q→
q− →
→
−
γ = E (→
r)+ →
v × B (→
r)
m
m
(4.27)
−
Il devient clair que si l’accélération →
γ est indépendante de la vitesse alors nécessairement |J| = 1 et
→
−
→
−
�
l’on a d v = d v . Dans le cas du plasma, ceci peut sembler inexacte du fait que la force de Lorentz
−
fait apparaître explicitement la vitesse →
v dans son expression. Nous allons voir que cela n’est pas
contraignant. L’accélération induite par la force de Lorentz est
En utilisant les équations (4.24) et (4.27), le jacobien J s’écrit sous la forme
�
�
q
q
� →
� �
1
−m
Bz δt m
By δt ��
��
� ∂−
�
v � �
q
�
1
J = �� →
= − q Bz δt
m Bx δt �
∂−
v � �� qm
q
�
B
δt
−
B
δt
1
m y
m x
(4.28)
−
−
On voit bien qu’en prenant la limite δt −→ 0, ce déterminant est égal à l’unité, et l’on a d→
v � = d→
v . Une
démonstration plus rigoureuse peut être faite, même sans passer à la limite, mais celle-ci dépasse le cadre
de cette introduction. On se contentera de faire l’hypothèse que le temps d’interaction (de collision) est
beaucoup plus petit que le temps caractéristique d’évolution de la distribution des particules si bien que
δt est un infiniment petit d’ordre un. Cette hypothèse est raisonnable et implicitement sous-tendue par
−1
les échelles de temps (ωpe
) prises en compte en physique des plasmas et dans la théorie cinétique en
−
particulier. Les volumes d→
v se conservant alors le produit lui aussi se conserve.
25. Comme nous allons nous intéresser aux variations de la fonction de distribution due aux collisions
se produisant pendant l’intervalle de temps δt, il est important de comparer cet interval aux diverses
échelles de temps caractéristiques d’évolution du plasma. Dans cette approche simplifiée (on ne regarde
que des interactions type boule de billard ! !), il n’y a que deux échelles qui nous intéressent.
La plus petite est celle concernant la durée d’une collision (τo ), durée qui bien sûr est beaucoup plus
petite que le temps séparant deux collisions (τc ), τo << τc . La plus grande est le temps de relaxation
du système vers un équilibre local (τ1 ) du fait des collisions. Cette échelle doit nécessairement être plus
grande que le temps entre deux collisions puisqu’un tel équilibre doit être le résultat de très nombreuses
collisions, τc << τ1 . L’équation de Boltzmann peut donc décrire l’évolution de la fonction de distribution
f (t + δt) à partir de f (t) sur un intervalle de temps intermédiaire, τo << δt << τ1 .
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Page 89
APPROCHE STATISTIQUE
� �
où δf
représente les changements de la fonction de distribution f sous l’eﬀet
δt collision
des seules collisions. En remarquant que le terme de gauche peut s’écrire sous une forme
diﬀérentielle donnant l’évolution de la fonction f le long de la trajectoire, on obtient
explicitement
� �
�
�
� �
df
∂f →
∂f
∂f
δf
−
→
−
δt =
+ v · →
+ γ · →
δt = δt
(4.29)
−
−
dt
∂t
δt collision
∂x
∂v
4.1.6.2
Le modèle de Krook
Toute la diﬃculté liée aux collisions se focalise donc sur le terme de droite dont la détermination explicite sera faite à la section suivante. Dans une première étape, il est toutefois
intéressant d’introduire ces collisions sous la forme d’un modèle très simple de relaxation,
dit modèle de Krook . Nous posons alors
� �
δf
= −ν(f − fo )
δt collision
afin d’expliciter la signification des paramètres fo et ν, nous allons prendre le cas d’un
plasma sans force extérieure et sans gradient spatial (uniforme). Dans ce cas, l’équation
(4.29) se réduit à
∂f
= −ν(f − fo )
(4.30)
∂t
ce que l’on peut écrire de manière plus explicite
∂f
+ νf = νfo
∂t
qui est une équation diﬀérentielle d’ordre un dont la solution est immédiate
f = Ke−νt + fo
équation définie à une constante K près. Si nous prenons alors comme condition initiale
−
un état quelconque, f (→
v , t = 0), nous voyons que l’évolution de cette distribution se
traduit par l’équation
−
−
f (→
v , t) − fo = [f (→
v , t = 0) − fo ] e−νt
qui démontre que l’écart à la distribution fo se réduit de manière exponentielle à un taux
proportionnel à ν. Nous pouvons donc dire que fo est la distribution à l’équilibre et ν −1
le temps de relaxation caractéristique de cette population.
Le modèle de Krook via un terme de collision très simple permet donc à une distribution
quelconque d’évoluer vers une distribution d’équilibre, comportement qui est en accord
avec le rôle que nous donnons aux collisions. Néanmoins, ce modèle simple a plusieurs
limitations dont la plus importante est la façon identique dont les particules tendent vers
l’équilibre. En eﬀet, l’évolution de n’importe quelle quantité dépendant de la vitesse (énergie, température, vitesse moyenne, etc...) va avoir via ce modèle le même comportement.
−
Si nous prenons une fonction quelconque Q(→
v ), l’évolution de sa valeur moyenne va être
régit par
�
−
−
−
< Q >= Q(→
v )f (→
v )d→
v
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 90
APPROCHE STATISTIQUE
en reportant cette relation dans l’équation (4.30), l’évolution de la quantité < Q > va
−
suivre la même évolution que la fonction f (→
v ) elle-même, et nous aurons
< Q > − < Q >o = [< Q(v, t = 0) > − < Q >o ] e−νt
où < Q >o représente la valeur de la quantité < Q > à l’équilibre. Cette relation montre
que quelque soit la valeur moyenne < Q >, celle-ci tend vers l’équilibre avec le même taux
ν. Bien sûr, physiquement cela n’est pas n’est pas aussi simple, et suivant la quantité que
nous regarderons les temps caractéristiques ne seront pas les mêmes. Pour s’en persuader
et sans rentrer dans le détail des collisions, si nous regardons l’évolution de l’énergie
−
cinétique (qui dépend de la norme de →
v ) et celle de la vitesse moyenne (qui elle dépend
−
seulement de la direction et du sens de →
v ), nous aurons les relations
u(t) = u(0)e−νt
1
m
2
< v 2 >t − 32 kB To = ( 12 m < v 2 >t=0 − 32 kB To )e−νt
−
où nous avons utilisé les quantités Q = →
v et Q = 12 mv 2 et supposé qu’à l’équilibre
nous avions une équipartition de l’énergie de la forme 32 kB To . Clairement, le modèle de
Krook impose à ces deux quantités de tendre vers l’équilibre avec la même période ν −1 .
Si l’on suppose que ν est le taux de collision entre électrons et neutres, par exemple,
nous voyons que cela n’est tout simplement pas possible. En eﬀet, si la diminution de la
−
vitesse moyenne →
u est bien directement liée aux collisions via la période ν −1 , cela n’est
pas du tout le cas pour l’énergie cinétique. Pour s’en rendre compte, il suﬃt d’imaginer
le transfert d’énergie entre électrons et neutres lors de chaque collision, ce transfert est
beaucoup plus lent du fait de la diﬀérence de masse entre les deux 26 , on obtient des valeurs
de l’ordre de M (2mν)−1 où M est la masse des neutres.
Ce modèle simple est donc utilisable principalement dans un plasma ne contenant que des
particules de masse équivalente. Bien que d’utilisation limitée, ce modèle de relaxation
vers l’équilibre donne souvent des résultats identiques à ceux obtenus grâce à l’équation
de Boltzmann dont la résolution est pourtant bien plus diﬃcile.
4.1.6.3
Le modèle de Boltzmann
La dérivation à partir de l’équation (4.29) va nécessiter la détermination du terme de
droite qui peut être exprimé en faisant apparaître sa structure de bilan, nous avons
�
δf
δt
�
=
collision
�
δf
δt
�(+)
collision
−
�
δf
δt
�(−)
(4.31)
collision
où le (+) décrit les variations de la fonction f sous l’eﬀet des particules entrant dans le
−
−
−
−
volume (d→
x d→
v ) et le (−) les variations dues aux particules sortante de (d→
x d→
v ) comme
(+)
−
−
cela est illustrée sur la figure (4.2). En d’autre termes, la quantité (∂f /∂t)collision d→
x d→
v δt
représente le nombre de particule ayant subit une collision entre les instant t et t + δt et
−
−
−
−
se retrouvant dans le volume (d→
x d→
v ) autour du point (→
x ,→
v ) après la collision alors que
(−)
→
−
→
−
le terme (∂f /∂t)collision d x d v δt représente les particules qui en sont parties.
26. De façon imagée, dans une collision élastique entre une balle de ping-pong et une boule de bowling,
la balle de ping-pong voit sa vitesse en direction et sens changer brutalement mais sans changement
−
notable de son module |→
u | ∼ cte, et donc sans transfert d’énergie cinétique notable...
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APPROCHE STATISTIQUE
particule
"sortante"
élément de volume
à l'instant t+δt
élément de volume
à l'instant t
particule
"rentrante"
Figure 4.2 – Représentation schématique du mouvement d’un volume infinitésimal
−
−
(d→
x d→
v ) dans un espace des phases (à un état). On y a représenté la diﬀusion d’une
particule lors d’une collision binaire qui sort de cet élément de volume (particule “sortante”) et une particule qui y rentre (particule “rentrante”).
b
rm
χ
ε
v-v1
q1
μ
b
q2
Figure 4.3 – Collision dans le repère du centre de masse entre deux particules ayant la
−
−
même masse m, l’une ayant une vitesse →
v et la suivante →
v 1 . Le paramètre d’impact est
donné par b et l’angle de déviation par χ.
A ce stade, il nous faut revenir au cas d’une collision entre deux particules 27 et que l’on
peut résumer par la figure (4.3) lorsque l’on se place dans le repère du centre de masse.
−
Dans ce repère, la collision entre deux particules ayant respectivement les vitesses →
v
−
et →
v 1 , se réduit au mouvement d’une particule “virtuelle” ayant une vitesse avant la
−
−
−
−
collision donnée par la relation →
v −→
v et après la collision par la relation →
v�−→
v �.
1
1
Le paramètre d’impact noté b (voir annexe 6.1), est la distance minimale d’approche s’il
n’y avait aucune interaction. De même, la dynamique se déroule entièrement dans le plan
de la figure dans le cas d’une force centrale (ce qui est le cas de la force électrique !). La
particule subit une déviation donnée par l’angle de déviation χ. Muni de ces paramètres,
nous pouvons exprimer le flux des particules incidentes ayant une vitesse comprise entre
→
−
−
−
v 1 et →
v 1 + d→
v 1 , en comptant le nombre de particules arrivant dans l’élément de volume
bdbdχ pendant l’intervalle de temps dt 28 , on trouve
−
−
−
−
−
dN
= N f (→
x ,→
v , t) |→
v −→
v | d→
v bdbdχdt
incidente
o
1
1
1
De même, le nombre total des centres diﬀuseurs (les particules “cibles”) ayant une vitesse
−
−
−
comprise entre →
v et →
v + d→
v , s’exprime simplement sous la forme
−
−
−
dN
= N f (→
x ,→
v , t)d→
v
cible
o
De ces deux relations, on en déduit alors le nombre de collisions totales par seconde, pour
les particules se trouvant dans les intervalles (b, b + db) et (χ, χ + dχ)
−
−
−
−
−
−
−
−
dN
= N 2 f (→
x ,→
v , t)f (→
x ,→
v , t) |→
v −→
v | d→
v d→
v bdbdχdt
collisions
o
1
1
1
27. Nous sommes dans ce cas puisqu’on ne regarde que les fonctions de distribution à un état f1 ! !
28. Attention, ce temps dt est très petit mais doit être très supérieur au temps entre deux collisions
pour que nous ayons beaucoup de collisions pendant ce laps de temps.
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Page 92
APPROCHE STATISTIQUE
Il est important de souligner ici, que pour écrire cette dernière relation, nous avons implicitement fait l’hypothèse dite du “chaos moléculaire”. En intégrant sur toute les vitesses
→
−
v 1 , on en déduit les variations de la fonction de distribution dues aux collisions qui font
−
−
−
“sortir” les particules du volume (→
v, →
v + d→
v ). On obtient la relation formelle
No
�
δf
δt
�(−)
=
collisions
−No2
�
−
−
−
|→
v −→
v 1 | d→
v1
�
−
−
−
−
f (→
x ,→
v 1 , t)f (→
x ,→
v , t)bdbdχdt
(4.32)
On en déduirait de la même façon, le taux de variation de la fonction de distribution due
aux particules “rentrante” sous la forme
No
�
δf
δt
�(+)
collisions
=
No2
�
−
−
−
|→
v�−→
v �1 | d→
v �1
�
−
−
−
−
f (→
x �, →
v �1 , t)f (→
x �, →
v � , t)b� db� dχ� dt
(4.33)
où les primes font références aux quantités après la collision. Nous prenons ces quantités
car la fonction de distribution qui nous intéresse dépend alors des quantités après les colli−
sions qui ont permis à ces particules d’intégrer l’élément de volume (d→
v ). La comparaison
des termes (4.32) et (4.33) est immédiate car nous avons toujours la relation
−
−
−
−
d→
v d→
v 1 = d→
v � d→
v �1
et du fait de la conservation de l’impulsion et de l’énergie (on parle de chocs élastiques)
−
−
−
−
|→
v −→
v 1 | = |→
v�−→
v �1 |
De plus, pour des raisons purement géométrique, nous avons nécessairement bdbdχ =
b� db� dχ� . Si bien que le terme de collision (4.31) dans l’équation de Boltzmann s’écrit de
manière explicite
� �
�
�
δf
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
= No d v 1 | →
v −→
v 1 | (f (→
x ,→
v �1 , t)f (→
x ,→
v � , t) − f (→
x ,→
v 1 , t)f (→
x ,→
v , t)) bdbdχ
δt collision
(4.34)
L’équation de Boltzmann est donc une équation intégro-diﬀérentielle non linéaire (car
quadratique en f dans l’intégrale !) pour la fonction de distribution à une particule.
4.1.6.4
Irréversibilité
A l’inverse de l’équation de Vlasov (4.20), l’équation de Boltzmann n’est pas invariante
par renversement du temps. Si l’on change t en −t dans les équations (4.29 et 4.34), on
−
−
remarque que l’intégrale de collision n’est pas modifiée. On constate donc que f (→
x ,→
v , t)
→
−
→
−
ne vérifie pas la même équation que f ( x , − v , −t). Cette équation est donc irréversible.
L’hypothèse déterminante pour expliquer cette irréversibilité est l’utilisation du “chaos
moléculaire”, hypothèse qui néglige les interactions (corrélations) entre deux particules
dans le temps séparant deux collisions. Aucune particule eﬀectuant une collision ne transporte d’information sur les rencontres qu’elle a pu faire précédemment. La mémoire des
corrélations dues aux collisions précédentes est donc perdue avant qu’une nouvelle collision ne se produise. C’est cette perte d’information qui est à l’origine de l’irréversibilité
de l’équation de Boltzmann.
L’équation de Vlasov est applicable à une phase transitoire de l’évolution du système,
elle est donc réversible ; alors que l’équation de Boltzmann décrit un évolution statistique
dans laquelle est prise en compte les collisions, elle est de ce fait irréversible.
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Page 93
APPROCHE STATISTIQUE
Afin de caractériser cette évolution irréversible, nous allons regarder de nouveau l’évolution
de l’entropie S 29 . Comme les termes de gauche de l’équation (4.29), ne sont pas diﬀérents
que ceux de l’équation de Vlasov (4.20), nous allons sans perte de généralité nous intéresser
qu’au terme de collision, en faisant l’hypothèse d’un plasma uniforme (sans gradient spatial
−
et donc ne dépendant pas de la variable →
x ) et sans force exterieure. Dans ce cas, nous
pouvons écrire la variation de l’entropie
�
−
dS
= − ∂f
[1 + ln f ] d→
v
dt
∂t
(4.35)
� � �
→
−
→
−
→
−
→
−
= −No (f f1 − f f1 )(ln f + 1) | v − v 1 | bdbdχd v d v 1
−
−
−
−
où nous avons pour simplifier l’écriture, posé f1� pour f (→
x ,→
v �1 , t) et f pour f (→
x ,→
v , t).
Cette équation est d’aspect assez compliquée mais peut être réécrite en utilisant deux
propriétés importantes :
– (i) une propriété mathématique. Lors d’une double intégrale, on peut toujours interchan−
−
ger les variables d’intégration sans changer le résultat. Pour toute fonction F (→
v ,→
v 1)
nous avons
�
�
1
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
F ( v , v 1 )d v d v 1 =
[F (→
v 1, →
v ) + F (→
v ,→
v 1 )] d→
v d→
v1
2
– (ii) une propriété physique. Lors d’un collision élastique, certaines quantités se conservent.
−
−
En particulier, l’énergie cinétique et l’impulsion si bien que nous avons, |→
v −→
v 1| =
→
−
→
−
| v 1 − v |. De plus, pour des raisons géométriques la section eﬃcace de collision ne
dépend pas du sens de la collision. En d’autres termes, la section eﬃcace de collision
−
−
−
−
−
−
−
−
{→
p ,→
p 1 } → {→
p �, →
p �1 } est la même que pour la collision {→
p �, →
p �1 } → {→
p ,→
p 1 } (c’està-dire que la quantité bdbdχ ne dépend pas du sens de la collision). Enfin, nous avons
−
−
−
−
de nouveau l’égalité d→
v d→
v 1 = d→
v � d→
v �1 . Il s’ensuit que nous pouvons tout simplement
interchanger les primes avec les non primes (c’est-à-dire le sens de la collision) dans
l’équation (4.35).
En utilisant la première propriété, nous voyons que l’équation (4.35) peut se réécrire avec
la demi-somme
�
dS
No
−
−
−
−
=−
(f � f1� − f f1 )(ln f f1 + 2) |→
v −→
v 1 | bdbdχd→
v d→
v1
(4.36)
dt
2
A l’aide de la seconde propriété, il vient alors
�
dS
No
−
−
−
−
=−
(f f 1 − f � f1� )(ln f � f1� + 2) |→
v −→
v 1 | bdbdχd→
v d→
v1
dt
2
(4.37)
En prenant la demi-somme de ces deux expressions (4.36) et (4.37), on obtient finalement
la variation de l’entropie sous une forme directement utilisable
�
dS
No
ff1 − →
−
−
=−
(f � f1� − f f1 ) ln � � |→
v −−
v 1 | bdbdχd→
v d→
v1
(4.38)
dt
4
f f1
29. L’entropie de Boltzmann est associée à un état du plasma caractérisé par la fonction de distribu−
−
tion f (→
x,→
v , t). Elle est en générale diﬀérente de l’entropie S à l’équilibre thermodynamique mais nous
ne ferons pas cette distinction dans cette introduction n’étant intéressé que par le côté irréversible de
l’évolution du système.
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Page 94
APPROCHE STATISTIQUE
Figure 4.4: Représentation schématique d’une collision binaire élastique entre deux particules
de même masse m et ayant la même vitesse �v : (a) trajectoire de la masse m lors d’une collision
directe, (b) trajectoire de la seconde masse m lors de la même collision, cette trajectoire représente
en fait la collision inverse du cas (a). En (c) est représenté les trajectoires apparantes des masses
en interaction lorsque l’on ne discerne pas la zone d’interaction. Il semble n’y avoir pas eu de
collisions.
On constate alors que quelque soit les valeurs des fonctions de distribution, la quantité
(f � f1� − f f1 ) ln ff�ff1� est toujours négative ou nulle 30 . Il s’ensuit que l’entropie S(t) est
1
donc une fonction croissante (ou stationnaire) du temps, démontrant l’irréversibilité des
processus mis en jeu.
4.1.6.5
Distribution à l’équilibre
Nous savons qu’un système à l’équilibre possède une entropie maximale, l’évolution d’un
système quelconque doit donc être régit par la relation
dS(t)
=0
t→∞ dt
lim
si plusieurs types de solutions existe, nous n’allons nous intéresser qu’à la distribution f
décrivant l’équilibre macroscopique globale du système.
Par définition, cet état d’équilibre se caractérise par un ensemble de forces se compensant
mutuellement (c’est une équilibre ! !). Du fait de la longue portée de la force de Coulomb,
−
il est clair que des collisions se produisent toujours dans un plasma, si bien que si f (→
v)
n’évolue pas dans le temps, cela signifie qu’à chaque collision correspond le processus
inverse de telle sorte que le bilan soit nul.
Ceci a pour conséquence immédiate que la fonction de distribution définissant le système
est une solution indépendante du temps (∂f /∂t = 0). Dans cette introduction, et afin
de ne pas alourdir les calculs, nous n’allons considérer que le cas où il n’y a pas de force
→
−
extérieure ( F ext = 0) et où le système est spatialement homogène 31 . La fonction de
→
−
−
→
distribution ne dépend alors que de la vitesse f (→
v ) (donc ∇ −
x f = 0). Dans la limite
t → ∞, il est clair d’après l’expression (4.38) que l’intégrand ayant un signe constant, il
doit être nul pour avoir dS/dt = 0, nous avons donc nécessairement
f � f1� = f f1
30. C’était le but de tous ces calculs que d’avoir une expression que nous pouvions analyser sans avoir
à eﬀectuer explicitement le calcul de de cette intégrale ! !
31. C’est pour cette raison que nous nous limitons à l’étude d’un équilibre globale et non locale, locale
−
voulant dire ici que la distribution dépend aussi de la position →
x mais cela complique les calculs du
système (4.46) sans apporter de modifications importantes aux conclusions de cette section.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 95
APPROCHE STATISTIQUE
dernière relation que l’on peut écrire sous la forme d’une somme d’invariants
(4.39)
ln f � + ln f1� = ln f + ln f 1
−
−
−
−
qui représente une loi de conservation relative à la collision {→
p ,→
p 1 } → {→
p �, →
p �1 }.
Ce n’est pas la première fois que nous rencontrons des quantités qui se conservent lors
d’une collision. En eﬀet, la mécanique classique nous a déjà montré que lors d’une collision
−
élastique entre deux particules de masse m et m1 ayant respectivement les vitesses →
v et
→
−
→
−
→
−
�
�
v 1 avant la collision et v et v 1 après la collision, on avait les 5 équations suivantes:
m + m1 = m� + m�1
−
−
−
−
m→
v + m1 →
v 1 = m� →
v � + m�1 →
v �1
1 2 1
1 � 2� 1 � 2�
mv + m1 v12 =
m v + m 1 v1
2
2
2
2
(4.40)
(4.41)
(4.42)
Ces relations représentent la conservation de la masse, de l’impulsion et de l’énergie cinétique. Il est aisé de voir que ces équations permettent une détermination univoque des
quantités ”après” la collision connaissant le paramètre d’impact b et le plan contenant
cette collision. Le problème étant totalement défini par ces invariants, tout invariant
supplémentaire pourra être exprimé comme combinaison linéaire de ces 3 invariants (m,
→
−
p , Ec ).
Nous allons appliquer ce concept d’invariants de collision à la fonction de distribution
f dont la quantité ln(f ) est un invariant de collision (4.39). Cette quantité peut donc
s’écrire comme combinaison linéaire des autres invariants. On pose alors
→
− −
1
ln(f ) = m(α + β · →
v − γ v2)
2
(4.43)
→
−
où α, β , -γ sont des constantes à déterminer. En développant cette expression, et en
réorganisant les termes, on trouve l’expression
→
−
β2 γ →
β
−
ln(f ) = m(α +
− [ v − ]2 )
2γ
2
γ
(4.44)
→
−
−
en posant →
w = β /γ, on obtient finalement
2
β
mγ −
mγ −
→ −
→2
→ −
→2
−
f (→
v ) = em(α+ 2γ ) e− 2 [ v − w ] = Ce− 2 [ v − w ]
(4.45)
−
La détermination des 5 constantes C, →
u et γ se fait à l’aide des quantités observables de
−
notre système, la densité n, la vitesse moyenne →
u et la température T
�+∞
−
n =
f d→
v
−∞
1
→
−
u =
n
�+∞
−
→
−
v f d→
v
(4.46)
(4.47)
−∞
1
3kT
mu2 +
2
2
1
=
2n
�+∞
−
v 2 f d→
v
(4.48)
−∞
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 96
APPROCHE STATISTIQUE
−
−
où la vitesse des particules →
v est décomposée en une partie moyenne →
u et une partie aléa−
toire →
v th 32 . Il suﬃt d’injecter la relation déterminée en (4.44) pour obtenir les constantes
voulues. On trouve finalement la relation
f = n(
m 3/2 −( m(v−u)2 )
2kT
) e
2πkT
(4.49)
Ceci est l’expression bien connue d’une fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann
(plus simplement appelée maxwellienne). Elle découle directement des hypothèses très
générales des collisions élastiques et du chaos moléculaire. Il est important de
souligner que la détermination de cette fonction de distribution a été faite de manière
totalement indépendante des sections eﬃcaces de collision (et/ou du type d’interaction
entre particules), ce qui montre le caractère ”universel ” de cette distribution pour décrire
l’état d’équilibre, d’où son importance dans toutes les branches de la physique.
4.2
Le phénomène de collision
Dans ce chapitre nous avons plusieurs fois utilisé le terme de collision sans pour autant
l’expliciter. Pourtant, le phénomène de collision auquel nous allons nous intéresser n’est
pas aussi simple que celui introduit en mécanique. En eﬀet, les propriétés fondamentales
du plasma dépendent des forces d’interaction auto-cohérentes dont l’origine peut être extérieure au plasma, ou interne, et dépendant des mouvement des particules elles-mêmes.
En fait, en physique des plasmas les termes interactions et collisions sont synonymes.
L’agitation des “objets microscopiques” qui constituent le plasma les conduit à se rencontrer souvent de façon violente. En raison de leur grande vitesse d’agitation thermique, les
électrons jouent un rôle à part dans les processus de collision. Les interactions ionisantes,
électrons-atomes neutres, se produisant lorsque l’énergie des électrons est supérieure au
potentiel d’ionisation, sont à l’origine même de l’état de plasma. L’ionisation se fait à
travers des mécanismes qui fonctionnent dans les deux sens :
– Ionisation collisionnelle : e + A ⇐⇒ A+ + e + e et son inverse, la recombinaison
diélectronique
– Photoionisation : hν + A ⇐⇒ A+ + e et son inverse, la recombinaison radiative
La notion même de collision ”mécanique” avec un contact physique entre les particules
perd de son utilité dans le monde microscopique qui nous intéresse. Sans aller jusqu’aux
échelles quantiques, il est évident que la collision entre particules peut être interprétée
de manière plus constructive comme une interaction entre les champs de force associés à
chaque particule 33 .
Cette notion est donc une généralisation de celle bien connue utilisée en mécanique. Le
phénomène de collision peut être séparé en deux catégories :
– Les ”collisions élastiques”. Ce sont les collisions les plus simples. Elles se caractérisent
par la conservation de la masse, de l’impulsion et surtout de l’énergie cinétique. Ceci
32. C’est grace à cette composante aléatoire de la vitesse que l’on peut parler de température T associée
−
au plasma. On parle donc de vitesse thermique d’une particule, →
v th avec comme énergie cinétique associée
−
1 →
3
Ec = 2 m v th = 2 kB T .
33. Comme illustration, prenons la force électrostatique s’exerçant entre deux particules ponctuelles de
même charge. Les deux particules passant près l’une de l’autre vont ressentir une variation rapide et forte
de cette force comme illustrée par la figure (4.5). C’est la variation de l’impulsion (variation rapide de
vitesse) associée à cette force que l’on interprète comme une collision proche. D’autre part, la partie
d’évolution lente de la force F avec r, signifie que beaucoup de particules voient une force approximativement de même module, et intéragissent simultanément. Cette partie décrit les eﬀets collectifs du
plasma.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 97
APPROCHE STATISTIQUE
Figure 4.5 – profil de la force de coulomb créé par une particule en r = 0 et vu par une
particule de même charge en fonction de la distance r.
implique qu’il n’y ait aucun changement dans l’état interne de la particule ainsi que de
phénomène de création ou d’annihilation.
– Les ”collisions inélastiques”. Ces collisions induisent des variations dans l’état interne
d’une partie ou de l’ensemble des particules en interaction. Certaines particules seront
détruites, d’autres créées, des processus de recombinaison pourront avoir lieu faisant
apparaître des particules neutres, des particules plus lourdes, des processus inverses
d’ionisation induiront l’émergence de particules chargées....
En fait, les collisions jouent un rôle important dans le transfert d’énergie entre les diﬀérentes composantes d’un plasma. Par exemple, c’est ce qui arrive dans le cas d’un plasma
→
−
possédant une population de neutre et soumis à un champ électrique E . Ce champ ne
peut agir sur les neutres, par contre, il va accélérer les particules chargées qui à leur tour
via les collisions vont entraîner/accélérer les neutres.
4.2.1
Notion de libre parcours moyen
Les collisions entre particules neutres donnent lieu à ce que l’on appelle le mouvement
Brownien. C’est ce type de collision que l’on observe dans les gaz et que l’on décrit de
manière explicite par le terme ”collision type boule de billard ou sphère dure”. En eﬀet, le
processus de collision fait intervenir deux sphères dures sans structure interne. Lors d’une
collision frontale, le changement d’impulsion est brutal et peut aller jusqu’à une déviation
de 180o . On introduit le concept de libre parcours moyen λlpm , distance parcourue par
une particule entre deux chocs et donc deux déviations. Pour que deux particules puissent
se toucher, il faut et il suﬃt que leur mouvement les amène suﬃsamment proche l’une
de l’autre, on parle de section eﬃcace de collision σ. Cette surface représente la surface
eﬀective, le disque, occupé dans l’espace par les deux particules, σ = π(r1 + r2 )2 . Si l’on
prend l’exemple d’une particule incidente qui pénètre dans un gaz de particules-cible de
densité n, à la vitesse < v >, on voit qu’elle va subir N chocs pendant l’intervalle de
temps dt tel que N = σn < v > dt où V = σ < v > dt représente le volume ”balayé”
par la particule durant dt. Le libre parcours moyen est alors la distance parcourue par la
particule divisée par le nombre de chocs.
λlpm =
< v > dt
1
=
N
σn
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Page 98
APPROCHE STATISTIQUE
Ce calcul ne tient compte que d’une seule particule incidente ce qui est peu réaliste. Dans
le cas général d’un flux de particules Φ (d’un faisceau !), la détermination de λlpm diﬀère
légerement. Soit N (x) = Φ(x)dt le nombre de particules incidentes pénétrant dans une
couche d’épaisseur dx (que l’on supposera infinie), le nombre de particules du faisceau
sortant de cette couche virtuelle, donc n’ayant subi aucune collision, est alors N (x +
dx) = Φ(x + dx)dt. Si bien que la diﬀérence représente les particules ayant subi une
collision dN = N (x + dx) − N (x) < 0. Si l’on suppose que chacune de ces particules a
en moyenne parcouru la distance λlpm avant la collision, alors la fraction de particules,
ayant eu une collision, est dx/λlpm et leur nombre total dans la tranche dx est donné par
dN = (dx/λlpm )Φ(x)dt. En égalisant les deux expressions, on trouve
dN = N (x + dx) − N (x) = −
dN
N
= −
dx
N (x)
λlpm
dx
λlpm
Le signe − apparaît pour traduire la diminution du flux de particules liée aux collisions
dans la tranche dx. L’intégration donne
N (x) = No e
−λ x
lpm
= No e−(σnx)
avec le libre parcours moyen défini par λlpm = 1/nσ. Le libre parcours moyen peut donc
être interprété comme étant la distance au-delà de laquelle le nombre de particules a
diminué d’un facteur 1/e. En d’autres termes, après une distance λlpm , la particule a une
probabilité très élevée de subir une collision. Le temps moyen entre deux collisions est
τ=
λlpm
1
=
<v>
nσ < v >
et la fréquence de collision υc = nσ < v > . Pour obtenir le libre parcours moyen et la
fréquence de collision, nous n’avons pas fait intervenir les propriétés microscopiques du
choc. Celles-ci vont s’avérer indispensables si l’on désire de plus obtenir des informations
sur le comment de la collision et surtout sur l’angle de déviation χ de la particule incidente.
Le formalisme pour les interactions entre particules chargées et particules neutres est le
même qu’entre deux particules neutres bien que la physique mis en jeu est totalement
diﬀérente. En eﬀet, pour décrire le rôle des collisions, entre particules neutres ou chargées, on utilise la notion de libre parcours moyen entre deux collisions. Le libre parcours
moyen est la distance en dessous de laquelle la trajectoire est soit une ligne droite, soit
une courbe déterminée entièrement par le seul champ collectif. On le calcule par une
approche statistique sur toutes les collisions possibles. Dans un gaz neutre on comprend
de manière intuitive sa signification : la trajectoire d’une particule est une ligne brisée
dont les tronçons ont une taille moyenne qu’on appelle libre parcours moyen. Dans un
plasma, du fait de la présence d’interactions avec des particules lointaines, la trajectoire
est complètement diﬀérente. La figure (4.6) représente schématiquement ce que peut être
une telle trajectoire : les particules peuvent s’approcher les unes des autres mais elles ne
se rencontrent jamais vraiment.
Dans ce contexte le libre parcours moyen est plutôt la distance au bout de laquelle la
trajectoire a été significativement déviée sous l’eﬀet d’un grand nombre d’interactions
binaires mais lointaines. Le calcul du libre parcours moyen est donc basé sur la diﬀusion de
Rutherford (voir annexe 6) qui permet de calculer la déviation d’une particule chargée par
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Page 99
APPROCHE STATISTIQUE
!
Figure 4.6 – Allure de la trajectoire d’une particule chargée (particule test) dans un
plasma. Les distances caractéristiques décrites dans la section (1.4.5) sont représentées :
λlpm est le libre parcours moyen, d = n1/3 la distance moyenne entre particules et rL la
longueur de de Landau de la particule test.
une autre en fonction du paramètre d’impact. Les droites tracées en trait fin sur la figure de
l’introduction (1.3) donnent les valeurs typiques du libre parcours-moyen en fonction des
caractéristiques du plasma. On constate que, pour la plupart des plasmas astrophysiques,
λlpm est de l’ordre de grandeur de la taille des régions considérées. Les collisions sont
donc très souvent complètement négligeables. Parmi ces collisions interviennent à la fois
les collisions binaires proches et lointaines. En fait, le poids de ces dernières est beaucoup
plus important et les collisions binaires proches sont très improbables.
Pour caractériser l’interaction binaire proche, on peut calculer la longueur de Landau rL
(voir de nouveau la section 1.4.5). Cette distance est celle à laquelle il faut que deux
particules s’approchent pour avoir une énergie d’interaction égale à leur énergie cinétique
moyenne, kB T . En reportant la droite rL = n1/3 sur la figure (1.3), on se rend compte que
presque tous les plasmas se situent à gauche de cette droite et sont donc si dilués que la
probabilité d’une rencontre binaire proche est totalement négligeable.
4.2.2
Notion d’angle de déviation
Un exemple de calcul de cet angle de déviation est fait en annexe (section 6.1), on obtient
dans le cas de l’interaction coulombienne entre deux particules, la relation
χ
b
coth( ) =
2
bo
où bo représente le paramètre d’impact de la collision défini par :
bo =
1 q1 q 2
4πεo µu2
avec q1 et q2 les charges respectives des particules en interaction et µ leur masse réduite.
L’angle de déviation χ est défini sur la figure (4.3).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 100
4.2.3
APPROCHE STATISTIQUE
Fréquence de collision
La marche au hasard d’un électron dans un plasma dilué est très diﬀérente de celle de la
molécule d’un gaz neutre. En eﬀet, dans un gaz neutre, peu dense, les forces d’interaction
étant à très court rayon d’action, la molécule doit parcourir une assez longue distance en
ligne droite avant d’être brutalement dévié par une collision (style boule de billard). A
l’inverse, dans un plasma dilué, électriquement neutre à grande échelle, le rayon d’écrantage λD , est très supérieur à la distance moyenne entre les ions. La force électrostatique,
même écranté, reste à longue portée. Un électron est donc toujours en interaction avec
un centre diﬀuseur. Sa trajectoire, sinueuse, ne comporte pas de changements brutaux de
direction. Ainsi, dans un plasma, contrairement au cas des gaz neutres, les évenements
microscopiques sont mal définis. Il en est de même de la fréquence de collision qui résulte d’une intégration sur la distribution des vitesses. On peut toutefois obtenir assez
facilement une estimation de cette fréquence qui n’aura de sens qu’en ordre de grandeur.
La fréquence de collision associée à la section eﬃcace σti est donnée par la relation
(4.50)
νcoll ≈ nσti vth
dont la dimension est bien l’inverse d’un temps. On trouve alors en se rappelant que
ωp = vth /λD et en utilisant les résultats des sections (6.2) et (6.3), la relation
νcoll ≈ n4πb2o ln(
λD
ωp
)vth =
ln(4πnλ3D )
bo
4πnλ3D
Un calcul plus précis peut être fait dans l’hypothèse où les électrons sont à l’équilibre à
la température Te , la fonction de distribution est alors du type Maxwell-Boltzmann qui
sera déterminée au paragraphe (4.3.1).
�
2
m −( mv
fe (v) =
e 2Te )
2kB Te
Le paramètre d’impact définit à l’équation (6.9 ) prend alors la forme
b=
Ze2
4πεo kB Te
�
avec comme vitesse représentative de l’agitation thermique, la vitesse vthe = kB Te /me .
L’équation (4.50) donne dans le cas d’une collisions électrons-ions
�
�
�2
Ze2
kB T e
ni Z 2 e 4
νe−i ≈ ni σti vth = ni 4π
ln(Λei )
=
ln(Λei ) (4.51)
√
4πεo kB Te
me
4πε2o me (kB Te )3/2
On retiendra essentiellement de cette estimation, la dépendence fonctionnelle en
νe−i ∝
ni ln(Λei )
(kB Te )3/2
(4.52)
Le logarithme coulombien restant à peu près constant pour une large gamme de paramètres plasmas, on voit que les hautes températures, associées aux basses densités,
réduisent la fréquence des collisions. On peut mettre l’équation (4.51) sous une forme plus
compacte en introduisant la fréquence plasma, on trouve
νe−i =
ωpe
ln(Λei ) << ωpe
Λei
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(4.53)
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 101
APPROCHE STATISTIQUE
La fréquence de collision νe−i reste beaucoup plus petite que la fréquence de plasma.
Cette relation peut sembler curieuse puisqu’elle se trouve en contradiction avec l’idée d’un
électron en perpétuelle interaction avec un centre diﬀuseur. En réalité, la section eﬃcace
de transfert d’impulsion (6.21) est seulement supérieur d’un facteur ln(Λei ), à la section
eﬃcace 4πb2o pour une déflexion supérieure à 90o . Autrement dit, νe−i est représentative
d’une déflexion qui, intégrée sur de nombreuses collisions coulombiennes, est de l’ordre de
90o . L’équation (4.53) ne fait donc que traduire le fait qu’un changement de direction de
−1
l’ordre de 90o demande un temps très supérieur à ωpe
. Il existe des expressions analogues
à (6.9) et (4.51) pour les autres collisions coulombiennes : électrons entre eux et ions
entre eux. Elles possèdent la même dépendance fonctionnelle par rapport à la densité et
à la température, seuls les coeﬃcients sont légèrement diﬀérents car dans ces équations la
masse réduite ne prend pas la même valeur.
L’existence d’un champ magnétique statique altère profondément les propriétés des plasmas en raison de la modification qu’il impose aux trajectoires des particules chargées. Le
milieu devient anisotrope. Les mouvements sont diﬀérents dans les directions parallèles et
perpendiculaires au champ. Les particules s’enroulent autour des lignes de force. L’inverse
du temps nécessaire à boucler un tour est l’inverse de la fréquence cyclotronique, ωc−1 . Il
est évident que si ωc < νcoll alors les particules auront subi une modification de trajectoire
avant d’avoir eﬀectué un tour complet. La dynamique du plasma reste dominée par les
collisions. Il est d’usage de caractériser les plasmas par la valeur du produit ωc τcoll où τcoll
est l’inverse de la fréquence de collision νcoll . On distingue les cas
ωc τcoll > 1 (plasma magnétisé)
ωc τcoll < 1 (plasma collisionnel)
Ce critère doit être appliqué séparément à chaque espèce chargée. Les résultats montrent
d’ailleurs que l’on peut avoir simultanément
(ωc τcoll )électrons < 1 < (ωc τcoll )ions
c’est-à-dire une situation où les électrons sont magnétisés et non les ions.
4.3
L’état d’équilibre
Le plasma comme tout gaz, est le siège d’une agitation perpétuelle. La définition rigoureuse
de l’équilibre thermodynamique implique :
– un système fermé
– un ensemble de particules décrit par des variables macroscopiques invariantes
– un rayonnement en équilibre avec la matière
– un bilan globalement nul avec le monde extérieur
Ces conditions sont rarement remplies toutes à la fois. Cependant, on peut souvent ne
pas tenir compte du rayonnement et définir ainsi des états d’équilibre moins généraux
et qui concernent la matière seule. On parlera dans ce cas d’Equilibre Thermodynamique Local (E.T.L.). Dans tous les cas, la mécanique statistique va nous permettre de
déterminer des relations importantes entre les variables macroscopiques convenablement
définies.
4.3.1
Equilibre en présence d’une force extérieure : formule de Boltzmann
Nous avons jusqu’ici obtenu l’expression de la fonction de distribution permettant de
→
−
décrire un équilibre en l’absence de forces extérieures ( F ext = 0) sous la forme d’une
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 102
APPROCHE STATISTIQUE
Maxwellienne (voir fin de la section (4.1.6)). Que se passe-t-il donc lorsque une force
externe est appliquée au plasma ? Dans un souci de simplicité, nous allons nous limiter
au cas d’une force conservatrice. Par définition, cette force dérive d’un potentiel tel que
→
−
→
− −
−
F ext (→
x ) = − ∇U (→
x)
(4.54)
A l’équilibre, nous savons déjà que les collisions n’aﬀecteront pas en première approximation la fonction de distribution, nous pouvons donc utiliser l’équation de Vlasov obtenue
précédemment (4.1.5). La solution que l’on cherche est une maxwellienne modifiée par la
présence d’une force spatiale, on peut donc supposer que la distribution finale sera de la
forme
−
−
−
−
f (→
x,→
v ) = fM (→
v )Ψ(→
x)
(4.55)
où fM est une distribution maxwellienne non perturbée et Ψ une fonction scalaire ne
−
dépendant que de →
x . L’équation d’évolution de la distribution s’écrit alors
→
−
−
→
−
−
F ext (→
x) →
→
−
→
−
→
−
−
−
v · �fM ( v )Ψ( x ) +
· � v fM (→
v )Ψ(→
x) = 0
m
→
−
−
→
− →
−
F ext (→
x) →
→
−
→
−
−
→
−
−
fM ( v ) v · �Ψ( x ) + Ψ( x )
· � v fM (→
v) = 0
m
(4.56)
(4.57)
Afin de simplifier cette expression, il suﬃt de se rappeler que la fonction fM est donnée
par (4.49), si bien que
−
→
−
m→
v
−
� v fM (→
v) = −
fM
(4.58)
kT
et l’équation (4.56) prend la forme
�
�
→
− →
→
−
1
→
−
→
−
−
→
−
→
−
fM ( v ) v · �Ψ( x ) −
Ψ( x ) F ext ( x ) = 0
(4.59)
kT
→
−
En substituant la force F ext par le gradient et en multipliant scalairement de part et
−
d’autre par le vecteur déplacement d→
x , on montre facilement que
−
dΨ(→
x)
1
−
= − dU (→
x)
→
−
kT
Ψ( x )
dont la solution vérifie
−
Ψ(→
x ) = Ce−
(4.60)
−
U (→
x)
kT
(4.61)
Si l’on suppose que la densité du système à l’équilibre en l’absence de forces extérieures
est donnée par l’équation (4.46), la constante C peut être choisie égale à l’unité, et la
distribution totale prend la forme
−
U (→
x)
→
m 3/2 − 1 ( m(v−u)2 +U (−
−
−
−
x ))
2
f (→
x,→
v ) = fM (→
v )e− kT = n(
) e kT
2πkT
(4.62)
La distribution est alors inhomogène et la densité des particules va dépendre de la coor−
donnée spatiale →
x . On trouve
−
U (→
x)
−
n(→
x ) = no e− kT
(4.63)
Dans le cas important d’une force électrique, ce potentiel représente le potentiel électro−
−
statique U (→
x ) = qΦ(→
x ). Lorsque nous voudrons étudier la répartition des particules en
présence d’un obstacle ou d’une charge, c’est cette distribution et cette densité dont il
faudra tenir compte.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 103
APPROCHE STATISTIQUE
4.3.2
Equilibre en présence d’une charge ponctuelle : comportement collectif
L’étude statistique simplifiée du paragraphe (6.3 ) nous a conduit à une inconsistance
matérialisée par la divergence, pour les petits angles de déflection χ ou, ce qui revient au
même, pour les grands paramètres d’impact b, des sections eﬃcaces de collision σ. Pour
résumer deux hypothèses sous-tendent ce type de calcul statistique :
– l’indépendance statistique de chaque particule chargée contenue dans le plasma (chaos
moléculaire)
– leur interaction par la force coulombienne comme si les particules étaient dans le vide.
Du fait de la ”portée infinie” des interactions coulombiennes dans le vide, il n’est pas
diﬃcile de se persuader que ces deux hypothèses sont contradictoires. Si la portée des
interactions est grande, les particules chargées sont ”informées” à distance de la présence
des autres et ne peuvent donc pas être considérées comme rigoureusement indépendantes.
Comme on l’a remarqué précédemment, la théorie est ”sauvée” si l’on introduit une distance minimale d’interaction (un paramètre d’impact maximal) au-delà duquel le potentiel
coulombien n’agit plus sur les autres particules du plasma. C’est cet eﬀet d’écrantage que
nous allons étudier maintenant.
L’écrantage de Debye
Les charges négatives sont attirées par les positives, et réciproquement. Ceci fait que,
statistiquement, toute charge dans un plasma a tendance à s’entourer d’un surplus de
charges de l’autre signe, formant autour d’elle ce que l’on appelle un nuage de Debye 34 . Il
est très important de bien comprendre que ce nuage n’est pas lié à une particule. Chaque
électron du nuage qui entoure un ion entre et sort du nuage en un temps très court, et
de même participe à une multitude de sphères de Debye diﬀérentes. C’est un phénomène
d’accumulation statistique et temporaire des charges qui crée cet écrantage de la charge
”centrale”.
Prenons un modèle simple, on suppose que les ions et les électrons sont distribués de
manière homogène et en densité égale no dans l’espace. Imaginons que nous introduisions
−
une particule (un ion par exemple) de charge e en →
r = 0 et que seuls les électrons
(population la plus mobile) réagissent à l’introduction de cette charge, sa densité devenant
n(r) = no + δn(r) 35 . Soit Φ le potentiel qui se réalise alors dans le plasma en présence de
cette densité de charge q(r) donnée par
−
q(r) = no e − (no + δn(r))e + eδ(→
r)
(4.64)
où le premier terme du membre de droite représente la densité des ions, le second celle des
électrons, et le troisième la charge ponctuelle introduite. L’équation de Poisson permet de
relier le potentiel Φ à la charge q(r), par la formule
∆Φ = −
q(r)
εo
(4.65)
Compte tenu de la symétrie sphérique du problème et de la quasi-neutralité du plasma,
il vient
1 d 2 dΦ
e
−
(r
) = − {δ(→
r ) − δn(r)}
(4.66)
2
r dr
dr
εo
34. En d’autres termes, nous sommes en face de corrélations de position entre les charges.
−
35. Par symétrie sphérique, il est aisé de voir que δn(r)ne dépend que du module de r = |→
r|
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APPROCHE STATISTIQUE
Φ(r)∼1/r
Φ(r)∼(1/r)exp(-r/λD)
Figure 4.7 – Représentation des deux types de potentiel électrique. (i) En trait plein
le potentiel d’une charge dans le vide et en trait pointillé, le potentiel de Debye-henkel
obtenu en présence de charges “neutralisantes”.
La formule de Boltzmann (4.63) nous donne une autre relation reliant le potentiel Φ à la
eΦ
densité des électrons. On a en eﬀet no + δn(r) = no e kTe si bien que l’équation (4.66) se
réécrit
�
eΦ
1 d 2 dΦ
e � →
−
kTe )
(r
)
=
−
δ(
r
)
−
n
(1
−
e
(4.67)
o
r2 dr
dr
εo
Cette équation est non linéaire et de résolution très diﬃcile, une façon simple de procéder
consiste à linéariser le terme de droite en faisant l’hypothèse supplémentaire qui sera
−
vérifiée a-posteriori que kTe >> eΦ. D’autre part, nous allons éviter la position →
r =0
→
−
36
pour ne pas faire diverger cette équation . Alors, pour r �= 0, nous trouvons
1 d 2 dΦ
no e 2
1
(r
)
=
−
Φ=− 2 Φ
2
r dr
dr
εo kTe
λD
(4.68)
où λD est appelée longueur de Debye 37 . Cette longueur représente la taille typique du
nuage d’écrantage de Debye. La solution de l’équation (4.68) qui s’annule à l’infini et est
asymptote au potentiel coulombien (e/4πεo r) lorsque r −→ 0 est :
Φ(r) =
e
− r
e λD
4πεo r
(4.69)
Le facteur exponentiel représente l’écrantage de l’ion par son ”nuage statistique” d’électrons.
Ce potentiel de Debye-Henkel a été proposé pour la première fois en 1923 à propos des
électrolytes forts. La longueur d’écrantage est appelée longueur de Debye. C’est l’ordre
de grandeur de la distance sur laquelle le plasma est susceptible de présenter des écarts
à la neutralité électrique. C’est aussi la portée eﬀective de l’action électrique de toute
−
36. A la position →
r = 0 se trouve la charge test que nous avons introduite, les particules étant supposées
être des sphères dures sans structure interne, il est légitime d’imaginer qu’aucun électron ne peut parvenir
jusqu’à cette position qui, de ce fait, peut être exclue de notre calcul.
37. Nous avions déjà déterminé sa valeur dans l’introduction par une autre méthode, voir équation
(1.7).
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APPROCHE STATISTIQUE
particule chargée dans un plasma. Il est intéressant de souligner que le potentiel de l’ion
à la distance λD est encore le tiers de sa valeur en l’absence des électrons. L’écrantage ne
peut être considéré comme vraiment eﬃcace que si le potentiel coulombien est divisé par
10, soit une distance d’environ 2.3λD . On a pris l’habitude d’utiliser systématiquement
la coupure à λD ce qui a l’avantage de la simplicité et n’est pas trop pénalisant pour la
grande majorité des plasmas 38 . Le caractère fort ou faible de l’interaction électrique entre
particules chargées peut être apprécié suivant la valeur du rapport
Γ=
q2
4πεo dkT
(4.71)
représentant le rapport entre l’énergie potentielle et l’énergie cinétique. On parle alors de
paramètre de couplage Γ avec d la distance moyenne entre particules, définie par
4
πnd3 = 1
3
La relation (4.71) devient
4
n1/3 q 2
4
1
1
Γ = ( π)1/3
= ( π)1/3
3 2/3
3
4πεo kT
3
4π (nλD )
(4.72)
On remarque que les plasmas collectifs (no λ3D >> 1) sont donc aussi faiblement couplés.
C’est-à-dire que l’énergie thermique reste toujours très supérieure à l’énergie potentielle
due à l’interaction électrostatique.
De la même façon, le paramètre d’impact critique bo utilisé dans la section (6.1) peut être
écrit
bo
1 q2 1
1
∼
=
<< 1
(4.73)
λD
4πεo kT λD
4π(nλ3D )
On a bo << λD dans un plasma faiblement couplé, ce qui fait que la plupart des collisions
entre particules qui ne sont pas totalement supprimées par l’eﬀet d’écran sont néanmoins
faibles, et la déviation associée petite. Par contre, les interactions sont à tout moment
nombreuses.
38. Notre description de la distribution électrique des charges par un ”fluide continu” (introduction de
la densité n) n’a de sens que si le nombre des particules dans une sphère de Debye est important.
On doit donc avoir la condition no λ3D >> 1.
Cette condition permet de vérifier la validité de l’hypothèse de linéarisation utilisée. En eﬀet, le
rapport qΦ/kT en r = λD s’écrit sous la forme
�
�
qΦ
q2
= e−1
(4.70)
kT r=λD
4πεo λD kT
En reprenant l’expression de la longueur de Debye, on remarque que
q2
1
=
εo kT
nλ2D
si bien que l’équation (4.70) se réécrit
�
qΦ
kT
�
= e−1
r=λD
1
<< 1
4πnλ3D
La condition no λ3D >> 1 implique donc nécessairement qΦ/kT << 1. On parle de plasmas collectifs ou
faiblement couplés (sous-entendu par l’interaction électrique).
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Page 106
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
APPROCHE STATISTIQUE
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5.
L’approche fluide
Sommaire
5.1
Equations fluides : la théorie multi-fluides . . . . . . . .
5.1.1 Valeurs moyennes : notion de flux . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Application à l’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Equations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3.1 Equation de conservation de la masse . . . . . .
5.1.3.2 Equation de conservation de l’impulsion . . . . .
5.1.4 Notion de pression cinétique : un tenseur d’ordre 2 . . . .
5.1.4.1 Concept de la pression . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4.2 Approximations courantes du terme de pression
5.1.5 Equation de conservation de l’énergie : moment d’ordre 3
5.1.5.1 Approximation adiabatique . . . . . . . . . . . .
5.1.6 Relations de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Comparaison approche particulaire et approche fluide .
5.2.1 Dérive diamagnétique : aspect fluide . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Dérive diamagnétique : aspect statistique . . . . . . . . .
5.2.3 Dérive due au gradient de B . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Le modèle mono-fluide : la M agnétoH ydroDynamique .
5.3.1 Hypothèse des variations lentes . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1.1 Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1.2 Equation de la dynamique . . . . . . . . . . . . .
5.3.1.3 Loi d’Ohm généralisée . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 La MHD non idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 La MHD idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.1 Théorème de conservation du flux magnétique .
5.3.3.2 Le théorème du gel . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 La pression magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.1 Pression et tension magnétique . . . . . . . . . .
5.3.4.2 Confinement du plasma . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4.3 Le ”β” du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Validité de la magnétohydrodynamique . . . . . . . . . .
.
.
.
.
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108
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110
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116
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117
118
119
121
122
123
125
128
128
130
130
130
132
135
135
137
138
139
140
141
141
Les phénomènes relevant de la magnétohydrodynamique sont décrits par un système
d’équations constitué de la réunion des équations de l’hydrodynamique et des équations
de Maxwell. En eﬀet, un plasma est un ensemble de particules que l’on peut décrire sous
la forme d’un fluide mais dont l’ionisation est significative. Mouvement et énergie thermique sont donc aﬀectés par les champs électromagnétiques qui à leur tour de manière
auto-cohérente modifient le mouvement et l’énergie du système. Ce couplage nécessite
donc l’utilisation simultanée de ces équations afin de fermer le système.
Il est intéressant dans un premier temps d’expliciter le terme même de Magnétohydrodynamique. Ce mot est la somme de deux termes, Magnéto et hydrodynamique dont la
107
Page 108
L’APPROCHE FLUIDE
juxtaposition résume le champ d’investigation de cette théorie. Elle concerne l’étude de
la dynamique des fluides conducteurs en présence de champs magnétiques et permet de
décrire le plasma comme une collection de particules en terme de moyenne sur de petits
volumes dans l’espace des phases. Les quantités physiques obtenues de cette manière
(densité, température, pression, etc...) sont gouvernées par les lois de conservation de
base que sont la conservation de la masse, de l’impulsion et de l’énergie. De cette façon, si
les eﬀets des champs électromagnétiques sont négligeables, les équations fluides décrivant
la dynamique des processus physiques sont les équations de l’hydrodynamique. Dans
le cas d’un plasma, ceci n’est usuellement pas possible et il faut inclure leurs eﬀets de
manière auto-cohérente en résolvant simultanément les équations du mouvement et celles
→
− →
−
décrivant l’évolution des champs E , B . 1
5.1
Equations fluides : la théorie multi-fluides
A part le fait d’avoir négligé les collisions proches, l’équation de Vlasov qui a été déterminée à la section (4.1.5) est une description exacte du plasma. En prenant les diﬀérents
−
−
moments en vitesse de cette équation dans l’espace (→
x,→
v , t), on peut donc obtenir une
→
−
succession d’équations dans l’espace ( x , t) qui représentent la théorie multi-fluide dont
la MHD est une approximation. L’idée sous-jacente derrière cette méthode est relative−
−
ment simple. La fonction de distribution fα (→
x,→
v , t) est une fonction de l’espace, des
vitesses et du temps. Or les quantités macroscopiques que sont la densité n, la vitesse
−
moyenne →
u , la température T , etc... ne dépendent plus de la vitesse mais seulement de
la position et du temps. Il est donc naturel d’intégrer cette distribution sur l’espace des
vitesses pour obtenir les diﬀérentes quantités physiques qui nous intéressent. En fait, il
n’est pas nécessaire de résoudre l’équation de Vlasov (ou de Boltzmann) pour une fonction
de distribution particulière afin de déterminer les variables macroscopiques intéressantes.
Les équations diﬀérentielles décrivant l’évolution spatio-temporelle de ces variables macroscopiques peuvent être obtenues directement à partir des équations (4.20) ou (4.17). Ces
équations sont connues sous le nom d’équations macroscopiques de transport dont la solution donne directement, sous certaines conditions, les variables macroscopiques fluides.
Cette approche, si elle a le mérite d’établir une relation directe entre particules d’une
part et les variables macroscopiques d’autre part, ne sera abordée que brièvement dans ce
cours faute de temps et de place.
5.1.1
Valeurs moyennes : notion de flux
Avant d’aller plus loin, il est intéressant de revenir brièvement sur la notion de valeur
moyenne que nous allons utiliser dans cette approche statistique. Toute les variables
macroscopiques, telle la densité, la vitesse moyenne, la pression, le flux d’énergie thermique, etc... peuvent être considérées comme des valeurs moyennées de certaines quantités physiques. En d’autres termes, à chaque particule du plasma, on peut associer une
−
−
propriété de la forme χ(→
x,→
v , t) qui est en général fonction de la position de la particule
→
−
→
−
x , de sa vitesse v et du temps t. Pour calculer sa valeur moyenne, il suﬃt donc d’intégrer
−
la fonction χ sur le nombre de particules dans l’élément de volume d→
v et de diviser par
le nombre de particules se trouvant à l’instant t dans ce volume. Pour une espèce α, on
1. Il est à noter que le terme magnéto souligne l’importance du champ magnétique par rapport au
champ électrique dans les équations de la MHD, voir paragraphe (1.2).
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Page 109
L’APPROCHE FLUIDE
dS
n
v
v dt
(n.v)dt
Figure 5.1: élément de volume balayé pendant l’intervalle de temps dt à la vitesse �v
a donc la relation :
�
−
−
−
−
−
χ(→
x,→
v , t)fα (→
x,→
v , t)d3 →
v
→
−
δv
�
< χ( x , t) >α =
→
−
→
−
→
−
3
f ( x , v , t)d v
δv α
�
1
−
−
−
−
−
=
χ(→
x,→
v , t)fα (→
x,→
v , t)d3 →
v
→
−
nα ( x , t) δv
(5.1)
−
cette valeur moyenne est indépendante de la vitesse →
v et ne dépend que de la position et
du temps.
Le concept de fonction de distribution peut donc introduire de nombreuses variables
physiques sous forme de valeurs moyennes. Les variables macroscopiques que sont la
densité de courant (flux de particules), la pression ou le flux d’énergie, entraîne en fait
le calcul d’un flux sur certaines quantités physiques χ. Ce flux est défini comme étant
→
−
la quantité χ transporté à travers une surface donnée d S par unité de surface et par
unité de temps. Dans le cas d’une distribution en vitesse isotrope, le flux est indépendant
de l’orientation de cet élément de surface dans l’espace; dans le cas contraire, qui est le
plus usuel, le flux dépend de cette orientation, si bien que cette surface doit être orientée
→
−
−
−
suivant une direction spécifiée par un vecteur unitaire →
n , normal à dS, d S = dS →
n 2.
Les particules de l’espèce α du plasma, sous l’action de leurs vitesses, vont donc traverser
→
−
−
−
l’élément de surface d S en emportant la propriété χ(→
x,→
v , t) avec elles. Il faut donc,
tout d’abord, calculer le nombre total de particules traversant cette surface par unité de
temps.
−
−
−
Les particules avec une vitesse comprises entre →
v et →
v + d→
v traversent l’élément de
→
−
surface d S entre les instants t et t + dt si elles se trouvent dans l’élément de volume d3 V ,
→
− −
−
−
défini par la figure (5.1) et qui s’écrit d3 V = d S · →
v dt = dSdt→
n ·→
v.
−
−
Par définition de la fonction de distribution f (→
x,→
v , t) de l’espèce α, le nombre de
α
particules se trouvant dans le volume d3 V est égal à
→
− −
−
−
−
−
−
−
−
fα (→
x,→
v , t)d3 →
x d3 →
v = fα (→
x,→
v , t)dSdt(→
n · v)d3 →
v
(5.2)
→
−
−
−
si bien que la quantité totale χ(→
x,→
v , t) transportée à travers la surface d S pendant
l’intervalle de temps dt est obtenue en multipliant par le nombre total de particules du
2. L’orientation de cette surface est donnée par convention par la règle du trièdre direct (bonhomme
d’Ampère, règle du tire-bouchon, règle de la main droite), où le sens de circulation sur le périmètre donne
la direction d’orientation.
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Page 110
L’APPROCHE FLUIDE
volume d3 V et en intégrant le résultat sur toutes les vitesses possibles.
�
→
− −
−
−
−
−
−
χ(→
x,→
v , t)fα (→
x,→
v , t)(→
n · v)d3 →
v dSdt
(5.3)
δv
Il est à noter que les contributions de toutes les directions possibles du vecteur vitesse
→
−
à travers d S sont prises en compte dans l’intégration. Ceci a pour conséquence que
→
−
−
−
lors de la traversée de d S dans une direction telle que →
n ·→
v est positif, cela donne
→
−
une contribution positive au flux dans la direction de n . A l’inverse, toute contribution
−
−
telle que →
n ·→
v est négatif est comptabilisé négativement dans le flux total. La quantité
−
−
χ(→
x,→
v , t) transportée par les particules d’espèce α par unité de surface et par unité de
−
temps représente donc le flux total de cette quantité dans la direction de →
n notée Φαn (χ)
dont l’expression est :
�
→
−
−
−
−
−
−
−
Φαn (χ) =
χ(→
x,→
v , t)(→
n · v)fα (→
x,→
v , t)d3 →
v
δv
→
−
−
−
−
−
= nα (→
x , t) < χ(→
x,→
v , t)(→
n · v) >α = nα < χvn >α
(5.4)
−
avec vn , la composante du vecteur vitesse le long de la direction donnée par →
n.
Dans le cas où la quantité χ est un vecteur, le flux est représenté par un tenseur de la
←
→
−
−
forme Φ α (χ) = nα < →
χ ⊗→
v >α (voir annexe pour un rappel succinct sur les tenseurs),
chaque moment supérieur de la fonction χ donnera donc un tenseur d’un ordre supérieur.
La notion de flux est en fait très importante car c’est elle qui va permettre
de retrouver toutes les équations décrivant l’évolution des quantités macroscopiques physiques, et ce, uniquement en postulant la conservation du flux
à travers une surface fermée. C’est pour cette raison que l’on parle d’équations de
transport qui ne décrivent finalement que l’évolution (le transport) de certaines quantités
à travers une surface quelconque.
5.1.2
Application à l’équation de Vlasov
Afin de ne pas trop alourdir les calculs à eﬀectuer pour déterminer les diﬀérents moments
de la fonction de distribution, nous utiliserons l’équation de Vlasov et donc supposerons
dans le reste de ce chapitre que les collisions proches n’existent pas ou sont tout du moins
négligeables.
Pour déterminer ces diﬀérents moments de la fonction de distribution f , on définit une
−
propriété physique des particules du plasma χ(→
v ) qui peut être fonction de la vitesse.
Puisque l’on sait que la valeur moyenne de cette fonction est obtenue en multipliant la
fonction f par la valeur χ, en intégrant le produit sur tout le volume des vitesses et en
divisant ce résultat par la densité n, l’équation diﬀérentielle gouvernant les variations
spatiales et temporelles de la valeur moyenne de χ peut être obtenue de manière similaire
en multipliant l’équation de Vlasov par la fonction χ et en intégrant le résultat sur tout
l’espace des vitesses.
−
Comme indiqué, on multiplie chaque terme de l’équation (4.20) par χ(→
v ) et on intègre
l’équation résultante sur tout l’espace des vitesses, on obtient alors :
�
�
�
→
−
→
−
∂fα 3 →
−
→
−
−
−
−
3→
χ
d v + χ v · � x f α d v + χ→
γ · � v fα d3 →
v =0
∂t
v
v
v
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(5.5)
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 111
L’APPROCHE FLUIDE
−
où →
γ représente le vecteur accélération dû à la force de Lorentz à partir des champs
−
−
électromagnétiques moyens et fα ≡ fα (→
x,→
v , t), la fonction de distribution de l’espèce α.
Afin d’évaluer cette équation, nous allons procéder terme à terme.
1. Le premier terme peut être écrit sous la forme
��
� �
�
∂fα 3 →
∂
∂χ −
−
−
3→
χ
d v =
χfα d v − fα d3 →
v
∂t
∂t
∂t
v
v
v
(5.6)
Les limites d’intégration ne dépendant ni de l’espace, ni du temps, la dérivée temporelle peut donc être déplacée à l’intérieur de l’intégration. Le dernier terme de
l’équation (5.6) est égal à 0 puisque la fonction χ n’est fonction que de la vitesse
et ne dépend pas explicitement du temps. En utilisant la définition de la valeur
moyenne 3 , on obtient :
�
∂fα 3 →
∂
χ
d−
v =
(nα �χ�α )
(5.8)
∂t
∂t
v
2. De la même façon, le second terme s’écrit sous la forme :
�
�
→
−
→
−
→
−
−
−
−
3→
χ v · � x fα d v = � x · →
v χfα d3 →
v
v
� �v
�
�→
→
− �
− − � 3→
→
−
−
3→
−
v · � x χ fα d v − χfα � x · →
v d−
v (5.9)
v
v
→
− −
−
−
Le terme � x · →
v donne zéro puisque les variables →
x, →
v et t sont indépendantes,
→
−
→
−
ainsi que � x χ, car χ( v ) ne dépend que de la vitesse. Il vient alors
�
�
→
−
→
−
→
− � � −� �
→
−
−
−
−
3→
χ v · � x fα d v = � x · →
v χfα d3 →
v = � x · n α χ→
v α
(5.10)
v
v
3. Pour le troisième terme, de manière similaire, on obtient :
�
�
→
−
→
−
−
−
→
−
−
3→
χ γ · � v fα d v =
� v · (χ→
γ fα ) d3 →
v
v
v�
�
�
�→
�
→
− � 3→
− →
−
−
→
−
−
− fα γ · � v χ d v − χfα � v · γ d3 →
v(5.11)
v
v
La dernière intégrale disparaît si l’on suppose que les composantes Fi des forces
s’appliquant sur notre système ne dépendent pas de la composante de vitesse correspondante vi , ce qui est eﬀectivement le cas pour la force de Lorentz. La première
intégrale du terme de droite consiste en une somme d’intégrales triples de la forme :
�
� � � +∞
→
−
∂
−
→
−
3→
� v · (χ γ fα ) d v =
(γx χfα ) dvx dvy dvz
v
−∞ ∂vx
� � � +∞
∂
+
(γy χfα ) dvx dvy dvz + · · · (5.12)
−∞ ∂vy
3. La valeur moyenne d’une quantité χ s’écrit par définition sous la forme
�
�
−
−
−
−
−
χ(→
x,→
v , t)fα (→
x,→
v , t)d3 →
v
1
→
−
−
−
−
−
−
< χ( x , t) >α = δv �
=
χ(→
x,→
v , t)fα (→
x,→
v , t)d3 →
v
→
−
→
−
−
→
−
3→
f
(
x
,
v
,
t)d
v
n
(
x
,
t)
α
α
δv
δv
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(5.7)
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 112
L’APPROCHE FLUIDE
Pour chacune de ces intégrales, nous avons le résultat :
� � � +∞
� � +∞
∂
(γx χfα ) dvx dvy dvz =
dvy dvz [γx χfα ]+∞
−∞ = 0
−∞ ∂vx
−∞
(5.13)
puisque la fonction de distribution fα doit nécessairement tendre vers zéro lorsque
v devient infiniment grand 4 . Ce raisonnement étant identique pour chacune des
composantes de v, on trouve finalement
�
�
→
−
→
− �
−
→
−
→
−
3→
χ γ · � v fα d v = −nα γ · � v χ
(5.14)
v
α
En combinant les résultats ci-dessus, on obtient l’équation de transport générale,
�
� �
→
− � � →
→
− �
∂
−
→
−
(nα �χ�α ) + � x · nα χ v α − nα γ · � v χ = 0
(5.15)
∂t
α
5.1.3
Equations de conservation
Cette équation décrit donc l’évolution d’une quantité ne dépendant que de la vitesse (on
suppose que l’on se trouve dans un milieu homogène) sous l’action des forces moyennes
→
−
γ /m. En fait, au regard de l’équation d’origine (4.21), on s’aperçoit que cette équation
donnera les diﬀérentes quantités qui vont se conserver dans le temps (et dans l’espace des
−
phases). Chaque puissance de la fonction χ (→
v ) permet d’obtenir les diﬀérentes équations
de conservation bien connues dans l’approche fluide.
5.1.3.1
Equation de conservation de la masse
L’équation de continuité, ou équation de conservation de la masse pour l’espèce α se déduit
−
directement de (5.15) en prenant une fonction de la forme χ (→
v ) = mα , c’est-à-dire un
→
−
polynome en v d’ordre 0. On a alors les relations :
�χ�α = mα
� →
�
�− �
−
−
χ v α = mα →
v α = mα →
uα
→
−
→
−
� v χ = � v mα = 0
La substitution de ces résultats dans l’équation de transport générale (5.15) donne l’équation
de continuité bien connue :
→
−
∂
−
(ρmα ) + � x · (ρmα →
u α) = 0
∂t
(5.16)
où ρmα = nα mα représente la densité de masse. Dans le cas où l’on dérive cette équation
par mα , on trouve la conservation de la densité de particules nα et en la multipliant par
le facteur qα /mα , l’équation de la conservation de la charge :
→
− �→
− �
∂
(ρα ) + � x · J α = 0
(5.17)
∂t
→
−
−
avec ρα = qα nα (la densité de charge) et J α = ρα →
u α (la densité de courant). Cette
équation est donc la forme la plus simple de “conservation” que l’on peut avoir.
4. En fait, pour que cette relation soit valable, il faut que la fonction de distribution utilisée tende vers
zéro plus vite que n’importe quelle puissance de v, ce qui est le cas par exemple pour une Maxwellienne.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
L’APPROCHE FLUIDE
5.1.3.2
Page 113
Equation de conservation de l’impulsion
−
−
En prenant le moment d’ordre supérieur χ (→
v ) = mα →
v , on obtient de même l’équation
de conservation de l’impulsion. Après quelques calculs fastidieux que nous ne détaillerons
pas ici, on trouve
� →
�
−→ →
→
− �→
−
∂−
u α �→
−
−
→
ρmα
+ u α · � x u α = nα �F � − � x · ←
pα
(5.18)
∂t
�→
−→
− →
→
−�
−
avec �F � = qα E + u α × B
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 114
L’APPROCHE FLUIDE
→
− →
−
où E et B représentent les champs moyens vus par les particules de l’espèce α 5 . Physiquement, cette équation ne fait que traduire l’accroissement de l’impulsion d’un élément fluide
sous l’action conjuguée des forces électromagnétiques appliquées au fluide et des forces de
→
pression et de déchirement (viscosité) représenté par le tenseur des contraintes ←
p α . Cette
équation établit la condition nécessaire pour obtenir la conservation de l’impulsion. On
voit que les équations d’évolution des diﬀérents moments deviennent rapidement de plus
en plus compliquées au fur et à mesure que l’ordre augmente. Afin de ne pas alourdir ce
cours, on ne montrera pas les ordres suivants, ces premiers calculs faisant déjà apparaître
les diﬃcultés auxquelles on sera invariablement confronté avec cette équation de transport
5. L’introduction du concept de petit volume spatial inhérent à la ”particule fluide” permet d’introduire
une deuxième approche pour la description du mouvement. Jusqu’ici nous avons, en particulier dans
l’approche particulaire, utilisée la représentation lagrangienne où l’on envisage la dynamique des
particules de manière discrètes et où l’on restitue leur trajectoires en fonction de l’espace et du temps.
Les équations du mouvement sont alors écrites pour une particule discrète dont l’identité est fixée.
A l’opposée, la représentation eulérienne suit les variations dans le temps des caractéristiques du
milieu en des points fixes de l’espace. On s’intéresse par exemple, à l’évolution de la masse volumique, de
la pression ou de la vitesse en un point (petit volume !) du milieu. Cette représentation s’avère la plus
commode en mécanique des fluides et sera donc systématiquement utilisée dans ce chapitre.
Bien que ces deux approches soient équivalentes, elles sous-tendent une représentation totalement
diﬀérente de l’espace et de la matière qui peut être brièvement résumée comme suit :
- la représentation lagrangienne : cette représentation est mieux adaptée à l’étude des particules
”discrètes” et permet une définition rigoureuse de certaines variables comme la vitesse ou l’accélération
d’une particule. En particulier, on suit une particule fluide au cours de son mouvement, en spécifiant sa
−
position →
r o à l’instant référence donné to . Si l’on prend la description imagée d’une rivière qui s’écoule,
ce point de vue est celui d’un observateur sur une barque entraînée par le courant : la vitesse de la barque
→
−
représente la vitesse lagrangienne. Les variables lagrangiennes sont donc le déplacement ξ et la vitesse
→
−
v tels que :
−
∂ξ(→
r o , t)
−
−
−
ξ(→
r o , t) et →
v (→
r o , t) =
∂t
−
où ∂/∂t désigne la dérivée à →
r o constant, c’est-à-dire la dérivée en suivant un globule de matière.
L’avantage de cette description réside dans la simplicité de l’écriture du principe fondamental de la
dynamique que l’on écrit sous une forme compacte
−
d→
v
dt
→
− −
∂ 2 ξ (→
r o , t)
m
∂t2
m
=
=
−
→
−
∂→
v
=F
∂t
→
−
→
− →
F (−
r o + ξ , t)
m
Son principal inconvénient réside dans le fait que les équations de Maxwell s’expriment en fonction de
termes sources correspondant à une description eulérienne.
- la représentation eulérienne : Cette approche ne s’attache pas à l’identité de chaque particule
fluide mais à l’identité de chaque point de l’espace dans lequel est plongé le fluide. Pour reprendre l’image
de la rivière, ce point de vue est celui d’un observateur qui se trouve sur un pont et qui regarde s’écouler
la rivière sous ses yeux. Les particules de fluide qui défilent sont diﬀérentes à chaque instant.
Ces deux représentations d’une même réalité peuvent être aisément reconciliées. A l’instant t, la
position et la vitesse eulérienne d’une particule fluide lagrangienne est donnée par
→
−
r
=
→
−
−
v (→
r , t)
=
→
− −
→
−
r o + ξ (→
r o , t)
→
− −
→
− −
∂ ξ (→
r o , t)
→
−
−
v (→
r o + ξ (→
r o , t), t) =
∂t
On en déduit les variations totales subies par une variable f quelconque (scalaire ou vectorielle). On a
� �
∂f
∂t ∂f
∂x ∂f
∂y ∂f
∂z ∂f
=
+
+
+
∂t →
∂t
∂t
∂t
∂x
∂t
∂y
∂t ∂z
−
ro
=
→
−
∂f
−
+ (→
v · ∇)f
∂t
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
L’APPROCHE FLUIDE
Page 115
:
−
– Par le simple fait que la vitesse →
v est un vecteur de dimension 3, le moment d’ordre zéro
(la densité) est un scalaire, le premier moment (l’impulsion) est un vecteur, le second
(la pression) est un tenseur d’ordre 2 (matrice 3 x 3), le troisième un tenseur d’ordre
3 (matrice 3 x 3 x3), etc... La pression ne peut donc pas être assimilée à un scalaire
de manière intuitive. On ne pourra pas admettre sans justification que celle-ci puisse
être assimilée à un scalaire, comme on le fait en thermodynamique. Cela ne pourra
être qu’une approximation en fait diﬃcilement justifiable dans le cas des plasmas sans
collision.
– Le système infini des équations fluides se déduit rigoureusement de l’équation cinétique
et ne suppose aucune approximation supplémentaire : chaque équation de transport est
aussi exacte que l’équation cinétique d’où elle est tirée. Néanmoins, chaque moment
fait apparaître dans son expression le moment d’ordre supérieur. L’ordre 0 (la densité)
fait intervenir le moment d’ordre 1 (l’impulsion, en fait la vitesse en non relativiste),
l’ordre 1 fait intervenir le moment d’ordre 2 (la pression), l’ordre 2 nécessite le calcul de
l’ordre 3 (l’énergie), etc ... Cette hiérarchie infinie doit donc être arrêtée pour obtenir un
système fini d’équations manipulables. Les hypothèses faites aboutiront à une équation
de fermeture où se situeront toutes les approximations que l’on retrouve dans l’approche
fluide.
Il est à noté que cette équation a été obtenue à partir de l’équation cinétique de Vlasov
donc sans terme collisionnel (ceci afin de simplifier les calculs), l’apport des collisions
peut se traduire dans cette équation par l’adjonction d’un terme phénoménologique de
→
−
−
−
la forme F α→β = nα mα ναβ (→
uα−→
u β ) où ναβ est la fréquence de collision entre l’espèce
α et l’espèce β. La simplicité apparente de cette expression ne doit pas nous induire en
erreur, toute la diﬃculté (et donc les calculs) a été “déplacée” dans l’expression de ναβ
dont la détermination est très dépendante de la configuration du système et des propriétés
microscopiques du plasma étudié. Dans cette introduction, nous nous garderons bien de
rentrer dans le détail de cette détermination et utiliseront seulement l’expression générale
ναβ . En reportant cette force dans l’équation (5.18), on trouve l’équation de conservation
de l’impulsion “généralisée”.
� →
�
�→
→
− �→
−
− −
→
−� →
→
−
∂−
u α �→
−
−
→
ρmα
+ u α · � x u α = n α qα E + →
u α × B − �x · ←
p α + F β→α
∂t
5.1.4
Notion de pression cinétique : un tenseur d’ordre 2
La notion de pression utilisée habituellement vient directement de l’approche thermodynamique qui se trouve être une approximation, valable que dans certaines situations
précises (en fait, dans tout fluide collisionnel). Dans le cas des plasmas, il est nécessaire
−
Nous avons considéré comme lagrangienne les variables →
r o qui sont les coordonnées de la position initiale.
On aurait pu employer toute variable qui ne varie pas en suivant une particule fluide.
Pour finir, il est utile d’expliciter la signification des deux termes de l’équation ci-dessus. Si l’on
reprend l’exemple simple d’un voyageur se trouvant dans une barque entraînée par le courant qui
s’intéresse, par exemple, à la densité de troncs d’arbres charriés par le courant. Lors de son périple,
il va voir cette quantité f varier sous l’eﬀet de deux termes :
- Le voyageur voit la densité de troncs augmenter autour de lui, au fur et à mesure qu’il s’approche
→
−
−
d’une zone où le courant ralentit. C’est le terme convectif (→
v · ∇)f.
- Dans le même temps, la barque a ralenti, voire s’est arrêtée, et le voyageur immobile peut voir
les troncs s’empiler autour de lui, au fur et à mesure, qu’ils arrivent dans cette zone. C’est le terme
stationnaire ∂f /∂t.
L’accroissement total de la densité des troncs d’arbre autour de la barque est donc bien la somme de
ces deux contributions distinctes, comme explicité par la dérivée eulérienne ci-dessus.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 116
L’APPROCHE FLUIDE
d’introduire un raﬃnement supplémentaire et donc de redéfinir ce que l’on entend par
pression cinétique.
5.1.4.1
Concept de la pression
La pression est usuellement définie comme étant la force par unité de surface exercée
par les particules d’un gaz à travers les collisions qu’elles font avec les murs d’enceinte.
Cette force traduit donc le taux de transfert d’impulsion vers les murs d’enceinte. Cette
définition s’applique aussi à toute surface immergée dans un gaz et donc par généralisation
→
−
−
−
à une surface virtuelle d S , se déplaçant à une vitesse moyenne →
u (→
x , t). La pression sur
cet élément de surface est alors définie comme étant le taux de transfert de l’impulsion des
particules par unité de surface et par unité de temps, c’est-à-dire le flux d’impulsion
→
−
−c des particules (cette surface virtuelle se
à travers d S dû aux mouvements aléatoires →
α
déplace à la vitesse du gaz ambiant !). Dans le cas d’un gaz possédant plusieurs espèces
de particule, on parlera de pression partielle définie à partir de la pression de chaque type
de population α. Dans le référentiel de l’élément de surface, la pression est donc de la
→
−c ⊗ →
−c >. Dans la suite, nous omettrons l’indice α pour ne pas
forme ←
p α = ρmα < →
α
α
alourdir les expressions obtenues.
−c , on
Cette expression est donc un tenseur qui ne fait apparaître que la vitesse aléatoire →
→
−
→
−
→
−
→
−
dit qu’il est “centré” < ( v - u ) ⊗ ( v − u ) > . La pression ne prend en compte que les
diﬀérences de vitesse par rapport à la vitesse moyenne fluide, et est donc indépendante
du repère.
→
Le tenseur ←
p est ce que l’on appelle aussi dans d’autres contextes 6 le tenseur des
contraintes dont l’expression sous forme de scalaire (utilisée dans les équations fluides)
repose sur de nombreuses hypothèses dont il faudra tenir compte pour ne pas commettre
de graves contresens.
5.1.4.2
Approximations courantes du terme de pression
Le tenseur des contraintes peut donc être séparé en deux parties distinctes, (i) une partie
décrivant la pression et (ii) l’autre décrivant les eﬀets de cisaillement (appelés viscosité)
que l’on écrit usuellement sous la forme
←
→ →
←
→
p =p δ −←
π
(5.19)
←
→
→
où δ est le tenseur unitaire purement diagonal et ←
π le tenseur de viscosité ne contenant
que des termes hors diagonale. Il est à noter que l’approximation faite dans l’approche
→
fluide est d’identifier le terme de pression 7 , non pas à 1/3T r[←
p ] (1/3 de la trace du tenseur
6. dans l’approche fluide, par exemple !!
7. Cette notion de pression cinétique (trace du tenseur de pression) permet d’introduire la définition
d’une température cinétique sous la forme
�
m
−
−
−
−
−
−
T =
(→
v −→
u ) ⊗ (→
v −→
u )f (→
v )d3 →
v
3kB n
C’est une définition dont le calcul est indépendant de la distribution des particules. En particulier, il n’est
pas nécessaire d’admettre une vraie température au sens thermodynamique du terme ce qui imposerait
d’avoir un système à l’équilibre thermodynamique local. Cette température n’est en fait qu’une mesure
de la diﬀusion en vitesse des particules autour de leur valeur moyenne. Elle a de plus l’avantage de
permettre d’appliquer la notion de température à chaque composante du plasma prise individuellement.
Cette température cinétique peut donc diﬀérer d’une population à l’autre, ce qui est souvent le cas
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Page 117
L’APPROCHE FLUIDE
←
→
p ) mais bien plutôt à la pression thermodynamique découlant directement du concept
d’équilibre thermodynamique local. Cet équilibre doit donc pouvoir être réalisé au moins
le long des degrés de liberté de translation (donc normal aux surfaces), là où s’applique
la pression. Si l’hypothèse d’équilibre thermodynamique local ne peut être faite pour les
degrés de liberté translationnels, on doit généralement abandonner l’approche fluide et
revenir à une description cinétique du plasma.
Dans le cas d’une fonction de distribution totalement isotrope, le flux d’impulsion
→
−
−
→
résultant est toujours colinéaire au vecteur normal →
n , et l’on peut écrire alors ←
p ·dS =
→
−
←
→
→
pd S , ainsi le tenseur de pression se réduit simplement à une pression scalaire ←
p =pI ,
comme on en a l’habitude en thermodynamique. Dans un plasma collisionnel, dont l’état
d’équilibre en milieu homogène est une fonction de distribution Maxwellienne isotrope, ce
sont les inhomogénéités du milieu qui peuvent créer une anisotropie de cette fonction de
distribution, inhomogénéités qui restent très faibles et sont responsables des termes de
→
“viscosité” du tenseur des contraintes ←
p.
Dans le cas d’un plasma sans collision, cette approximation (pression scalaire) est diﬃcilement justifiable. Néanmoins, par mesure de simplification et suivant le degré d’exactitude
espéré, on utilisera ce type de pression dans les équations fluides principalement sous deux
formes :
1. Pression anisotrope : Dans tous les cas pratiques, on utilisera un tenseur de pression diagonal dans un repère lié au champ magnétique. Ceci repose sur l’hypothèse
de symétrie de la fonction de distribution autour du champ B. Pour les mêmes
raisons les deux termes perpendiculaires au champ B sont supposés égaux, mais
peuvent être diﬀérents du terme de pression parallèle


p⊥ 0 0
←
→
p =  0 p⊥ 0 
(5.20)
0 0 p�
où on a supposé que le champ magnétique Bo se trouve le long de l’axe des z.
2. Pression isotrope : On se contente souvent d’une hypothèse encore plus simple,
celle de l’isotropie. Bien que cette hypothèse soit diﬃcile à justifier sur le plan
théorique, l’expérience montre que des fonctions de distribution trop éloignées de
l’isotropie sont souvent instables et donc que même en l’absence de collisions, un
plasma ne s’éloigne souvent pas trop de cette configuration.


p 0 0
←
→
p = 0 p 0 
(5.21)
0 0 p
Chacune de ces approximations s’utilisent avec des équations de fermeture bien distinctes
dont on présentera brièvement les formes les plus usuelles paragraphe (5.1.6).
5.1.5
Equation de conservation de l’énergie : moment d’ordre 3
−
Pour obtenir l’évolution de l’énergie du système étudié, il suﬃt de remplacer χ (→
v ) par
2
mα v /2 dans l’équation de transport (??). Après des calculs qui sans être compliqués sont
dans les plasmas non-collisionnels. D’autre part, on peut caractériser ainsi un plasma anisotrope en
définissant une température parallèle et une température perpendiculaire au champ magnétique et donc
un comportement plus réaliste que dans le cas maxwellien.
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Page 118
L’APPROCHE FLUIDE
néanmoins assez laborieux, on trouve une expression mettant en évidence les diﬀérents
termes contributifs au transport de l’énergie :
− −
→
− − →
− →
−
D 3p
3p →
→
( ) + ( )( ∇ · →
u ) + (←
p · ∇) · →
u +∇·Q =0
Dt 2
2
(5.22)
→
−
−
où D/Dt = ∂/∂t + →
u · ∇ représente la dérivée convective (fluide), 3p = ρm < c2 > (trace
→
−
→
du tenseur ←
p ) et Q un vecteur représentant le flux de chaleur dans le système, dont
la détermination demandera le calcul de l’équation de transport de moment supérieur,
nécessitant une équation de fermeture que l’on fait usuellement à ce niveau et dont nous
verrons quelques exemples. Les diﬀérents termes apparaissant dans cette équation (5.22)
ont une signification physique précise.
– Le premier terme représente la variation de la densité d’énergie thermique totale d’un
−
élément de volume V se déplaçant à une vitesse moyenne →
u . Les autres termes ne sont
que des eﬀets correctifs contribuant au changement global de l’énergie du système.
– Le second peut être interprété comme les variations de cette densité d’énergie sous
−
l’eﬀet des particules entrant et sortant de ce volume avec une vitesse →
u.
– Le troisième est relié au travail eﬀectué sur l’élément de volume par le tenseur de
pression cinétique.
– Enfin, le quatrième représente les variations de la densité d’énergie sous l’action du flux
de chaleur (quantité d’énergie qui sort ou rentre dans le volume par unité de temps
et qui ne peut être représenté par les moments inférieurs de l’équation de transport
générale.
Une fois de plus, si l’on prend en compte les collisions, le terme de droite n’est plus nul
mais fait apparaître la contribution des collisions sous une forme
→
−
u2
−
C = M − (→
u · F)+ S
2
où
m
M=
2
�
v
2
�
∂f
∂t
�
coll
−
d→
v
→
−
représente le changement d’énergie due aux collisions. F est la force due aux collisions
définie précédemment et enfin S est le termes décrivant les collisions inélastiques (induisant
création ou disparition des particules).
5.1.5.1
Approximation adiabatique
En prenant comme hypothèse que nous avons une transformation adiabatique (donc que
→
− →
−
le flux de chaleur est constant, ∇ · Q = 0), et que de plus, nous négligeons les collisions (terme C nul) alors cette expression se simplifie en prenant une pression scalaire
(heureusement c’est étudié pour !)
− −
→
− −
D 3p
3p →
( ) + ( )( ∇ · →
u ) + p( ∇ · →
u)=0
Dt 2
2
que l’on peut très facilement modifier en utilisant l’équation de continuité (5.16) sous la
forme
�
→
− �
→
− −
→
− −
∂
Dρmα
−
(ρmα ) + →
u α · � x ρmα + ρmα � x · →
uα =
+ ρmα � x · →
uα =0
∂t
Dt
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Page 119
L’APPROCHE FLUIDE
en remplaçant dans l’équation ci-dessus, on obtient finalement
DP
5 Dρmα
=
P
3 ρmα
qui après intégration donne l’expression bien connue
−5
−5
3
P ρmα3 = Po ρmαo
= cte
5.1.6
Relations de fermeture
A ce stade, il devient évident qu’une façon de fermer la hiérarchie des équations fluides
est de faire des hypothèses (même contraignantes) sur le moment d’ordre 3 qui représente
le flux de chaleur (le moment décrivant l’énergie). Cette façon de procéder est cohérente
principalement pour deux raisons :
1. Dans la majorité des cas, nous ferons l’hypothèse d’une fonction de distribution
Maxwellienne, hypothèse principale de l’approche fluide, qui est toujours
valable dans les milieux collisionnels (et pas toujours dans les autres !) et dont
l’expression mathématique
f (v) = √
(v−u)
n
2
e 2vth
2πvth
2
met clairement en évidence que seuls les trois premiers moments n, u et vth 8 sont
nécessaires à sa définition. Ceci explique pourquoi toutes les théories fluides (hydrodynamique, théorie des gaz, thermodynamique, ...) utilisées dans les milieux
collisionnels ne reposent que sur trois grandeurs macroscopiques : la densité, la
vitesse et la pression. Si bien que seuls ces trois moments doivent être déterminés
de manière auto-cohérente, les hypothèses de fermeture de la hiérarchie seront introduites aux moments supérieurs dont le premier est le flux de chaleur.
2. On montre aussi que, plus on prend en compte des ordres élevés, plus la correction
au premiers des moments de la fonction de distribution devient petite. Suivant les
cas, il devient alors assez simple de supposer que les moments d’ordre n > 2 ont
une importance physique négligeable et peuvent donc être introduit de façon ad hoc
sous une forme simpliste et même non physique.
Les relations de fermeture portent donc principalement sur le moment d’ordre 3 9 , c’est←
→
à-dire le flux de chaleur Q . On prendra usuellement cette quantité comme constante,
→
− ←
→
∇ · Q = 0. Ceci ne traduit, ni plus ni moins, que l’hypothèse adiabatique : hypothèse
qui se trouve vérifiée chaque fois que l’on a aﬀaire à des perturbations qui se propagent
parallèlement aux lignes de champ magnétique à des vitesses grandes par rapport aux
vitesses de toutes les particules. On se trouve dans le cas où il n’existe aucune particule ”résonnante”, c’est-à-dire aucun échange d’énergie entre ondes et particules. Dans
l’hypothèse inverse d’une propagation très lente, les particules ont le temps de ”s’adapter”
à la perturbation et ce sont plutôt des lois isothermes qu’il convient de prendre.
→
−c ⊗ →
−c > utilisée, il est clair que l’on a
8. Au vu de la définition de la pression cinétique ←
p = ρm < →
2
2
dans le cas d’une pression scalaire (isotrope), la relation usuelle p = nmvth
avec vth
égale à la trace du
tenseur de pression.
9. La relation de fermeture porte donc généralement sur l’équation d’énergie, ou équation d’état,
reliant la température à la densité et déterminant la façon dont l’énergie se ”propage” dans le système.
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Page 120
L’APPROCHE FLUIDE
L’équation d’état de fermeture que l’on utilise le plus souvent est donc l’équation adiabatique
pn−γ = cte
(5.23)
où γ = (2 + N )/N avec N le nombre de degrés de liberté du système. Cette équation est
très approximative. En particulier, elle ne tient aucun compte de l’anisotropie intrinsèque
→
−
du plasma du fait de l’existence d’un champ magnétique externe B o .
Cette équation peut donc être raﬃnée en remarquant que la propagation de la chaleur
dans le cas d’un plasma magnétisé peut être séparée en deux contributions indépendantes,
(i) une contribution le long des lignes de champ et (ii) une contribution perpendiculaire à
→
−
B . Ces équations sont connues sous le nom de doubles équations adiabatiques CGL
du nom de leurs auteurs Chew, Goldberger et Low (1956), et s’écrivent sous la forme
d p� B 2
(
) = 0
dt n3
d p⊥
(
) = 0
dt nB
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Page 121
L’APPROCHE FLUIDE
Ces lois 10 permettent dans le cas simple d’un plasma subissant une perturbation parallèle
→
−
au champ B de retrouver l’équation adiabatique (5.23) avec γ = 3 (un degré de liberté)
le long des lignes de champ et γ = 2 dans la direction perpendiculaire (deux degrés de
liberté). Ces lois sont néanmoins d’un maniement délicat et sont souvent remplacées par
des lois empiriques dites lois polytropes qui prennent la forme
d p�
(
) = 0
dt nγ�
d p⊥
(
) = 0
dt nγ⊥
où les coeﬃcients γ� et γ⊥ sont déterminés de façon phénoménologique afin de décrire
au mieux le plasma considéré (γ = 1 : isotherme, γ = 5/3 : adiabatique, γ = ∞ :
incompressible, ...).
5.2
Comparaison approche particulaire et approche fluide
Une rapide comparaison entre l’équation (3.1) de l’approche particulaire et de l’équation
(5.18) de l’approche fluide met en évidence des diﬀérences profondes entre les deux ap10. La démonstration de ces deux lois étant assez longue elle ne sera pas donnée dans cette introduction.
Un raccourci peut toutefois être obtenu grâce à l’utilisation des invariants adiabatiques. En eﬀet, la
pression perpendiculaire peut s’écrire sous la forme
2
p⊥ = nm < v⊥
>= 2n < µ > B
Si l’on suppose que nous nous trouvons dans les conditions où µ se conserve, alors nous obtenons directement
p⊥
= 2 < µ >= cte
nB
C’est-à-dire
d p⊥
(
)=0
dt nB
De la même façon, dans la direction parallèle au champ magnétique, nous avons les relations
p� = nm < v�2 >
avec pour le second invariant adiabatique J = 2v� L où L est la longueur caractéristique du système le
long des lignes de champ. On trouve
p� L 2
= J 2 = cte
nm
Cette longueur L peut être exprimée à l’aide des propriétés (n, B) du plasma. La conservation du flux
magnétique démontre que le produit BS est constant (BS = C1 ) où S est la section perpendiculaire aux
lignes de champ magnétique sur lequel s’appuie un volume V arbitraire. De la même façon, l’équation
de conservation des particules montre que nV = C2 avec V = SL. On trouve alors
L=
C2
C2 B
B
=
∝
nS
C1 n
n
Si bien que l’on peut réécrire l’expression du second invariant sous la forme
p�
nm
�
B
n
�2
= cte
où de manière diﬀérente
d p� B 2
(
)=0
dt n3
On reconnaît les doubles équations adiabatiques CGL. Bien que cette démonstration ne soit pas
tout à fait rigoureuse, elle a le mérite de la simplicité.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 122
L’APPROCHE FLUIDE
proches. En eﬀet, nous avons respectivement les équations suivantes :
approche particulaire
approche fluide
−
→
− − →
−
d→
v
� m
= q( E + →
v × B)
(5.24)
dt
� →
�
�
→
− �−
→
− ←
→
− − →
−
∂−
u
−
� mn
+ →
u · �x →
u = qn( E + →
u × B ) − � x (5.25)
· →
p
∂t
A part les diﬀérences liées à l’utilisation de l’approche eulérienne et lagrangienne dans le
calcul de l’accélération de la particule, nous voyons apparaître un terme supplémentaire
→
dans l’équation fluide en relation avec la pression ←
p , quantité macroscopique. La question
se pose alors de savoir si ce terme supplémentaire a le moindre impact sur la dynamique
des ”particules fluides”. Un élément de réponse peut être apporté en regardant l’existence
−
d’une vitesse de dérive →
v d liée à ce terme supplémentaire.
5.2.1
Dérive diamagnétique : aspect fluide
Afin de ne pas avoir de termes non linéaires à manipuler, nous allons faire l’hypothèse
que l’on se trouve à l’équilibre si bien que la somme des forces est nulle. Cette hypothèse
simplificatrice est justifiable dans les cas de mouvements très lents par rapport aux échelles
→
− −
−
caractéristiques du plasma. En eﬀet, dans ce cas le terme →
u · � x→
u est négligeable,
hypothèse que l’on pourra vérifier a-posteriori. Si l’on suppose de plus que les champs
électrique et magnétique sont uniformes, la pression scalaire et qu’il n’existe un gradient
que pour la densité n et la pression p, l’équation (5.25) se réécrit alors sous la forme
→
−
→
− −
→
−
qn( E + →
v d × B ) − � xp = 0
→
−
En prenant le produit vectoriel avec le champ B , on trouve
−
→
−
→
− →
−
→
−
→
−
1→
−
E × B + (→
v d × B) × B −
� xp × B = 0
qn
→
−
→
− →
−
→
−
E×B
1 � xp × B
→
−
vd=
−
B2
qn
B2
(5.26)
→
−
→
−
Cette vitesse de dérive montre une contribution E × B identique à celle obtenue dans
l’approche particulaire à laquelle s’ajoute une vitesse dépendant du gradient de pression
→
−
� x p. Cette nouvelle dérive, dite dérive diamagnétique, existe alors même que les centreguides restent immobiles. Elle dépend de la charge de la population considérée et induit
donc un courant diamagnétique qui ne peut être observé dans le cadre de l’approche
particulaire. Ce paradoxe peut être en partie élucidé si l’on se rappelle que dans l’approche
fluide les quantités physiques macroscopiques n, T , et P sont le résultat d’une moyenne
spatiale sur de petits volumes.
La figure (5.2) met en évidence l’origine de cette dérive diamagnétique comme une moyenne
−
non compensée des vitesses de gyration des particules se trouvant dans le volume d3 →
x et
qui aboutit à une vitesse moyenne non nulle de ce volume.
L’existence d’une dérive supplémentaire dans l’approche fluide démontre l’incompatibilité
intrinsèque entre ces deux approches. L’idée première serait de supposer que l’approche
fluide ignore certains aspects fondamentaux de la physique des plasmas et qu’elle ne peut
donc pas décrire correctement certains détails fins de la dynamique des particules. Cela
serait une erreur !! Dans son domaine de validité, l’approche fluide donne la même
réponse que l’approche particulaire. En particulier, si l’on désire calculer une quantité
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 123
L’APPROCHE FLUIDE
Figure 5.2: Mouvement de gyration des ions autour des lignes de champ en présence d’un
gradient de densité. Une moyenne dans le cadre noir montre une vitesse d’ensemble vers la
gauche alors même que les centre-guides restent immobiles.
fluide telle la densité de courant en utilisant l’approche particulaire, il est nécessaire non
seulement de tenir compte de la densité des centre-guides mais AUSSI de calculer la
contribution moyenne des particules dont le centre-guide se trouve à une distance de ρc
du volume étudié 11 .
Ce faisant, on peut alors démontrer que les deux approches se réconcilient et donnent
les mêmes résultats. Toutefois, leur manipulation reste délicate. Il n’est pas de mon
propos dans cette introduction de présenter les calculs démontrant l’équivalence des deux
approches, nous présenterons juste brièvement les quelques conclusions les plus intéressantes.
5.2.2
Dérive diamagnétique : aspect statistique
Afin de comparer les deux approches, il est nécessaire d’inclure dans l’approche particulaire la notion de moyenne sur un nombre élevé de particules et donc d’utiliser l’approche
statistique du chapitre précédent. La vitesse le long de la direction y de toutes les particules se trouvant en x dans l’élément de volume dx s’écrit alors sous la forme
� +∞
−
−
nuy dx =
vy f (x, →
v )d3 →
v dx
(5.27)
−∞
où uy est la vitesse moyenne suivant la direction y et vy la vitesse de rotation des particules
autour de leur centre-guide (vitesse de gyration). Au vu de la figure (5.2), il est clair que
les particules qui seront comptées dans cette intégrale sont nécessairement les particules
dont la position instantanée x est reliée à leur centre-guide par la relation
x = xcg −
vy
ωc
(5.28)
les autres ne pouvant pas atteindre cette position. Dans cette équation, ωc est la fréquence
→
−
cyclotronique calculée aux positions xcg (on suppose afin de simplifier les calculs que B
est uniforme 12 ) et vy /ωc représente approximativement, au moins en module, le rayon de
Larmor. Le signe dans l’équation (5.28) a été choisi afin de suivre l’exemple de la figure
11. Cela signifie seulement que l’on se place dans le cas de la figure (5.2) où la densité de courant est
−
obtenue en moyennant les particules se trouvant dans l’élément de volume d3 →
x et aussi en moyennant
sur toutes les particules dont les centre-guides ne se trouvent pas dans ce volume mais dont le mouvement
de gyration les amène à ”traverser” ce volume.
12. Le cas d’un champ magnétique NON uniforme sera traité dans le paragraphe suivant.
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Page 124
L’APPROCHE FLUIDE
(5.2) : lorsque vy est positive, la particule se déplace vers les x décroissants et vice-versa 13 .
On peut alors définir une fonction de distribution fcg (xcg , v) représentant la répartition
−
des particules en fonction de leur centre-guide, la vitesse →
v représente toujours la vitesse
de gyration de la particule et non celle de son centre-guide. En d’autres termes, tout le
calcul se fait dans le référentiel du centre-guide où seule la vitesse de gyration apparaît.
La distribution des particules se trouvant en x dans l’élément de volume dx peut donc être
exprimée en fonction de la distribution des centre-guides se trouvant en xcg dans l’élément
de volume dxcg . On pose
−
−
f (x, →
v )dx = fcg (xcg , →
v )dxcg = fcg (x +
vy →
,−
v )dxcg
ωc
Expression que l’on peut modifier en remarquant que dans le cas d’un champ magnétique
uniforme, l’équation (5.28) donne un accroissement de la forme dx = dxcg 14 . On peut alors
déduire l’expression de la vitesse moyenne le long de la direction y, déduite de l’équation
(5.27), en faisant un développement de Taylor à l’ordre 1 autour de leur centre-guide :
�
1 +∞
vy − 3 →
uy =
vy fcg (x + , →
v )d −
v
n −∞
ωc
�
1 +∞
vy ∂
−
−
−
≈
vy [fcg (x, →
v)+
fcg (x, →
v )]d3 →
v
n −∞
ωc ∂x
�
� +∞
1 +∞
1 1 ∂
→
−
−
−
−
3→
≈
vy fcg (x, v )d v +
v 2 fcg (x, →
v )d3 →
v
(5.29)
n −∞
n ωc ∂x −∞ y
Dans le cas où la répartition des centre-guides fcg est décrite par une distribution maxwellienne, il est aisé de voir que le premier terme de l’équation (5.29) donne une contribution
nulle puisqu’il y a autant de particules ayant une vitesse vy positive que négative. Seul le
deuxième terme donne une contribution non nulle, terme que l’on peut écrire
� +∞
2
1 1 ∂
1 1 ∂(nvth
)
1 1 ∂ p
−
−
uy ≈
vy2 fcg (x, →
v )d3 →
v =
=
( )
(5.30)
n ωc ∂x −∞
n ωc ∂x
n ωc ∂x m
avec
p
2
= nvth
=
m
�
+∞
−∞
−
−
vy2 fcg (x, →
v )d3 →
v
(5.31)
qui représente la pression du plasma, déduite de l’approche statistique 15 . L’équation
(5.30) s’écrit alors
1 1 ∂p
uy =
(5.32)
n eB ∂x
expression directement comparable au deuxième terme de l’équation (5.26) et qui représente
la vitesse de dérive diamagnétique obtenue dans l’approche particulaire. Dans le cas où
nous aurions une pression anisotrope, il suﬃrait de remplacer p par p⊥ .
On voit donc que même en l’absence de déplacement des centre-guides un courant diamagnétique peut exister, courant qui tend à réduire le champ magnétique dans la région où le
13. vy représente la vitesse de gyration des particules autour des lignes de champ. Elle est donc décrite
par une fonction circulaire de la forme vy = v⊥ cos(ωc t).
14. Cette égalité reflète le fait que puisque seul varie la densité des particules, la distance relative entre
centre-guides ET entre positions instantanées des particules varie dans les même proportions.
15. Le calcul de la pression fait intervenir le moment d’ordre 2 de la fonction de distribution dont on
avait esquissé l’expression au chapitre précédent. Dans le contexte mono-dimensionnel qui a été utilisé
dans ce paragraphe, les définitions des premiers moments de la fonction de distribution prennent la forme
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 125
L’APPROCHE FLUIDE
nombre des particules est le plus important, voir figure (5.2) (d’où le terme diamagnétique
pour qualifier cette dérive !).
Les deux approches sont donc comparables dans le cas où l’on utilise l’approche particulaire en faisant des moyennes sur des distances de l’ordre du rayon de Larmor (moyennes
spatiales sur de petits volumes 16 ). Dans ce cas précis, les deux approches donnent des
résultats tout à fait équivalents.
Cette conclusion très importante met en évidence le problème que l’on peut avoir en
utilisant simultanément les deux approches. Tout raisonnement mélangeant à la fois des
quantités particulaires et fluides devra être eﬀectué avec le plus grand soin sous peine
de contresens grave. Une illustration de ce problème concerne le phénomène de dérive
→
−
observé dans l’approche particulaire sous l’eﬀet du gradient de champ magnétique ∇B.
→
−
Cette dérive ne faisant intervenir que le champ magnétique B et son gradient, il peut
sembler évident que quelque soit l’approche cette dérive existe et prend la même forme.
Nous allons voir que ceci n’est pas du tout le cas.
5.2.3
Dérive due au gradient de B
Supposons que nous ayons une configuration comme celle illustrée sur la figure (5.3), où
apparaît un gradient magnétique le long de la direction x. Pour simplifier le problème,
nous supposerons de plus qu’il n’existe aucune courbure des lignes de champ. Le plasma
ayant une densité uniforme, les centre-guides sont régulièrement espacés.
Au fur et à mesure que l’on se déplace vers les régions de fort champ magnétique, le
rayon de Larmor devient plus petit et un certain déséquilibre global apparaît. La position
instantanée de la particule est toujours décrite par l’équation (5.28) mais dans ce cas, le
champ magnétique n’étant pas constant, la fréquence cyclotronique obtenue aux centreguides varie suivant notre déplacement suivant x. Si l’on fait l’hypothèse d’un gradient de
faible amplitude, on peut alors exprimer l’accroissement dxcg de la position des particules
simple :
densité
−→
vitesse moyenne −→
vitesse quadratique moyenne −→
flux de chaleur
−→
n=
�
+∞
f (v)dv
−∞
1
u =< v >=
n
�
+∞
vf (v)dv
−∞
2
vth
=< (v − u)2 >=
1
n
�
Q
1
=< (v − u)3 >=
nm
n
+∞
(v − u)2 f (v)dv
−∞
� +∞
−∞
(v − u)3 f (v)dv
La définition de la pression cinétique et de la température se déduisent de la vitesse thermique définie
2
ci-dessus : on a p = nmvth
= nkB T.
Si bien que la pression a pour expression
� +∞
p=m
(v − u)2 f (v)dv
−∞
16. Ce type de moyenne nécessaire dans l’approche statistique ne doit pas être confondu avec les
moyennes temporelles eﬀectuées sur une gyration dans l’approche particulaire afin de mettre en évidence
les mouvements d’ensemble des centre-guides.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 126
L’APPROCHE FLUIDE
Figure 5.3: Gyrations cyclotroniques des ions en présence d’un gradient de champ magnétique.
Pour des centre-guides régulièrement espacés, il y a beaucoup plus d’ions ayant une vitesse vy
dirigée vers la droite dans la zone grise que d’ions allant dans le sens contraire : un courant de
dérive apparaît !
sous la forme
dxcg
vy 1 dB
= (1 −
)
dx
ωc B dx
vy 1 dB
dxcg = (1 −
)dx
ωc B dx
(5.33)
Cette équation est bien en accord avec la figure (5.3). Au fur et à mesure que l’on se
→
−
déplace vers les x croissants, le champ B augmente, les particules se déplaçant dans la
région où vy < 0 voient un champ magnétique plus fort et de ce fait, possèdent un rayon
de Larmor plus petit que la distance entre centre-guides dxcg . Ceci a pour résultat que
dxcg > dx. Pour les vitesses vy > 0, on obtient le phénomène inverse. La fonction de
−
distribution f (x, →
v ) peut de nouveau être déterminée en fonction de la distribution des
centre-guides par un développement de Taylor, on trouve
−
−
f (x, →
v )dx = fcg (xcg , →
v )dxcg = fcg (x +
vy →
vy 1 dB
,−
v )(1 −
)dx
ωc
ωc B dx
La vitesse moyenne suivant la direction y s’écrit alors sous la forme
�
1 +∞
vy −
vy 1 dB 3 →
v
uy =
vy fcg (x + , →
v )(1 −
)d −
n −∞
ωc
ωc B dx
�
1 +∞
vy ∂
vy 1 dB 3 →
−
−
≈
vy [fcg (x, →
v)+
fcg (x, →
v )](1 −
)d −
v
n −∞
ωc ∂x
ωc B dx
En ne gardant que les termes d’ordre un ou inférieurs, on obtient
�
� +∞
�
1 +∞
1 1 ∂
1 1 1 dB +∞ 2
→
−
−
→
−
−
−
−
3→
2
3→
uy =
vy fcg (x, v )d v +
vy fcg (x, v )d v −
vy fcg (x, →
v )d3 →
v
n −∞
n ωc ∂x −∞
n ωc B dx −∞
Seuls les termes quadratiques en vy ne disparaissent pas, si bien que la vitesse moyenne
uy s’écrit
1 1 ∂p
m dB 2
uy =
−
nv
n eB ∂x enB 2 dx th
2
Le second terme s’exprime en fonction de la température T avec nmvth
= nkB T, si bien
que l’on a
1 1 ∂p kB T dB
uy =
−
(5.34)
n eB ∂x
eB 2 dx
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 127
L’APPROCHE FLUIDE
Cette vitesse moyenne a été évaluée dans le référentiel où les centre-guides xcg sont immobiles. La vitesse de dérive totale sera donc la somme des vitesses de dérive utotal
= ucg
y
y +uy .
cg
Or la vitesse de dérive des centre-guides uy en présence d’un gradient magnétique le long
de la direction x prend la forme de l’équation (3.21)
−
→
ucg
y = vd ∇ ⊥ B =
2
1 < mv⊥
> 1 dB
1 kB T 1 dB
=
e
2B
B dx
e B B dx
(5.35)
2
où < mv⊥
> représente une moyenne statistique sur un ensemble de centre-guides 17 . On
remarque tout de suite que les termes liés au gradient du champ magnétique s’annullent
mutuellement et que l’on retrouve, pour la dérive totale uy , l’expression de la vitesse
diamagnétique de l’approche fluide. Ce résultat, au premier abord assez étonnant, peut
être compris assez simplement :
−
→
– Tout d’abord, les calculs précédents montrent que la dérive →
v d−
existe même dans
∇ ⊥B
l’approche fluide. Seulement, cette vitesse est contrebalancée exactement lorsque l’on
fait une moyenne sur un nombre important de particules. Reprenons l’exemple de la
figure (5.3) : on s’aperçoit, lorsque l’on se trouve dans le référentiel du centre-guide,
qu’une moyenne spatiale met en évidence une dissymétrie entre la partie haute et basse
des rayons de gyration. Les particules dont le rayon de Larmor est plus petit, sont
statistiquement les moins nombreuses et viennent nécessairement du bas de la zone
considérée. Sur la figure (5.3), nous avons respectivement deux particules dont la gyration est comptabilisée vers la droite et une seule vers la gauche. Cette diﬀérence crée
donc une dérive moyenne vers la gauche, alors même que les centre-guides restent immobiles. Dans le même temps, les centre-guides, quant à eux, subissent une dérive ”réelle”
vers la droite du fait de la déformation des orbites dans la direction perpendiculaire au
gradient. Ces deux eﬀets s’additionnent et s’annullent exactement.
– Une seconde explication reposant sur un raisonnement plus physique peut être avancée.
En eﬀet, dans le cadre de la mécanique, nous savons que la force de Lorentz est toujours
−
perpendiculaire à la vitesse →
v si bien qu’elle ne travaille pas. Un champ magnétique
ne peut donc pas aﬀecter une distribution maxwellienne. Cette distribution est la plus
probable même en présence d’un gradient de champ magnétique. Si bien que la présence
seul d’un gradient ne peut faire varier cette distribution (créer une vitesse d’ensemble,
par exemple !!), donc créer un courant de dérive.
En présence d’un champ électrique non uniforme, il devient beaucoup plus diﬃcile de
réconcilier les deux approches. Les corrections introduites par l’approche statistique deviennent diﬃciles à interpréter et l’on doit faire appel à des mécanismes beaucoup plus
subtiles. En particulier, et à titre d’exemple, en présence d’un gradient de densité, la
densité des centre-guides ne correspond plus à la densité réelle des particules, il est alors
diﬃcile de raisonner simultanément suivant les deux approches.
C’est pour cette raison qu’il est important de ne jamais mélanger les deux approches pour
la résolution d’un problème. A moins de savoir exactement ce que l’on fait, on s’expose à
des incohérences graves au niveau des résultats physiques. Dorénavant, dans ce chapitre
nous ferons exclusivement les calculs dans le cadre fluide.
17. On utilise la définition de la température thermodynamique usuelle
1
2
< mvth
>= kB T
2
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 128
5.3
L’APPROCHE FLUIDE
Le modèle mono-fluide : la M agnétoH ydroDynamique
Un plasma peut être aussi considéré comme un fluide conducteur, sans qu’il ne soit besoin de spécifier les diﬀérentes espèces le constituant. En eﬀet, les équations de transport
macroscopiques, obtenues dans la section précédente, décrivent le comportement macroscopique de chaque espèce du plasma (électrons, ions, particules neutres). Nous allons
maintenant voir qu’il est possible de déterminer un système complet d’équations de transport décrivant le plasma comme un tout. Chaque variable macroscopique représentera
de façon combinée la contribution des diﬀérentes espèces du plasma. Cette procédure a
deux avantages : (i) elle permettra une simplification extrême des équations fluides, c’est
l’approche MHD, et (ii) ne fera apparaître que des paramètres macroscopiques aisément
mesurables. Dans un but de simplification des équations, nous ferons l’hypothèse d’un
plasma totalement ionisé (absence des atomes neutres) et constitué d’une seule espèce
d’ion de charge, qi = e (proton). On rappelle les équations fluides obtenues pour l’espèce
α à la section (5.1.3),
→
−
∂
−
(ρmα ) + � · (ρmα →
u α) = 0
∂t
� →
�
�→
→
− �→
−
− →
→
−� →
∂−
u α �→
−
−
−
ρmα
+ u α · � u α = nα qα E + u α × B − �pα
∂t
(5.36)
équations qui doivent être complétées par une équation d’état permettant de fermer le
système et par les équations de Maxwell. Dans cette approche, nous allons “mélanger” la
contribution des diﬀérentes espèces, il est donc évident que les échelles spatiales (L) et
temporelles (ω) caractéristiques devront être reliées à la population la plus lourde.
5.3.1
Hypothèse des variations lentes
Les théories fluides constituent une mécanique des milieux continus où il n’y a pas de
charge libre. En conséquence, un certain nombre d’approximations doivent être vérifiées.
La première d’entre elles c’est que le mouvement est non relativiste, si c est la vitesse de
la lumière et V la vitesse du fluide, il faut
V
<< 1
c
Deux autres approximations découlent ensuite de la condition d’absence de charges libres.
Si nous considérons notre milieu comme un plasma totalement ionisé, alors la première
condition sur l’écoulement de ce fluide est que
L >> λDebye
où L est l’échelle du mouvement et λDebye la longueur de Debye 18 . La séparation de
charge peut aussi intervenir si la fréquence du mouvement est trop grande par rapport à
18. La longueur de Debye est la distance moyenne au-delà de laquelle la charge d’un ion est écrantée
par les électrons. Son expression est
�
εo kT
λDebye =
ne e 2
avec εo la permittivité du vide, k la constante de Boltzmann, ne la densité électyronique et T la température du plasma. Cette condition implique donc que le plasma ne doit pas être ni trop chaud, ni trop
dilué.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 129
L’APPROCHE FLUIDE
la fréquence plasma ωp 19 , et on demandera aussi que l’échelle de temps du mouvement
T = L/V vérifie
T >> ωp−1
Ces hypothèses prennent toute leur importance lorsque l’on s’intéresse aux fluides à très
basse densité comme le vent solaire. Le plasma y étant très dilué (faible densité), la
séparation de charge peut devenir importante. Dans ce genre de cas, la magnétohydrodynamique doit céder la place à la physique des plasmas.
Ce type de raisonnement s’applique de la même façon à tout phénomène physique se
déroulant dans le plasma considéré comme un fluide. D’une manière générale, toute
quantité fluide f d’un système physique suit des équations montrant des variations spatiotemporelles de la forme :
→
−
f
�(f ) ∼
L
∂
f
(f ) ∼
∂t
τ
(5.37)
→
−
→
−
Dans le cas où le phénomène étudié est une onde, il est simple de voir qu’alors � ∼ k et
∂/∂t ∼ ω, si bien que les grandeurs caractéristiques sont la longueur d’onde λ et la période
T de l’onde qui doivent être grandes devant les grandeurs caractéristiques du plasma pour
que l’on puisse eﬀectivement traiter le plasma comme un fluide. On doit donc avoir :
1
<< ωp, ωc
τ
1
1
1
en espace :
<<
,
λ
ρLarmor λDebye
en temps :
(5.38)
(5.39)
L’hypothèse des variations lentes est donc bien une hypothèse fondamentale de l’approche
MHD dont il est primordiale de bien comprendre les fondements et les principales conséquences. Dans ce cas, le courant de déplacement peut être négligé et la quasi-neutralité
postulée ρe = e(ni − ne ) ≈ 0. Cette dernière hypothèse est très importante en MHD, où
elle est plus connue sous le nom d’approximation plasma 20 . Cette hypothèse empêche
→
− →
−
donc d’utiliser l’équation de Poisson � · E = ρe /εo afin de calculer le champ électrique.
En utilisant l’hypothèse de quasi-neutralité, nous allons donc être en mesure d’exprimer
le système d’équations (5.36) en faisant disparaître toute référence à l’espèce α, le système
d’équations résultant sera alors appelé “équations magnétohydrodynamiques” du plasma.
19. La fréquence plasma ωp représente la fréquence d’oscillation des électrons autour de leur position
d’équilibre.
20. Dans un plasma, la procédure permettant de calculer le champ électrique repose sur l’équation du
mouvement et non sur l’équation de Poisson. La raison est que le plasma a une tendance naturelle à
rester neutre. Si les ions bougent, alors les électrons suivront. Le champ électrique doit donc s’ajuster de
telle manière que les orbites des ions et des électrons préservent la neutralité. La densité de charge dans
le mouvement global du plasma n’est donc pas importante, elle ne sert qu’à préserver la quasi-neutralité
et sera telle que l’équation de Poisson est vérifiée. Bien sûr ce genre d’approximation n’est valable qu’aux
faibles fréquences, pour lesquelles l’inertie des électrons ne constitue pas un facteur déterminant de leur
mouvement.
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Page 130
L’APPROCHE FLUIDE
Afin d’obtenir ce système simplifié, nous allons utiliser les variables suivantes :
ρm = m e n e + m i n i
ρe = qe ne + qi ni = e(ni − ne )
me
)
m = me + mi = mi (1 +
mi
−
−
me ne →
v e + mi ni →
vi
→
−
u =
me ne + mi ni
(5.40)
(5.41)
(5.42)
(5.43)
avec ρm la densité de masse totale de l’élément fluide, ρe sa densité de charge, m sa masse
−
et →
u la vitesse de son centre de masse. On trouve alors le système d’équations :
5.3.1.1
Equation de continuité
→
−
∂
−
ρm + � · (ρm →
u)=0
(5.44)
∂t
qui représente la forme usuelle d’une équation de continuité fluide où n’apparaissent plus
les diﬀérentes espèces constituant le plasma. Elle signifie physiquement dans le cas d’un
plasma non relativiste et classique (non quantique) que la masse de l’élément fluide se
conserve.
5.3.1.2
Equation de la dynamique
La construction d’une équation de conservation de la densité d’impulsion pour un fluide
total (ou équation fluide du mouvement) s’avère plus complexe du fait de l’existence des
termes non-linéaires. Afin d’être le plus général possible, nous allons inclure un terme de
collision simple qui permettra de tenir compte du transfert d’impulsion entre les électrons
et les ions. Cette force de friction représentera soit les collisions au sens classique du terme,
soit des “collisions anormales” découlant d’interactions ondes-particules. L’existence de
telles collisions donne lieu à un eﬀet Joule, si bien que nous pourrons de la même façon
obtenir l’expression d’une loi d’Ohm dans le plasma, couplant les courants aux champs
électromagnétiques.
Ce terme de collision dépend de la vitesse relative entre les deux espèces de particules, et
→
−
−
−
a pour expression F e = ρme νei (→
ui −→
u e ) pour le transfert d’impulsion électron-ions et
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
F i = ρme νie ( u e − u i ) pour le transfert ions-électrons, avec la relation F = F e = − F i
du fait de la conservation de l’impulsion totale. Avec ces approximations qui sont justifiées
dans le cas d’un plasma quasi-neutre (ρe ≈ 0), l’équation du mouvement prend la forme
ρm [
→
− −
−
− →
∂→
→
− →
−
−
u + (→
u · �)→
u ] = j × B − �p
∂t
(5.45)
qui représente l’équation de conservation de l’impulsion en magnétohydrodynamique.
5.3.1.3
Loi d’Ohm généralisée
→
−
L’équation (5.45) contient un terme faisant apparaître la densité de courant totale j
comme nouvelle variable. Afin de clore le système ainsi obtenu, il est nécessaire d’introduire
→
−
une relation supplémentaire donnant l’évolution de j . Cette relation s’appelle la loi
d’Ohm généralisée du plasma. On la trouve en soustrayant les équations de la dynamique de chaque population. Pour des raisons pratiques, il est usuel de multiplier
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
L’APPROCHE FLUIDE
Page 131
l’équation gouvernant les électrons par mi et l’équation gouvernant les ions par me . Il
vient alors facilement en réorganisant les termes pour faire apparaître les dépendances,
en négligeant les termes me /mi << 1 et en supposant encore une fois la quasi-neutralité,
n ∼ ne ∼ ni .
→
−
�→
→
−
− −
→
−� →
−
me ∂ j
= − �pe + ne E + →
u e × B − F i→e
(5.46)
e ∂t
Avant de simplifier plus en avant cette équation, il est intéressant de souligner deux points
:
– Bien que nous soyons en face d’une théorie mono-fluide, tous les eﬀets thermiques sur
la densité de courant impliquent la pression électronique pe et elle seule. A l’inverse,
−
ce sont les pressions pe et pi qui modifient la vitesse →
u d’ensemble du centre de masse
de l’élément fluide à travers l’équation de la dynamique.Dans l’expression de la force
−
de Lorentz, là encore seule la vitesse des électrons →
u e intervient. Si bien que même
dans une théorie dite mono-fluide, le fluide électronique ne se comporte pas de la même
manière que le fluide ionique et a un impact bien plus prononcé sur la densité de courant
→
− 21
j . Nous reviendrons sur cet aspect dans le paragraphe suivant.
Afin d’éliminer de l’équation (5.46) la vitesse électronique, on remarque que dans l’approximation
−
−
plasma (quasi-neutralité) et avec un rapport de masse me /mi très petit, on trouve →
ui ∼→
u
et donc
→
−
j
→
−
→
−
ue = u −
(5.47)
ne e
→
−
De la même façon, en se rappelant que le terme de collision F (ou friction) est proportionnel à la diﬀérence des vitesses entre populations de charge opposée, on peut le réécrire
sous la forme
→
−
→
−
F = ηne j
où l’on a introduit la quantité η = me < νei > /ne2 = 1/σo , représentant la résistivité du
plasma (inverse de la conductivité) dont nous parlerons plus en détail lors de la présentation de la MHD non-idéale. L’équation d’Ohm généralisée dans le cas d’un modèle
mono-fluide, se réécrit alors en séparant les termes pour faire apparaître dans le membre
de gauche l’expression usuelle de la loi d’Ohm :
→
−
−
→
− →
→
−
−
1→
1→
me ∂ j
→
−
− →
−
E + u ×B =ηj +
j ×B−
�pe + 2
(5.48)
ne
ne
ne ∂t
Dans le cas de la MHD idéale, on voit que tous les termes du membre de droite doivent
être nuls (ou négligeables). Cette équation est importante pour diﬀérentes raisons. Tout
d’abord, elle montre que la loi d’Ohm simple est beaucoup plus compliquée lorsque l’on
prend tous les termes, même dans l’approximation MHD. En plus du terme résistif
→
−
usuel η j , décrivant les collisions se déroulant au sein du plasma, on trouve un terme
→
−
→
−
→
−
de gradient de pression électronique � · pe ainsi qu’un terme supplémentaire j × B
découlant de la force de Lorentz, souvent appelé de ce fait terme de Hall (ou eﬀet Hall).
Ce terme supplémentaire démontre que même dans un plasma non collisionnel, la force
→
−
de Lorentz peut donner lieu à un courant transverse 22 . De même, le terme ∂ j /∂t peut
être interprété comme étant la contribution de l’inertie des électrons au courant total 23 .
21. En particulier, si l’on se place dans le cas de la MHD idéale en ne retenant que les termes indépendants du temps (état stationnaire), seul le fluide électronique se trouve “gelé” dans le plasma et non le
fluide ionique.
→
− →
−
22. Et non, a une simple dérive E × B commune aux deux espèces (électrons + ions).
23. Le calcul global concernant la loi d’Ohm a le mérite d’être rapide mais ne permet pas de mettre
en évidence l’importance relatif des diﬀérents termes dans cette expression. Pour se faire une idée plus
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 132
5.3.2
L’APPROCHE FLUIDE
La MHD non idéale
Afin d’aller plus loin dans l’analyse de ces équations, nous allons en première étape négliger
les trois derniers termes du membre de droite de l’équation (5.48), l’équation d’Ohm prend
précise, il convient de déterminer cette équation en levant une à une les approximations faites.
Etape 1 (ordre 0): hypothèse des variations lentes (∂/∂t et � −→ 0)
L’équation de l’impulsion (5.36) à laquelle on ajoute un terme de collision (friction) s’écrit alors pour
les ions :
�→
− −
→
−� →
−
ni q i E + →
u i × B + F ie = 0
→
−
→
−
−
−
−
−
avec F ie = ne me νie (→
ue−→
u i ) = − meeνie j , en se rappelant que ni ∼ ne et →
u ∼→
u i on obtient
→
− − →
−
me νie →
−
j = E +→
u ×B
ne2
C’est-à-dire
→
− − →
−
→
−
j = σ( E + →
u × B ) avec σ =
e
1
=
me νie
η
où σ est la conductivité du plasma et η sa résistivité. Ceci représente la loi d’Ohm MHD, généralisation
de la loi d’Ohm ”usuelle”. Les termes composant cette équation sont d’ordre 0 et représentent donc la
contribution la plus importante à la loi d’Ohm. Que se passe-t-il lorsqu’on lève un peu l’hypothèse des
variations lentes ?
Etape 2 (ordre 1) : on garde les termes variationnels (∂/∂t et �)
L’équation de la quantité de mouvement des ions s’écrit alors
� →
�
→
−
�→
→
− �→
−
− −
→
−� →
→
−
∂−
u i �→
j
−
−
ρmi
+ u i · � u i = ni q i E + →
u i × B − � · pi + F ie −
∂t
σ
(5.49)
−
−
En utilisant là encore les relations ni ∼ ne et →
u ∼→
u i , on trouve
� →
�
�
�→
→
− �−
−
− − →
−� →
→
−
∂−
u
−
ρm
+ →
u ·� →
u = nqi E + →
u × B − � · pi + F ie
∂t
équation que l’on peut mettre en parallèle avec la relation de la dynamique fluide (5.45) obtenue précédemment. En égalisant les expressions ainsi obtenues, on trouve
�→
−
−
− − →
−� →
− →
→
−
→
− →
nqi E + →
u × B − � · pi = j × B − � · (pe + pi ) + F ie
Le terme de pression ionique disparaît, en réorganisant les termes, on obtient
→
−
−
→
− →
→
− →
→
−
� · pe
j ×B
→
−
−
E + u ×B =ηj +
−
ne
ne
Nous voyons donc apparaître des termes correctifs d’ordre 1 par rapport à l’équation que nous avons
déterminée précédemment. Ces termes correctifs pourront être suivant le problème envisagé négligés ou
non. Une étape supplémentaire peut être faite en levant les hypothèses de base de l’approche MHD. En
particulier, si la quasi-neutralité en est le socle incontournable (n ∼ ni ∼ ne ), il n’en est pas de même pour
la condition sur le courant total. En eﬀet, nous avons jusqu’ici implicitement supposé que les électrons
étaient tellement légers que leur inertie était négligeable et donc que nous avions systématiquement :
→
−
−
−
u ∼→
ui ∼→
u e . Que se passe-t-il lorsque nous introduisons l’inertie des électrons dans ces équations ?
Etape 3 (ordre 1) : on tient compte de l’inertie des électrons ( me �= 0)
Cette hypothèse entraîne des calculs plus longs qui ne seront que brièvement présentés ici, libre au
lecteur de les eﬀectuer s’il désire approfondir cet aspect de la loi d’Ohm. Si la masse des électrons ne
peut plus être considérée comme nulle alors nous obtenons
→
−
u
=
→
−
ue
=
me →
→
−
−
ui+
ue
mi
→
−
j
→
−
u −
ne
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 133
L’APPROCHE FLUIDE
alors la forme usuelle
− − →
−
→
− − →
−
1 →
→
−
v × B ) = σ( E + →
u × B)
j = (E + →
η
(5.52)
où σ représente la conductivité du plasma (l’inverse de sa résistivité).
On peut alors en déduire quelques applications intéressantes dont l’utilité en physique
spatiale est primordiale. Là encore, pour simplifier, nous supposerons que la conductivité
est isotrope (scalaire) et constante à la fois spatialement et temporellement. Avec de
telles hypothèses, l’équation d’Ohm (5.48) et l’équation de Faraday permettent d’obtenir
la relation
→
−
→
− →
−
→
−
− →
− − →
−
∂B
1 →
= −∇ × E = −∇ × (
∇ × B −→
u × B)
∂t
µo σ
→
−
→
−
→
−
→
−
∂B
1
−
u × B) +
�2 B
(5.53)
= � × (→
∂t
µo σ
−
où →
u représente la vitesse d’un élement fluide et où l’on a utilisé l’identité suivante
→
−
→
−
→
−
→
−
∇ × ( ∇ × B ) = −∇2 B . Cette équation décrit donc l’évolution temporelle du champ
→
−
→
−
−
magnétique B sous les eﬀets conjoints (i) d’un champ électromoteur (→
u × B ) qui décrit
le transport convectif du plasma et (ii) d’une extinction des courants par eﬀet Joule qui
est décrit par un terme de diﬀusion dépendant de la conductivité σ. Si l’on se place dans
−
le cas où il n’y a aucun champ de vitesse (→
u = 0), alors cette équation est formellement
identique à l’équation de conduction de la chaleur
∂T
= κ �2 T
∂t
(5.54)
−
−
−
En reprenant l’équation (5.49) et en remplaçant la vitesse →
u i par son expression en fonction de →
u et →
u e,
→
−
on obtient une équation ne faisant plus apparaître que la vitesse d’ensemble u , la vitesse des électrons
→
−
e
et le courant j . Il suﬃt alors de négliger tous les termes en m
mi devant les autres termes ainsi que les
termes quadratiques de la forme
→
−
→
−
− −
→
− j
me j →
me →
(
· ∇)→
u ou
(−
u · ∇)
mi ne
mi
ne
Cette simplification est valable pour deux raisons : (i) Tout d’abord, ces termes sont très petits (d’ordre
→
−
−
2) dans le cas où les variations spatiales des quantités →
u et j sont petites. (ii) D’autre part, si nous
gardons ces termes, il nous sera totalement impossible d’extraire l’expression du courant en fonction
des autres quantités. Cette dernière raison n’est guère justifiable mais tellement utile pour simplifier
nos équations qu’elle sera systématiquement utilisée (il ne faut pas oublier que l’approche fluide a été
forgée de toutes pièces en vue de simplifier l’étude des plasmas !!). L’équation résultante de toutes ces
approximations est
n i mi [
→
−
→
− −
∂→
me ∂ j
−
−
u + (→
u · �)→
u +
]
∂t
mi ∂t
→
−
−
− →
∂j
→
− →
j × B − � · p + ni me
∂t
=
=
�→
−
− − →
−� →
ni e E + →
u × B − � · pi
(5.50)
�→
−
− − →
−� →
− →
− →
ni e E + →
u × B + j × B − � · pe
(5.51)
Après réorganisation des termes, on retrouve la loi d’Ohm généralisée, équation (5.48) :
→
−
−
→
− →
→
−
−
1 →
1 →
me ∂ j
→
−
− →
E +−
u ×B =ηj +
j ×B−
� · pe + 2
ne
ne
ne ∂t
- CQFD -
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 134
L’APPROCHE FLUIDE
avec κ représentant la conduction thermique. En pratique, convection et diﬀusion se
superposent toujours plus ou moins et il est intéressant d’établir un critère caractérisant
l’importance relative des deux termes du membre de droite de l’équation (5.53) à l’aide
d’une simple analyse dimensionnelle. On a les relations :
�→
→
− �� ∼ uB
�−
→
−
�
×
(
u
×
B )� =
(5.55)
�
L
− �� ∼
1 �� 2 →
B
(5.56)
�� B � =
µo σ
µo σL2
→
−
où L représente l’échelle spatiale caractéristique de variation du champ B . Le rapport du
terme de convection sur le terme de diﬀusion est appelé le nombre de Reynolds magnétique
et est donné par
�m = µo σuL
(5.57)
Dans la plupart des problèmes MHD, l’un ou l’autre terme est prédominant si bien que
ce nombre de Reynolds est soit très grand soit très petit par rapport à 1. Au laboratoire,
�m n’est pas très grand en général à cause des dimensions réduites des appareils. Par
exemple, pour une température de T = 104 K, la conductivité électrique d’un plasma est
σ = 810−4 T 3/2 , si l’on prend la vitesse caractéristique comme étant un dixième de celle
du son, v ∼ 10T 1/2 , on trouve pour L = 1m, �m = 0.8 (labo) et pour L = 1000km,
�m = 8105 (Soleil). Dans le cadre des plasmas chauds, �m est généralement très grand et
→
−
il est justifié de négliger le terme de diﬀusion pour l’évolution du champ B (approximation
de la MHD idéale, nous y reviendrons...). Cependant, dans certaines circonstances, les
→
−
→
−
−
eﬀets résistifs peuvent jouer un rôle important, en particulier lorsque � × (→
u × B) = 0
(surface singulière de certains équilibres -> tearing mode) ou tout simplement lorsque
→
−
u = 0 (plasma stationnaire).
Dans le cas �m << 1, c’est le terme de diﬀusion qui prédomine et l’on peut alors estimer
un temps caractéristique τ de changement du champ magnétique (c’est-à-dire un temps
de dissipation durant lequel l’amplitude du champ B a décru d’un facteur e−1 par rapport
à sa valeur initiale). L’équation (5.53) permet d’estimer ce temps τ comme étant égal à
B
B
≈
τ
µo σL2
(5.58)
Le temps de dissipation est donc égal à τ = µo σL2 et il montre une dépendance en
puissance de deux par rapport aux échelles spatiales caractéristiques du milieu : les champs
magnétiques s’étendant sur de faibles distances diﬀusent plus rapidement que ceux ayant
de grandes échelles spatiales. De plus, le temps de dissipation s’accroît linéairement avec
la conductivité et pour une conductivité infinie, la dissipation se produit sur des échelles
de temps infinies (notion de champ gelé).
Ce type de calcul donne pour le soleil, en supposant qu’il a une dimension linéaire de
7x108 m et une conductivité moyenne de l’ordre de 1016 s−1 , un temps de dissipation du
champ magnétique τ d’une valeur de l’ordre de 1.2x1010 années, ce qui représente presque
3 fois l’âge du soleil. Si bien que dans le cas où le soleil a reçu un champ magnétique
lors de sa création, celui-ci existerait toujours de nos jours. Toutefois, ceci va à l’encontre
des observations qui montrent un champ magnétique solaire variable sur des échelles de
temps de l’ordre de l’année voire du mois. Ces observations rendent l’existence d’un champ
magnétique fossile extrêmement improbable. On invoque plus volontiers l’eﬀet dynamo
pour expliquer ces observations.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 135
L’APPROCHE FLUIDE
5.3.3
La MHD idéale
Il n’est pas de mon propos de présenter toutes les implications de la magnétohydrodynamique dans la compréhension des phénomènes physiques complexes se déroulant dans
un plasma, mais bien plutôt de montrer quelques résultats importants que l’on peut déduire de cette approche, et ce, dans son approche la plus minimaliste appelé la MHD
idéale. En eﬀet, on peut remarquer que dans le cas où �m >> 1, il est justifié de négliger
→
−
le terme résistif dans l’évolution de B , on obtient alors
→
−
→
−
→
−
∂B
−
= � × (→
u × B)
∂t
(5.59)
cela revient à considérer que J/σ est négligeable dans la loi d’Ohm 24 , qui s’écrit alors
→
−
→
−
−
E = −→
u ×B
(5.60)
Cette dernière relation est extrêmement importante dans sa simplicité, et montre qu’en
l’absence de collision, le champ électrique apparaît exclusivement sous forme convective.
On peut alors montrer deux propriétés importantes à la fois dans leur forme et dans leur
implications pratiques dans de nombreux plasmas non collisonnels. Avant de montrer les
détails de calculs eﬀectués, ces deux propriétés peuvent être décrit rapidement, nous avons
– le théorème de conservation du flux magnétique. Le concept de ligne de force
→
−
magnétique utilisé pour visualiser la direction et l’amplitude du champ magnétique B
repose sur l’idée de division de l’espace en petites surfaces ∆S. Ce théorème montre
que le flux magnétique à travers un circuit suivant le fluide reste constant
si ce fluide est infiniment conducteur. Ce théorème s’avère donc indispensable
pour visualiser les lignes de champ magnétique.
– le théorème du gel. Ce théorème peut s’énoncer de la manière suivante : Dans
un plasma infiniment conducteur l’ensemble des particules de fluide situées
sur une même ligne de force à l’instant t, sont encore sur une même ligne
de force à tout instant ultérieur . Cela signifie que deux particules, initialement
sur la même ligne de champ, seront trouvées ultérieurement sur une même ligne de
champ. Seul l’association précise entre particules matérielles et lignes de force permet
de parler du concept de ligne de force identifiable et de parler de ”mouvement d’une
ligne de force”. En fait, les lignes de champ magnétiques sont ”matérialisées” par le
mouvement des particules fluides qui y sont collées. On dit aussi que le champ est gelé
dans le fluide, ou réciproquement le fluide gelé sur les lignes de champ. Ce concept est
massivement utilisée (quoique quelque fois de manière inadéquate en physique spatiale
et en astrophysique).
5.3.3.1
Théorème de conservation du flux magnétique
Le concept de ligne de force magnétique utilisé pour visualiser la direction et l’amplitude
→
−
du champ magnétique B repose sur l’idée de division de l’espace en petites surfaces ∆S.
Chacune de ces surfaces sont traversées par le même flux ∆φB si bien que l’amplitude de
B en un point quelconque de l’espace est égale à ∆φB /∆S. Ce concept indispensable pour
visualiser les lignes de champ magnétique repose sur le théorème de conservation du flux
dont une démonstration simple peut être obtenue dans le cadre de la MHD idéale.
24. C’est-à-dire on suppose une conductivité infinie σ −→ ∞ dans le plasma, où en d’autres termes,
on néglige toute forme de collision qui pourrait entraîner des échanges de quantités de mouvement entre
populations de masse diﬀérente.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 136
L’APPROCHE FLUIDE
Σ1
Σο
Figure 5.4: Contour entourant une surface libre se déplacant dans un champ magnétique avec
une vitesse v, vue au temps t et t + dt. L’élément de surface latérale dSbord est en grisée.
�
Soit
un certain
susceptible de se déformer au cours du temps. En t = to , on
�
� circuit,�
désigne
par o et par 1 en t = t1 . Soit Mo un point du circuit, qui en t1 se retrouve
−
au point M1 . On désigne par →
v (Mo ) la vitesse de ce point, voir figure (5.4). Pour le
moment, il n’est pas nécessaire de supposer que le circuit se déplace avec le fluide, c’est−
−
à-dire que →
v (Mo ) n’est pas nécessairement égal à la vitesse du fluide →
u (Mo ) en ce point.
Avec ces définitions, et pour un intervalle de temps très petit (t1 − to = dt), on obtient
−−−−→ →
−
Mo M1 = −
v (Mo )(t1 − to ) = →
v (Mo )dt
(5.61)
Le flux du champ magnétique prend la forme
�
→
− →
−
φB =
B · dS
(5.62)
S
�
�
→
−
et les flux de B à travers o et 1 aux temps to et t1 sont
φo et φ1 . Pour
�respectivement
�
les comparer, il suﬃt de définir une surface � couvrant o , 1 et le bord B engendré
−
par →
v (Mo )dt comme illustré sur la figure (5.4 ). En utilisant les relations de Maxwell, on
a au temps t1
�
�
�
�
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
B (t1 ) · d S = 0 = � B (t1 ) · d S + � B (t1 ) · d S +
B (t1 ) · d S bord
(5.63)
�
o
1
B
avec comme relation
→
−
→
−
→
−
∂B
B (t1 ) = B (to ) + (t1 − to )
(on se limite à l’ordre 1)
∂t
→
− −
→
−
d S bord = d l × →
v (Mo )(t1 − to )
d’où la relation
��
�
�
�
�
→
−
→
− →
→
−
→
−
→
−
→
−
−
→
−
∂B →
B (to )·d S + � B (t1 )·d S +(t1 −to )
· d S + � [d l × −
v (Mo )] · B = 0
�
�
∂t
o
1
o
o
(5.64)
en identifiant les diﬀérents termes, et en faisant attention au sens des normales

� →
−
→
−
� B (t1 ) · d S
φ
=

1

1
� →
−
→
−
(5.65)
φo = − � o B (to ) · d S

−
→

→
−
→
−
∂B
= −∇ × E
∂t
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 137
L’APPROCHE FLUIDE
δ
δ
Figure 5.5: Trajectoire de deux particules fluides se trouvant sur la même ligne de champ t, et
se déplacant
si bien que l’équation (5.64) se réécrit sous la forme
��
�
�
→
− →
→
−
→
− →
− →
−
−
φ1 − φo + (t1 − to ) � [d l × v (Mo )] · B − � ∇ × E · d S + = 0
o
(5.66)
o
En utilisant la règle du produit mixte et le théorème de Stockes, et en faisant attention
→
−
→
−
au sens de d l et de d S , on obtient finalement la relation
��
�
��
�
→
−
−
→
−
→
− →
→
− −
→
−
→
−
φ1 = φo +(t1 −to ) � [ v (Mo ) × B ] · d l + � E · d l + = φo +(t1 −to ) � [ E + →
v (Mo ) × B ] · d
o
o
o
(5.67)
→
−
→
−
Dans le cas particulier où le circuit suit le fluide alors u = v , et dans le cadre de la
MHD idéale (σ −→ ∞), l’équation (5.60) aﬃrme que φ1 = φo . On arrive à la conclusion
importante : Le flux à travers un circuit suivant le fluide reste constant si ce
fluide est infiniment conducteur. Il est à noter que cette conclusion n’implique que la
vitesse perpendiculaire aux lignes de champ magnétique puisque la composante parallèle
→
−
→
−
−
à B ne donne aucune contribution au terme en →
u × B.
5.3.3.2
Le théorème du gel
Ce théorème dit que dans un plasma infiniment conducteur l’ensemble des particules de
fluide situées sur une même ligne de force à l’instant t, sont encore sur une même ligne
de force à tout instant ultérieur. Pour démontrer un tel théorème, il suﬃt de montrer ce
résultat pour deux particules infiniment voisines entre deux temps infiniment voisins.
Soit deux particules fluides placées en M1 et M2 à l’instant t comme représentées sur la
figure (5.5) et M1� , M2� l’emplacement de ces même particules à l’instant ultérieur t + dt.
−
→
−
→
Soit δx(t) le vecteur qui les joint à l’instant t et δx� (t + dt) à t + dt. On peut alors montrer
−
→
−
→
→
−
que si le vecteur δx(t) est parallèle à B (M1 , t) alors on a aussi δx� (t + dt) qui est parallèle
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 138
L’APPROCHE FLUIDE
→
−
à B (M1� , t + dt). Pour ce faire, nous allons regarder l’évolution suivant le mouvement de
−
→ →
−
M1 du vecteur, δx × B . On a
−
→ →
−
→
−
→
−
→ dB
− −
d(δx × B )
dδx →
=
× B + δx ×
(5.68)
dt
dt
dt
De manière évidente sur la figure (5.5), nous avons la relation vectorielle
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
δx(t + dt) = δx(t) + →
u (→
x + δx)dt − →
u (→
x )dt
que l’on peut réécrire sous la forme
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
δx(t + dt) − δx(t) = [→
u (→
x + δx) − →
u (→
x )]dt
−
→
−
→
−
→
−
→
→
− −
δx(t + dt) − δx(t)
dδx(t)
=
= (δx(t) · ∇)→
u
dt
dt
L’évolution du champ magnétique, quant à lui, est décrit dans l’approche idéale par
l’équation 25
→
−
→
−
→
−
→
− →
− −
→
− →
− −
→
− →
−
∂B
−
−
= � × (→
u × B ) = −B (∇ · →
u ) + ( B · ∇)→
u − (→
u · ∇) B
(5.70)
∂t
→
−
→
−
→
− →
−
→
− →
− −
→
− →
− −
dB
∂B
−
=⇒
=
+ (→
u · ∇) B = − B ( ∇ · →
u ) + ( B · ∇)→
u
(5.71)
dt
∂t
où d/dt représente la dérivée ”en suivant la particule fluide” du vecteur magnétique. En
−
→
→
−
injectant les variations de δx et de B trouvés ci-dessus dans l’équation (5.68), on trouve
−
→ →
−
−
→
→
→
− − →
− −
→
− →
− −
→
− →
− −
d(δx × B )
= (δx(t) · ∇)→
u × B + δx × [− B ( ∇ · →
u ) + ( B · ∇)→
u]
(5.72)
dt
−
→ →
−
Tout le calcul se faisant au point M1 et à l’instant t, δx et B sont parallèle et l’on trouve
−
→ →
−
d(δx × B )
=0
(5.73)
dt
−
→ →
−
L’évolution du vecteur δx × B est donc nulle dans le temps. Cela signifie que deux
particules, initialement sur la même ligne de champ, seront trouvées ultérieurement sur
une même ligne de champ. Il faut souligner que rien n’implique que ces particules restent
sur la ligne de champ initiale. Pour cela, il faudrait que nous puissons identifier cette ligne
de force, ce qui n’est pas possible.
5.3.4
La pression magnétique
Un autre concept intéressant concerne le concept de ”pression magnétique”. Afin de
l’introduire simplement, il est usuel de considérer le cas d’un équilibre MHD. Dans ce cas,
les relations précédentes ( à ) se réduisent au système d’équations magnétostatiques :
→
−
−
→
− →
∇p = j × B
(5.74)
→
− →
−
→
−
∇ × B = µo j
→
− →
−
∇·B = 0
25. On utilise la relation vectorielle suivante (voir un formulaire de mathématique)
→
−
−
→
− →
→
− →
−
→
−
→
− →
− −
− −
→
− →
−
−
−
∇ × (→
a × b)=→
a (∇ · b ) − b (∇ · →
a ) + ( b · ∇)→
a − (→
a · ∇) b
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(5.69)
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 139
L’APPROCHE FLUIDE
De ce système, il est aisé d’éliminer le courant, on obtient :
→
−
− →
−
→
−
− B2
→
− →
− →
−
1 →
1 →
∇p = ( ∇ × B ) × B = [− ∇ · ( ) + ( B · ∇) B ]
µo
µo
2
5.3.4.1
(5.75)
Pression et tension magnétique
L’équation (5.75) met en évidence deux termes distincts : (i) le premier terme se comporte
comme une pression, on l’appelera pour cela, la ”pression magnétique”, (ii) le second
→
−
dépend des variations de B dans la direction de B mais aussi de ses changements de
direction. On remarque que ces termes s’ajoutent et peuvent se compenser. Nous pouvons
détailler l’apport de ce second terme en le développant sous forme de produit tensoriel.
→
−
−
−
Posons B = B →
n où →
n est un vecteur unitaire, alors
→
− →
− →
−
→
−
→
−
→
− −
−
−
−
−
−
( B · ∇) B = B(→
n · ∇)(B →
n) = →
n [B(→
n · ∇)B] + B 2 (→
n · ∇)→
n
2
→
− B
→
− −
−
−
−
= →
n (→
n · ∇)
+ B 2 (→
n · ∇)→
n
2
En injectant cette relation dans l’équation (5.75), on trouve
− B2
→
− B2
→
− −
1 →
−
−
−
[− ∇( ) + →
n (→
n · ∇)
+ B 2 (→
n · ∇)→
n]
µo
2
2
←
→ −→
→
− B2
→
− −
B2 →
= −( δ − →
n−
n ) ∇(
)+
(−
n · ∇)→
n
(5.76)
2µo
µo
→
−
On reconnaît dans l’équation (5.76) le terme ∇(B 2 /2µo ), projeté selon la direction perpendiculaire au champ magnétique 26 , ce que l’on peut traduire sous la forme
→
−
∇p =
←
→ →
→
− B2
→
− B2
−
→
−
( δ − n n ) ∇(
) = ∇ ⊥(
)
2µo
2µo
(5.77)
→
−
L’autre terme ne dépend que des variations de direction de B et peut s’exprimer simplement en fonction de la courbure des lignes de champ. En eﬀet, en prenant s pour
l’abscisse curviligne, on trouve
→
−
−
→
−
→
− →
∂
∂→
n
N
→
−
→
−
−
n ·∇=
=⇒ ( n · ∇) n =
=
(5.78)
∂s
∂s
R
→
−
où N est la normale principale à la ligne de champ et R son rayon de courbure. Finalement,
→
−
→
−
→
− B2
B2 N
∇p = − ∇ ⊥ (
)+
(5.79)
2µo
µo R
Le premier terme représente donc bien une ”pression” isotrope B 2 /2µo et le second une
”tension magnétique” qui s’exerce le long des lignes de champ que l’on peut assimiler alors
à des cordes élastiques. Cette décomposition est très utile pour avoir une vue intuitive de
l’action des forces électromagnétiques sur le comportement d’un plasma fluide mais il ne
→
−
faut pas perdre de vue qu’elle peut être trompeuse. En eﬀet, c’est le courant j qui in-fine
détermine la force magnétique, dont la décomposition en deux termes reste artificielle, les
deux contributions ne pouvant être séparées.
−
→
−
→
− →
26. Le résultat est naturel puisque la force j × B est orthogonale à B .
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 140
L’APPROCHE FLUIDE
Figure 5.6: Configuration d’une colonne de plasma en θ − pinch.
5.3.4.2
Confinement du plasma
L’équation (5.79) montre que les termes de pression peuvent être antagonistes suivant le
sens de leur gradients respectifs. Cette propriété peut être d’une importance considérable,
en particulier, pour la fusion thermonucléaire. Un exemple simple consiste à prendre une
configuration à symétrie cylindrique dans laquelle la pression et les forces magnétiques
jouent un rôle non négligeable.
→
−
−
Soit un champ magnétique de la forme B = B(r)→
e z , le courant associé est donc de la
→
−
→
−
forme j = j(r) e θ . La figure (5.6) représente une vue schématique de cette colonne de
→
−
→
−
plasma, pour le champ B et le courant j . On calcule facilement l’expression de la force
−
→
− →
magnétique j × B
−
− →
−
→
−
1 →
1 d 2 →
→
− →
j × B = (∇ × B ) × B = −
B (r)−
er
µo
2µo dr
(5.80)
En reprenant l’équation d’équilibre (5.74), on obtient alors la relation
d
B2
(p +
)=0
dr
2µo
(5.81)
De cette relation, il résulte que les pressions magnétique et cinétique doivent se compenser
mutuellement tel que leur somme reste constante.
B2
p+
= cte
2µo
(5.82)
Dans le cas d’un plasma de taille finie, où la pression doit nécessairement décroître au fur
et à mesure que l’on s’approche du bord de la configuration, le champ magnétique croit
→
−
dans les même proportions. A la limite dans le cas d’un champ magnétique externe B o
suﬃsamment fort, la pression gazeuse s’annule au bord de la configuration et le plasma
se trouve ainsi confiné, on obtient la relation
p+
B2
B2
= 0
2µo
2µo
(5.83)
Cette équation nous permet de faire deux remarques :
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 141
L’APPROCHE FLUIDE
– La pression maximale que l’on peut confiner avec un tel champ magnétique est égale à
pmax = B02 /2µo .
– La valeur du champ magnétique à l’intérieur de la colonne de plasma est nécessairement
→
−
→
−
inférieure à sa valeur externe ( B < B 0 ). Comme la pression augmente dans le plasma,
le champ magnétique décroît. Cela signifie que sous l’action du champ magnétique
appliqué, le mouvement des particules donne naissance à un courant électrique et donc
un champ magnétique induit qui s’oppose au champ appliqué. On retrouve le caractère
”diamagnétique” du plasma que nous avions vu au chapitre (3). Il est à noter que plus
la pression augmente, plus la densité et la vitesse des particules augmentent, et plus le
comportement diamagnétique du plasma est prononcé.
Il est donc possible de piéger un plasma dans une telle colonne 27 à condition que B 2 (r)
présente un puits central. Ce cas idéal malheureusement ne peut exister réellement car
cette configuration souﬀre d’instabilité importante dépassant le cadre de ce cours, mais
ceci est une autre histoire ....
5.3.4.3
Le ”β” du plasma
Du fait de l’existence de ces forces antagonistes (force de pression + force magnétique),
il est intéressant de pouvoir quantifier leur importance respective. Pour cela nous allons
définir β, le paramètre plasma, qui représente le rapport entre les forces gazeuse et magnétique. Soit Lp et LB les échelles caractéristiques de p et de B, alors l’équation aux
dimensions permet d’obtenir
→
−
−
p
B2 1
→
− →
∇p ∼
et j × B ∼
Lp
2µo LB
(5.84)
En supposant de plus que les échelles des gradients sont du même ordre de grandeur,
L ∼ Lp ∼ LB 28 , on trouve
p
β= 2
(5.85)
B /2µo
Les forces gazeuses sont négligeables dans le cas d’un β faible, la configuration est essentiellement dominé par le champ magnétique. A l’inverse, lorsque β est fort, cela
signifie que ce sont les forces de pression (sa température) qui dominent la dynamique
du plasma. Par exemple, dans la couronne solaire, les paramètres caractéristiques sont
n ≈ 109 cm−3 , T = 106 K si bien qu’avec un champ magnétique de l’ordre de 10 à 100
Gauss (1 Gauss = 10−4 T ), on obtient un rapport maximum β ≈ 3.510−5 << 1. La
couronne est donc dominée par les forces magnétiques, conclusion compatible avec les
observations qui montrent une forte structuration du gaz.
5.4
Validité de la magnétohydrodynamique
En plus des limitations intrinsèques venant de l’approximation plasma (quasi-neutralité),
des équations fluides (distributions de forme maxwellienne) et de l’équation du mouvement (grandes échelles spatio-temporelles) 29 , il est clair que l’expression de la loi d’Ohm
utilisée “d’habitude” fait appel à d’autres hypothèses simplificatrices, indépendantes des
27. On parle de configuration θ − pinch. Cette terminologie est empruntée à la fusion contrôlée : θ
→
−
→
−
→
−
−
parce que le courant j est suivant la direction →
e θ et ”pinch” car la force j × B exerce une force de
pincement.
28. Cette hypothèse est le plus souvent vérifiée expérimentalement, du fait du diamagnétisme du plasma.
29. Voir l’introduction pour plus de détails.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 142
L’APPROCHE FLUIDE
précédentes mais dont il faut aussi tenir compte. En fait, il faut bien retenir que les
équations MHD sont une simplification extrême de l’approche multi-fluides, elles ont
d’ailleurs été établies afin de permettre la manipulation d’un système simple d’équations 30 .
Chaque étape conduisant à ce système d’équations repose donc sur des hypothèses simplificatrices et des approximations qui restreignent le champ d’applicabilité de cette théorie.
Ce sont ces limitations dont il faudra se souvenir lorsque l’on appliquera la MHD aux
problèmes ”réels”.
Les approximations liées à l’équation du mouvement (voir le paragraphe 5.3.1) étant déjà
connues, nous allons plus particulièrement nous intéresser à la loi d’Ohm et aux hypothèses
nécessaires afin d’obtenir l’expression de la loi d’Ohm en MHD idéale (η = 1/σ = 0) ou
plus simplement les limites de l’hypothèse du champ gelé dans le plasma. A l’aide des
équations de Maxwell, on a
→
− →
−
∂B
= −� × E
∂t
que l’on peut exprimer en faisant disparaître le champ électrique à l’aide de l’équation
(5.48), pour obtenir
→
−
−
− ←
→
−
−
∂B →
1→
1→
me ∂ j
→
−
− →
→
−
→
= �×(u × B −η j −
j ×B+
�· p e− 2
)
(5.86)
∂t
ne
ne
ne ∂t
Afin de pouvoir simplifier cette expression, il est intéressant d’eﬀectuer une analyse en
ordre de grandeur terme à terme. On marquera le fait que nous ne nous intéressons qu’aux
ordres de grandeur de ces quantités en mettant des crochets, par exemple [B] .
→
−
−
Terme →
u ×B
Le premier terme de cette équation représente le champ électrique induit qui apparaît dans
la description du champ gelé dans le plasma de la MHD idéale. Tous les autres termes
doivent donc pouvoir être négligés. Nous verrons que cela n’est pas le cas, la MHD idéale
n’ayant de ce fait aucune justification théorique rigoureuse. Elle reste néanmoins très
utilisée du fait des simplifications nombreuses qu’elle apporte aux problèmes physiques.
Tous les autres termes de cette équation représentent donc des écarts à l’approche idéale.
→
− →
Terme � · ←
pe
→
−
−
Afin de voir si ce terme peut être négligé, il suﬃt de le comparer au premier | →
u ×B |.
En regardant l’équation aux dimensions, on trouve
� →
�
→
1 − ←
�· p e
2
ne
pe
1
n e kB T e
me vthe
rce vthe
�
�
·
=
=
=
=
→
−
→
−
neL uB
neuBL
euBL
L u
u ×B
où nous avons tenu compte de l’égalité n ∼ ne , et exprimé la pression partielle des
électrons en fonction de la vitesse thermique 31 . La grandeur L représente l’échelle spatiale
caractéristique du gradient de champ magnétique. Lorsque le gradient de pression divisé
par le rayon de Larmor électronique 32 est beaucoup plus important que le rapport de
30. Système simple peut-être mais qui reste dans son essence NON linéaire du fait que la force de
Lorentz couple le champ de vitesse et le champ magnétique.
31. On suppose que l’on se trouve dans le cas d’une distribution maxwellienne, approximation fluide
des équations MHD.
32. Le rayon de Larmor est le rayon de gyration d’une particule chargée autour de ”sa” ligne de champ
magnétique, il a pour expression
vth
mvth
rL =
=
ωc
eB
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Page 143
L’APPROCHE FLUIDE
la vitesse des électrons sur la vitesse moyenne de l’élément fluide, alors nous pouvons
ignorer ce terme. Ceci se produit naturellement lorsque le plasma est suﬃsamment froid,
c’est-à-dire lorsque β << 1.
Terme
−
→
∂j
∂t
→
−
La dimension du rapport de ce terme avec le terme résistif η j permet de montrer que la
→
−
variation temporelle du courant total j peut naturellement être négligée dans le cadre de
la MHD puisque l’on suppose des mouvements très lents, donc des temps caractéristiques
très longs et des fréquences très basses. En eﬀet, on montre que
�
−
→�
me ∂ j
2
ne ∂t
me
ω
� →
− � = ne2 ητ = υei
ηj
où τ est le temps caractéristique des variations du courant que l’on remplace par son
inverse, la fréquence caractéristique ω. υei est la fréquence de collision électrons-ions
déduite de la définition de la résistivité η. Le terme d’inertie des électrons peut donc
être négligé lorsque la fréquence caractéristique du système est faible (approximation des
grandes échelles temporelles). Il est à noter que cette condition est parfaitement vérifiée
dans le cas où υei �= 0 dans notre approche fluide des grands mouvements mais diﬃcilement
justifiable dans le cas de la MHD idéale où υei = 0. En fait, seuls les cas stationnaires
(∂/∂t = 0) permettent de négliger ce terme de façon cohérente.
−
→
− →
Terme j × B
Un problème similaire apparaît lors de l’étude du terme de Hall. En eﬀet, en faisant le
rapport de ce terme avec le terme résistif, on obtient la relation
� →
→
−�
1 −
j
×
B
ne
B
eB
ωce
� →
�
=
=
=
−
neη
me υei
υei
ηj
représentant le rapport entre la gyrofréquence électronique et la fréquence de collision.
Dans la plupart des cas, la fréquence de collision υei est faible en comparaison de ωce , si
bien que négliger le terme de Hall est très délicat. Ceci est plus particulièrement vrai en
MHD idéale où υei = 0. Seuls les plasmas très collisionnels (υei �) se trouvant dans un
faible champ magnétique (ωce �) ne sont pas sensibles à cet eﬀet Hall. Pour tous les
autres, et surtout pour les plasmas astrophysiques non collisionnels, le fait de négliger ce
terme n’est pas justifiable.
A la lumière de cette discussion, en ne gardant que les termes dont l’élimination ne peut
être justifiée de manière rigoureuse et en se plaçant dans le cas d’un plasma non collisionnel
(η petit, MHD idéale), l’équation (5.86) se réécrit :
→
−
−
→
−
−
∂B →
1→
me ∂ j
− →
→
−
= �×(u × B −
j ×B− 2
)
∂t
ne
ne ∂t
(5.87)
Pour aller plus loin dans la discussion, il est intéressant de continuer l’analyse dimensionnelle. En comparant les deux derniers termes de gauche, on a
�
−
→�
me ∂ j
ne2 ∂t
me
me ω
ω
� →
�=
=
=
→
−
−
1
eBτ
eB
ωce
j ×B
ne
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 144
L’APPROCHE FLUIDE
qui montre que ce rapport est toujours petit devant 1 (ωce >> ω, c’est l’hypothèse des
variations lentes!!) et donc que le terme inertiel peut être négligé devant le terme de
−
→
− →
Hall j × B . Finalement, la comparaison entre les deux termes qui restent, le terme de
→
− →
→
−
−
→
−
−
convection →
u × B et le terme de Hall, nous donne, en remarquant que � × B = µo j et
que le rapport entre la fréquence cyclotronique ωce et la fréquence plasma ωpe est égal à
ωce /ωpe = Bεo /ne
� →
→
−�
1 −
j
×
B
ne
B
c c 1 ωce
�
� =
=
→
−
→
−
neµo Lu
u ωpe L ωpe
u ×B
C’est une expression assez diﬃcile à estimer. Néanmoins, on voit que le rapport c/u est
très grand (typiquement de l’ordre de 1000) et que le second rapport entre la longueur
d’inertie des électrons c/ωpe et L est, quant à lui, petit. En supposant qu’ils s’annulent
mutuellement en première approximation, on voit que l’on pourra négliger le terme de
Hall devant la convection si et seulement si ωce << ωpe , inégalité qui ne se rencontre que
dans les plasmas très denses (tokamaks, coeur des étoiles, etc...) et sûrement pas dans le
cas des plasmas spatiaux.
L’utilisation de la loi d’Ohm, dans le cas de la MHD idéale et même non idéale, où l’on
néglige le terme de Hall pour ne retenir que les termes les plus simples représente donc la
partie la moins justifiée de l’approche magnétohydrodynamique. C’est-à-dire lorsque l’on
prend la relation
→
− − →
−
→
−
j = σo ( E + →
u × B)
→
−
→
−
−
en supposant σ �= 0 ou de manière encore plus simple E = −→
u × B en MHD idéale.
o
Ceci a une conséquence directe intéressante. En eﬀet, en reprenant l’équation (5.87) et
en négligeant le terme inertiel du courant que l’on suppose petit, la loi d’Ohm se réécrit
sous la forme
−
−
→
−
∂B →
1→
− →
−
= � × (→
u ×B−
j × B)
(5.88)
∂t
ne
que l’on peut modifier en utilisant les équations (5.40 à 5.43) et en se rappelant que lorsque
−
−
me /mi << 1, →
u ∼→
u i et que la vitesse des électrons est régie par l’équation (5.47). On
trouve alors
−
→
−
∂B →
−
= � × (→
u e × B)
(5.89)
∂t
Sous cette forme, il devient clair que l’approche magnétohydrodynamique des plasmas
non collisionnels (l’immense majorité des plasmas spatiaux !) lorsque l’eﬀet Hall n’est
pas négligé montre que seule la composante électronique se trouve gelée dans
le champ magnétique. Les lignes de champ magnétique se déplacent avec le fluide
électronique tandis que la vitesse du centre de masse peut ne pas être alignée avec ce
déplacement. La notion de champ magnétique gelé dans le plasma ne s’applique donc que
lorsque les conditions sont telles que l’on peut négliger le terme de Hall, conditions qui ne
sont que rarement vérifiées en physique spatiale.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
6.
Annexe : Le phénomène de collision
Sommaire
6.1
6.2
6.3
Notion d’angle de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Section eﬃcace de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Section eﬃcace de transfert d’impulsion . . . . . . . . . . . . 150
Dans un gaz neutre, ce sont les collisions qui régissent la dynamique globale du fluide.
Dans les conditions habituelles de température et de pression (celles qu’on qualifie de
"normales"), ces collisions sont tellement nombreuses qu’on ne s’écarte pratiquement pas
de l’équilibre. Ce sont aussi ces collisions qui assurent diﬀusion et transport lorsque le
système est hors d’équilibre. Les collisions dont on parle dans ce cas sont des collisions
entre particules neutres, elles sont donc régies par des forces à courte portée qu’on peut
modéliser sans faire une approximation trop lourde par le modèle qu’on appelle « des
boules de billard ». Dans un plasma totalement ionisé, les interactions qui interviennent
entre particules sont électromagnétiques et donc fondamentalement diﬀérentes. A la différence des interactions entre particules neutres, ces interactions sont à longue portée, le
champ créé par une charge ne décroissant qu’en 1/r2 . Une particule donnée peut être
sensible à un voisin très proche (« interaction binaire proche »), mais elle est sensible
aussi à toutes les autres via les champs électromagnétiques qu’elles créent. On parle
d’interaction « collective » lorsque, dans une région donnée, une particule est soumise
principalement au champ moyen crée par toutes les autres. Ces champs peuvent aussi
être imposés de l’extérieur, comme par exemple au voisinage d’une planète magnétisée.
Dans le cas d’un plasma partiellement ionisé, les deux types d’interactions (à courte portée
et électromagnétique) interviennent à la fois dans la physique du milieu. Les électrons ou
les ions peuvent subir des collisions avec les particules neutres ou avec d’autres particules
chargées.
6.1
Notion d’angle de déviation
La dynamique d’une collision binaire (entre deux particules) est gouvernée par une force
interparticulaire. Dans le cas de particules neutres, elle est a très court rayon d’action
(force de contact). Dans le cas de la force coulombienne, elle est à très long rayon d’action
→
−
−
(décroissance en 1/r2 ). Cette force est généralement une force centrale F (r) = F (r)→
ur
→
−
→
−
qui agit le long de l’axe reliant les deux particules en interaction. Si v 1 et v 2 sont les
vitesses des particules avant le choc, la collision peut être représentée par la figure (6.1a).
Dans ce repère, la résolution du problème n’est pas des plus aisé, et il est plus intéressant
de se placer dans le repère du centre de masse qui se déplace à la vitesse
−
−
m1 →
v 1 + m2 →
v2
→
−
v CM =
(m1 + m2 )
Dans ce repère, la collision se décrit comme l’interaction d’une masse fictive de valeur
−
−
−
µ = m1 m2 /(m1 + m2 ), se déplaç ant initialement à la vitesse relative →
u =→
v1−→
v 2 et
intéragissant avec un centre fixe siège du potentiel d’interaction ϕ(r). En supposant que le
145
Page 146
ANNEXE : LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION
Figure 6.1: (a) Collision binaire dans le référentiel du laboratoire. (b) même type de collision
dans le référentiel lié à la particule de masse m1 .
→
−
−
choc est élastique et en prenant une force d’interaction de la forme F (r) = F (r)→
u r , il est
clair que les constantes du mouvement sont : (i) conservation de la masse (peu d’intérêt
→
−
ici !!), (ii) conservation de l’énergie totale et (iii) conservation du moment cinétique J .
→
−
Les trajectoires restant dans le plan initial (conservation de J ), on utilise les coordonnées
polaires, le système s’écrit alors en se rappelant qu’à l’infini la force d’interaction est nulle
�
Etotale = 12 µu2 = 12 µ[(rθ̇)2 + ṙ2 ] + q1 ϕ(r) = cte
(6.1)
J = µr2 θ̇ = cte = µbu
A partir de ces équations, il est aisé d’en déduire une équation diﬀérentielle pour la
trajectoire en fonction du paramètre θ. En eﬀet, on a la relation
dr
dr dθ
=
dt
dθ dt
En utilisant les équations (6.1) pour éliminer ṙ et θ̇, on trouve après réarrangement des
termes
b
1
dθ = ± 2 �
dr
(6.2)
2
r
[1 − b − 2q1 ϕ(r) ]
r2
µu2
Le choix du signe ± doit être fait en fonction d’arguments physiques. En supposant que
rm est la distance minimale d’approche correspondant à l’angle θm , alors on remarque que
lorsque θ > θm la distance r augmente avec θ et le signe + doit être utilisé, pour θ < θm
c’est donc le signe − . Cette distance minimale d’approche étant un extremum, il vient
� �
dr
b2
2q1 ϕ(rm )
= 0 ==> [1 − 2 −
]=0
dθ rm
rm
µu2
c’est-à-dire
rm = b �
1−
1
2q1 ϕ(rm )
µu2
(6.3)
Au vu de la figure (6.1b), l’angle de déviation final χ peut s’écrire
χ = π − 2θ(rm )
(6.4)
Il suﬃt donc d’intégrer l’équation (6.2) entre θ(rm ) et un angle quelconque θ, et on trouve
� r
b
1
�
θ − θ(rm ) = ±
dr�
(6.5)
�2
�)
2
2q
ϕ(r
r
b
1
rm
[1 − r�2 − µu2 ]
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 147
ANNEXE : LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION
Dans le cas particulier où r −→ ∞, on remarque que les solutions θ(−) −→ 0 et θ(+) −→
2θ(rm ) si bien que l’équation (6.5) se réécrit sous la forme
� ∞
b
1
�
θ(rm ) =
dr
(6.6)
2
2q1 ϕ(r)
b2
rm r
[1 − r2 − µu2 ]
En utilisant l’expression de l’équation (6.4), l’angle de déviation prend la forme
� ∞
b
1
�
χ(b, u) = π − 2
dr
2
2q1 ϕ(r)
b2
rm r
[1 − r2 − µu2 ]
(6.7)
Cette relation montre que l’angle de déviation χ ne dépend que du paramètre d’impact
b, de l’amplitude de la vitesse relative u et du potentiel d’interaction ϕ(r). Le calcul de
χ va donc dépendre étroitement du potentiel ϕ considéré. Deux cas particuliers sont à
souligner :
1. Interaction de type ”sphère dure”. Dans ce cas précis, on suppose l’existence
de deux sphères dures parfaitement élastiques de rayon R1 et R2 . Dans ce cas, le
potentiel d’interaction est de la forme
�
�
0 pour r > R1 + R2
ϕ(r) =
∞ pour r < R1 + R2
Pour b > R1 +R2 , il n’y a aucune interaction et nous devons avoir rm = b, dans le cas
contraire les particules subissent une collision ce que l’on traduit par rm = R1 + R2 .
Dans tous les cas, puisque les sphères sont impénétrables, nous avons r > R1 + R2 .
Après quelques calculs, sans grand intérêt, on trouve pour l’angle de déviation
χ
b
cos( ) =
2
R1 + R2
(6.8)
2. Interaction coulombienne. Dans le cas important d’un champ coulombien (particulièrement d’à-propos dans le cas des plasmas !), le potentiel d’interaction créé
par une charge q2 est de la forme
ϕ(r) =
1 q2
4πεo r
La distance minimale d’approche s’écrit alors
rm =
b2
1 q1 q 2
avec bo =
2
2
1/2
(bo + b ) − bo
4πεo µu2
(6.9)
où bo représente le paramètre d’impact pour lequel l’énergie potentielle d’interaction
est le double de l’énergie cinétique à l’infini. L’angle de déviation prend alors la forme
χ
b
cot( ) =
2
bo
6.2
(6.10)
Section eﬃcace de collision
Là encore, dans le paragraphe précédent, nous n’avons considéré que l’interaction entre
deux particules. Lorsque l’on fait intervenir de nombreuses particules incidentes (faisceau),
on devra utiliser la notion de section eﬃcace d’interaction σ. Cette quantité décrit la
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 148
ANNEXE : LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION
Figure 6.2: Géométrie d’une collision binaire en présence d’une force centrale
probabilité, pour une particule incidente, de voir sa direction défléchie dans l’angle solide
dΩ autour de la direction liée à (χ, ϕ) 1 .
Pour une diﬀusion provoquée par une force centrale, il y a symétrie autour de l’axe porté
−
par la vitesse relative →
u et σ ne dépend que de l’angle de déflexion. On peut illustrer le
processus de collision par la figure (6.2).
Du fait de la relation univoque entre l’angle de déviation χ et le paramètre d’impact b,
les particules défléchies selon l’angle χ dans l’angle solide dΩ = 2π sin χdχ devaient se
trouver initialement dans une couronne de rayon b à db près. Le nombre de particules
incidentes dans cette couronne est
dN
= Φ2πbdb
dt
où Φ représente le flux de particules incidentes. Toutes ces particules se retrouvent intégralement dans l’angle solide dΩ si bien que leur nombre total dN est
dN
dt
= Φ2πbdb = Φσ2π sin χdχ
� �
b �� db ��
et l’on obtient σ =
sin χ � dχ �
(6.11)
équation qui permet de déterminer la section eﬃcace de collision, dans les cas particuliers que nous avons déjà vus. L’utilisation de la valeur absolue est rendue nécessaire
car σ est une grandeur intrinsèquement positive alors que l’angle de déviation χ décroît
normalement quand le paramètre d’impact b augmente.
1. On suppose qu’il existe une proportionalité directe entre les particules incidentes et celles qui sont
défléchis. Si l’on défini par Φincident le flux incident de particules (c’est-à-dire le nombre de particules
qui travsersent une surface S pendant le temps dt ), on pose par définition que
dNréf léchies
= Φincident σdΩ
dt
où dNréf léchies /dt représente le nombre de particules ayant intéragit avec le centre diﬀuseur et qui
se retrouve dans l’élément de surface dS vu sous l’angle solide dΩ.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 149
ANNEXE : LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION
1. Interaction de type ”sphère dure”. Utilisant l’équation (6.8) afin d’obtenir la
relation reliant χ à b. On trouve alors que
� �
� db � 1
� � = (R1 + R2 ) sin( χ )
� dχ � 2
2
et donc que la section eﬃcace diﬀérentielle de collision est de la forme
σ=
(R1 + R2 )2
4
(6.12)
relation indépendante de χ. La section eﬃcace totale, après intégration sur les angles
solides, donne
σtotal = π(R1 + R2 )2
(6.13)
2. Interaction coulombienne. Dans ce cas, l’expression (6.10) permet d’obtenir
� �
� db � bo 1
� �=
� dχ �
2 sin2 ( χ2 )
ce qui donne la célèbre relation de Rutherford
σ=
b2o
1
4 χ
4 sin ( 2 )
(6.14)
Cette expression ne peut être intégrée car elle diverge pour les valeurs de χ −→
0, nous verrons, dans la suite de ce chapitre, ce qu’il faut faire pour obtenir une
expression cohérente.
A l’échelle du plasma, on s’intéresse plutôt aux collisions électrons-ions quel que soit l’angle
χ. Si l’on cherche la section eﬃcace totale correspondant à une déviation quelconque, on
remarque tout de suite que cette intégrale va diverger pour χ = 0. Ce ”désastre physique”
est une conséquence directe de la forme en 1/r du potentiel d’interaction. L’une des
diﬃcultés de la physique statistique des plasmas sera de trouver un moyen d’éliminer ces
divergences. On remarque que si χ tend vers zéro, alors le paramètre d’impact b tend
vers l’infini. C’est donc bien la longue portée du potentiel électrostatique qui se trouve à
l’origine des problèmes de divergence.
Plus précisément, l’énergie potentielle volumique totale associée à une particule de charge
q intéragissant avec une densité de charge uniforme n prend la forme
�
� ∞
nϕ(r) 3
d r = 2πn
ϕ(r)r2 dr
(6.15)
2
r>R
R
où d3 r est l’élément de volume contenant la particule. Cette intégrale est divergente si le
potentiel ϕ(r) décroît moins vite que r−3 . Ce qui est eﬀectivement le cas, pour le potentiel
coulombien en 1/r. Une énergie infinie autour d’une charge est inacceptable d’un point de
vue physique. Nous verrons que le fait de prendre en compte les interactions collectives
du plasma permettra assez naturellement de résoudre ce problème en introduisant un potentiel électrostatique non coulombien appelé le potentiel écranté de Debye-Hückel.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 150
6.3
ANNEXE : LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION
Section eﬃcace de transfert d’impulsion
La section eﬃcace diﬀérentielle de Rutherford (6.14) a été calculée dans un référentiel où la
cible est immobile. Dans ce cas précis, la quantité de mouvement et l’énergie de la particule
incidente (par exemple, l’électron incident) est conservée. Les processus dans lesquels un
rayonnement de freinage est émis (Bremsstrahlung) ou absorbé (Bremsstrahlung inverse)
pendant la collision ne satisfont pas à ces lois mais sortent du cadre de ce chapitre.
Nous allons nous intéresser à ce qui se passe lorsque l’on se trouve dans le référentiel du
laboratoire. En eﬀet, du fait de la trajectoire ”courbe” de la particule au moment de la
collision, le changement de repère n’est pas galiléen. Dans le référentiel du laboratoire, il
se produit à la fois un échange de quantité de mouvement et d’énergie entre le projectile
et la cible. Afin de simplifier les expressions, nous ne regarderons que la collision électronion. Nous supposerons alors que la cible (l’ion), beaucoup plus massive que le projectile
(l’électron), reste immobile 2 . Dans cette hypothèse, nous pourrons utiliser les expressions
du paragraphe (6.2).
On peut définir une section eﬃcace de transfert d’impulsion σti 3 comme étant le rapport
entre la quantité de mouvement transférée par seconde divisée par le flux total incident.
Le flux d’impulsion total est égal à Φt = Φp où p est l’impulsion d’une particule et Φ le
flux du faisceau incident. Après interaction, une particule à été déviée dans la direction
donnée par l’angle χ si bien que l’impulsion projetée le long de la direction incidente n’est
plus égale qu’à p cos χ. En utilisant la conservation de l’impulsion avant et après le choc,
il est clair que l’impulsion transférée à la cible (c’est-à-dire perdue par la particule) est
donnée par la relation Φcible = p(1 − cos χ), si bien que pour le faisceau entier en utilisant
l’équation (6.11), on obtient
�
�
� π
Φcible = (1−cos χ)pdN = Φp (1−cos χ)2πbdb = 2πΦp
σ(1−cos χ) sin χdχ (6.16)
0
La section eﬃcace s’obtient en faisant une moyenne
� π
Φcible
σti =
= 2π
σ(1 − cos χ) sin χdχ
Φt
0
(6.17)
Avec cette expression, il est aisé de la même manière que précédemment d’obtenir la
section eﬃcace de transfert d’impulsion dans les deux cas particuliers.
1. Interaction de type ”sphère dure”. En utilisant l’équation (6.12), et après
intégration, on trouve
σti = π(R1 + R2 )2
(6.18)
On montre que dans le cas précis de collisions sphère dure, la perte d’impulsion en
première approximation est totale. Toute l’impulsion est donc transférée à la cible.
2. Interaction coulombienne. Le problème de divergence rencontré dans le calcul
de σ perdure bien évidemment dans le calcul de σti . Le problème venant de la valeur
minimale de χ (égale à 0), nous allons afin d’aller plus loin utiliser l’angle χmin . On
trouve alors
� π
1
σti = 2π
σ(1 − cos χ) sin χdχ = 4πb2o ln(
)
(6.19)
sin( χmin
)
χmin
2
2. On se trouve donc en présence d’un gaz dit de Lorentz où seuls les électrons sont mobiles.
3. σti : ti signifie transfert d’impulsion !!
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
ANNEXE : LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION
Page 151
Le résultat est bien entendu divergent pour χmin = 0, c’est-à-dire pour un paramètre
d’impact b −→ ∞. En prenant le potentiel de Debye-Hückel, on s’aﬀranchit de
la divergence et l’on tient compte du milieu dans lequel se produit la collision 4 .
Usuellement, on prend comme borne supérieure d’interaction, la longueur de Debye
λD . En eﬀet, dans l’introduction, nous avons vu que cette longueur représente la
longueur à partir de laquelle la charge centrale est masquée, on dit aussi écrantée,
par le nuage des particules environnantes. Si bien que toute particule ayant un
paramètre d’impact supérieur à cette valeur ne ”verra” pas la cible et ne sera donc
pas déviée. En remplaçant dans l’équation (6.19) χmin à l’aide de l’équation (6.10)
et de la longueur λD , on trouve finalement
�
λ2D + b2o
λ2D
2
σti = 4πb2o ln(
)
=
2πb
ln(1
+
)
(6.20)
o
b2o
b2o
Dans le cas général, nous avons λD >> bo (voir la démonstration de cette inégalité
à la fin de la section 4.3.2) et l’on peut alors écrire une expression approchée de ce
résultat sous la forme
λD
σti ≈ 4πb2o ln( ) = 4πb2o ln(Λ)
(6.21)
bo
où ln( λbDo ) est appelé logarithme coulombien et par simplicité noté ln(Λ). La section
eﬃcace σti que nous venons de calculer est une fonction de la vitesse de l’électron
avant la collision par l’intermédiaire de bo . Le logarithme étant à variations lentes 5 ,
σti est en première approximation proportionnelle à v −4 .
4. Ce potentiel calculé au paragraphe (4.3.2) est de la forme
Φ(r) =
e
− r
e λD
4πεo r
Il décroît donc beaucoup plus vite qu’en 1/r et élimine les problèmes de divergence aux faibles angles de
déviation.
5. Même en prenant des paramètres plasmas (ne et Te ) très diﬀérents, la valeur de Λ ne change pas
beaucoup et reste du même ordre de grandeur. Généralement, on la prend égale à 10.
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(Auteur : Philippe Savoini)
Page 152
ANNEXE : LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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7.
Annexe : Notions élémentaires sur le transport
Sommaire
7.1
Transport dans un plasma faiblement ionisé . .
7.1.1 Equation de Langevin . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Définition des coeﬃcients de diﬀusion . . . . . .
7.1.2.1 Coeﬃcient de mobilité . . . . . . . . . .
7.1.2.2 coeﬃcient de diﬀusion . . . . . . . . . .
7.1.3 La diﬀusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Diﬀusion en présence d’un champ magnétique .
7.3 Transport dans un plasma complètement ionisé
7.3.1 Diﬀusion en l’absence de champ magnétique . . .
.
.
.
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154
155
155
156
157
159
162
162
Les plasmas que nous avons jusqu’ici étudiés étaient dans l’ensemble hautement idéalisés,
ils étaient infinis, uniformes et de plus ne possédaient qu’un seul type de population
ionique (des protons). La réalité est tout autre, et une théorie pour être utile doit en
tenir compte. En eﬀet, un plasma réel est le plus souvent de taille fini (étoiles, galaxies,
caissons de laboratoire, machines de fusion, etc...) et doit nécessairement faire apparaître
des zones de plus faible pression au niveau de ses bords. Cette non uniformité du plasma
va se cumuler aux diﬀérents types d’interactions entre espèces possibles, interactions entre
particules chargées (interaction de Coulomb) et/ou interactions avec des particules neutres
(collisions ”boule de billard”). Toutes ces conditions vont aboutir à des déplacements plus
ou moins organisés de matière que l’on qualifie du terme générique de transport. Dans
cette introduction, nous laisserons volontairement le problème du ”transport” radiatif ou
de rayonnement de côté du fait de sa complexité, problème qui n’a d’ailleurs toujours pas
reçu de réponse définitive et qui est toujours un domaine central de recherche pour bon
nombre d’astrophysiciens.
Ce phénomène de transport sera principalement décomposé en deux parties distinctes
: (i) une partie décrivant le transport d’énergie sous forme électrique, on parlera alors
de conductivité du plasma et (ii) d’une partie décrivant le transport d’énergie thermique, on parlera dans ce cas de diﬀusion. Ces deux notions sont en fait intimement
liée puisqu’elles découlent in-fine du même mécanisme de base : l’existence de collisions
entre particules. Cette séparation permettra toutefois de mettre en valeur les diﬀérentes
contributions venant du champ électrique et du gradient de densité.
Par définition, une collision entre particules correspond au changement petit mais brusque
du vecteur vitesse, provoquant le ”saut” de ces particules d’une orbite gyro-magnétique à
une autre, et à un déplacement d’ensemble des centre-guides. Après un nombre suﬃsant
de collisions, les particules se retrouvent à des distances significatives de leur position
initiale. Dans un plasma non uniforme, cette diﬀusion des particules correspond au déplacement des particules des zones de forte densité vers les zones de faible densité, avec
pour résultat un lissage du gradient de pression. L’outil de base d’une théorie rigoureuse
de ce phénomène est bien évidemment l’approche statistique (théorie cinétique) dont la résolution est encore loin d’être achevée. Du fait de sa complexité, une telle approche n’est
153
Page 154
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
pas envisageable dans ce cours, aussi allons nous lui préférer l’approche fluide, moins
rigoureuse mais beaucoup plus simple.
En raison de leur faible masse, les électrons sont animés de vitesses supérieures à celles
des autres composantes. Ils peuvent donc propager de l’énergie (thermique ou électrique),
rapidement et loin. Les espèces lourdes participent aussi à ce transport mais de manière
plus modeste. Cette dissymétrie entre espèces peut être mise à profit dans la construction
d’un modèle simple décrivant les phénomènes de transport 1 . En eﬀet, la prépondérance de
la composante électronique va nous permettre des raisonnements approximatifs aboutissant à des résultats limités, corrects qualitativement et en ordre de grandeur.
7.1
Transport dans un plasma faiblement ionisé
Comme première étape à notre analyse, la situation de loin la plus accessible concerne les
plasmas faiblement ionisés en l’absence de champ magnétique. Dans ce cas particulier,
les collisions sont majoritairement des collisions électrons-neutres, υen . La dynamique du
plasma est alors dominée par ce type de collision et l’équation de Vlasov se doit d’être
abandonnée au profit d’une équation plus générale, l’équation de Boltzmann (4.8).
La détermination du terme de collision est le plus souvent très délicate mais l’approche
fluide dans laquelle nous nous limitons, nous permet de simplifier sa détermination en
supposant qu’il se traduit par un terme de friction décrivant la perte d’impulsion sous
l’eﬀet des collisions. L’équation du mouvement de la population électronique s’écrit alors
sous la forme :
� →
�
→
− �→
−
→
− →
→
−
∂−
u e �→
−
−
ne me
+ u e · � x u e = ne qe E − � x pe + ( F coll )e
(7.1)
∂t
où nous avons supposé un plasma possédant une pression isotrope (scalaire). Le terme de
→
−
friction ( F coll )e représente symboliquement le changement moyen d’impulsion des électrons sous l’eﬀet des collisions avec les neutres. Ce terme de relaxation peut être exprimé
sous une forme phénoménologique comme le produit de la diﬀérence des vitesses entre projectile et cible avec une fréquence ”eﬀective” de collision, supposée constante, décrivant le
transfert d’impulsion électrons-neutres. On pose
→
−
−
−
−
( F ) = −m n ν (→
u −→
u ) ≈ −m n ν →
u
(7.2)
coll e
e e en
e
n
e e en
e
−
où →
u n représente la vitesse d’ensemble des neutres. Dans les faits, cette vitesse étant
−
−
beaucoup plus faible que celle des électrons (population très légère !!), on a →
u n << →
u e,
2
et on la négligera systématiquement devant celle des électrons . Le signe moins dans
l’expression de la force de collision signifie juste que les électrons, population très rapide,
est nécessairement freinée par les neutres.
7.1.1
Equation de Langevin
La situation la plus simple concerne la dynamique des électrons en l’absence de force
électrique et de gradient de pression, l’équation (7.1) se réécrit
� →
�
−
→
− �→
∂−
u e �→
d→
ue
−
−
−
ne me
+ u e · � x u e = ne me
= −me ne νen →
ue
(7.3)
∂t
dt
1. On parlera de gaz de Lorentz pour décrire ce type de plasma où les ions sont supposés immobiles
et où toute la dynamique repose sur les électrons.
2. Sans aller jusque là, il suﬃt de supposer que les neutres ne possèdent pas de vitesse moyenne
(un = 0) mais seulement une vitesse aléatoire, thermique, qui elle peut être grande.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
équation qui a pour solution
→
−
−
u e (t) = →
u e (0)e−(νen t)
Page 155
(7.4)
Les collisions électrons-neutres ont pour conséquence de ”freiner” les électrons exponentiellement dans le temps, et ce, à un taux dépendant de la fréquence de collision νen .
7.1.2
Définition des coeﬃcients de diﬀusion
Si l’on suppose que nous nous trouvons dans le cas d’un plasma fortement collisionnel, le
temps caractéristique d’évolution est très supérieur à 1/νen . On peut alors estimer qu’un
régime permanent est atteint (∂ue /∂t = 0), et que les particules fluides n’ont pas le temps
de ”voir” changer les champs électriques et les gradients de pression entre deux collisions,
le second terme de l’équation (7.1) est donc aussi nul 3 . L’équation (7.1) se réécrit sous
une forme simple
−
→
− →
−
−ne e E − � x pe − me ne νen →
u =0
(7.5)
C’est-à-dire
→
−
ue =
→
−
→
−
−
−
−
→
−
−e →
1
−e →
kB T e →
� x ne
E−
� x pe =
E−
� x ne = −µe E − De
(7.6)
me νen
me ne νen
me νen
me ne νen
ne
où l’on a supposé que la pression partielle des électrons du plasma pouvait être modélisée
par l’équation des gaz parfaits (pe = ne kB Te ) et que le plasma était isotherme. Cette
expression permet de mettre en évidence deux coeﬃcients distincts pour la population
électronique : (i) le coeﬃcient de mobilité, µe et (ii) le coeﬃcient de diﬀusion, De ,
tels que :
e
me νen
kB T e
=
me νen
µe =
(7.7)
De
(7.8)
Leur signification peut être explicitée assez simplement, en séparant la contribution de
ces deux coeﬃcients dans l’expression de l’équation (7.5).
7.1.2.1
Coeﬃcient de mobilité
Dans le cas d’un plasma uniforme (p = cte) et en l’absence de champ magnétique,
l’équation (7.5) s’écrit
→
−
−
−ne e E − me ne νen →
ue = 0
(7.9)
Cette équation ne fait que traduire le fait que l’accélération du champ électrique est
→
−
exactement contrebalancée par le freinage dû aux collisions. Par définition, le courant j
s’écrit en fonction de la vitesse d’ensemble des électrons.
→
−
−
j = −ene →
ue
(7.10)
En combinant les équation (7.9) et (7.10), on trouve
−
→
−
ne e 2 →
→
−
j =
E = σE
me νen
→
− −
−
3. La suppression au premier membre de l’équation (7.3) du terme (→
u · ∇)→
u a le mérite d’éliminer
un terme non linéaire diﬃcile à résoudre autrement. Il suppose implicitement que nous négligeons tout
−
espèce de transport convectif dans le plasma (→
u est supposée très faible).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 156
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
expression qui représente ni plus ni moins que la loi d’Ohm dans le cas d’une conductivité
constante.
Puisque le coeﬃcient de mobilité µ défini par l’équation (7.6) est le rapport de la vitesse
→
−
−
moyenne →
u au champ électrique E , on trouve
µe =
e
σ
=
me νen
ne e
Le coeﬃcient µe est donc une mesure de la conductibilité du plasma (mobilité des électrons
!) en présence d’un champ électrique. On déduirait de la même manière une conductivité
pour la population ionique.
7.1.2.2
coeﬃcient de diﬀusion
Pour justifier le nom donné à D, il est plus rapide de raisonner à partir de l’équation
de conservation du nombre de particules. Si l’on suppose, là encore, que le plasma est
isotherme et que le gradient de pression est dû à la seule variation de la densité, on obtient
→
−
∂
−
(ne ) + � x · (ne →
ue ) = 0
∂t
En l’absence de champ électrique, il est aisé d’utiliser l’équation (7.5) afin d’éliminer la
−
vitesse moyenne →
u , après calculs on trouve
→
−
∂
kB T e 2
−
(ne ) = − � x · (ne →
ue ) =
�x ne = De �2x ne
∂t
me νen
Cette relation est connue, en mécanique statistique, sous le nom d’équation de Fick et
est caractéristique d’une loi de diﬀusion (avec le coeﬃcient D mesuré en m2 s−1 ) due à
une marche au hasard 4 . Ceci ne doit pas nous étonner outre mesure puisque l’approche
fluide que nous venons d’utiliser repose implicitement sur l’hypothèse fondatrice du ”chaos
moléculaire” ou pour le dire autrement, de collisions totalement aléatoires 5 . Cette équation démontre que le flux total de particules se fait des régions les plus denses vers les
régions les moins denses. Ce flux doit être clairement proportionnel au gradient de densité.
Il est à noter que la loi de Fick n’est pas toujours vérifiée dans les plasmas, et plus
particulièrement dans les plasmas non collisionnels. En eﬀet, du fait de l’existence d’une
force électrique à long rayon d’action, le mouvement des particules peut être corrélé. De
la même façon, le plasma peut être le siège de mouvements organisés à grande échelle (les
ondes !!), et donc induire une diﬀusion (un déplacement) des particules très éloignées de
la marche aléatoire.
Une relation simple existe entre ces deux coeﬃcients, appelée relation d’Einstein. On a
µe =
e
De
kB T e
(7.11)
Dans un plasma faiblement ionisé, il existe aussi des ions pour lesquels on peut définir une
mobilité et un coeﬃcient de diﬀusion. Il suﬃt de remplacer dans les expressions obtenues
4. où marche de l’ivrogne. Ce modèle est le plus simple permettant de décrire un processus essentiellement aléatoire.
5. C’est toujours agréable de rencontrer un modèle physique (l’approche fluide) cohérent avec luimême...
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
Page 157
le e par i.et de mettre devant µi un moins. On obtient respectivement pour la mobilité
et la diﬀusion de la population ionique, les termes
e
mi νin
kB T i
=
mi νin
µi =
Di
où pour plus de simplicité, nous avons supposé des particules ionisées une fois. Comme
ces équations le mettent en évidence, ces coeﬃcients sont plus faibles pour les ions dans
le rapport des masses. Les ions réagissent moins vite à une sollicitation extérieure et
peuvent en particulier conserver une densité uniforme alors que celle des électrons subit
des variations dans l’espace. Il apparaît dans ce cas un champ de charge d’espace, capable
à son tour d’entraîner les ions. Ce mécanisme, spécifique des plasmas, va être analysé dans
le cadre d’un modèle simple.
7.1.3
La diﬀusion ambipolaire
Les coeﬃcients définis jusqu’ici ont été déterminés en négligeant totalement les interactions
entre particules chargées. Cette simplification n’est pas toujours possible, en fait, elle est,
la plupart du temps, non justifiée. Pour s’en rendre compte, il suﬃt de comparer les forces
mises en jeu dans ces diﬀérents mécanismes de transport. Grâce aux équations de Maxwell,
nous savons que toute variation de densité entre populations ionique et électronique crée
→
−
un champ électrostatique E de charge d’espace de la forme
→
− →
−
ρtotal
e(ni − ne )
∇·E =
=
εo
εo
(7.12)
où l’on a supposé des ions chargés une fois. Afin d’estimer l’importance relative de ce
champ électrique de charge d’espace dans les problèmes de diﬀusion, une analyse dimensionnelle est suﬃsante. Si l’on suppose que la longueur caractéristique du système est L,
alors l’équation (7.12) se réécrit
enL
E�
(7.13)
εo
Si bien que la force électrique FE s’exerçant sur les particules chargées est donnée par
l’expression
e 2 n2 L
FE � enE �
(7.14)
εo
Dans le même temps, la force induisant la diﬀusion est la force liée aux collisions Fcoll , en
utilisant les équations (7.2) et (7.6), on trouve
Fcoll
→
−
� x ne
nkB T
→
−
� mnνn u = mnνn D
�
ne
L
(7.15)
Le rapport de ces deux forces donne alors
FE
ne2 2
L2
�
L � 2 >> 1
Fcoll
εo k B T
λD
La longueur de Debye est en eﬀet généralement toujours très petite devant les dimensions
caractéristiques du plasma. Cette relation démontre que l’on ne peut pas négliger les
phénomènes de charge d’espace dans l’étude des mécanismes de diﬀusion. Il va nous falloir
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 158
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
revenir sur la détermination des coeﬃcients D mais en tenant compte des phénomènes de
charge d’espace.
Prenons le cas simple d’un plasma isotherme (T = cte), avec comme condition nécessaire
qu’il soit électriquement neutre (ρe = −ρi ) du fait de la très grande amplitude de la force
→
−
électrique, et sans courant macroscopique j . En régime permanent, les équations de
conservation de la charge pour les deux populations s’écrivent :
� →
−
−
� x · (ne →
ue ) = 0
→
−
→
−
� x · (ni ui ) = 0
système qui nous donne la relation
→
−
−
−
ni →
ui = n e →
ue + C
→
−
où le vecteur C est une constante. Ce vecteur est nécessairement nul car il représente la
→
−
−
−
densité de courant macroscopique ( C = ni →
ui − n e →
ue ) qui est nulle dans le plasma. La
condition de neutralité impose alors l’égalité
→
−
−
ue = →
ui
(7.16)
relation qui traduit le phénomène d’entraînement des ions (accélération) par le champ
électrique et dans le même temps le ralentissement des électrons. En reprenant l’équation
(7.6) pour les deux espèces de particules, on a
→
−
−→
� x ne
→
−
ue = −µe EA − De
ne
→
−
−→
� x ni
→
−
ui = µi EA − Di
ni
−→
où EA représente le champ électrique vu par les deux espéces que l’on appelera le champ
électrique ambipolaire. En faisant tomber les indices devenus inutiles (n = ne = ni et
→
−
u = ue ), on trouve alors
→
−
→
−
−→
−→
� xn
� xn
→
−
→
−
→
−
u = ue = ui = −µe EA − De
= µ i E A − Di
n
n
−→
d’où l’on tire l’expression finale du champ électrique EA .
→
−
−→ Di − De � x n
EA =
µe + µi n
La vitesse commune aux électrons et aux ions se met alors sous la forme
→
−
� xn
→
−
u = −DA
n
avec DA le coeﬃcient de diﬀusion ambipolaire
DA =
µ e Di + µ i De
µe + µi
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(7.17)
(Auteur : Philippe Savoini)
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
Page 159
Figure 7.1: Phénomène de diﬀusion des centres-guide sous l’eﬀet de collisions particules chargéesneutres. Cette diﬀusion des particules chargées serait impossible en l’absence de collision.
Dans le cas usuel où µe >> µi (la conductibilité étant inversement proportionnelle à la
masse), on peut assez facilement estimer la valeur de ce coeﬃcient. L’équation (7.17) se
simplifie et l’on trouve
µi
Te
DA ≈ Di + De = Di + Di
(7.18)
µe
Ti
où l’on a utilisé la relation d’Einstein (7.11) afin de faire disparaître la conductibilité µ.
Cette dernière expression montre que lorsque l’on a Te ∼ Ti le coeﬃcient de diﬀusion
ambipolaire est égal à DA ≈ 2Di , ce qui montre que :
– l’eﬀet du champ électrique ambipolaire est d’augmenter (d’accélérer) la diﬀusion de la
population la plus lourde. Ce sont les électrons qui ”tirent” les ions vers les zones de
basse densité
– le taux de diﬀusion DA commun aux deux espèces est essentiellement contrôlé par la
population la plus lente. Les électrons sont donc ralentis (freinés) par les ions. Le taux
de diﬀusion DA se trouve entre De et Di , les coeﬃcients sont calculés en négligeant
toute interaction entre particules chargées.
Cet eﬀet se produit quel que soit le degré d’ionisation du plasma. Néanmoins, le raisonnement reposant sur l’expression de la force de collision Fcoll , les formules précédentes
n’ont de sens que pour les gaz faiblement ionisés.
7.2
Diﬀusion en présence d’un champ magnétique
La présence d’un champ magnétique se traduit par (i) l’introduction d’un terme de force
supplémentaire et (ii) l’apparition d’une anisotropie de l’espace qui auront comme conséquence une modification des coeﬃcients de diﬀusion. En fait, une méthode usuelle de
confinement du plasma consiste en l’application d’un fort champ magnétique. Les particules chargées tournent alors autour des lignes de champ magnétique et restent donc
confinées dans un espace de l’ordre de la longueur de gyration ρc . Dans un cas réel, ce
confinement va se trouver contrecarré par les phénomènes de collision entre atomes neutres et particules chargées. Ce comportement particulier est illustré par la figure (7.1) qui
montre le déplacement global d’un centre-guide à travers les lignes de champ magnétique.
Quand une particule chargée rencontre une particule neutre, la direction de son vecteur
vitesse change d’un angle quelconque. Ceci a pour conséquence que la particule continue
de tourner autour d’une autre ligne de champ dans le même sens mais avec une phase
qui change discontinuement, et donc autour d’un autre centre-guide. Le rayon de Larmor
peut lui aussi être modifié si la particule acquiert de l’énergie perpendiculaire durant la
collision mais cela n’est pas essentiel à la compréhension du processus de diﬀusion. Par
mesure de simplicité, nous supposerons alors que la collision ne change pas l’énergie de la
particule et donc que le rayon de gyration reste le même.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 160
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
Si l’on ne s’intéresse qu’à la population électronique, les équations fluides du mouvement
nous permettent d’écrire en régime stationnaire
→
−
→
− −
→
−
−
n e qe ( E + →
u e × B ) − � x pe − me ne νcoll →
ue =0
(7.19)
où νcoll représente la fréquence de collision qui sera précisée par la suite. Il est à noter
que l’utilisation de l’hypothèse d’un régime stationnaire n’est pas en contradiction avec
l’évolution du plasma. Si l’on suppose un plasma ”réaliste” avec une forte densité en
son centre et une faible sur les bords, la densité électronique peut diminuer au cours du
temps. Le régime stationnaire signifie juste que nous étudions le système sur des échelles
de temps beaucoup plus petites que le temps moyen caractéristique de la décroissance de
cette densité. La présence du champ électrique ne peut être négligée afin de tenir compte
de la diﬀusion ambipolaire liant les électrons et les ions.
Il est naturel de décomposer l’équation (7.19) suivant les directions parallèle et orthogonale
à celle du champ magnétique. On posera alors
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
ue =→
u�+→
u ⊥ et E = E � + E ⊥
Evidemment, nous avons
→
−
→
−
u�× B =0
si bien que le long des lignes de champ, on obtient l’équation de transport (7.5) qui nous
a permis de trouver les coeﬃcients de diﬀusion en l’absence de champ magnétique. Le
problème se réduit donc à l’étude de ce qui se passe dans les directions perpendiculaires.
L’équation du mouvement dans la direction perpendiculaire prend la forme
→
−
→
−
→
−
−
−
n e qe ( E ⊥ + →
u e⊥ × B ) − � ⊥ pe − me ne νcoll →
u e⊥ = 0
(7.20)
Afin d’extraire la vitesse perpendiculaire de cette expression, il suﬃt de multiplier vecto→
−
riellement à droite par B . On trouve alors
−
→
−
→
−
→
−
→
− →
→
−
→
−
−
−
n e qe ( E ⊥ × B ) + n e qe ( →
u e⊥ × B ) × B − � ⊥ pe × B − me ne νcoll →
u e⊥ × B = 0
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
n e qe ( E ⊥ × B ) − n e q e →
u e⊥ B 2 − � ⊥ pe × B − me ne νcoll →
u e⊥ × B = 0
→
−
−
Dans cette expression, nous pouvons éliminer →
u e⊥ × B en utilisant l’équation (7.19),
ce qui permet de séparer le vecteur vitesse des autres quantités. En faisant apparaître
explicitement la fréquence de gyration des électrons Ωce = eB/me , et après réorganisation
des termes, on trouve
→
−
→
−
→
−
→
−
−
→
−
Ω2ce � ⊥ p × B
qe
νcoll →
→
−
2
2
2 E⊥ × B
u e⊥ (νcoll + Ωce ) = Ωce
−
+
νcoll E ⊥ −
� ⊥ pe
2
2
B
qn
B
me
me ne
(7.21)
L’équation (7.21) a le mérite de mettre en évidence sous une forme connue les vitesses de
−
→
−
→ et
dérive décrites par l’équation (5.26) obtenues dans l’approche fluide (dérive →
v d−
E ⊥× B
→
−
→ ). Ces dérives ne contribuent pas au transport dans les directions
diamagnétique v d−
�⊥p
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
Page 161
→
−
→
−
E ⊥ ou � ⊥ p 6 . Cette équation peut s’exprimer sous une forme plus compacte, on trouve
→
−
→
−
Ω2ce
νcoll
νcoll
1
−
→
− → ) + qe
→
−
→+ v −
(→
v d−
E
−
� ⊥ pe
⊥
2
2
2
E
×
B
d
�
p
2
2
2
⊥
⊥
(νcoll + Ωce )
me (νcoll + Ωce )
me ne (νcoll + Ωce )
1
−
→
− → )
→
−
→+ v −
=
(→
v d−
2
E ⊥× B
d�⊥p
2)
(1 + νcoll
τce
→
−
→
−
qe
1
1
1
+
E⊥ −
� ⊥ pe
(7.22)
2
2
2
2
me νcoll (1 + Ωce τcoll )
me ne νcoll (1 + Ωce τcoll )
→
−
u e⊥ =
→
−
u e⊥
avec τce et τcoll respectivement, la période cyclotronique électronique et le temps séparant
deux collisons. Dans le cas d’un plasma isotherme, (T = cte), un parallèle peut être fait
avec les coeﬃcients trouvés précédemment en l’absence de champ magnétique (équations
7.7 et 7.8), on peut alors poser
→
−
u e⊥ =
→
−
→
−
1
µe
De
� ⊥ ne
→
−
→
−
→
−
→+ v −
→ )+
( v d−
E ⊥−
(7.23)
2
2
2
E
×
B
d
�
p
2
2
2
⊥
⊥
(1 + νcoll τce )
(1 + Ωce τcoll )
(1 + Ωce τcoll ) ne
Le même type de calcul appliqué aux ions donnerait un résultat analogue, il suﬃt de
remplacer les e par des i et de changer de signes les deux derniers termes, pour obtenir
la vitesse perpendiculaire des ions. Il est à noter que les termes de masse apparaissant
alors dans l’équation (7.23) font intervenir non pas la masse des ions seules mais bien
plutôt une masse réduite, diﬀérente suivant que les collisions se font sur des électrons, sur
d’autres ions ou sur des neutres. Les coeﬃcients de mobilité et de diﬀusion électroniques,
en présence d’un champ magnétique, s’écrivent alors
µe
2
(1 + Ω2ce τcoll
)
De
=
2
(1 + Ω2ce τcoll
)
µe⊥ =
(7.24)
De⊥
(7.25)
Les équations (7.22), (7.24) et (7.25) appellent diﬀérentes remarques que l’on peut résumer
de la sorte :
1. La vitesse perpendiculaire est essentiellement constituée de deux parties distinctes :
−
→
− → , dont les valeurs sont
→
−
→ et v −
(i) La première, liée aux dérives usuelles →
v d−
E ⊥× B
d�⊥p
réduites par l’existence de collisions au sein du plasma. Dans le cas où ces collisions
avec les neutres deviennent négligeables (νcoll −→ 0), le coeﬃcient de ”freinage”
2
2
1/(1 + νcoll
τce
) disparaît et l’on retrouve les dérives usuelles déduites de l’équation
de Vlasov. (ii) La seconde partie est nouvelle. Elle met en évidence une dérive,
un déplacement, dans la direction du champ électrique perpendiculaire et le long
du gradient de densité. Là encore, ces coeﬃcients de transport prennent la même
→
−
2
2
forme que dans le cas ( B = 0), au facteur de réduction 1/(1 + νcoll
τce
) près.
2. Le facteur νcoll τce est donc une quantité très importante lorsque l’on désire confiner
2
2
un plasma. Comme nous l’avons déjà vu précédemment, lorsque νcoll
τce
<< 1, le
champ magnétique a peu d’eﬀet sur la diﬀusion, et nous nous trouvons en face d’un
2
2
plasma non magnétisé. A l’inverse, lorsque νcoll
τce
>> 1 le champ magnétique
→
−
→
−
6. En eﬀet, la dérive E × B déplace dans son ensemble tout le plasma, et donc, n’induit aucun
transport d’une population par rapport à une autre. D’autre part, nous avons vu que la dérive due
→
−
au gradient de pression ∇p n’apparaît que lors de moyennes sur de petits volumes de l’espace et ne
correspond pas à un déplacement des centre-guides. Là encore, aucun transport de masse ou d’énergie
n’a lieu.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 162
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
devient important, le plasma est dit magnétisé. Il réduit dans de grandes proportions le taux de diﬀusion dans la direction perpendiculaire, et donc, autorise un
meilleur confinement du plasma dans les machines de fusion thermonucléaire.
2
2
3. Dans le cas limite où νcoll
τce
>> 1, le coeﬃcient de diﬀusion (7.25) se réécrit sous
la forme
De
kB T e
De⊥ ≈ 2 2 =
νen
(7.26)
Ωce τcoll
me Ω2ce
Si bien que le rôle des collisions se trouve inversé par rapport au coeﬃcient de diﬀusion déterminé en l’absence de champ magnétique. Dans la direction perpendiculaire
→
−
à B , D⊥ est proportionnel à la fréquence de collision. Ceci peut s’expliquer sim→
−
plement en se rappelant que la diﬀusion perpendiculaire au champ magnétique B
fait nécessairement intervenir des collisions comme cela est mise en évidence par la
figure (7.1).
Ces calculs simples ont été eﬀectués dans le cadre d’un plasma faiblement ionisé où seules
les collisions entre particules chargées et les neutres étaient prises en compte. On peut
se demander s’il est possible de faire le même type de calcul dans le cas limite opposé
où seules les collisions entre particules chargées (collisions coulombiennes) sont prises en
compte.
7.3
Transport dans un plasma complètement ionisé
On suppose que le plasma est totalement ionisé et que les seules espèces en présence sont
les ions et les électrons. Les équations du mouvement vont donc faire apparaître une force
de ”friction” où intervient la fréquence de collision électrons-ions υe−i déterminée dans la
section (4.2).
7.3.1
Diﬀusion en l’absence de champ magnétique
En supposant dans un premier temps qu’il n’y a pas de champ magnétique, les équations
du mouvement s’écrivent en régime stationnaire sous la forme :
−
→
− →
−
−
ne qe E − � x pe − me ne νei (→
ue−→
u i) = 0
−
→
− →
→
−
→
−
nq E −� p +m n ν (u − u ) = 0
i i
x i
e e ei
e
i
où le dernier terme représente le transfert de quantité de mouvement d’une population à
l’autre 7 , faisant intervenir la fréquence de collision νei électrons-ions. L’une ou l’autre de
ces équations fournit la densité de courant voulue en la multipliant par −e. Dans le cas
des électrons, on trouve :
→
−
→
−
−
→
−
ne e 2 →
e � x pe
ekB Te � x ne
→
−
→
−
→
−
j = −ene ( u e − u i ) =
E+
= σE +
me νei
me νei ne
me νei ne
où nous avons utilisé là encore l’hypothèse isotherme pour expliciter la pression p du
plasma. On retrouve l’expression obtenue dans le cas d’un plasma faiblement ionisé,
ne e 2
= ne eµe
me νei
ekB Te
=
me νei
σe =
(7.27)
De
(7.28)
−
−
7. Cette force de ”friction” est négative dans le cas des électrons (→
ue > →
u i ), ce qui traduit un
ralentissement de cette population et positive dans le cas de la population ionique. Cette population plus
lente étant entraînée à la suite des électrons.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
Page 163
Mobilité, conductivité électrique et coeﬃcients de diﬀusion gardent la même forme à
ceci près que la fréquence de collision qui intervient dans ces expressions est diﬀérente.
L’équation (4.53) obtenue au paragraphe 6.3, prend la forme
νe−i =
ωpe
ln(Λei )
Λei
La conductivité s’écrit par exemple,
2
ωpe
ne e 2
Λei
σe =
= εo
= εo ωpe
me νei
νei
ln(Λei )
expression que l’on peut aussi écrire en remplaçant la fréquence de collision par l’équation
(4.51). On trouve alors
4πε2 (kB Te )3/2 1
σe = √ o
(7.29)
me Z 2 e2 ln(Λei )
Cette dernière relation a le mérite de mettre en évidence la faible dépendance en densité
de σe à travers le logarithme coulombien. Bien sûr la conductivité est proportionnelle
au nombre de porteurs de charge rapides (les électrons) mais elle est aussi inversement
proportionnelle à la fréquence de collisions donc à la densité des ions. Les deux termes se
compensent alors dans un plasma électriquement neutre (ne ∼ ni ∼ n).
Pour la population ionique, on obtiendrait des coeﬃcients ayant une forme analogue.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 164
ANNEXE : NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LE TRANSPORT
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
8.
Annexe : Généralités sur les invariants
Sommaire
8.1
Rappel de mécanique analytique . . . . . . . .
8.1.1 Les équations de Lagrange . . . . . . . . . . . .
8.1.1.1 Principe de D’Alembert . . . . . . . .
8.1.1.2 Les coordonnées généralisées . . . . .
8.1.1.3 Cas des forces conservatives . . . . . .
8.1.1.4 Les équations de Hamilton . . . . . .
8.1.2 Le principe de moindre action . . . . . . . . . .
8.2 Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Les constantes du mouvement . . . . . . . . . .
8.2.2 Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . .
8.2.2.1 Le premier invariant adiabatique . . .
8.2.2.2 Le second invariant adiabatique . . .
8.2.2.3 Le troisième invariant adiabatique . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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172
173
176
177
179
181
Le calcul des invariants adiabatiques obtenu dans la section (3.2.4) (à savoir µ, J) repose sur de nombreuses approximations et hypothèses qui, si elles sont nécessaires pour
obtenir leur expression explicite, peuvent être introduite beaucoup plus naturellement
dans une approche plus fondamentale utilisant la mécanique analytique. Nous verrons à
l’aide de quelques rappels de mécanique analytique l’origine et la portée de ces invariants
adiabatiques (ou constante du mouvement).
Il existe deux formalismes pour décrire la dynamique d’une particule chargée. La relation fondamentale de la dynamique (RFD) et le système de Hamilton-Lagrange. Ces
deux formalismes sont en fait totalement équivalent, la RFD étant intuitive et adaptée
à l’utilisation de méthodes d’approximations simples (que nous avons massivement utilisées dans le chapitre 3) et l’approche de Lagrange-Hamilton 1 , beaucoup plus abstraite
mais exploitant les symétries spatiales et temporelles (constante du mouvement). En fait,
le formalisme canonique n’introduit pas une nouvelle physique mais propose juste une
nouvelle gamme d’outils pour étudier les phénomènes physiques.
8.1
Rappel de mécanique analytique
La mécanique analytique n’apporte rien de conceptuellement nouveau par rapport aux
formulations standard de la dynamique newtonienne (principe fondamental, théorème
de l’énergie cinétique et autres points marquants de l’enseignement élémentaire de la
mécanique), mais en constitue une formulation très élégante. Parfaitement adaptée à la
description de systèmes où les mouvements sont sujets à des contraintes, à l’utilisation
de techniques de perturbations, ce qui explique son succès auprès des astronomes, elle est
souvent d’un usage infiniment plus pratique que les formulations plus élémentaires.
1. En fait, ce formalisme énergétique fut introduit par Leibnitz via la définition de l’énergie cinétique
qu’il a obtenu à un facteur 2 près.
165
Page 166
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
En mécanique analytique, nous ne préciserons pas les équations locales que doit vérifier
à chaque instant le mouvement de la particule. Nous donnerons en fait une condition
prescrivant à une intégrale portant sur l’ensemble du mouvement d’être extrêmale. Parmi
toute les trajectoires permises par la cinématique, mais parfois absurdes pour la dynamique, il nous faudra choisir la bonne en respectant cette rêgle. En fait, la description
du mouvement en mécanique analytique est très semblable à la description des rayons
lumineux avec le principe de Fermat. Là aussi, on doit choisir parmi tous les trajets
possibles celui qui rend extrémale une intégrale qui n’est autre que la durée du trajet.
8.1.1
Les équations de Lagrange
Il existe principalement deux approches pour obtenir les équation d’Euler-Lagrange qui
nous intéressent ici : (i) soit on part de l’équation fondamentale de la dynamique et
on applique le principe de D’Alembert 2 , (ii) soit on part du principe de moindre action
d’Hamilton 3 pour en déduire l’expression de ces mêmes équations. Cette dernière approche a le mérite de généraliser la notion de “mouvement” ou de “trajectoire” à l’évolution
d’un système quelconque qui peut même être non mécanique comme dans la théorie des
champs. Néanmoins, dans ce chapitre, nous allons nous focaliser sur les invariants utilisés
en physique des plasmas et donc dont l’origine repose sur la notion simple de particules et
de trajectoires dans l’espace réel. Dans cette optique, nous allons donc utiliser la première
approche, elle permettra alors de façon très simple de retrouver le principe d’Hamilton
sans aucun a-priori.
8.1.1.1
Principe de D’Alembert
Ce principe est en fait assez simple dans son concept. Son point de départ repose sur la
notion de déplacement “virtuel ” δ�r qui correspond à un changement de configuration du
système lors d’un changement de coordonnées (changement cohérent avec les forces et les
contraintes imposées au système à un instant t). Le mot “virtuel” est utilisé ici car ce
déplacement n’a rien de réel en ce sens qu’il est instantané (à l’inverse d’un déplacement
“réel” qui se fait durant un laps de temps δt non nul pendant lequel les forces appliquées
peuvent changer). Si bien que dans le cas d’un système à l’équilibre (F�iT = 0), le travail
“virtuel ” sur la particule i, Wi = F�iT · δ�ri = 0 est nul. Le travail total prend alors la forme
simple
�
Wtotal =
F�iT · δ�ri = 0
i
Pour l’instant, nous n’avons pas vraiment avancé mais la force totale peut être séparée
en un terme décrivant les forces appliquées (F�i ) et un terme décrivant les forces de contrainte s’exerçant sur le système (f�i ). Nous allons faire alors une hypothèse importante
en supposant que les forces de contrainte sont nulles (f�i = 0 ). Cette hypothèse est en
2. Le principe de d’Alembert est un principe de mécanique analytique aﬃrmant que l’ensemble des
forces de contrainte d’un système ne travaille pas lors d’un déplacement virtuel. Ce principe a été énoncé,
en des termes diﬀérents, en 1743 par Jean le Rond D’Alembert dans son Traité de dynamique. Ce principe
postule que, par exemple, la table sur laquelle est posé un objet est passive (et donc n’oppose que des
forces de réaction au corps) et ne va pas lui fournir une quelconque accélération, ni énergie.
3. Le principe de moindre action postule qu’un système se meut d’une configuration à une autre de
telle façon que la première variation de l’action (dont les dimensions sont une énergie multipliée par un
déplacement) entre la trajectoire naturelle eﬀectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment
voisine ayant les mêmes extrémités dans l’espace et dans le temps soit nulle. En d’autres termes, la
trajectoire eﬀectivement suivit par le système sera celle pour laquelle l’action sera extrémale (attention,
les deux possibilités, minimum ou maximum, peuvent être rencontrées).
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 167
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
fait assez générale et se vérifie pour les corps solides et toutes contraintes s’appliquant
perpendiculairement au mouvement (réaction du sol, etc...). Bien sûr, cette hypothèse
ne se vérifie plus pour des forces de dissipation (force de friction, de viscosité, etc...) qui
s’appliquent parallèlement au déplacement. Avec cette restriction en tête, nous pouvons
donc écrire
�
F�i · δ�ri = 0
i
Dans cette équation, les forces appliquées ne sont plus systématiquement nulles (F�i �= 0).
Cette relation est donc vraie pour n’importe quel système statique et il est très simple de
l’écrire pour un système évoluant dans le temps sous l’action des forces appliquées grâce à
l’équation du mouvement, on généralise alors l’équation précédente aux système évoluant
dans le temps en posant
�
d�
pi
(F�i −
) · δ�ri = 0
(8.1)
dt
i
puisque F�i −
8.1.1.2
dp�i
dt
= 0. Cette relation est appelée principe de D’Alembert.
Les coordonnées généralisées
Les déplacements étant virtuels, nous pouvons les généraliser à des quantités qn que
l’on note coordonnées généralisées 4 . Dans ce cas, nous avons donc la transformation
�ri = �ri (q1, q2, q3, . . . , qn , t) en supposant n coordonnées indépendantes. On peut alors
exprimer les déplacement �ri en fonction des coordonnées généralisées par la relation
� ∂�ri
δ�ri =
δ�qj
(8.2)
∂q
j
j
Il est à noté que le déplacement étant “virtuel ”, il se fait instantanément et donc aucune
variation temporelle n’est possible. On trouve de la même façon, l’expression de la vitesse
�v = �r˙ sous la forme
∂�ri � ∂�ri
�vi =
+
δqj
(8.3)
∂t
∂q
j
j
En reprenant l’équation (8.1), on fait apparaître deux quantités distinctes que nous allons
traiter séparément.
– Travail virtuel en coordonnées généralisées. On peut écrire alors
�
�
�
∂�ri
F�i · δ�ri =
F�i ·
δ�qj =
Qi δqi
(8.4)
∂q
j
i
i
i,j
�
∂�
ri
où Qj = j F�i · ∂q
est une force généralisée. Il est important de noter que la dimension
j
des coordonnées qj peut ne pas être une longueur, de même pour la force généralisée
qui peut ne pas être une “vraie” force. Le seul impératif est que le produit Qi δqi ait la
dimension d’un travail (ou action !).
– Accélération virtuelle en coordonnées généralisées. En reprenant le second terme de
l’équation (8.1), on obtient
� d�
�
�
pi
∂�ri
· δ�ri =
mi�r¨i · δ�ri =
mi�r¨i ·
δ�qj
dt
∂q
j
i
i
i,j
4. Cette généralisation n’implique pas que ces “coordonnées” restent des coordonnées spatiales, il peut
s’agir de tout autre chose, angle de rotation, température, temps, etc ... En fait, n’importe quelle quantité
scalaire.
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(Auteur : Philippe Savoini)
Page 168
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
Expression que l’on peut transformée en faisant apparaître la dérivée temporelle. Pour
simplifier l’écriture, nous allons dans un premier temps regarder la composante qj , on
écrit alors
� �
�
�
��
�
∂�ri
d ∂�ri
∂�ri � d
¨
˙
˙
mi�ri ·
=
mi�ri ·
− mi�ri ·
(8.5)
∂qj
dt
∂qj
dt ∂qj
i
i
En utilisant l’équation (8.3), on constate que
�
� � 2
d ∂�ri
∂ �ri
∂ 2�ri
∂�vi
=
q̇k +
=
dt ∂qj
∂qj ∂qk
∂qj ∂t
∂qj
k
de même, grâce à la même équation (8.3), on montre facilement que
∂�vi
∂�ri
=
∂ q̇j
∂qj
si bien qu’en remplaçant dans l’équation (8.5) ces diﬀérents termes, nous trouvons
�
�
��
�
�� d �
∂�
r
∂�
v
∂
d
i
i
mi�r¨i ·
=
mi�vi ·
− mi�vi ·
r�i
∂qj
dt
∂ q̇j
∂qj dt
i
i
que l’on peut réécrire en faisant apparaître l’énergie cinétique Ec = 12 mv 2 sous la forme
� �
�
��
�
��
�
� 1 ∂�vi
� 1 ∂�vi
∂�
r
d
∂
∂
i
mi�r¨i ·
=
mi
−
mi
δqj = 0
∂qj
dt ∂ q̇j
2 ∂ q̇j
∂qj
2 ∂ q̇j
i
i
i
c’est-à-dire
�
d
dt
�
∂Ec
∂ q̇j
�
∂Ec
−
∂qj
�
(8.6)
δqj = 0
En reportant alors les équations (8.4) et (8.6) dans l’équation (8.1), le principe de D’Alembert
a pour expression
�
� �� d � ∂Ec � ∂Ec �
−
− Qj δqj = 0
dt
∂
q̇
∂q
j
j
j
Les déplacements “virtuels” généralisés δqj étant indépendants entre eux et non nuls, la
seule possibilité pour vérifier cette relation est que nous ayons
� �
�
�
d ∂Ec
∂Ec
−
− Qj = 0
(8.7)
dt ∂ q̇j
∂qj
et ce, pour chaque composante j (il y a donc n équations indépendantes en tout).
8.1.1.3
Cas des forces conservatives
Dans le cadre qui nous intéresse, ici, le système de particules chargée formant le plasma
est un système conservatif, si bien que toutes les forces découlent d’un gradient d’une
� p ). Le travail virtuel prend la forme
énergie potentielle 5 (F� = −∇E
Qj =
�
j
∂�ri � �
∂�ri
∂
F�i ·
=
− ∇i E p ·
=−
Ep
∂qj
∂q
∂q
j
j
j
5. Dans le cas qui nous intéresse, celui d’un plasma, les forces sont les forces électromagnétique qui
s’expriment sous la forme
�
�
� + �v × B
�
F� = q E
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ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
Page 169
et donc l’équation (8.7) finalement s’écrit
� �
�
�
d ∂(Ec − Ep )
∂(Ec − Ep )
−
=0
dt
∂ q̇j
∂qj
puisque Ep ne dépend pas de la composante généralisée q̇j . En posant L = (Ec − Ep ), on
trouve alors les équations de Lagrange
�
�
d ∂L
∂L
−
=0
(8.8)
dt ∂ q̇j
∂qj
équations qui décrivent l’évolution d’un système sous l’action des forces appliquées à celuici. D’ailleurs, en revenant à l’équation de la dynamique de laquelle nous sommes parti,
nous obtenons les relations
�
∂L
= pj
∂ q̇j
(8.9)
∂L
= ṗj
∂qj
où pj est appelé moment généralisé (attention, il n’y a aucune raison qu’il ait les dimensions d’une impulsion) et ṗj la force généralisée données par les équations de Lagrange.
Dans cette expression, le champ électrique ne dérive pas exclusivement d’un potentiel car nous avons
� E
� �= 0 (équation 1.4). Par contre, l’équation (1.3) montre que le champ magnétique peut être exprimé
∇×
� =∇
� ×A
� où A
� est appelé potentiel vecteur. L’utilisation de
sous la forme d’un rotationnel, on a donc B
l’équation (1.4) nous permet donc d’écrire
�
�
�
�
∂
B
∂
A
� ×E
�+
� × E
�+
∇
=∇
=0
∂t
∂t
Si bien que nous pouvons exprimer simplement le champ électrique, en posant
�
�
�
�
∂
A
∂
A
�+
� =⇒ E
� =−
�
E
= −∇φ
+ ∇φ
∂t
∂t
La force électromagnétique s’écrit alors
� �
�
�
�
�
�
∂
A
�
� ×A
�
F� = q −
+ ∇φ
+ �v × ∇
∂t
Après substitution via les relations vectoriels usuelles, cette force a des composantes qui peuvent
s’exprimer en fonction d’une énergie potentielle généralisée
�
�
��
�
�
�
∂ �
d
∂ � ��
∂Ep
d ∂Ep
�
Fx = q −
φ − �v · A +
�v · A
=−
+
∂x
dt ∂vx
∂x
dt ∂vx
�
�
� car φ par définition ne dépend pas de la vitesse. On trouverait le même type
avec Ep = q φ − �v · A
de relation suivant les autres axes. En reprenant l’équation (8.7), on voit que l’énergie potentielle peut
s’exprimer en fonction d’un potentiel généralisé U tel que
�
�
d ∂Ep
∂Ep
Qj =
−
dt ∂ q̇j
∂qj
Si bien que la fonction de Lagrange L dans le cas d’une force électromagnétique peut être écrit sous la
forme
1
�
L = Ec − Ep = mv 2 − qφ + �v · A
2
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 170
8.1.1.4
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
Les équations de Hamilton
Nous savons donc évaluer le moment généralisé pj si nous connaissons la fonction de
Lagrange L(qj , q̇j , t). Dans le cas où L n’est pas une fonction explicite du temps (c’est-àdire L(qj , q̇j )) sa diﬀérentielle (ou variation) se réécrit aisément
dL =
comme
d
cela nous donne
d
� ∂L
�
∂L
dqj +
dq̇j =
ṗj dqj + pj dq̇j
∂qj
∂ q̇j
j
j
�
�
�
�
pj q̇j
j
�
j
=
�
pj dq̇j +
j
pj q̇j − L
�
=
�
(8.10)
q̇j dpj
j
�
j
(8.11)
(q̇j dpj − ṗj dqj )
�
Cette égalité est intéressante car elle montre d’une part que la fonction H = j pj q̇j − L
est une fonction des seules variables qj et pj (ou en d’autres termes H(qj , pj ) et d’autre
part, que dtd H = 0 (H est une fonction constante). En eﬀet, en utilisant l’équation (8.10),
nous obtenons
�
�
�
��
d
d �
d
∂L
∂L
H=
pj q̇j − L =
ṗj q̇j + pj q̈j −
q̇j −
q̈j
dt
dt
dt
∂qj
∂ q̇j
j
j
qui à l’aide des relations (8.9) s’annulle aisément. La fonction H est appelée fonction de
Hamilton.
�
� ∂L
H=
pj q̇j − L =
q̇j
−L
∂ q̇j
j
j
Dans le cas particulier, où l’énergie potentielle ne dépend pas explicitement de la vitesse
ou du temps (c’est le cas des forces conservatives que nous rencontrons dans ce cours) on
obtient de plus
∂L
∂ (Ec − Ep )
∂Ec
=
=
∂ q̇j
∂ q̇j
∂ q̇j
si bien que nous avons 6
H=
�
j
q̇j
∂Ec
− L = 2Ec − (Ec − Ep ) = Ec + Ep
∂ q̇j
qui représente alors l’énergie totale du système. H étant une fonction constante du temps,
on retrouve bien la conservation de l’énergie totale. Si l’utilisation de l’hypothèse que L
ne dépend pas explicitement du temps, nous a permit d’obtenir l’expression de H, elle
n’est pas indispensable. Si maintenant, nous supposons que cela n’est plus le cas, alors
H(qj , pj , t) et l’équation (8.11) nous permet d’écrire
dH =
�
j
(q̇j dpj − ṗj dqj ) −
∂L
∂t
6. Un calcul assez laborieux, que nous ne développerons pas ici, permet de montrer que
�
j
q̇j
∂Ec
= 2Ec
∂ q̇j
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 171
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
de même, la diﬀérentielle totale de H nous donne
dH =
� ∂H
j
∂qj
dqj +
∂H
∂H
dpj +
∂ q̇j
∂t
Par identification, nous obtenons les équations de Hamilton

∂H
∂L

 ∂t = − ∂t
∂H
= −ṗj
∂qj

∂H

= q̇j
∂pj
(8.12)
Ces équations montrent que si L ne dépend explicitement du temps (donc que ∂L/∂t = 0)
alors l’Hamiltonien H est une constante du mouvement (en fait, dans ce cas nous voyons
que c’est l’énergie totale qui se conserve). Le changement que nous venons d’eﬀectué entre
L(qj , q̇j , t) et H(qj , pj , t) n’est pas innocent car nous venons de passer d’une fonction qui
se focalise sur la position et la vitesse réelles d’une particule à une fonction se focalisant
sur la position et l’impulsion de cette même particule qui représentent les coordonnées
généralisées de la particule dans un espace abstrait appelé l’espace des phases (et qui
n’ont rien à voir avec les coordonnées et l’impulsion d’une particule mécanique).
8.1.2
Le principe de moindre action
L’expérience montre que la donnée simultanée des coordonnées de position et de vitesse
détermine complètement la dynamique du système et donc son état futur. La formule la
plus générale décrivant�
la loi�
du mouvement est donc une fonction des seules quantités qi ,
q̇i et t que l’on note L( i qi , i q̇i , t) où de manière plus compacte L(q, q̇, t) (bien entendu
le choix du nom de cette fonction n’a pas été fait au hasard au vu de la précédente section
!). On définit alors une intégrale représentant l’évolution temporelle du système entre les
temps t1 et t2 que l’on écrit
�
t2
S=
L(q, q̇, t)dt
t1
Cette intégrale, dite intégrale d’action, représente une infinité de “chemins” possible entre
les instants t1 et t2 . En fait, seul les points de départ q(t1 ) et d’arrivée q(t2 ) sont connus,
le chemin parcouru pour aller de l’un à l’autre peut quand à lui être quelconque et est
paramètré par la fonction q(t) + δq(t). La seule contrainte que nous ayons est que nécessairement δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 puisque ces points sont fixes. comme illustrée sur la figure
(8.1). Nous allons voir grâce aux équations de Lagrange obtenue précédemment que cette
intégrale d’action est nécessairement un extremum par rapport aux déplacement q(t) et
que seul le chemin minimisant cette intégrale est un chemin réel.
Le changement de la valeur de S lorsque l’on remplace q par δq est la diﬀérence
� t2
� t2
� t2
δS =
L(q + δq, q̇ + δ q̇, t)dt −
L(q, q̇, t)dt = δ
L(q, q̇, t)dt
t1
t1
t1
que l’on peut développer suivant les puissances de δq et δ q̇ à l’ordre un 7 sous la forme
�
� t2 �
∂L
∂L
δS =
δq +
δ q̇ dt
∂q
∂ q̇
t1
7. Nous n’avons pas besoin de faire un développement limité à un ordre plus élevé de δS car seul nous
intéresse de savoir si nous avons à faire à un extremum ou non.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 172
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
q(t2)
q(t1)
Figure 8.1: Représentation des diﬀérents chemins possibles permettant de passer du point
q(t1 ) au point q(t2 ). Les trajectoires virtuelles sont en pointillées et la trajectoire “réelle”
en trait plein.
Sachant que δ q̇ =
relation suivante :
d
δq,
dt
δS =
on peut intégrer par partie le deuxième terme pour obtenir la
�
t2
t1
�
� t2 � t2 � �
∂L
∂L
d ∂L
δqdt +
δq −
δqdt
∂q
∂ q̇
∂ q̇
t1 dt
t1
En tenant compte des contraintes sur le système (δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 ), cette relation se
réécrit sous la forme
� ��
� t2 �
∂L
d ∂L
δS =
−
δqdt
∂q
dt ∂ q̇
t1
où nous reconnaissons les équations de Lagrange (8.8) si bien que δS = 0. On voit donc
que l’intégrale d’action S est bien un extremum (en fait un minimum lorsque l’on regarde
δS à l’ordre 2) que l’on appelle principe de moindre action (ou principe de Hamiton).
Le principe de moindre action utilise l’hypothèse de deux points fixes sur le parcours du
mobile : un point de départ, mais aussi un point d’arrivée. Cela a souvent été critiqué
comme étant l’utilisation dans le raisonnement d’une « cause finale », ce qui est contraire
à la causalité qui suit la flèche du temps en physique. En fait, si le point de départ est doté
de conditions initiales (coordonnées et vitesse), le point d’arrivée n’a pas de coordonnées
précises ni de vitesse imposée : il existe, c’est tout. L’existence du point final dans le
raisonnement permet d’émettre l’hypothèse de l’existence d’un trajet à partir de l’état
initial et de déterminer ses conditions (équations de Lagrange), mais n’impose aucune
autre condition en dehors de la continuité indiquée plus haut.
8.2
Les invariants adiabatiques
L’objectif premier lorsque l’on s’intéresse aux particules est tout simplement d’obtenir la
trajectoire de celles-ci dans l’espace des phases en fonction du temps. En d’autres termes,
nous devons déterminer les fonctions q(t) et p(t). En fait, cela n’est pas obligatoire car il
est possible que ces fonctions inconnues du temps puissent se combiner de telle sorte que
leurs variations temporelles se compensent mutuellement. C’est ce que l’on nomme les
invariants du mouvement. L’énergie totale dans le cas de forces conservatives, en est un
bon exemple, même si nous ne connaissons pas les formes explicites que prennent Ec (t)
et Ep (t), nous savons que Ec (t) + Ep (t) = cte. La mécanique hamiltonienne est bien
adaptée pour mettre en évidence les diﬀérents invariants d’un système donné grâce aux
transformations canoniques générant les variables d’actions pour les systèmes intégrables.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 173
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
Qmax(t)
Figure 8.2: Mouvement quasi-périodique dans l’espace des phases (Q, P ) pour une fonction
Hamiltonienne variant lentement en fonction du temps. Le point de rebroussement de la
particule Qmax (t) est le point où la variable canonique Q atteint son maximum.
Dans cette section, nous n’allons pas utiliser cette stratégie de façon exhaustive mais juste
mettre en évidence l’origine et la forme que prennent les premiers invariants adiabatiques
utilisés en physique des plasmas.
8.2.1
Les constantes du mouvement
Dans le cas le plus général, l’intégrale d’action peut être définie par
�
S = P dQ
où Q et P sont les variables canoniques conjuguées. Il est important de souligner que si le
produit de ces deux variables doit nécessairement avoir la dimension d’une action (donc
d’une énergie par un temps), il n’y a aucune raison pour que Q soit une position (on
parlera donc plutôt de coordonnées généralisée) et que P soit une impulsion (on parlera
plutôt d’impulsion généralisée). C’est pour cette raison qu’ici, j’utiliserais dorénavant les
lettres majuscules pour les variables canoniques réservant les q et p aux coordonnées d’un
point matériel dans l’espace des phases. Nous allons voir que cette intégrale est en fait
constante pour tout mouvement quasi-périodique, expression que nous utiliserons ensuite
pour déterminer les invariants adiabatiques utilisés en physique des plasmas.
Dans un premier temps, supposons que l’Hamiltonien est une fonction qui varie lentement
avec le temps via le paramêtre λ(t), on a donc H(t) = E(t) = (P, Q, λ(t)) où E(t) est
bien l’énergie du système considéré 8 . Dans le cas d’un mouvement périodique dans le
plan Q − P , la “particule” décrit une oscillation le long de l’axe Q qui se caractérise par
un segment de droite dont les extrémités sont Qmin et Qmax . Si le mouvement est quasipériodique la valeur de ces extrémités doit varier lentement au cours du temps, ce que
nous décrivons par Qmax (t) comme illustrée sur la figure (8.2).
Cette fonction Qmax (t) est seulement définie au point de rebroussement de la trajectoire
totale et à pour principale caractéristique dQ/dt = 0. Il est important de souligner qu’il
n’y a aucune raison que P/m corresponde à la vitesse du point Q si bien que les points
Qmax (t) ne correspondent pas aux endroits où P = 0. En fait, il n’y a même aucune
raison pour que P doivent changer de signe durant une période complète. La seule chose
de sûr est que durant une période, la particule parcours un circuit complet qui correspond
8. En inversant cette expression, on voit que nous pouvons aisément écrire P (E(t), Q, λ(t))
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(Auteur : Philippe Savoini)
Page 174
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
à une surface dans l’espace des phase dont le pourtour est la trajectoire de cette particule.
Dans le cas d’un mouvement quasi-périodique, les points de rebroussement ne sont pas
identiques et nous avons donc Qmax (t) �= Qmax (t + τ ) où τ est la période du mouvement.
L’intégrale d’action sur une période est donc l’intégration de cette trajectoire d’un point
Qmax (t) au suivant, ce que l’on écrit
S=
�
P dQ =
�
Qmax (t+τ )
P dQ
Qmax (t)
et la question qui se pose est : cette intégrale est-elle aussi dépendante du temps ?
(Sachant que la variable P dépend du temps (nous avons P (E(t), Q, λ(t))).
Pour le savoir, nous allons calculer l’expression
dS
d
=
dt
dt
�
Qmax (t+τ )
P (E(t), Q, λ(t))dQ
Qmax (t)
En utilisant la rêgle de Leibnitz 9 de dérivation sous le signe d’intégration, nous obtenons
d
d
d
S = P (E, Qmax (t + τ ), λ) Qmax (t + τ ) − P (E, Qmax (t), λ) Qmax (t)
dt
dt
dt
9. Soit f (x) continue et dérivable et l’« intégrale paramétrique » (généralisée) définie sur R par :
F (x) =
�
b(x)
f (x, y)dy
a(x)
alors F (x) est dérivable et prend la forme
d
d
d
F (x) = f (x, b(x)) b(x) − f (x, a(x)) a(x) +
dx
dx
dx
�
b(x)
a(x)
�
∂
f (x, y)
∂x
�
dy
y=cte
La démonstration d’une telle formule n’est pas très compliquée. En eﬀet, soit une fonction H(u, v, x)
tel que
� v
H(u, v, x) =
f (x, y)dy
u
et u = a(x) et v = b(x), alors la fonction H est une primitive de la fonction f et nous pouvons poser :
� v
f (x, y)dy = H(v, x) − H(u, x)
u
si bien que de manière évidente, nos avons les relations suivantes
∂H
(u, v, x) = f (x, v)
∂v
∂H
(u, v, x) = −f (x, u)
∂u
� v
∂H
∂f (x, y)
(u, v, x) =
dx
∂w
∂x
u
et
�
Comme F (x) = H(a(x), b(x), x), le théorème de dérivation des fonctions composées (g ◦ f ) (a) =
(g � (f (a))) f � (a) donne alors l’expression suivante
dF
∂H(a(x), b(x), x) db(x) ∂H(a(x), b(x), x) da(x) ∂H(a(x), b(x), x)
=
+
+
dx
∂v
dx
∂u
dx
∂x
qui est bien la relation recherchée.
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Page 175
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
+
�
Qmax (t+τ )
Qmax (t)
�
∂
P (E(t), Q, λ(t))
∂t
�
dQ
Q=cte
que l’on peut réécrire sous une forme plus compact
�
�Qmax (t+τ ) � Qmax (t+τ ) �
�
d
d
∂
S= P Q
+
P
dQ
dt
dt Qmax (t)
∂t
Qmax (t)
Q=cte
Si nous ne connaissons pas la valeur de P (Qmax (t + τ )) qui peut être quelconque, nous
savons par contre que par définition le point Qmax est un extremum de la trajectoire et
donc par définition, nous avons
d
Qmax = 0
dt
quelque soit le temps (multiple de τ ) que nous regardons, si bien que la variation de S en
fonction du temps est donnée par
�
� Qmax (t+τ ) �
d
∂
S=
P
dQ
dt
∂t
Qmax (t)
Q=cte
que nous pouvons développer en fonction des paramètres dépendants du temps, à savoir
E(t) et λ(t) pour obtenir
�
�
�
�
� Qmax (t+τ ) ��
d
∂P
dE
∂P
dλ
S=
+
dQ
(8.13)
dt
∂E Q,λ dt
∂λ Q,E dt
Qmax (t)
Q=cte
puisque H(t) = E(t) = (P, Q, λ(t)), on trouve aisément
�
�
�
�
�
�
∂H
∂E
∂H ∂P
=
=⇒ 1 =
∂P Q,λ
∂P Q,λ
∂P ∂E Q,λ
De plus, l’énergie E ainsi que la coordonnée généralisée Q ne dépendent pas explicitement
du paramètre λ, on peut donc écrire
dE
dH
∂H ∂P
∂H ∂λ ∂H ∂Q
=
=
+
+
=0
dλ
dλ
∂P ∂λ
∂λ ∂λ ∂Q ∂λ
si bien que
∂H ∂P
∂H
+
∂P ∂λ
∂λ
En intégrant ces deux expressions dans l’équation (8.13), cela donne
��
�
� Qmax (t+τ ) �
d
∂P
dE ∂H dλ
S=
−
dQ
dt
∂H
dt
∂λ dt Q=cte
Qmax (t)
0=
(8.14)
Nous avons alors presque terminé, en eﬀet, la variation totale de l’énergie en fonction du
temps est donnée par
dE
dH
∂H dP
∂H dQ ∂H dλ
=
=
+
+
dt
dt
∂P dt
∂Q dt
∂λ dt
que l’on simplifie en utilisant les équations de Hamilton (8.12) pour obtenir l’expression
de ∂H/∂Q et ∂H/∂P , on trouve
dE
dQ dP
dP dQ ∂H dλ
∂H dλ
=
−
+
=
dt
dt dt
dt dt
∂λ dt
∂λ dt
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Page 176
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
Substituant cette valeur dans l’équation (8.14), on obtient finalement
dS
=0
dt
ce qui démontre l’invariance de l’intégrale
�
S = P dQ = cte
sur une période. Le point important à souligner est que nous n’avons pas eu besoin de
faire l’hypothèse que les valeurs de Q et P étaient proche de l’extremum de H. En fait,
cette démarche peut sembler un peu artificielle car nous avons exclusivement joué sur les
dérivées partielles des diﬀérentes quantités. Cela serait une erreur, ce calcul montre en fait
le lien très fort existant entre d’une part la diﬀérenciation des quantités P et H par rapport
au paramètre λ sur une période et d’autre part, la nature particulière de l’Hamiltonien
inhérente à l’approche adiabatique. La seule hypothèse que nous devons faire consiste
finalement à supposer que durant une période les variations de λ sont suﬃsamment faibles
pour que la dérivée de H et P par rapport à ce paramètre ait encore du sens 10 . Par contre,
aucune hypothèse n’est nécessaire concernant le mouvement quasi-périodique obtenu dans
l’espace des phases, celui-ci pouvant être quelconque tant qu’il existe des extrema à la
trajectoire en Q.
8.2.2
Les invariants adiabatiques
Il est important de souligner une nouvelle fois que P représente l’impulsion généralisée et
n’a donc aucune raison d’être égale à l’impulsion p d’un système mécanique. Tout ce que
nous pouvons dire à partir des équations (8.9), c’est que
∂L
= pj
∂ q̇j
Si bien qu’il nous faut trouver l’expression de la fonction de Lagrange L afin de déterminer
l’expression générale de cette impulsion P . Cette expression est très classique 11 et est
10. En d’autres termes, nous faisons l’hypothèse que les variations de H et P par rapport à λ sont
suﬃsamment faibles pour que nous puissions développer H et P à l’ordre un !
11. On regarde la dynamique d’une particule (aisément généralisable à un ensemble de N de particules)
→
− −
→
− −
se trouvant dans un champ électrique E (→
x , t) et magnétique B (→
x , t) extérieurs. En introduisant le
→
−
→
− →
→
−
→
− →
−
−
→
−
potentiel vecteur A = A ( x , t) et le potentiel scalaire φ = φ( x , t) tel que B = ∇ × A (car nous avons
→
− →
−
→
−
→
−
→
−
∇ · B = 0) et E = −∂ A /∂t − ∇φ, la relation fondamentale de la dynamique
m
−
→
−
→
− − →
−
d→
v
= F = q( E + →
v × B)
dt
s’écrit en fonction des potentiels
� →
�
−
→
−
→
− →
−
→
−
∂A →
−
F =q −
+ v × ( ∇ × A ) − ∇φ
∂t
→
−
Cette expression se modifie en faisant apparaître la dérivée totale du potentiel vecteur A
� →
�
−
→
−
→
− →
− →
→
− →
−
→
−
dA
→
−
−
F =q −
+ ( v · ∇) A + v × ( ∇ × A ) − ∇φ
dt
→
− →
−
− →
−
On reconnaît dans les deux termes centraux, deux des termes du développement de ∇ →
x ( v · A ). Les
−
deux autres termes de ce développement faisant intervenir des dérivées partielles de →
v par rapport à la
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Page 177
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
donnée par
−
−
L(→
x ,→
v , t) =
→
− −
mv 2
−
−
+ q→
v · A (→
x , t) − qφ(→
x , t)
2
→
−
où A est le potentiel vecteur associé au champ magnétique et φ le potentiel scalaire associé
au champ électrique. A partir de cette relation, nous en déduisons aisément que
→
−
→
− −
∂L
−
= P = m→
v + q A (→
x , t)
→
−
∂v
si bien que l’invariant adiabatique prend la forme générale
� �
�
→
− →
→
−
−
−
I=
m v + q A ( x , t) d→
x
(8.15)
que nous allons calculer pour diﬀérents cas spéciaux très utilisés en physique des plasmas.
8.2.2.1
Le premier invariant adiabatique
Considérons le mouvement périodique de base d’un plasma magnétisé, à savoir le mouvement de gyration d’une particule autour des lignes de champ magnétique. Le mouvement
totale de la particules peut donc être séparé en deux partie distinctes, une partie venant
du déplacement du centre-guide et une partie de la gyration elle-même (le seul mouvement
→
− −
−
qui nous intéresse ici), si bien que la vitesse totale de la particule s’écrit →
v = U +→
u⊥
→
−
où U représente la vitesse du centre-guide que nous supposerons constante durant une
−
gyration et →
u ⊥ sa vitesse de gyration. C’est donc ici que nous faisons la première
approximation d’une variation temporelle de B très lente par rapport à la période de
gyration.
1 ∂B
<< B
ωc ∂t
position de la particule sont bien évidemment nuls, si bien que l’on obtient finalement
� →
�
−
�
→
−
− �
→
− →
dA →
−
−
F =q −
− ∇→
x φ− A · v
dt
Afin de faire le parallèle avec la relation (8.8) obtenue pour la fonction de Lagrange, on écrit la relation
fondamentale de la dynamique sous la forme
� →
�
�
�
−
�
−
− �
→
− →
d→
1
dA →
−
2
−
−
∇→
mv = q −
− ∇→
x φ− A · v
dt v 2
dt
soit en répartissant les termes diﬀéremment
�
�
�
�
�
−
→
− →
→
− �
→
− →
→
−
→
− →
d→
1
1
−
−
−
2
2
−
→
−
→
−
∇→
mv
+
q
A
·
v
=
−q
∇
φ
−
A
·
v
=
−q
∇
mv
+
φ
−
A
·
v
x
x
dt v 2
2
sachant que le gradient spatial de l’énergie cinétique est nul.
De la même manière, on peut rajouter, dans le gradient en vitesse du terme de gauche, un potentiel
−
φ(→
x , t) ne dépendant pas explicitement des vitesses, pour obtenir une expression identique à celle de
l’équation (8.8). Cette identité n’est possible que si nous posons
−
−
L(→
x,→
v , t) =
→
− −
1
−
−
mv 2 + q →
v · A (→
x , t) − qφ(→
x , t)
2
Cette expression représente donc la fonction de Lagrange d’une particule chargée se trouvant dans
des champs électromagnétiques extérieurs, expression que nous utiliserons en physique des plasmas.
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Page 178
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
De plus, l’intégration devant se faire sur une gyration, il est avantageux d’exprimer
l’intégrale d’action (8.15) en fonction de la phase (l’angle θ décrivant la gyration) si bien
que nous obtenons
�
→
−
→
− ∂Q
I=
P ·
dθ
∂θ
→
−
avec θ variant de 0 à 2π. Dans le cas présent, le mouvement étudié étant une gyration, P
représente l’impulsion généralisée dans le plan perpendiculaire au champ magnétique que
→
−
→
−
nous noterons P ⊥ et Q sa coordonnée spatiale qui n’est autre que le rayon de Larmor
−
que nous noterons →
r L . Avec ces nouvelles notations, nous avons la relation
I=
�
2π
0
� 2π �
−
−
→
−
→
− � ∂→
∂→
rL
rL
−
P⊥·
dθ =
m→
v + qA ·
dθ = cte
∂θ
∂θ
0
(8.16)
L’évolution spatiale du potentiel vecteur n’étant pas connue, nous allons utiliser son
développement limité à l’ordre un. C’est donc ici que nous faisons la deuxième approximation d’une variation spatiale de B très petite par rapport au rayon de Larmor.
rL
∂B
<< B
∂r
si bien que nous pouvons écrire
→
− →
→
− →
−
→
− →
− →
−
−
A (−
r ) = A ( R ) + (→
r · ∇) A ( R ) + σ(r2 )
→
−
où R est la position du centre-guide. De plus, nous savons que
−
−
−
d→
rL
∂→
r L ∂θ
∂→
rL
→
−
u⊥ =
=
=
ωc
dt
∂θ ∂t
∂θ
l’intégrale (8.16) se développe sous la forme
� 2π →
�→
−
− − �
− →
−
→
− →
− →
− ��
u ⊥ � �→
−
I=
· m U +→
u ⊥ + q A ( R ) + (→
r · ∇) A ( R ) dθ = cte
ωc
0
→
−
où tout les termes ne dépendent plus que de la position du centre-guide R et non plus la
−
position instantanée →
r . Pour résoudre� facilement cette intégrale, il suﬃt de se rappeler
−
que durant une gyration, nous avons →
u dθ = 0 par définition, la particule faisant un
→
−
tour complet autour de sa position R qui reste constante. Nous obtenons donc
�
� 2π
� 2π
→
− � 2π
− →
−
→
− →
− →
−
U
m 2π 2
q→
q
→
−
→
−
→
−
−
I=m ·
u ⊥ dθ+
u⊥ dθ+ A ( R )·
u ⊥ dθ+
u ⊥ ·(→
r · ∇) A ( R )dθ
ωc 0
ωc 0
ωc
ωc 0
0
où clairement les termes 1 et 3 disparaissent, il ne reste que
�
� 2π
→
− →
− →
−
m 2π 2
q
→
−
−
I=
u⊥ dθ +
u ⊥ · (→
r · ∇) A ( R )dθ = cte
ωc 0
ωc 0
qui peut aisément être exprimé sous forme de valeur moyenne sur une gyration
→
− →
− →
− �
m � 2�
q �→
−
→
−
I = 2π
u
+ 2π
u ⊥ · ( r · ∇) A ( R )
ωc ⊥ gyration
ωc
gyration
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(8.17)
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 179
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
que l’on peut exprimer 12 en utilisant les relations de l’annexe (9), sous la forme
I = 2π
m � 2�
π � 2�
2π
u⊥ gyration −
u⊥ gyration =
µ = cte
ωc
ωc
q
où µ = m �u2⊥ � /2B. On voit donc bien que µ appelé premier invariant adiabatique
est une constante du mouvement. Bien sûr, cette relation n’est valable que si B varie
suﬃsamment lentement pour que nous puissions approximer les deux intégrales par les
relations ci-dessus.
8.2.2.2
Le second invariant adiabatique
Découlant de la conservation du premier invariant adiabatique, il est aisé de montrer que
certaines particules se retrouvent piégées dans une configuration magnétique dipolaire
comme représentée sur la figure (3.9) de la section (3.2.4). On voit que le centre guide,
s’il correspond à une particule piégée, a un mouvement de rebond, lui aussi périodique,
de période (TJ ) très supérieure à la gyropériode. On associe à ce mouvement oscillatoire
un invariant adiabatique : J. L’intégrale d’action associée est calculée sur un mouvement
aller-retour que l’on appelle second invariant adiabatique ou invariant longitudinal. On
peut alors définir un arc de ligne de champ qui correspond à la trajectoire du centre guide
entre deux points rebonds (M1 et M2 ) et l’on pose
J =2
�
M2
M1
→
− →
−
P dQ = 2
�
M2
M1
12. Nous avons la relation
�
→
−� →
→
−
m v + q A d−
s
�
−
→
−�
d→
u⊥
−
=q →
u⊥× B
dt
En première approximation, le mouvement de gyration étant un mouvement circulaire uniforme,
l’accélération est centripète et nous pouvons poser
u2⊥
= qu⊥ B =⇒ u⊥ = ωc r
m
que nous pouvons exprimer sous forme vectorielle par l’équation
→
−
→
−
−
u ⊥ = ωc →
rL× b
→
−
→
−
où b est le vecteur unitaire parallèle à B . En remplaçant dans le second terme de l’équation (8.17),
nous obtenons
�
→
−� − →
→
− →
− →
−
− →
− →
−
→
−
−
−
u ⊥ · (→
r · ∇) A ( R ) = ωc →
r L × b · (→
r · ∇) A ( R )
(8.18)
→
−
Nous allons maintenant utiliser le fait que le potentiel vecteur se calcule au centre-guide R (nous avons
fait le développement limité pour cela ...). Dans ce cas, nous pouvons faire l’hypothèse que nous avons
une symétrie cylindrique et aucune variation le long de la ligne de champ (du moins durant une gyration),
∂
∂
ces hypothèses nous permettent donc de poser simplement ∂φ
= ∂z
= 0, si bien que le potentiel vecteur
→
−
A , s’écrit sous la forme
→
− →
→
−
B ×−
r
A =
2
→
−
→
−
→
−
avec cette expression, on retrouve bien la définition B = ∇ × A (le lecteur est vivement encouragé à
vérifier cette aﬃrmation). En injectant cette expression dans l’équation (8.18), on trouve alors
→
− →
− →
−
→
−
r2
→
−
−
u ⊥ · (→
r · ∇) A ( R ) = −ωc L B( R )
2
qui a, bien sur, une valeur constante sur une gyration.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 180
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
où l’intégration se fait suivant l’abscisse curviligne s représentant la distance parcourut le
long de la ligne de champ magnétique sur lequel se trouve le centre-guide de la particule
entre les deux points miroirs 13 M1 et M2 . Toute la dynamique se faisant le long des lignes
de champs magnétiques, on pose
� M2
� M2
� M2 �
�
�
→
− →
−�
J =2
mv� + qA� ds = 2
mv� ds + 2
q B · dS
M1
M1
M1
→
−
où S est la surface embrassée par la trajectoire de la particule (théorème de Stocke),
surface qui est ici clairement nulle, si bien que nous trouvons finalement
� M2
J =2
mv� ds
M1
Le calcul de cette intégrale ne peut généralement être faite que numériquement.
A titre d’exemple, si on prend une configuration magnétique simple telle celle de la figure
(3.9) de symétrie axiale autour de l’axe z, on peut décrire le champ magnétique par
l’équation
�
� �2 �
z
B(z) = Bo 1 +
ao
où z = 0 correspond au centre de la figure, là où le champ magnétique est le plus faible et
égal à Bo (ao est un paramètre positif). La position symérique des deux points miroirs M1
et M2 est repérée par l’abscisse zmax car on ne s’intéresse qu’aux particules piégées. En
utilisant la conservation de l’énergie totale, nos pouvons obtenir facilement l’expression
de la vitesse parallèle
�
2µBo 1 � 2
v� =
zmax − z 2
m ao
expression que nous pouvons intégrer 14 pour obtenir l’expression de J
�
�
�
8mµBo zmax � 2
2π 2 mµBo 2
2 dz =
J=
z
−
z
zmax
max
a2o
a2o
−zmax
comme nous savons que J = cte pour n’importe quelle valeur de z, il suﬃt alors de le
réinjecter dans l’expression de la vitesse parallèle pour obtenir
�
2µBo
2µBo 2
v�2 =
J−
z
3
m
mao
comme µ = cte (c’est le premier invariant adiabatique), en posant K =
découle la relation
v�2 + Kz 2 = cte
2µBo
mao
= cte, il en
13. En fait, cette trajectoire n’est pas tout à fait close à cause de la dérive azimuthale présente dans ce
type de configuration magnétique (et due à la courbure des lignes de champs magnétiques). Néanmoins,
on peut facilement voir que ce déplacement azimuthal à chaque “rebond” M1 et M2 reste de l’ordre du
rayon de Larmor. Si bien que dans la limite ρc /L → 0 où ρc est le rayon de gyration de la particule et
L la distance caractéristique de variation du champ magnétique, la trajectoire du centre-guide peut être
regardé comme approximativement fermée et donc représente bien une trajectoire périodique.
14. Par intégration par partie, nous obtenons la relation suivante :
� �
� x ��
1� � 2
a2 − x2 dx =
x a − x2 + a2 Arcsin
2
a
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ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
Page 181
si bien que l’on remarque que moins la particule parcours de chemin (z �) et plus la
vitesse parallèle doit croître (v� �).
Cette eﬀet a été pour la première fois proposé par Enrico Fermi pour expliquer l’existence
des rayons cosmiques durs observés sur Terre. La configuration magnétique utilisée pouvant être imaginée comme constituée de deux galaxies proches se rapprochant l’une de
l’autre. Les particules piégées dans cette configuration particulière voient donc leur vitesse
parallèle s’accroître jusqu’à tomber dans le cône de perte et s’échapper à grande vitesse.
Néanmoins, de nos jours cette explication n’est plus envisagée et ce sont les ondes de choc
sans collision qui semblent être les meilleurs candidats pour expliquer les observations.
8.2.2.3
Le troisième invariant adiabatique
Chaque mouvement périodique définissant un invariant du mouvement, il est clair au vu
de la figure (3.9) de la section (3.2.4) qu’il existe donc aussi un invariant liée à la dérive
azimutale du centre guide, ou invariant de flux magnétique. Cette intégrale est calculée
sur un tour complet (de période Tφ ). On pose donc
�
�
�
Φ = P dQ = Pφ ds = (muφ + qAφ ) ds
où l’intégration se fait suivant l’angle azimutal φ (on se place en coordonnées cylindrique).
La vitesse de dérive autour des points M1 et M2 est très faible puisque à chaque rebond
cette dérive ne peut pas excéder un rayon de gyration, si bien que le deuxième terme est
le terme dominant, et l’on a
�
Φ = qAφ ds = qΦB
où ΦB est le flux magnétique embrassé par la particule au cours d’une rotation complête
autour des points M1,2 . L’invariance de cette quantité n’est en fait qu’approchée du fait
des temps très longs qu’elle suppose et donc de la diﬃculté d’obtenir un mouvement
vraiment périodique du centre-guide.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 182
ANNEXE : GÉNÉRALITÉS SUR LES INVARIANTS
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
9.
Annexe : Formulaire mathématique
L’objet de cette annexe est de rappeler quelques concepts et formules mathématiques
omniprésents dans les développements analytiques en physique des plasmas.
9.1
Algèbre vectorielle
Théorème de Stocke
Il relie une intégrale curviligne le long d’une courbe à une intégrale de surface sur n’importe
quelle surface s’appuyant sur la courbe.
�
� �
−
→
− →
→
− →
−� →
−
A ·d l =
∇ × A · dS
S
Théorème de Green-Ostrogradsky
Il relie l’intégrale de la divergence d’un champ vectoriel sur un volume à l’intégrale de
surface à travers la frontière définissant ce volume.
��
�
→
− →
−�
→
− →
−
∇ · A dV =
A · dS
V
9.1.1
S
Coordonnées curvilignes
A cause des symétries qui existent dans certains problèmes, il est souvent utile d’utiliser
d’autres systèmes de coordonnées que les coordonnées carthésiennes. Les deux systèmes les
plus fréquemment utilisés sont les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.
9.1.1.1
Coordonnées carthésiennes
−
−
−
−
Vecteur position : →
r = x→
e x + y→
e y + z→
ez
−
−
−
−
−
Déplacement d→
r : d→
r = dx→
e x + dy →
e y + dz →
ez
Figure 9.1 – Représentation de la position d’un point dans une base carthésienne
−
−
−
(→
e x, →
e y, →
e z)
183
Page 184
ANNEXE : FORMULAIRE MATHÉMATIQUE
Figure 9.2 – Représentation de la position d’un point dans une base cylindrique
−
−
−
(→
e ρ, →
e φ, →
e z)
Volume infinitésimal : dV = dxdydz
→
−
→
−
→
−
→
−
Gradient ∇f : ∇f = ∂f
e x + ∂f
ey+
∂x
∂y
→
− →
− →
− →
−
Divergence ∇ · A : ∇ · A =
∂Ax
∂x
+
∂f →
−
ez
∂z
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
→
− →
−
Rotationnel ∇ × A : (notation compacte)
� →
�
−
−
� −
ex →
ey →
e z ��
�
→
− →
−
∂
∂ �
∂
∇ × A = �� ∂x
∂y
∂z �
� Ax Ay Az �
Laplacien ∇2 f : ∇2 f =
9.1.1.2
∂2f
∂x2
∂2f
∂y 2
+
+
∂ 2 Az
∂z 2
Coordonnées cylindriques
−
−
−
Vecteur position : →
r = ρ→
e ρ + z→
ez
−
−
−
−
−
Déplacement d→
r : d→
r = dρ→
e ρ + ρdφ→
e φ + dz →
ez
Volume infinitésimal : dV = ρdρdφdz
→
−
→
−
∂f →
→
−
−
Gradient ∇f : ∇f = ∂f
e ρ + ρ1 ∂φ
eφ+
∂ρ
→
− →
− →
− →
−
Divergence ∇ · A : ∇ · A =
1 ∂(ρAρ )
ρ ∂ρ
+
∂f →
−
ez
∂z
1 ∂Aφ
ρ ∂φ
+
∂Az
∂z
→
− →
−
Rotationnel ∇ × A : (notation compacte)
� →
�
→
−
→
−
� −
�
e
ρ
e
e
ρ
φ
z
�
→
− →
−
1 �� ∂
∂
∂ �
∇ × A = � ∂ρ
∂φ
∂z �
ρ�
Aρ ρAφ Az �
Laplacien ∇2 f : ∇2 f =
1 ∂f
ρ ∂ρ
+
∂2f
∂ρ2
+
1 ∂2f
ρ2 ∂φ2
+
∂ 2 Az
∂z 2
Attention, les quatre dernière relations n’ont pas de sens sur l’axe des z, où ρ = 0.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 185
ANNEXE : FORMULAIRE MATHÉMATIQUE
Figure 9.3 – Représentation de la position d’un point dans une base cylindrique
−
−
−
(→
e r, →
e φ, →
e z)
9.1.1.3
Coordonnées sphériques
−
−
Vecteur position : →
r = r→
er
→
−
→
−
−
−
−
Déplacement d l : d l = dr→
e r + rdθ→
e θ + r sin θdφ→
eφ
Volume infinitésimal : dV = r2 sin θdrdθdφ
→
−
→
−
→
−
→
−
−
1 ∂f →
Gradient ∇f : ∇f = ∂f
e r + 1r ∂f
e θ + r sin
eφ
∂r
∂θ
θ ∂φ
�
�
→
− →
− →
− →
−
∂ (r2 sin θAr )
∂ (rAφ )
∂(r sin θAθ )
1
Divergence ∇ · A : ∇ · A = r2 sin θ
+
+ ∂φ
∂r
∂θ
→
− →
−
Rotationnel ∇ × A : (notation compacte)
� →
−
−
� −
e r→
e θ r sin θ→
eφ
→
− →
−
1 �� ∂ r
∂
∂
∇·A = 2
∂θ
∂φ
r sin θ �� ∂r
Ar rAθ r sin θAφ
Laplacien ∇2 f : ∇2 f =
1 ∂
r 2 ∂r
�
�
r2 ∂f
+
∂r
1
∂
r2 sin θ ∂θ
�
�
sin θ ∂f
+
∂θ
�
�
�
�
�
�
∂2f
1
r2 sin2 θ ∂φ2
Attention, les quatre dernière relations n’ont, là encore, pas de sens sur l’axe des z, où r
et sin θ sont nuls.
9.1.2
Identités vectorielles
Cette annexe regroupe les diﬀérentes identités vectorielles et relation couramment utilisées en physique des plasmas. Ces identités sont classées suivant l’existence ou non d’un
opérateur de dérivation.
9.1.2.1
–
–
–
–
Identités vectorielles “simples”
�→
→
− �→
− →
− � �→
− →
−� →
−
− →
− �→
− �→
− →
− �→
−
A× B×C = C ×B ×A = A·C B− A·B C
→
− �→
− →
− � �→
− →
− �→
− →
− �←
→� →
−
←
→
A × B × C = B ⊗ A − A · B I · C où I est le tenseur identité
�→
− →
− � �→
− →
− � �→
− →
− � �→
− →
− � �→
− →
− � �→
− →
−�
A×B · C ×D = A·C
B·D − A·D
B·C
�→
− →
− � �→
− →
− � ��→
− →
−� →
− �→
− ��→
− →
−� →
− �→
−
A×B × C ×D =
A×B ·D C −
A×B ·C D
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
Page 186
ANNEXE : FORMULAIRE MATHÉMATIQUE
→
− �→
− →
−� →
− �→
− →
−� →
− �→
− →
−�
– A· B×C =B· C ×A =C · A×B
→
− →
−
→
− →
−
– �A · B =� T r( A�⊗ B ) �
→
− →
− →
−
→
− →
−
→
−
– B·C A = A⊗B ·C
9.1.2.2
Identités vectorielles avec opérateur de dérivation
Nous rappelons ici la définition des diﬀérents opérateurs diﬀérentiels que l’on peut appliquer à un champ vectoriel. Les définitions sont données pour un champ vectoriel dans
l’espace. Elles ont été reprisent en partie dans le formulaire NRL Plasma Formulary de
J. D. Huba (version révisée 2002).
→
−
→
−
→
−
→
−
– ∇ (ab)
=�∇ (ba) = a ∇b = b ∇a
�
→
−
→
−
→
− →
− →
− →
−
– ∇ · a A = a ∇ · A + A · ∇a
→
− � →
−�
→
− →
− →
−
→
−
– ∇ × a A = a ∇ × A + ∇a × A
→
− �→
− →
−� →
− �→
− →
−� →
− �→
− →
−�
– ∇· A×B =B· ∇×A −A· ∇×B
→
− �→
− →
−� →
− �→
− →
− →
− →
−�
– ∇× A×B =∇· B⊗A−A⊗B
→
− �→
− →
−� →
− �→
− →
−� →
− �→
− →
− � �→
− →
− �→
− �→
− →
− �→
−
– ∇× A×B = A ∇·B −B ∇·A + B·∇ A− A·∇ B
→
− �→
− →
− � �→
− →
−� →
− �→
− →
− �→
−
– A × ∇ × B = ∇ ⊗ B · A − A · ∇ B (où ⊗ représente le produit tensoriel,
voir� 9.2) �
→
− →
− →
−
→
− �→
− →
−� →
− �→
− →
− � �→
− →
− �→
− �→
− →
− �→
−
– ∇ A·B = A× ∇×B +B× ∇×A + B·∇ A+ A·∇ B
→
− →
−
– ∇2 a = ∇ · ∇a (équivalent
: ∇2 et ∆)
→
− →
− →
−
→
− �→
− →
−�
→
−
– ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ · A − ∇2 A
→
− →
−
– ∇ × ∇a = 0
→
− →
− →
−
– ∇·∇×A =0
9.2
Les tenseurs
De manière générale, à partir de deux vecteurs �a et �b, on peut eﬀectuer deux types de
produit diﬀérents :
- le produit scalaire χ = �a · �b
→
- le produit tensoriel ←
χ = �a ⊗ �b
Ces produits sont de nature très diﬀérente puisque le premier fournit un scalaire alors que
le second donne un tenseur d’ordre deux (une matrice).
Dans une base donnée (�ex , �ey , �ez ), les vecteurs �a et �b peuvent être représentés sous forme
de matrice ligne (1,3) ou matrice colonne (3,1). Par exemple, on peut poser


ax
�a = [a] =  ay 
az
De cette définition, les deux types de produit sont définis à partir de produit de matrices
:
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Page 187
ANNEXE : FORMULAIRE MATHÉMATIQUE


bx
- le produit scalaire : χ = �a · �b ⇔ (ax , ay , az )  by  = ax bx + ay by + az bz
bz




ax
ax b x ax b y ax b z
→
- le produit tensoriel : ←
χ = �a ⊗ �b ⇔  ay  (bx , by , bz ) =  ay bx ay by ay bz 
az
az b x az b y az b z
→
Avec ces relations, le produit d’un vecteur �a et d’un tenseur ←
χ d’ordre 2 donne :
→
� = �a · ←
- produit scalaire (ou contracté) : ψ
χ →un vecteur
→
- produit tensoriel (ou direct) : = �a ⊗ ←
χ →un tenseur d’ordre 3 (non exprimable sous
forme de matrice d’ordre 2)
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
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Page 188
ANNEXE : FORMULAIRE MATHÉMATIQUE
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
10.
Bibliographie
Loin d’être exhaustive, cette bibliographie ne se veut qu’indicative, elle reprend donc les
ouvrages de bases qui ont aidé à rédiger ce cours. Ces ouvrages sont eux-même essentiellement des ouvrages de cours et de référence couvrant la plupart des domaines de la
physique des plasmas.
1. “Fundamentals of plasma physics” de J. A. Bittencourt, Editeur : Pergamon Press,
1986.
2. “The mathematical theory of non-uniform gases” de S. Chapman et T. G. Cowling,
Editeur : Cambridge University Press, Cambridge, England, 1953.
3. “Physics of fully ionized gases” de L. Spitzer, Jr., Editeur : Interscience, New York,
1956.
4. “The theory of plasma waves : T. H. Stix, Editeur : McGraw-Hill, New York, 1962.
5. “The adiabatic motion of charged particles” de T. G. Northrop, Editeur : Interscience, New York, 1963.
6. “Plasma Kinetic Theory” de D. C. Montgomery et D. A. Tidman, Editeur : McGrawHill Advanced Physics Monograph Series, McGraw-Hill Book Compagny, 1964.
7. “Plasma Electrodynamics” de A. I. Akhiezer, I. A. Akhiezer, R. V. Polovin, A. G.
Sitenko et K. N. Stepanov, Editeur : Pergamon Press, 1975.
8. “Kinetic Theory of Plasma Waves - Homogeneous Waves” de M. Brambilla, International Series of Monographs on Physics, Editeur : Oxford Science Publications,
1998.
9. “Principles of Plasma Physics” de N. A. Krall et A. W. Trivelpiece, Editeur :
McGraw-Hill Book Compagny, 1973.
10. “Introduction to Plasma Physics” de F.F. Chen, Editeur : New York Plenum Press,
1974.
11. “Physics of High Temperature Plasmas” de G. Schmidt, Editeur : New York Academic Press, 1979.
12. “Physique Statistique Hors Equilibre - Processus irréversibles linéaires” de N. Pottier, Savoir Actuels, Editeur : EDP Sciences/CNRS Editions, 2007.
13. “Introduction to Plasma Theory” de D. R. Nicholson, Wiley Series in Plasma Physics,
Editeur : John Wiley & Sons, 1983.
14. “Introduction to plasma physics” de R. J. Goldston et P. H. Rutherford, Editeur :
Institute of Physics Publishing, Bristol, England, 1995.
15. “Physique des Plasmas : Tome 1 ” de J.-L. Delcroix et A. Bers, Savoir Actuels,
Editeur : EDP Sciences/CNRS Editions, 1994.
16. “Physique des Plasmas : Tome 2 ” de J.-L. Delcroix et A. Bers, Savoir Actuels,
Editeur : EDP Sciences/CNRS Editions, 1994.
17. “Plasma Physics” de B. S. Tanenbaum, Editeur : McGraw-Hill Physical and Quantum Electronics Series, McGraw-Hill Book Compagny, 1967.
189
Page 190
BIBLIOGRAPHIE
18. “The Fourth State of Matter ” de Y. Eliezer and S. Eliezer, Editeur : Bristol Hilger,
1989.
19. “Theory of Tokamak Plasmas” de R.B. White, Editeur : Amsterdam North-Holland,
1989.
20. “Basic space plasma physics” de W. Baumjohann et R. A. Treumann, Editeur :
Imperial College Press, London, England, 1996.
21. “Fundamentals of Plasma Physics and Controlled Fusion” de K. Miyamoto, Editeur :
Iwanami Press, 1997.
22. “Statistical Plasma Physics : Volume 1 Basic Principles” de S. Ichimaru, Editeur :
Addison-Wesley Publiching Company, 1992.
23. “Plasma Physics” de P.A. Sturrock, Editeur : Cambridge University Press, 1994.
24. “Basic Plasma Physics” de Beryl Browning, Editeur : Lulu, 2008.
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
(Auteur : Philippe Savoini)
BIBLIOGRAPHIE
M2 PEL : Introduction à la physique des plasmas
Page 191
(Auteur : Philippe Savoini)